Bezier曲线和BSpline曲线拟合问题
Bezier曲线和BSpline曲线的拟合问题
Bzeier曲线和BS pline曲线 目录一、 重述 .................................................. 错误！未定义书签。
二、r曲线 和 ........................ 错误！未定义书签。
r曲线 定义 ............................... 错误！未定义书签。
r曲线 性质 ............................... 错误！未定义书签。
2.3 三次Bezier曲线 .................... 错误！未定义书签。
2.3.1 三次r 算法错误！未定义书签。
2.3.2 三次r 算法.错误！未定义书签。
2.3.3 两种Bezier算法 ..... 错误！未定义书签。
r曲线 ............................... 错误！未定义书签。
三、n e曲线 和 ...................... 错误！未定义书签。
n e曲线 定义 ............................. 错误！未定义书签。
3.2 B样条性质........................................ 错误！未定义书签。
3.3 均匀B样条......................................... 错误！未定义书签。
3.4 三次B样条 算法.......................... 错误！未定义书签。
3.4 三次样条 算法错误！未定义书签。
3.5 两种BSpline .................... 错误！未定义书签。
四、r曲线与e曲线 区别和联系错误！未定义书签。
1、 述算法 ........ 错误！未定义书签。
一、 重述 两 两 一 两 两 。
（4条消息）曲线曲面基本理论（二）
（4条消息）曲线曲面基本理论（二）一、Bezier曲线的生成生成一条Bezier 曲线实际上就是要求出曲线上的点。
下面介绍两种曲线生成的方法：1、根据定义直接生成 Bezier 曲线绘制Bezier曲线主要有以下步骤：2、Bezier 曲线的递推 (de Casteljau)算法根据 Bezier 曲线的定义确定的参数方程绘制 Bezier 曲线，因其计算量过大，不太适合在工程上使用。
de Casteljau 提出的递推算法则要简单得多。
Bezier 曲线上的任一个点(t)，都是其它相邻线段的同等比例( t ) 点处的连线，再取同等比例( t ) 的点再连线，一直取到最后那条线段的同等比例 ( t )处，该点就是Beizer曲线上的点( t ) 。
以二次 Bezier 曲线为例，求曲线上t=1/3的点：当t 从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。
二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前两个顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次Bezier曲线的线性组合。
由(n+1)个控制点Pi(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线P0n可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：这便是著名的de Casteljau算法。
用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。
de Casteljau算法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算Bezier曲线的基本算法和标准算法。
这一算法可用简单的几何作图来实现。
3、Bezier曲线的拼接几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。
这是由于增加特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难。
采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。
离散点拟合曲线,Bezier,B样条
a0 b0
a1t b1t
a2t 2 b2t 2
(0 t 1)
§2 贝塞尔曲线
P(t) A0 A1t A2t 2 (0 t 1)
设上述抛物曲线满足下列条件： P1
⑴ t = 0时，抛物线经过P0，
并与P0 P1相切。
⑵ t = 1时，抛物线经过P2
，并与P1 P2相切。
P0
P2
( )
描述的曲线，即曲线的方程已知。 这类曲线的绘制方法：以足够小的步长取曲线上足够多
的点，然后利用曲线方程求出这些点的坐标，最后用直线 连接相邻的点即可绘出曲线。
曲线的绘制精度取决于曲线上取点的密度，密度越大， 精度就越高，曲线就越光滑。
