黑龙江省绥化市三校2014-2015学年度高二上学期期末联考 数学理科试题及答案
2014-2015年黑龙江省绥化市三校联考高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2014-2015学年黑龙江省绥化市三校联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）复数z=的共轭复数是（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．2+i D．2﹣i2．（5分）已知命题p：∃x0∈C，x02+1＜0，则（）A．￢p：∀x∈C，x2+1≤0B．￢p：∀x∈C，x2+1＜0C．￢p：∀x∈C，x2+1≥0D．￢p：∀x∈C，x2+1＞03．（5分）某单位有职工75人，其中青年职工35人，中年职工25人，老年职工15人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本容量为15，则样本中的青年职工人数为（）A．7B．15C．25D．354．（5分）已知一个家庭有两个小孩，则两个孩子都是女孩的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）A．B．m≥1C．m＞1D．m＞26．（5分）下列命题中，假命题是（）A．已知命题p和q，若p∨q为真，p∧q为假，则命题p与q必一真一假B．互为逆否命题的两个命题真假相同C．“事件A与B互斥”是“事件A与B对立”的必要不充分条件D．若f（x）=2x，则f′（x）=x•2x﹣17．（5分）阅读如图的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S的值是（）A．5 049B．5 050C．5 051D．5 0528．（5分）用秦九韶算法求多项式f（x）=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x，当x=3时，v3的值为（）A．27B．86C．262D．7899．（5分）椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：，点A、B是它的两个焦点，当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，经椭圆壁（非椭圆长轴端点）反弹后，回到点A 时，小球经过的最短路程是（）A．20B．18C．16D．以上均有可能10．（5分）函数y=x3﹣3x+k有三个不同的零点，则k的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2）D．[﹣2，2] 11．（5分）设函数f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，g（1）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）12．（5分）已知函数f（x）=e x+x2﹣x，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤k恒成立，则k的取值范围是（）A．[e﹣1，+∞）B．[e，+∞）C．[e+1，+∞）D．[1，+∞）二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数，事件B为出现2点，已知P（A）=，P（B）=，则出现奇数点或2点的概率是．14．（5分）方程x2﹣2ax﹣b2+16=0（a，b∈R），若a∈[0，6]，b∈[0，4]，则方程没有实根的概率为．15．（5分）A={1，2，3}，B={x∈R|x2﹣ax+b=0，a∈A，b∈A}，则A∩B=B的概率是．16．（5分）已知圆C1：（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1与圆C2：x2+y2=1，在下列说法中：①对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有四条公切线；②对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切；③P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为4．④直线l：2（m+3）x+3（m+2）y﹣（2m+5）=0（m∈R）与圆C2一定相交于两个不同的点；其中正确命题的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）数列{a n}满足a n+1=（n∈N*），且a1=0，（Ⅰ）计算a2、a3、a4，并推测a n的表达式；（Ⅱ）请用数学归纳法证明你在（Ⅰ）中的猜想．18．（12分）某校为了了解学生的数学学习情况，以5%的比例随机抽取20位学生，根据他们的期中考试数学成绩作出频率分布直方图如右图所示，其中成绩分组区间是：[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100），（Ⅰ）求图中a的值，并根据频率分布直方图估计该校成绩落在[50，60）中的学生人数；（Ⅱ）从样本中成绩在[50，70）的学生中人任选2人，求这2人的成绩都在[60，70）中的概率．19．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（2，﹣4），（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线l的方程；（Ⅱ）若点B（0，2），求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+bx，其中a、b是实数，（Ⅰ）已知a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求事件A：“f（x）是R上的单调增函数”发生的概率；（Ⅱ）若f（x）是R上的奇函数，且b=﹣4，求f（x）的单调区间与极值．21．（12分）已知椭圆E与双曲线﹣y2=1焦点相同，且过点（2，），（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线AB和直线CD均过原点且互相垂直，若A，B，C，D四点都在椭圆E 上，求四边形ACBD面积S的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=（a+1）lnx+x2﹣x （a∈R），（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）设a＞0，如果对任意x1，x2∈（0，+∞），均有f（x1）﹣f（x2）＞3|x1﹣x2|，求a的取值范围．2014-2015学年黑龙江省绥化市三校联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）复数z=的共轭复数是（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．2+i D．2﹣i【分析】根据复数的运算法则即可得到结论．【解答】解：z===，则复数z=的共轭复数是﹣1﹣i，故选：A．2．（5分）已知命题p：∃x0∈C，x02+1＜0，则（）A．￢p：∀x∈C，x2+1≤0B．￢p：∀x∈C，x2+1＜0C．￢p：∀x∈C，x2+1≥0D．￢p：∀x∈C，x2+1＞0【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：∃x0∈C，x02+1＜0，则￢p：∀x∈C，x2+1≥0．故选：C．3．（5分）某单位有职工75人，其中青年职工35人，中年职工25人，老年职工15人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本容量为15，则样本中的青年职工人数为（）A．7B．15C．25D．35【分析】根据分层抽样方法的特点，各层抽取样本的比例是相同的，从而求出答案．【解答】解：根据分层抽样方法的特点，抽取样本的比例是=，∴应从青年职工中抽取的人数为35×=7．故选：A．4．（5分）已知一个家庭有两个小孩，则两个孩子都是女孩的概率为（）A．B．C．D．【分析】用列举法求得所有的情况共计4种，而两个小孩都是女孩的情况只有一种，由此求得两个小孩都是女孩的概率．【解答】解：两个小孩的性别情况共有：（男，男）、（男，女）、（女，男）、（女，女），总共4种情况，而两个小孩都是女孩的情况只有一种，故两个小孩都是女孩的概率为，故选：A．5．（5分）双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）A．B．m≥1C．m＞1D．m＞2【分析】根据双曲线的标准形式，可以求出a=1，b=，c=．利用离心率e大于建立不等式，解之可得m＞1，最后利用充要条件的定义即可得出正确答案．【解答】解：双曲线，说明m＞0，∴a=1，b=，可得c=，∵离心率e＞等价于⇔m＞1，∴双曲线的离心率大于的充分必要条件是m＞1．故选：C．6．（5分）下列命题中，假命题是（）A．已知命题p和q，若p∨q为真，p∧q为假，则命题p与q必一真一假B．互为逆否命题的两个命题真假相同C．“事件A与B互斥”是“事件A与B对立”的必要不充分条件D．若f（x）=2x，则f′（x）=x•2x﹣1【分析】A，利用真值表可判断A；B，互为逆否命题的两个命题真假性相同可判断B；C，利用：“互斥事件”与“对立事件”之间的关系可判断C；D，求得函数f（x）=2x的导函数为f′（x）=x•2x﹣1，可判断D．【解答】解：A：已知命题p和q，若p∨q为真，p∧q为假，则命题p与q必一真一假，正确；B：互为逆否命题的两个命题真假相同，正确；C：“互斥事件”不一定是“对立事件”（充分性不成立），“对立事件”必是“互斥事件”（必要性成立），所以，“事件A与B互斥”是“事件A与B对立”的必要不充分条件，正确；D：若f（x）=2x，则f′（x）=2x ln2，故D错误．故选：D．7．（5分）阅读如图的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S的值是（）A．5 049B．5 050C．5 051D．5 052【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=1时，满足条件n＜2，退出循环，输出S=100+99+98+97+…+3+2=﹣1=5049．【解答】解：执行程序框图，有n=100S=0不不满足条件n＜2，S=100，n=99不满足条件n＜2，S=100+99，n=98不满足条件n＜2，S=100+99+98，n=97…不满足条件n＜2，S=100+99+98+97+…+3，n=2不满足条件n＜2，S=100+99+98+97+…+3+2，n=1满足条件n＜2，退出循环，输出S=100+99+98+97+…+3+2=﹣1=5049故选：A．8．（5分）用秦九韶算法求多项式f（x）=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x，当x=3时，v3的值为（）A．27B．86C．262D．789【分析】根据秦九韶算法求多项式的规则变化其形式，得出结果即可【解答】解：f（x）=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x=（（（（（7x+6）x+5）x+4）x+3）x+2）x+1）x故v3=（（7x+6）x+5）x+4当x=3时，v3=（（7×3+6）×3+5）×3+4=262故选：C．9．（5分）椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：，点A、B是它的两个焦点，当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，经椭圆壁（非椭圆长轴端点）反弹后，回到点A 时，小球经过的最短路程是（）A．20B．18C．16D．以上均有可能【分析】根据椭圆的光学性质可知，小球从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹到B 点继续前行碰椭圆壁后回到A点，所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和，进而根据椭圆的定义可求得答案．【解答】解：依题意可知小球经两次椭圆壁后反弹后回到A点，根据椭圆的性质可知所走的路程正好是4a=4×4=16故选：C．10．（5分）函数y=x3﹣3x+k有三个不同的零点，则k的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2）D．[﹣2，2]【分析】由题意求导y′=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1）；从而可得（1﹣3+k）（﹣1+3+k）＜0，从而求解．【解答】解：∵y=x3﹣3x+k，∴y′=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1）；故函数y=x3﹣3x+k在x=1与x=﹣1上有极值，故若使函数y=x3﹣3x+k有三个不同的零点，则（1﹣3+k）（﹣1+3+k）＜0，解得，﹣2＜k＜2；故选：B．11．（5分）设函数f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，g（1）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【分析】根据f（x）、g（x）的奇偶性，可得F（x）=f（x）g（x）是奇函数．由题中的不等式可得F（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，结合奇函数性质得在区间（0，+∞）上F（x）也是增函数．最后分x＞0和x＜0加以讨论，并结合F（1）=F（﹣1）=0，可求出不等式f（x）g（x）＜0的解集．【解答】解：令F（x）=f（x）g（x），可得∵f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，∴F（x）=f（x）g（x）是定义在R上的奇函数．又∵当x＜0时F'（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0成立，∴F（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，可得它在区间（0，+∞）上也是增函数．∵g（1）=0可得F（1）=0，∴结合F（x）是奇函数可得F（﹣1）=0，当x＞0时，F（x）=f（x）g（x）＜0即F（x）＜F（1），结合单调性得0＜x＜1；当x＜0时，F（x）=f（x）g（x）＜0即F（x）＜F（﹣1），结合单调性得x＜﹣1．因此，不等式f（x）g（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=e x+x2﹣x，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤k恒成立，则k的取值范围是（）A．[e﹣1，+∞）B．[e，+∞）C．[e+1，+∞）D．[1，+∞）【分析】函数f（x）=e x+x2﹣x对任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤k 恒成立，等价于f（x）=e x+x2﹣x在[﹣1，1]内的最大值与最小值的差小于等于k．【解答】解：∵f（x）=e x+x2﹣x，∴f′（x）=e x+2x﹣1，由f′（x）=e x+2x﹣1=0，得x=0．又f′（x）单调递增，可知f′（x）=0有唯一零点0，∵f（﹣1）=+2，f（1）=e，f（0）=1．∴函数f（x）=e x+x2﹣x在[﹣1，1]内的最大值是e，最小值是1．∴函数f（x）=e x+x2﹣x，对任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1．∵函数f（x）=e x+x2﹣x对任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤k恒成立，∴k≥e﹣1．∴k的取值范围为[e﹣1，+∞）．故选：A．二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数，事件B为出现2点，已知P（A）=，P（B）=，则出现奇数点或2点的概率是．【分析】由题意知抛掷一粒骰子出现奇数和出现2点是互斥事件，又根据两个事件的概率，根据互斥事件的概率之和得到出现奇数点或2点的概率．【解答】解：由题意知抛掷一粒骰子出现奇数和出现2点是互斥事件，∵P（A）=，P（B）=，∴出现奇数点或2点的概率根据互斥事件的概率公式得到P=P（A）+P（B）=+=，故答案为：14．（5分）方程x2﹣2ax﹣b2+16=0（a，b∈R），若a∈[0，6]，b∈[0，4]，则方程没有实根的概率为．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式求出相应的面积即可得到结论．【解答】解：若关于x的一元二次方程x2﹣2ax﹣b2+16=0，则△=4a2﹣4（16﹣b2）＜0，即a2+b2＜16，作出不等式组对应的平面区域如图：则阴影部分的面积S=则由几何概型的概率公式可得方程x2﹣2ax﹣b2+16=0没有实根概率P= 15．