高考第61课椭圆的几何性质

第61课椭圆的几何性质【自主学习】第61课椭圆的几何性质(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(选修1-2-1P30例1改编)椭圆225x+29y=1的长轴长为，离心率为，右焦点坐标为.【答案】10 45(4，0)2.(选修1-1P35习题4改编)若方程2||-1xm+22-ym=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为.【答案】(-∞，-1)∪3 12⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】由题意有2-m>|m|-1>0，解得1<m<32或m<-1.3.(选修1-1P60复习题7改编)若以椭圆22xa.+22yb=1(a>b>0)的左焦点F(-c，0)为圆心、c为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是.【答案】1 2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】由条件得椭圆的左准线方程为x=-2ac，从而由-c-2-ac⎛⎫⎪⎝⎭<c，得a2<2c2，所以e∈1⎫⎪⎪⎝⎭.4.(选修1-1P35习题9改编)椭圆C：245x+220y=1上与两个焦点的连线互相垂直的点的坐标是.【答案】(-3，-4)，(-3，4)，(3，-4)，(3，4)【解析】由题知椭圆C的两个焦点的坐标分别是(5，0)，(-5，0)，所以所求的点即为以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆的交点，联立方程组22221 452025x yx y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，，解得34xy=⎧⎨=⎩，或-34xy=⎧⎨=⎩，或3-4xy=⎧⎨=⎩，或-3-4.xy=⎧⎨=⎩，1.椭圆的标准方程及简单的几何性质条件2a>2c，a2=b2+c2，a>0，b>0，c>0标准方程及图形22xa+22yb=1(a>b>0)22ya+22xb=1(a>b>0)范围|x|≤a，|y|≤b |y|≤a，|x|≤b 对称性曲线关于原点、x轴、y轴对称顶点长轴顶点(±a，0)短轴顶点(0，±b)长轴顶点(0，±a)短轴顶点(±b，0)焦点(±c，0) (0，±c) 长、短轴的长度长轴长2a，短轴长2b焦距F1F2=2c(c2=a2-b2)准线方程x=±2ac y=±2ac离心率e=ca∈(0，1)，e越大，椭圆越扁，e越小，椭圆越圆2.点P(x0，y0)和椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的关系(1)点P(x0，y0)在椭圆外⇔22xa+22yb>1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔22xa+22yb=1.(3)点P(x0，y0)在椭圆内⇔22xa+22yb<1.【要点导学】要点导学各个击破求椭圆离心率的值例1 在平面直角坐标系x O y中，已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若∠BAO+∠BFO=90°，求椭圆的离心率.【思维引导】根据所给的几何条件，建立关于a，b，c的方程.【解答】方法一：因为∠BAO+∠BFO=90°，所以sin∠BFO=cos∠BAO=cos∠BAF.在△ABF中，由正弦定理得sin BF BAF∠=sin AB AFB∠=sin AB BFO∠=cos AB BAF∠，即BF AB =sin cos BAFBAF ∠∠，=ba ，所以a 2=即a 4=(a 2-c 2)(2a 2-c 2)，化简得e 4-3e 2+1=0，解得e 2=21e ⎫=>⎪⎪⎝⎭，舍去，故e =(负值舍去).方法二：易知∠BAF=∠FBO ，所以R t △BFO ∽R t △ABO ，则FO BO =BOAO ， 即c b =ba ，所以ac =b 2=a 2-c 2，所以c 2+ac -a 2=0，即e 2+e -1=0，解得e =(负值舍去).方法三：设椭圆右顶点为C ，连接BC ， 则∠BCO=∠BAF ，所以∠BCO+∠BFC=90°， 则BF 2+BC 2=CF 2，即a 2+a 2+b 2=(a +c )2， 所以2a 2-c 2=2ac +c 2，即c 2+ac -a 2=0，所以e 2+e -1=0，解得e =2(负值舍去).【精要点评】椭圆离心率的求解主要是将所给几何条件进行转化，建立关于a ，b ，c 的齐次方程.本题对于所给条件∠BAO+∠BFO=90°采取了三种转化，分别是正弦定理、余弦定理以及相似三角形、直角三角形(勾股定理)，但目的都是一致的.【高频考点·题组强化】1.椭圆216x+225y=1的离心率为.【答案】352.若椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率等于.【答案】3【解析】因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以a=2b，则有椭圆的离心率e=ca= 3.3.(2015·苏北四市期末)已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为.【答案】12(第3题)【解析】如图，A(-a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)，F(c，0)，设点M2Mayc⎛⎫⎪⎝⎭，.