2018-2019学年湖南省长沙市雅礼中学高一下期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年湖南省长沙市雅礼中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.sin390°=（）A. B. C. D.2.若cosθ＞0，sinθ＜0，则角θ的终边所在的象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.如图，正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么=（）A.B.C.D.4.若，，，则与的夹角是（）A. B. C. D. 1505.cosα=-，α∈（，π），sinβ=-，β是第三象限角，则cos（β-α）=（）A. B. C. D.6.函数y=A sin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A.B.C.D.7.若点P（cosα，sinα）在直线y=-2x上，则sin2α+cos（2α+）=（）A. 0B.C.D. 8.定义运算：，如1*2=2，则函数f（x）=sin x*cos x的值域为（）A. B. C. D.9.已知平面上不共线的四点O，A，B，C．若+2=3，则的值为（）A. B. C. D.10.已知向量，满足，，，，则的值为（）A. 1B. 2C.D.11.△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上的一点（包括端点），则•的取值范围是（）A. B. C. D.12.函数f（x）=cos2x-2sin x cosx下列命题中正确的是（）（1）若存在x1，x2有x1-x2=π时，f（x1）=f（x2）成立（2）f（x）在[-，]是单调递增（3）函数f（x）关于点（，0）成中心对称图象（4）将函数f（x）的图象向左平移个单位后将与y=2sin2x重合．A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x∈R，向量=（x，1），=（1，-2），且，则x=______．14.在△ABC中，若tan A=，tan B=，则∠C=______．15.已知sin（+α）=，则cos（）=______．16.如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，C为弧上的一个动点，若，则x-y的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f（x）=sin x+sin（x+），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的最大值和最小值；（3）若f（α）=，求sin 2α的值．18.已知，，与的夹角为．（Ⅰ）求||；（Ⅱ）若与的夹角为钝角，求实数λ的取值范围．19.如图，在平面直角坐标系xOy中，以x为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为，．（1）求tan（α+β）的值；（2）求2α+β的值．20.已知向量=（，1），=（cos，），记f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位得到y=g（x）的图象，讨论函数y=g（x）-k在，的零点个数．21.如图，平面四边形ABCD中，AB=13，AC=10，AD=5，，．（1）求cos∠BAD；（2）设，求、的值．22.某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD，已知草坪长AB=100米，宽BC=50米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE、HF和EF，并要求H是CD的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EHF为直角，如图所示．（Ⅰ）设∠CHE=x（弧度），试将三条路的全长（即△HEF的周长）L表示成x的函数，并求出此函数的定义域；（Ⅱ）这三条路，每米铺设预算费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用（结果保留整数）（可能用到的参考值：取1.732，取1.414）．答案和解析1.【答案】A【解析】解：sin390°=sin（360°+30°）=sin30°=，故选：A．由sin390°=sin（360°+30°），利用诱导公式可求得结果．本题考查诱导公式的应用，把sin390°化为sin（360°+30°）是解题的关键．2.【答案】D【解析】解：由题意，根据三角函数的定义sinθ=＜0，cosθ=＞0∵r＞0，∴y＜0，x＞0．∴θ在第四象限，故选：D．利用三角函数的定义，可确定y＜0，x＞0，进而可知θ在第四象限．本题以三角函数的符号为载体，考查三角函数的定义，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：因为点E是CD 的中点，所以=，点得F是BC 的中点，所以==-，所以=+=，故选：D．由题意点E，F分别是DC，BC的中点，求出，，然后求出向量即得．