优选整合高中数学人教A版选修2-31.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1学案
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(课后习题详解)
人教A 版，高中数学，选修2-31.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课本第6页，练习1．填空：（1）一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是 。
（2）从A 村去B 村的道路有3条，从B 村去C 村的道路有2条，从A 村经B 村去C 村，不同路线的条数是 。
【解析】（1）分类加法计数原理要完成的“一件事情”是“选出1人完成工作”，不同的选法种数是5＋4＝9；（2）分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“从A 村经B 村到C 村去”，不同路线条数是3×2＝6。
2．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，问：（1）从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？（2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？【解析】（1）分类加法计数原理要完成的“一件事情”是“选出1人参加活动”，不同的选法种数是3＋5＋4＝12；（2）分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“从3个年级的学生中各选1人参加活动”，不同选法种数是3×5×4＝60。
3．在例1中，如果数学也是A 大学的强项专业，则A 大学共有6个专业可以选择，B 大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为6410+=。
这种算法有什么问题？【解析】因为要确定的是这名同学的专业选择，并不要考虑学校的差异，所以应当是6＋4－1=9（种）可能的专业选择。
课本第10页，练习1．乘积12312312345()()()a a a b b b c c c c c ++++++++展开后共有多少项？【解析】分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“得到展开式的一项”。
由于每一项都是i j k a b c 的形式，所以可以分三步完成：第一步，取i a ，有3种方法；第二步，取j b ，有3种方法；第三步，取k c ，有5种方法。
人教版高中数学选修2-3 第一章 1-1-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
栏目导引
知识梳理
一、分类加法计数原理 1．完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有 m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法，那么完 成这件事共有N＝ m＋n 种不同的方法． 2．如果完成一件事情有n类不同方案，在第一类方案中 有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，… 在第n类方法中有mn种不同的方法，则完成这件事情共有N＝ m1＋m2＋…＋mn 种不同的方法．
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人教A版数学选修2-3 第一章 计数原理
栏目导引
【错因】 错解一忽视数字0不能在首位的约束，按此 排法有可能为“0134”这种不符合要求的情况．
错解二忽视了题目“无重复数字的四位数”的约束，按 此排法有可能为“2032”，不符合条件．
若先排首位，应考虑排的是1,3,5还是2,4,6，因它直接关 系到第2步排个位的选取；
方法二(枚举法)：因为只取一人，这样设三个年级的优 秀 班 干 部 分 别 为 A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， A5 ； B1 ， B2 ， B3 ， B4 ， B5，B6，B7；C1，C2，C3，C4，C5，C6，C7，C8，从以上20 种情况中选一人有20种选法．
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人教A版数学选修2-3 第一章 计数原理
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人教A版数学选修2-3 第一章 计数原理
栏目导引
[问题] 此委员这一天从济南到北京共有多少种快捷途 径？
[提示] 3＋4＝7.此委员这一天从济南到北京共有7种快 捷途径．
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人教A版数学选修2-3 第一章 计数原理
栏目导引
2．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每 名同学可自由选择其中的一个讲座．
栏目导引
解析： 方法一(定义法)：由于要从三个年级的优秀班 干部中选出一人，故可分为三类：第一类从高一的5名优秀 班干部中选取一人，有5种选法；第二类从高二的7名优秀班 干部中选取一人，有7种选法；第三类从高三的8名优秀班干 部中选取一人，有8种选法．又根据分类加法计数原理知， 共有5＋7＋8＝20种不同的选法．
高二数学人教A版选修2-3课件：1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
解析:要完成选择听讲座这件事,需要分六步完成,即 6 名同学逐 个选择要听的讲座,因为每名同学均有 5 种讲座可选择,由分步乘法
计数原理,6 位同学共有 5×5×5×5×5×5=56(种)不同的选法.
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
(2)已知a∈{1,2,3},b∈{4,5,6,7},r∈{8,9},则方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示不同的圆的个数为 ( )
结果,只需一种方法就可 完成这件事
事,只有各个步骤都完成了,才能 完成这件事
各类 (步) 的关 系
各类方法之间是互斥的、 并列的、独立的,即“分类 互斥”
各步之间是关联的、独立的,“关 联”确保连续性,“独立”确保不 重复,即“分步互依”
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预习导引
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4.用两个计数原理解决问题的步骤 用两个计数原理解决计数的问题时,最重要的是开始计算之前要仔细分析——需要分类还是分步. 分类要做到“不重不漏”,分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数. 分步要做到“步骤完整”——完成了所有步骤,恰好完成任务,步与步之间要相互独立,分步后再计算每一步 的方法数,最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总数.
