常数项级数的敛散性判别
112常数项级数的敛散性
uN m r m1uN 1,
而级数 r m1uN 1收敛,
m1
uNm uu收敛, 收敛
m1
n N 1
当 1时, 取 1, 使r 1,
当n N时, un1 run un ,
lim
n
un
0.
发散
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
两点注意:
1.当 1时比值审敛法失效;
敛还是条件收敛?
1、 (1)n1
n；
n1
3 n1
2、 1 1 1 1 ； ln 2 ln 3 ln 4 ln 5
3、
(1)n .
n2 n ln n
七、若
lim
n
n
2
un
存在,证明:级数
un 收敛 .
n1
b3n
八、证明:
lim
n
n!
a
n
0.
练习题答案
一、1、 p 1, p 1；
2、 1, 1(或 lim un1 ), 1.
u n n
二、1、发散；
2、发散.
三、1、发散；
2、收敛.
四、1、收敛；
2、收敛.
五、1、发散；
2、收敛；
a 1,收敛; 3、0 a 1,发散;
a 1,发散.
六、1、绝对收敛； 2、条件收敛； 3、条件收敛.
n1 10
(n ),
故级数
n! n1 10n
发散.
(3) lim un1 lim (2n 1) 2n 1, n un n (2n 1) (2n 2)
比值审敛法失效, 改用比较审敛法
(2n
1 1)
2n
1 n2
,
级数
第十一章 第2节常数项级数审敛法
例 2 证明级数
∑
n =1
∞
1 ∴ 级数 ∑ n 收敛 n =1 n 2
∞
1 是发散的. 是发散的 n( n + 1)
1 1 , > 证明 ∵ n( n + 1) n + 1 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 发散. 而级数 ∑ = ∑ 发散∴ 级数 ∑ , n( n + 1) n =1 n =1 n + 1 k =2 k
n=1
∞
(1) 当 ρ < 1 时 , 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 时 , 级数发散 .
22
说明 :
ρ = 1时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 p - 级数
∑np
n= 1
nu n
∞
1
1 un = p , n
但
1 = n →1 (n →∞) n
p
p >1 级数收敛 p ≤1 级数发散
∞
∴ un+1 < (ρ +ε ) un < (ρ + ε )2 un−1 < ⋯< (ρ + ε )n−N uN+1
k
∞ n=1 n
∑(ρ +ε ) 收敛 , 由比较审敛法可知, 级数 ∑u
收敛 . 17
un+1 lim =ρ n→∞ un
un+1 当 n ≥ N 时, >1 un ∴ un+1 > un > un−1 >⋯> uN
∑u
n=1
∞
n和
正项级数 ∑v 是两个正项级数 , u
n=1 n
∞
n
≤ k vn ( 常数 k > 0 )
浅议“常数项级数”的敛散性
。
竽 芋 砉
s
=
，
而
刍 砉 收敛
一
，
首先 可 以 肯 定 的 是 上 述 的证 明是 错 误 的 那 么 错 在 哪 里 呢 ? 要 弄 明 白这 个 问题 必 须 正 确理 解 比值 判 别 法 定 理 在 比 值判
。
’ ． ．
，
二 级数 ∑ 音}
H
l
‘
收敛
，
。
。
，
、
别 法 定理 中 若 憋
，
，
等
，
一
，
则级 数
u 喜n敛
。
n
。
，
散性 不 能 确 定
。
因此
在 例 2 中 由 ∑~／ 收
，
。
一
。
1 正
确 把 握 基 本 概 念 和 定 理 内容
一
敛不 能推出 慨
≤ l
等
引
只 能 推 出 !受
等
