离散点拟合曲线,Bezier,B样条
B样条曲线
Bezier曲线
给定P0、P1、P2、P3，三次曲线的参数形式如下：
三次曲线的动态图如下：
对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0、Q1、Q2，和由二次曲线描述的点R0、R1所建 构。P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中 定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于P0走向P1， 并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2；这两 个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的间距， 决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长 度有多长”。
Bezier曲线
更高阶的贝塞尔曲线，可以用以下公式表示：用表示由点 P0、P1、…、Pn所决定的贝塞尔曲线。则有：
高阶曲线的动态图如下：
要“画”出贝塞尔曲线，一般需要进行 较多的计算，然后绘制出来。
Bezier曲线 Bezier曲线的一般化形式：
即：
其中多项式：
又称作 n 阶的伯恩斯坦基底多项式，定义 00 = 1。
B样条曲线
Bezier曲线改变一点曲线整体受影响
B样条曲线
B样条曲ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的优点：
易于进行局部修改； 更逼近特征多边形；
是低阶次的曲线。
B样条曲线改变一点曲线局部受影响
B样条曲线
均匀B样条曲线的参数表达式为：
式中为n次B样条基函数，其形式为：
其中
B样条曲线
B样条曲线的C语言实现
#include<graphics.h> #include<conio.h> float px[10]={50,90,150,120,220,300,380,320,450,500}; float py[10]={100,60,50,150,240,100,100,200,250,130}; void B_spline() { float a0,a1,a2,a3,b0,b1,b2,b3; int k,x,y; float i,t,dt,n=10; setcolor(15); dt=1/n; for(k=0;k<10;k++) { if(k==0) moveto(px[k],py[k]); lineto(px[k],py[k]); } setcolor(4); for(k=0;k<10-3;k++) { if(getch()==17)exit();
Bezier曲线和BSpline曲线的拟合问题
Bzeier曲线和BS pline曲线 目录一、 重述 .................................................. 错误！未定义书签。
二、r曲线 和 ........................ 错误！未定义书签。
r曲线 定义 ............................... 错误！未定义书签。
r曲线 性质 ............................... 错误！未定义书签。
2.3 三次Bezier曲线 .................... 错误！未定义书签。
2.3.1 三次r 算法错误！未定义书签。
2.3.2 三次r 算法.错误！未定义书签。
2.3.3 两种Bezier算法 ..... 错误！未定义书签。
r曲线 ............................... 错误！未定义书签。
三、n e曲线 和 ...................... 错误！未定义书签。
n e曲线 定义 ............................. 错误！未定义书签。
3.2 B样条性质........................................ 错误！未定义书签。
3.3 均匀B样条......................................... 错误！未定义书签。
3.4 三次B样条 算法.......................... 错误！未定义书签。
3.4 三次样条 算法错误！未定义书签。
3.5 两种BSpline .................... 错误！未定义书签。
四、r曲线与e曲线 区别和联系错误！未定义书签。
1、 述算法 ........ 错误！未定义书签。
一、 重述 两 两 一 两 两 。
python离散点拟合曲线
python离散点拟合曲线在Python中，可以使用多种方法进行离散点拟合曲线。
以下是几种常用的方法：1. 多项式拟合（Polynomial Fitting），多项式拟合是一种简单而常用的方法。
通过使用`numpy.polyfit`函数可以拟合出一个多项式曲线，该函数的输入是离散点的横坐标和纵坐标，以及所需的多项式的阶数。
多项式拟合的优点是简单易用，但在一些情况下可能会过度拟合数据。
2. 最小二乘法拟合（Least Squares Fitting），最小二乘法是一种常见的拟合方法，通过最小化离散点与拟合曲线之间的平方误差来确定拟合曲线的参数。
在Python中，可以使用`scipy.optimize.curve_fit`函数进行最小二乘法拟合。
该函数需要定义一个拟合函数，并提供离散点的横坐标和纵坐标作为输入。
3. 样条插值（Spline Interpolation），样条插值是一种光滑的拟合方法，通过连接离散点来生成光滑的曲线。
在Python中，可以使用`scipy.interpolate`模块中的`interp1d`函数进行样条插值。
该函数可以根据给定的离散点生成一个可调用的插值函数，可以用于生成拟合曲线。