由2AB k =k AM ，得b a =2My aa c+，所以y M =b 1a c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由1FB k =k FM ，得b c =2-M y ac c ，所以y M =2-b a c c c ⎛⎫⎪⎝⎭，从而b 1a c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2-b a c c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 整理得2e 2+e -1=0，解得e =12或e =1(舍去).4.如图，已知F 1为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点.若PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB(O 为椭圆中心)，求椭圆的离心率.(第4题)【解答】设椭圆方程为22x a +22yb =1(a >b >0)，F 1(-c ，0)，c 2=a 2-b 2，则P 2-b c a⎛⎫ ⎪⎝⎭，.因为AB ∥PO ，所以k AB =k OP ，即-b a =2-bac ，所以b =c .又因为a 22b c +2b ，所以e =c a=2bb=22.求椭圆离心率的取值范围微课13●典型示例例2 若椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是.【思维导图】【答案】112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【规范解答】由题意知，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即点F到点P与点A的距离相等.而FA=2ac-c=2bc，PF∈[a-c，a+c]，于是2bc∈[a-c，a+c]，即ac-c2≤b2≤ac+c2，所以222222---ac c a ca c ac c⎧≤⎨≤+⎩，，解得11-12cac ca a⎧≤⎪⎪⎨⎪≤≥⎪⎩，或，又因为e=ca，e∈(0，1)，故e∈112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.【精要点评】(1)一般地，求解离心率的值或取值范围的问题，关键是将几何条件转化为a，b，c的方程或不等式，然后再解方程或不等式，要注意的是建立的方程或不等式应该是齐次式.(2)对于椭圆上或直线上的点，应该利用该点建立方程，转化为与该点相关的变量的方程的有解问题，这里要注意椭圆等图形本身的范围限制.●总结归纳1.存在性问题可转化为方程有解；2.求离心率范围可转化为求不等式(组)的解集或方程有解等问题；3.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则PF∈[a-c，a+c].●题组强化1.(2014·合肥三检)椭圆2xa+22(1)ya+=1的离心率e的取值范围是.【答案】1 2⎫⎪⎢⎪⎣⎭【解析】由题知(a+1)2>a>0，所以e=，故e∈12⎫⎪⎢⎪⎣⎭.2.在平面直角坐标系x O y中，椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，P是椭圆上一点，l为左准线，PQ⊥l，垂足为Q.若四边形PQFA为平行四边形，则椭圆的离心率e的取值范围是.【答案】，1)【解析】由题意知AF=PQ，即a+c=x P+2ac，则xP=a+c-2ac，所以有-a<a+c-2ac<a，即c<2ac<2a+c，左侧不等式显然成立，所以a2<2ac+c2，即e2+2e-1>0.又0<e<1，所以e<1.3.已知点M是椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q两点.若△PQM是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是.【答案】⎛⎝⎭【解析】由题意可知圆M的半径为2ba，点M到y轴的距离为c，由于△PQM是等腰三角形，故只能是∠PMQ为钝角，从而只需2bacac<b2=a2-c2，两边同除以a2并整理得e2+e-1<0，解得<e<.又因为0<e<1，所以e∈0⎛⎝⎭.4.已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0).若椭圆上存在点P，使得12sinaPF F∠=21sincPF F∠，则该椭圆的离心率的取值范围为. 【答案】(2-1，1)【解析】在△PF1F2中，由正弦定理知1221sinsinPF FPF F∠∠=21PFPF，因为12sinaPF F∠= 21sincPF F∠，所以21PFPF=ac=1e，即PF1=e PF2. ①又因为点P在椭圆上，所以PF1+PF2=2a，将①代入得PF2=21ae+∈(a-c，a+c)，同除以a得1-e<21e+<1+e，解得2-1<e<1.椭圆几何性质的综合应用例3 (2015·南通、扬州、淮安、连云港二调)如图，在平面直角坐标系x O y 中，椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F(c，0)，P(x，y0)为椭圆上一点，且PA⊥PF.(例3)(1)若a=3，b5x0的值；(2)若x0=0，求椭圆的离心率；(3)求证：以F为圆心，FP为半径的圆与椭圆的右准线x=2ac相切.【解答】(1)因为a=3，b所以c2=a2-b2=4，即c=2.由PA⊥PF，得3yx+·-2yx=-1，即2y=-2x-x+6.又29x+25y=1，所以42x+9x-9=0，解得x0=34或x=-3(舍去).(2)当x0=0时，2y=b2，由PA⊥PF，得ya·-yc=-1，即b2=ac，所以a2-c2=ac，所以e2+e-1=0，解得e=2(负值舍去).(3)依题意，椭圆右焦点到直线x=2ac的距离为2ac-c，且22xa+22yb=1，①由PA⊥PF，得yx a+·-yx c=-1，即2y=-2x+(c-a)x+ca，②由①②整理得(x0+a)（x0+22(-)a b acc）=0，解得x=-222(--)a a ac cc或x=-a(舍去).