2013-2014(2) 概率统计(A卷)2答案

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【原创·精品解析系列】数学理卷·2014届山西省忻州一中康杰中学临汾一中长治二中四校高三第四次联考

山西省忻州一中长治二中临汾一中康杰中学2013-2014学年高三第四次四校联考数学试题（理科）A 卷命题：康杰中学临汾一中长治二中忻州一中【满分150分，考试时间120分】【试卷综析】本试题是一份质优量大的高三测试的好题，涉及范围广，包括集合、复数、圆、数列、命题、频率分布直方图、概率、程序框图、分段函数、三角函数变换、三视图、解三角形、双曲线、离心率、导数极值、二项式定理、平面向量、直线与圆、线性规划、球、几何证明、不等式选讲、参数方程与极坐标等高考核心考点，又涉及了概率统计、数列、立体几何、解析几何、导数应用等必考解答题型。

本题难易程度涉及合理，梯度分明；既有考查基础知识的经典题目，又有考查能力的创新题目；从12,14,15,16等题能看到命题者在创新方面的努力，从17,18，19三题看出考基础，考规范；从20题可以看出考融合，考传统；从16,21两题可以看出，考拓展，考创新。

一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1．集合{}{}220,2,0xA x x xB y y x =->==>，R 是实数集，则()RB AC ⋃等于（）A ．RB ．(-∞,0)∪1,+∞)C ．(]0,1D ．(](),12,-∞⋃+∞ 【知识点】不等式的解集，函数值域，补集，交集【答案解析】D()()()(],02,,1,,,1R A B B C =-∞⋃+∞=+∞=-∞，则()(]()()(](),1,02,,12,RB AC ⋃=-∞⋃-∞⋃+∞=-∞⋃+∞【思路点拨】把每一个集合解对就好说了2. 已知z 是复数z 的共轭复数, 0g z z z z ++=，则复数z 在复平面内对应的点的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【知识点】复数与共轭复数，复数轨迹【答案解析】A设(,)z x yi x y R =+∈则222,g z z x z z x y +==+所以0g z z z z ++=变为()22222011x y x x y ++=⇒++=故选A【思路点拨】设复数是关键，再化简。

东北林业大学2013-2014学年第1学期阶段2《概率论与数理统计》考试试题及答案

东北林业大学2013－2014学年第1学期阶段2考试试题考试科目：概率论与数理统计试卷总分：100分考试时间：_90分钟占总评比例：20%题号一二三卷面分得分评卷教师一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分）1、在10次独立重复的射击中，每次命中的概率为0.4，则命中次数平方的期望是____；2、设ξ服从1=λ的指数分布，又2ξη=,令),(y x F 为),(ηξ的分布函数，则=)4,1(F _____；3、随机变量)2,1(~N ξ，)6,0(~U η且相互独立，则)23(ηξ-D =_____________；4、设)2(~P ξ，由切比雪夫不等式)3|2(|≥-ξP _____________________________；5、设),0(~2σξN i ，10,,2,1 =i ，且相互独立，则随机变量~1062512∑∑==j ji iξξ_____________。

二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分）1、随机变量ξ与η相互独立同分布且有则【】A)5.0)(==ηξP B)1)(==ηξP C)25.0)0(==+ηξP D)25.0)1(==ξηP 2、设二元函数x y x f cos ),(=，则当自变量在下述哪个区域上取值时，其才可作为连续型二维随机变量的联合概率密度函数。

【】A)[][]1,0,5.0,5.0∈-∈y x ππB)[][]5.0,0,5.0,5.0∈-∈y x ππC)[][]1,0,,0∈∈y x πD)[][]5.0,0,,0∈∈y x π3、随机变量ξ的均值存在且a E =ξ，b E =2ξ，则对任意实数c ，=)(ξc D 【】A))(2b ac -B))(2a b c -C))(22a b c -D))(22b a c -4、若任意非零的实数a ,b 使得1)(=+=ξηb a P 且ξD 存在，则ηξρ,的取值【】得分得分ξ-11P0.50.5A)等于1B)等于-1C)等于||b b D)1||,<ηξρ5、对任意实数0x ，下列成立的是【】A)()()220ξξξE E x E -=-B)()()220ξξξE E x E -≥-C)()()220ξξξE E x E -<-D)()020=-x E ξ三、计算题（本大题共4小题14问，每问5分，总计70分）1、离散型二维随机变量),(ηξ的联合概率分布律见右表：求（1）边缘分布；（2）)1|(=⋅ηP （3）),max(ηξς=的分布；（4）),(ηξCov ；（5）ξ与η是否独立？得分ξη-111200.250.250.52、连续型二维随机变量),(ηξ的联合概率密度函数如下：⎩⎨⎧<<<<--=其他,010,10,),(y x y x a y x f 求：（1）未知常数a ；（2）)2(ηξ>P ；（3）分量ξ的概率密度函数)(1x f ；（4）ηξς+=的概率密度函数；（5）)(ηξ+E3、三个球随机放入三个盒子，ξ与η分别表示放入第一个与第二个盒子球的个数。

