样条函数
样条(Spline)函数
I 、三次Spline 插值函数的定义给定区间],[b a 上的一个分划∆，且<<=10x x a …b x n =<和一组函数值0y ，1y ，2y ，…，n y ，如果)(x ∆ϕ具有下列性质：1],[)(2b a C x ∈∆ϕ；2 在每个子区间)1](,[1n k x x k k ≤≤-上，)(x ∆ϕ是一个三次多项式；3i i y x =∆)(ϕ，i =0，1，…，n 。
（称为插值条件） 则称)(x ∆ϕ是关于分划∆的分段三次样条函数，简称为Spline 函数。
将)(x ∆ϕ表示成如下分段形式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∈⋯⋯∈⋯⋯∈∈=--∆],[),(],[),(],[),(],[),()(11212101n n n k k kx x x x s x x x x s x x x x s x x x x s x ϕ其中)1)((n k x s k ≤≤是一个三次多项式，且满足插值条件： 11)(--=k k k y x s ，k k k y x s =)( 为了得到)(x s k 的具体表达式，根据],[)(2b a C x ∈∆ϕ可知，对每个内部结点)11(-≤≤n k x k 有：)0()()()0(''''+===-∆∆k k k k k k x x s x s x ϕϕ)0()()()0(""""+===-∆∆k k k k k k x x s x s x ϕϕ下面利用上述条件导出)(x s k 的表达式。
II 、三次Spline 插值函数的表示设)10()('n k m x k k ，，，⋯==∆ϕ，则k k k k k m x s x s ==+)()('1'。
利用分段Hermite 插值公式得)()()()()(1111x m x m x y x y x s k k k k k k k k k ββαα+++=---- （*） 其中)(x k α和)(x k β称为Hermite 插值的基函数（在下面附录中将详细介绍），这里的k x 一阶导数k m 是未知待定的。
样条插值方法-空间分析-空间统计
空间统计方法-样条插值1. 样条插值拉格朗日插值和牛顿插值的结果中，插值函数的为n-1次多项式函数（n 是已知点的个数）。
当样本点很多时，多项式的次数会很高。
这会导致插值结果对已知点的取值非常敏感。
样条插值可以解决上述问题。
样条插值的基础是样条函数。
样条函数是一种特殊的函数，由多项式分段定义, 通常是指分段定义的多项式参数曲线。
在插值问题中，样条插值通常比多项式插值好用。
用低阶的样条插值能产生和高阶的多项式插值类似的效果，分段插值具有良好的稳定性和收敛性，可以避免被称为龙格现象的数值不稳定的出现。
并且低阶的样条插值还具有“保凸”的重要性质。
样条插值一般包括线性样条插值、二次样条插值和三次样条插值，其中三次样条插值最为实用，本节主要介绍三次样条插值。
样条函数插值采用两种不同的计算方法：规则样条(Regularized Spline)和张力样条(Tension Spline)。
设在区间[a,b]上取n+1个节点01a x x x n b =<<<=L ，函数f(x)y =在各个节点处的函数值为f(x )(i 0,1,,1)i i y n ==-L ,若S(x)满足S(x )y ,(i 0,1,,1)i i n ==-L ；S (x )在区间[a ,b ]上具有连续的二阶导数；在每个小区间1[x ,x ](i 0,1,,1)i i n +=-L 上S(x)是三次多项式。
则称S(x)是函数y f(x)=在区间[a,b]上的三次样条插值函数。
从定义可知，要求出S(x)在每个小区间1[x ,x ](i 0,1,,1)i i n +=-L 上要确定4个待定系数，共有n 个小区间，根据上述条件(2)有S(x 0)S(x 0)i i -=+S (x 0)S (x 0),i 1,2,,1i i n ''-=+=-LS (x 0)S (x 0)i i ''''-=+共有3n-3个条件，再加上条件(1),共有4n-2个条件，因此还需2个条件才能确定S(x)，通常在区间[a,b]的端点0a x ,b x n ==上各加一个条件(称为边界条件)，可根据实际问题的要求给定。