本题考查向量加减混合运算及其几何意义，注意中点关系与向量的方向，考查基本知识的应用．4.【答案】A【解析】解：，可得：，cos =．则与的夹角为30°．故选：A．直接利用向量的数量积转化求解向量的夹角即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力．5.【答案】A【解析】解：由题意，故sinα＞0所以sinα==，同理，β是第三象限角，可得cosβ=由两角差的余弦公式可得：cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα==故选：A．由公式sin2α+cos2α=1结合角αβ所在象限，可得sinα，cosβ，然后代入两角差的余弦公式可得答案．本题为两角和与差的三角函数公式的应用，熟练运用公式是解决问题的关键，属基础题．6.【答案】A【解析】解：由已知可得函数y=Asin（ωx+ϕ）的图象经过（-，2）点和（-，2）则A=2，T=π即ω=2则函数的解析式可化为y=2sin（2x+ϕ），将（-，2）代入得-+ϕ=+2kπ，k∈Z，即φ=+2kπ，k∈Z，当k=0时，φ=此时故选：A．根据已知中函数y=Asin（ωx+ϕ）在一个周期内的图象经过（-，2）和（-，2），我们易分析出函数的最大值、最小值、周期，然后可以求出A，ω，φ值后，即可得到函数y=Asin（ωx+ϕ）的解析式．本题考查的知识点是由函数y=Asin（ωx+ϕ）的部分图象确定其解析式，其中A=|最大值-最小值|，|ω|=，φ=L•ω（L是函数图象在一个周期内的第一点的向左平移量）．7.【答案】D【解析】解：点P（cosα，sinα）在直线y=-2x上，∴sinα=-2cosα，即tanα=-2，则sin2α+cos（2α+）=sin2α-sin2α====，故选：D．利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：根据信息：定义运算：，则：函数f（x）=sinx*cosx=，所以：根据函数的图象和性质的应用，当sinx＞cosx时，函数的值域为：[]，当cosx≤sinx时，函数的值域为：[-1，1}，故函数的值域为：[-1，1}．故选：A．函数的图象和性质的应用，主要考察分段函数的应用．本题考查的知识要点：函数的图象和性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：∵∴移项整理，得．∵，∴，∴由此可得==．故选：A．根据变形，化简整理可得，由此代入即可得到的值．本题给出平面内不共线四个点满足的向量等式，求两个向量模的比值，着重考查了向量的加法及其几何意义和向量的模性质等知识，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：∵，∴，∴=2．∵，∴，化为，∴，解得．故选：B．利用向量的数量积运算即可得出．本题考查了向量的数量积运算，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：∵D是边BC上的一点（包括端点），∴可设=+（0≤λ≤1）．∵∠BAC=120°，AB=2，AC=1，∴=2×1×cos120°=-1．∴•=[+]•=-+=-（2λ-1）-4λ+1-λ=-7λ+2．∵0≤λ≤1，∴（-7λ+2）∈[-5，2]．∴•的取值范围是[-5，2]．故选：D．由于D是边BC上的一点（包括端点），利用向量共线定理：可设=+（0≤λ≤1）．由∠BAC=120°，AB=2，AC=1，可得=2×1×cos120°=-1．代入利用数量积运算性质即可得出•=-7λ+2．再利用一次函数的单调性即可得出．本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、一次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：f（x）=cos2x-2sinxcosx=cos2x-=，所以函数f（x）的周期为：，①所以：若存在x1，x2有x1-x2=π时，所以：x1=π-x2则：f（x1）=f（x2）成立．②令：（k∈Z）解得：所以函数的单调递减区间为：[]所以：f（x）在[-，]是单调递增不成立．③令：（k∈Z）解得：x=当k=0时，函数f（x ）关于点（，0）成中心对称图象．④将函数的图象向左平移得到y=故与y=2sin2x重合相矛盾．则：（1）和（3）正确．故选：B．首先把函数的关系式通过恒等变换变换成余弦型函数，进一步利用余弦型函数的性质求出函数的周期，对称中心，及单调区间．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用三角函数的性质求单调区间周期，及函数图象的平移问题，属于基础题型．13.【答案】2【解析】解：x∈R ，向量=（x，1），=（1，-2），且，可得：x-2=0，解得x=2．故答案为：2．利用向量垂直，列出方程求解即可．本题考查向量的垂直的充要条件的应用，是基础题．14.【答案】135°【解析】解：由题意可得tanC=-tan（A+B）=-=-=-1，又∵C为三角形的内角，∴C=135°故答案为：135°由题意tanC=-tan（A+B）=-，代值结合角的范围可得．本题考查两角和与差的正切函数公式，属基础题．15.【答案】-【解析】解：因为 cos （-α）=sin（+α）=，∴cos（）=2-1=2×-1=-，故答案为-．