全称量词消去规则
(4)举例
例1 “并非所有的动物都是猫”的表示 设 A(x)：x是动物
B(x)：x是描 原语句可表示成﹁(x)(A(x)B(x)) 依否定型公式得
例2 “天下乌鸦—般黑”的表示 设 F(x)：x是乌鸦
G(x，y)：x与y是一般黑 原语句可表示成
(x)(y)(F(x)^F(y) →G(x,y)) 不难知道与之等值的公式是
✓ 进而消去从左边数第二个存在量词(u)，因(u)的 左边有全称量词(y)(z)，需将谓词P中出现的所有 变元u均以y，z的某个二元函数f(y，z) (f未在P中出
现过，且不知道f具体是哪个函数)代入．
✓ 最后按同样的方法消去存在量词(w)，因(w)的左 边有全称量词(y)(z)和(v)，需将谓词P中出现的 所有变元w均以y，z，v的某个三元函数g(y，z，
5．3 范 式
在命题逻辑里．每一公式都有与之等值的范 式，范式是一种统一的表达形式． 对谓词逻辑的公式来说也有范式，其中前束范 式与原公式是等值的，而其他范式与原公式 只有较弱的关系。
5．3．1 前束范式
定义5．3．1 说公式A是一个前束范式，如果A中的一切 量词都位于该公式的最左边(不含否定词)且这些量词的辖 域都延伸到公式的末端，前束范式A的一般形式为 (Q1x1)…(Qnxn)M(xl，…，xn) 其中Qi为量词或(i＝l，…，n)，M称作公式A的母式(基 式)，M中不再有量词．
首先将全称量词( y)改写成存在量词( y)，其次是引入谓 词S和一个变元z，得S(x，z)，建立公式 ( x)((y)(u)(P(x，y，u)^﹁S(x，y))V(z)S(x，z)) 其中﹁S(x，y)的变元，是(y)的变元y和(y)左边存在量 词( x)的变元x, 附加的(z)S(x，z)中的变元z是新引入的 未在原公式中出现过的个体，S也是不曾在M中出现过的 谓词．
定理5．3．1 谓词逻辑的任一公式都可化为与之等 值的前束范式．但其前束范式并不唯一．
经过这几步，便可求得任一公式的前束范式．由于 每一步变换都保持着等值性，所以，所得到的前束 形与原公式是等值的．
这里的S(a，b，x，y，z)便是原公式的母式．其中 a,b为自由个体变项。
由于前束中量词的次序排列，以及对母式都没有明 确的限制，自然前束范式不是唯一的，如例1的前束 范式也可以是
→(x)(Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx)→R(x))
例2 所有的人都是要死的，孔子是人，所以孔子
是要死的，引入谓词将这三句话形式化，可得如 下推理形式：
(x)(A(x)→B(x))A(孔子)→B(孔子)．
例3 有一个又高又胖的人，必有一个高个 子而且有—个胖子。
引入谓词将这两句话形式化，可得如下推 理形式：
对x而言(y)Q(y)相当于命题变项，与x无关，可推得 (x)P(x)v(y)Q(y)=(x)(P(x)v(y)Q(y))
对y而言，P(x)相当于命题变项与y无关，又可推得 (x)(P(x)v(y)Q(y))=(x)(y)(P(x)vQ(y)) 同理(x)(y)(P(x)^Q(y))=(x)P(x)^(x)Q(x) 然而(x)(y)(P(x)vQ(y))与(x)(P(x)vQ(x)) 是不等值的(x)(y)(P(x)^Q(y))与(x)(P(x)^Q(x)) 也是不等值的
这里所介绍的是谓词逻辑所特有的，在命 题逻辑里不能讨论的推理形式和基本的推 理公式。
5．4 .1 推理形式举例
例1 所有的整数都是有理数，所有的有理 数都是实数，所以所有的整数都是实数． 引入谓词将这三句话形式化，可得如下推 理形式: (x)(P(x)→Q(x))(x)(Q(x)→R(x))
(1) 前束范式(略)
一个公式的前束范式为 (x1)…(xi)(xi+1)…(xn )M(x1，…，xn) 即存在量词都在全称量词的左边，且可保持至少有一个存在 量词(i≥1)，其中M(x1，…，xn)中不再含有量词也无自由个 体变项
▪ 定理5.3.2 谓词逻辑的任一公式A，都可化成相应 的前束范式，并且A是普遍有效的当且仅当其前 束范式是普遍有效的。
第5章 谓词逻辑的等值和推理演算