➢ 不规则曲线（拟合曲线）：指已 知平面一些离散点的坐标，但曲线方 程未知，需要人为设计曲线方程对这 些点进行拟合形成的曲线。
小。 即：曲线方程是对所有已
知点的“逼近”。 典型例子：地层孔隙度－
深度变化曲线。 “点点通过”式也称为插
1000-
总孔隙度 （%）
2000-
深 度 /m
3000-
密度
（g/cm3 )
（g/cm3 )
值曲线，“平均通过”式也称
为逼近曲线。
4000§1 概述
三、曲线的方程分类
一般可分为直角坐标方程和参数方程两类。 例如：对于圆心坐标为(x0 , y0)，半径为 r 的圆， 其直角坐标方程为：
P
(t
)
x(t y(t
) )
a0 b0
a1 b1
t
a2 b2
t
2
§1 概述
四、曲线段的光滑连接
当平面上已知数据点较多时，针对所有点拟合曲线方程 有时非常困难，或者得到的曲线方程非常复杂、不实用。
Bezier曲线和BSpline曲线拟合问题
...Bzeier曲线和BSpline曲线的插值拟合问题目录一、问题重述 (1)二、Bezier曲线的插值和拟合 (1)2.1 Bezier曲线的定义 (1)2.2 Bezier曲线的性质 (2)2.3 三次Bezier曲线的插值 (2)2.3.1 工程应用中常用的三次Bezier插值的算法 (2)2.3.2 改进的三次Bezier插值的算法 (3)2.3.3 两种Bezier插值的算法比较 (4)2.4 Bezier曲线的拟合 (4)三、BSpline曲线的插值和拟合 (4)3.1 BSpline曲线的定义 (4)3.2 B样条性质 (5)3.3 均匀B样条 (5)3.4 三次B样条插值算法 (6)3.4 结合实际情况的三次样条插值算法改进 (7)3.5 两种BSpline插值的比较 (8)四、Bezier曲线与BSpline曲线的区别和联系 (8)五、上述算法在实际血管提取中的应用 (9)一、问题重述在图像中任意点两个点，软件能自动提取出以这两点为端点的一段血管，要求提取到的血管必须经过客户所点的两点作为提取血管的两个端点。
在OnGetEdge()的函数里，首先通过自动增长获取血管两条边缘的采样点数据，接下来的问题就是要拟合这些采样点，生成两条比较光滑的血管边缘曲线。
得到的拟合（插值）曲线有以下4点要求：1、精确插入客户所点的起始点终点，作为曲线的两个端点；2、拟合的曲线具有较好的光滑性3、具有较高的拟合精度和较快的拟合速度4、要求拟合曲线点八连通上述的实际问题转化为有序离散点的插值拟合问题。
所谓插值拟合，就是通过诸如采样、实验等方法获得若干离散的数据，根据这些数据，得到一个连续的函数（也就是曲线）或者更加密集的离散方程与已知数据相吻合。
这个过程叫做拟合。
插值是曲线必须通过已知点的拟合。
常用的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值、样条函数插值等。
其中，样条插值可以使用低阶多项式样条实现较小的插值误差，这样就避免了使用高阶多项式所出现的龙格现象，所以样条插值得到了流行。
线条平滑算法
线条平滑算法
线条平滑算法是指将离散的线条或曲线进行平滑处理，使其看起来更加光滑和连续。
常见的线条平滑算法有以下几种：
1. B样条曲线算法（B-spline）：B样条曲线是一种数学上的平滑曲线，通过控制点和节点向量来确定曲线形状，可以用于对离散的线条进行平滑处理。
2. 贝塞尔曲线算法（Bezier）：贝塞尔曲线是一种由控制点确定的平滑曲线，通过调整控制点的位置可以改变曲线的形状和光滑度。
3. 曲线拟合算法：曲线拟合算法通过对离散点进行拟合，得到近似的平滑曲线。
常见的曲线拟合算法有最小二乘法、样条插值等。
4. 线性插值算法：线性插值算法是一种简单的线条平滑算法，通过在离散点之间进行线性插值来得到平滑曲线。
以上是常见的线条平滑算法，具体选择哪种算法要根据具体应用场景和需求来确定。
bezier bezier曲线、b-样条生成原理
贝塞尔曲线（Bezier Curve）和B样条（B-Spline）是计算机图形学中常用的两种曲线生成方法，它们在图形设计、动画制作、CAD软件等领域被广泛应用。
本文将从贝塞尔曲线和B样条的生成原理入手，深入探讨它们的内在机制和应用。
一、贝塞尔曲线的生成原理贝塞尔曲线是一种由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）于1962年在汽车工业中首次引入的曲线生成方法。
其生成原理基于一组控制点来描述曲线的形状，这组控制点通过线性插值的方式来确定曲线的路径。
贝塞尔曲线的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点：从给定的控制点集合中选择若干个点作为曲线的控制点。
2. 插值计算：根据控制点的位置和权重，通过插值计算得到曲线上的点。
3. 曲线绘制：利用插值计算得到的曲线上的点，进行绘制来呈现出贝塞尔曲线的形状。
在具体应用中，贝塞尔曲线的生成可以通过线性插值、二次插值和三次插值等不同插值方式来实现，其中三次插值的贝塞尔曲线应用最为广泛，其生成原理更为复杂，但也更为灵活。