（5分）A={1，2，3}，B={x∈R|x2﹣ax+b=0，a∈A，b∈A}，则A∩B=B的概率是．【分析】先列出（a，b）的所有的情况，将a，b的值代入B，判断出符合A∩B=B的所有情况，再利用古典概型的概率公式即可求出概率．【解答】解：由题意可知：（a，b）的所有的情况有（1，1）（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2）（3，3）共有9种情况．当（a，b）=（1，1）时，B={x∈R|x2﹣x+1=0}=∅满足A∩B=B；当（a，b）=（1，2）时，B={x∈R|x2﹣x+2=0}=∅满足A∩B=B；当（a，b）=（1，3）时，B={x∈R|x2﹣x+3=0}=∅满足A∩B=B；当（a，b）=（2，1）时，B={x∈R|x2﹣2x+1=0}={1}满足A∩B=B；当（a，b）=（2，2）时，B={x∈R|x2﹣2x+2=0}=∅满足A∩B=B；当（a，b）=（2，3）时，B={x∈R|x2﹣2x+3=0}=∅满足A∩B=B；当（a，b）=（3，1）时，B={x∈R|x2﹣3x+1=0}不满足A∩B=B；当（a，b）=（3，2）时，B={x∈R|x2﹣3x+2=0}={1，2}满足A∩B=B；当（a，b）=（3，3）时，B={x∈R|x2﹣3x+3=0}=∅满足A∩B=B；综上可知：满足A∩B=B的情况共有8个．故A∩B=B的概率是故答案为：16．（5分）已知圆C1：（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1与圆C2：x2+y2=1，在下列说法中：①对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有四条公切线；②对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切；③P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为4．④直线l：2（m+3）x+3（m+2）y﹣（2m+5）=0（m∈R）与圆C2一定相交于两个不同的点；其中正确命题的序号为②③④．【分析】由题意可得C1（2cosθ，2sinθ），C2（0，0），两圆的半径都是1，根据圆心距d=2，正好等于半径之和，可得两圆相外切，从而得到①不正确、②③正确．再根据直线l经过定点M（，）．而点M在圆C2：x2+y2=1的内部，可得④正确，从而得出结论．【解答】解：由题意可得C1（2cosθ，2sinθ），C2（0，0），两圆的半径都是1，由于圆心距d==2，正好等于半径之和，可得两圆相外切，故对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有三条公切线，圆C1与圆C2始终相切，若P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为4，故①不正确、②③正确．由于直线l：2（m+3）x+3（m+2）y﹣（2m+5）=0（m∈R），即（6x+6y﹣5）+m （2x+3y﹣2）=0，由，求得，故直线l经过定点M（，）．而点M在圆C2：x2+y2=1的内部，故直线l与圆C2一定相交于两个不同的点，故④正确．故答案为：②③④．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）数列{a n}满足a n+1=（n∈N*），且a1=0，（Ⅰ）计算a2、a3、a4，并推测a n的表达式；（Ⅱ）请用数学归纳法证明你在（Ⅰ）中的猜想．【分析】本题先根据题目中递推关系式，由a1=0，求出a2、a3、a4，并推测a n 的表达式，然后用数学归纳法加以证明，得到本题结论．【解答】解：（I）a2=；a3=；a4==，由此猜想a n=（n∈N*）；（II）证明：（数学归纳法）①当n=1时，a1=0，结论成立，②假设n=k（k≥1，且k∈N*）时结论成立，即a k=，=，当n=k+1时，a k+1∴当n=k+1时结论成立，由①②知：对于任意的n∈N*，a恒成立．18．（12分）某校为了了解学生的数学学习情况，以5%的比例随机抽取20位学生，根据他们的期中考试数学成绩作出频率分布直方图如右图所示，其中成绩分组区间是：[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100），（Ⅰ）求图中a的值，并根据频率分布直方图估计该校成绩落在[50，60）中的学生人数；（Ⅱ）从样本中成绩在[50，70）的学生中人任选2人，求这2人的成绩都在[60，70）中的概率．【分析】（I）根据频率和为1，求出a的值，再根据频率、频数与样本容量的关系求出对应的频数；（Ⅱ）求出成绩在[50，60）与[60，70）范围内人数，计算从5人选2人的基本事件数，求出对应的概率即可．【解答】解：（I）由题知组距为10，频率和为1，∴（2a+2a+3a+6a+7a）×10=1，解得a=0.005；…（3分）该校总人数为20÷5%=400，由图知，落在[50，60）的频率为2a×10=0.1，由此估计该范围内的人数为400×0.1=40；（6分）（Ⅱ）记[50，60）范围内的有2人，[60，70）范围内的有3人，从5人选2人共有10种情况，且每种情况等可能出现，其中2人成绩都在[60，70）范围内的有3种情况，∴所求概率为P=．（12分）19．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（2，﹣4），（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线l的方程；（Ⅱ）若点B（0，2），求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出p，即可求抛物线C的方程，并求其准线l的方程；（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，②如果直线l的斜率为0，分别判断是否满足题意，③直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+2，联立直线与抛物线方程，利用△=0求出k，即可得到直线方程．【解答】解：（I）由题抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（2，﹣4），16=4p，解得p=4，抛物线C的方程为y2=8x，其准线l方程为x=﹣2；…（4分）（Ⅱ）由题，①当直线l的斜率不存在时，y轴符合题意，其方程为x=0；②如果直线l的斜率为0，y=2符合题意；③如果直线l的斜率存在且不为0，则设直线l的方程为y=kx+2，由得ky2﹣8y+16=0，由△=64﹣64k=0得k=1，故直线l的方程为y=x+2，即x﹣y+2=0，因此，直线l的方程为x=0或y=2或x﹣y+2=0．（用其他方法解答的请酌情给分）…（12分）20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+bx，其中a、b是实数，（Ⅰ）已知a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求事件A：“f（x）是R上的单调增函数”发生的概率；（Ⅱ）若f（x）是R上的奇函数，且b=﹣4，求f（x）的单调区间与极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，推出基本事件的总数，事件A：“f（x）是R上的单调增函数”的个数，然后求解概率；（Ⅱ）利用（Ⅰ），求出f（x）的表达式，求出函数的导数，通过列表，判断函数的单调性，然后求f（x）的单调区间与极值．【解答】解：（I）当a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}时，等可能发生的基本事件（a，b）共有9个，事件A即f′（x）=x2﹣2ax+b≥0恒成立，即a2≤b，包含5个基本事件，即事件A 发生的概率为；…（6分）（Ⅱ）f（x）=x3﹣4x，f′（x）=x2﹣4，由f′（x）=0可知x=±2，列表如下：所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣2）和（2，+∞），单调递减区间是（﹣2，2），f（x）在x=﹣2处取得极大值；f（x）在x=2处取得极小值．…（12分）21．（12分）已知椭圆E与双曲线﹣y2=1焦点相同，且过点（2，），（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线AB和直线CD均过原点且互相垂直，若A，B，C，D四点都在椭圆E 上，求四边形ACBD面积S的取值范围．【分析】（I）设椭圆方程为，由椭圆与双曲线﹣y2=1有相同的焦点可得c值，由函数图象过点（2，）可解得a，b的值，从而得椭圆E的方程；（II）分两类讨论：①若A，B，C，D为椭圆E的顶点，易求S，②设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），直线AB：y=kx（k≠0），则直线CD：y=﹣，由得（5+9k2）x2=45，可求|AB|，|CD|，由S=|AB||CD|即可求得面积S的取值范围．【解答】解：（I）由题可设椭圆E：（a＞b＞0），其中a2﹣b2=4，，解得a2=9，b2=5，即椭圆E的方程为；…（4分）（II）由题意，分两类讨论：①若A，B，C，D为椭圆E的顶点，则S=6，…（6分）②设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），直线AB：y=kx（k≠0），则直线CD：y=﹣，由得（5+9k2）x2=45，故有|AB|=2，同理，|CD|=2，S=|AB||CD|=6=6=6．∵45k2+≥90，S∈[，6），由①②，四边形ACBD面积S的取值范围是[，6）（用其他方法解答的请酌情给分）…（12分）22．（12分）已知函数f（x）=（a+1）lnx+x2﹣x （a∈R），（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）设a＞0，如果对任意x1，x2∈（0，+∞），均有f（x1）﹣f（x2）＞3|x1﹣x2|，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=1时，求函数的导数即可求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系即可讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）将不等式进行转化，即可得到结论．【解答】解：（I）由题，a=1时，f（1）=0，f′（1）=3，故所求切线方程为3x﹣y ﹣3=0；…（4分）（Ⅱ）f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）=，△=1﹣8（a+1）=﹣8a﹣7，①a时，f（x）在（0，+∞）上为增函数；②﹣1时，f（x）增区间为（0，），（，+∞），减区间为（，）；③a≤﹣1时，f（x）增区间为），（，+∞），减区间为（0，）；（8分）（III）由（II）a＞0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数，不妨设x 1＞x2，则有f（x 1）﹣f（x2）＞3（x1﹣x2），即f（x1）﹣x1＞f（x2）﹣3x2恒成立，故y=f（x）﹣3x在（0，+∞）上为增函数，y′=，即2，解得a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作yxo第21页（共21页）max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
黑龙江省绥化市高二上学期期末数学试卷(理科)
黑龙江省绥化市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）已知函数f（x）=ex ， g（x）= x2+x+1，命题p：∀x≥0，f（x）≥g（x），则（）A . p是假命题，￢p：∃x＜0，f（x）＜g（x）B . p是假命题，￢p：∃x≥0，f（x）＜g（x）C . p是真命题，￢p：∃x＜0，f（x）＜g（x）D . p是真命题，￢p：∃x≥0，f（x）＜g（x）2. （2分）已知双曲线 =1（a＞b＞0）与两条平行直线l1：y=x+a与l2：y=x﹣a相交所得的平行四边形的面积为6b2 ．则双曲线的离心率是（）A .B .C .D . 23. （2分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1D与C1D1所成角的余弦值是（）A .B .C .D .4. （2分）已知的终边在第一象限，则“”是“”（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分与不必要条件5. （2分）到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（）A . 1个B . 4个C . 7个D . 8个6. （2分）(2018·榆林模拟) 设分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .7. （2分）一动圆圆心在抛物线x2=4y上，过点（0，1）且与定直线l相切，则l的方程为（）A . x=1B . x=C . y=﹣1D . y=﹣8. （2分）(2017·西城模拟) 设，是平面上的两个单位向量，• = ．若m∈R，则| +m |的最小值是（）A .B .C .D .9. （2分） (2015高二上·三明期末) 已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C1与双曲线C2共同的焦点，椭圆的一个短轴端点为B，直线F1B与双曲线的一条渐近线平行，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1 ， e2 ，则e1+e2取值范围为（）A . [2，+∞）B . [4，+∞）C . （4，+∞）D . （2，+∞）10. （2分）已知正四面体ABCD的棱长为，则其外接球的体积为（）A . πB . πC . πD . 3π11. （2分）曲线与曲线的（）A . 长轴长相等B . 短轴长相等C . 焦距相等D . 离心率相等12. （2分） (2016高一下·抚顺期末) 一个多边形沿不平行于多边形所在平面的方向平移一段距离可以形成（）A . 棱锥B . 棱柱C . 平面D . 长方体二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·南京期末) 直线y= x﹣2的倾斜角大小为________．14. （1分）一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积V=________15. （1分） (2016高二上·黄浦期中) 设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2 ，则a=________．16. （1分）已知抛物线y=ax2与直线y=kx+1交于两点，其中一点坐标为（1，4），则另一个点的坐标为________三、解答题： (共6题；共50分)17. （5分） (2016高一上·兴国期中) 设命题p：f（x）= 在区间（1，+∞）上是减函数；命题q；x1x2是方程x2﹣ax﹣2=0的两个实根，不等式m2+5m﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数α∈[﹣1，1]恒成立；若￢p∧q为真，试求实数m的取值范围．18. （10分） (2016高二上·绍兴期末) 已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有有两个不同的交点A、B；（2）求弦AB的中点M的轨迹方程．19. （10分）如图，三棱锥S﹣ABC，E，F分别在线段AB，AC上，EF∥BC，△ABC，△SEF均是等边三角形，且平面SEF⊥平面ABC，若BC=4，EF=a，O为EF的中点．（1）求证：BC⊥SA．（2） a为何值时，BE⊥平面SCO．20. （5分）(2019·河南模拟) 已知，抛物线：与抛物线：异于原点的交点为，且抛物线在处的切线与轴交于点，抛物线在点处的切线与轴交于点，与轴交于点 .（Ⅰ）若直线与抛物线交于点，，且，求的值；（Ⅱ）证明：的面积与四边形的面积之比为定值.21. （10分） (2017高二下·保定期末) 如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB=BC=2，CD=SD=1．（1）证明：SD⊥平面SAB（2）求AB与平面SBC所成角的正弦值．22. （10分）(2018·河北模拟) 已知椭圆的左、右焦点分别为 ,离心率为，点在椭圆上，且的面积的最大值为 .（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆交于不同的两点，若在轴上存在点，使得，求点的横坐标的取值范围.参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
2014-2015年黑龙江省绥化市三校联考高二上学期期中数学试卷及参考答案