§1 样条函数及其基本性质
第七章 §1 样条函数及其基本性质1.产生样条函数的原因？多项式逼近→分段多项式逼近→样条逼近，多项式逼近简单易行，局部性好，但高次多项式逼近会产生龙格现象，另外高次多项式零点很多导致函数震荡剧烈，不适合逼近平滑的函数；分段多项式逼近只保证了各分段之间的连续性，连接处左、右导数存在，但不相等，函数不光滑，不能满足精密机械设计；样条函数是一种各相邻段上的多项式之间具有某种连接性质的特殊的分段多项式，它既有低次多项式的简单性，又有相当的光滑性和灵活适应性，还避免了高次多项式插值的不稳定性，是函数逼近的重要工具。
2.样条函数的定义和构造 (1)定义设给定一组结点011N N x x x x +-∞=<<<<=∞又设分段函数()S x 满足条件：1 在每个区间1[,]j j x x +上()S x 是一个次数不超过n 的实系数代数多项式；（分段多项式）2 ()S x 于[,]-∞∞上具有一直到1n -阶的连续导数；（由于每个子区间为n 次多项式，故在各分段上已经具有1n -阶的连续导数，故需要在连接点处满足1n -阶的连续导数，样条函数构造的出发点） 则称()y S x =为n 次样条函数，12(,)n N S x x x 表示以点i x 称为样条结点的n 次样条函数.对于21n -次样条函数()y S x =如果在区间1(,]x -∞和[,)N x ∞上的表达式都是1n -次多项式，则特别称之为21n -次的自然样条函数，记作2112(,)n N N x x x -.(2)构造（见教材） 任一12()(,,)n N S x S x x x ∈均可唯一记为1()()()()Nn n j j j S x p x c x x x +==+--∞<<∞∑，函数系211,,,,(),()n n n N x x x x x x x ++--为构成样条函数12(,,)n N S x x x 的一组基底，任一2112()(,,)n N S x N x x x -∈记为2111()()()()Nn n j j j S x p x c x x x --+==+--∞<<∞∑，为了保证在[,)N x ∞上是一个1n -次多项式（定理3），则系数必须满足约束条件10(0,1,,1)Nkj jj c xk n ===-∑。
b样条的边界函数 -回复
b样条的边界函数-回复样条插值方法是一种常用于曲线拟合和插值的数学方法，在许多实际问题中都有广泛的应用。
边界函数是样条插值中的重要组成部分，它用于确定样条曲线的边界条件。
本文将以“样条的边界函数”为主题，详细介绍样条插值和边界函数的相关概念，并逐步解释具体的实现步骤。
首先，让我们来了解一下样条插值的基本概念。
样条插值是一种通过连接给定数据点之间的曲线来逼近未知函数的方法。
它的基本思想是将整个插值区间划分为多个小的子区间，并在每个子区间上使用不同的插值函数进行插值。
这些子区间的插值函数被称为样条函数，它们的连接处应满足一定的条件以保证整个曲线的连续性和平滑性。
在样条插值中，边界函数用于确定样条曲线的边界条件。
边界条件可以是两种类型：第一类边界条件和第二类边界条件。
第一类边界条件是通过给定边界点的函数值来确定的，例如给定曲线起点和终点的函数值。
而第二类边界条件是通过给定边界点的导数值来确定的，例如给定曲线起点和终点的一阶导数值。
接下来，我们将逐步回答如何确定样条曲线的边界函数。
第一步：确定边界条件的类型在确定样条曲线的边界函数之前，我们首先需要确定边界条件的类型。
根据实际问题的要求，我们可以选择第一类边界条件或第二类边界条件。
第二步：求解边界函数根据边界条件的类型，我们需要对样条曲线的边界函数进行求解。
具体的求解方法包括：- 第一类边界条件：通过将边界点的函数值代入到样条函数中，可以得到边界函数的表达式。
- 第二类边界条件：通过将边界点的导数值代入到样条函数的导数表达式中，可以得到边界函数的表达式。
