【赢在微点】高三数学(文)一轮复习练习：2-5二次函数与幂函数(含答案解析)

配餐作业(八) 二次函数与幂函数
一、选择题
1．(2016·南阳模拟)已知幂函数f(x)＝k·x a 的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2
2，则k ＋a 等于( )
A.1
2 B ．1
C.32
D ．2
解析：因为f(x)＝k·x a 是幂函数，所以k ＝1。

又f(x)的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2
2，所以⎝⎛⎭⎫12a ＝22， 所以a ＝12，所以k ＋a ＝1＋12＝32。

答案：C
2．(2016·天津模拟)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点在第一象限，与x 轴的两个交点分别位于原点两侧，则a ，b ，c 的取值范围是( )
A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0
B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0
C ．a ＜0，b ＜0，c ＞0
D ．a ＜0，b ＞0，c ＜0
解析：由题意，抛物线开口向下，故a ＜0。

由抛物线与x 轴的两个交点分别位于原点两侧，得ac ＜0，所以c ＞0。

再由顶点在第一象限得－b
2a
＞0，所以b ＞0。

答案：B
3．(2016·西安模拟)函数y ＝x －x 1
3
的图象大致为( )
A
B
C
D
解析：函数y ＝x －x 13 为奇函数，当x ＞0时，由x －x 13
＞0，即x 3＞x 可得x 2＞1，即x ＞1，结合选项，故选A 。

答案：A
4．(2016·宝鸡模拟)设函数f(x)＝x 2＋x ＋a(a>0)，已知f(m)<0，则( ) A ．f(m ＋1)≥0 B ．f(m ＋1)≤0 C ．f(m ＋1)>0
D ．f(m ＋
1)<0
解析：因为f(x)的对称轴为x ＝－1
2，f(0)＝a ＞0，所以f(x)的大致图象如图所示。

由f(m)＜0，得－1＜m ＜0，所以m ＋1＞0，所以f(m ＋1)＞f(0)＞0，故选C 。

答案：C
5．(2016·淮南模拟)函数f(x)＝ax 2＋bx ＋5满足条件f(－1)＝f(3)，则f(2)的值为( ) A ．5 B ．6
C ．8
D ．与a ，b 的值有关
解析：①当a ＝0时，由f(－1)＝f(3)可知b ＝0， 此时f(x)＝5，所以f(2)＝5。

②当a≠0时，因为函数f(x)＝ax 2＋bx ＋5满足条件f(－1)＝f(3)，所以f(x)＝ax 2＋bx ＋5的图象关于x ＝－1＋3
2
＝1对称，则f(2)＝f(0)＝5，故选A 。

答案：A
6．(2016·泸州一诊)函数f(x)＝－2x 2＋ax ＋1在⎝⎛⎭⎫1
2，＋∞上是减函数，则a 的取值范围是( )
A.⎝
⎛⎭⎫－∞，1
2 B ．(－∞，2] C ．[4，＋∞) D ．(－∞，－2]
解析：由题意，得－a
－
≤1
2
，解得a≤2，故选B 。

答案：B
二、填空题
7．(2016·兰州模拟)已知函数f(x)＝x 12
，且f(2x －1)＜f(3x)，则x 的取值范围是________。

解析：f(x)＝x 1
2在[0，＋∞)上是增加的，
f(2x －1)＜f(3x)，则0≤2x －1＜3x ，所以x≥1
2。

答案：x≥1
2
8．(2016·宿州模拟)二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为______。

解析：依题意可设f(x)＝a(x －2)2－1，又其图象过点(0,1)，∴4a －1＝1，∴a ＝12，
∴f(x)＝1
2(x －2)2－1。

答案：f(x)＝1
2
(x －2)2－1
9．(2016·江苏模拟)已知函数f(x)＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m 的取值范围是________。

解析：由题意得
⎩
⎪⎨⎪⎧
＝m 2＋m 2－1＜0，＋
＝
＋
2
＋＋－1＜0，
解得－
2
2
＜m ＜0。

答案：－
2
2
＜m ＜0 三、解答题
10．设二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)在区间[－2,2]上的最大值、最小值分别是M ，m ，集合A ＝{x|f(x)＝x}。

(1)若A ＝{1,2}，且f(0)＝2，求M 和m 的值；
(2)若A ＝{1}，且a≥1，记g(a)＝M ＋m ，求g(a)的最小值。

解析：(1)由f(0)＝2可知c ＝2。

又A ＝{1,2}，故1,2是方程ax 2＋(b －1)x ＋2＝0的两实根。

所以⎩⎨⎧
1＋2＝1－b a
，
2＝2
a ，
解得a ＝1，b ＝－2。

所以f(x)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－2,2]。

当x ＝1时，f(x)min ＝f(1)＝1，即m ＝1。

当x ＝－2时，f(x)max ＝f(－2)＝10，即M ＝10。

(2)由题意知，方程ax 2
＋(b －1)x ＋c ＝0有两相等实根x ＝1，所以⎩⎨⎧
1＋1＝1－b a
，1＝c
a ，
即
⎩
⎪⎨⎪⎧
b ＝1－2a ，
c ＝a 所以f(x)＝ax 2＋(1－2a)x ＋a ，x ∈[－2,2]， 其对称轴方程为x ＝2a －12a ＝1－1
2a 。

又a≥1，故1－1
2a ∈⎣⎡⎭⎫12，1。

所以M ＝f(－2)＝9a －2，m ＝f ⎝⎛⎭
⎫2a －12a ＝1－1
4a 。

g(a)＝M ＋m ＝9a －1
4a
－1。

又g(a)在区间[1，＋∞)上单调递增， 所以当a ＝1时，g(a)min ＝
314。

11．(2016·德州月考)已知函数f(x)＝ax 2－2ax ＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2。

(1)求a ，b 的值；
(2)若b<1，g(x)＝f(x)－mx 在[2,4]上单调，求m 的取值范围。

解析：(1)f(x)＝a(x －1)2＋2＋b －a 。

当a ＞0时，f(x)在[2,3]上为增函数，
故⎩
⎪⎨⎪
⎧ ＝5，＝2
⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝0
当a ＜0时，f(x)在[2,3]上为减函数，
故⎩
⎪⎨⎪
⎧
＝2，＝5
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝3
(2)∵b ＜1，∴a ＝1，b ＝0，即f(x)＝x 2－2x ＋2。

g(x)＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m)x ＋2， ∵g(x)在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋2
2≥4。

∴m≤2或m≥6。

故m 的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)。

12．(2016·沈阳月考)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x 2＋2x 。

现已画出函数f(x)在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：
(1)写出函数f(x)(x ∈R )的单调递增区间。

(2)写出函数f(x)(x ∈R )的解析式。

(3)若函数g(x)＝f(x)－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g(x)的最小值。

解析：(1)f(x)的单调递增区间为(－1,0)，(1，＋∞)。

(2)设x ＞0，则－x ＜0，函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x 2＋2x ， 所以f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x 2－2x(x ＞0)，
所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
－
＞，
x 2
＋
(3)g(x)＝x 2－2x －2ax ＋2， 对称轴方程为x ＝a ＋1，
当a ＋1≤1，即a≤0时，g(1)＝1－2a 为最小值； 当1＜a ＋1≤2，即0＜a≤1时， g(a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值；
当a ＋1＞2，即a ＞1时，g(2)＝2－4a 为最小值。

综上，g(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1－2a ，a≤0，－a 2
－2a ＋1，0＜a≤1，
2－4a ，a ＞1。