2014-2015学年黑龙江省绥化市三校联考高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.1．（5分）命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题为（）A．若a＜b，则a+c＜b+c B．若a≤b，则a+c≤b+cC．若a+c＜b+c，则a＜b D．若a+c≤b+c，则a≤b2．（5分）与曲线=1共焦点，而与曲线=1共渐近线的双曲线方程为（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=13．（5分）已知双曲线=1（a＞0）的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x4．（5分）函数f（x）=x2﹣2ax+1在（﹣∞，2]上是单调递减函数的必要不充分条件是（）A．a≥2 B．a=6 C．a≥3 D．a≥05．（5分）过抛物线y2=﹣x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且A、B在直线x=上的射影分别M，N，则∠MFN等于（）A．45°B．60°C．90°D．以上都不对6．（5分）有下列四个命题：①命题“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A． B．C．D．8．（5分）已知动点P（x，y）满足=，则点P的轨迹是（）A．两条相交直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆9．（5分）一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P，直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知点P为抛物线y=x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A 的坐标是（6，），则|PA|+|PM|的最小值是（）A．8 B．C．10 D．11．（5分）若椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点F1、F2，P是这两条曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（）A．4 B．2 C．1 D．12．（5分）已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），若椭圆的离心率为，则|k1|+|k2|的最小值为（）A．1 B．C．D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）过椭圆=1的焦点F的弦中最短弦长是．14．（5分）过抛物线y2=﹣12x的焦点作直线l，直线l交抛物线于，A，B两点，若线段AB中点的横坐标为﹣9，则|AB|=．15．（5分）已知圆C过双曲线﹣=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是．16．（5分）设点P是椭圆=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=3b2的一个交点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应有证明或演算步骤17．（10分）已知半径为5的圆C的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．（1）求圆C的方程；（2）设直线ax﹣y+5=0与圆C相交于A、B两点，求实数a的取值范围．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=4x相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，求•的值；（Ⅱ）在此抛物线上求一点P，使得P到Q（5，0）的距离最小，并求最小值．19．（12分）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上，若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆与直线y=x+m相交于不同的两点M、N，问是否存在实数m使|AM|=|AN|；若存在求出m的值；若不存在说明理由．20．（12分）如图，已知四棱锥S﹣ABCD中，△SAD是边长为a的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，P为AD的中点，Q为SB的中点．（Ⅰ）求证：PQ∥平面SCD；（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣Q的大小．21．（12分）设过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q 与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且．（1）求点P的轨迹M的方程；（2）过F（2，0）的直线与轨迹M交于C，D两点，求•的取值范围．22．（12分）如图，椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点．若直线l绕点F任意转动，值有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，求a的取值范围．2014-2015学年黑龙江省绥化市三校联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.1．（5分）命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题为（）A．若a＜b，则a+c＜b+c B．若a≤b，则a+c≤b+cC．若a+c＜b+c，则a＜b D．若a+c≤b+c，则a≤b【解答】解：把“若a＞b，则a+c＞b+c”看做原命题，它的逆否命题是题设和结论否定并且要交换位置，∴它的逆否命题是：“若a+c≤b+c，则a≤b”，故选：D．2．（5分）与曲线=1共焦点，而与曲线=1共渐近线的双曲线方程为（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=1【解答】解：由题意得，曲线=1是焦点在y轴上的椭圆，且c===5，所以双曲线焦点的坐标是（0、5）、（0，﹣5），因为双曲线与曲线=1共渐近线，所以设双曲线方程为，即，则﹣64λ﹣36λ=25，解得λ=，所以双曲线方程为，故选：A．3．（5分）已知双曲线=1（a＞0）的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：双曲线=1（a＞0）的实轴长2a、虚轴长：2、焦距长2，成等差数列，所以：4=2a+2，解得a=．双曲线=1的渐近线方程为：y=±x．故选：D．4．（5分）函数f（x）=x2﹣2ax+1在（﹣∞，2]上是单调递减函数的必要不充分条件是（）A．a≥2 B．a=6 C．a≥3 D．a≥0【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2ax+1在（﹣∞，2]上是单调递减函数，对称轴x=a∴a≥2，根据充分必要条件的定义可判断：a≥0是必要不充分条件，故选：D．5．（5分）过抛物线y2=﹣x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，且A、B在直线x=上的射影分别M，N，则∠MFN等于（）A．45°B．60°C．90°D．以上都不对【解答】解：根据抛物线的方程可知准线方程为x=，由抛物线的性质有|FA|=|MA|，∴∠AMF=∠AFM，同理∠BFN=∠BNF，∵AM∥x轴∥BN，∴∠MFO=∠AMF∴∠AFO=∠MFO，同理可知∠BFN=∠NFO∴∠MFN=∠MFO+∠NF0=90°故选：C．6．（5分）有下列四个命题：①命题“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据倒数的定义，可得“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题：“若x、y互为倒数，则xy=1”是真命题，①正确；“面积相等的三角形全等”的否命题：“面积不相等的三角形不全等”是真命题，②正确；原命题与逆否命题有相同的真假性，∵方程x2﹣2x+m=0有实根⇔△=4﹣4m≥0⇔m≤1，∴原命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”是假命题，∴③错误；原命题与逆否命题有相同的真假性，∵命题“若A∩B=B，则A⊆B”为假命题，∴④错误．∴真命题的个数是2，故选：B．7．（5分）方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）A． B．C．D．【解答】解：方程mx+ny2=0 即y2=﹣，表示抛物线，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示椭圆或双曲线．当m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，无符合条件的选项．当m和n异号时，抛物线y2=﹣开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|＞|n|＞0）表示双曲线，故选：A．8．（5分）已知动点P（x，y）满足=，则点P的轨迹是（）A．两条相交直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆【解答】解：令f（x）=，则其几何意义为点（x，y）到（1，2）的距离，令g（x）=，其几何意义为（x，y）点到直线y=3x+4y+12的距离，依题意二者相等，即点到点（1，2）的距离与到定直线的距离相等，进而可推断出P的轨迹为抛物线．故选：B．9．（5分）一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P，直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设F2为椭圆的右焦点由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，所以点P是切点，所以PF2=c并且PF1⊥PF2．又因为F 1F2=2c，所以∠PF1F2=30°，所以．根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF2|=2a﹣c．所以2a﹣c=，所以e=．故选：D．10．（5分）已知点P为抛物线y=x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A 的坐标是（6，），则|PA|+|PM|的最小值是（）A．8 B．C．10 D．【解答】解：依题意可知，抛物线y=x2即抛物线2y=x2焦点为（0，），准线方程为y=﹣，只需直接考虑P到准线与P到A点距离之和最小即可，（因为x轴与准线间距离为定值不会影响讨论结果），由于在抛物线中P到准线的距离等于P到焦点的距离，此时问题进一步转化为|PF|+|PA|距离之和最小即可（F为曲线焦点），显然当P、A、F三点共线时|PF|+|PA|距离之和最小，为|FA|，由两点间距离公式得|FA|==10，那么P到A的距离与P到x轴距离之和的最小值为|FA|﹣=故选：B．11．（5分）若椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点F1、F2，P是这两条曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（）A．4 B．2 C．1 D．【解答】解：不妨设P为双曲线右支上的点，由椭圆的定义可得，PF1+PF2=4，由双曲线的定义，可得，PF1﹣PF2=2，解得PF1=2+，PF2=2﹣，F1F2=2，由于（2）2+（2﹣）2=（2）2，则三角形PF1F2为直角三角形，则面积为：=1，故选：C．12．（5分）已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），若椭圆的离心率为，则|k1|+|k2|的最小值为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：设M（t，s），N（t，﹣s），t∈[0，a]，s∈[0，b]，A（﹣a，0），B（a，0），k1=，k2=﹣|k1|+|k2|=||+|﹣|≥2=2当且仅当=﹣，即t=0时等号成立．因为A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，M（t，s），N（t，﹣s），即s=b∴|k1|+|k2|的最小值为，∵椭圆的离心率为，∴，∴a=2b∴|k1|+|k2|的最小值为1故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）过椭圆=1的焦点F的弦中最短弦长是．【解答】解：由题意设F（），过F的弦中垂直于x轴的弦最短；∴x=时，y=；∴最短弦长为．故答案为：．14．（5分）过抛物线y2=﹣12x的焦点作直线l，直线l交抛物线于，A，B两点，若线段AB中点的横坐标为﹣9，则|AB|=24．【解答】解：∵抛物线的方程为y2=﹣12x，∵2p=12，p=6，∵|AB|=x A+x B+p=x A+x B+6，∵若线段AB的中点M的横坐标为﹣9，∴（x A+x B）=﹣9，∴x A+x B=﹣18，∴|AB|=18+6=24．故答案为：2415．（5分）已知圆C过双曲线﹣=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是．【解答】解：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为（4，±）．∴它到中心（0，0）的距离为d==．故答案为：．16．（5分）设点P是椭圆=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=3b2的一个交点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆的离心率为．【解答】解：根据已知条件知P点在y轴右侧；由得，；∵|PF1|+|PF2|=2a，∴由|PF1|=3|PF2|得，；∴，F2（c，0）；∴，整理得：a=2，或a=（舍去）；∴a2=8b2=8a2﹣8c2；∴7a2=8c2；∴．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应有证明或演算步骤17．（10分）已知半径为5的圆C的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．（1）求圆C的方程；（2）设直线ax﹣y+5=0与圆C相交于A、B两点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）设圆心为M（m，0）（m∈Z），∵圆C与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，∴圆心，到直线4x+3y﹣29=0的距离d=r，即=5，即|4m﹣29|=25，∵m为整数，∴m=1，则所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=25；（2）直线ax﹣y+5=0即y=ax+5，代入圆的方程，消去y整理得：（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，∵直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，∴△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，解得：a＜0或a＞，则实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（，+∞）．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2=4x相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，求•的值；（Ⅱ）在此抛物线上求一点P，使得P到Q（5，0）的距离最小，并求最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意：抛物线焦点为（1，0）设l：x=ty+1代入y2=4x消去x得y2﹣4ty﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则y1+y2=4t，y1y2=﹣4∴•=x1x2+y1y2=（ty1+1）（ty2+1）+y1y2=t2y1y2+t（y1+y2）+1+y1y2=﹣4t2+4t2+1﹣4=﹣3．（Ⅱ）设P（x，y），则|PQ|===，∴x=3时，P到Q（5，0）的距离最小，此时，，|PQ|min=4．19．（12分）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上，若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆与直线y=x+m相交于不同的两点M、N，问是否存在实数m使|AM|=|AN|；若存在求出m的值；若不存在说明理由．