A.9
B.12
C.8
D.24
思路分析:确定圆的方程需要分别确定出圆心的横坐标、纵坐标及半径,可以用分步乘法计数原理解决.
答案:D
解析:完成表示不同的圆这件事有三步:第1步,确定a有3种不同的选取方法;第2步,确定b有4种不同的选取方
法;第3步,确定r有2种不同的方法.由分步乘法计数原理,方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示不同的圆共有 3×4×2=24(个).
「精品」人教A版高中数学选修2-3课件1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理-精品课件
你能举一些生活中类似 的例子吗?
2019/11/11
一般地,有如下原理 : 分类加法计数原理 完成一件事有两 类不同方案,在第 1 类方案中有 m种不 同方法 ,在第 2类方案中有 n 种不同方 法.那么完成 这件事共有 N m n 种 不同方法. 两类中的方法互不相同.
根据分步乘法计数原理,不同挂法种数是 N 3 2 2019/11/11 6.
6种挂法可以表示如下 :
左边
右边
得到的挂法
甲
乙
左甲右乙
丙
左甲右丙
乙
甲
左乙右甲
丙
左乙右丙
丙
甲
左丙右甲
乙
左丙右乙
2019/11/11
分类加法计数原理和分 步乘法计数原理, 回答的都是 有关做一件事的不同方 法的 种数问题 .区别在于 : 分类加法 计数 原理 针对是 "分类"问题,其中各种方法相互独 立,用其中任何一种方法都 可以做完这件 事;分步乘法计数原理针对 的是 "分步"问 题,各个步骤中的方法互相 依存,只有各个 步骤都完成才算做完这 件事.
Ｕ Ａ ＣＡＵＧＡＧＣ Ａ Ｕ
2019/11/11
分析 用下面的图来表示由 100 个碱基组成的长链,
这时我们有100个位置, 每个位置都可以从 A, C, G,U中
任选一个来占据.
4100
第1位 第2位 第3位
第100位
1.6 1060, 这是一个 非常大的 数.有兴趣 的同学可 以自己查 阅一下R
人教版数学高二A版选修2-3教材梳理 1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理
庖丁巧解牛知识·巧学一、分类加法计数原理完成一件事，有两类不同方案，在第1类方案中有ｍ种不同的方法，在第2类方案中有ｎ种不同的方法，那么完成这件事共有N=ｍ＋ｎ种不同的方法.如果完成一件事有ｎ类不同的方案，在各个方案中又各有ｍ1，ｍ2，ｍ3，…，ｍｎ种不同的方法，那么完成这件事共有M=ｍ1＋ｍ2＋ｍ3＋…＋ｍｎ种不同的方法.解决“分类”问题，用分类加法计数原理，即完成事件通过途径A，就不必再通过途径B 就可以完成.要清楚怎样才算是完成一件事的含义，即知道做“一件事”或叫完成一个“事件”在题目中具体所指的是什么.要点提示分类时,首先要确定一个分类标准,然后在这个标准下进行分类.一般地,分类标准不同，分类的结果也不同.分类的基本要求是：每一种方法必属于某一类，即不漏;任意不同类的两种方法是不同的方法，即不重.二、分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有ｍ种不同的方法，做第2步有ｎ种不同的方法，那么完成这件事共有N=ｍ×ｎ种不同的方法.如果完成一件事情需要ｎ个步骤，在各个步骤中又各有ｍ1，ｍ2，ｍ3，…，ｍn种不同的方法，那么完成这件事共有M=ｍ1×ｍ2×ｍ3×…×ｍn种不同的方法.解决“分步”问题，用分步乘法计数原理，需要分成若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成一件事件，注意各步骤之间的连续性.要清楚怎么才是完成一件事的含义，即知道做“一件事”在所给的题目中需要经过哪几个步骤.要点提示每个题中，标准不同，分步也不同，分步的基本要求是：一是完成一件事，必须且只需连续做完几步，即不漏步也不重步，二是每个步骤的方法之间是无关的，不能互相替代.三、分类加法计数原理和分步乘法计数原理的意义与区别分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数.它们的区别在于：分类加法计数原理是完成一件事要分为若干类，各类相互独立，各类中的各种方法也相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事；分步乘法计数原理是完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，缺少任何一步都不能完成该事件.只有当各个步骤都完成之后，才能完成该事件.因此，分辨清楚完成一件事的方法是分类还是分步，是正确使用这两个计数原理的前提.一般地,若需要同时利用两个原理时,应先分类,再分步.如果从集合的角度去看，会显得更加清楚.1.完成一件事有A、B两类办法，即集合A、B互不相交，在A类办法中有ｍ1种方法，在B类办法中有ｍ2种方法，即card（A）=ｍ1，card（B）=ｍ2，那么完成这件事的不同方法种数是card（A∪B）=card（A）＋card（B）=ｍ1＋ｍ2.这就是当ｎ=2时的分类加法计数原理.2.完成一件事需要分成A、B两个步骤，在实行A步骤时有ｍ1种方法，在实行B步骤时有有ｍ2种方法，即card（A）=ｍ1，card（B）=ｍ2，那么完成这件事的不同方法种数就是card（A·B）=card（A）·card（B）=ｍ1·ｍ2.这就是当ｎ=2时的分步乘法计数原理.当ｎ＞2时可类似得出.问题·探究问题1 随着人民生活水平的提高，“家庭理财”已经成为普通家庭一个关注的问题.