第三步：确定样条插值函数确定了边界函数之后，我们就可以根据样条插值的方法来确定整个样条曲线的插值函数。
样条插值函数的表达式可以通过连接各个子区间的边界函数来得到。
第四步：调整插值函数的参数在确定了样条插值函数之后，我们还可以根据实际问题的要求来调整插值函数的参数，以得到更好的拟合效果。
常见的调整方法包括调整样条插值函数的阶数、节点的选择以及插值函数的平滑度等。
均匀b样条基函数
均匀b样条基函数均匀B样条基函数是工程、计算机科学、金融等多个领域中广泛应用的计算机图形学中的专有名词。
B样条（B-spline）和Bézier曲线是计算机图形学中最简单、最常用的曲线之一。
B-spline曲线是由均匀B样条基函数（Uniform B-Spline Basis Function）和控制点（Control Points）组成的一种曲线。
均匀B样条基函数是一种数学函数，用于控制B样条曲线的形状。
均匀B样条基函数的定义是：给定定义域[a, b]和正整数k，均匀B样条基函数是由一个非零有限支撑的k次多项式定义的，支撑在定义域[a, b]上的每个B样条基函数由k+1个控制点控制，符合B样条条件。
在均匀B样条基函数中，定义域[a, b]被均分成k个区间，每个区间的长度为1/k。
均匀B样条基函数的基本形式为：N(i, k, t)，其中i表示B样条的第i段区间，k表示B样条的次数，t为取值范围在[0, 1]之间的参数，表示B样条的位置。
其中，具体的均匀B样条基函数的计算方式是以递归方式进行计算的，即：当k=0时：if i≤t<i+1, N(i, 0, t)=1; else N(i, 0, t)=0;当k≥1时：N(i, k, t)=[(t−i)/(i+k−1−i)]N(i, k−1, t)+[(i+k−i−t)/(i+k−i)]N(i+1, k−1, t)1. 大于等于1次的均匀B样条基函数都是非负的、单调递增的和有限支撑的。
最高次的B样条基函数是非负的和单调递增的，但是它的支撑不是有限的；2. 任意k-1个相邻的均匀B样条基函数的和为一个常数，即这个性质被称为插值条件，保证了B样条曲线穿过k-1个连续的控制点；3. 对于一个给定的控制点序列，B样条曲线是由一个k-1次连续可导的分段函数组成的；4. B样条曲线在任何一点处都具有局部控制的特性，即某个控制点位置的改变只可能影响到曲线某个区间内的局部形状。
样条函数
由 zi Si ''(ti ) ，z Si ''(t ) i 1 i 1
z z 得到 Si'' ( x) i (t x) i 1 ( x ti ) (5) h i 1 h i i 这里 hi t - ti . i 1
将 (5)积分两次，就得S (x): i z z S ( x) i (t x)3 i 1 ( x ti )3 i 6h i 1 6h i i C ( x ti ) D(t x) (6) i 1
称S ( x)为满足插值条件的k次样条。
零次样条
零次样条为分段常数，即具有如下形式 S ( x) c x [t , t ) 0 0 0 1 S ( x) c x [t , t ) 1 1 1 2 S(x)
S ( x) c n 1 n-1
这里，C,D为积分常数，待定。
将插值条件Si (ti ) yi ， i (t ) y S i 1 i 1
可以确定C , D：
z z S ( x) i (t x)3 i 1 ( x ti )3 i 6h i 1 6h i i y z h y zh ( i 1 i 1 i )( x ti ) ( i i i )(t x) (7) h 6 h 6 i 1 i i
该系统可以用高斯消元法求解，不必选主元
input n, (ti ), (yi ), m0 , mn (转角条件) for i 0 to n-1 do h t ti； i 1 i bi 6( y yi ) / hi i 1 enddo
zn 0 for i n-1 to 1 step -1 do zi (vi hi z )/ui 回代 i 1 enddo z 0 0 output ( zi )
