专题2__时间序列模型

,
p是p阶自回归模型的系数， t是相应的扰动项，
并且是均值为0，方差为常数的白噪声序列，它是因变
量真实值和以解释变量及以前预测误差为基础的预测值 之差。 下面将讨论如何利用AR(p) 模型修正扰动项的序列 相关，以及用什么方法来估计消除扰动项后方程的未知
参数。
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1．修正一阶序列相关
最简单且最常用的序列相关模型是一阶自回归AR(1)
关，p为预先定义好的整数；备选假设是：存在p阶
自相关。检验统计量由如下辅助回归计算。
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1）估计回归方程，并求出残差et
ˆ ˆ ˆ ˆ et yt 0 1 x1t 2 x2t k xkt (2.1.8)
2) 检验统计量可以基于如下回归得到
et X t 1et 1 p et p vt
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的解释变量，资本对产出的影响就被归入随机误差项。
EViews提供了以下几种检测序列相关的方法。 1．D.W.统计量检验 Durbin-Watson 统计量（简称D.W.统计量）用于 检验一阶序列相关，还可估算回归模型邻近残差的线 性联系。对于扰动项ut建立一阶自回归方程：
ut ut 1 t
(2.1.6)
D.W.统计量检验的原假设： = 0，备选假设是 0。
7
D.W .
(ut ut 1 ) 2 ˆ ˆ
t 2
T
ut2 ˆ
t 1
T
ˆ 2(1 )
如果序列不相关，D.W.值在2附近。 如果存在正序列相关，D.W.值将小于2。 如果存在负序列相关，D.W.值将在2～4之间。
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此检验拒绝 直至2阶的无序 列相关的假设。 Q-统计和LM检 验都表明：残差
是序列相关的，
因此方程在被用 于假设检验和预 测之前应该重新 定义。 数据
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例2.3: 关于残差序列相关的LM检验(2)
考虑美国的一个投资方程。美国的GNP和国内私人 总投资INV是单位为10亿美元的名义值，价格指数P为 GNP的平减指数（1972=100），利息率R为半年期商业票
产生如下情况：
14
15
虚线之间的区域是自相关中正负两倍于估计 标准差所夹成的。如果自相关值在这个区域内， 则在显著水平为5%的情形下与零没有显著区别。 本例1～3阶的自相关系数都超出了虚线，说 明存在3阶序列相关。各阶滞后的Q-统计量的P 值都小于5%，说明在5%的显著性水平下，拒
绝原假设，残差序列存在序列相关。
据利息。回归方程所采用的变量都是实际GNP和实际投
资；它们是通过将名义变量除以价格指数得到的，分别用 小写字母gnp，inv表示。实际利息率的近似值r则是通过 贴现率R减去价格指数变化率p得到的。样本区间：1963 年～1984年，应用最小二乘法得到的估计方程如下：
数据
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ˆ ln( inv t ) 0.016rt 1 0.734 ln( gnpt ) ut
项ut 关于任何一条古典回归假设的违背，都将导致回归方
程的估计结果不再具有上述的良好性质。因此，必须建立 相关的理论，解决扰动项不满足古典回归假设所带来的模 型估计问题。
2
§2.1.1
序列相关及其产生的后果
对于线性回归模型
yt 0 1 x1t 2 x2t k xkt ut
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在给定的显著性水平下，如果这两个统计量小于设
定显著性水平下的临界值，说明序列在设定的显著性水 平下不存在序列相关；反之，如果这两个统计量大于设 定显著性水平下的临界值，则说明序列存在序列相关性。
在软件中的操作方法：
选择View/Residual Tests/Serial correlation LM Test， 一般地对高阶的，含有ARMA误差项的情况执行BreushGodfrey LM。在滞后定义对话框，输入要检验序列的最 高阶数。
有效。
3．仅仅检验是否存在一阶序列相关。
其他两种检验序列相关方法：Q-统计量和Breush-
Godfrey LM检验克服了上述不足，应用于大多数场合。
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2 . 相关图和Q -统计量
我们还可以应用所估计回归方程残差序列的自
相关和偏自相关系数式，以及Ljung-Box Q - 统计
量来检验序列相关。Q - 统计量的表达式为：
独立的，而是存在某种相关性，则认为出现了序列相关 性（serial correlation）。由于通常假设随机扰动项都服 从均值为0，同方差的正态分布，则序列相关性也可以 表示为：
E (ut , ut s ) 0
特别的，如果仅存在
s 0 , t 1 , 2 , , T
(2.1.4)
E (ut , ut 1 ) 0
(2.1.9)
这是对原始回归因子Xt 和直到p阶的滞后残差的回归。 LM检验通常给出两个统计量：F统计量和T×R2统计量。
F统计量是对式（2.1.9）所有滞后残差联合显著性的一