王军大学毕业参加工作后，从每月工资中节余一笔钱，他打算从人民币定期储蓄和购买国债两种方式中选择一种来投资.人民币储蓄可以从一年期、二年期两种中选择一种，购买国债则可从一年期、二年期和三年期三种中选择一种.问：王军一共有多少种不同的理财方式？思路:王军共有两类不同形式的选择：第一类，从一年期和二年期两种人民币定期储蓄中任意选择一种投资方法；第二类，从一年期、二年期和三年期三种国债中任意选择一种投资方法.以上任选一种方法都能达到理财的目的，因此，王军的不同选择共有2＋3=5种.探究:分类是指做一件事，完成它可以有几类方案，这是对完成这件事的所有方法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；分类时要注意满足两条基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；二是分属于不同类的方法是不同的方法.问题2 由于王军工资水平逐步提高，他决定把节余的钱分成两笔，其中一笔存入人民币定期储蓄，另一笔用来购买国债，定期储蓄和国债的种类与问题1相同，问：王军共有多少种不同的理财方式？思路:王军要完成定期储蓄和国债这两项投资，理财目标才算完成，所以可以分两步来做.第一步，将一笔钱存入人民币定期储蓄，从一年期和二年期中任意选择一种理财方法；第二步，用另一笔钱购买国债，从一年期、二年期和三年期中选择一种理财方法.对于第一步中的两种储蓄方法中的每一种方法，在第二步中都有不同的购买国债的选择，当这两步选择完成后，理财的任务也就完成了.所以所有的方式共有2×3=6种.探究:这一个问题与问题1不同，问题1是进行了分类，各类方法中任何一种都可以把这件事情完成.而问题2是进行了分步，每一个步骤中的任何一种方法都不能把这件事做完.只有把各个步骤依次全部完成，才能把这件事做完.分步时，首先根据问题的特点确定一个可行的分类标准，其次步骤的设置要满足完成这件事必须连续完成这几个步骤后，这件事才算最终完成.典题·热题例1 （2005湖南高考）设直线的方程是Ax+By=0，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是（）A.20B.19C.18D.16思路分析:从1，2，3，4，5这五个数中取两个不同的数作为A、B的值这一任务的完成，可以分两步进行，第一步取A的值，第二步取B的值.第一步：确定A的值，有5种方法；第二步：确定B的值，有4种方法.但由于当A取1，B取2时与A取2，B取4时，当A 取2，B取1时与A取4，B取2时所对应的直线为同一直线，所以应减少2条.综上，所得的不同直线的条数为5×4-2=18条.答案:C误区警示在此类问题中，容易忽视的是“不同直线”的含义.即在按分步乘法计数原理得出直线条数后，要把重复的直线剔除.例2甲、乙、丙、丁四个好朋友每人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）A.6种目B.9种C.11种D.23种思路分析:思路一：让四人甲、乙、丙、丁依次拿一张别人送出的贺年卡，如果甲先拿有3种取法，此时被甲拿走的那张贺年卡的作者也有3种取法，接下来的两人就各有一种取法（因为此时剩下两张贺年卡中至少有一张是其中一人所写，他就只能取另一张）.由于这是分步完成，用分步计数原理，有3×3×1×1=9种不同的分配方式，故应选B.思路二：设四人甲、乙、丙、丁所写的贺年卡分别是A、B、C、D，当甲拿贺年卡B 时，则乙可以拿A、C、D中任何一张，即乙拿A，丙拿D，丁拿C或乙拿C，丙拿D，丁拿A或乙拿D，丙拿A，丁拿C，所以甲拿B时有三种不同的分配方法.同理甲拿C、D时都各有三种不同的分配方法，这是对A的分类完成.用分类计数原理，共有3＋3＋3=9种分配方式，应选B.答案:B深化升华在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分步”还是“分类”，接着还要搞清楚“分步”或者“分类”的具体标准是什么.因此，我们在解题时，要认真审题，真正弄清问题的条件和结论，同时还要注意分类、分步不能重复，不能遗漏.例3把3封信投到4个邮箱，所有可能的投法共有（）A.24种B.4种C.43种D.34种思路分析:把第一封信投到信箱中有4种投法；把第2封信投到信箱也有4种投法；把第3封信投到信箱也有4种投法.只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种方法.答案:C拓展延伸火车上有10名乘客，要在沿途的5个车站下车，问乘客下车的所有可能情况共有（）A.510种B.105种C.50种D.以上都不对思路分析:同例2类似，完成这件事情可分为10步，即10个乘客全部下车，每个乘客选择下车的不同方法均为5种，由分步乘法计数原理知，所有可能的情况为10个5相乘，即510种.故答案为A.答案:A方法归纳此类问题要注意到每个个体（每封信或每个乘客）的选择方法相互独立，互不影响.完成此事只需每个个体一个个的完成即可.同时要正确理解两个基本的计数原理，在解决相关问题时要优先考虑是否运用这两个基本原理.例4完成下列问题:（1）某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有四班，轮船有3次，问此人的走法可有几种选择？（2）小明要从教学楼的底层上到三层，已知从底层到二层有4个扶梯可走，从二层到三层有2个扶梯可走，问小明从底层到三层的走法共有几种？思路分析:（1）要完成从甲地到乙地，只要选择任一种方式即可，可以利用分类加法计数原理求解;（2）要完成底层到三层，可分两步：从底层到二层和从二层到三层.可能用分步乘法计数原理来解决.