样条函数
第五章函数近似计算(插值问题)的插值方法5.6样条函数及三次样条插值在许多工程、工业设计（如建筑设计，汽车、船舶、飞机以及多种工业品、日用品等的外形设计）中，经常用到的一种所谓样条曲线。
它就是数值技术中一类称为样条函数的数学工具。
最简单的一种样条函数是由分段三次多项式连接起来，而在连接点处具有1阶、2阶连续导数的函数（曲线），称为三次样条函数。
如果以样条函数作为插值函数，就称为样条插值，最基本的样条插值是三次样条插值。
1.三次样条函数与三次样条插值定义5.6.1 对函数s（x）和在[a,b]上给定的一组节点（或称分划）△：a=x0<x1<…<x n=b（1）如果函数s（x）在每个小区间[x i,x i+1](i=0,1,…,n-1)上是三次多项式；（2）函数s（x ）∈ [a,b],则称s(x)是关于分划△的三次条样函数。
（3）如果对给定的某函数f在分划△的节点上的函数值f i＝f i(x i)(i=0,1,…,n),三次样条函数s（x）满足插值条件s(x i)= f i (i=0,1,…,n) (5.6.1)则称s（x）为关于分划△的三次条样插值函数。
函数f的三次样条插值也是一种分段插值，与分段三次Hermite插值比较，它只需提供f i (i=0,1,…,n)和两个下面将要说明的所谓边界值，便可得到在节点处具有连续的具有1阶、2阶连续导数的函数（曲线），而且曲线的光滑度更好，更具有“曲线美”。
这就是工程/工业设计中喜欢样条曲线的原因。
那么，如何求分划△上函数f的三次样条插值函数s（x）呢？由于在每个小区间[x i, x i+1]上s（x）是三次多项式，故要确定s（x）就需确定4个参数，而一共有n个小区间，故需确定4n个参数。
但这里仅有n+1个插值条件(5.6.1)和在内节点处3*（n-1）个连续性条件：s(x i-0)= s(x i+0)s’(x i-0)= s’(x i+0)（i=1，2，…，n-1）s’’(x i-0)= s’’(x i+0)即总共仅有4n-2个定解条件。
三次样条插值函数matlab
三次样条插值函数matlab一、 MATLAB 三次样条插值函数MATLAB 提供了一系列的函数可以进行数据的插值，样条插值函数提供了基于曲线和曲面的插值，MATLAB 主要提供了两类样条插值函数：一类是 spline 函数，另一类是 csapi 函数。
1. spline 函数spline 函数是基于经典的三次样条插值理论，它接受三维点集并用一条三次样条曲线连接。
使用 spline 函数时，您可以向函数提供三维点集，例如：x=[1,2,3,4,5];y=[2,8,16,30,50];z=[3,6,12,24,42];spline_curve=spline(x,y,z);2. csapi 函数csapi 函数是 MATLAB 的一种“三次样条插值”，允许你使用固定的方程，更有效地解决插值问题。
它可以把一组三维点集拟合成一条三次样条曲线。
使用 csapi 时，您可以向函数提供三维点集，例如：x=[1,2,3,4,5];y=[2,8,16,30,50];z=[3,6,12,24,42];csapi_curve=csapi(x,y,z);二、MATLAB 三次样条插值函数使用1. spline 函数spline 函数可以实现三次样条曲线的插值，该函数的基本格式如下：y2=spline(x,y,x2)其中，x 为一个由 N 个不重复的坐标值组成的向量，y 为长度为 N 的向量，x2 为要求的坐标值向量；而 y2 为长度为 length(x2) 的向量，其中的每个元素表示一个拟合结果。
例如，有以下数据：x=[2.1;3.3;4.2;5.1]，y=[7.2;11.7;15.3;20.5]，现在要求 x=2.8 时，插值结果 y2：x=[2.1;3.3;4.2;5.1];y=[7.2;11.7;15.3;20.5];x2=2.8;y2=spline(x,y,x2)2. csapi 函数csapi 函数可以实现三次样条曲线的插值，该函数的基本格式如下：pp=csapi(x,y)其中，x 为一个由 N 个不重复的坐标值组成的向量，y 为长度为 N 的向量；而 pp 为三次样条插值函数的拟合结果。