谓词逻辑研究的对象是重要的逻辑规律， 普遍有效式是最重要的逻辑规律，而等值 式、推理式都是普遍有效的谓词公式，因 此等值和推理演算就成了谓词逻辑的基本 内容．
这章的讨论，主要是以语义的观点进行的 非形式的描述，而严格的形式化的讨论见 第6章所建立的公理系统．
5．1 否定型等值式
若将命题公式的等值式，直接以谓词公式代入命题 变项便可得谓词等值式．由
﹁﹁p＝p,p→q=﹁p∨q, (p∧q)∨r=(p∨r)∧(q∨r)
可得(以下每两个为一对：无量词、有量词)
﹁﹁P(x)＝P(x) ﹁﹁(x)P(x)＝(x)P(x) P(x)→Q(x)＝﹁P(x)∨Q(x) (x)P(x)→(x)Q(x)＝﹁ (x)P(x)∨(x)Q(x) (P(x)∧Q(x))∨R(x)=(P(x)∨R(x))∧(Q(x)∨R(x)) ((x)P(x)∧Q(y))∨(z)R(z)
例3 求公式
(x)(y)(z)(u)(v)(w)P(x,y,z,u,v,w)
的Skolem标准形．
✓ 将一公式化成Skolem标准形，首先也要求出前束 形．这个例子已是前束形了，便可直接求Skolem 标准形了．
✓ 首先将最左边的(x)消去，而将谓词P中出现的所 有变元x均以论域中的某个常项a(a未在P中出现过, 且不知道a具体是哪个常量）代入。
5．2．2 量词对→的分配律
这是一组量词对→的分配律，其中p，q是命题变项， 与个体变元x无关，这是很重要的条件．
5.2节介绍的等值公式中仅有这里的第一、二个公 式有量词的改变！！
先证明其中的第一个等式．
依5．2．1的等值式 依5．l．2的等值式
再证明其中的第三个等式
依5．2．l的等值式 其余两个等值式同样可证．
=((x)P(x)∨(z)R(z))∧(Q(y)∨(z)R(z))
5．1．2 否定型等值式 （摩根律的推广）
﹁(x)P(x)=(x)﹁P(x) ﹁(x)P(x)=(x)﹁P(x) 形式上看这对公式，是说否定词”﹁”可越过量词 深入到量词的辖域内，但要把所越过的量词转 换为，转换为.
(x)(z)(y)(S(a,b,x,y,z)P)
其中P可以是任一不含量词的普遍有效的公式。
5．3．2 Skolem标准形
前束范式对前束量词没有次序要求，也没 有其他要求．如果对前束范式进而要求所 有存在量词都在全称量词之左得到存在前 束范式(略)，或是只保留全称量词而消去存 在量词得到Skolem标准形。不难想像，仍 保持与原公式的等值性就不可能了，只能 保持在某种意义下的等值关系．
﹁(x)(y)(F(x)^F(y)^﹁G(x,y)) 即不存在x,y是乌鸦但不一般黑．这两句话含义是相同
的．经计算有
5．2 量词分配等值式
一、含单独的命题变项，与x无关
5．2．1 量词对、的分配律
这是一组量词对、的分配律，其中q是命题变 项，与个体变元x无关，这是很重要的条件．
我们仅对第一个等式给出证明，其余三个同样可 证．
v)(g未在P中出现过也不同于f )代入．
✓ 这样便得消去全部存在量词的Skolem标准形 (y)(z)(v)P(a,y,z,f(y,z),v,g(y,z,v))．
5．4 基本的推理公式
命题逻辑中有关推理形式、重言蕴涵以及 基本的推理公式的讨论和所用的术语，都 可引入到谓词逻辑中．并可把命题逻辑的 推理作为谓词逻辑推理的一个部分来看 待．
等值：若给定了两个谓词公式A，B，说A 和B是等值的，如果在公式A，B的任一解 释(注意在谓词逻辑中，解释的范围还包含 论域以外的其他要素，见P65)下，A和B都 有相同的真值．
其他说法：A，B等值当且仅当A↔B是普遍 有效的公式(注意这里不再说重言式了)．记 作A＝B或AB。
5．1．1 由命题公式移植来的等值式
▪ 另一种Skolem标准形是仅保留全称量词的前束 形．
▪ 定理5.3.3 谓词逻辑的任一公式A，都可化成相 应的Skolem标准形(只保留全称量词的前束形)， 并且A是不可满足的当且仅当其Skolem标准形是 不可满足的．
这定理是说对不可满足的公式，它与其Skolem标 准形是等值的，而一般的公式与其Skolem标准形 并不是等值的．自然仅当A是不可满足的方使用 Skolem标准形.
