二次bezier曲线
Bezier曲线的递推算法
• 设P0、P02、P2是一条 抛物线上顺序三个不 同的点。过P0和P2点 的两切线交于P1点， 在P02点的切线交P0P1 和P2P1于P01和P11， 则如下比例成立：
• 当P0，P2固定，引入参数t，令上述比值为t:1-t)， 即有：
• t从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形的 第一、二条边，它们是两条一次Bezier曲线。将 一、二式代入第三式得：
这便是著名的de Casteljau算法。用这一递推公式，在 给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。
• 当n=3时，de casteljau算法递推出 的Pik呈直角三角形， 对应结果如图所示。 从左向右递推，最右 边点P03即为曲线上的 点。
• 当t从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、 P2三点定义的一条二次Bezier曲线。并且表明： 这二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前两个 顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次 Bezier曲线的线性组合。依次类推，由四个控 制点定义的三次Bezier曲线P03可被定义为分别 由(P0,P1,P2)和(P1,P2,P3)确定的二条二次 Bezier曲线的线性组合，由(n+1)个控制点 Pi(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线P0n可被定 义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1) 次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：
二次贝塞尔曲线 三次贝塞尔曲线
二次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线
摘要：
一、二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线的定义
二、二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线的性质
三、二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线在实际应用中的区别和联系
正文：
二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线是数学中常见的曲线类型，它们都属于贝塞尔曲线的一种。
一、定义
二次贝塞尔曲线，又称椭圆，是平面内到两个固定点F1、F2 的距离之和为常数2a 的点的轨迹。
三次贝塞尔曲线，又称双曲线，是平面内到两个固定点F1、F2 的距离之差为常数2a 的点的轨迹。
二、性质
二次贝塞尔曲线的性质包括：1.焦点到椭圆上任一点的距离之和为常数；
2.椭圆的离心率小于1；
3.椭圆的面积公式为S=πab。
三次贝塞尔曲线的性质包括：1.焦点到双曲线上任一点的距离之差为常数；2.双曲线的离心率大于1；3.双曲线的面积公式为
S=πab/√(a^2+b^2)。
三、实际应用
二次贝塞尔曲线在实际应用中常用于绘制圆润的图形，如在计算机图形学
中用于绘制光滑的曲线和表面。
而三次贝塞尔曲线在实际应用中则常用于表示两个变量之间的关系，如在物理学中用于描述电磁波的传播。
二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线虽然都属于贝塞尔曲线，但在性质和应用上存在明显的区别。
贝塞尔曲线 坐标 算法
贝塞尔曲线坐标算法1. 什么是贝塞尔曲线？贝塞尔曲线是一种数学函数，用于描述平滑的曲线形状。
它由两个或多个控制点组成，通过这些控制点来确定曲线的形状和路径。
贝塞尔曲线最常见的应用是在计算机图形学中，用于绘制平滑的曲线和路径。
2. 贝塞尔曲线的分类根据控制点的数量，贝塞尔曲线可以分为以下几类：•二次贝塞尔曲线：由两个控制点确定，路径为一条平滑弯曲的直线。
•三次贝塞尔曲线：由三个控制点确定，路径为一条平滑弯曲的曲线。
•高阶贝塞尔曲线：由四个或更多个控制点确定。
在本文中，我们将重点讨论二次和三次贝塞尔曲线。
3. 贝塞尔曲线坐标算法3.1 二次贝塞尔曲线二次贝塞尔曲线由起始点P0、控制点P1和结束点P2确定。
要计算二次贝塞尔曲线上的点坐标，可以使用以下公式：B(t) = (1 - t)^2 * P0 + 2 * (1 - t) * t * P1 + t^2 * P2其中，t的取值范围为0到1。
当t为0时，B(t)等于起始点P0；当t为1时，B(t)等于结束点P2。
3.2 三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线由起始点P0、控制点P1、控制点P2和结束点P3确定。