把握数 项 级 数 中的 些 重 要 概 念 与 定 理 是 帮 助 我 们建 立 数 学 思 维 模 型 结 构 必 不 可 少 的手 段 也 是检 验 我 们 是 否 对 级 数 及 其 它 问题 有 深 入 认 识 的 标 准 以 下 两 个 例 题 说 明 了此 问题 例 1 卜 1 + 卜 l + 卜 l + 是 否收 敛 ? 分 柝 部 分 同学 面 对 本 题 无 从 下 手 因 为找 不 到 已学过 的 判 别 法去判 别 其 敛 散J陛 这 就需 要 学 生 在 弄 懂 基 本 概 念 的 同 时 还 要 学 会 灵 活 的运 用 我 们除 了 要学 会 用 数 项 级数 的 几 个 判 别法 判 别级 数的 敛散性 之 外 还 要 时 刻 记住数 项 级 数 收 敛 的 必 要 条
2018考研数学 常数项级数敛散性的判断
2018考研数学常数项级数敛散性的判断常数项级数敛散性的判断是个难点。
考生需要攻克它
常数项级数敛散性的判断难得主要原因有：
1.对数项级数收敛的概念理解不够;
2.对数项级数的性质把握不准，特别是到题目中不知道怎么去运用这些性质去判断;
3.对数项级数敛散性处理问题的方法不熟练。
对考研来说，常数项级数的敛散性命题还是比较有规律可循，还没有出现过需要用特殊的方式处理的题目。
考生要把常数项级数敛散性的判断题目做好，首先需要做到明确处理常数项级数敛散性判断的步骤，其次要对常数项级数收敛的定义和性质理解好，特别要抓住性质的本质，最后就是要把握处理常数项级数收敛的方法，常见的方法有举反例、利用性质判别、判别法、定义。
本文先对处理常数项级数敛散性判断的步骤作个概述。
首先要判断常数项级数的通项：。
常数项级数敛散性判别法总结
常数项级数敛散性判别法总结摘要：本文简要阐述了常数项级数敛散性判别法。
由于常数项级数敛散性判别法较多，学生判定级数选择判别法时比较困难，作者结合级数判别法的使用条件及特点对判别法进行分析，使学生更好的掌握级数判别法。
关键词：常数项级数；级数敛散性判别法；判别法使用条件及特点无穷级数是微积分学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种非常有用的数学工具。
无穷级数的中心内容是收敛性理论，因而级数敛散性的判别在级数研究中极其重要。
在学习常数项级数敛散性判别法时，学生按照指定的判别法很容易判定级数的敛散性，但是学习多种判别法后，选择判别法时比较困难。
主要原因是学生对所学判别法的使用条件及特点不够熟悉，本文针对这种情况对常数项级数敛散性判别法加以归纳总结。
1 级数收敛的概念给定一个数列{un}，称u1+u2+...+un+ (1)为常数项无穷级数，简称常数项级数，记为.级数（1）的前n项之和记为Sn，即Sn=u1+u2+…+un，称它为级数（1）的部分和。
若部分和数列{Sn}有极限S，即，则称级数（1）收敛。
若部分和数列{Sn}没有极限，则称级数（1）发散。
注意：研究级数的收敛性就是研究其部分和数列是否存在极限，因此级数的收敛性问题是一种特殊形式的极限问题。
极限是微积分学的基础概念，也是学生比较熟系的概念，因此在研究级数收敛性时，联系极限概念，学生易于理解。
借助级数的性质与几何级数，调和级数的敛散性可以判别级数的敛散性。
例如，由性质（1）和当|q|0时，01，则发散。
当级数含有阶乘、n次幂或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比值判别法。
比值判别法不需要与已知的基本级数进行比较，在实用上更为方便。
例2：判别级数的敛散性。
解：因为由比值判别法知级数收敛。
2.3 根植判别法设为正项级数，若有，则当0≤r1，则发散。
当级数含有n次幂，型如an或（un）n选用根值判别法。
根值判别法不需要与已知的基本级数进行比较。
常数项级数的敛散性判别
定理1.1正项级数 收敛的充要条件是它的部分和数列有上界.