所以PF=2-a cxc a⎛⎫⎪⎝⎭=a+ca·222(--)a a ac cc=2ac-c，所以以F 为圆心、FP 为半径的圆与右准线x =2a c 相切.【精要点评】关于椭圆性质的综合应用的题目都有一定的难度，充分利用或挖掘各种条件是解决问题的关键.但是，基本量的求解与基本关系的处理是解决问题的必要途径.变式 (2015·福建卷改编)已知椭圆E ：22x a +22y b =1(a >b >0)过点(02)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x =my -1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G 9-04⎛⎫⎪⎝⎭，与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.【解答】(1)由已知得222222b ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，，解得222a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，，所以椭圆E 的方程为24x +22y =1.(2)设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 中点为H(x 0，y 0).由22-1142x my x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x ，得(m 2+2)y 2-2my -3=0， 所以y 1+y 2=222m m +，y 1y 2=-232m +， 从而y 0=22m m +.所以GH2=294x⎛⎫+⎪⎝⎭+20y=（my+54）2+2y=(m2+1)2y+52my+2516.24AB=221212(-)(-)4x x y y+=2212(1)(-)4m y y+=221212(1)[()-4]4m y y y y++=(m2+1)(2y-y1y2).故GH2-24AB=52my+(m2+1)y1y2+2516=2252(2)mm+-223(1)2mm+++2516=2217216(2)mm++>0，所以GH>2AB，故点G9-04⎛⎫⎪⎝⎭，在以AB为直径的圆外.1.已知椭圆225x+29y=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1=4，则点P 到右准线的距离是.【答案】152【解析】由PF1=4，知PF2=6，所以点P到右准线的距离d=6e=152.2.设F1，F2为两定点，F1F2=8，动点P满足PF1⊥PF2，且PF1+PF2=10，满足条件的点P的个数为.【答案】4【解析】由PF1+PF2=10，可知点P(x，y)在曲线225x+29y=1上.又因为PF1⊥PF2，根据对称性可知点P的个数为4.3.若过椭圆22x a+22yb=1(a>b>0)的焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为12 a，则该椭圆的离心率是.【答案】3(第3题)【解析】如图，设椭圆焦点为(c，0)，a2=b2+c2，点P的坐标为(c，0)，点M的坐标为2bca⎛⎫⎪⎝⎭，，则2ba=12×222a ba，=14，即222-a ca=14，即22ca=34，所以e=ca=3.4.已知F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上总存在点M，使得1MF·2MF=0，则椭圆离心率的取值范围为.【答案】212⎫⎪⎢⎪⎣⎭【解析】因为椭圆上总存在点M，使得1MF·2MF=0，且动点M位于椭圆上顶点时，∠F1MF2最大，所以90°≤∠F1MF2<180°，此时MF1=MF2=a，F1F2=2c.在△F1MF2中，由余弦定理得cos∠F1MF2=2222-(2)2a a ca+=1-22ca⎛⎫⎪⎝⎭=1-2e2∈(-1，0]，故e∈212⎫⎪⎢⎪⎣⎭.【融会贯通】融会贯通能力提升已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60°.(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证：△PF1F2的面积与椭圆短轴长有关.【思维引导】方法一：方法二：【规范解答】方法一：设椭圆方程为22x a +22y b =1(a >b >0)，P(x 1，y 1)，F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)，c >0，由第二定义易知PF 1=a +ex 1，PF 2=a -ex 1.在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos60°=12=2221111()(-)-42()(-)a ex a ex c a ex a ex +++，解得21x =2224-3c a e ……4分(1)因为21x ∈[0，a 2)，所以0≤2224-3c a e <a 2，即4c 2-a 2≥0…………6分所以e =c a ≥12.故椭圆离心率的取值范围是112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，……………………8分(2)将21x =2224-3c a e 代入22x a +22y b =1，得21y=423b c ，即|y 1|=23c …………………11分所以12PF F S=12F 1F 2·|y |=12·2c ·23c =3b 2.