4. 非线性拟合（Nonlinear Fitting），非线性拟合适用于数据拟合问题中的非线性模型。
在Python中，可以使用`scipy.optimize.curve_fit`函数进行非线性拟合。
该函数需要定义一个拟合函数，并提供离散点的横坐标和纵坐标作为输入。
除了上述方法，还有其他一些拟合方法，如局部加权回归（Locally Weighted Regression）和高斯过程回归（Gaussian Process Regression）。
这些方法可以根据具体的需求选择使用。
总之，在Python中进行离散点拟合曲线有多种方法可供选择，每种方法都有其特点和适用场景。
根据数据的特点和需求，选择适合的方法进行拟合可以得到较好的结果。
贝塞尔曲线B样条NURBS样条学习总结
Bezier曲线、B样条曲线和NURBS曲线0.概述1. 贝塞尔曲线（Bezier Curve）：贝塞尔曲线由一组控制点和控制点上的权重组成。
贝塞尔曲线的阶数由控制点的数量决定，阶数为n的贝塞尔曲线需要n+1个控制点。
贝塞尔曲线具有局部控制的特性，即曲线上的一段由相邻的几个控制点决定，不受其他控制点的影响。
贝塞尔曲线的计算相对简单，但在变形过程中可能会出现形状扭曲的问题。
2. B样条（B-Spline）： B样条曲线是一种基于分段多项式的曲线表示方法。
与贝塞尔曲线不同，B样条曲线的每个控制点都有一个关联的基函数。
这些基函数决定了曲线上每一点的形状。
B样条曲线的阶数可以是任意的，较高阶的B样条曲线能够更灵活地描述复杂的曲线形状。
B样条曲线具有良好的局部控制性和平滑性，可以很好地避免贝塞尔曲线的形状扭曲问题。
3. NURBS曲线（Non-Uniform Rational B-Spline Curve）：NURBS曲线是对B样条曲线的扩展，它引入了有理权重的概念。
NURBS曲线的每个控制点都有一个关联的权重，这些权重可以调节曲线上各个点的影响程度。
NURBS曲线能够表示更复杂的曲线形状，如圆弧和椭圆等。
总的来说Bezier曲线中的每个控制点都会影响整个曲线的形状，而B样条中的控制点只会影响整个曲线的一部分，显然B样条提供了更多的灵活性；Bezier和B样条都是多项式参数曲线，不能表示一些基本的曲线，比如圆，所以引入了NURBS，即非均匀有理B样条来解决这个问题；贝塞尔曲线适用于简单的曲线形状设计，B样条曲线具有更好的局部控制和平滑性，适用于复杂曲线的建模而NURBS曲线在B样条的基础上引入了有理权重，可以更准确地描述各种曲线形状Bezier曲线是B样条的一个特例，而B样条又是NURBS的一个特例1.Bezier曲线1.1 贝塞尔曲线的历史:贝塞尔曲线于 1962 年，由法国工程师皮埃尔·贝济埃（PierreBézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计,贝塞尔曲线最初由保尔·德·卡斯特里奥于1959年运用德卡斯特里奥算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
第五章Bezier曲面与B样条曲面
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5.3 曲面的参数表示
❖ 在计算机绘图中常用参数形式表示曲面，自由曲面由曲 面片拼接而成，而曲面片又是由曲线构成，如下图所示：
v
u
图 曲面片
r(u,v) [x(u,v), y(u,v), z(u, v)]
2020年5月18日星期一
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6
5.3 曲面的参数表示
r(u, v) [x(u, v), y(u,v), z(u, v)]
(0 u, v 1)
上式中 a是沿母线方向的常矢量。
a
直线段
v
u
空间曲线 r1(u)
柱面
r(u, v )
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5.4 Bezier、B样条曲面的生成
5.4 Bezier、B样条曲面的生成
下面主要介绍工程上流行应用的Bezier曲面和B样条曲面
一、Bezier（贝塞尔）曲面
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7
5.3 曲面的参数表示
❖ 当u ui 时，代入式子r(u, v) [x(u, v), y(u, v), z(u, v)]
得：
即参数u为定
上式是曲面上一条参数曲线
，即一条v线。
值的曲面上 的线。
v
r(ui , v j )
u
图-参数曲面
❖当 v v j 时，代入式子 r(u,v) [x(u,v), y(u,v), z(u,v)]
第5章 曲线与曲面的生成与计算
5.1 曲面的参数表示 5.2 Bezier、B样条曲线的生成 5.3 曲面的参数表示 5.4 Bezier、B样条曲面的生成
2020年5月18日星期一
课件 计算机图形学 贝塞尔曲线及B样条
二 B样条曲线的数学表达式 1 通常，给定m+n+1个顶点Pi(i=0，1，2，…，m+n”)，
可以定义m十1段n次的参数曲线为：
n
Pi,n (t) Pik • Fk,n (t)
(0 t 1)
k 0
式中：
Fk,n(t)为n次B样条基函数，也叫B样条分段混合函数。 其形式为：
C Fk,n
(t)
n
p(t) pi Bi,n (t)
(0 t 1)
i0
p(t) (1 t)3 p0 3t(1 t)2 p1 3t 2 (1 t) p2 t3 p3
其中混合函数分别为：
B0，3 = 1- 3t + 3t2 - t3 =
B1，3 = 3t - 6t2 + 3t3 =
B2，3 = 3t2 - 3t3 =
（二 ）起始点与终止点切矢量的方向 通过对基函数求导，可以证明起始点与终止点的 切矢量与第1和第n（最后）条边一致（走向一致）。
基函数的导数：
B'i,n
(t)
n! i!(n
i)!
