离散控制系统和数学基础
离散数学的基础知识
离散数学的基础知识离散数学是数学的一个分支，研究离散对象以及离散结构的数学学科。
与连续数学不同，离散数学侧重于处理离散的、离散可数的数学对象，如整数、图形、集合等。
离散数学的基础知识涵盖了一系列主题，如逻辑、证明方法、集合论、图论等等。
本文将重点介绍离散数学的基础知识。
一、逻辑逻辑是离散数学的基础。
它研究命题和推理的基本方法。
在逻辑中，我们使用符号来表示命题，如p表示“今天下雨”，q表示“明天晴天”。
逻辑运算包括与、或、非、蕴含等。
我们通过真值表或证明方法来判断命题的真假和进行推理。
二、证明方法证明方法是离散数学中非常重要的一部分。
数学证明是为了验证或推导数学命题的过程。
常见的证明方法包括直接证明、归谬法、数学归纳法等。
通过证明方法，我们可以从已知的前提出发，得出结论，并确保其正确性。
三、集合论集合论研究的是集合及其相互关系的数学理论。
集合是离散数学中最基本的概念之一。
在集合论中，我们可以使用集合运算符号来表示交集、并集、补集等操作。
集合的定义通常使用罗素悖论中的无限集合公理，这是集合论的基础。
四、图论图论是研究图及其性质的数学分支。
图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图的应用非常广泛，如社交网络分析、电子电路设计等。
在图论中，我们研究图的连通性、路径、环等性质和算法。
五、离散数学的应用离散数学的应用非常广泛，影响着计算机科学、信息科学、运筹学等领域。
在计算机科学中，离散数学为算法设计、数据结构等提供了基础。
在信息科学中，离散数学为编码理论、密码学等提供了基础。
在运筹学中，离散数学为优化问题的建模和求解提供了工具。
总结离散数学的基础知识包括逻辑、证明方法、集合论和图论等内容。
透过这些基础知识，我们可以更深入地理解离散对象和结构的数学特性。
离散数学的应用也广泛影响着计算机科学、信息科学和运筹学等领域。
通过学习离散数学的基础知识，我们可以培养出严密的逻辑思维和问题求解能力。
以上是对离散数学基础知识的简要介绍，希望能够帮助你更好地理解和掌握这一学科。
离散数学基础
离散数学基础离散数学是一门研究离散结构和离散对象的数学学科，它涉及许多重要的基础概念和方法。
离散数学广泛应用于计算机科学、信息科学、通信工程等领域，在现代科技的发展中起到了至关重要的作用。
本文将介绍离散数学的基础概念和应用，并结合具体例子进行说明。
一、集合论和逻辑离散数学的基础之一是集合论和逻辑。
集合论是研究集合及其运算规律的数学分支，它提供了描述元素之间关系的工具。
在离散数学中，集合论被广泛应用于描述问题的解空间以及元素之间的关系。
逻辑是研究正确推理和论证方法的学科，在离散数学中，逻辑常被用于构建数学证明和推理。
例如，在图论中，我们可以用集合论的概念来描述顶点和边的集合，并利用逻辑推理来证明一些图的性质。
另外，在算法设计和分析中，集合论和逻辑也发挥着重要作用，帮助我们描述问题和设计解决方案。
二、关系和函数关系和函数是离散数学中的另外两个重要概念。
关系是元素之间的某种关联，常用集合对来表示。
函数是一种特殊的关系，它将每个输入元素映射到唯一的输出元素。
在计算机科学中，关系和函数常用于描述数据库中的数据关联、网络中的节点连接等。
在离散数学中，我们需要学习关系和函数的性质，如反射性、对称性和传递性等。
这些性质可以帮助我们分析和证明一些问题。
例如，在图论中，我们可以借助关系和函数的概念来描述图的连通性和路径问题。
三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，研究图及其性质的数学学科。
图由一组顶点和连接顶点的边组成，被广泛应用于计算机科学和网络科学中。
图论可以用来解决诸如网络优化、路径规划和社交网络分析等实际问题。
在图论中，我们需要学习图的基本概念，如顶点、边、路径和环等。
另外，图的表示方法也有多种，例如邻接矩阵和邻接表。
掌握这些概念和方法可以帮助我们对图进行建模和分析。
四、组合数学组合数学是研究离散结构和离散对象组合性质的数学学科。
在组合数学中，我们关注的是如何对有限的元素进行排列、选择和组合。
组合数学在密码学、编码理论等领域具有重要应用。
自动控制原理离散系统知识点总结
自动控制原理离散系统知识点总结自动控制原理中的离散系统是指在时间域和数值范围上都是离散的系统。
在离散系统中，信号是以离散时间点的形式传递和处理的。