设在一解释I下，(x)(P(x)q)=T，从而对任 一x D ，有P(x)q=T 若q＝T，则(x)P(x)q=T 若q＝F，从而对任一x D ，有P(x) =T ，即 有(x)P(x)=T，故仍有，(x)P(x)q=T
反过来，设在一解释I下，(x)P(x)q=T，若 q=T，则(x)(P(x)q)=T 若q=F，必有(x)P(x)=T，从而对任一xD 有P(x)=T，于是对任一x D有P(x)q=T故 (x)(P(x)q)=T．
(1)从语义上说明 (2)例：在{l，2}域上分析
﹁(x)P(x)=﹁(P(1)P(2))=﹁P(1)v﹁P(2) =(x) ﹁P(x)
﹁(x)P(x)=﹁(P(1)vP(2))=﹁P(1) ﹁P(2) =(x)﹁P(x)
(3)语义上的证明
证明方法：依等值式定义，A=B如果在任一解释I下 A真B就真，而且B真A就真． 若证明﹁(x)P(x)=(x)﹁P(x) 1. 设某一解释I下若﹁(x)P(x)=T 从而(x)P(x)=F，即有一个xoD,使P(Xo)=F 于是﹁P(xo)=T 故在I下(x)﹁P(x)=T 2. 反过来，设某一解释I下若 (x) ﹁P(x)=T 即有一个xoD,使﹁P(Xo)=T 从而P(Xo)=F 于是(x) P(x)=F 即﹁ (x)P(x)=T
一些例子
5．2．4 变元易名后的分配律 (在求前束范式时有很大作用)
离散数学第2章第3节
(x)(y) A( x, y) (y)(x) A( x, y)
具有两个量词的谓词公式有如下一些蕴含关系：
(x)(y) A( x, y) (y)(x) A( x, y) (y)(x) A( x, y) (x)(y) A( x, y)
(y)(x) A( x, y) (x)(y) A( x, y)
用分析法证明 (x)A(x)∨(x)B(x)(x)(A(x)∨B(x)) 。 证明 若(x)(A(x)∨B(x))为假, 则必有个体a, 使 A(a)∨B(a)为假; 因此A(a), B(a)皆为假, 所以(x)A(x)和(x)B(x)为假， 即 (x)A(x)∨(x)B(x)为假。 故(x)A(x)∨(x)B(x)(x)(A(x)∨B(x))
xi(i=1,2,
…,n)是客体变元，
Aij是原子公式或其否定。
举例
(x)(u)(z)(( P( x) P(u)) ( P( x) Q( y, z)) (Q( x, y) P(u)) (Q( x, y) Q( y, z)))
(x)(z)(y){[P ( x a) ( z b)] [Q( y) (a b)]}
命题演算的等价式
P Q P Q
P Q (P Q)
P P F
(x) H ( x, y) (x) H ( x, y) F
2、量词与联结词¬之间的关系 ¬ (x)P(x) (x)¬ P(x) ¬ (x)P(x) (x)¬ P(x)
其中Qi(1≤i≤k)为或, A为不含有量词的谓词公式。
特别地，若谓词公式中无量词，则该公式也看作 是前束范式。 前束范式的特点:所有量词均非否定地出现在公 式最前面，且它的辖域一直延伸到公式之末。
实验逻辑学智慧树知到答案章节测试2023年南开大学
绪论单元测试1.A:错B:对答案:B2.Boole中的语句不能粘贴到Fitch中。
（）A:对B:错答案:B第一章测试1.要打开Tarski’s World，点击文件Tarski’s World.exe。
A:对B:错答案:A2.在Tarski’s World中，要打开事先保存的世界文件和语句文件，可以点击File菜单中的Open命令。
A:对B:错答案:A3.在Tarski’s World中，要保存一份世界文件，最安全的命令是Save World 。
A:对B:错答案:B4.在棋盘上放置一个模块，点击工具栏中的（）。
A:New按钮B:Play Game按钮C:Verify按钮D:打印按钮答案:A5.要删除一个世界文件的方法之一是（）。
A:在File菜单中，点击Clear命令B:点击Play Game按钮C:Verify按钮D:点击New按钮答案:A6.当你在语句窗口中，输入的是一个合式公式时，靠近语句标号的左边显示（）。