中央电大本科《应用概率统计》期末考试题及答案(2014年1月)试卷代码1091

4 3
(2 分)
(1分)
16 解 :P(~< 卢 ff cp (x ，川 dy
X<y
(2 分)
2 川时川
=一」一寸 11 e→/2(x
4πλ10'
X<y
rs π /4
jJ
ω dxdy
(2 分)
(由极坐标系得 )=z力FJR/4dojO E7·/2× 100 冲
,
r+"，
噜
(2 分)
1
2
四、证明题 (20 分)
四阿τl
||
一、判断题(回答对或错，每小题 4 分，共 20 分)
(
)
)
3. 设随机变量 X j ， X 2 ，凡，几独立，都服从正态分布 N (l， l) ，且走(艺 X i
i=l
-
4) 2 服从 l
分布，则常数 k 和 χ2 分布的自由度 n 分别为 k=? ， n=1(
4. 设总体 X~N 怡， 1) , Xj
6. 一个口袋装有许多红色 (r) 、白色 (w) 、蓝色(的乒乓球，其中任取 4 个，则观察到的颜色
种类的样本空间为
7. 一学生宿舍有 6 个人， 6 个人的生日都在星期日的概率为
8. 设随机变量 E 服从标准正态分布，即~ ~ N (0 ， 1) ，则 E 的概率密度函数为
476
9 设随机变量 X 阳刚分布，且盯斗)→叫U E(X)= 一一
x< 十∞，一∞ <y<+ ∞。求 P(草〈平) •
四、证明题 (20 分)
17 设离散型随机变量 E 以同样的可能性取得两个岛 1 ， X2' 证明 D (~) = (写可，其

2014统计学试卷与答案

2014统计学试卷与答案一、填空题（每空1分，计10分）1、统计指标包括、计算方法、空间限制、时间限制、具体数值和计量单位6个要素。

2、无论采用何种调查方法进行调查，首先都要制定。

3、质量指标是反映的指标。

4、8名队员的身高（单位：CM ）由低到高排序为：181,182,182,183,184,185,186,186，身高的中位数是 CM 。

5、假定中国和美国的国民年龄方差相同，现在各自重复随机抽样获取1%的公民来分别估计两个国家国民的平均年龄，其他条件相同的情况下，哪个国家国民平均年龄的估计误差会较小一些。

6、变量之间完全相关，则其相关系数为。

7、若逐期增长量每年相等且为正数，则各年的环比发展速度是年年。

（上升，不变，下降）。

8、回归分析中OLS （普通最小二乘法）的原理是。

9、编制综合指数的特点是。

10、拉氏指数是把同度量因素的时间固定在的一种综合指数形式。

二、判断题（每题1分，计10分，请填入“√”或“⨯”）（）1、数量指标根据数量标志计算而来，质量指标根据品质标志计算而来；（）2、普查是全面调查，抽样调查是非全面调查，所以普查比抽样调查准确；（）3、凡是离散型变量都适合编制单项式数列；（）4、任何变量数列都存在众数；（）5、如果o e m m x <<，则变量分布为左偏；（）6、判定系数越大，估计标准误就越大；（）7、正相关是指两个变量的数量变动方向都是上升的；（）8、统计的本质就是关于为何统计，统计什么和如何统计的思想；（）9、两个总量指标时间数列相对比得到的时间数列一定是相对数时间数列；（）10、同度量因素在起到同度量的同时，还具有一定的权数作用。

三、单项选择题（每题1分，计10分） 1、统计学的研究对象是（）。

A 、各种现象的内在规律 B 、各种现象的数量方面 C 、统计活动过程 D 、总体与样本的关系2、以产品的等级来衡量某种产品的质量好坏，则该产品等级是（）。

2014年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2} 2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．54．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．15．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.456．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．78．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．39．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．210．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．【解答】解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A．【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．5【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．【解答】解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．1【考点】HR：余弦定理．【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．7【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．3【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】52：导数的概念及应用．【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．【解答】解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故选：D．【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．2【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（5，2）代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B 两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．【解答】解：由y2=2px，得2p=3，p=，则F（，0）．∴过A，B的直线方程为y=（x﹣），即x=y+．联立，得4y2﹣12y﹣9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y 1+y 2=3，y 1y 2=﹣．∴S△OAB =S △OAF +S△OFB =×|y 1﹣y 2|==×=．故选：D ．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．11．（5分）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为（） A ．B ．C ．D ．【考点】LM ：异面直线及其所成的角．【专题】5F ：空间位置关系与距离．【分析】画出图形，找出BM 与AN 所成角的平面角，利用解三角形求出BM 与AN 所成角的余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，如图：BC 的中点为O ，连结ON ，，则MN0B 是平行四边形，BM 与AN 所成角就是∠ANO ，∵BC=CA=CC 1，设BC=CA=CC 1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO 中，由余弦定理可得：cos ∠ANO===．故选：C ．【点评】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈Z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围．【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，即=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为T r=•x10﹣r•a r，+1令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为1．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．【解答】解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos （x+φ）=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，故函数f（x）的最大值为1，故答案为：1．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2）是解决本题的关键．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和．【专题】14：证明题；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．【解答】证明（Ⅰ）==3，∵≠0，∴数列{a n+}是以首项为，公比为3的等比数列；∴a n+==，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴＜=，∴当n=1时，成立，当n≥2时，++…+＜1+…+==＜．时，++…+＜．∴对n∈N+【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∴CD⊥MD．∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，=×（1+2+3+4+5+6+7）=4，=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，∴== =0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．【点评】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g′（x）＞0是否成立”的问题；对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法利用的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=e x+e﹣x﹣2，即f′（x）≥0，当且仅当e x=e﹣x即x=0时，f′（x）=0，∴函数f（x）在R上为增函数．（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，则g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（e x+e﹣x）2﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（e x+e﹣x﹣2）（e x+e﹣x+2﹣2b）．①∵e x+e﹣x＞2，e x+e﹣x+2＞4，∴当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．②当b＞2时，若x满足2＜e x+e﹣x＜2b﹣2即，得，此时，g′（x）＜0，又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．（Ⅲ）∵1.4142＜＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（x）的解析式中，得．当b=2时，由g（x）＞0，得，从而；令，得＞2，当时，由g（x）＜0，得，得．所以ln2的近似值为0.693．【点评】1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．3．本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值，达到了估值的目的．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【考点】N4：相似三角形的判定；NC：与圆有关的比例线段．【专题】17：选作题；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程．（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=，t=．故D的直角坐标为，即（，）．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2013-2014概率统计本科模拟卷