本文将对自动控制原理离散系统的知识点进行总结，包括离散系统的概念、离散信号与离散系统的数学表示、离散系统的稳定性分析与设计等。
一、离散系统的概念与特点离散系统是指系统输入、输出和状态在时间上都是以离散的方式存在的系统。
与连续系统相比，离散系统具有以下特点：1. 离散时间：离散系统的输入、输出和状态是在离散时间点上采样得到的，而不是连续的时间信号。
2. 离散数值：离散系统的输入、输出和状态都是以离散数值的形式存在的，而不是连续的模拟数值。
二、离散信号与离散系统的数学表示离散信号是指在离散时间点上采样得到的信号。
离散系统可以通过离散信号的输入与输出之间的关系进行描述。
常见的离散系统数学表示方法有差分方程和离散时间传递函数。
1. 差分方程表示：差分方程是通过离散时间点上的输入信号和输出信号之间的关系来描述离散系统的。
差分方程可以是线性的或非线性的，可以是时不变的或时变的。
2. 离散时间传递函数表示：离散时间传递函数描述了离散系统输入与输出之间的关系，类似于连续时间传递函数。
离散时间传递函数可以通过Z变换得到。
三、离散系统的稳定性分析与设计离散系统的稳定性是指系统的输出在有限时间内收敛到有限范围内，而不是无限增长或震荡。
离散系统的稳定性分析与设计是自动控制原理中的重要内容。
1. 稳定性分析：离散系统的稳定性可以通过判断系统的极点位置来进行分析。
若系统的所有极点都位于单位圆内，则系统是稳定的；若存在至少一个极点位于单位圆外，则系统是不稳定的。
2. 稳定性设计：若离散系统不稳定，可以通过调整系统的参数或设计控制器来实现稳定性。
常见的稳定性设计方法包括PID控制器调整、根轨迹设计等。
四、离散系统的性能指标与优化离散系统的性能指标与优化是指通过调整控制器参数或控制策略，使离散系统的性能得到优化。
自动控制原理第7章
3．数字计算机已经作为控制仪表成为控制系统的一个组成部 分 由于计算机技术的飞速发展，作为构成控制系统的控制设备， 数字计算机已经被广泛的用于工业生产过程自动化中，用数字 计算机替代常规仪表完成控制器及其校正装置的功能。图7-2 所示为数字控制系统原理框图。
r(t) e(t) A/D e*(t)
u*(t)
r r r e r r T r 脉冲控制器 r 保持器 r c r
图7-1
典型采样系统结构图
e是连续的误差信号，经采样开关后，变成一组脉冲序列e， 脉冲控制器对e进行某种运算，产生控制信号脉冲序列u， 保持器将采样信号u变成模拟信号u，作用于被控对象G(s)。
2．被控对象存在的大延迟大惯性
工业自动控制系统中，有一类被控对象的惯 性非常大并具有滞后特性。尤其是电站的电 力生产过程，这种延迟和惯性显得更为严重。 对于这类被控对象，采用简单的连续控制系 统的设计方法，容易出现过调现象，往往很 难得到高质量的控制效果。离散控制系统的 合理应用可以较好地解决这一问题。
|E (j )|
|E *(j )| 1/T
|H(j )| 1
- m
0
m
t
- m 0 - s/2
m s/2
t
- s/2
0
s/2
图7-5单一频谱
图 7-6多频谱之和
图 7-7 理想滤波器的频率特性
如果加大采样周期T,采样角频率ω相应能够 的减小，采样频谱中的补分量相互交叠，致 使采样器输出的信号发生畸变，这时即使采 用理想滤波器(理想滤波器的频率特性如图77所示），也无法恢复原来连续信号的频谱， 因此，对采样周期T的设定有一个约束条件， 用于保证附加频谱不覆盖主频谱。所以如何 选择采样周期时离散控制系统设计过程中的 一个重要问题 。
离散数学的基础知识
离散数学的基础知识离散数学是计算机科学、数学和信息科学的一门重要学科，它研究的是离散结构，即不连续的数学对象，例如集合、图、函数和关系等。
离散数学的基础知识对于我们理解和应用计算机科学中的算法、数据结构、逻辑和推理等方面都至关重要。
本文将介绍离散数学的一些基本概念和应用。
一、集合论在离散数学中，集合是一个重要的概念。
集合是由确定的对象组成的整体，这些对象被称为集合的元素。
集合的运算有并、交、补、差等。
集合还可以用列表、描述法、泛函法等方式表示。
在计算机科学中，集合常用于表示数据的存储和操作。
二、逻辑与命题逻辑是离散数学中的另一个基础知识，它研究的是推理和论证的规律。
逻辑主要包含命题逻辑和谓词逻辑两个方面。
命题逻辑研究的是命题的真假和推理的方法，谓词逻辑则扩展了命题逻辑，研究的是谓词和量词的运算。
命题是一个陈述句，它要么为真，要么为假。