A:FB:+C:*D:T答案:B7.在Tarski’s World中，模块的大小有（）这几种情况。
A:中B:大C:较小D:小答案:ABD8.在Tarski’s World中，模块的形状有（）这几种情况。
A:立方体B:圆C:十二面球体D:锥体答案:ACD9.在Tarski’s World中，一个模块的名字可以有（）。
A:三个B:一个C:四个D:两个答案:ABCD10.Tarski’s World不允许给一个模块命名多个名字。
A:对B:错答案:B第二章测试1.要打开Fitch，点击文件Fitch.exe.A:对B:错答案:A2.在Fitch中，要打开Fitch练习文件夹中的文件，可以使用File菜单中的Open命令。
A:错B:对答案:B3.在Fitch中，要保存一份已完成的证明，用Save As命令。
A:对B:错答案:A4.在Fitch的一个证明过程中，要在一行的前面增加一行，点击Proof菜单中的（）。
离散数学符号
《离散数学》符号表∀ 全称量词（任意量词）∃ 存在量词├ 断定符（公式在L 中可证）╞ 满足符（公式在E 上有效，公式在E 上可满足）┐ 命题的“非”运算∧ 命题的“合取”（“与”）运算∨ 命题的“析取”（“或”，“可兼或”）运算→ 命题的“条件”运算↔ 命题的“双条件”运算的B A ⇔ 命题A 与B 等价关系B A ⇒ 命题A 与B 的蕴涵关系*A 公式A 的对偶公式wff 合式公式iff 当且仅当V 命题的“不可兼或”运算（ “异或门” ）↑ 命题的“与非” 运算（ “与非门” ）↓ 命题的“或非”运算（ “或非门” ）□ 模态词“必然”◇ 模态词“可能”φ 空集∈ 属于（∉不属于）A μ（·） 集合A 的特征函数P （A ） 集合A 的幂集A 集合A 的点数nA A A ⨯⨯⨯ （n A ） 集合A 的笛卡儿积R R R =2 )(1R R R n n -= 关系R 的“复合”0ℵ 阿列夫零ℵ 阿列夫⊇ 包含⊃ 真包含∪集合的并运算 ∩集合的交运算 - （～）集合的差运算 ⊕集合的对称差运算 m + m同余加 m ⨯ m同余乘 〡限制 R x ][集合关于关系R 的等价类 A /R集合A 上关于R 的商集 )(A R π集合A 关于关系R 的划分 )(A R π集合A 关于划分π的关系 ][a元素a 产生的循环群 R a ][元素a 形成的R 等价类 r C由相容关系r 产生的最大相容类 I环，理想 )/(n Z模n 的同余类集合 )(mod k b a ≡a 与b 模k 相等 )(R r关系R 的自反闭包 )(R s关系R 的对称闭包+R ，)(R t 关系R 的传递闭包*R ，)(R rt 关系R 的自反、传递闭包.i H 矩阵H 的第i 个行向量j H . 矩阵H 的第j 个列向量CP 命题演绎的定理（CP 规则）EG 存在推广规则（存在量词引入规则）ES 存在量词特指规则（存在量词消去规则）UG 全称推广规则（全称量词引入规则）US 全称特指规则（全称量词消去规则）A I ，0R 恒等关系A 集合A 的补集X X 所有X 到自身的映射X Y 所有从集合X 到集合Y 的函数)(][A A K 集合A 的势（基数）R 关系r 相容关系 R 否关系R 补关系1-R （c R ） 逆关系S R 关系R 与关系S 的复合n nR R R R ,关系R 的n 次幂 r rB B B 222,⨯⨯ 布尔代数2B 的r 次幂 r B 2 含有r 2个元素的布尔代数domf 函数f 的定义域（前域）ranf 函数f 的值域Y X f →： （Y X f −→−） f 是X 到Y 的函数 ),(y x GCD y x ,最大公约数),(y x LCM y x ,的最小公倍数e 幺元θ 零元1-a 元素a 的逆元)(Ha aH H 关于a 的左（右）陪集)(f Ker 同态映射f 的核（或称f 的同态核）A ，B ，C 合式公式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n 