解:（1）因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，所以此人的走法可有4＋3=7种.（2）因为从底层到二层的走法有4种，而每一种走法又必须配合着由二层到三层的2种走法中的一种才能到达三层.所以小明从底层到三层的走法共有4×2=8种.深化升华应用分类计数原理与分步计数原理首先要分清“类”与“步”.应用分类计数原理，必须要各类的每一种方法都保证事件的完成；应用分步计数原理，则是各步均是完成事件必须经由的各个彼此独立的“步”.例5从1到200的自然数中，各个数位上都不含有数字8的有多少个数？思路分析:在1到200的自然数中，有个位数、两位数和三位数.可以把这三类数中符合条件的数分别找出.求和即可.解:由题意分三类：第一类：一位数中符合要求的数有8个；第二类：两位数中，十位数字除0和8外有8种选法，而个位数字除8外有9种选法，共有8×9=72个；第三类：三位数中，百位上数字是1的，十位上和个位上的数字均有9种选法，有9×9=81个；而百位上数字是2的就只有200一个数.所以符合条件的自然数的个数为N=8＋8×9＋9×9＋1=162个.深化升华本题是一个混合使用分类加法计数原理和分步乘法计数原理的综合问题.从整体上看需分类完成，用分类加法计数原理，从局部看需分步完成，用分步计数原理，可见使用两个基本原理时要密切配合，不能截然分开.例6用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：（1）银行存折的四位密码;（2）四位数;（3）四位奇数.思路分析:（1）可以分步选取数字，作四位密码的四个位置上的数字，且所取数字不能重复；（2）可以分步选取数字，分别做为千位数字、百位数字、十位数字和个位数字，且所取数字不能重复.与（1）的不同之处是千位数字不能为0；（3）四位奇数的个位只能是1或3，因此符合条件的四位奇数可以分为个位数字是1和个位数字是3的两类，每一类中再分步.要注意千位数字不能取0，且所取数字不能重复.解:（1）完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分为四步：第一步，选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步，选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步，选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步，选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法.由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位密码共有N=5×4×3×2=120个.（2）完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步：第一步，从1,2，3,4中选取一个数字做千位数字，有4种不同的选取方法；第二步，从1,2，3，4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字做百位数字，有4种不同的选取方法；第三步，从剩余的三个数字中选取一个做十位数字，有3种不同的选取方法；第四步，从剩余的两个数字中选取一个数字做个位数字，有2种不同的选取方法.由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位数共有N=4×4×3×2=96个.（3）完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，有两类办法：第一类办法是四位奇数的个位取数字为1，这件事可分三个步骤完成：第一步，从2,3，4中选取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法；第二步，从2,3，4中剩余的两个数字与0共三个数字中选取一个做百位数字，有3种不同的选取方法；第三步，从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种不同的选取方法.利用分步乘法计数原理，第一类中的四位奇数共有N1=3×3×2=18个.第二类办法是四位奇数的个位取数字为3，这件事可分三个步骤完成.利用分步乘法计数原理，第二类中的四位奇数共有N2=3×3×2=18个.最后，由分类加法计数原理知，符合条件的四位奇数共有N=18＋18=36.方法归纳如果完成一件事，可以有几类办法，这几类办法中的任一类办法都能独立的完成这件事，即方法是相互独立且互斥的，此时应用分类计数原理.如果完成一件事，需分成几个步骤进行，必须连续做完每个步骤才能完成这件事，且各个步骤是互相依存、缺一不可的，此时应用分步计数原理.。
数学人教A版选修2-3课堂探究：1.1 分类加法计数原理与