概率论与数理统计模拟卷注意：本卷可能用到以下分布函数值： ()7967.083.0=Φ,()8729.014.1=Φ,()9564.071.1=Φ一、填空题（本题满分32分，共8个小题，每小题4分）1、已知A ，B 为两个随机事件，()7.0=A P ，()3.0=-B A P ，则()=A B P 。

2、随机抛掷两颗质地均匀的骰子，则掷得点数之和不小于7的概率为。

3、设()4.0=B P ，()3.0=-B A P ，若事件A 与B 相互独立，则()=A P 。

4、在区间()1,0内等可能地任取一点记为X ，则=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥+-081432X X P 。

5、已知随机变量()p B X ,3~，且{}27191=≥X P ，则=p 。

6、设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布()2,1N 和()1,1N ，令Y X Z -=，则{}=≥0Z P 。

7、已知()3=X E ，()5=X D ，则()=+22X E 。

8、设随机变量X 和Y 的期望都是2，方差分别为1和4，相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式：{}≤≥-6Y X P 。

二、选择题（本题满分18分。

共6个小题，每小题3分。

在每个小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项的字母填写在答题纸的相应栏上） 1、设()0=AB P ，则下列说法正确．．的是（） A ．A 和B 一定不相容 B ．AB 是不可能事件 C ．()0=A P 或()0=B P D ．()()A P B A P =- 2、已知随机变量X 和Y 的分布律分别为则常数a 和b 的值分别为（）A ．2.0=a ，4.0=bB ．2.0=a ，3.0=bC ．1.0=a ，3.0=bD ．1.0=a ，4.0=b3、设随机变量X 和Y 相互独立且服从同一分布，已知X 的分布律为则下列式子正确．．的是（） A ．Y X = B ．{}0==Y X P C ．{}21==Y X P D ．{}1==Y X P 4、设随机变量X ，Y 相互独立，且12+-=Y X Z ，则()=Z D （）A ．()()Y D X D -4B ．()()Y D X D +4C ．()()12++YD X D D ．()()14+-Y D X D5、由()()()Y D X D Y X D +=+可得（）A ．X 与Y 不相关B ．X 与Y 的联合分布函数()()()y F x F y x F =,C ．X 与Y 相互独立D ．1-=XY ρ6、设总体X 服从正态分布()2,σμN ，其中μ，2σ未知，n X X X ,,,21Λ是取自总体X 的简单随机样本，则下列样本函数不是统计量的是（）A ．∑==ni i X n X 11B ．i XC ．()∑=--=ni i XX n S 12211 D ．()∑=-n i i X n 121μ三、计算题（本题满分40分，共5个小题，每小题8分）1、某地区18岁女青年的血压（收缩压，以mmHg 记）服从()212,110N ，在该地区任选一18岁女青年，则她的血压在mmHg 100和mmHg 120之间的概率为多少。