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非负线性最小二乘
5.4图形用户界面（GUI）
Optimtool
选择求解器、最优化选项和求解最优化问题的工具
5.5使用函数
Color
稀疏有限差分的列分区
Optimget
获取优化选项结构的参数值
Fzmult
零空间基的算法
Optimset
创建或编辑优化选项结构
3.6样条及工具箱的信息显示
Bspline
显示一条B样条函数和其分段形式
Spterms
显示样条工具箱术语的解释
3.7使用函数
Franke
Franke双变量测试函数
Stcol
配置矩阵的离散变换
Spcol
生成B样条函数的配置矩阵
Subplus
返回参数的正数部分
Splpp
0左边的节点序列从B转成pp形式
Titanium
曲线拟合类型（或函数）的名称
Formula
曲线拟合类型（或函数）的公式
2.4曲线拟合的方法（和2.3相同的没再写）
Cfit
创建一个曲线拟合函数对象
Confint
拟合系数的值的置信区间
Coeffvalues
通过拟合得到的拟合函数的系数值
Predint
在任意点处用拟合函数计算得到的函数值的95%置信区间
Ppmak
生成分段多项式样条函数
Spmak
生成B样条函数
Rpmak
生成有理样条函数
Stmak
将函数整理成st形式
Rscvn
分段双圆弧Hermite插值
Tpaps
模板平滑样条函数
3.3操作样条函数
Fmbrk
返回样条函数的某一部分（如断点、系数等）
Fnplt
画样条函数图
Fnchg
一种形式的样条函数的改变部分
1线性代数
1.1矩阵分析
Norm
矩阵或向量的范数
Null
零空间
Normest
估计矩阵的2范数
Orth
正交化
Rank
矩阵的秩
Rref
简化矩阵为梯形形式
Det
矩阵行列式的值
Subspace
两个子空间的夹角
1.2线性方程
\和/
线性方程求解
Lu
LU分解
Inv
矩阵的逆
Ilu
不完全的LU分解
Cond
矩阵条件数
Luinc
Numargs
曲线拟合类型（或函数）的输入参数个数
Dependnames
曲线拟合类型（或函数）的因变量
Numcoeffs
曲线拟合类型（或函数）的拟合系数个数
Feval
计算曲线拟合类型（或函数）
Probnames
曲线拟合类型（或函数）的问题相关参数名称
Fittype
创建一个曲线拟合类型（或函数）
Type
Fnrfn
在样条函数中插入断点
Fncmb
对样条函数进行算术运算
Fntlr
生成taylor系数或taylor多项式
Fnder
求样条函数的微分（即导数）
Fnval
计算在给定点出的样条函数值
Fndir
求样条函数的方向导数
Fnxtr
插值函数
Fnint
求样条函数的积分
Fnzeros
计算函数的零点
Fnjmp
在间断点处求函数值
Pdetriq
三角形质量度量
Pdeent
与给定三角形几何相邻的三角形的指数
Ppoiasma
用于泊松方程快速求解器的边界点矩阵
Pdegrad
PDE解得梯度
Pdesmesh
计算结构力学张量函数
Pdeintrp
从节点数据至三角形中点数据进行内插
Poiindex
经过规范排序的举行网格的点的指数
Dst，idst
求解最大最小约束问题
Quadprog
求解二次规划问题
Fminsearch
使用无导数方法求解无约束多变量问题最小化
5.2方程求解函数
Fsolve
非线性方程求解
Fzero
单变量连续函数求根
5.3最小二乘函数
Lsqcurvefit
非线性曲线拟合
Lsqnonlin
非线性最小二乘
Lsqlin
有约束线性最小二乘
Pdetool
打开PDE工具箱图形用户集成界面（GUI）
4.3几何算法函数
Csgchk
核对几何描述矩阵的有效性
Refinemesh
加密一个三角形网格
Csgdel
删除最小子域之间的界线
Poimesh
在矩形几何图形上生成规则网格
Decsg
将建设性实体几何模型分解为最小子域