二项式系数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p n n n n ,,,21 多项式系数[1，n] 1到n 的整数集合)1()1(][+--=k x x x x k)1()1(][-++=k x x x x kk nC 组合数 ),(v u d 点u 与点v 间的距离)(v d 点v 的度数)(v d + 点v 的出度)(v d - 点v 的入度),(E V G = 点集为V ，边集为E 的图G 图G 的补图G G '≅ 图G 与图G '同构*G 平面图G 的对偶图W(G) 图G 的连通分支数)(G κ 图G 的点连通度)(G λ 图G 的边连通度)(G δ图G 的最小点度 )(G ∆图G 的最大点度 A(G)图G 的邻接矩阵 P(G)图G 的可达矩阵 M(G)图G 的关联矩阵 n Kn 阶完全图 m n K ,完全二分图 C复数集 N自然数集（包含0在内） +N正自然数集 P素数集 Q有理数集 +Q正有理数集 -Q负有理数集 R实数集 Z整数集 m Z]}[,,]2[,]1{[m Set集范畴 Top拓扑空间范畴 Ab交换群范畴 Grp群范畴Mon 单元半群范畴Ring 有单位元的（结合）环范畴Rng 环范畴CRng 交换环范畴R-mod 环R的左模范畴mod-R 环R的右模范畴Field 域范畴Poset 偏序集范畴仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
《离散数学》总复习上课讲义
第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算（重点） 3.3 集合中元素的计数（容斥原理是重点）
3.1 集合的基本概念
元素x与集合A的关系：属于xA，不属于xA 集合A与集合B的关系：习题3.2, 3.8, 3.12, 3.16
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
习题1.18, 1.21, 1.17(2)。六1
注意事项1：命题
只有能确定真假(但不能可真可假)的陈述句才是 命题. 不管是正确的观点, 还是错误的观点, 都 是命题. 猜想和预言是命题, 如哥德巴赫猜想.
pq为假当且仅当 p 为真 q 为假，即 当p为假时，pq为真(不管q为真, 还是为假); 当q为真时，pq为真(不管p为真, 还是为假). 习题1.5(6)(7)
了解概念、掌握方法
真值表、命题公式类型 所有等值的含n个命题变项的公式对应同一
个n元真值函数F:{0,1}n{0,1}；哑元 最小联结词组 对偶式与对偶原理 简单析取式、简单合取式 析取范式与合取范式 附加前提证明法、反证法
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意事项1：前束范式（重点）
设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q(11xi1Qk2)x为2…或Qkx，kBB, 则为称不A含为量前词束的范公式式, 其. 中Qi
重要的推理定律 第一组 命题逻辑推理定律代换实例 第二组 由基本等值式生成（置换规则） 第三组 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))
离散数学第二章
5
3 量词的有关概念
1. 全称量词： “所有的”，“任何一个”，“每 全称量词： 所有的” 任何一个” 一个” 凡是” 一切” 一个”，“凡是”，“一切”表示个体域中每一 表示，称为全称量词。 用符号“ 个，用符号“∀”表示，称为全称量词。
如，所有的人都要呼吸。 所有的人都要呼吸。
16
常用一阶逻辑中的基本等值式
1. 有限个体域 有限个体域D={a1, a2, … ,an }中消去量词 中消去量词 等值式: 等值式
1) ∀xA( x) ⇔ A(a1 ) ∧ A(a2 ) ∧⋯∧ A(an );
2) ∃xA( x ) ⇔ A(a1 ) ∨ A(a2 ) ∨ ⋯ ∨ A(an ).