【解答】解：（Ⅰ）依题意可设椭圆方程为，则右焦点F（）由题设，解得a2=3．故所求椭圆的方程为．（Ⅱ）设P为弦MN的中点，由得4x2+6mx+3m2﹣3=0由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，解得：﹣2＜m＜2．由韦达定理可知：，从而．∴，又|AM|=|AN|，∴AP⊥MN，则，即m=2，因为：﹣2＜m＜2．所以不存在实数m使|AM|=|AN|．20．（12分）如图，已知四棱锥S﹣ABCD中，△SAD是边长为a的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，P为AD的中点，Q为SB的中点．（Ⅰ）求证：PQ∥平面SCD；（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣Q的大小．【解答】证明：（1）证明取SC的中点R，连QR，DR．由题意知：PD∥BC且PD=BC；QR∥BC且QP=BC，∴QR∥PD且QR=PD．∴PQ∥DR，又PQ⊄面SCD，∴PQ∥面SCD．（6分）（2）解：以P为坐标原点，PA为x轴，PB为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，则S（0，0，a），B（0，a，0），C（﹣a，a，0），Q（0，a）．面PBC的法向量为=（0，0，a），设为面PQC的一个法向量，由，cos＜，∴二面角B﹣PC﹣Q的大小为arccos．（12分）21．（12分）设过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q 与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且．（1）求点P的轨迹M的方程；（2）过F（2，0）的直线与轨迹M交于C，D两点，求•的取值范围．【解答】解：（1）∵过点P（x，y）的直线分别与x轴和y轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，∴Q（﹣x，y），设A（a，0），B（0，b），∵O为坐标原点，∴=（x，y﹣b），=（a﹣x，﹣y），=（﹣x，y），，∵且，∴，解得点P的轨迹M的方程为．（2）设过F（2，0）的直线方程为y=kx﹣2k，联立，得（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣3=0，设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），∴=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=（1+k2）（x1﹣2）（x2﹣2）=（1+k2）[x1x2﹣2（x1+x2）+4]=（1+k2）（﹣+4）==+，∴当k2→∞，•的最小值→；当k=0时，•的最大值为1．∴•的取值范围是（，1]．22．（12分）如图，椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点．若直线l绕点F任意转动，值有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，所以，即1=，解得．a2=b2+1=4，因此，椭圆方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（ⅰ）当直线AB与x轴重合时，|OA|2+|OB|2=2a2，|AB|2=4a2（a2＞1），因此，恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2．（ⅱ）当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：，整理得（a2+b2m2）y2+2b2my+b2﹣a2b2=0，所以因为恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，所以∠AOB恒为钝角．即恒成立．x1x2+y1y2=（my1+1）（my2+1）+y1y2=（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+1==．又a2+b2m2＞0，所以﹣m2a2b2+b2﹣a2b2+a2＜0对m∈R恒成立，即a2b2m2＞a2﹣a2b2+b2对m∈R恒成立．当m∈R时，a2b2m2最小值为0，所以a2﹣a2b2+b2＜0．a2＜a2b2﹣b2，a2＜（a2﹣1）b2=b4，因为a＞0，b＞0，所以a＜b2，即a2﹣a﹣1＞0，解得a＞或a＜（舍去），即a＞，综合（i）（ii），a的取值范围为（，+∞）．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
2014-2015年黑龙江省绥化市三校联考高三上学期数学期末试卷(理科)与解析
2014-2015学年黑龙江省绥化市三校联考高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）绥化市三校2014-2015学年度高三第一学期期末联考理科数学120分钟，满分60分WMF图片文件一共有173个；1．（5分）若集合，则M∩N=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1＜x＜3}C．{x|0＜x＜3}D．{x|0＜x＜2} 2．（5分）已知i为虚数单位，复数，则复数z的虚部是（）A．B．C．D．3．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A．22B．23C．24D．254．（5分）下列命题正确的个数是（）①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立⇔（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”．A．1B．2C．3D．45．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=2n﹣1，则此数列的奇数项的前n项和是（）A．B．）C．D．6．（5分）在如图所示的程序框图中，当n∈N*（n＞1）时，函数f n（x）表示函数f n（x）的导函数，若输入函数f1（x）=sinx+cosx，则输出的函数f n（x）﹣1可化为（）A．sin（x﹣）B．﹣sin（x﹣）C．sin（x+）D．﹣sin（x+）7．（5分）若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足=+，则•=（）A．1B．2C．﹣1D．﹣28．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于（）A．B．C．3D．99．（5分）已知（1+x）10=a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…+a10（1﹣x）10，则a8=（）A．﹣180B．180C．45D．﹣4510．（5分）已知球的直径PQ=4，A、B、C是该球球面上的三点，△ABC是正三角形．∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，则棱锥P﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立若a=（20.2）•f（20.2），b=（1n2）•f（1n2），c=（）•f（），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b 12．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（1，1），C（0，1），映射f将xOy平面上的点P（x，y）对应到另一个平面直角坐标系uO'v上的点P'（2xy，x2﹣y2），则当点P沿着折线A﹣B﹣C运动时，在映射f的作用下，动点P'的轨迹是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于．14．（5分）设曲线y=x n+1（n∈N+）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014的值为．15．（5分）已知关于x的方程x2+（a+1）x+a+2b+1=0的两个实根分别为x1，x2，且0＜x1＜1，x2＞1，则的取值范围是．16．（5分）已知R上的不间断函数g（x）满足：①当x＞0时，g'（x）＞0恒成立；②对任意的x∈R都有g（x）=g（﹣x）．又函数f（x）满足：对任意的x ∈R，都有成立，当时，f（x）=x3﹣3x．若关于x 的不等式g[f（x）]≤g（a2﹣a+2）对x∈[﹣3，3]恒成立，则a的取值范围．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知向量=（，﹣1），=（cos，sin），记f（x）=2•sin．（1）若x∈[0，π]，求函数f（x）的值域；（2）设在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（c）=1，且b2=ac，求sinA的值．18．（12分）衡水市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰．若现有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求获得参赛资格的人数；（Ⅱ）根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；（Ⅲ）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，AD=BC=，PC=，AD∥BC，AB=AC，∠BAD=150°，∠PDA=30°．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）在线段PD上是否存在一点F，使直线CF与平面PBC成角正弦值等于？若存在，指出F点位置；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知圆C的方程为x2+y2=4，过点M（2，4）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆T：+=1（a＞b＞0）的右顶点和上顶点．（1）求椭圆T的方程；（2）已知直线l：y=kx+（k＞0）与椭圆相交于P，Q两点，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣kx，（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；（2）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）设函数F（x）=f（x）+f（﹣x），求证：F（1）F（2）…F（n）＞（n∈N*）．四、【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知AB切圆O于点B，BC是圆O的直径，AC交圆O于点D，DE是圆O 的切线，CE⊥DE于E，DE=3，CE=4，求AB的长．五、【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）23．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数），设直线l与曲线C交于A、B两点．（1）求直线l与曲线C的普通方程；（2）设P（2，0），求|PA|•|PB|的值．六、【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．2014-2015学年黑龙江省绥化市三校联考高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）绥化市三校2014-2015学年度高三第一学期期末联考理科数学120分钟，满分60分WMF图片文件一共有173个；1．（5分）若集合，则M∩N=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1＜x＜3}C．{x|0＜x＜3}D．{x|0＜x＜2}【解答】解：M={x|log2（x﹣1）＜1}={x|0＜x﹣1＜2}={x|1＜x＜3}；={x|0＜x＜2}；所以M∩N={x|1＜x＜2}．故选：A．2．（5分）已知i为虚数单位，复数，则复数z的虚部是（）A．B．C．D．【解答】解：∵===+i，故复数z的虚部是，故选：B．3．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A．22B．23C．24D．25【解答】解：∵数列{a n}为等差数列且首项a1=0，公差d≠0，又∵a k=（k﹣1）d=a1+a2+a3+…+a7=7a4=21d故k=22故选：A．4．（5分）下列命题正确的个数是（）①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立⇔（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”．A．1B．2C．3D．4【解答】解：（1）根据特称命题的否定是全称命题，∴（1）正确；（2）f（x）=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax，最小正周期是=π⇒a=±1，∴（2）正确；（3）例a=2时，x2+2x≥2x在x∈[1，2]上恒成立，而（x2+2x）min=3＜2x max=4，∴（3）不正确；（4）∵，当θ=π时，•＜0．∴（4）错误．∴正确的命题是（1）（2）．故选：B．5．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=2n﹣1，则此数列的奇数项的前n项和是（）A．B．）C．D．【解答】解：∵S n=2n﹣1=2（n﹣1）﹣1∴S（n﹣1）∴a n=S n﹣S（n﹣1）=2（n﹣1）而a1=1∴a n=2（n﹣1）设奇数项组成数列{b n}∴b n=22n﹣2∴{b n}是以1为首项，4为公比的等比数列．∴=故选：C．6．（5分）在如图所示的程序框图中，当n∈N*（n＞1）时，函数f n（x）表示函数f n（x）的导函数，若输入函数f1（x）=sinx+cosx，则输出的函数f n（x）﹣1可化为（）A．sin（x﹣）B．﹣sin（x﹣）C．sin（x+）D．﹣sin（x+）【解答】解：由框图可知n=2011时输出结果，由于f1（x）=sinx+cosx，f2（x）=﹣sinx+cosx，f3（x）=﹣sinx﹣cosx，f4（x）=sinx﹣cosx，f5（x）=sinx+cosx，所以f2009（x）=f4（x）=sinx+cosx=sin（x+）．×501+5故选：C．7．（5分）若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足=+，则•=（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【解答】解：平面内一点M满足=+，则||=||=2，=2×cos60°=6，则•=（）•（）=（）•（）=﹣﹣+=﹣×12﹣×12+=﹣2．故选：D．8．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于（）A．B．C．3D．9【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，∴抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其准线的距离为5，根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．∴抛物线y2=16x，∴M（1，±4），∵m＞0，∴取M（1，4），∵双曲线的左顶点为A（﹣，0），∴AM的斜率为，双曲线的渐近线方程是，由已知得，解得a=．故选：A．9．（5分）已知（1+x）10=a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…+a10（1﹣x）10，则a8=（）A．﹣180B．180C．45D．﹣45【解答】解：∵（1+x）10=[2﹣（1﹣x）]10=（﹣1）r210﹣r C10r（1﹣x）r∴其展开式的通项为T r+1令r=8得a8=4C108=180故选：B．10．（5分）已知球的直径PQ=4，A、B、C是该球球面上的三点，△ABC是正三角形．∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，则棱锥P﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：设球心为M，三角形ABC截面小圆的圆心为0，∵ABC是等边三角形，∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°∴P在面ABC的投影O是等边△ABC的重心（此时四心合一）∵PQ是直径，∴∠PCQ=90°．∴PC=4cos30°=2，∴PO=2•cos30°=3．