二、B样条的生成原理B样条（B-Spline）是另一种常用的曲线生成方法，在实际应用中具有一定的优势。
B样条的生成原理与贝塞尔曲线不同，它是基于多项式函数的分段插值来描述曲线的形状。
B样条的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点和节点向量：B样条需要定义一组控制点和一组节点向量（Knot Vector）来描述曲线的形状。
2. 基函数计算：根据节点向量和控制点，计算出关联的基函数（Basis Function）。
3. 曲线计算：利用基函数和控制点的权重，通过计算得到曲线上的点。
相比于贝塞尔曲线，B样条更为灵活，可以更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。
三、应用比较与总结贝塞尔曲线和B样条是两种常用的曲线生成方法，它们各自具有一些优势和劣势，在实际应用中需要根据具体情况做出选择。
1. 灵活性比较：B样条相对于贝塞尔曲线更加灵活，能够更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。
Bezier&BSpline_曲线
1 1 P0 p (t ) [t 1] P 1 0 1
Bezier曲线的矩阵表示—二次Bezier曲线
n 2, 控制点序列: P0 , P1 , P2 p(t ) Pi Bi , 2 (t ) (1 t ) 2 P0 2t (1 t ) P1 t 2 P2
Bezier曲线的拼接
两条Bezier曲线连接有一定的条件，如右图所示，p3与Q0
重合，且两条曲线在连接处二阶导数连续。
Bezier曲线的生成
Bezier曲线的缺点
1、特征多边形的顶点个数n+1决定了Bezier曲线的阶 次，即只能生成n次曲线，不灵活。 2、当n很大时，曲线的阶次很高，多边形对曲线的 控制明显减弱。 3、 由于基函数在区间(0,1)上均不为0。因此Bezier曲 线上任何一点都受到全部所有控制点的影响。改变 任一控制点都会对整条曲线产生影响。因而对曲线 做局部修改成为不可能。
Bezier曲线的性质－对称性、凸包性、几何不变性、 变差缩减性
(1)对称性 : * 取P i P n i ( 2)凸包性 i 0,1, , n
*
有C * (t ) P i Bi , n (t ) P i Bi , n (t ) C (t )
i 0 i 0
n
n
B
i 0 n
n
i ,n
(t ) 1, 且Bi , n (t ) 0
n
(3)几何不变性
ua P ) i Bi , n (t ) P i Bi , n ( ba i 0 i 0 ( 4)变差缩减性
Bezier曲线的矩阵表示—一次Bezier曲线
n 1, 控制点序列: P0 , P 1 p (t ) Pi Bi ,1 (t ) P0 (1 t ) P t [0,1] 1t
第2章贝齐尔曲线和B
n(p1 - p 0 )
n! 因：Bk ,n (t ) t k (1- t)n -k k!(n - k)! (n - 1)! 0 当k 1时 Bk -1,n-1 (t ) 0 (1- 0)n -0 1 0!(n - 1)! (n - 1)! k Bk ,n-1 (t ) 0 (1- 0)n -1-k 0 k!(n - 1 - k)!
k 0 n
n! n 1 (1- 1)0 p n p n n!0! 可以看出曲线通过控制 多边形的起点和终点。
我们通过对基函数求导 来分析一下曲线在 两端点处的切矢情况 n! B (t ) [kt k 1 (1 t ) n k (n k )t k (1 t ) n k 1 ] k!(n k )! n(n 1)! [kt k 1 (1 t ) n k (n k )t k (1 t ) n k 1 ] k (k 1)!(n k )! (n 1)! n[ t k 1 (1 t ) n k (k 1)!(n k )! (n 1)! (n k )t k (1 t ) n k 1 ] k!(n k 1)! n[ Bk 1,n 1 (t ) Bk ,n 1 (t )] (k 1,2,...n- 1)
(k 1,2,...n- 1)
B'n (p0 , p1 ,...,p n , t ) p k B'k, n (t)
k 0 ' ' ' p 0 B0 ( t ) p B (t) p B k k,n ,n n n , n (t ) k 1 n -1
n
n[-(1 t ) n 1 p 0 p k ( Bk 1,n 1 (t ) Bk ,n 1 (t )) p n t n 1 ]