10
指导变项（ 指导变项（元）等概念
在合式公式∀ 和 在合式公式∀xA和∃xA中，称x是指导变元，称A为相应量词 中 是指导变元， 为相应量词 作用域或辖域。 的作用域或辖域。 在辖域中x的出现称为 在公式 中的约束出现 在辖域中 的出现称为x在公式 中的约束出现； 的出现称为 在公式A中的约束出现； 公式A中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现. 中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现 公式 中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现 例1 指出下列公式中的指导变项、量词的辖域、个体变项的 指出下列公式中的指导变项、量词的辖域、 自由出现和约束出现. 自由出现和约束出现 1) 2) ∀xF(x,y)→∃x(G(x) ∧¬ ∀zP(x,z)) → ∀x ∃ y(A(x,y)→∃z(B(x) ∧P(x,z))) →
永假式 如果 在任何解释下均为假 称A为矛盾 如果A在任何解释下均为假 解释下均为假,称 为 或称永假式 式(或称永假式 ； 或称永假式)； 如果存在一个解释使A为真 则称A为 为真,则称 可满足式 如果存在一个解释使 为真 则称 为 可满足式； 可满足式；
离散数学结构 第5章 一阶逻辑等值演算与推理复习
第5章一阶逻辑等值演算与推理主要内容1. 等值式与基本的等值式①在有限个体域中消去量词等值式②量词否定等值式③量词辖域收缩与扩张等值式④量词分配等值式2. 基本规则①置换规则②换名规则③代替规则3. 前束范式4. 推理理论①推理的形式结构②推理正确③构造证明④新的推理规则全称量词消去规则，记为UI全称量词引入规则，记为UG存在量词消去规则，记为EI存在量词引入规则，记为EG学习要求1. 深刻理解重要的等值式，并能熟练地使用它们。
2. 熟练地使用置换规则、换名规则和代替规则。
3. 准确地求出给定公式的前束范式（形式可不唯一）。
4. 正确地使用UI、UG、EI、EG规则，特别地要注意它们之间的关系。
5. 对于给定的推理，正确地构造出它的证明。
5.1 一阶逻辑等值式与置换规则定义5.1设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若A B是永真式，则称A与B是等值的。
记做A B，称A B是等值式。
谓词逻辑中关于联结词的等值式与命题逻辑中相关等值式类似。
下面主要讨论关于量词的等值式。
一、基本等值式第一组代换实例由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的永真式，因而第二章的16组等值式给出的代换实例都是一阶逻辑的等值式的模式。
例如：xF(x)┐┐xF(x)x y(F(x,y)→G(x,y))┐┐x y(F(x,y)→G(x,y))等都是(2.1)式的代换实例。
又如：F(x)→G(y)┐F(x)∨G(y)x(F(x)→G(y))→zH(z)┐x(F(x)→G(y))∨zH(z))等都是(2.1)式的代换实例。
第二组消去量词等值式设个体域为有限域D={a1,a2,…,a n}，则有(1)xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(a n)(2)xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(a n) (5.1)第三组量词否定等值式设A(x)是任意的含有自由出现个体变项x的公式，则(1)┐xA(x)x┐A(x)(2)┐xA(x)x┐A(x) (5.2)(5.2)式的直观解释是容易的。
谓词逻辑(4)
逻辑树方法
（1）全称量词消去规则 （ -） xAx | A(x/t) [A(x/t)表示消去全称量词x，并用个体词t代入A中的个体变 元x的每一次出现而得到的公式。]