定理1.2（比较准则I）设 和 是两个正项级数,并且
(1)若 收敛,则 收敛; (2)若 发散,则 发散.
定理1.3 (比较准则II)设 和 是两个正项级数,并且
(1)若 ,则两个数列同时收敛或同时发散;
例7.判别级数 的敛散性.
解：
而 收敛;而对于 ,当 时收敛,当 时发散.综上可知,原级数当当 时收敛,当 时发散.
例8.判断级数 的敛散性,若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?
解：
,得到一个交错级数
则易知级数收敛,但其绝对值级数发散.故原级数条件收敛.
6.Cauchy积分法
即定理1.4（积分准则）,利用的就是级数 与无穷积分 同时收敛或同时发散.就此举一例如下:
结束语
本文主要是通过归纳总结将常数项级数的审敛准则与方法及例题放在一起,希望会对同学们关于级数敛散性的入门学习起到辅助作用.其实方法还不止上述所列出的几种,文中未包含的还有高斯判别法、拉贝判别法等,如感兴趣,可在利用网络自行查找相关文献.
参考文献
[1]工科数学分析基础.上册/王绵森,马知恩主编,2版.—北京：高等教育出版社,2006.2
且 .
定理2.2(绝对收敛准则)若级数 收敛,则级数 收敛.
若绝对值级数 收敛,则称级数 绝对收敛;若级数 收敛,但其绝对值级数 发散,则称 条件收敛.
有了这些基础知识作为铺垫,现在我们进入对一些方法的探讨.
1.不等式的利用
在此我们常用到的不等式有以下几种：
（1） ;（2） ;（3） ;（4）
个人认为,前三个不等式大家都用得比较熟练,最后一个不等式不太能在做题时想到.对于些题目看似很复杂,但利用不等式后就会豁然开朗.此处是将原数放大,主要运用比较准则.
常数项级数敛散性判别法总结
常数项级数敛散性判别法总结作者：李娜来源：《山东工业技术》2014年第24期摘要：本文简要阐述了常数项级数敛散性判别法。
由于常数项级数敛散性判别法较多，学生判定级数选择判别法时比较困难，作者结合级数判别法的使用条件及特点对判别法进行分析，使学生更好的掌握级数判别法。
关键词：常数项级数；级数敛散性判别法；判别法使用条件及特点无穷级数是微积分学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种非常有用的数学工具。
无穷级数的中心内容是收敛性理论，因而级数敛散性的判别在级数研究中极其重要。
在学习常数项级数敛散性判别法时，学生按照指定的判别法很容易判定级数的敛散性，但是学习多种判别法后，选择判别法时比较困难。
主要原因是学生对所学判别法的使用条件及特点不够熟悉，本文针对这种情况对常数项级数敛散性判别法加以归纳总结。
1 级数收敛的概念给定一个数列{un}，称u1+u2+...+un+ (1)为常数项无穷级数，简称常数项级数，记为.级数（1）的前n项之和记为Sn，即Sn=u1+u2+…+un，称它为级数（1）的部分和。
若部分和数列{Sn}有极限S，即，则称级数（1）收敛。
若部分和数列{Sn}没有极限，则称级数（1）发散。
注意：研究级数的收敛性就是研究其部分和数列是否存在极限，因此级数的收敛性问题是一种特殊形式的极限问题。
极限是微积分学的基础概念，也是学生比较熟系的概念，因此在研究级数收敛性时，联系极限概念，学生易于理解。
借助级数的性质与几何级数，调和级数的敛散性可以判别级数的敛散性。
例如，由性质（1）和当|q|2 正项级数敛散性判别法若级数各项均为非负数，则称该级数为正项级数。
正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有上界。
正项级数有以下几种常用判别法：2.1 比较判别法设与都是正项级数，且un≤vn（n=1，2，…），则收敛时，收敛；发散时，发散。
比较判别法适用范围比较广泛，当级数表达式型如，un为任意函数或un含有sinθ或cosθ等三角函数的因子可以进行适当的放缩时，选用比较判别法。
10.3数项级数的收敛性判别法(1)
1+ n 由比较判别法知，级数∑ un = ∑ 发散. 2 n =1 n =1 1 + n
12
∞
∞
n! 例5 判断级数 ∑ n 的敛散性. n =1 n
但
p ≤ 1, 级数发散 .