2014年全国高考理科数学试题选编12.概率与统计试题解析

2014年全国高考理科数学试题选编十二.概率与统计试题一.选择题和填空题1.（全国课标Ⅰ.5）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )．A．18 B ．38 C．58 D ．782.(课标全国Ⅱ，5)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )．A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.453.（陕西.9)设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数， i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( )．A ．1＋a,4B ．1＋a,4＋aC ．1,4D ．1,4＋a4.(x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.55.0- 0.5 0.2- 0.3- 得到的回归方程为y bx a =+，则( )． A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．a ＜0，b ＞0 D ．a ＜0，b ＜05.(湖南2)对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )． A ．p 1＝p 2＜p 3 B ．p 2＝p 3＜p 1 C ．p 1＝p 3＜p 2 D ．p 1＝p 2＝p 36.(浙江9)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中．(a)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 ξi (i ＝1,2)；(b)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)．则( )． A ．p 1＞p 2，E (ξ1)＜E (ξ2) B ．p 1＜p 2，E (ξ1)＞E (ξ2) C ．p 1＞p 2，E (ξ1)＞E (ξ2) D ．p 1＜p 2，E (ξ1)＜E (ξ2) 7.广东.理6)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 ( )．图1图2A ．200,20B ．100,20C ．200,10D ．100,10 8.(江西6)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )．表1表2表3表4A ．成绩B ．视力C ．智商D ．阅读量 9.(山东7)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa )的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )． A ．6 B ．8 C ．12 D ．1810(重庆3)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )． A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =-C ．29.5y x =-+D ．0.3 4.4y x =-+11.(天津.9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生． 12.(浙江12)随机变量ξ的取值为0,1,2，若1(0)5P ξ==，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝__________. 13.(广东11)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为__． 14.(江西12)10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是__________．15.(辽宁14)正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1,1)，D (－1,1)分别在抛物线 y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是__________．二.解答题1.(课标全国Ⅰ.18满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求P (187.8＜Z ＜212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求E (X )．12.2.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜Z ＜μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜Z ＜μ＋2σ)＝0.954 4. 2. (课标全国Ⅱ.19满分12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121niii ni i t t y y b t t ==(-)(-)=(-)∑∑，a y bt =-.3. (大纲全国20满分12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立． (1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率； (2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．4. (陕西19满分12分)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其求X 的分布列；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2 000元的概率．5. 16．(北京16满分13分)李明在10场篮球比赛中：赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x为表中10个命中次数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数．比较EX与x的大小．(只需写出结论)6. (天津16满分13分)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．7. (安徽17满分12分)甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)．8. (福建18满分13分)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．9. (湖北.20满分12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？10. (湖南17满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．11. (广东17满分13分)随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25,30]30.12(30,35]50.20(35,40]80.32(40,45]n1f1(45,50]n2f2(1)确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率．12. (江西21满分14分)随机将1,2，…，2n(n∈N*，n≥2)这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数，A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2，记ξ＝a2－a1，η＝b2－b1.(1)当n＝3时，求ξ的分布列和数学期望；(2)令C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P(C)；(3)对(2)中的事件C，C表示C的对立事件，判断P(C)和()P C的大小关系，并说明理由．13. (辽宁18满分12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．14. (山东18满分12分)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分．如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为12，在D上的概率为13；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为15，在D上的概率为35.假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．15.(四川17满分12分)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．16. (重庆18满分13分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．)十二.概率与统计试题解析一.选择题和填空题1.全国课标Ⅰ.5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )．A ．18B ．38C ．58D ．78解析：(方法一)由题意知基本事件总数为24＝16，对4名同学平均分组共有2422C 3A =(种)，对4名同学按1,3分组共有14C 种，所以周六、周日都有同学参加共有2122423A C A 14⨯+=(种)．由古典概型得所求概率为147168=. (方法二)周六没有同学参加公益活动即4位同学均在周日参加公益活动，此时只有一种情况；同理周日没有同学参加公益活动也只有一种情况，所以周六、周日均有同学参加公益活动的情况共有16－2＝14(种)．故所求概率为147168=.故选D.2.(课标全国Ⅱ，5)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )．A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45解析：设某天空气质量为优良为事件A ，随后一天空气质量为优良为事件B ，由已知得P (A )＝0.75，P (AB )＝0.6，所求事件的概率为0.6(|)0.80.75P AB P B A P A ()===()，故选A.3.（陕西.9)设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数， i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( )．A ．1＋a,4B ．1＋a,4＋aC ．1,4D ．1,4＋a解析：123101010+=1+1010x a x a x a x ax a y x a a +++++++++===. 101010+=1+10a x ax ax a a ++++==s 2＝221210[(1)][(1)][(1)]x a a x a a x a a +-+++-++++-+ 210(1)][(1)]a a x a a +-++++-+＝222121011110x x x (-)+(-)++(-)＝4.4.(得到的回归方程为y bx a =+，则( )． A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．a ＜0，b ＞0 D ．a ＜0，b ＜0解析：由样本数据可知y 值总体上是随x 值的增大而减少的．故b ＜0，又回归直线过第一象限，故纵截距a ＞0.故选B.5.(湖南2)对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )． A ．p 1＝p 2＜p 3 B ．p 2＝p 3＜p 1 C ．p 1＝p 3＜p 2 D ．p 1＝p 2＝p 3解析：由随机抽样的要求，知p 1＝p 2＝p 3，故选D.6.(浙江9)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中．(a)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 ξi (i ＝1,2)；(b)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)．则( )． A ．p 1＞p 2，E (ξ1)＜E (ξ2) B ．p 1＜p 2，E (ξ1)＞E (ξ2) C ．p 1＞p 2，E (ξ1)＞E (ξ2) D ．p 1＜p 2，E (ξ1)＜E (ξ2) 解析：11222()m n m np m n m n m n +=+⨯=+++，2223323()(1)m m mn n np m n m n -++-=++-， 2212233252()3()(1)6m n m m mn n n mn n p p m n m n m n m n m+-++-+(-=-=+++-(+)(221223325102()3()(1)61m nm m mn n n mn n n p p m n m n m n m n m n +-++-+(-)-=-=>+++-(+)(+-). 故p 1＞p 2. ξ1的可能取值为1,2， 111C (1)C n m n nP m n ξ+==+=； 111C (2)C mm n m P m nξ+==+=. 故12()12n m m nE m n m n m nξ+=⨯+⨯=+++. ξ2的可能取值为1,2,3.222C (1)()C ()(1)n m n n n P m n m n ξ+-==++-=1， 1122C C 2()C ()(1)m nm n mn P m n m n ξ+==++-=2， 222C (1)()C ()(1)m m n m m P m n m n ξ+-==++-=3，故2(1)2(1)()123()(1)()(1)()(1)n n mn m m E m n m n m n m n m n m n ξ--=⨯+⨯+⨯++-++-++- 2(1)23()(1)()(1)mn m m m n m n m n m n -+⨯+⨯++-++-＝(1)43(1)()(1)n n mn m m m n m n -++-++-.于是E (ξ1)－E (ξ2) ＝214311m n n n mn m m m n m n m n +(-)++(-)-+(+)(+-)＝21[1431]1m n m n n n mn m m m n m n (+)(+-)-(-)++(-)(+)(+-)＝(3)1m m n m n m n -+-(+)(+-).又∵m ≥3，n ≥3，∴E (ξ1)－E (ξ2)＜0，即E (ξ1)＜E (ξ2)．综上，应选A.7.广东.理6)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )．图1图2A ．200,20B ．100,20C ．200,10D ．100,10解析：由题图1知该地区中小学生的总人数为2 000＋4 500＋3 500＝10 000，因此样本容量为10 000×2%＝200.又高中生人数为2 000，所以应抽取的高中生人数为2 000×2%＝40.由题图2知高中生的近视率为50%，所以抽取的高中生近视人数为40×50%＝20.故选A.8.(江西6)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )．表 1表2表3表4A ．成绩B ．视力C ．智商D ．阅读量解析：根据22n ad bc a b c d a c b d χ(-)=(+)(+)(+)(+)，代入题中数据计算得D 选项χ2最大．故选D. 9.(山东7)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa )的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )．A ．6B ．8C ．12D ．18 解析：设样本容量为n ，由题意，得(0.24＋0.16)×1×n ＝20，解得n ＝50. 所以第三组频数为0.36×1×50＝18. 因为第三组中没有疗效的有6人，所以第三组中有疗效的人数为18－6＝12. 10(重庆3)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )． A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =-C ．