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...Bzeier曲线和BSpline曲线的插值拟合问题目录一、问题重述 (1)二、Bezier曲线的插值和拟合 (1)2.1 Bezier曲线的定义 (1)2.2 Bezier曲线的性质 (2)2.3 三次Bezier曲线的插值 (2)2.3.1 工程应用中常用的三次Bezier插值的算法 (2)2.3.2 改进的三次Bezier插值的算法 (3)2.3.3 两种Bezier插值的算法比较 (4)2.4 Bezier曲线的拟合 (4)三、BSpline曲线的插值和拟合 (4)3.1 BSpline曲线的定义 (4)3.2 B样条性质 (5)3.3 均匀B样条 (5)3.4 三次B样条插值算法 (6)3.4 结合实际情况的三次样条插值算法改进 (7)3.5 两种BSpline插值的比较 (8)四、Bezier曲线与BSpline曲线的区别和联系 (8)五、上述算法在实际血管提取中的应用 (9)一、问题重述在图像中任意点两个点，软件能自动提取出以这两点为端点的一段血管，要求提取到的血管必须经过客户所点的两点作为提取血管的两个端点。
在OnGetEdge()的函数里，首先通过自动增长获取血管两条边缘的采样点数据，接下来的问题就是要拟合这些采样点，生成两条比较光滑的血管边缘曲线。
得到的拟合（插值）曲线有以下4点要求：1、精确插入客户所点的起始点终点，作为曲线的两个端点；2、拟合的曲线具有较好的光滑性3、具有较高的拟合精度和较快的拟合速度4、要求拟合曲线点八连通上述的实际问题转化为有序离散点的插值拟合问题。
所谓插值拟合，就是通过诸如采样、实验等方法获得若干离散的数据，根据这些数据，得到一个连续的函数（也就是曲线）或者更加密集的离散方程与已知数据相吻合。
这个过程叫做拟合。
插值是曲线必须通过已知点的拟合。
常用的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值、样条函数插值等。
其中，样条插值可以使用低阶多项式样条实现较小的插值误差，这样就避免了使用高阶多项式所出现的龙格现象，所以样条插值得到了流行。
三次B 样条插值不仅运行速度较快，而且因为其分段连续带来的特有的卓越的性能，有效提高了血管边缘的平滑程度，锯齿状的现象大大减少。
本文接下来将主要介绍Bezier 曲线和B 样条的插值拟合。
二、Bezier 曲线的插值和拟合2.1 Bezier 曲线的定义【定义1】n 次Bezier 曲线是由n+1个控制点和以Bernstein 多项式为基底共同生成的参数曲线，其数学表达式为：，其中，0()(),[0,1]n n i i i B t d bt t ==∈∑为控制点，为Bernstein 基。
(0,...,)i d i n =()(1),0,...,n n i i in b t t t i n i -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭Fig.1是一条三次的Bezier 曲线，有四个控制点。
工程应用上常使用二次或三次Bezier 曲线做采样点的插值拟合以及制图设计。
Fig.1 三次Bezier 曲线2.2 Bezier 曲线的性质1、插值于两个端点，即Berize 曲线开始于并结束于。
0d n d 2、Bezier 曲线的起始点（结束点）相切于控制多边形（控制点以此首位连接所形成的封闭的多边形）的第一节（最后一节），即。
''011(0)//,(1)//n n B d d B d d -3、Bezier 曲线是直线的充分必要条件是控制点共线。
2.3 三次Bezier 曲线的插值插值要求得到的曲线精确的通过采样点，四个控制点决定一条Bezier 曲线，插值M 个点(M>4)设计到曲线拼接连续性的问题，要求达到切线连续。
2.3.1 工程应用中常用的三次Bezier 插值的算法三次Bezier 曲线的数学表达是为：03133202313313630()()1,[0,1](1)33001000i i i d d B t d b t t t t t d d =--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎡⎤==∈⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑Fig.2 三次Bezier 曲线的结构【算法一】Step 1：已知采样点，两端各自增加一个虚拟控制点，分012,,,...,n P P P P 11,n P P -+别求出的中点。
10011,,...,n n P P P P P P -+011,,...,n M M M +Step 2：分别求出的中点。
01121,,...,n n M M M M M M +01,,...,n D D DStep 3：将沿着的方向移到，对应的移到。
i D i i D P u u u u r i P 1,i i M M +''1,i i M M +Step 4：保持点不变收缩线段到，且。
i P ''1i i M M +''''1i i M M +''''''110.6i i i i M M M M ++=记为，为。
''i M 1i P ''1i M +2i P Step 5：分别以为4个控制点按照（1）式画出一条三2111,0,1,...,1i i i i PP P P i n ++=-次的Bezier 曲线，得到的Bezier 曲线插值于每一个采样点，且分片一012,,,...,n P P P P 次连续。
Fig.3 算法一的示意图2.3.2 改进的三次Bezier 插值的算法由于采样点本身就存在着误差和噪音等诸多因素的影响，插值于每一个采样点得到的Bezier 曲线不一定能完全反映真实的数据情况。