21
∞
例12 讨论级数
∑n x
n =1
n −1
( x > 0 ) 的敛散性 .
u n +1 (n + 1) x n = lim =x 解: ∵ lim n − 1 n →∞ u n n →∞ n x
根据定理4可知:
当0 < x < 1 时, 级数收 敛 ; 当 x > 1时, 级数发散 ;
n− N
u N +1
k ( ρ + ε ) 收敛 , 由比较判别法可知 ∑
∑ un 收敛 .
20
(2) 当ρ > 1 或 ρ = ∞ 时,必存在 N ∈ Z + , u N ≠ 0, 当n ≥ N
u n +1 > 1, 从而 时 un u n +1 > u n > u n −1 > ⋯ > u N
(1) 当0 < l <∞时, 取 ε < l , 由定理 2 可知
∑ u n 与 ∑ vn
n =1 n =1
∞
∞
(2) 当l = 0时, 利用 u n < ( l + ε ) vn (n > N ), 由定理2 知 若 ∑ vn 收敛 , 则 ∑ u n 也收敛 ;
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常数项级数的敛散性判别的一些方法摘要 常数项级数的敛散性的判别是数学分析中无穷级数的内容,基于审敛准则,其判别方法多样,且具有技巧性.本文参考了已有的相关文献,归纳总结后结合实例,由不等式的利用、Taylor 展开式、等价量法、对数判别法、拆项法等方法来判别级数敛散性.关键词 级数;收敛;发散.Abstract:This paper presents several methods and techniques,including inequalities, Taylor expansions, equivalent variables, and logarithmic criterion ,for testing the convergence of a constant-term series.Key words:series of constant-term series; convergence; divergence.正文常数项级数的敛散性判别也算得上是数学分析中的一个小难点,这是由于级数的敛散性是直接与数列的极限联系在一起.未学级数之前,我们先学习了数列,也学习了如何求数列的极限.我们可以体会到在求数列的极限时,会遇到一定的障碍,更不用说是级数.但同学们不必担心,如同求数列极限一样,判别级数收不收敛的方法多样.基于它的审敛准则,结合一些方法与技巧,对级数收敛的判别就不会有太大问题.在解决了常数项级数收敛与否的问题之后,我们才能更深入探究其它级数的其它性质.首先,将正项级数的审敛准则的内容列出: 定理1.1 正项级数∑∞=1n na收敛的充要条件是它的部分和数列有上界.定理1.2 （比较准则I ）设∑∞=1n na和∑∞=1n nb是两个正项级数,并且.,n n b a N n ≤∈∀+(1)若∑∞=1n nb收敛,则∑∞=1n na收敛; (2)若∑∞=1n na发散,则∑∞=1n nb发散.定理1.3 (比较准则II) 设∑∞=1n na和∑∞=1n na是两个正项级数,并且,0,>∈∀+n b N n).(lim∞+=∞→有限或λnnn b a(1)若0>λ,则两个数列同时收敛或同时发散; (2)若0=λ,且∑∞=1n nb收敛，则∑∞=1n na收敛;(3)若+∞=λ,且∑∞=1n nb发散,则∑∞=1n na发散.定理1.4（积分准则） 设∑∞=1n na为一正项级数.若存在一个单调递减的非负连续函数),0[),1[:+∞→+∞f ,使n a n f =)(,则级数∑∞=1n n a 与无穷积分⎰+∞1)(dx x f 同时收敛或同时发散.定理1.5（D'alembert 准则） 设∑∞=1n na为正项级数,0>n a ,并且).