t（i 1
t）ni
'
Bi ,n
(t)
n! i!(n
i)!
t（i 1
t）ni
n! i·ti（1 1 t）ni （n i）t（i 1 t）ni1 i!(n i)!
贝塞尔曲 线
起始点
终止点
五 贝塞尔曲线的数学表达式：
Bezier曲线的数学基础：在第1个和最后一个端点之间进行
插值的多项式混合函数(调和函数)
它可以参用数方程表示如下：
n
p(t) pi Bi,n (t)
(0 t 1)
Bezier曲线和样条曲线的生成算法
计算机图形学实验报告实验名称 Bezier曲线和样条曲线的生成算法评分实验日期年月日指导教师姓名专业班级学号一、实验目的1、复习Bezier曲线和B样条曲线的参数表示法。
2、编程实现用二次Bezier曲线绘制。
3、编程实现用三次Bezier曲线绘制和分段光滑Bezier曲线图形的绘制。
4、用三次B样条函数绘制曲线。
二、实验要求1、编程实现在屏幕上绘制出两次Bezie曲线的几何图形和特征多边形图形，对于直线和曲线设置不同的线形和颜色。
2、现在屏幕上绘制出三次Bezie曲线的几何图形和特征多边形图形，对于直线和曲线设置不同的线形和颜色。
1、编程实现用分段三次Bezier曲线绘制光滑Bezier曲线图形。
1、编程实现在屏幕上绘制出三次B样条函数绘制曲线。
2、编程实现在屏幕上绘制出光滑连接的三次B样条曲线。
三、关键算法及实现原理1、二次Bezier曲线的计算公式为：P(t)=(P0-2P1+P2)t2+(-2P0+2P1)t+P0X(t)=(X0-2X1+X2)t2+(-2X0+2X1)t+X0Y(t)=(Y0-2Y1+Y2)t2+(-2Y0+2Y1)t+Y0其中P0、P1、P2为三个已知的点，坐标分别为(X0、Y0)、(X1、Y1)、(X1、Y2)。
2、次Bezier曲线的计算公式为：P(t)=(-P0+3P1-3P2+P3)t3+(3P0-6P1+3P2)t2+(-3P0+3P1)t+P0X(t)= (-X0+3X1-3X2+X3)t3+(3X0-6X1+3X2)t2+(-3X0+3X1)t+X0Y(t)= (-Y0+3Y1-3Y2+Y3)t3+(3Y0-6Y1+3Y2)t2+(-3Y0+3Y1)t+Y0其中P0、P1、P2、P3为四个已知的点，坐标分别为(X0、Y0)、(X1、Y1)、(X1、Y2) 、(X3、Y3)。
3、三次B样条函数绘制曲线的计算公式为：P(t)=[(-P0+3P1-3P2+3P3)t3+(3P0-6P1+3P2)t2+(-3P0+3P2)t+(P0+4P1+P2)]/6X(t)=[(-X0+3X1-3X2+3X3)t3+(3X0-6X1+3X2)t2+(-3X0+3X2)t+(X0+4X1+X2)]/6Y(t)=[(-Y0+3Y1-3Y2+3Y3)t3+(3Y0-6Y1+3Y2)t2+(-3Y0+3Y2)t+(Y0+4Y1+Y2)]/6其中P0、P1、P2、P3为四个已知的点，坐标分别为(X0、Y0)、(X1、Y1)、(X1、Y2) 、(X3、Y3)。
离散点拟合曲线
离散点拟合曲线离散点拟合曲线是一种用于对一组无序数据点进行估计和预测的数学方法。
它可以将这些离散的数据点拟合成一个连续的曲线或函数，从而使我们能够更好地理解和分析数据。
离散点拟合曲线的应用非常广泛，包括经济学、医学、物理学、地球科学等领域。
它可以用于预测未来的趋势或现象，或者用于解释已有的数据集。
离散点拟合曲线的拟合方法主要有两种，分别是最小二乘法和最小二次曲线拟合。
最小二乘法是一种用于在线性回归中寻找最佳拟合直线的方法，而最小二次曲线拟合则是将数据点拟合成一个二次曲线。
下面我们将详细介绍这两种方法以及它们的优缺点。