命题自然推理的规则
规则 D 在推理过程中如果在原有前提下，假 定A，因而推出B，则在原有前提下就可以推出 A B。 归谬规则：如果从一前提集和A的否定可以推出 矛盾，则可以从该前提集推出A。
[例1]
如果工资提高(p)，或者物价提高(q) ，则将有通货膨胀 (r) 。如果通货膨胀，则或者国家将采取紧缩政策(s) ， 或者人民将遭受损失(t) 。如果人民遭受损失，改革就 会失去人心(u) 。国家将不采取紧缩政策，并且改革不 会失去人心。因此，物价不会提高。 pq r r s t t u s u …… q
是敌人。
Dx表示x是敌人，Yx表示x是友好的，论域为全域。 x(Dx → Yx)
…… x(Yx → Dx)
(1) x(Dx → Yx) (2) Dy → Yy (3) Dy Yy (4) Yy Dy (5) Yy → Dy (6) x(Yx → Dx) 推理有效。
构造真值树的规则，也称为生成新枝规则，包括
（1）合取分解规则：A B A B
（2）析取分解规则：A B
A B
（3）双否分解规则： A A
（4）蕴含分解 规则: A B A B （5）等值分解 规则: A B A B A B
常用数学符号大全
常用数学符号大全1、几何符号⊥∥∠⌒⊙≡≌△2、代数符号∝∧∨～∫≠≤≥≈∞∶3、运算符号如加号（＋），减号（－），乘号（×或·），除号（÷或／），两个集合的并集（∪），交集（∩），根号（√），对数（log，lg，ln），比（：），微分（dx），积分（∫），曲线积分（∮）等。
4、集合符号∪∩∈5、特殊符号∑π（圆周率）6、推理符号|a| ⊥∽△∠∩∪≠≡±≥≤∈←↑→↓↖↗↘↙∥∧∨&; §①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩ΓΔΘΛΞΟΠΣΦΧΨΩαβγδεζηθικλμνξοπρστυφχψωⅠ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻⅰ ⅱ ⅲ ⅳ ⅴ ⅵ ⅶ ⅷ ⅸ ⅹ∈∏∑∕√∝∞∟ ∠∣∥∧∨∩∪∫∮∴∵∶∷∽≈≌≒≠≡≤≥≦≧≮≯⊕⊙⊥⊿⌒℃指数0123：o1237、数量符号如：i，2+i，a，x，自然对数底e，圆周率π。
8、关系符号如“＝”是等号，“≈”是近似符号，“≠”是不等号，“＞”是大于符号，“＜”是小于符号，“≥”是大于或等于符号（也可写作“≮”），“≤”是小于或等于符号（也可写作“≯”），。
“→ ”表示变量变化的趋势，“∽”是相似符号，“≌”是全等号，“∥”是平行符号，“⊥”是垂直符号，“∝”是成正比符号，（没有成反比符号，但可以用成正比符号配倒数当作成反比）“∈”是属于符号，“??”是“包含”符号等。
9、结合符号如小括号“（）”中括号“［］”，大括号“｛｝”横线“—”10、性质符号如正号“＋”，负号“－”，绝对值符号“| |”正负号“±”11、省略符号如三角形（△），直角三角形（Rt△），正弦（sin），余弦（cos），x的函数（f(x)），极限（lim），角（∠），∵因为，（一个脚站着的，站不住）∴所以，（两个脚站着的，能站住）总和（∑），连乘（∏），从n个元素中每次取出r个元素所有不同的组合数（C(r)(n) ），幂（A，Ac，Aq，x^n）等。
x本科数理逻辑一阶逻辑与集合4-6
例4： 前提∀x F(x)∨∀x G(x)) 结论 ∀x （F(x)∨ G(x)) 可用反证法 例5: 前提∀x (F(x)∨G(x)) , ∀x （F(x)→ H(x)) 结论 ∀x ( ┑H(x) → G(x)) 例6: 前提∃x (F(x) ∧ ∀y( G(y) → L(x,y)) ), ∀x（F(x)→ ∀y( H(y) → ┑L(x,y)) ) 结论 ∀x (G(x) → ┑H(x)) 作业：第五章
三、集合的幂集