命题可以用真值表、逻辑公式等方式表示。
逻辑运算包括非、与、或、蕴含和等价等。
命题逻辑的推理方法有代入法、消解法、假设法等。
三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是图的性质和图的应用。
图是由节点和边组成的数学模型，用来表示事物之间的关系。
图论主要研究顶点的度、路径的搜索、连通性、环的存在性等问题。
图可以分为有向图和无向图，有向图的边有方向，无向图的边没有方向。
在图中，节点之间的连接关系称为边，边可以有权重。
图的表示方法有邻接矩阵、邻接表等。
图的应用包括网络分析、城市规划、路线规划等。
四、组合数学组合数学是离散数学中的一个分支，它研究的是集合的选择和排列方式。
组合数学在计算机科学中有重要的应用，例如密码学、编码理论和算法设计等方面。
组合数学的基本概念包括排列、组合、二项式系数等。
排列是从一组元素中选取特定顺序的方式，组合是从一组元素中选取特定组合的方式。
二项式系数是计算排列和组合数量的重要方法。
组合数学的应用有很多，包括选择算法、排列算法、图的着色等。
五、数论数论是离散数学中研究整数性质的一个分支，它研究的是整数之间的关系和性质。
自动控制原理第7章离散控制系统
Z变换
01
Z变换是分析离散时间信号和系统 的有力工具，它将离散时间信号 或系统转化为复平面上的函数或 传递函数。
02
Z变换的基本思想是通过将离散时 间信号或系统进行无限次加权和 ，将其转化为一个复数域上的函 数或传递函数。
离散状态方程
离散状态方程是描述离散控制系统动 态行为的数学模型，它的一般形式为 $mathbf{dot{x}}(k) = Amathbf{x}(k) + Bu(k)$，其中 $mathbf{x}(k)$表示在时刻$k$的系 统状态向量，$u(k)$表示在时刻$k$ 的输入向量，$A$和$B$是系统的系 数矩阵。
稳态误差主要来源于系统本身的结构 和参数，以及外部干扰和测量噪声。
离散控制系统的动态响应分析
动态响应定义
动态响应是指系统在输入信号作 用下，系统输出信号随时间变化 的特性。
动态响应的描述方
式
动态响应可以通过系统的传递函 数、频率特性、根轨迹图等方式 进行描述。
优化动态响应的方
法
通过调整系统参数、改变系统结 构、引入反馈控制等方法，可以 优化系统的动态响应。
离散控制系统的仿真工具与实例
仿真工具介绍
离散控制系统的仿真工具用于模拟和测试系统的性能和稳定性。常见的仿真工具包括MATLAB/Simulink、 LabVIEW等。这些工具提供了丰富的数学函数库和图形化界面，方便用户进行系统建模和仿真。
仿真实例分析
通过具体的仿真实例，可以深入了解离散控制系统的性能和特点。例如，可以设计一个温度控制系统，通过调整 系统参数和控制算法，观察系统在不同工况下的响应特性和稳定性。通过对比不同方案，可以评估各种参数和控 制策略对系统性能的影响，为实际应用提供参考和依据。
离散数学的主要内容
离散数学的主要内容离散数学是一门研究离散对象及其性质的数学学科。
它的主要内容包括集合论、图论、逻辑、代数系统等。
集合论是离散数学的基础，它研究的是集合以及集合之间的关系。
在集合论中，我们可以学习到集合的基本概念和运算、集合之间的关系、集合的基本定理等等。
集合论在计算机科学中有着广泛的应用，例如在数据库设计中，我们需要使用集合运算来实现数据的查询和处理。
图论是离散数学中的重要分支，它研究的是图及其性质。
在图论中，我们可以学习到图的基本概念、图的遍历算法、最短路径算法、最小生成树算法等等。
图论在计算机科学中有着广泛的应用，例如在计算机网络中，我们需要使用图论来设计网络拓扑结构和路由算法。
逻辑是离散数学中的另一个重要分支，它研究的是命题和命题之间的关系。
在逻辑中，我们可以学习到命题逻辑、谓词逻辑、命题的推理规则等等。
逻辑在计算机科学中有着广泛的应用，例如在人工智能领域中，我们需要使用逻辑来实现知识表示和推理。
代数系统是离散数学中的另一个重要分支，它研究的是数学对象之间的代数关系。
在代数系统中，我们可以学习到群论、环论、域论等等。
代数系统在计算机科学中有着广泛的应用，例如在密码学中，我们需要使用代数系统来设计加密算法和解密算法。
除此之外，离散数学还包括了排列组合、图论算法、离散概率论、离散优化等等内容。
这些内容在计算机科学中都有着广泛的应用，例如在算法设计中，我们需要使用排列组合来分析算法的时间复杂度和空间复杂度。