一、最小二乘法最小二乘法是一种常见的拟合方法，它的基本思想是将拟合曲线与数据点之间的误差最小化。
这种方法利用了一个称为残差平方和（RSS）的指标来衡量模型的质量。
残差平方和是指每个数据点与拟合曲线之间的距离的平方之和。
最小二乘法的目标是使这个距离最小，从而获得最佳的拟合曲线。
利用最小二乘法可以拟合各种类型的曲线，包括线性、指数、对数、多项式等。
最小二乘法的优点是：1、它是一种强大的统计工具，可以处理许多类型的曲线。
2、它能够有效地解决噪声和误差的问题，从而提高数据的准确性。
3、它易于实现和使用。
1、它假设数据点之间的误差符合正态分布，而这种假设在实际应用中可能不成立。
2、最小二乘法对离群值敏感，因为在这种情况下，残差平方和会被放大，从而影响拟合曲线的准确性。
二、最小二次曲线拟合1、它能够更精确地描述非线性趋势的数据。
2、它对离群值的敏感度较低，因为曲线更能够适应数据点的变化。
但是，最小二次曲线拟合也存在一些缺点：1、它仅适用于拟合二次函数，因此在处理其他类型的曲线时可能不太灵活。
2、它需要更多的计算量和时间，因为计算二次函数需要更多的参数。
需要注意的是，无论是最小二乘法还是最小二次曲线拟合，都需要考虑到拟合曲线的精度和辨识度是否够高。
因此在实践中，我们需要经过多次试验和调整来确定最佳的拟合曲线。
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拟合方法包括：贝塞尔曲线法、B样条曲线法、抛物线 调配曲线法、三次参数样条曲线法，最小二乘法等。
拟合方法不同 → 曲线拟合方程不同 → 绘制的曲线形 状也不同。
但是，一旦拟合方法确定并得到相应的曲线拟合方程， 不规则曲线也就变成了规则曲线。
特征多边形是用直线段依次 连接平面上离散点所形成的折线 多边形。它反映了所要设计曲线 P0 的大致轮廓。
P1
P3
P2
P4
P5
可以设计一个光滑的曲线段去逼近这个特征多边形。
贝塞尔曲线就属于这类曲线。
该曲线由法国汽车工程师Bezier首先提出，最初用于 汽车零件外形的设计。目前广泛应用于与计算机绘图相关 的各个领域。
第三章 离散点绘制平面曲线
§1 概述 §2 贝塞尔(Bezier)曲线 §3 B样条曲线 §4 抛物线调配曲线 §5 三次参数样条曲线
本章小结
§1 概述
一、规则曲线与不规则曲线
平面曲线一般分规则和不规则曲线两类。 ➢ 规则曲线是指可以用一个方程
y f (x) 或 f (x, y) 0
p(t) [x(t), y(t)] t
当步长极小时，所绘出的直线连线在视觉上便是一条 光滑的曲线。
求相邻离散点之间若干数据点的问题称为插值问题。
§1 概述
2. “平均通过”式
当已知数据点有一定误差时，所 拟合的曲线不通过所有已知点，曲线 代表的是这些数据点的变化趋势。
要求：设计的曲线方程与
所有已知点的“距离”总和最
10 20 30 40 2.0 2.2 2.4
例如：对于圆心坐标为(x0 , y0)，半径为 r 的圆， 其直角坐标方程为：
(x - x0)2 + (y - y0)2 = r2 参数方程为：
x = x0 y = y0
+ r cos(t) + r sin(t) （0≤t≤2π）
在计算机绘图时，使用参数方程要比直角坐标方程方 便。
参数方程还有另外一种形式。
pj() pj() 及 pj() pj() 称两曲线段在连接点 pj 处的光滑连接达到C 2连续。
。 显然C 2连续比C 1连续要求更高，曲线的连接更光滑。
另外还有更高的连续标准，但对一般绘图，曲线段的 连接满足C 1或C 2连续，其光滑已足够。
§2 贝塞尔曲线
一、Bezier 曲线
1. 特征多边形
( )
描述的曲线，即曲线的方程已知。 这类曲线的绘制方法：以足够小的步长取曲线上足够多