OC=2sin30°=O是等边△ABC的重心∴OC=OH∴等边三角形ABC的高OH=，AC=sin60°=3．=×=．三棱锥P﹣ABC体积=PO•S△ABC故选：B．11．（5分）已知函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立若a=（20.2）•f（20.2），b=（1n2）•f（1n2），c=（）•f（），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b【解答】解：∵函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，∴函数y=f（x）的图象关于y轴对称，是偶函数．令g（x）=xf（x），则当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，∴函数g（x）在x∈（﹣∞，0）单调递减，因此函数g（x）在（0，+∞）上单调递减．∵=2＞20.2＞1＞ln2＞0．∴c＜a＜b．故选：B．12．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（1，1），C（0，1），映射f将xOy平面上的点P（x，y）对应到另一个平面直角坐标系uO'v上的点P'（2xy，x2﹣y2），则当点P沿着折线A﹣B﹣C运动时，在映射f的作用下，动点P'的轨迹是（）A．B．C．D．【解答】解：点P沿着线段AB运动时X=1，Y∈[0，1]此时P'（2xy，x2﹣y2）的坐标为（2y，1﹣y2），消掉参数y后，得到动点P'的轨迹是v=点P沿着线段BC运动时X∈[0，1]，Y=1此时P'（2xy，x2﹣y2）的坐标为（2x，x2﹣1），消掉参数x后，得到动点P'的轨迹是v=故动点P'的轨迹是故选：A．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于64+32．【解答】解：由三视图知：几何体为直三棱柱削去一个三棱锥，如图：其中直棱柱的侧棱长为8，底面为直角三角形，且AB=BC=4，SA=4，SB=4，AC=4∴几何体的表面积S=×4×4+×+×4+×4+8×4=64+32．故答案为：64+32．14．（5分）设曲线y=x n+1（n∈N+）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014的值为﹣1．【解答】解：对y=x n+1（n∈N*）求导，得y′=（n+1）x n，令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1，在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=k（x n﹣1）=（n+1）（x n﹣1），不妨设y=0，，则x1•x2•x3…•x n=×…×=，从而log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014=log2015（x1•x2…x2014）=．故答案为：﹣1．15．（5分）已知关于x的方程x2+（a+1）x+a+2b+1=0的两个实根分别为x1，x2，且0＜x1＜1，x2＞1，则的取值范围是．【解答】解：令f（x）=x2+（a+1）x+a+2b+1，∵关于x的方程x2+（a+1）x+a+2b+1=0的两个实根分别为x1，x2，且0＜x1＜1，x2＞1，∴f（0）＞0，f（1）＜0，∴a+2b+1＞0，1+a+1+a+2b+1＜0，即a+2b+1＞0，2a+2b+3＜0，设，即b=ka，联立，解得P．∴，故答案为：．16．（5分）已知R上的不间断函数g（x）满足：①当x＞0时，g'（x）＞0恒成立；②对任意的x∈R都有g（x）=g（﹣x）．又函数f（x）满足：对任意的x ∈R，都有成立，当时，f（x）=x3﹣3x．若关于x 的不等式g[f（x）]≤g（a2﹣a+2）对x∈[﹣3，3]恒成立，则a的取值范围a≥1或a≤0．．【解答】解：因为函数g（x）满足：当x＞0时，g'（x）＞0恒成立，且对任意x∈R都有g（x）=g（﹣x），∴函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，且有g（|x|）=g（x），∴g[f（x）]≤g（a2﹣a+2）在R上恒成立，∴|f（x）|≤|a2﹣a+2|对x∈[﹣，]恒成立，只要使得定义域内|f（x）|max≤|a2﹣a+2|min，由于当x∈[0，]时，f（x）=x3﹣3x，求导得：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），该函数过点（﹣3，0），（0，0），（3，0），且函数在x=﹣1处取得极大值f（﹣1）=2，在x=1处取得极小值f（1）=﹣2，又由于对任意的x∈R都有f（+x）=﹣f（x），∴f（2+x）=﹣f（+x）=f（x）成立，则函数f（x）为周期函数且周期为T=2，所以函数f（x）在x∈[﹣，]的最大值为2，所以令2≤|a2﹣a+2|解得：a≥1或a≤0．故答案为：a≥1或a≤0．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知向量=（，﹣1），=（cos，sin），记f（x）=2•sin．（1）若x∈[0，π]，求函数f（x）的值域；（2）设在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（c）=1，且b2=ac，求sinA的值．【解答】解：（Ⅰ）=．∵x∈[0，π]，∴，∴，∴0，∴f（x）的值域为[0，1]．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，又C∈（0，π），∴，∴，在Rt△ABC中，∵b2=ac，c2=a2+b2，∴，又c＞a，解得，∴．18．（12分）衡水市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰．若现有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求获得参赛资格的人数；（Ⅱ）根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；（Ⅲ）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望．【解答】解：（I）获得参赛资格的人数m=（0.005+0.0043+0.032）×20×500=125（2分）（II）平均成绩：=（0.26+0.84+1.36+0.5+0.516+0.448）×20=78.48（5分）（III）设甲答对每一道题的概率为．P则（1﹣p）2=，∴p=，∴ξ可能取得值为3，4，5，P（ξ=3）=P3+（1﹣P）3=，P（ξ=4）=+=，P（ξ=5）=1﹣=，∴ξ的分布列为ξ345P．（12分）19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，AD=BC=，PC=，AD∥BC，AB=AC，∠BAD=150°，∠PDA=30°．（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）在线段PD上是否存在一点F，使直线CF与平面PBC成角正弦值等于？若存在，指出F点位置；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：取线段BC中点E，连结AE．因为，∠PDA=30°，所以PA=1．因为AD∥BC，∠BAD=150°所以∠B=30°．又因为AB=AC，所以AE⊥BC，而，所以．因为，所以PC2=PA2+AC2，即PA⊥AC．因为PA⊥AD，且AD，AC⊂平面ABCD，AD∩AC=A，所以PA⊥平面ABCD．（2）解：以A为坐标原点，以AE，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则P（0，0，1），，，．设F（x1，y1，z1），因为点F在线段PD上，设，则（0＜λ≤1）．即，所以．设平面PBC的法向量为，则，所以，所以．因为直线CF与平面PBC成角正弦值等于，所以．所以，即．所以点F是线段PD的中点．20．（12分）已知圆C的方程为x2+y2=4，过点M（2，4）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆T：+=1（a＞b＞0）的右顶点和上顶点．（1）求椭圆T的方程；（2）已知直线l：y=kx+（k＞0）与椭圆相交于P，Q两点，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．【解答】解：（1）由题意：一条切线方程为：x=2，设另一条切线方程为：y﹣4=k （x﹣2）．（2分）则：=2，解得k=，此时切线方程为：y=x+，切线方程与圆方程联立，可得x2+（x+）2=4，从而可得x=﹣，y=，则直线AB的方程为x+2y=2…．（4分）令x=0，解得y=1，∴b=1；令y=0，得x=2，∴a=2故所求椭圆方程为+y2=1．…．（6分）（2）联立，整理得，令P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，，即：2k2﹣1＞0…．．（8分）又原点到直线l的距离为d=，|PQ|=，…．（10分）==∴S△OPQ==2•=2•=2•≤1，当且仅当k=时取等号，∴△OPQ面积的最大值为1．…．（12分）21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣kx，（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；（2）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）设函数F（x）=f（x）+f（﹣x），求证：F（1）F（2）…F（n）＞（n∈N*）．【解答】解：（Ⅰ）由k=e得f（x）=e x﹣ex，所以f'（x）=e x﹣e．由f'（x）＞0得x＞1，故f（x）的单调递增区间是（1，+∞），由f'（x）＜0得x＜1，故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，1）．（Ⅱ）由f（|﹣x|）=f（|x|）可知f（|x|）是偶函数．于是f（|x|）＞0对任意x∈R成立等价于f（x）＞0对任意x≥0成立．由f'（x）=e x﹣k=0得x=lnk．①当k∈（0，1]时，f'（x）=e x﹣k＞1﹣k≥0（x＞0）．此时f（x）在[0，+∞）上单调递增．故f（x）≥f（0）=1＞0，符合题意．②当k∈（1，+∞）时，lnk＞0．当x变化时f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（0，lnk）lnk（lnk，+∞）f′（x）﹣0+f（x）单调递减极小值单调递增由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k﹣klnk．依题意，k﹣klnk＞0，又k＞1，∴1＜k＜e．综合①，②得，实数k的取值范围是0＜k＜e．（Ⅲ）∵F（x）=f（x）+f（﹣x）=e x+e﹣x，∴F（x1）F（x2）=，∴F（1）F（n）＞e n+1+2，F（2）F（n﹣1）＞e n+1+2，F（n）F（1）＞e n+1+2．由此得，[F（1）F（2）F（n）]2=[F（1）F（n）][F（2）F（n﹣1）][F（n）F （1）]＞（e n+1+2）n故，n∈N*．四、【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知AB切圆O于点B，BC是圆O的直径，AC交圆O于点D，DE是圆O的切线，CE⊥DE于E，DE=3，CE=4，求AB的长．【解答】解：连接OD，∵DE是圆O的切线，∴OD⊥DE，又∵CE⊥DE于E，∴OD∥CE，∴∠ECD=∠ODC=∠OCD，∵DE=3，CE=4，∴CD=5，∴tan∠ECD=tan∠ODC=tan∠OCD=，∴cos∠OCD=，故OC==，∴BC=2OC=，故AB=BC•tan∠OCD=五、【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）23．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数），设直线l与曲线C交于A、B两点．（1）求直线l与曲线C的普通方程；（2）设P（2，0），求|PA|•|PB|的值．【解答】解：（1）直线l的方程为x﹣y﹣2=0，曲线C：；（2）将直线l的方程与曲线C联立方程组得，消去y得7x2﹣36x﹣32=0，所以，P（2，0），|PA|•|PB|=|x1﹣2|+|x2﹣2|=|x1﹣x2|===．六、【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）当，∴x＜﹣5当，∴1＜x＜2当x≥2，x+3＞2，x＞﹣1，∴x≥2综上所述{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）由（1）得，若∀x∈R，恒成立，则只需，综上所述．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=函数值的变化情况log0(1)log0(1)log0(01)aaax xx xx x>>==<<<log0(1)log0(1)log0(01)aaax xx xx x<>==><<a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．。
黑龙江省绥化市三校2015届高三上学期期末联考 理科综合能力测试试卷 Word版含答案.pdf
第I卷
一、选择题：本卷共13小题。每小题6分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．叶绿体和线粒体的相同点是
①可利用光学显微镜观察
②水作为生理功能的一种原料
③均增大细胞器内的膜面积
④可通过转录和翻译控制某些蛋白质的合成
⑤产生的ATP可用于各种生命活动
A．①②③⑤? B．①②③④ C．①②④⑤? D．②③④⑤
(5)sp3 （2分） Cl2O (或OF2等合理答案) （2分）
(6)AD（2分）
(7)a3ρNＡ/４（2分）
38. （15分）
（1）CH3CH(CH3)CH3（2分）（2）2—甲基丙烯（2分）
（3）
（2分）
（4）消去反应（2分）
（5）
（3分）
（6）
（4分）
B．256g S8分子中含S-S键为7NA个
C．由1molCH3COONa和少量CH3COOH形成的中性溶液中，CH3COO－数目为NA个
D．1 mol Na与O2完全反应，生成Na2O和Na2O2的混合物，转移电子总数为NA个
11．分子式为C5H12O的醇与和它相对分子质量相同的一元羧酸进行酯化反应，生成的酯共有（不考虑立体异构）
A．干重相等的可溶性糖和油脂，所贮存的能量油脂多于糖
B．种子发育过程中，由于可溶性糖更多地转变为油脂，种子需要的氮增加
C．种子萌发时，油脂酶的活性很高
D．种子萌发时，油脂转变为可溶性糖
4．黄曲霉毒素是毒性极强的致癌物质。有关研究发现它能引起细胞中的核糖体不断从内质网上脱落下来。这一结
比色法
A2C + BC2
I
II
酸化
浓硫酸
△
1-6 BBBDBC
黑龙江省绥化市三校联考2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析