因为cos （-α）=sin（+α）=，利用二倍角公式求得cos （）的值．该题主要考查诱导公式和余弦的二倍角公式，还要求学生能够感受到cos （-α）与sin（+α）中的角之间的余角关系，属于中档题．16.【答案】[-1，1]【解析】解：设半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系，其中A（，）；B（1，0）；C（cosθ，sinθ）（其中∠BOC=θ（0≤θ≤）有若=（cosθ，sinθ）=x （，）+y（1，0）；整理得：x+y=cosθ；x=sinθ，解得x=，y=cosθ-，则x-y=-cosθ+=sinθ-cosθ=2sin（θ-），其中（0≤θ≤）；易知x-y=-cosθ+=sinθ-cosθ=2sin（θ-），为增函数，由单调性易得其值域为[-1，1] 故答案为：[-1，1] 建立平面直角坐标系利用设参数用三角函数求解最值即可．本题着重考查了平面向量基本定理、向量的线性运算法则等知识，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵=∴函数f（x）=sin x+sin（x+）的最小正周期是2π．（2）∵x∈R，-1≤sin x≤1（2）=∴f（x）的最大值为，最小值为…（8分）（3）∵f（α）=sinα+sin（α+）=sinα+cosα=∴（sinα+cosα）2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+sin2α=∴sin2α=-1=【解析】（1）根据诱导公式可求出函数的解析式，推断f（x）的最小正周期是2π（2）依上问f（x）=2sinx，根据正弦函数的性质推断f（x）的最大值是2，最小值是-2．（3）把α代入函数式，两边平方可得答案．本题主要考查三角函数中诱导公式的使用．做题时注意灵活运用和差化积、倍角公式等公式．18.【答案】解：（Ⅰ），∴，（Ⅱ）依题意得：＜，即＜，∴λ2+3λ+1＜0，解得：＜＜，又当与的夹角为180°时，设且μ＜0，∵ 与不共线，∴ 得λ=-1，∵与的夹角为钝角，∴＜＜且λ≠-1，即＜＜或＜＜．【解析】（Ⅰ）由||2=代入即可求解；（Ⅱ）由与的夹角为钝角，可知，去掉向量共线的情况即可求解．本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解答的关键是性质的熟练掌握，属于中档试题19.【答案】解：（1）由已知得：，．∵α，β为锐角，∴，．∴，．∴ ．（2）∵，∴ ．∵α，β为锐角，∴＜＜，∴．【解析】（1）先求出两个锐角α，β的余弦，再利用同角三角函数的关系求出其正弦，进而利用商数关系得到两角的正切值，代入正切的和角公式求值．（2）同（1）先用正切的和角公式求出2α+β的正切，再根据其正切值求2α+β的值，再确定其值前要先确定2α+β的取值范围．本题考查两角和与差的正切函数，求解的关键是利用公式求出角的正切值，再求角．本题中涉及到了三角函数中的多个公式，变形灵活，做题时要注意转化正确．本题考查了转化化归的思想．20.【答案】解：（1）∵向量=（，1），=（cos，），记f（x）=．∴f（x）=•cos+=sin+cos+=sin（+）+，∴最小正周期T==4π，2kπ-≤+≤2kπ+，则4kπ-≤x≤4kπ+，k∈Z．故函数f（x）的单调递增区间是[4kπ-，4kπ+]，k∈Z；（2）∵将函数y=f（x）=sin（+）+的图象向右平移个单位得到函数解析式为：y=g（x）=sin[（x-+）]+=sin（-）+，∴则y=g（x）-k=sin（x-）+-k，∵x∈[0，]，可得：-≤x-≤π，∴-≤sin（x-）≤1，∴0≤sin（x-）+≤，∴若函数y=g（x）-k在[0，]上有零点，则函数y=g（x）的图象与直线y=k在[0，]上有交点，∴实数k的取值范围是[0，]．∴当k＜0或k＞时，函数y=g（x）-k在，的零点个数是0；当0≤k＜1时，函数y=g（x）-k在，的零点个数是2；当k=0或k=时，函数y=g（x）-k在，的零点个数是1．【解析】（1）通过平面向量数量积的运算，三角函数的恒等变形得到f（x）=sin （+）+，根据正弦函数的性质求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）先求得y=g（x）-k的解析式，从而可求g（x）的值域，由函数y=g（x）的图象与直线y=k在的上有交点，可得实数k的取值范围．本题是中档题，考查向量的数量积的应用，三角函数的化简求值，函数的单调增区间的求法，函数零点的判断方法，考查计算能力．21.【答案】解：（1）设∠CAB=α，∠CAD=β，，，∴ ，，…．（3分）∴cos∠BAD=cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=…..（6分）（2）由得：…．（8分）∴ …..（10分）解得：，．…（12分）【解析】（1）设∠CAB=α，∠CAD=β，由AB=13，AC=10，．可得α的余弦值，又由，分别求出两个角的正弦值，代入两角和的余弦公式，可得答案．（2）若，则，结合AD=5，及（1）中结论，可得x、y值．本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，熟练掌握平面向量夹角公式及数量积公式是解答的关键．22.【答案】解：（Ⅰ）∵在Rt△CHE中，CH=50，∠C=90°，∠CHE=x，∴HE=在Rt△HDF中，HD=50，∠D=90°，∠DFH=x，∴HF=．