29.5y x =-+D ．0.3 4.4y x =-+ 解析：由变量x 与y 正相关，可知x 的系数为正，排除C ，D.而所有的回归直线必经过点(,)x y ，由此排除B ，故选A.11.(天津.9)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．解析：依题意知，应从一年级本科生中抽取430060()4556⨯=+++名．12.(浙江12)随机变量ξ的取值为0,1,2，若1(0)5P ξ==，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝__________. 解析：设ξ＝1时的概率为p ，则()110121155E p p ξ⎛⎫=⨯+⨯+--= ⎪⎝⎭，解得35p =. 故()()2221312(01)(11)215555D ξ=⨯+-⨯+-⨯=－.13.(广东11)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为__．解析：从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，共有710C种不同的取法．当这七个数的中位数是6时，应该有3个比6小的数，还有3个比6大的数，因此一共有3363C C ⋅种不同的取法，故所求概率3363710C C 201C 1206P ⋅===.14.(江西12)10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是__________．解析：本题属于古典概型，由古典概型概率公式可得所求概率为1337410C C 1C 2=.15.(辽宁14)正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1,1)，D (－1,1)分别在抛物线 y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是__________．解析：由题意可知空白区域的面积为()122311124d 33x x x x--⎡⎤--==⎣⎦⎰. 又正方形的面积为4， ∴阴影部分的面积为48433-=， ∴所求概率为82343=二.解答题1.(课标全国Ⅰ.18满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求P (187.8＜Z ＜212.2)； ②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求E (X )．12.2.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜Z ＜μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜Z ＜μ＋2σ)＝0.954 4. 分析：(1)利用x ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 求x ，利用()()()22221122n n s x xp x xp x xp =-+-++-，求s 2.(2)①由(1)可知μ，σ2，则N (μ，σ2)可知．将P (187.8＜Z ＜212.2)进行转化，利用3σ原则求解．②由①可知一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为p ，则100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数X 服从二项分布B (100，p )，则由E (X )＝100p 可求E (X )．解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2分别为x ＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08 ＋230×0.02＝200， s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09 ＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02 ＝150.(2)①由(1)知，Z ～N (200,150)，从而 P (187.8＜Z ＜212.2)＝P (200－12.2＜Z ＜200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知X ～B (100,0.682 6)，所以E (X ) ＝100×0.682 6＝68.26.2. (课标全国Ⅱ.19满分12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121niii ni i t t y y b t t ==(-)(-)=(-)∑∑，a y bt =-.分析：在第(1)问中，通过所给数据求出变量的平均数，然后求出公式中的有关数据，从而求出b 与a ，最后求出回归直线方程；在第(2)问中，根据(1)中所求方程中的b 分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，将2015年的年份代号代入回归方程可预测2015年的收入情况．解：(1)由所给数据计算得17t =(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4， 17y =(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，721()i i t t =-∑＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，71()iii t t y y =-(-)∑＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，71721140.528iii i i t t y y b t t ==(-)(-)===(-)∑∑， a y bt =-＝4.3－0.5×4＝2.3，所求回归方程为y ＝0.5t ＋2.3.(2)由(1)知，0.50b =>＝0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t ＝9代入(1)中的回归方程，得y ＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．3. (大纲全国20满分12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立． (1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率； (2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．分析：(1)设出事件的字母表示，用所设字母表示所求事件，利用事件的相互独立性求出所求问题的概率．(2)明确随机变量的取值：X ＝0,1,2,3,4.把随机变量转化为相应的事件，利用事件的相互独立性求出每个随机变量取相应值的概率，较复杂的概率可用分布列的性质去求．利用数学期望公式求得X 的数学期望．解：记A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备，i ＝0,1,2， B 表示事件：甲需使用设备， C 表示事件：丁需使用设备，D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备． (1)122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅. P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，()22C 0.5ii P A ⨯＝，i ＝0,1,2，所以122()()P D P A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅ ＝()()122()P A B C P A B P A B C ⋅⋅⋅⋅⋅++ ＝()()()()()()()122()P A P B P C P A P B P A P B P C ++ ＝0.31.(2)X 的可能取值为0,1,2,3,4，其分布列为0(0)()P X P B A C ==⋅⋅＝0()()()P B P A P C＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4) ＝0.06，001(1)()P X P B A C B A C B A C ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ＝001()()()()()()()()()P B P A P C P B P A P C P B P A P C ++＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4) ＝0.25， P (X ＝4)＝P (A 2·B ·C )＝P (A 2)P (B )P (C )＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P (X ＝3)＝P (D )－P (X ＝4)＝0.25，P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06 ＝0.38，数学期望EX ＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1) ＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4) ＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06 ＝2.4. (陕西19满分12分)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其求X 的分布列；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2 000元的概率．分析：在(1)问中，结合问题，先设出基本事件，可知有四种可能，利用所给数据，结合独立事件的概率计算公式，可分别计算出结果，进而列出分布列．对于第(2)问，利用(1)问的结果，可求得每季利润不少于2 000元的概率，则3季利润至少有2季不少于2 000元可分为两类，一是3季利润均不少于2 000元，二是3季中有2季利润不少于2 000元，分别利用独立重复试验的概率计算公式计算出概率，相加便可得出结论．解：(1)设A 表示事件“作物产量为300 kg ”， B 表示事件“作物市场价格为6元/kg ”，由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4， ∵利润＝产量×市场价格－成本， ∴X 所有可能的取值为500×10－1 000＝4 000,500×6－1 000＝2 000， 300×10－1 000＝2 000,300×6－1 000＝800. P (X ＝4 000)＝()()P A P B ＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P (X ＝2 000)＝()()()+()P A P B P A P B＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P (X ＝800)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2，所以(2)设i 元” (i ＝1,2,3)，由题意知C 1，C 2，C 3相互独立，由(1)知， P (C i )＝P (X ＝4 000)＋P (X ＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1,2,3)，3季的利润均不少于2 000元的概率为P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)P (C 2)P (C 3)＝0.83＝0.512； 3季中有2季利润不少于2 000元的概率为123123123()+()+()P C C C P C C C P C C C＝3×0.82×0.2＝0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896. 5. 16．(北京16满分13分)李明在10场篮球比赛中：赛中投篮命中率超过0.6的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；(3)记x 为表中10个命中次数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中的命中次数．比较EX 与x 的大小．(只需写出结论)分析：(1)先根据统计表格求出投篮命中率，确定投篮命中率超过0.6的场数，然后除以总场数10即可得所求；(2)先根据统计表格分别求出主场、客场的投篮命中率超过0.6的概率，然后根据主场、客场将所求事件分为两个互斥事件，即可利用相互独立事件同时成立的概率求解；(3)根据数学期望的计算公式即可得到EX 与x 的大小关系．解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”，则C A B A B=，A ，B 独立．根据投篮统计数据，()35P A ＝，()25P B ＝.()332213()+()555525P C P AB P AB =⨯+⨯=＝. 所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325. (3)EX x ＝.6. (天津16满分13分)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．分析：(1)利用古典概型及其概率计算公式即可求解．(2)根据随机变量x 的所有可能值及古典概型概率公式可求出分布列，再由数学期望的定义求解即可得所求数学期望．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则()12033737310C C C C 49C 60P A ⋅+⋅==. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960. (2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.346310C C ()C k kP X k -⋅==(k ＝0,1,2,3)．11316()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.7. (安徽17满分12分)甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)．分析：(1)先把甲在4局以内赢得比赛的情况进行列举，再用独立事件和互斥事件概率公式求概率．(2)先写出X 的所有取值，再分析相应X 的值下对应比赛结果的情况，求出相应的概率，列出分布列，运用公式求均值．解：用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示 “第k 局乙获胜”，则()23k P A =，()13k P B =， k ＝1,2,3,4,5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)·P (B 2)P (A 3)P (A 4) ＝22221221256()()()33333381+⨯+⨯⨯=. (2)X 的可能取值为2,3,4,5. P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59， P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3) ＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29， P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)·P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881. 故52108224234599818181EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 8. (福建18满分13分)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望； (2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场。