总的来说，离散数学是计算机科学中非常重要的数学基础学科，它涉及到了计算机科学中的许多重要问题和应用。
学好离散数学对于计算机科学专业的学生来说是非常重要的。
第3章-线性离散系统数学描述
根据线性系统叠加原理 ，已知 h * ( t )后，任意输入脉冲序列 u * ( t )， 可得系统输出为 y * ( t ) = u( 0 ) h * ( t ) + u (1) h * ( t − T ) + L + u( n ) h * ( t − nT ) + L y ( k ) = ∑ u ( j ) h( k − j ) =
z →1
i =0 i =1 m n
已知，用递推法求解。 例3 − 2 − 2 y ( k + 1) = ay ( k ) + bu( k ), 设 y ( 0 )、 u( k )已知，用递推法求解。 解： k = 0 k =1 M
k
y (1) = ay ( 0 ) + bu( 0 ) y ( 2 ) = ay (1) + bu(1) = a 2 y ( 0 ) + abu ( 0 ) + bu(1)
它的齐次方程为 y( k + n) + a1 y( k + n − 1) + L + a n y( k ) = 0
它的特征方程为 r n + a1 r n −1 + a 2 r n − 2 + L + a n = 0
个特征根： 有 n个特征根： 则方程通解为： （1）若解为 n个单根 r1 , r2 , L , rn , 则方程通解为： y ( k ) = c 1 r1k + c 2 r2k + L + c n rnk； 重根， （2）若解有 m 重根，则 m 重根的解的形式为 r k , kr k , k 2 r k， ， k m -1 r k的线性组合， 的线性组合， L 通解中的系数 c n由系统的初始条件确定 。
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• 一般的求解方法有留数定理法、长除法、部分分式法。 • 长除法原理是将 F(������) 展开成关于 ������ 的负幂项的降幂排列；值得注意的是，
这里项数有无穷多项。一般会根据要求近似取前若干项。
• 部分分式法要求将F(������)进行部分分式化简，化成若干真分式和整式之和
的形式，根据Z变换对照表和性质直接写出原函数。
������ℎ ������������ =
零阶保持器具有良好的低通特性。
离散控制系统数学处理基础
• 根据线性系统分析，从时域上，描述离散系统使用差分方程；从复数域
上描述，则需用采取“Z变换”分析。这是解析法。
• 根据DSP知识，可以使用动态结构框图或信号流图描述离散时间系统。
这是结构分析法。
• 在控制系统中，引入脉冲传递函数，根据脉冲传函来确定控制系统的性
采样定理
• • •
据DSP原理，对于一个时域上的模拟信号采样，在频谱上即可看作将源信号频 谱以采样频率为单位移位进行周期延拓。 对于采样信号，实际中更关注信号复现的效果，一般采取低通滤波的办法得 到原信号的基波成分。为获得原信号，在频域上频谱延拓应在不对基波频率 产生混叠。因此，对采样频率有一定要求。 香浓（Shannon）采样定理：
离散控制系统
采样控制系统——框图 数字控制系统——框图
信号采样与复现
• 定义：
采样：系统将连续的模拟量转化为离散量的信号传输过程。 复现：系统对D/A转换装置输出的瞬间模拟量经“保持器”连续化。
• 实现方式：
采样：采样开关电路控制；A/D转换器。 复现：零阶保持器。
信号的频谱
• 信号的频谱是指时域信号的傅里叶级数各次谐波幅值在频率轴上的分布
能指标和特点。
Z变换
• •
Z变换是离散拉普拉斯变换的另一种表现形式。 在采样函数������ ∗ (������)的拉氏变换������ ∗ (������)中，令：������ = ������ ������������ 可得：
∞
������ ������ = ������ ������������ ������ −������
离散控制系统的 基本概念和数学基础
151143401 陈嘉铭
内容提要
• 1、离散控制系统的基本概念 • 2、信号的采样与复现 • 3、离散系统的数学模型
离散控制系统
• 定义：
离散控制系统是指信号在传输过程中存在着间歇采样、脉冲序列等离散时间信
号传输的控制系统。
• 分类：
1、采样控制系统——解决暂态性能与控制精度间矛盾的断续控制系统 2、数字控制系统——以微处理器或计算机为控制器控制连续状态受控对象系统