即△PF 1F 2的面积只与椭圆的短轴长有关………………………16分 方法二：设PF 1=m ，PF 2=n ，∠PF 2F 1=α，∠PF 1F 2=β，则α+β=120°. (1)在△PF 1F 2中，设PF 1=m ，PF 2=n ，∠PF 2F 1=α，∠PF 1F 2=β，由正弦定理得sin mα=sin n β=02sin60c ，所以sin sin m nαβ++=02sin60c ……………………2分因为m +n =2a ，所以2sin sin a αβ+=02sin60c，…………………4分所以e=ca=sin60sin sinαβ+=sin60-2sin cos22αβαβ+=1-2cos2αβ≥12.当且仅当α=β时等号成立…………………………………………6分故椭圆离心率的取值范围是112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，………………………………8分(2)在△PF1F2中，由余弦定理得(2c)2=m2+n2-2mn cos60°=m2+n2-mn=(m+n)2-3mn………10分因为m+n=2a，所以4c2=4a2-3mn，即mn=43(a2-c2)=43 b2……………………………12分所以12PF FS=12mn sin60°=33b2.即△PF1F2的面积与椭圆短轴长有关……………………………16分【精要点评】椭圆上的一点P与两个焦点F1，F2构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理.解题时通过变形，使之出现PF1+PF2的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a，c的关系式，使问题找到解决思路.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第121~122页.【检测与评估】第61课椭圆的几何性质一、填空题1.已知椭圆24x+28y=1，那么该椭圆的准线方程为.2.已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为12，焦距为8，则该椭圆的方程是.3.若椭圆24x+2ym=1的离心率为，则实数m的值为.4.已知F1，F2分别是椭圆E：22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x=32a上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为.5.在平面直角坐标系中，椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的焦距为2c，以原点O为圆心，a为半径作圆O，过点2ac⎛⎫⎪⎝⎭，作圆O的两条切线互相垂直，则离心率e= .6.已知F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足PF1=2PF2，∠PF1F2=30°，则椭圆的离心率为.7.若点O和点F 分别为椭圆24x+23y=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为.8.已知椭圆29x+24y=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P(x0，y0)为椭圆上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标x0的取值范围为.二、解答题9.(2015·扬州期末)如图，A，B，C是椭圆M：22xa+22yb=1(a>b>0)上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，BC过椭圆M的中心，且满足AC⊥BC，BC=2AC.(1)求椭圆M的离心率；(2)若y轴被△ABC的外接圆所截得的弦长为9，求椭圆M的方程.(第9题)10.已知椭圆的右焦点F(m，0)，左、右准线分别为l1：x=-m-1，l2：x=m+1，且l1，l2分别与直线y=x相交于A，B两点.(1)若离心率为22，求椭圆的方程；(2)当AF·FB<7时，求椭圆离心率的取值范围.11.(2014·江苏卷)如图，在平面直角坐标系x O y中，F1，F2分别是椭圆2 2 xa+22yb=1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.(1)若点C的坐标为4133⎛⎫⎪⎝⎭，，且BF2=2，求椭圆的方程；(2)若F1C⊥AB，求椭圆的离心率e.(第11题)三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.在△ABC中，∠ACB=60°，sinA∶sinB=8∶5，则以A，B为焦点且过点C的椭圆的离心率为.13.设F1，F2分别是椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x=2ac上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是.【检测与评估答案】第61课椭圆的几何性质1.y=±4【解析】因为c2=a2-b2=8-4=4，所以准线方程为y=±82=±4.2.264y+248x=1【解析】因为2c=8，所以c=4，所以e=ca=4a=12，故a=8.又因为b2=a2-c2=48，所以椭圆的方程为264y+248x=1.3.1或16【解析】若焦点在x轴上，则m<4，即a2=4，b2=m⇒c2=a2-b2=4-m，得到22ca =34⇒m=1；若焦点在y轴上，则m>4，即a2=m，b2=4⇒c2=a2-b2=m-4，得到22ca=34⇒m=16.4.34【解析】由题意可得PF2=F1F2，所以23-2a c⎛⎫⎪⎝⎭=2c，所以3a=4c，所以e=34. 5.22【解析】如图，四边形OAPB为正方形，所以OP=2OA，所以2ac=2a，解得ca=22，即离心率e=22.(第5题)6.3 【解析】在△PF 1F 2中，由正弦定理得sin ∠PF 2F 1=1，即∠PF 2F 1=90°.