14-15（一）概率统计（多概率）复习资料

14-15（⼀）概率统计（多概率）复习资料14-15（⼀）概率统计(多概率)复习资料⼀、填空题（'105'2=?）1. 古典概型（第⼀章）例：（1）2013-2014期末A ⼀1：掷两枚质地均匀的骰⼦，则点数之和为4的概率P = 1/12 .（2）2012-2013期末A ⼆1：袋中有3⽩1红共4只质量、⼤⼩相同的球，甲先任取⼀球，观察后放回；然后⼄再任取⼀球，则⼆⼈取相同颜⾊球的概率为（① 1016）（3）检2⼀1,2,3⼆.检4⼆2.2. 分布列和概率密度（第⼆章）例：（1）2012-2013期末A ⼀4：若随机变量X 的概率密度为 (),()x f x ae x -=-∞<<+∞，则=a 0.5 ；(0)P X == 0 .(2) 检5⼀3: 若随机变量X 的概率密度为 41,0()40,0x e x f x x -?>?=??≤?，则(4)P X ≤= ；(48)P X <<= .（3）检4⼀⼆1，3.检5⼀⼆.检7⼀⼆.检8⼀4.3. 数学期望与⽅差（第三章）例：（1）2013-2014期末A ⼀3,4：3.若随机变量X 服从泊松分布)(λP ，已知=)(X E 1,则λ= 1 , (2)D X = 4 .4.已知两个相互独⽴随机变量)9.0,10(~B X ，)1(~e Y ,则=-)2(Y X E 7 ，()D X Y -= 1.9 .（2）2012-2013期末A ⼀3,5：3. 若随机变量X 的概率函数为1.03.03.02.01.043210p X ，则()3P X >= 0.1 ；()E X = 2.1 .5. 若相互独⽴的随机变量X 与Y 满⾜1)(=X D ，4)(=Y D ，则=-)2(Y X D 8 .（3）检8⼀1,2,3,5,⼆三1.检11⼀1.检13⼀2.4. 协⽅差（第三章）例：（1）2013-2014期末A ⼀5：若~N(0,1),Y ~N(0,1)X ，相关系数41),(-=Y X R ，则(,)cov X Y =-1/4 ；=+)2(Y X D 4 . （2）检9⼆2：随机变量X 与Y 相互独⽴是0),cov(=Y X 的（充分）条件.（3）检9⼀2,3,⼆2.检11⼆3.5. 未知参数的矩估计（第六章）例：（1）检15⼀1：设总体~(6,)X B p ,n X X X ,,,21 为来⾃总体X 的样本，则未知参数p 的矩估计量为．（2）检15三2：设连续总体X 的概率密度函数为1,01( )0,x x f x θθθ-?<<=??；其他其中0θ>.n X X X ,,,21 为来⾃总体X 的样本，求未知参数θ的矩估计量.⼆、选择题（'155'3=?）1. 随机变量的分布函数（第⼆章）例：（1）2013-2014期末A ⼆3：若随机变量X 的分布函数为)(x F ，则以下结论⼀定正确的是（ A ）.（2012-2013期末A ⼆2类似）A ．()()()P a X b F b F a <≤=-；B ．()()()P a X b F b F a <<=-；C ． ()()()P a X b F b F a <<≠-；D ． ()0P X a ==（2）检4⼆1：设随机变量X 的分布列为01230.10.30.40.2X p ,)(x F 为其分布函数，则)2(F = ( ③ ) ① 0.2 ② 0.4 ③ 0.8 ④ 1（3）检7⼆1：设X 的分布函数为)(x F ，则随机变量函数13+=X Y 的分布函数为①① 1()3y F -；② )13(+y F ；③ 1)(3+y F ；④ 31)(31-y F 2. 相关系数（第三章）例：（1）2012-2013期末A ⼆3：若随机变量X 与Y ⽅差存在，且满⾜1Y X =-，则相关系数=),(Y X R （②）① 1；② -1；③ 0.5；④ -0.5.3. 正态分布（第四章）例：（1）检11⼆1,2：1. 设随机变量2(,)X N µσ，则随σ的增⼤，概率{}P X µσ-<应（③）.①单调增⼤；②单调减少；③保持不变；④增减不定.2. 设随机变量X 的概率密度为2(3) 4()x f x e +-=则服从标准正态分布的随机变量是（②）.① 32X +；②；③ 32X -；④. 4. 统计量的分布（第五章）例：（1）2013-2014期末A ⼆2：设随机变量~(2)X t ，则2X 服从__B _．A ．()22χB ．()1,2FC ．()2,2FD ．()2,1F（2）2012-2013期末A ⼆5：设总体2~(,)X N µσ，X 为该总体的样本均值，则()P X µ>__④__．①14< ② 14= ③ 12> ④ 12= （3）检14⼀⼆（尤其注意⼀1⼆2）.5. 待定例：有可能是条件概率和概率乘法公式；随机变量函数的分布；连续性随机变量概率密度；切⽐雪夫不等式；中⼼极限定理；最⼤似然估计；估计量的⽆偏性等（1）2013-2014期末A ⼀6：设123,,X X X 为来⾃总体X 的样本，123()X X X µθ=++是总体均值µ的⽆偏估计量，则θ= 1/3 ．（2）检5⼆1,检10全部,检12⼆,检15⼆.三⾄九（或⼗）、计算与证明题（'75）1. 条件概率和概率乘法公式。

