南京理工大学2013概率统计(强化)

第一章随机事件和概率知识要点精讲§1 随机试验和随机事件1、随机试验(1)可以在相同条件下重复进行；(2)每次试验的可能结果不止一个，并且事先能够明确所有的可能结果；(3)试验之前，不能确定哪个结果会出现.2、样本空间试验E的所有可能结果组成的集合. 记为S或Ω样本空间和随机试验的关系3、随机事件1、随机事件：样本空间的子集为什么要用样本空间的子集来作为事件的定义？§2 事件之间的关系与运算1、事件的五种关系：包含关系.相等关系互不相容(互斥)关系互逆关系独立关系注事件独立性及其性质。

2、事件的三种运算：（1）事件的并(和)：-=-=（2）事件的差：A B A AB AB（3）事件的交(积)事件关系的标准记法符号以上的这些关系和运算，同学们不应停留在集合论的角度，更重要的是要能够从概率论的角度来理解和把握这些关系和运算。

这是概率论思维的第一步。

3、事件的运算律(1)交换律 (2)结合律 (3)分配律 (4)摩根律注：(1)分配律的记忆方法(2)推广形式：分配律: 1111[]()[]()n n n ni i i i i i i i B A B A B A B A ====⋂=⋂⋃=⋃摩根律:1111,n n n ni i i i i i i i A A A A ======§3 概率的公理化定义和性质1、 公理化定义设随机试验为E ，样本空间为S ，对于E 中的每一个事件A ，都赋予一个实数()P A ，如果满足下列条件，则称()P A 为事件A 的概率：(1)非负性：0()1P A ≤≤； (2)归一性：()1P Ω=；(3)可列可加性：对两两互斥的事件(1,2,)i A i =,有11()i i i i P A P A ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，注：非负性和归一性在随机变量的分布中的体现。

2、概率的性质有限可加性、减法公式、逆事件概率公式、加法公式 注：各公式的相互推导关系§4 常见概率模型1、古典概型概率计算：A S ⊂的概率为()()()N A P A N =Ω 注意：抓阄模型的各种情况。

2、几何概型若试验E 的样本空间Ω为有界区域，落在Ω的子集A 上的概率只与A 的测度（长度、面积、体积等）有关，而与A 的位置和形状无关，则称E 为几何概型。

()A P A S =的度量的度量注意：有关资料中在定义几何概型中使用“每个基本事件发生的概率相同”，这种说法是不合适的；（1）度量可以指长度，面积，体积等等，但要保证分子分母度量工具相同。

（2）几何概型的问题可以转化为服从均匀分布的随机变量的问题解决。

3、超几何概型设有N 件产品，其中M 件次品，今从中任取n 件，问其中恰有(min{,})k M n ≤ 件次品的概率是多少?不放回抽样：k n kM N MnN C C p C --= 超几何分布； 有放回抽样：()()(1)k k n k k kn k n nn C M N M M M P C N N N---==- 二项分布。

§5 条件概率与三大概率公式1、条件概率条件概率的两种定义（直观含义、公式定义） 注：条件概率的性质都要加上共同条件； 思考：A B ⊂与(|)1P B A =是否等价 ？2、乘法公式（两个事件、n 个事件） 多个事件乘法公式的记忆在随机变量中的体现（联合分布等于边缘分布乘以条件分布） 3、全概率公式（1）1()()()ni i i P A P B P A B ==∑（2）公式的本质：由因索果 （3）在随机变量情形下的体现1|()()(|)()()(|)i j i j j X Y X Y P X x P Y y P X x Y y f x f y f x y dy+∞=+∞-∞======∑⎰4、贝叶斯公式 （1）1()()() (1,2,,)()()i i i niii P B P A B P B A i n P B P A B ===∑（2）公式的本质：由果索因，意义——对事物的进一步认识。

（3）在随机变量情形下的体现|||()(|)(,)(|)()()(|)X Y X X Y Y X Y X f x f y x f x y f x y f y f x f y x d+∞-∞==⎰重点题型归纳题型1 事件的关系和运算【例1】在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的。

在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t 0，电炉就断电。

以A 表示事件“电炉断电”，而)4()3()2()1(T T T T ≤≤≤为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件A 等于（A ）}{0)1(t T ≥ （B ）}{0)2(t T ≥ （C ）}{0)3(t T ≥（D ）}{0)4(t T ≥【例2】设A 和B 是任意两个概率不为0的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是：（A ）A 与B 不相容（B ）A 与B 相容。