黑龙江省绥化市三校联考2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（每题5份，共60分）1．（5分）已知sinα=，则cos（﹣α）等于（）A．B．﹣C．D．﹣2．（5分）若函数f（x）=sin2x﹣（x∈R），则f（x）是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数3．（5分）已知tanα=3，则=（）A．1B．2C．﹣1 D．﹣24．（5分）△ABC中，=，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设=，=，用，表达=（）A．（）B．（）C．（）D．（）5．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则（）•（）=（）A．﹣3 B．5C．﹣5 D．156．（5分）不是函数y=tan（2x﹣）的对称中心的是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）7．（5分）已知函数f（x）=msinx+cosx（m为常数，且m＜0）的最大值为2，则函数f（x）的单调递减区间为（）（其中k∈Z）A．B．C．D．8．（5分）已知函数①y=sinx+cosx，②y=2sinxcosx，则下列结论正确的是（）A．两个函数的图象均关于点（﹣，0）成中心对称B．①的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移个单位即得②C．两个函数在区间（﹣，）上都是单调递增函数D．两个函数的最小正周期相同9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞），|φ|＜）的部分图象如图示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）10．（5分）已知α，β均为锐角，且3sinα=2sinβ，3cosα+2cosβ=3，则α+2β的值为（）A．B．C．D．π11．（5分）若均α，β为锐角，=（）A．B．C．D．12．（5分）如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余地方种花，BC=a（a为定值），∠ABC=θ，△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，当取得最小值时，角θ的值为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）函数y=lg（1﹣tanx）的定义域是．14．（5分）设a=cos61°•cos127°+cos29°•cos37°，b=，c=，则a，b，c的大小关系（由小到大排列）为．15．（5分）已知P为△ABC所在平面内一点，且满足，则△APB的面积与△APC的面积之比为．16．（5分）下列命题中，正确的是（1）若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量；（2）已知=（sinθ，，=（1，），其中），则；（3）函数f（x）=tan与函数f（x）=是同一函数；（4）tan70°•cos10•（1﹣tan20°）=1．三、解答题（10分+12分+12分+12分+12分+12分）17．（10分）已知单位向量和的夹角为60°，（1）试判断2与的关系并证明；（2）求在方向上的投影．18．（12分）如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60°，点M在AB边上，且AM=AB，则的值是多少？19．（12分）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+cos2x+a的最大值是1，（1）求常数a的值；（2）求使f（x）≥0成立的x的取值集合．20．（12分）已知向量=（sin2x+，sinx），=（cos2x﹣sin2x，2sinx），设函数f（x）=，x∈R．（1）写出f（x）的单调递增区间；（2）若x∈时，g（x）=﹣h（x），求函数g（x）在上的解析式．（3）设（2）中所求得函数g（x），可使不等式g2（x）+4g（x）﹣a≥2x对任意x∈恒成立，求实数a的取值范围．黑龙江省绥化市三校联考2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5份，共60分）1．（5分）已知sinα=，则cos（﹣α）等于（）A．B．﹣C．D．﹣考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用诱导公式cos（﹣α）=sinα即可求得答案．解答：解：∵sinα=，∴cos（﹣α）=sinα=，故选：A．点评：本题考查诱导公式的应用，属于基础题．2．（5分）若函数f（x）=sin2x﹣（x∈R），则f（x）是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数考点：二倍角的余弦．专题：计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：先利用倍角公式化简f（x），然后利用周期公式可求得周期，利用定义可判断奇偶性．解答：解：f（x）=sin2x﹣=﹣=﹣cos2x，最小正周期T=，又f（﹣x）=﹣cos（﹣2x）=﹣cos2x=f（x），∴f（x）为偶函数，故选D．点评：该题考查三角函数的周期性、奇偶性，属基础题，定义是解决相关问题的关键，三角恒等变换是解题基础．3．（5分）已知tanα=3，则=（）A．1B．2C．﹣1 D．﹣2考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：原式分子分母除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：∵tanα=3，∴原式===2．故选：B．点评：此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．4．（5分）△ABC中，=，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设=，=，用，表达=（）A．（）B．（）C．（）D．（）考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：由平行线等分线段定理及中线的定义知，==，由此能求出结果．解答：解：如图，△ABC中，∵==，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，∴=，==，∵=，=，∴=，∴=（）．故选：D．点评：本题考查平面向量的加法法则的应用，是基础题，解题时要注意平行线等分线段定理的灵活运用．5．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则（）•（）=（）A．﹣3 B．5C．﹣5 D．15考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量垂直与数量积的关系、向量共线定理即可得出x，y．再利用数量积运算即可得出．解答：解：∵⊥，∥，∴=2x﹣4=0，﹣4﹣2y=0，解得x=2，y=﹣2．∴=（2，1）+（1，﹣2）=（3，﹣1）．=（2，1）﹣（2，﹣4）=（0，5）．∴（）•（）=0﹣5=﹣5．故选：C．点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量共线定理、数量积运算，属于基础题．6．（5分）不是函数y=tan（2x﹣）的对称中心的是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）考点：正切函数的奇偶性与对称性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由2x﹣=（k∈Z）可求得函数y=tan（2x﹣）的对称中心，再观察后对k赋值即可．解答：解：由2x﹣=（k∈Z）得：x=+（k∈Z），∴函数y=tan（2x﹣）的对称中心为（+，0）（k∈Z），当k=1时，其对称中心为（，0），故选：B．点评：本题考查正切函数的对称性，求得函数y=tan（2x﹣）的对称中心为（+，0）是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．7．（5分）已知函数f（x）=msinx+cosx（m为常数，且m＜0）的最大值为2，则函数f（x）的单调递减区间为（）（其中k∈Z）A．B．C．D．考点：正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：先根据辅助角公式求出函数的最大值，即可求出m，然后根据三角函数的单调性即可求出函数的单调区间．解答：解：根据辅助角公式可知函数f（x）的最大值为，即m2+2=4，∴m2=2，∵m＜0，∴m=﹣，即f（x）=msinx+cosx=sinx+cosx=2cos（x+），由，得，即函数的单调递减区间为，故选：B．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据辅助角公式求出m是解决本题的关键．8．（5分）已知函数①y=sinx+cosx，②y=2sinxcosx，则下列结论正确的是（）A．两个函数的图象均关于点（﹣，0）成中心对称B．①的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移个单位即得②C．两个函数在区间（﹣，）上都是单调递增函数D．两个函数的最小正周期相同考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：①函数解析式利用两角和与差的正弦函数公式化简为一个角的正弦函数；②函数解析式利用二倍角的正弦函数公式化简为一个角的正弦函数，然后分别对各项判断即可．解答：解：①y=sinx+cosx=sin（x+），②y=2sinxcosx=sin2x，A、①中的函数令x+=kπ（k∈Z），解得：x=kπ﹣（k∈Z），故（﹣，0）为函数对称中心；②中的函数令2x=kπ（k∈Z），解得：x=（k∈Z），故（﹣，0）不是函数对称中心，本选项错误；B、①向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的倍，即得②，本选项错误；C、①令﹣+2kπ≤x+≤+2kπ（k∈Z），解得：﹣+2kπ≤x≤+2kπ，故函数在区间（﹣，）上是单调递增函数；②令﹣+2kπ≤2x≤+2kπ（k∈Z），解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，故函数在区间（﹣，）上是单调递增函数，本选项正确；D、①∵ω=1，∴T=2π；②∵ω=2，∴T=π，本选项错误，故选C点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，正弦函数的单调性及周期性，熟练掌握公式是解本题的关键．9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞），|φ|＜）的部分图象如图示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：通过函数的图象求出A，求出函数的周期，利用周期公式求出ω，函数过（），结合φ的范围，求出φ，推出函数的解析式，通过函数图象的平移推出结果．解答：解：由图象知A=1，T=﹣=，T=π⇒ω=2，由sin（2×+φ）=1，|φ|＜得+φ=⇒φ=⇒f（x）=sin（2x+），则图象向右平移个单位后得到的图象解析式为y=sin=sin（2x﹣），故选D．点评：本题考查学生的视图能力，函数的解析式的求法，图象的变换，考查计算能力．10．（5分）已知α，β均为锐角，且3sinα=2sinβ，3cosα+2cosβ=3，则α+2β的值为（）A．B．C．D．π考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：将已知两等式分别平方，左右两边相加求出cos（α+β）的值，再由已知两等式表示出sinβ与cosβ，代入化简得到的式子中求出cosα与cosβ的值，得到cos（α+β）=﹣cosβ，根据α，β均为锐角，化简即可求出α+2β的值．解答：解：由3sinα=2sinβ，得sinβ=sinα，由3cosα+2cosβ=3，得cosβ=﹣cosα，将3sinα﹣2sinβ=0，两边平方得：（3sinα﹣2sinβ）2=0，整理得：9sin2α﹣12sinαsinβ+4sin2β=0①，同理，将3cosα+2cosβ=3，两边平方得：（3cosα+2cosβ）2=9，整理得：9cos2α+12cosαcosβ+4cos2β=9②，两式相加得9sin2α﹣12sinαsinβ+4sin2β+9cos2α+12cosαcosβ+4cos2β=9整理得：13+12（cosαcosβ﹣sinαsinβ）=9，即cosαcosβ﹣sinαsinβ=﹣，即cos（α+β）=﹣，将sinβ=sinα，cosβ=﹣cosα代入得：cosα（﹣cosα）﹣sin2α=﹣，整理得：cosα﹣cos2α﹣（1﹣cos2α）=﹣，解得：cosα=，cosβ=﹣cosα=，即cos（α+β）=﹣cosβ，∵α、β∈（0，），∴α+β∈（0，π），∴cos（α+β）=cos（π﹣β），即α+β=π﹣β，则α+2β=π．故选：D．点评：此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．11．（5分）若均α，β为锐角，=（）A．B．C．D．考点：两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：由题意求出cosα，cos（α+β），利用β=α+β﹣α，通过两角差的余弦函数求出cosβ，即可．解答：解：α，β为锐角，则cosα===；则cos（α+β）=﹣=﹣=﹣，cosβ=cos（α+β﹣α）=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα==．故选B．点评：本题考查两角和与差的三角函数的化简求值，注意角的范围与三角函数值的关系，考查计算能力．12．（5分）如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余地方种花，BC=a（a为定值），∠ABC=θ，△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，当取得最小值时，角θ的值为（）A．B．C．D．考点：三角形中的几何计算；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；解三角形．分析：据题知三角形ABC为直角三角形，根据三角函数分别求出AC和AB，求出三角形ABC的面积S1；设正方形PQRS的边长为x，利用三角函数分别表示出BQ和RC，利用BQ+QR+RC=a列出方程求出x，算出S2；由比值，可设t=sin2θ来化简求出S1与S2的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值即可求出此时的θ．解答：解：在Rt△ABC中，AB=acosθ，AC=asinθ，S1=AB•AC=a2sinθcosθ．设正方形的边长为x则BP=，AP=xcosθ，由BP+AP=AB，得+xcosθ=acosθ，故x=∴S2=x2=（）2=•==+sin2θ+1，令t=sin2θ，因为0＜θ＜，∴0＜2θ＜π，则t=sin2θ∈（0，1]．∴=+t+1=g（t），g′（t）=﹣+＜0，∴函数g（t）在（0，1]上递减，因此当t=1时g（t）有最小值g（t）min=g（1）=，此时sin2θ=1，θ=∴当θ=时，最小，最小值为．故选：B．点评：考查学生会根据实际问题选择合适的函数关系的能力，以及在实际问题中建立三角函数模型的能力．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）函数y=lg（1﹣tanx）的定义域是{x|，k∈Z}．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件建立条件关系即可得到结论．解答：解：要使函数有意义，则1﹣tanx＞0，即tanx＜1，∴，k∈Z，∴函数的定义域为：{x|，k∈Z}，故答案为：{x|，k∈Z}点评：本题主要考查函数定义域的求法，要求掌握常见函数成立的条件，比较基础．14．（5分）设a=cos61°•cos127°+cos29°•cos37°，b=，c=，则a，b，c的大小关系（由小到大排列）为a＜c＜b．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：分别利用三角公式将a，b，c分别化简成同名三角函数，然后根据正弦函数的单调性判断大小即可．解答：解：cos61°•cos127°+cos29°•cos37°=﹣sin29°•sin37°+cos29°•cos37°=cos（37°+29°）=cos66°，即a=cos66°=sin24°，==．∵sin24°＜sin25°＜sin26°，∴a＜c＜b，故答案为：a＜c＜b．点评：本题考查正弦函数的单调性，两角和差的正弦公式，两角和差的正切函数，二倍角的余弦，属于综合知识的运用，考查对知识的熟练掌握，要求熟练掌握相应的公式．15．（5分）已知P为△ABC所在平面内一点，且满足，则△APB的面积与△APC的面积之比为1：2．考点：三角形的面积公式．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，过点P分别作EP∥AC，FP∥AB．由平行四边形AEPF可得S△APE=S△APF．由于满足，可得，，即可得出．解答：解：如图所示，过点P分别作EP∥AC，FP∥AB．由平行四边形AEPF可得S△APE=S△APF．∵满足，∴，，∴△APB的面积与△APC的面积之比为为1：2．故答案为：1：2．点评：本题考查了平行四边形的性质、向量的平行四边形法则、三角形面积之比，属于基础题．16．（5分）下列命题中，正确的是（2）、（4）（1）若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量；（2）已知=（sinθ，，=（1，），其中），则；（3）函数f（x）=tan与函数f（x）=是同一函数；（4）tan70°•cos10•（1﹣tan20°）=1．考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：（1）当=时，则与不一定是共线向量；（2）由），可得sinθ＜0．利用数量积和平方关系=0，可得；（3）利用倍角公式可得：函数f（x）==，其中x≠kπ，k∈Z．对于函数f（x）=tan，再求出其定义域，比较即可得出．（4）利用商数关系、两角和差的正弦余弦公式、倍角公式、诱导公式即可得出．解答：解：（1）当=时，则与不一定是共线向量；（2）∵），∴sinθ＜0．==sinθ+|sinθ|=sinθ﹣sinθ=0，∴，因此正确；（3）函数f（x）===，其中x≠kπ，k∈Z．对于函数f（x）=tan，其中（k∈Z），即x≠2kπ+π．其定义域不同，因此不是同一函数；（4）∵===．tan70°•cos10•（1﹣tan20°）===1，故正确．综上可知：只有（2）（4）正确．