所以不要求精确的插值每一个采样点。
改进的算法步骤如下：【算法二】Step 1：已知采样点，分别求出的中点012,,,...,n P P P P 01121,,...,n n P P PP P P -。
12,,...,n M M M Step 2：依次以分别画出一条三次的Bezier 011222333445,,,...P M PM M P M P P M P M 曲线。
依次下去，若剩下的点不足四个控制点，则添加相同的虚拟点，1n n P P +=，直至满足四个点画一条Bezier 曲线，这样得到的Bezier 曲线精确的插值1n n M P +=与两个端点及部分中间点，且分片一次连续。
Fig.4 算法二的示意图2.3.3 两种Bezier 插值的算法比较1）两种算法都精确插值了两端端点，且都是分片一次连续的。
2）算法一精确插入了每一个采样点，算法二精确插入了接近一半的采样点及采样点的中点。
在采样误差较大的情况下，算法二对算法一的改进也不是很大。
3）整体来说，算法二比算法一的计算量要少，更易理解，也更能贴近实际数据。
4）在实际数据有很大尖点的情况下，由于算法二不是点点插值，可能拟合不好，不能拟合出尖点的情况，理论上减少分段长度可以避免这种情况。
2.4 Bezier 曲线的拟合拟合不要求曲线通过每一个采样点，只要求曲线“很接近”采样点就行。
“很接近”的评价标准常为最小平法逼近。
拟合的一般步骤：设采样点为，拟合的Bezier 曲线为012,,,...,n P P P P (),[0,1]B t t ∈Step 1： 将参数化到[0,1]区间上的值，即求，。
012,,,...,n P P P P 012,,,...,n t t t t [0,1]i t ∈常采用弦长参数法Step 2： 对每一段三次的Bezier 曲线，有最小，需要求每一段Bezier420(())i i i i P B t =-∑曲线的控制点。
按照这种算法需要反求控制顶点，随着数据采集量的增大，计算量成倍增长，2n 且反求控制点的矩阵若为病态矩阵，则求解更耗时间，拟合的结果也不尽人意。
三、BSpline 曲线的插值和拟合3.1 BSpline 曲线的定义【定义2】给定个节点，分布在区间，满足：。
1m +i t [0,1]012...m t t t t <<<<一个次B 样条定义为。
其中，为控制点，为Bn 0()(),[0,1]m n i i i S t d bt t ==∈∑i d ()n i b t 样条基函数，定义为：101111111():0():()()j j j j j n n n n j j j j n j j n j t t t b t others t t t t b t b t b t t t t t +++--+++++<<⎧=⎨⎩--=+--当节点等距时，称B样条为均匀节点样条。
Fig.5 B 样条基的递推定义3.2 B 样条性质1、样条基函数的次数与控制顶点数无关。
2、【定义2】中的BSpline 曲线是分段连续的，每一段都是一条n 次的曲线，共有段曲线，且曲线之间是次连续的。
1m n +-1n -3、控制点的移动对样条曲线的影响是局部的。
3.3 均匀B 样条当B 样条是均匀的时候，对于给定的n ，每个B 样条基是其他样条基的平移拷贝而已。
对于三次均匀B 样条，由上述定义的B 样条曲线是分段连续的曲线，每一段的性质都是相同的，将B 样条基转化为多项式函数的基，得到每一段曲线的矩阵表示形式：13223133136301()1,[0,1](2)303061410i i i i i d d S t t t t for t d d +++--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎡⎤=∈⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Fig.6 均匀三次B 样条示意图3.4 三次B 样条插值算法下面介绍三次B 样条插值的算法。
【算法三】已知型值点（采样点）共n+1个，确定B 样条曲线控制点的个数有012,,,...,n P P P P m+1个，记为，则分段B 样条的个数为m-2条，记为：01,,...,m d d d 。
013(),(),...,()m S t S t S t -Step 1：将弦长参数化到区间[0,1]。
记，012,,,...,n P P P P 110,n i i i i i P P S -+=∆=-=∆∑则有：，记型值点数组。
0010,,1,2,...,j i j j t t i n S===∆=∑01[...]T n b P P P =Step 2：对每一段三次B 样条曲线，记录该段曲线在型值点数组中的始末位置，()i S t b 设为， 。
,i i first end P P 0,1,...,3i m =-Step 3：将每一段B 样条曲线的型值点弦长参数化到[0,1]区11,,...,,i i i i first first end end P P P P +-间，记为。