(lim1∞+=+∞→有限或λnn n a a(1)若1<λ时，则∑∞=1n na收敛；(2)若1>λ（含+∞=λ时），则∑∞=1n na发散.定理1.6（Cauchy 准则） 设∑∞=1n na为正项级数,λ=∞→n n n a lim (有限或∞+).（1）若1<λ时，则∑∞=1n na收敛;（2）若1>λ（含+∞=λ时），则∑∞=1n na发散.正项级数的所有审敛法则都适用于负项级数,其实只要将负项级数的负号提出,就转化为对正项级数的讨论.其次是变号级数的审敛准则:∑∞=--+-++-+-=-1143211...)1(...)1(n n n n n a a a a a a ,其中)(0+∈>N n a n ,称为交错级数.定理2.1 (Leibniz 准则) 设1,++≥∈∀n n a a N n ,且0lim =∞→n n a ,则交错级数n n n a ∑∞=--01)1(收敛.且 1+≤=-n n n a R S S . 定理2.2(绝对收敛准则) 若级数∑∞=1n na收敛,则级数∑∞=1n na收敛.若绝对值级数∑∞=1n na收敛,则称级数∑∞=1n na绝对收敛;若级数∑∞=1n na收敛,但其绝对值级数∑∞=1n na发散,则称∑∞=1n na条件收敛.有了这些基础知识作为铺垫,现在我们进入对一些方法的探讨.1.不等式的利用在此我们常用到的不等式有以下几种：（1）x x <ln ;（2）x x <+)1ln(;（3）x e x +>1;（4）)(2221b a ab +≤ 个人认为,前三个不等式大家都用得比较熟练,最后一个不等式不太能在做题时想到.对于些题目看似很复杂,但利用不等式后就会豁然开朗.此处是将原数放大,主要运用比较准则. 例1 0>k ,且∑∞=12n n a 收敛,证明kn a n n n+-∑∞=21)1(绝对收敛?(此题利用了不等式,轻松地证明了此题.) 解：)1(22212kn a kn a n n ++≤+又 ∑∞=12n n a 、∑∞=+121n kn 收敛,则kn a n n +∑∞=21收敛,故kn a n n n+-∑∞=21)1(绝对收敛.例2 判别级数∑∞=+⋅1)1ln 1(n n n n的敛散性. 解：利用不等式x x <ln 有1111ln 11ln 1+⋅-<+⋅-=+⋅=n n n n n n n n u n 因为∑∞=+⋅1)111(n n n 收敛,故∑∞=+⋅1)1ln 1(n n n n 收敛. 2.等价量法等价量法实际上应用的就是无穷小或大的等价代换,方法简单易掌握,同样也是一种放大缩小的应用. 例3.判别级数∑∞=+-11)11(2n n n的敛散性.可利用等价代换,但这里先将原式前项改写为xe 的形式.解： 当∞→n 时，1112-+n n=112ln -+n n n e≈12ln +n nn 231n<.而∑∞=1231n n收敛,故由比较审敛法知原级数收敛.3.Taylor 展开式Taylor 展开式看似与级数完全不沾边,但它"该出手时就出手".如下例: 例4.判别级数∑∞=+⋅1))11((n nn e 的敛散性. 解： ))(()1ln(2122111)11(nn n n o n n n n e e e e n e u +-+⋅=⋅=+⋅=≈ne n o n e 2))]1(211(1[≈+-- ∴原级数发散 4.对数判别法此方法对判别“幂指型”或含“n ln ”级数很有效.首先介绍一下这个定理：定理（对数判别法） 设∑∞=1n nu为正项级数,若有0>α，使当0n n ≥时, α+≥1ln 1lnn u n(5) 则∑∞=1n n u 收敛;若0n n ≥时,1ln 1ln≤n u n(6) 则∑∞=1n n u 发散.证明如下:若0n n ≥时,不等式(5)成立,则α+≤11n u n .由于级数∑∞=+111n nα收敛,所以∑∞=1n nu收敛.