要计算三次贝塞尔曲线上的点坐标，可以使用以下公式：B(t) = (1 - t)^3 * P0 + 3 * (1 - t)^2 * t * P1 + 3 * (1 - t) * t^2 * P2 + t^3 * P3同样地，t的取值范围为0到1。
当t为0时，B(t)等于起始点P0；当t为1时，B(t)等于结束点P3。
4. 应用示例4.1 绘制二次贝塞尔曲线假设我们有一个起始点P0(100, 100)，一个控制点P1(200, 50)，和一个结束点P2(300, 100)。
我们想要绘制一条连接这三个点的二次贝塞尔曲线。
首先，我们需要确定曲线上的一系列点。
可以选择一个步长值，例如0.01，然后使用上述公式计算每个t值对应的坐标点。
在这个例子中，t的取值范围为0到1，所以我们可以从0开始，每次增加0.01，直到达到1。
二次方贝塞尔曲线
S (t ) P (t ) dt
10.1.1 曲线的表示 1. 显式表示
一个坐标变量能够显式地表示为另一个变量的函数 平面曲线显式表示的一般形式是 y f ( x) 一条直线方程 y mx b 每一个x值只对应一个y值
Computer Graphics
用显式方程不能表示封闭或多值曲线
10.1.1 曲线的表示
10.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率
在三维空间中，曲线的参数方程为 t [0,1] P (t ) ( x(t ), y(t ), z(t )) 1.位置矢量 曲线上任一点的位置矢量可表示为 2.切矢量
P (t ) ( x(t ), y(t ), z(t ))
P(t) z y △P
P (t ) ( x(t ), y(t ), z(t )) ， t [0,1]
y(t )和 z (t )分别为 t的显式函数， 其中 x(t )， 即每一个 t 对应空间一个点 ( x(t ), y(t ), z(t ))
(10.3)
通常将参数区间规范化为[0,1]。参数方程中的参数可以代表多种不 同的量，如时间、角度等。 连接 P0 ( x0 , y0 ) 和 P1 ( x1 , y1 )两点的直线段的参数方程可写为
2 隐式表示
平面曲线隐式表示的—般形式：
f ( x, y) 0
Computer Graphics
例如，二次隐式方程的—般形式可写成
ax2 bxy cy 2 dx ey f 0
(10.1)
该隐式方程可以表示抛物线、双曲线和椭圆等。 三维空间曲线的隐式表示式为交面式:
f ( x, y, z ) 0 g ( x, y, z ) 0
Bezier曲线的拼接及其连续性.
1 ) i i,n(
P 1 )P 1 ) P 1 ) 0B 0 ,n( 1B 1 ,n( nB n ,n(
Bezier曲线通过特征多边形的起点和终点。
P n
（2）一阶导数
n! i1 ni ni1 i Bi,n (t) (i t (1 t) (n i)( 1 t ) t ) i!(n i)! n(n 1)! t i1 (1 t)(n1)(i1) (i 1)!((n 1) (i 1))! n(n 1)! t i (1 t)(n1)i i!((n 1) i)! n(Bi1,n1 (t) Bi,n1 (t))
Bezier曲线的拼接及其连续性
组员：栗周亚（主讲）樊凯 葛序理 牛辰光
顾超锋
尹顺源
Bezier曲线
由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲
线曲面表示方法, 已不能满足用户的需求。 1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bézier 构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲 面的设计方法。Bézier方法将函数逼近同 几何表示结合起来，使得设计师在计算机 上就象使用作图工具一样得心应手。
Q (t ) n Pi ( Bi 1,n 1 (t ) Bi ,n 1 (t ))
i 0
n
n((P1 P0 ) B0,n 1 (t ) ( P2 P1 ) B1,n 1 (t ) ( Pn Pn 1 ) Bn 1,n 1 (t )) n ( Pi Pi 1 ) Bi 1,n 1 (t )
(5)几何不变性
曲线的形状仅与特征多边形各顶点 的相对位置有关，而与坐标系的选 择无关。
三次Bezier曲线的插值
插值要求得到的曲线精确的通过采样点，四个控制点决定 一条Bezier曲线，插值M个点(M>4)设计到曲线拼接连续性 的问题，要求达到切线连续。
n次bezier曲线的数学表达式
n次Bezier曲线是计算机图形学和计算机辅助设计中常见的一种曲线表示方法，它可以用来描述平滑的曲线轨迹。
它的数学表达式可以通过一些简单的数学运算来得到，下面我们将详细介绍n次Bezier曲线的数学表达式。