故答案为：（2）（4）．点评：本题综合考查了向量的共线定理、数量积运算与垂直的关系、商数关系、两角和差的正弦余弦公式、倍角公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．三、解答题（10分+12分+12分+12分+12分+12分）17．（10分）已知单位向量和的夹角为60°，（1）试判断2与的关系并证明；（2）求在方向上的投影．考点：平面向量数量积的含义与物理意义；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：（1）由（2﹣）与的数量积为0，能证明2﹣与垂直；（2）根据向量向量的数量积以及投影的定义，计算在方向上的投影||cosθ即可．解答：解：（1）2﹣与垂直，证明如下：∵和是单位向量，且夹角为60°，∴（2﹣）•=2•﹣=2×1×1×cos60°﹣12=0，∴2﹣与垂直．（2）设与所成的角为θ，则在方向上的投影为||cosθ=||×====．点评：本题考查了平面向量的数量积以及向量在另一向量上的投影问题，是基础题．18．（12分）如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60°，点M在AB边上，且AM=AB，则的值是多少？考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得，=，代入•═（+）•（+），整理即可．解答：解：∵平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60°，且AM=AB，∴=∴•=（+）•（+）=+•+•+•=12+1×2cos120°+1××2cos120°+×2×2cos0°=1﹣1﹣+=1点评：本题考查了平面向量的数量积的基本运算以及向量的加法问题，是向量知识的基本应用．19．（12分）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+cos2x+a的最大值是1，（1）求常数a的值；（2）求使f（x）≥0成立的x的取值集合．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据两角和的正弦公式进行化简，件即可求常数a的值；（2）根据三角函数的解析式解f（x）≥0即可得到结论．解答：解：（1）f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+cos2x+a===2sin（2x+）+a，∵函数f（x）的最大值为1，∴2+a=1，∴a=﹣1；（2）∵f（x）=2sin（2x+）﹣1，∴由f（x）≥0得2sin（2x+）﹣1≥0，即sin（2x+），∴，即，即x的取值集合{x|kπ≤x≤+kπ，k∈Z，}点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，以及两角和的三角公式，要求熟练掌握相应的公式，考查学生的计算能力．20．（12分）已知向量=（sin2x+，sinx），=（cos2x﹣sin2x，2sinx），设函数f（x）=，x∈R．（1）写出f（x）的单调递增区间；（2）若x∈∴f（x）==cos2x﹣sin2x+2sin2x=1﹣cos2x﹣sin2x=1﹣sin（2x+），由正弦函数性质可知，f（x）的单调递增区间为．（2）由（1）知，f（x）=1﹣sin（2x+），在x∈=cos（α+β）cos（α+β）+sin（α+β）sin（α﹣β）=﹣1，∴．∴=．点评：本题考查向量数量积运算，三角恒等变换公式，三角函数性质等知识的综合应用，属于中档题．21．（12分）已知函数，点A、B分别是函数y=f（x）图象上的最高点和最低点．（1）求点A、B的坐标以及的值；（2）设点A、B分别在角α、β的终边上，求tan（α﹣2β）的值．考点：两角和与差的正切函数；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据x的范围以及正弦函数的定义域和值域，求得，由此求得图象上的最高顶、最低点的坐标及的值．（2）由点A（1，2）、B（5，﹣1）分别在角α、β的终边上，求得tanα、tanβ的值，从而利用二倍角公式求得tan2β的值，再利用两角和的正切公式求得tan（α﹣2β）的值．解答：解：（1）∵0≤x≤5，∴，…（1分）∴．…（2分）当，即x=1时，，f（x）取得最大值2；当，即x=5时，，f（x）取得最小值﹣1．因此，点A、B的坐标分别是A（1，2）、B（5，﹣1）．…（4分）∴．…（6分）（2）∵点A（1，2）、B（5，﹣1）分别在角α、β的终边上，∴tanα=2，，…（8分）∵，…（10分）∴．…（12分）点评：本小题主要考查了三角函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）的图象与性质，三角恒等变换，以及平面向量的数量积等基础知识，考查了简单的数学运算能力，属于中档题．22．（12分）已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（，3）．若函数f（x）=2sinα•cos2ωx+4cosα•sinωx•cosωx的图象关于直线x=对称，其中ω为常数，且ω∈（0，1）．（1）求f（x）的表达式及其最小正周期；（2）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）的图象，设函数g（x）对任意x∈R，有g（x+）=g（x），且当x∈时，g（x）=﹣h（x），求函数g（x）在上的解析式．（3）设（2）中所求得函数g（x），可使不等式g2（x）+4g（x）﹣a≥2x对任意x∈恒成立，求实数a的取值范围．考点：三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）依题意，可求得f（x）=2sin（2ωx+），y=f（x）的图象关于直线x=对称⇒f（0）=f（π）⇒sin（2πω+）=，而ω∈（0，1），可求得ω=，从而可得f（x）的表达式及其最小正周期；（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求得h（x）=2sin（2x﹣），易知g（x）是以为周期的函数，从而由当x∈时，g（x）=﹣h（x），即可求得函数g（x）在上的解析式；（3）令h（x）=2x，不等式g2（x）+4g（x）﹣a≥2x对任意x∈恒成立⇔g2（x）+4g（x）﹣a≥h（x）max=h （0）=1恒成立，转化为a≤g2（x）+4g（x）﹣1（g（x）∈）恒成立，从而可求得实数a的取值范围．解答：解：（1）依题意知，sinα==，cosα=，∴f（x）=2sinα•cos2ωx+4cosα•sinωx•cosωx=cos2ωx+sin2ωx=2（cos2ωx+sin2ωx）=2sin（2ωx+），又y=f（x）的图象关于直线x=对称，∴f（0）=f（π），即2×=2sin（2πω+），∴sin（2πω+）=，∵ω∈（0，1），∴＜2πω+＜，∴2πω+=，解得：ω=，∴f（x）=2sin（x+），T=6π；（2）将f（x）=2sin（x+）图象上各点的横坐标变为原来的，得到y=2sin（2x+）的图象，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）=2sin=2sin（2x﹣），∵函数g（x）对任意x∈R，有g（x+）=g（x），∴g（x）是以为周期的函数，又当x∈时，g（x）=﹣h（x）=﹣2sin（2x﹣），∴当x∈时，x+∈，g（x）=g（x+）=﹣2sin=﹣2sin（2x+）；当x∈∈时，x+π∈，g（x）=g（x+π）=﹣2sin=﹣2sin（2x﹣），∴g（x）=；（3）令h（x）=2x，则h（x）=2x为增函数，∴当x∈时，h（x）max=h（0）=1，∴不等式g2（x）+4g（x）﹣a≥2x对任意x∈恒成立⇔g2（x）+4g（x）﹣a≥h（x）max=h（0）=1恒成立，∴a≤g2（x）+4g（x）﹣1．∵当x∈时，g（x）=﹣2sin（2x+），由2x+∈知，≤2sin（2x+）≤2，﹣≤﹣2sin（2x+）≤﹣，即x∈时，g（x）=﹣2sin（2x+）∈，令t=g（x）=﹣2sin（2x+），则t∈，∴a≤g2（x）+4g（x）﹣1转化为：a≤t2+4t﹣1=（t+2）2﹣5（t∈）恒成立；令k（t）=（t+2）2﹣5（t∈），则k（t）=（t+2）2﹣5在区间上单调递增，∴k（t）min=k（﹣）=﹣．∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣]．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查函数的周期性与单调性，考查函数解析式的确定与函数恒成立问题，考查抽象思维与综合应用能力，属于难题．。
黑龙江省2015—2016学年高二上学期期末试题 数学(理)含答案
2015～2016学年度上学期期末考试高二数学（理科）试题一、选择题：（每题5分，共12题，满分60分。
每题只有一个正确答案） 1、命题“00,30xx R ∃∈≤”的否定是（ ）A. 00,30xx R ∃∈≥ B.,30x x R ∀∈> C. 00,30xx R ∃∈> D. ,30x x R ∀∈≤ 2、设某中学的女生体重y （kg ）与身高x （cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数(),i i x y ()1,2,3,,i n = ，用最小二乘法建立的线性回归直线方程为ˆ0.8585.71yx =-，给出下列结论，则错误的是（ ） A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．若该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgC ．回归直线至少经过样本数据(),i i x y ()1,2,3,,i n = 中的一个D ．回归直线一定过样本点的中心点(,)x y3、如图是2014年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的众数和中位数分别为（ ）A ．84,，84B ．84，85C ．85，84D ．85, 854、要从已编号（1至360）的360件产品中随机抽取30件进行检验，用系统抽样的方法抽出样本，若在抽出的样本中有一个编号为105，则在抽出的样本中最大的编号为（ ） A ．355 B ．356 C ．357 D ．3585、已知一组数据12345,,,,x x x x x 的平均数是2x =，方差是13，那么另一组数据1234532,32,32,32,32x x x x x -----的平均数和方差分别是（ ）A ．12,3B ．2,1C ．14,3D ．4,36、通常在一个数字右下角加注角标()k 说明该数字是k 进制数．若()(2)211001k =，则()22222k 换算成10进制数为（ ）A.862B.682C.1024D.10237、已知真命题""a b c d ≥⇒>和""a b e f <⇔≤,则""c d ≤是""e f ≤的( )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要条件 D.既不充分也不必要8、在30的展开式中，x 的幂指数是整数的共有（ ） A ．4项 B ．5项 C ．6项 D ．7项10、从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则()P B A =（ ）A ．18 B ．14 C ．25 D ．1211、某班在5男生4女生中选择4人参加演讲比赛，选中的4人中有男生有女生，且男生甲和女生乙最少选中一人，则不同的选择方法有（ ）种 A ．91 B 、90 C ．89 D 、8612、有10本不同的书紧贴着依次立放在书架上，摆成上层3本下层7本，现要从下层7本中任取2本再随机分别调整到上层，若其他书本的相对顺序不变，则上层新增的2本书不相邻的概率为（ ） A ．35 B ．310C ．12D ．25 二、填空题：（每题5分，共4题，计20分.）13、已知多项式函数5432()254367f x x x x x x =--+-+，当5x =时由秦九韶算法知012,2555,v v ==⨯-=则3v ＝ ．14、设8877108)1(x a x a x a a x ++++=- ，则178a a a +++= ．15、一个三角形的三边长分别是5，5，6,一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是 ．16、5个男生5个女生共10个同学排成一排，男生甲与男生乙之间有且只有2位女生，女生不能排在队伍的两端，则有 种排法. 三、解答题：（本大题共6个小题，满分70分。
黑龙江省绥化市三校2014-2015学年度高二上学期期末联考 数学理科试题 Word版含答案
绥化市三校2014-2015学年度第一学期期末联考高二数学理科试题试卷说明：1、本试卷满分150分，答题时间120分钟。
2、请将答案直接填涂在答题卡上，考试结束只交答题卡。
第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1．复数z ＝－3＋i2＋i的共轭复数是( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．2＋iD ．2－i 2．已知命题p ：∃x 0∈C ，x 20＋1<0，则 ( ) A ．¬p ：∀x ∈C ，x 2＋1≤0 B ．¬p ：∀x ∈C ，x 2＋1<0 C ．¬p ：∀x ∈C ，x 2＋1≥0D ．¬p ：∀x ∈C ，x 2＋1>03．某单位有职工75人，其中青年职工35人，中年职工25人，老年职工15人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本容量为15，则样本中的青年职工人数为 ( )A ．7B ．15C ．25D ．35 4．已知一个家庭有两个小孩，则两个孩子都是女孩的概率为( ) A ．14 B ．13 C ．12 D ．235．双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m >12 B ．m ≥1 C ．m >1 D ．m >26．下列命题中，假命题．．．是( ) A ．若命题p 和q 满足p ∨q 为真，p ∧q 为假，，则命题p 与q 必一真一假 B ．互为逆否命题的两个命题真假相同C ．“事件A 与B 互斥”是“事件A 与B 对立”的必要不充分条件D ．若f (x ) =2x ，则f ′(x )＝x ·2x －17．阅读右面的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是( )A ．5 049B ．5 050C ．5 051D ．5 0528．用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 的值，当x ＝3时，v 3的值为( )A ．789B ．262C ．86D ．279．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点。
黑龙江省绥化市三校2015届高三数学上学期期末联考试卷 理
绥化市三校2014-2015学年度高三第一学期期末联考理 科 数 学本试卷分为第I 卷和第2卷两局部，共2页。
考试时间120分钟，总分为150分。