设PF 2=1，则PF 1=2，F 2F 1e=22ca=3.7.6 【解析】由椭圆方程得F (-1，0)，设P (x 0，y 0)，则OP ·FP =(x 0，y 0)·(x 0+1，y 0)=20x +x 0+20y .因为P 为圆上一点，所以24x +203y =1.所以OP ·FP =20x +x 0+3201-4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=204x +x 0+3=14(x 0+2)2+2.因为-2≤x 0≤2，所以OP ·FP 的最大值在x 0=2时取得，且最大值等于6.8.⎛ ⎝⎭ 【解析】由题意知F 1(-0)，F 2，0)，由P (x 0，y 0)，知1PF =(0，-y 0)，2PF =0，-y 0)，所以1PF ·2PF =20x -5+20y <0 ①.又因为209x +204y =1 ②，由①②得20x<95，所以-<x 0<.则点P 的横坐标x 0的取值范围为⎛ ⎝⎭.9.(1)因为BC 过椭圆M 的中心， 所以BC=2OC=2OB.又AC ⊥BC ，BC=2AC ，所以△OAC 是以角C 为直角的等腰直角三角形，则A (a ，0)，C -22a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，B 22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，AB=a ，所以222a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭+22-2a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭=1，则a 2=3b 2，所以c 2=2b 2，e=.所以椭圆M的离心率为.(2)△ABC 的外接圆圆心为AB 的中点P 44a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，半径为a ， 则△ABC 的外接圆为2-4a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+2-4a y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=58a 2.令x=0，得y=a 或y=-2a，所以a--2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=9，解得a=6.(92，从而解得a=6)，所以所求的椭圆方程为236x +212y =1.10.(1)设椭圆的方程为22x a +22y b =1(a>b>0).由已知得c=m ，2a c =m+1， 从而a 2=m (m+1)，b 2=m.由e=2，得b=c ，从而得m=1，故b=1，故椭圆的方程为22x +y 2=1.(2)易得A (-m-1，-m-1)，B (m+1，m+1)，从而AF =(2m+1，m+1)，FB =(1，m+1)，故AF ·FB =2m+1+(m+1)2=m 2+4m+2<7，得0<m<1.所以离心率e=c a02⎛ ⎝⎭，.11.设椭圆的焦距为2c ，则F 1(-c ，0)，F 2(c ，0).(1)因为B (0，b )，所以BF 2又BF 2.因为点C 4133⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆上，所以2169a +219b =1，解得b 2=1. 故椭圆的方程为22x +y 2=1.(2)因为B (0，b )，F 2(c ，0)在直线AB 上，所以直线AB 的方程为x c +yb =1.解方程组222211x yc b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，得2122221222(-)a c x a c b c a y a c ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，， 220x y b =⎧⎨=⎩，，所以点A 的坐标为22222222(-)a c b c a a c a c ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，.又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为22222222(-)a c b a c a c a c ⎛⎫⎪++⎝⎭，，所以直线F 1C 的斜率为2222222(-)-02-(-)b a c a ca c c a c ++=2223(-)3b ac a c c +，直线AB 的斜率为-b c .又F 1C ⊥AB ，所以2223(-)3b a c a c c +·-b c ⎛⎫⎪⎝⎭=-1，由b 2=a 2-c 2，整理得a 2=5c 2，故e 2=15，因此e=.12.713 【解析】由题意知e=c a =22c a =ABAC BC +.因为sin A ∶sin B=8∶5，所以由正弦定理得a ∶b=8∶5.设a=8k ，b=5k ，所以由余弦定理可得c 2=a 2+b 2-2ab cos C ，所以c=7k ，所以e=785k k k +=713.13.1⎫⎪⎪⎣⎭ 【解析】设P 2a y c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，线段F 1P 的中点Q 的坐标为222b y c ⎛⎫⎪⎝⎭，，则直线F 1P 的斜率1F P k =22cy a c +，当直线QF 2的斜率存在时，设直线QF 2的斜率为2QF k=22-2cyb c (b 2-2c 2≠0)，由1F P k ·2QF k =-1，得y 2=22222()(2-)a c cbc +≥0，又b 2-2c 2≠0，故2c 2-b 2>0，即3c 2-a 2>0，即e 2>13，故<e<1.当直线QF 2的斜率不存在时，y=0，F 2为线段PF 1的中点.由2a c -c=2c ，得e=3，综上，得3≤e<1.。