脉冲传递函数
• 线性采样系统初始条件为零时,系统输出信号的z变换与输入信号的z变换
之比,称为线性采样系统的脉冲传递函数,或简称为z传递函数。
• 实际采样系统的输出信号通常是连续信号,为了应用脉冲传递函数概念,
可在系统的输出端虚设一个同步采样开关,使输出成为采样信号。
串联环节的脉冲传函
• 两环节间没有采样开关时： • 两环节间有采样开关时：
差分方程
• •
描述离散系统，通常使用差分方程。解方程有时域和复数域两类解法。 时域解法： 迭代法—— 根据已知值，选定起始迭代时刻，开始逐次迭代。 缺点：没有闭合表达式，无法分析信号或系统的性质。
•
复数域解法： Z变换法——
差分方程两边取Z变换，将原方程转化为Z域的代数方程，求得象函数， 反变换既得原函数。
致谢
• 由衷地感谢中国民航大学王坤老师的耐心指导。感谢组员段少雄同学的
帮助完成“z变换对照表”录入。感谢组员初麟希、邓轶骅两位同按时 休息，从而维持了安静的制作环境。
• 根据零阶保持器的时域函数表达式：
零阶保持器的频率特性
• 设������ = 0时刻输入为理想单位脉冲������(������)，一个周期内的输出值进行傅里叶
变换，既得采样频率表示：
������ sin[( )������] −������������( ) 2������ ������������ ������ ������ ������ ������ ������������ ( )������ ������������ ������
•
工程上，一般取：
信号的复现
• 一般的，采用外推法进行插值，以此来达到使信号连续化的目的，获得
连续信号。
• 外推插值一般称为“保持器”，数学表达式： • 当������ = 0，称“零阶保持器”，当∆������ = 0，有������
������������ = ������0 ，代入上式：
零阶保持器的时域特性
含有零阶保持器的脉冲传函
离散系统的闭环传函
• 闭环结构图：
• 闭环脉冲传函：
参考文献
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谱。其中：周期函数的频谱是离散的。非周期连续函数的频谱是连续周 期性的。
• 对于一般的周期函数：
可以展开成傅里叶级数： （1）
其中：
信号的采样
• 连续信号������(������)经闭合时间为的 ������ 开关������按周期������采样。 • 在理想采样的情况下：
此时相当于获得信号：
其中：
化简可得：
（2）
采样函数的频谱
• 将采样函数（2）式根据傅里叶级数定义展开成（1）式： • 取L������������������������������������. ������������������������������.可得： • 取������ = ������������可得傅里叶变换：
2
3 4 5 6 7
1（t）
t ������ −������������ sin ������������ cos ������������ ������������ （k=0，1，2，…）
逆Z变换
• 从复变函数的角度出发，逆Z变换是求复变函数F(������)是它的奇点处的环
路积分，根据留数定理，也就是求复变函数的留数。
������=0
以上即为Z变换表达式。
•
一般的，可以通过级数求和、部分分式合并化简两种方法求得变换结果。
Z变换性质
• 线性： • 复位移： • 初值定理：
• 时移：
• 终值定理：（终值存在）
Z变换对照表
序号 1 原函数 δ（t） 拉氏���� 1 ������ 2 1 ������ + ������ ������ ������ 2 + ������ 2 ������ ������ 2 + ������ 2 ������变换������（������） 1 ������ ������ − 1 ������������ (������ − 1)2 ������ ������ − ������ −������������ ������ sin ������������ ������ 2 − 2������ cos ������������ + 1 ������（������ − cos ������������ ） ������ 2 − 2������ cos ������������ + 1 ������ ������ − ������