课堂探究探究一分类加法计数原理分类加法计数原理是涉及完成一件事的不同方法的计数种类，每一类中的各种方法都是相互独立的，且每一类中的每一种方法都可以独立地完成这件事，在应用该原理解题时，首先要根据问题的特点，确定好分类的标准．分类时应满足：完成一件事的任何一种方法，必属于某一类且仅属于某一类．【典型例题1】某校高三共有三个班，各班人数如下表.(1)(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？思路分析：(1)从每个班选1名学生任学生会主席都能独立完成这件事，因此应采用分类加法计数原理．(2)完成这件事有三类方案，因此也应采用分类加法计数原理．解：(1)从每个班选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165种不同的选法．(2)从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有3类不同的方案：第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80种不同的选法．规律总结注意分类标准要明确，不能相互交叉或重复，每类办法都能独立地完成这件事．探究二分步乘法计数原理利用分步乘法计数原理解决问题时应注意：(1)按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事．【典型例题2】已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，问：(1)点P可表示平面上多少个不同的点？(2)点P可表示平面上第二象限内多少个不同的点？思路分析：完成“确定点P”这件事，需要依次确定点P的横坐标和纵坐标，应运用分步乘法计数原理求解．解：(1)确定平面上的点P(a，b)，可分两步完成：第一步确定a的值，有6种不同方法；第二步确定b的值，也有6种不同方法．根据分步乘法计数原理，得到点P可表示平面上不同点的个数为6×6＝36.(2)确定平面上第二象限内的点P(a，b)，可分两步完成：第一步确定a的值，由于a＜0，所以有3种不同方法；第二步确定b的值，由b＞0，所以有2种不同方法．由分步乘法计数原理，得到点P可表示平面上第二象限内不同的点的个数为3×2＝6.规律总结利用分步乘法计数原理计数的一般思路：首先考虑这件事要经过哪几个步骤才能完成，然后找出每一步中有多少种不同的方法，最后求其积，但应注意各个步骤是既相互独立又密切相关的，都完成后才能完成整件事．探究三分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用解决此类题的关键在于区分该问题是“分类”还是“分步”．首先要有意识地去区分该问题是“分类”还是“分步”，如果完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任何一种方法都能完成任务，则是分类；而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分事件，且只有依次完成各种情况，才能完成这件事，则是分步．【典型例题3】王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读．(1)若他从这些参考书中带1本去图书馆，有多少种不同的带法？(2)若带外语、数学、物理参考书各1本，有多少种不同的带法？(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？思路分析：解决两个原理的应用问题，首先应明确所需完成的事情是什么，再分析每一种做法完成后，是否完成整件事，从而区分加法原理和乘法原理．解：(1)完成的事情是带1本书，无论带外语书，还是数学书、物理书，事情都可完成，从而确定应用分类加法计数原理，结果为5＋4＋3＝12(种)．(2)完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此应用分步乘法计数原理，结果为5×4×3＝60(种)．(3)选1本外语书和选1本数学书应用分步乘法计数原理，有5×4＝20种选法；同样，选外语书、物理书各1本，有5×3＝15种选法；选数学书、物理书各1本，有4×3＝12种选法；即有三类情况，应用分类加法计数原理，结果为20＋15＋12＝47(种)．规律总结对于两个计数原理的综合应用问题，一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏；分步时要注意步与步之间的连续性，同时应合理设计步骤的顺序，使各步互不干扰，也可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格，使问题的实质直观地显现出来，从而便于我们解题．探究四易错辨析易错点两个基本原理分辨不清【典型例题4】(1)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有()．A．24种B．4种C．43种D．34种(2)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮船有3次，问此人的走法可有________种．错解：(1)每个信箱有三种选择，由分步乘法计数原理可得共有34种方法，选D.(2)因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，根据分步乘法计数原理，可得此人的走法有4×3＝12(种)，故填12.错因分析：解决计数问题的基本策略是合理分类和分步，然后应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理来计算．解决本题易出现的问题是完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错误，对于(1)，选择的标准不同，误认为每个信箱有三种选择，所以可能的投法有34种；对于(2)，易混淆“类”与“步”，误认为到达乙地先坐火车后坐轮船，使用分步乘法计数原理计算．正解：(1)第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法，只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种方法，选C.(2)因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法有4＋3＝7(种)，故填7.。