（C ）P （AB ）=P （A ）P （B ）（D ）P （A -B ）=P （A ）【例3】设A 和B 是任意两个概率不为0的事件，则()()A B A B ⋃⋂⋃表示（ ） （A ）必然事件 （B ）不可能事件（C ）A ，B 不能同时发生（D ）A ，B 恰有一个发生 注：()()A B A B AB AB ⋃⋂⋃=⋃，不要错选C ，应选D题型2 概率的性质【例4】设随机事件A ，B 及其和事件A B 的概率分别是0.4, 0.3和0.6，若B 表示B 的对立事件，那么积事件A B 的概率P （A B ）= 0.3 。

【例5】若事件A B ⋂发生，则必有事件C 必发生，证明1)()()(-+≥B P A P C P【例6】设事件,,A B C 满足条件：1()()()8P AB P AC P BC ===，1()16P ABC =，则,,A B C 至多有一个发生的概率为（ ）解 记D =｛,,A B C 至多有一个发生｝，则3()1()1()1[()()()2()]4P D P D P AB AC BC P AB P AC P BC P ABC =-=-⋃⋃=-++-=【例7】设事件,,A B C 满足条件：11()()(),()0,()()46P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件,,A B C 都不发生的概率为（ ）答案：712【练习1】已知随机事件A 的概率()0.5,P A =随机事件B 的概率()0.6P B =及条件概率(|)0.8,P B A =则和事件A B 的概率()P A B =_____0.7_______.【练习2】甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.解 A =｛甲中｝，B ={乙中}，C =｛命中目标｝，则,A B 独立，且C A B =⋃，所求概率为 ()()()3(|)()()()()()()4P AC P A P A P A C P C P A B P A P B P A P B =====⋃+- 题型3 古典概型与几何概型【例8】在顶点为（0,0），（0,1），（1,0），（1,1）的正方形中任意投入一点记为(,)M ξη,求方程20x x ξη++=有实根的概率。

分析：考察几何概型问题的计算。

解：这是一个几何概型，样本空间为{(,)|0,1}ξηξηΩ=<<2{(,)|(,),40}A ξηξηξη=∈Ω-≥，从而3()4A S P A S Ω== 评注：（1）应熟悉几何概型的一般计算步骤； （2）几何概型的问题通常都可以转化为随机变量的方法来解决，请试用随机变量的方法来解决此题。

【练习1】随机地向半圆0y a <<为正常数)内掷点，落在半圆内任何 区域的概率与区域的面积成正比,求原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率。

答案（22ππ+） 【练习2】甲乙两船驶向一个不能同时停靠两只船的码头，它们在一昼夜到达的时间是等可能的，如果甲船停泊的时间是1小时，乙船停靠时间是2小时，求任意一只船都不需要等待的概率。

解 设甲乙两船到达时刻分别为,x y ，则样本空间{(,)|0,24}G x y x y =≤≤，从而 甲先到，乙船不需等待的充要条件是：0124x x y ≤<+≤≤； 乙先到，甲船不需等待的充要条件是：0224y y x ≤<+≤≤；于是两船都不需要等待的概率为2221(2322)10132241152p +==题型4 四大重要公式四大重要公式是指条件概率公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式 【例9】（06，4分）设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有 （A ）()().P A B P A ⋃> （B ）()().P A B P B ⋃>（C ）()().P A B P A ⋃=（D ）()().P A B P B ⋃=【例10】（2012，1）设,,A B C 是随机事件，,A C 互不相容，1()2P AB =,1()3P C =,则()P AB C -=________。

解 由条件概率的定义，()()()P ABC P AB C P C =，其中()()121133P C P C =-=-=， ()()()()12P ABC P AB P ABC P ABC =-=-，由于,A C 互不相容，即AC φ=，()0P AC =，又A B C A C ⊂，得()0P A B C =，代入得()12P ABC =，故()34P A B C =【例11】设随机变量()X P λ，随机变量Y 在0X 间取值，求(2)P Y =。

解221131(2)()(2|)[]!1(1)!2ii i kk P Y P X i P Y X i e i i e e e k λλλλλλλλλλ∞∞-==∞----=======⋅+=⋅=⋅---∑∑∑题型5 事件的独立性与贝努利概型【例12】设A 、B 是两个随机事件，且0()1,()0P A P B <<>, (|)(|)P B A P B A =，则必有 A ，B 相互独立 注：独立性的等价命题：()()()(|)()(|)(|)(|)(|)1P AB P A P B P A B P A P B A P B A P B A P B A ===+=思考： 若相互独立的事件A ，B ，且,C A D B ⊂⊂，则,C D 是否独立？ 【例13】设两两相互独立的三事件A ，B 和C 满足条件；ABC φ=，1()()()2P A P B P C ==<，且已知169)(=C B A P ，则()P A = 。