Pdearcl
在参数表示和圆弧长度之间进行内插
Set
设置拟合选项某字段值
2.3拟合类型和方法
Argnames
曲线拟合类型（或函数）对象的输入参量名
Indepnames
曲线拟合类型（或函数）的自变量
Category
曲线拟合类型（或函数）的拟合类型
Islinear
判断曲线拟合类型（或函数）是否为线性
Coeffnames
曲线拟合类型（或函数）的系数名称
Differentiate
求取拟合函数的导数
Integrate
拟合函数的积分
Plot
绘制拟合曲线图
Probvalues
拟合函数中的与问题相关的参数值
还包括除去表2.3中fittype外所有函数，解释同上。
2.5拟合数据后处理
包括cftool,integrate,coeffvalues,plot,confint,ptedint,differentiate,probvalues,feval，解释同上。
2.1拟合数据预处理
Cftool
打开GUI形式的工具箱
Smooth
对数据点做平滑处理
Excludedata
去除异常数据点
2.2数据拟合
Cftool
打开GUI形式工具箱
Fittype
构造一个曲线拟合对象
Fit
用指定的拟合模型对数据进行拟合
Get
获取拟合选项结构体的某个字段名及其值
Fitoptions
创建或修改拟合选项结构体
返回titanium热数据
Sprpp
0右边的节点序列从B转成pp形式
4偏微分方程工具箱函数
4.1偏微分方程求解算法函数
Adaptmesh
生成自适应网格并求解PDE问题
Parabolic
求解抛物线型PDE问题
Assema
组合面积的整体贡献
Pdeeig
求解特征值PDE问题
Assemb
组合边界条件的贡献
Pdenonlin
Fn2fm
样条函数的形式转换
Fnmin
求取函数的最小值
3.4样条曲线端点和节点处理函数
Aptknt
求出用于生成样条曲线的节点数组
Knt2brk
从节点数组中求得节点及其重次
Augknt
在已知节点数组中添加节点
Knt2mlt
从节点数组中求得节点及其重次
Aveknt
求出节点数组元素的平均值
Newknt
对分段多项式样条函数进行重分布
2.6信息显示与帮助
Cflibhelp
显示库中已有的曲线拟合模型，即光滑样条模型或内插模型的相关帮助信息
Datastats
显示输入数据的统计信息
3样条工具箱函数
3.1样条GUI函数
Bspligui
在节点处生成B样条函数
Splinetool
用一系列方法生成各种样条函数
3.2样条构建函数
Csape
生成给定约束条件的三次样条函数
离散化sin转换
Sptarn
求解广义稀疏特征值问题
Pdeprtni
从三角形中点数据向节点数据进行插值
Tri2grid
从PDE三角形网格到矩形网格进行插值
4.6自定义算法函数
Pdebound
边界条件M文件
Pdegeom
几何模型M文件
5最优化工具箱函数
5.1最小化函数
Bintprog
求解0-1整数规划问题
Brk2knt
增加断点数组中元素的重次
Optknt
求出用于内插的最优节点数组
Chbpnt
求出用于生成样条曲线的合适节点数组
Sorted
求出节点数组points的元素在节点数组meshpoints中属于第几个分量
3.5解线性方程组的函数
Brbrk
描述分块对角矩阵的详细情况
Slvblk
解对角占优的线性方程组
Svd
奇异值分解
Condeig
已知特征值求条件数
Eigs
稀疏矩阵的特征值
Hess
Hessenberg型
Svds
稀疏矩阵的奇异值和向量
Qz
广义特征值的QZ分解
Poly
特征多项式
Schur
Schur分解
1.4矩阵函数
Expm
矩阵指数
Sqrtm
矩阵平方根
Logm
矩阵对数
Funm
计算一般矩阵函数
2曲线拟合工具箱函数
Pdejmps
对于自适应网格进行误差估计
Pdesde，
Pdesdp,
pdesdt
子域集合中点/边缘/三角形的指数
Pdeadgsc
使用相对容限临界值选择三角形
Poicalc
矩形网格泊松方程的快速求解器
Pdeadworst