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（勤奋、求是、创新、奉献）2013～ 2014学年第二学期考查试卷课程代码 219104 班级学号姓名 ____________《概率论与数理统计》课程试卷（A 卷）（本卷考试时间90分钟）题号一二三四五六七八总分题分 21 24 10 12 10 8 10 5 100 得分一、单项选择题（本题共7小题，每小题3分，共21分，将答案填在下面对应的空格中）1. D ；2. A ；3. C ；4. B ；5. C ；6. A ；7. C .1．某学生参加两次抽奖活动，设事件A i ＝{第i 次抽中} ( i =1,2 )，则事件 {两次抽奖至少有一次没抽中} 可以表示为（ D ）． (A) 12A A (B) 1221A A A A (C) 12A A (D) 12A A2．随机变量X 的分布函数2,00.5()0,⎧+≤≤=⎨⎩其他cx x x f x ，则系数c =（ A ）．(A) 21 (B) 3 (C) 7 (D) 93. 一个学生宿舍有3名学生，问3个人中恰好有1人生日在星期四的概率是（ C ）．(A)3737C (B) 133657C ⨯⨯ (C) 123367C ⨯ (D) 23674．设随机变量X 的概率密度为21()(1)f x x π=+，则2Y X =的概率密度为（ B ）．(A) 21()(14)f y y π=+ (B) 22()(4)f y y π=+(C) 21()(1)f y y π=+ (D) 1()arctan f y y π= 5. 设123,,X X X 是取自总体是服从正态分布(,1)N μ的样本，则下列统计量中哪一个是μ的无偏估计量（ C ）.(A).1232315102X X X ++； (B) 123114399X X X ++； (C) 123111362X X X ++； (D) 1231173412X X X ++．6．两个相互独立的随机变量X 、Y 的方差分别是4和2,则()23D X Y -= （ A ）. (A) 34 (B) 14 (C) 28 (D) 27. 设总体X 的分布中未知参数θ的置信度1α-的置信区间是12[,]T T ，则下列正确的是（ C ）.(A) 对12,T T 的观测值1212,[,]t t t t θ∈、 (B) θ以1α-的概率落入区间12[,]T T (C) 区间12[,]T T 以1α-的概率包含θ (D) θ的期望()E θ必属于12[,]T T二、填空题（本题共7小题，每空格3分，共24分，将答案填在下面对应的空格中） 1. 0.65 ； 2. 0.3 ； 3. -1 ；4. 2/25 ； 5. 21/800 ； 20/21 ． 6. 21X - ；7. 3g .1．设事件,A B 相互独立，()0.3,()0.5P A P B ==，则()P A B = 0.65 ． 2．设随机变量X 的分布律如右表，()F x 是X 的分布函数, 则(0.5)F =0.3 .3．设,X Y 是直角三角形的两个锐角，则,X Y 的相关系数ρ=XY -1 .4．设随机变量X 服从参数为5的指数分布，则2()E X =225． 5. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，发现是色盲患者的概率是 21/800 ；若已知一个人患色盲，则该色盲患者是男性的概率为 20/21 ． 6．设总体X 的分布律为1(),1,2,,,P X k k N N=== 其中N 为未知参数，12,,,n X X X 来自总体的样本，则N 的矩估计量N = 21X - . 7．设1234,,,X X X X 是来自总体X 的样本，1121122g X X =+，2123111333g X X X =++，3123411114444g X X X X =+++为总体均值μ的无偏估计量，则其中最有效的是 3g ．．三、（10分）某电子计算机主机有100个终端，每个终端有80%的时间被使用，若各个终端是否被使用是相互独立的，试用中心极限定理估算同时被使用的终端数在75到85之间的概率.解：设X 为100个终端中同时被使用的终端数，则(100,0.8)XB ………………………………（2分）()1000.880E X =⨯=，()1000.80.216D X =⨯⨯= ……………………（3分）故由中心极限定理知 )1680(~，近似N X 即 80(0,1)4X N -近似………………（5分）所求概率为 ≤≤{7585}P X ---=≤≤7580808580{}444X P …………（7分） (1.25)( 1.25)2(1.25)1≈Φ-Φ-=Φ-20.894410.7888=⨯-= ……………………（10分）四、（12分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数为3,(,)G(,)40,x y f x y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他，其中2{(,)|01,}G x y x y x =<<<(1) 求关于X 、Y 的边缘概率密度()X f x 、()Y f y ，并由此判断X 与Y 是否相互独立?(2) 求()E X ,()E Y ,()E XY ，并由此判断X 与Y 是否互不相关？解：(1) (0,1)x ∈ 时，3()(,)4X f x f x y dy dy +∞-∞===⎰(1,1)y ∈- 时，21233()(,)(1);44Y y f y f x y dx dx y +∞-∞===-⎰⎰……………………(4分) 所以，01()0,X x f x <<=⎪⎩其他， 23(1),11()40,Y y y f y ⎧--<<⎪=⎨⎪⎩其他………（5分）当(0,1)x ∈，(1,1)y ∈- 时，3()()(1)(,)4X Y f x f y y f x y =-≠，故Y X ,不相互独立. …………………………（7分） (2)115/2003333()(,),4255E X xf x y dxdy dx x dy x +∞+∞-∞-∞==⋅===⎰⎰⎰⎰13()(,)0,4E Y yf x y dxdy dx y dy +∞+∞-∞-∞==⋅=⎰⎰⎰13()(,)0.4E XY xyf x y dxdy dx dy +∞+∞-∞-∞==⋅=⎰⎰⎰………………（10分）因为 ()()()E XY E X E Y =，所以X 与Y 是互不相关的.………………（12分）五、（10分）设总体X的概率密度为1()0,⎧>=⎩其他x f x （0θ>），求参数θ的极大似然估计．解：1()ni L θ==………………………………（2分）21ni x nneθ-∑=……………………（4分）()1ln ln ),2ni i n L x n θθ==--∑ ……………………（6分）令1ln ())02ni i d L n x n d θθθ==-+-=∑ 得 2211(1)(1),ni i x x n θ==-=-∑故θ的极大似然估计量为 2(1).X θ=- …………………………（10分）六、（10分）已知某种材料的抗压强度2(,)XN μσ，现随机地抽取10个试件进行抗压试验，测得数据如下：482，493，457，471，510，446，435，418，394，469. （1）求平均抗压强度μ的置信度为95%的置信区间。