1. 一次Bezier曲线的数学表达式假设有两个控制点P0和P1，那么一次Bezier曲线的数学表达式为：B(t) = (1-t) * P0 + t * P1, 0 <= t <= 12. 二次Bezier曲线的数学表达式假设有三个控制点P0、P1和P2，那么二次Bezier曲线的数学表达式为：B(t) = (1-t)^2 * P0 + 2 * t * (1-t) * P1 + t^2 * P2, 0 <= t <= 13. 三次Bezier曲线的数学表达式假设有四个控制点P0、P1、P2和P3，那么三次Bezier曲线的数学表达式为：B(t) = (1-t)^3 * P0 + 3 * t * (1-t)^2 * P1 + 3 * t^2 * (1-t) * P2 + t^3 * P3, 0 <= t <= 14. 一般情况下的n次Bezier曲线的数学表达式对于一般情况下的n次Bezier曲线，其数学表达式可以通过递归的方式来计算，具体而言，它的数学表达式为：B(t) = Σ(i=0, n) C(n, i) * (1-t)^(n-i) * t^i * Pi, 0 <= t <= 1其中，C(n, i)表示组合数，其计算公式为：C(n, i) = n! / (i! * (n-i)!)5. 数学表达式的意义通过上述的数学表达式，我们可以看出，n次Bezier曲线的数学表达式是基于控制点和参数t的多项式表达式。
在计算机图形学和计算机辅助设计中，我们可以通过调整控制点的位置和参数t的取值，来获得不同形状的曲线。
6. 总结通过本文的介绍，我们了解了n次Bezier曲线的数学表达式，以及它的计算方法。
二次Bezier曲线与三次非均匀B样条曲线的拼接
化 为二 次 Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ 曲线与三次 １ ３ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ曲线之 间的拼接 问题 ， 并分别给 出了二次 Ｂ ６ ｚ ｉ ｅ ｒ曲线与三次非均
匀 Ｂ样条 曲线的拼接 的 ， Ｇ１ ， Ｇ２ 光滑拼接 条件．
关键词 ： Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ 曲线 ， Ｂ样条 曲线 ； Ｂ ｏ ， ｉ ｅ ｒ 构造方法； 光滑拼接 ； 中图分类号 ： Ｔ Ｐ ３ ９ １
第３ ２卷第 １ １ 期
２ ０ １ ３ 年 １ １ 月
数 学教 学研究
６ ３
二次 Ｂ ６ ｚ ｉ ｅ ｒ曲线与三次非均匀 Ｂ样条 曲线的拼接
赵
摘
菲 ，张贵仓 ，葸海英
（ 西 北师范大学 数学与统计学院 ，甘肃 兰州 ７ ３ ０ ０ ７ ０ ）
要： 利用 Ｂ样条 曲线的 Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ 构造 方法， 把二次 Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ 曲线与三次非均 匀 Ｂ样条 曲线的拼接转
＝
（
＋
＋
，
，
６ ４
数学教学研究
第３ ２卷第 １ １ 期
２ ０ １ ３年 １ １ 月
ｗ ， ｗ ， ＋ 南 ） ，
其 中
（ 口， ｂ ， Ｃ ， ）
＝
这里 有
一
一
” ＋１一 ‰
（ Ｒ０ ， Ｒ１ ， Ｒ２ ， Ｒ３ ） 一（ （ １ －ｌ １ ） 一 ３ ＋１ １ 一 ２ ， Ｚ ２ 一 ２ ＋（ １ 一 ２ ） ｒ ｎ 一 １ ， ｒ ｎ 一１ ， ￡ ３ ｒ 一 １ ＋（ １ — — ｌ ３ ） ｒ ） ，
（ ｌ —Ｕ ｔ ｒ － １ ， ｒ ｒ ｝ １ 一 ，
科２ 一“ ” ＋ １ ， ， ｒ 卜 ３一 ｚ ‘ ２ ） ，
Bezier&BSpline_曲线
1 1 P0 p (t ) [t 1] P 1 0 1
Bezier曲线的矩阵表示—二次Bezier曲线
n 2, 控制点序列: P0 , P1 , P2 p(t ) Pi Bi , 2 (t ) (1 t ) 2 P0 2t (1 t ) P1 t 2 P2
Bezier曲线的拼接
两条Bezier曲线连接有一定的条件，如右图所示，p3与Q0
重合，且两条曲线在连接处二阶导数连续。
Bezier曲线的生成
Bezier曲线的缺点
1、特征多边形的顶点个数n+1决定了Bezier曲线的阶 次，即只能生成n次曲线，不灵活。 2、当n很大时，曲线的阶次很高，多边形对曲线的 控制明显减弱。 3、 由于基函数在区间(0,1)上均不为0。因此Bezier曲 线上任何一点都受到全部所有控制点的影响。改变 任一控制点都会对整条曲线产生影响。因而对曲线 做局部修改成为不可能。
Bezier曲线的性质－对称性、凸包性、几何不变性、 变差缩减性
(1)对称性 : * 取P i P n i ( 2)凸包性 i 0,1, , n
*
有C * (t ) P i Bi , n (t ) P i Bi , n (t ) C (t )
i 0 i 0
n
n
B
i 0 n
n
i ,n
(t ) 1, 且Bi , n (t ) 0
n
(3)几何不变性
ua P ) i Bi , n (t ) P i Bi , n ( ba i 0 i 0 ( 4)变差缩减性
Bezier曲线的矩阵表示—一次Bezier曲线
n 1, 控制点序列: P0 , P 1 p (t ) Pi Bi ,1 (t ) P0 (1 t ) P t [0,1] 1t