同理可证当不等式(6)成立时,∑∞=1n nu发散.例5.判别级数)1()ln (ln 11ln >∑∞=n n n n的敛散性. 解：)]ln[ln(ln ln ])ln ln[(ln ln 1lnln n nn n u n n == .对0>α,必存在0n ,使当0n n ≥时, α+≥1)]ln[ln(ln n , 故原级数收敛.例6.判别级数)1(21ln >∑∞=a a n n n的敛散性.解：a nn n a n n n a n u nnn ln ln 2ln ln ln ln 2ln ln 2ln ln 1lnln -⋅=⋅-== 由L'Hospital 法则知,+∞=-⋅=-⋅=-⋅+∞→+∞→+∞→)ln 11(lim 2ln )ln ln (lim 2ln )ln ln 2(ln lim a xa x x a xx x x x .故对0>α,存在0n ,使当0n n ≥时,α+≥-⋅1ln ln 2ln a nn, ∴原级数收敛. 5.拆项法有一种应用广泛,形式多变,方便灵活的方法,即将一般项通过等价变换、有理化、三角函数基本公式等拆成几项之差,大大降低了难度,解决了无从下手的窘境.这也是一种常见的方法,容易掌握.例7.判别级数∑∞=⋅122sin )sin(n n n n αα的敛散性. 解：n n n n n n ααααsin )sin(sin )sin(2222⋅=⋅ 而2221)sin(n n n ≤α ∑∞=∴122)s i n (n n n α收敛;而对于∑∞=1sin n n α,当παk =时收敛,当παk ≠时发散. 综上可知,原级数当当παk =时收敛,当παk ≠时发散.例8.判断级数∑∞=+122)sin(n n a π的敛散性,若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?解： )sin()1())(sin()sin(222222n n a n n a n n a a n n -+-=-++=+=πππnn a a n++-=222sin)1(π ,得到一个交错级数则易知级数收敛,但其绝对值级数发散. 故原级数条件收敛.6.Cauchy 积分法即定理1.4（积分准则）,利用的就是级数∑∞=1n n a 与无穷积分⎰+∞1)(dx x f 同时收敛或同时发散.就此举一例如下:例9.判别级数)0()(ln 12>∑∞=p n n n p的敛散性.解：不论p 为何数,当x 充分大时,设函数px x x f )(ln 1)(=,则)(x f 在),2[+∞上都是非负递减的.满足积分准则的条件.当1=p 时,无穷积分+∞==∞++∞⎰22ln ln ln x x x dx ,故发散, 1,1)2(ln 1>--p p p, 当1≠p 时,=-=∞+-+∞⎰212)(ln 11)(ln p p x p x x dx1,<∞+p . 因此,仅当1>p 时,)0()(ln 12>∑∞=p n n n p收敛.故原级数当1>p 时收敛,当1≠p 时发散.7.检比法与检根法.即D'alembert 准则与Cauchy 准则.但无论是检比法还是检根法,当1=λ时，级数的敛散性都没有确定的结论,此时就需要采用上述的其他方法来判断.总结本文主要是通过归纳总结将常数项级数的审敛准则与方法及例题放在一起,希望会对同学们关于级数敛散性的入门学习起到辅助作用.其实方法还不止上述所列出的几种,文中未包含的还有高斯参考文献[1]工科数学分析基础.上册/王绵森,马知恩主编,2版.—北京：高等教育出版社,2006.2[2]华东师范大学数学系.数学分析（下）[M].2版.北京:高等教育出版社,1991:17- 19.[3]费定晖,周学圣,郭大钧,等.吉米多维奇数学分析习题集题解(四) [M]. 2版. 济南: 山东科学技术出版社, 1999:2- 3,38- 41.。