（2）若已知30σ=，求平均抗压强度μ的置信度为95%的置信区间。

解：（1）μ的1α-的置信区间为2((1)/X t n S α±-…………（2分）457.5,35.2176,10,0.05x s n α====，得 -=0.025(101) 2.2622,t ……（3分）α-⨯=235.2176(1)/2.262225.1936t n S ………………（4分）从而μ的置信度为95%的置信区间为（432.3064，482.6936）……（5分）（2）σ已知时μ的1α-的置信区间为/2(/X z ασ±…………（7分）α==/20.025 1.96z z ，……………………（8分）所求μ的置信度为95%的置信区间为（438.9058，476.0942）.…………（10分）七、（8分）已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布，且标准差为0.048，从某天产品中抽取5根纤维，测得其样本标准差0.088s =，问这一天纤度的总体标准差是否正常？（取0.05α=）解：原假设22200:0.048H σσ==，22210:0.048H σσ≠=………………(2分)检验统计量，2022)1(σχs n -=，拒绝域， })1()1({2221222-≥-≤=-n n W ααχχχχ， ( 3分) 220.97512(1)(4)0.484n αχχ--== 2220.025(1)(4)11.143n αχχ-==22{0.48411.143}W χχ=≤≥， …………（5分）20.007744,s=………………………………（6分） 2222(1)40.00774413.444411.1430.048n S χσ-⨯===> ……………………（7分）因为2W χ∈，故拒绝0H .………………………………（8分）即在显著性水平0.05α=下，认为纤度的总体标准差不正常.八、（5分）设12,X X 来自2(0,)N σ的样本，试证明：21212(1,1)X X F X X ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭证明：12Y Y ==, 1212()()0,()()1====E Y E Y D Y D Y , …………（1分）所以，12(0,1),(0,1)Y N Y N , ……………………（2分）并且22121221()()02E Y E Y X X σ=-=, 12()()0==E Y E Y ,………………（3分）1212()()()=E Y E Y E Y Y ，所以12,Y Y 独立. ……………………（4分）从而 2122(1,1)YF Y, 即 21212(1,1)X X X F X ⎛⎫+⎪⎝⎭-.………………（5分）数理统计公式表及数据一．正态总体均值、方差置信水平为1α-的双侧置信区间二．两个正态总体均值差、方差比的置信水平为1α-的置信区间其中22 2112212(1)(1)2Wn S n S Sn n-+-=+-三：正态总体均值、方差的检验法（显著性水平为α）四：数据：(1.645)0.95Φ=, (1.96)0.975Φ=, (2)0.9772Φ=，(1.25)0.8944,Φ=0.025(9) 2.2622t=，0.025(10) 2.2281,t=0.05(9) 1.8331t=，0.05(10) 1.8125t=，2 0.025(5)12.833χ=，20,025(4)11.143χ=，20.975(5)0.831χ=，20.975(4)0.484χ=2 0.05(5)11.071χ=，20.05(4)9.488χ=，20.95(5) 1.141χ=，20.95(4)0.711χ=。