1、 n个元素集合A的m元子集 集合A的所有子集个数 2．幂集 定义5 设A为集合，把A的全体子集构成的集合叫做A的幂集， 记作P(A)(或2A) 幂集的符号化表示为： P(A) ＝{ x | x ⊆ A } 注：幂集是以子集合为元素的集合 任何集合A一定有二个平凡子集 ：Ø 和 A 例：设 S＝｛a,{a}, Ø ｝ 求P(S) 3、对于隶属关系和包含关系要明确 例：证明 A ⊆ B 的充要条件是P（A）⊆ P（B）
例:判断真假
1) a ∈{ {a}} 2){a}∈{ {a}}
例:设S＝｛2，a,{3},4｝ R={ {a},3,4,1 }判断真假 1) {a,4,{3}}⊆ S 2) {a} ⊆ S 3) {a} ∈ R 4) {a} ⊆ R 5) Ø ∈ R 6){Ø} ∈ R 7） Ø ⊆ {a} 8) Ø ⊆ ｛{a}｝⊆R ⊆E
A(y)= ∃x P(x,y)：x>y 若用x取代y 成为 ∀x∃x P(x,x)：x>x错误结论 3) 存在量词引入规则(简称EG规则或EG) A(c ) ⇒ ∃xA(x) 该式成立的条件是： (1) c是特定的个体常项； (2) 取代c的x不能在A(c)中出现过； 4) 存在量词消去规则(简记为EI规则或EI) ∃x A(x) ⇒ A(c) 该式成立的条件是： (1)c是使A为真的特定的个体常项；（有时可能仅有一个） (2) c不在A(x)中出现； (3)若A(x)中除自由出现的x外，还有其他自由出现的个体变 项，此规则不能使用． 如：设F(x):x为奇数 G(x)：为偶数 ∃xF(x)∧∃xG(x) 可推出假的结论
离散常用数学符号
离散常用数学符号人才源自知识，而知识的获得跟广泛的阅读积累是密不可分的。
古人有书中自有颜如玉之说。
杜甫所提倡的读书破万卷, 下笔如有神等，无不强调了多读书广集益的好处。
这篇离散常用数学符号，希望可以加强你的基础。
离散数学符号├ 断定符(公式在L中可证)╞ 满足符(公式在E上有效，公式在E上可满足)┐ 命题的非运算命题的合取(与)运算命题的析取(或，可兼或)运算命题的条件运算AB 命题A 与B 等价关系A=B 命题 A与 B的蕴涵关系A* 公式A 的对偶公式wff 合式公式iff 当且仅当命题的与非运算( 与非门 )命题的或非运算( 或非门 )□ 模态词必然◇ 模态词可能空集属于(??不属于)P(A) 集合A的幂集|A| 集合A的点数R^2=R○R [R^n=R^(n-1)○R] 关系R的复合(或下面加 ) 真包含集合的并运算集合的交运算- (～) 集合的差运算〡限制[X](右下角R) 集合关于关系R的等价类A/ R 集合A上关于R的商集[a] 元素a 产生的循环群I (i大写) 环，理想Z/(n) 模n的同余类集合r(R) 关系 R的自反闭包s(R) 关系的对称闭包CP 命题演绎的定理(CP 规则)EG 存在推广规则(存在量词引入规则)ES 存在量词特指规则(存在量词消去规则) UG 全称推广规则(全称量词引入规则)US 全称特指规则(全称量词消去规则)R 关系r 相容关系R○S 关系与关系的复合domf 函数的定义域(前域)ranf 函数的值域f:XY f是X到Y的函数GCD(x,y) x,y最大公约数LCM(x,y) x,y最小公倍数aH(Ha) H 关于a的左(右)陪集Ker(f) 同态映射f的核(或称 f同态核) [1，n] 1到n的整数集合d(u,v) 点u与点v间的距离d(v) 点v的度数G=(V,E) 点集为V，边集为E的图W(G) 图G的连通分支数k(G) 图G的点连通度△(G) 图G的最大点度A(G) 图G的邻接矩阵P(G) 图G的可达矩阵M(G) 图G的关联矩阵C 复数集N 自然数集(包含0在内)N* 正自然数集P 素数集Q 有理数集R 实数集Z 整数集Set 集范畴Top 拓扑空间范畴Ab 交换群范畴Grp 群范畴Mon 单元半群范畴Ring 有单位元的(结合)环范畴Rng 环范畴CRng 交换环范畴R-mod 环R的左模范畴mod-R 环R的右模范畴Field 域范畴Poset 偏序集范畴感谢你阅读离散常用数学符号。