数学选修2-3人教新课标A版1-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(21张)
血,即要在每种血型的人中依次选出1人后,这件“各选1人去献血”的
事情才能完成,所以用分步乘法计数原理,共有18×10×8×3=4 320
种不同的选法. 答案:C
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典例透析
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1.如何使用分类加法计数原理和分步乘法计数原理 剖析:分类加法计数原理和分步乘法计数原理的根本区别在于: 一个与分类有关,一个与分步有关.区分的主要依据是分类时各类 方法都能独立完成这件事,并且各种方法互不影响;而分步时每一 步都不能独立完成这件事,各个步骤相互依存,步与步之间有连续 性.在应用两个计数原理处理具体问题时,一般要按五个步骤进行: (1)明确完成的这件事是什么; (2)思考如何完成这件事; (3)判断它属于分类还是分步; (4)确定运用哪个计数原理; (5)进行运算.
的共有3人.完成下面两件事:①从中任选1人去献血;②从四种血型
的人中各选1人去献血.不同选法的种数分别是( )
A.4 320,39 B.39,39
C.39,4 320 D.4 320,4 320
解析:①任选1人去献血,即不论选哪种血型的哪个人,这件“任选1
人去献血”的事情都可以完成,所以用分类加法计数原理,共有
分类时要设计好标准,设计好分类方案,防止重复和遗漏;分步时要 注意步与步之间的连续性,同时应合理设计步骤的顺序,使各步互 不干扰.
我们也可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格,使问 题的实质直观地显现出来,从而便于我们解题.
题型一
题型二
题型三
分类加法计数原理的应用 【例1】 某校从高二的四个班中抽出一些同学组成数学课外小组, 其中一、二、三、四班分别抽出了4名、5名、6名、7名同学.若任 选其中一名同学担任组长,有多少种不同的选法?
高中数学 1.1.1分类与分步计数原理课件 新人教A版选修2-3
• 1.如果完成一件事有三类不同方案，在第1 类方案中有m1种不同的方法，在第2类方 案中有m2种不同的方法，在第3类方案中 有m3种不同的方法.那么完成这件事有多少 m1+m2+m3 不同的方法？ • 2.如果完成一件事有n类不同方案，在每一 类中都有若干种不同的方法，那么应当如 何计数呢？ m1+m2+m3+…+mn
例4、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的 体育杂志. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?
N＝4＋3+2＝9
(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种 不同取法?
N＝4 ×3×2＝24
分类加法计数与分步乘法计数原理的区别和联系： 加名，女生24名。现要从中选出男、 女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的 选法？
分析： 选出一组参赛代表，可以分两个步骤。 第1步选男生，第2步选女生。 第2步，从24名女生中选出1人，有24种方法。 根据分步乘法计数原理，共有 32×24＝720种不同的选法。
解： 第1步，从30名男生中选出1人，有30种方法；
3×5×4＝60
练习2、要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2
幅，分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共 有多少种不同的挂法？ 3×2＝6
课堂练习3
如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地 有3条路；从甲地到丙地有4条路可以走，从丙 地到丁地有2条路。从甲地到丁地共有多少种 不同地走法？
甲地
乙地 N1=2×3=6
N2=4×2=8 N= N1+N2 =14
丙地 丁地
练习4.如图,
该电路,从A 到B共有多少 条不同的线 路可通电？
人教版-高中数学选修2-3_1.1_分类加法计数原理与分步乘法计数原理
例2 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2
层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的 体育书． （1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？ （2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种 不同的取法？
例3.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅， 分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共 有多少种不同的挂法？
N m1 m2 mn
种不同的方法.