的点，然后利用曲线方程求出这些点的坐标，最后用直线 连接相邻的点即可绘出曲线。
曲线的绘制精度取决于曲线上取点的密度，密度越大， 精度就越高，曲线就越光滑。
➢ 不规则曲线（拟合曲线）：指已 知平面一些离散点的坐标，但曲线方 程未知，需要人为设计曲线方程对这 些点进行拟合形成的曲线。
给出2个一般标准：
§1 概述
1. C 1连续 在连接点 pj 处，若两曲线段的切线斜率相等（相同的 切线），或者说一阶导数连续，即
pj() pj()
pj
称两曲线段在连接点 pj 处的光滑连接达到C 1连续。
2. C 2连续
在连接点 pj 处，不仅两曲线段的切线斜率相同，而 且切线斜率的变化率也相同，即
可分别针对部分点进行分段拟合，分段拟合得到的曲线 段会涉及到曲线段的连接问题。
例如：若已知3个平面离散点，用1条抛物线段对其拟 合；若有5个点，可用2条抛物线段进行分段拟合。
P2
P3
P2
P3
P4
P1
P1
P5
两条曲线段在连接点P3处，并非光滑，需对该点进行
光滑处理。在光滑处理时，达到什么标准为“光滑”呢？
§1 概述
例如：对于二次抛物线曲线，其参数方程可表示为
x(t) a0 a1t a2t 2
y(t)
b0
b1t
b2t
2
(0 t 1)
①
设
P(t) xy((tt)) ,
A0
a0 b0
,
A1
a1 b1
,
A2
a2 b2
上述参数方2 0 t 1
②
方程②称为曲线的参数矢量方程。
在构建曲线方程时，通常采用方程②的矢量形式；在 绘制曲线时，通常采用方程①的分量形式。
P
(t
)
x(t y(t
) )
a0 b0
a1 b1
t
a2 b2
t
2
§1 概述
四、曲线段的光滑连接
当平面上已知数据点较多时，针对所有点拟合曲线方程 有时非常困难，或者得到的曲线方程非常复杂、不实用。
P2
P(t) A1 2A2t
P(0) A0 P0
P(0) A1 P0P1的斜率
P(1) A0 A1 A2 P2
P(1)
A1
2A2
P1
P
的斜率
2
经过推导（详见教材P58），可求出A0、A1、A2：
小。
即：曲线方程是对所有已 知点的“逼近”。
典型例子：地层孔隙度－ 深度变化曲线。
1000-
总孔隙度 （%）
2000-
深 度 /m
3000-
密度
（g/cm3 )
（g/cm3 )
“点点通过”式也称为插
值曲线，“平均通过”式也称 4000-
为逼近曲线。
§1 概述
三、曲线的方程分类
一般可分为直角坐标方程和参数方程两类。
2. Bezier 曲线的参数方程 已知三个平面离散点P0、P1、P2，那么由这三点可以 定义二次抛物线段，其参数矢量方程可表示为：
P(t) A0 A1t A2t 2 (0 t 1)
其中
P(t)
x(t y(t
) )
,
A0
a0 b0
,
A1
a1 b1
,
A2
a2 b2
p(t)
x(t) y(t )
a0 b0
a1t b1t
a2t 2 b2t 2
(0 t 1)
§2 贝塞尔曲线
P(t) A0 A1t A2t 2 (0 t 1)
设上述抛物曲线满足下列条件： P1
⑴ t = 0时，抛物线经过P0， 并与P0 P1相切。
⑵ t = 1时，抛物线经过P2
，并与P1 P2相切。
P0
本章的内容就是介绍：如何根据离散点的坐标，利用 拟合方法建立曲线拟合方程，绘制不规则曲线。
§1 概述
二、不规则曲线（拟合曲线）的分类
在用拟合方法建立曲线拟合方程时，通常把不规则曲 线分为两类：
1. “点点通过”式 当已知离散点的位置较精确时， 拟合的曲线通过所有的已知点。
曲线方程确定后 → 规则曲线 → 以足够小的步长获取 相邻离散点之间若干个数据点（插值点）的坐标，并用直 线连接它们。