种检验。T×R2统计量是LM检验统计量，是观测值个数 T乘以回归方程（2.1.9）的R2。一般情况下，T×R2统计
2 量服从渐进的 ( p)分布。
检验中，通常会计算出不同滞后阶数的Q - 统计量、
自相关系数和偏自相关系数。如果，各阶Q - 统计 量都没有超过由设定的显著性水平决定的临界值， 则接受原假设，即不存在序列相关，并且此时，各 阶的自相关和偏自相关系数都接近于0。
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反之，如果，在某一滞后阶数p，Q - 统计量超过设 定的显著性水平的临界值，则拒绝原假设，说明残差序 列存在p阶自相关。由于Q-统计量的P值要根据自由度p来 估算，因此，一个较大的样本容量是保证Q- 统计量有效 的重要因素。
ut 1 ut 1 2 ut 2 p ut p t
(2.1.11)
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其中：ut 是无条件误差项，它是回归方程（2.1.10）的 误差项，参数0，1,
2,

,
k是回归模型的系数。式
2 ,
（2.1.11）是误差项ut的 p阶自回归模型，参数 1,
在EViews软件中的操作方法：
在方程工具栏选择View/Residual Tests/correlogramQ-statistics 。EViews将显示残差的自相关和偏自相关函 数以及对应于高阶序列相关的Ljung-Box Q统计量。如果 残差不存在序列相关，在各阶滞后的自相关和偏自相关
值都接近于零。所有的Q-统计量不显著，并且有大的P值。
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§2.1.3 扰动项存在序列相关的
线性回归方程的估计与修正
线性回归模型扰动项序列相关的存在，会导致模型 估计结果的失真。因此，必须对扰动项序列的结构给予 正确的描述，以期消除序列相关对模型估计结果带来的 不利影响。 通常可以用AR(p) 模型来描述一个平稳序列的自相
关的结构，定义如下：
yt 0 1 x1t 2 x2t k xkt ut (2.1.10)
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例2.2: 关于残差序列相关的LM检验(1)
上一例子中相关图在滞后值3时出现峰值。Q统计
量在各阶滞后值中都具有显著性，它显示的是残差中 的显著序列相关。 进行序列相关的LM检验，选择View/Residual Tests/Serial Correlation LM Test，输入p =2产生如下 结果：
t 1 , 2 , , T
(2.1.5)
称为一阶序列相关，这是一种最为常见的序列相关问题。
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如果回归方程的扰动项存在序列相关，那么应用 最小二乘法得到的参数估计量的方差将被高估或者低 可以将序列相关可能引起的后果归纳为：
估。因此，检验参数显著性水平的t统计量将不再可信。
① 在线性估计中OLS估计量不再是有效的；
专题2 时间序列模型
关于标准回归技术及其预测和检验我们已经在
以前的学习中讨论过了，本章着重于时间序列模型
的估计和定义，这些分析均是基于单方程回归方法，
在后面我们还会讨论时间序列的向量自回归模型。
这一部分属于动态计量经济学的范畴。通常是 运用时间序列的过去值、当期值及滞后扰动项的加 权和建立模型，来“解释”时间序列的变化规律。
从残差图2.1可以看到残差序列的变化有相似的波动。所
以，再采取上面介绍的其他检验序列相关的方法检验残差序 列的自相关性。
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下面采用 LM 统计量进行检验(p=2)，得到结果如下：
LM统计量显示，在5%的显著性水平拒绝原假设，回归
方程的残差序列存在序列相关性。因此，回归方程的估计结
果不再有效，必须采取相应的方式修正残差的自相关性。当 然，对于这个例子，我们也可以用Q-统计量进行检验，而且 效果更为直观，更有利于实际建模，但是这涉及到序列自相 关和偏自相关系数的理论。
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例2.1:利用相关图检验残差序列的相关性
下面是这些检验程序应用的例子，考虑用普通最小二乘估计 的简单消费函数的结果：
数据
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浏览这些结果：系数在统计上是很显著的，并 且拟合得很好。但是，如果误差项是序列相关的，
那么估计OLS标准误差将是无效的，并且估计系数
由于在方程右端有滞后因变量会发生偏倚和不一致。 在这种情况下D-W统计量作为序列相关的检验是不 合适的，因为在方程右端存在着一个滞后因变量。 选择View/Residual test/Correlogram-Q-statistice会
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3 . 序列相关LM检验
与D.W.统计量仅检验扰动项是否存在一阶自相 关不同，Breush-Godfrey LM检验（Lagrange multiplier，即拉格朗日乘数检验）也可应用于检验 回归方程的残差序列是否存在高阶自相关，而且在 方程中存在滞后因变量的情况下，LM检验仍然有 效。