练习：
1、一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第1种 方法完成，另有4人会用第2种方法完成，从中选出 1人来完成这件工作，不同选法的种数是 . 2、现有高中一年级的学生3名，高中二年级的学 生5名，高中三年级的学生4名.从中任选1人参加 接待外宾的活动，有多少种不同的选法？ 3、用一个大写英文字母或一个阿拉伯数字给教室 里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
例5 核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学 成分，一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的 长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分 所占据.总共有4种不同的碱基，分别用A，C，G，U表示. 在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以 在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设 有一类RNA分子由100个碱基组成，那么能有多少个不同的 RNA分子？
开始
子模块1 18条执行路径
子模块2 45条执行路径
子模块3 28条执行路径
A
子模块4 38条执行路径 子模块5 43条执行路径 结束
7371条
178次
例8 随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有 量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台 了一种汽车牌照组成方法，每一个汽车牌照都必须有3个 不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字 母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现.那么 这种办法共能给多少辆汽车上牌照？ 共能给22 464 000辆汽车上牌照. 用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始 计算之前要进行仔细分析——需要分类还是需要分步。 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”
2013年高二数学(人教A版选修2-3)课件1.1.1《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》
【变式3】 在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2 名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋， 现从这7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多 少种不同的选法？ 解 分四类求解：(1)从3名只会下象棋的学生中选1名参 加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围 棋比赛有3×2＝6种选法； (2)从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时 从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛 有3×2＝6种选法；
方法技巧 分类讨论思想在计数原理中的应用
分类讨论思想是计数原理的重要思想，尤其体现在两 个原理的综合应用上，对于“完成某件事”大多根据实际 进行合理分类．尤其对于涂色问题，因为问题解决稍显复 杂，既能考查两个原理的应用，又能体现分类讨论思想， 倍受命题者的青睐． 【示例】 如图有4个编号为1、2、3、4的小 三角形，要在每一个小三角形中涂上 红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一 种，并且相邻的小三角形颜色不同， 共有多少种不同的涂色方法？
规律方法 分类加法计数原理要求每一类中的各种方法都 是相互独立的，且每一类方法中的每一种方法都可以独立 地完成这件事．在应用该原理解题时，首先要根据问题的 特点，确定好分类的标准．分类时应满足：完成一件事的 任何一种方法，必属于某一类且仅属于某一类．
【变式1】 书架上层放有15本不同的数学书，中层放有16本不 同的语文书，下层放有14本不同的化学书，某人从中取出 一本书，有多少种不同的取法？ 解 要完成“取一本书”这件事有三类不同的取法：第1类， 从上层取一本数学书有15种不同的取法；第2类，从中层 取一本语文书有16种不同方法；第3类，从下层取一本化 学书有14种不同方法．其中任何一种取法都能独立完成取 一本书这件事，故从中取一本书的方法种数为15＋16＋14 ＝45.