须知事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第l 卷每一小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．3、第2卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4． 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第1卷〔选择题：共60分〕一、选择题〔此题共12小题，每题5分，共60分〕 1.假设集合211{|log (1)1},{|()1}42x M x x N x =-<=<<，如此=N M 〔 〕 A.}21|{<<x x B.}31|{<<x x C. }30|{<<x x D.}20|{<<x x 2．i 为虚数单位，复数iiz -+=121，如此复数z 的虚部是 〔 〕 A.23i B . 23 C. i 21- D. 21- 3．在等差数列{}n a 中,首项01=a ,公差,0≠d 假设7321a a a a a k ++++= ,如此k = A. 22 B. 23 C . 24 D. 25 〔 〕 4. 如下共有四个命题:〔1〕命题“020031,x x R x >+∈∃〞的否认是“x x R x 31,2≤+∈∀〞；〔2〕“函数ax ax x f 22sin cos )(-=的最小正周期为π〞是1=a 的必要不充分条件； 〔3〕“ax x x ≥+22在]2,1[∈x 上恒成立〞⇔“max min 2)()2(ax x x ≥+在]2,1[∈x 上恒成立〞；〔4〕“平面向量a 与b 的夹角是钝角〞的充分必要条件是“0<⋅b a 〞其中命题正确的个数为 〔 〕A. 1B. 2 C . 3 D. 45．在数列{}n a 的前n 项和=21n n S -，如此此数列的奇数项的 前n 项和是 〔 〕A.11(21)3n +- B . 11(22)3n +- C.21(21)3n - D.21(22)3n - 6．在右程序框图中, 当()1>∈+n N n 时，函数()x f n 表示函 数()x f n 1-的导函数. 假设输入函数()x x x f cos sin 1+=， 如此输出的函数()x f n 可化为 〔 〕 A.⎪⎭⎫⎝⎛-4sin 2πxB. ⎪⎭⎫ ⎝⎛--4sin 2πx C. ⎪⎭⎫⎝⎛+4sin 2πx D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4sin 2πx 7．假设等边ABC ∆的边长为32，平面内一点M 满足：CM +=,=⋅MB MA A. -1 B . -2 C . 2 D. 3 〔 〕8．抛物线)0(22>=p px y 上一点()m M ,1()0>m 到其焦点的距离为5，双曲线122=-y ax 的左顶点为A ，假设双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，如此实数=a A.91 B.41C . 31 D. 21〔 〕 9．()()()()10102210101111x a x a x a a x -+-+-+=+ ，如此=8a 〔 〕A.-180 B . 180 C .45 D. -4510．球O 的直径4=PQ ,C B A ,,是球O 球面上的三点，ABC ∆是正三角形，且30=∠=∠=∠CPQ BPQ APQ ,如此三棱锥ABC P -的体积为 〔 〕A.433 B .439 C .233 D. 4327 11．函数()1-=x f y 的图像关于直线1=x 对称，且当()0,∞-∈x 时，)(x f +x '()f x <0成立 ，假设()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===41log 41log ,2ln 2ln ,2221212.02.0f c f b f a ，如此c b a ,, 的大小关系是 〔 〕 A. c b a >> B. b c a >> C. b a c >> D. c a b >> 12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，()()()1,0,1,1,0,1C B A ,映射f将xOy 平面上的点()y x P ,对应到另一个平面直角坐标系'uO v上的点()22·,2y x xy P -，如此当点P 沿着折线C B A --运动时， 在映射f 的作用下，动点'P 的轨迹是〔 〕第II 卷〔非选择题，共90分〕二、填空题〔此题共4小题，每题5分，共20分〕 13．某几何体的三视图如下列图， 如此该几何体的外表积等于14．设曲线)(*1N n xy n ∈=+在点()1,1处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，如此201512015220152014log log log x x x +++的值为15．关于x 的方程()01212=+++++b a x a x 的两个实根分别为21,x x ，且1,1021><<x x ，如此ab的取值范围是16．R 上的不连续函数()g x 满足：〔1〕当0x >时，'()0g x >恒成立；〔2〕对任意的x R ∈都有()()g x g x =-。
黑龙江省绥化市三校2015届高三上学期期末联考理科数学试题Word版含答案
绥化市三校2014-2015学年度高三第一学期期末联考理科数学本试卷分为第I卷和第Ⅱ卷两部分，共2页。
考试时间120分钟，满分150分。
注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第l卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．3、第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）1.若集合，则（）A.B.C. D.2．已知为虚数单位，复数，则复数的虚部是（）A. B . C. D.3．在等差数列中,首项,公差若,则=A. 22B. 23 C . 24 D. 25 （）4.下列共有四个命题:（1）命题“”的否定是“”；（2）“函数的最小正周期为”是的必要不充分条件；（3）“在上恒成立”“在上恒成立”；（4）“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”其中命题正确的个数为（）A. 1B. 2 C . 3 D. 45．在已知数列的前项和，则此数列的奇数项的前项和是（）A. B . C. D.6．在右程序框图中, 当时，函数表示函数的导函数. 若输入函数，则输出的函数可化为（）A. B.C. D.7．若等边的边长为，平面内一点满足：,DBA. -1 B . -2 C . 2 D. 3 （ ） 8．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数 A. B. C . D. （ ） 9．已知，则 （ ）A.-180 B . 180 C .45 D. -4510．已知球的直径,是球球面上的三点，是正三角形，且,则三棱锥的体积为 （ ）A. B . C . D. 11．已知函数的图像关于直线对称，且当时， + <0成立 ，若，则 的大小关系是 （ ） A. B. C. D. 12．如图，在平面直角坐标系中，,映射将平面上的点对应到另一个平面直角坐标系 上的点，则当点沿着折线运动时， 在是（ ）第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分） 13．已知某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的表面积等于14．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则的值为15．已知关于的方程的两个实根分别为，且，则的取值范围是16．已知R 上的不间断函数满足：（1）当时，恒成立；（2）对任意的都有。
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绥化市三校2014-2015学年度第一学期期末联考高二数学理科试题试卷说明：1、本试卷满分150分，答题时间120分钟。
2、请将答案直接填涂在答题卡上，考试结束只交答题卡。
第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1．复数z ＝－3＋i2＋i的共轭复数是( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．2＋iD ．2－i 2．已知命题p ：∃x 0∈C ，x 20＋1<0，则 ( ) A ．¬p ：∀x ∈C ，x 2＋1≤0 B ．¬p ：∀x ∈C ，x 2＋1<0 C ．¬p ：∀x ∈C ，x 2＋1≥0D ．¬p ：∀x ∈C ，x 2＋1>03．某单位有职工75人，其中青年职工35人，中年职工25人，老年职工15人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本容量为15，则样本中的青年职工人数为 ( )A ．7B ．15C ．25D ．35 4．已知一个家庭有两个小孩，则两个孩子都是女孩的概率为( ) A ．14 B ．13 C ．12 D ．235．双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m >12 B ．m ≥1 C ．m >1 D ．m >26．下列命题中，假命题．．．是( ) A ．若命题p 和q 满足p ∨q 为真，p ∧q 为假，，则命题p 与q 必一真一假 B ．互为逆否命题的两个命题真假相同C ．“事件A 与B 互斥”是“事件A 与B 对立”的必要不充分条件D ．若f (x ) =2x ，则f ′(x )＝x ·2x －17．阅读右面的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是( )A ．5 049B ．5 050C ．5 051D ．5 0528．用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x 的值，当x ＝3时，v 3的值为( )A ．789B ．262C ．86D ．279．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点。
现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：x 216＋y 29＝1，点A 、B 是它的两个焦点，当静止的小球放在A 点处，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A 时，小球经过的路程可能是( )A ．2(4－7)B ．2(4＋7)C ．16D ．以上均有可能 10．函数y ＝x 3－3x ＋k 有三个不同的零点，则k 的取值范围是( )A ． (2，＋∞)B ．(－2，2)C ．(－∞，－,2)D ．[－2，2] 11．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (3)＝0，则不等式f (x )g (x )>0的解集是( )A ．(－∞，－3)∪(0,3)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ． (－3,0)∪(3，＋∞)12．已知函数,)(2x x e x f x -+=若对任意12,[2,2]x x ∈-，k x f x f ≤-)()(21恒成立，则k 的取值范围是（ ）A ．2[1,)e -+∞B ．2[,)e +∞C ．2[1,)e ++∞ D ．),1[+∞第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13、抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知61)(,21)(==B P A P ，则出现奇数点或2点的概率为________． 14、方程),(016222R b a b ax x ∈=+--，若]4,0[],6,0[∈∈b a ，则方程没有实根的概率为15、已知{}{}A b A a b ax x R xB A ∈∈=+-∈==,,0,3,2,12，则B B A = 的概率是 16、已知圆1)sin 2()cos 2(:221=-+-θθy x C 与圆1:222=+y x C ，在下列说法中：①对于任意的θ，圆1C 与圆2C 始终有四条公切线； ②对于任意的θ，圆1C 与圆2C 始终相切；③Q P ,分别为圆1C 与圆2C 上的动点，则||PQ 的最大值为4．④直线)(0)52()2(3)3(2:R m m y m x m l ∈=+-+++与圆2C 一定相交于两个不同的点；其中正确命题的序号为_________________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)数列{a n }满足112n na a +=- (n ∈N *)，且10a =， (I)计算a 2、a 3、a 4，并推测a n 的表达式；(II) 请用数学归纳法证明你在(I)中的猜想。
18（本小题满分12分）某校为了了解学生的数学学习情况，以5%的比例随机抽取20位学生,根据他们的期中考试数学成绩作出频率分布直方图如右图所示,其中成绩分组区间是：[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100，(I) 求图中a 的值，并根据频率分布直方图估计该校成绩落在[50,60)中的学生人数； (II) 从样本中成绩在[50,70)的学生中人任选2人，求这2人的成绩都在[60,70)中的概率。
19（本小题满分12分）已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (2，－4)，(I)求抛物线C 的方程，并求其准线l 的方程；(II)若点B (0,2)，求过点B 且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线l 的方程。
20（本小题满分12分）已知函数f (x )＝13x 3－ax 2＋bx ，其中a 、b 是实数，(I)已知a ∈{0,1,2}，b ∈{0,1,2}，求事件A ：“f (x )是R 上的单调增函数”发生的概率； (II)若f (x )是R 上的奇函数，且b ＝－4, 求f (x )的单调区间与极值。
已知椭圆E 与双曲线2213x y -=焦点相同，且过点5(2,)3，(I) 求椭圆E 的方程；(II) 直线AB 和直线CD 均过原点且互相垂直，若,,,A B C D 四点都在椭圆E 上，求四边形ACBD 面积S 的取值范围。
22（本小题满分12分）已知函数f (x )=(a ＋1)ln x ＋x 2－x ()a R ∈，(I)当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； (II) 讨论函数)(x f 的单调性；(III) 设0a >,如果对任意),0(,21+∞∈x x ,均有1212()()3f x f x x x ->-，求a 的取值范围。
高二数学理科试题答案一、选择题： 1-5 BCAAC 6-10 DABDB 11-12 DC 二、填空题17．解 (I) a 2＝11122a =-; a 3＝21223a =-; a 4＝31324a =-,由此猜想a n ＝1n n - (n ∈N *) …5分(II)证明：①当n ＝1时，a 1＝0，结论成立， ②假设n ＝k (k ≥1,且k ∈N *)时结论成立,即a k ＝1k k-,当n ＝k ＋1时,a k ＋1＝11(1)11212k k k a k k+-==--+- ∴当n ＝k ＋1时结论成立，由①②，对于一切的正整数n ∈N *，a n ＝1n n-成立 …………10分18．解： (I)由题可知组距为10， (2a ＋2a ＋3a ＋6a ＋7a )×10＝1，解得a ＝0.005 …………3分该校总人数为400，由图,知落在[50,60)的频率为2a ×10＝0.1，由此估计该范围内的人数为40 …6分(II)记[50,60)范围内的有2人，[60,70)范围内的有3人，从5人选2人共有10种情况，且每种情况等可能出现，其中2人成绩都在[60,70)范围内的有3种情况，因此所求概率为310………12分 19．解：(I)由题，抛物线C 的方程为y 2＝8x ，其准线l 方程为x ＝－2； …………4分(II)由题，①当直线l 的斜率不存在时，y 轴符合题意，其方程为x ＝0； ②如果直线l 的斜率为0，y ＝2符合题意；③如果直线l 的斜率存在且不为0，则设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，由228y kx y x=+⎧⎨=⎩得ky 2－8y ＋16＝0，由Δ＝64－64k ＝0得k ＝1，故直线l 的方程为y ＝x ＋2，即x －y ＋2＝0， 因此，直线l 的方程为x ＝0或y ＝2或x －y ＋2＝0。
（用其他方法解答的请酌情给分） …………12分20．解：(I) 当a ∈{0,1,2}，b ∈{0,1,2}时，等可能发生的基本事件(a ，b )共有9个， 事件A 即f ′(x )＝x 2－2ax ＋b ≥0恒成立，即a 2≤b ,包含5个基本事件,即事件A 发生的概率为59; ……6分 (II) f (x )＝13x 3－4x ， f ′(x )＝x 2－4，由f ′(x )＝0可知x ＝±2，列表如下：f (x )在x ＝－2处取得极大值163；f (x )在x ＝2处取得极小值163-。
…………12分 21．(I)由题可设椭圆E ：22221x y a b +=(a>b>0)，其中22224254,19a b a b-=+=，解得229,5a b ==，即椭圆E 的方程为22195x y +=；…………4分 (II)由题，分两类讨论：①若,,,A B C D 为椭圆E 的顶点，则S=…………6分②112233441(,),(,),(,),(,),(0),A x y B x y C x y D x y AB y kx k CD y x k=≠=-设直线:则直线: 22221(59)45,||95x y k x AB y kx⎧+=⎪+==⎨⎪=⎩由得故有同理,||CD =，S=1||||2AB CD =0)k =≠ 22454590k k +≥，S 90[7∈， 由①②，四边形ACBD 面积S 的取值范围是90[7（用其他方法解答的请酌情给分） ……12分22．解：(I)由题，1a =时，(1)=0'(1)3f f =，，故所求切线方程为3x －y －3＝0； ………4分(II) f (x )定义域为),0(,21+∞∈x x ， f ′(x )＝212121a x x a x x x+-+++-=，18(1)87a a ∆=-+=--， ①78a ≥-时，f ()在),0(,21+∞∈x x 上为增函数； ②718a -<<-时，f (x )增区间为)+∞，减区间为;③1a ≤-时，f(x )增区间为)+∞，减区间为; …8分(III) 由(II)，0a >时， f ()在),0(,21+∞∈x x 上为增函数，不妨设12x x >，则有1212()()3()f x f x x x ->-，即1122()3()3f x x f x x ->-恒成立。