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1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理（第一课时）学案一、学习目标1.掌握两个计数原理及其简单运用；2.提高自主学习的习惯和能力，发展合作交流能力；二、自主学习预习课本P2～6，思考并完成以下问题1．什么是分类加法计数原理与分步乘法计数原理？2．分类加法计数原理与分步乘法计数原理有怎样的区别与联系？1．分类加法计数原理2．分步乘法计数原理两个原理的区别 区别一 每类方法都能独立完成这件事．它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就完成任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事 区别二各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是相互依存的，并且既不能重复、也不能遗漏[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( )(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．()(4)在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)√2．某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有()A．1种B．2种C．3种D．4种答案：C3．从10名任课教师，54名同学中，选1人参加元旦文艺演出，共有________种不同的选法．答案：644．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两个袋子里各取一个球，共有_____种不同的取法．答案：48三、合作交流,揭示规律问题1 分类加法计数原理的应用[典例1]在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为__________．[解析](1)法一：根据题意，将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．法二：分析个位数字，可分以下几类：个位是9，则十位可以是1,2,3，…，8中的一个，故共有8个；个位是8，则十位可以是1,2,3，…，7中的一个，故共有7个；同理，个位是7的有6个；……个位是2的有1个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．[答案]36变式练习1 [变条件]若本例条件变为个位数字小于十位数字且为偶数，那么这样的两位数有多少个．解：当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个．当个位数字是6时，十位数字可取7,8,9，共3个．当个位数字是4时，十位数字可取5,6,7,8,9，共5个．同理可知，当个位数字是2时，共7个，当个位数字是0时，共9个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个)．2．[变条件，变设问]用1,2,3这3个数字可以写出没有重复数字的整数________个．解析：分三类：第一类为一位整数，有3个；第二类为两位整数，有12,21,23,32,13,31，共6个；第三类为三位整数，有123,132,231,213,321,312，共6个，∴共写出没有重复数字的整数3＋6＋6＝15个．答案：15归纳总结：利用分类加法计数原理计数时的解题流程问题2 分步乘法计数原理的应用[典例2]从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位数的偶数．[解](1)三位数有三个数位，百位十位个位故可分三个步骤完成：第1步，排个位，从1,2,3,4中选1个数字，有4种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．依据分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24个满足要求的三位数．(2)分三个步骤完成：第1步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法；第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法．故共有2×3×2＝12个三位数的偶数．归纳总结：利用分步乘法计数原理计数时的解题流程变式练习2. 某商店现有甲种型号电视机10台，乙种型号电视机8台，丙种型号电视机12台，从这三种型号的电视机中各选1台检验，有多少种不同的选法？解：从这三种型号的电视机中各选1台检验可分三步完成：第一步，从甲种型号中选1台，有10种不同的选法；第二步，从乙种型号中选1台，有8种不同的选法；第三步，从丙种型号中选1台，有12种不同的选法．根据分步乘法计数原理，不同的选法共有10×8×12＝960种．问题3. 两个计数原理的简单综合应用[典例3]在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现在从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？[解]选参加象棋比赛的学生有两种方法：在只会下象棋的3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选；选参加围棋比赛的学生也有两种选法：在只会下围棋的2人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选．互相搭配，可得四类不同的选法．从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法；从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法；从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛有2×2＝4种选法；2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛有2种选法．∴共有6＋6＋4＋2＝18种选法．所以共有18种不同的选法．归纳总结：利用两个计数原理解题时的三个注意点(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法．(2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树形图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．(3)综合问题一般是先分类再分步．变式练习3. 某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况为多少种？解：分两类：第一类是甲企业有1人发言，有2种情况，另2个发言人来自其余4家企业，有6种情况，根据分步乘法计数原理可得共有2×6＝12(种)情况；另一类是3人全来自其余4家企业，共有4种情况．根据分类加法计数原理可得共有12＋4＝16(种)情况．四、当堂检测1．(a1＋a2)(b1＋b2)(c1＋c2＋c3)完全展开后的项数为()A．9B．12C．18 D．242．如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以从分开不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( )A ．26B ．24C ．20D ．193．4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A ．18B ．38C ．58D ．784．一个礼堂有4个门，若从任一个门进，从任一门出，共有不同走法________种．5．圆周上有2n 个等分点(n 大于2)，任取3个点可得一个三角形，恰为直角三角形的个数为________．6．某校高二共有三个班，各班人数如下表．男生人数 女生人数 总人数 高二(1)班30 20 50 高二(2)班30 30 60 高二(3)班35 20 55(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高二(1)班、(2)班男生中或从高二(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？参考答案1解析：选B 每个括号内各取一项相乘才能得到展开式中的一项，由分步乘法计数原理得，完全展开后的项数为2×2×3＝12．2解析：选D 因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类计数原理，完成从A 向B 传递有四种方法：12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和：3＋4＋6＋6＝19，故选D ．3解析：选D 4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24＝16(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，∴所求概率为1－1＋116＝78． 4解析：从任一门进有4种不同走法，从任一门出也有4种不同走法，故共有不同走法4×4＝16种．答案：165解析：先在圆周上找一点，因为有2n个等分点，所以应有n条直径，不过该点的直径应有n－1条，这n －1条直径都可以与该点形成直角三角形，即一个点可形成n－1个直角三角形，而这样的点有2n个，所以一共可形成2n(n－1)个符合条件的直角三角形．答案：2n(n－1)6解：(1)从每个班选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：第1类，从高二(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；第2类，从高二(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；第3类，从高二(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165种不同的选法．(2)从高二(1)班、(2)班男生或高二(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有3类不同的方案：第1类，从高二(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高二(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第3类，从高二(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从高二(1)班、(2)班男生或高二(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80种不同的选法．。