又∠EOF=90°，∴EF=，∴三条路的全长（即△HEF的周长）L=．当点F在点D时，这时角x最小，求得此时x=；当点E在C点时，这时角x最大，求得此时x=．故此函数的定义域为[，]；（Ⅱ）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长L的最小值即可．由（Ⅰ）得L=，x∈[，]，设sin x+cos x=t，则sin x cosx=，∴L=由t=sin x+cos x=，x∈[，]，得，从而+1≤≤+1，当x=，即CE=50时，L min=100（），所以当CE=DF=50米时，铺路总费用最低，最低总费用为96560元．【解析】（Ⅰ）要将△HEF的周长L表示成x的函数关系式，需把△HEF的三边分别用含有x的关系式来表示，从而可求．（Ⅱ）要求铺路总费用最低，只要求△HEF的周长L的最小值即可．利用换元法，从而转化为求函数在闭区间上的最小值．本题主要考查了借助于三角函数解三角形在实际问题中的应用，考查了利用数学知识解决实际问题的能力，及推理运算的能力．。
2018-2019学年湖南省长沙市雅礼中学高一(下)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年湖南省长沙市雅礼中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.sin390°=（）A. B. C. D.2.若cosθ＞0，sinθ＜0，则角θ的终边所在的象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.如图，正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么=（）A.B.C.D.4.若，，，则与的夹角是（）A. B. C. D. 1505.cosα=-，α∈（，π），sinβ=-，β是第三象限角，则cos（β-α）=（）A. B. C. D.6.函数y=A sin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A.B.C.D.7.若点P（cosα，sinα）在直线y=-2x上，则sin2α+cos（2α+）=（）A. 0B.C.D.8.定义运算：，如1*2=2，则函数f（x）=sin x*cos x的值域为（）A. B. C. D.9.已知平面上不共线的四点O，A，B，C．若+2=3，则的值为（）A. B. C. D.10.已知向量，满足，，，，则的值为（）A. 1B. 2C.D.11.△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上的一点（包括端点），则•的取值范围是（）A. B. C. D.12.函数f（x）=cos2x-2sin x cosx下列命题中正确的是（）（1）若存在x1，x2有x1-x2=π时，f（x1）=f（x2）成立（2）f（x）在[-，]是单调递增（3）函数f（x）关于点（，0）成中心对称图象（4）将函数f（x）的图象向左平移个单位后将与y=2sin2x重合．A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x∈R，向量=（x，1），=（1，-2），且，则x=______．14.在△ABC中，若tan A=，tan B=，则∠C=______．15.已知sin（+α）=，则cos（）=______．16.如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，C为弧上的一个动点，若，则x-y的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f（x）=sin x+sin（x+），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的最大值和最小值；（3）若f（α）=，求sin 2α的值．18.已知，，与的夹角为．（Ⅰ）求||；（Ⅱ）若与的夹角为钝角，求实数λ的取值范围．19.如图，在平面直角坐标系xOy中，以x为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为，．（1）求tan（α+β）的值；（2）求2α+β的值．20.已知向量=（，1），=（cos，），记f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位得到y=g（x）的图象，讨论函数y=g（x）-k在，的零点个数．21.如图，平面四边形ABCD中，AB=13，AC=10，AD=5，，．（1）求cos∠BAD；（2）设，求、的值．22.某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD，已知草坪长AB=100米，宽BC=50米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE、HF和EF，并要求H是CD的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EHF为直角，如图所示．（Ⅰ）设∠CHE=x（弧度），试将三条路的全长（即△HEF的周长）L表示成x的函数，并求出此函数的定义域；（Ⅱ）这三条路，每米铺设预算费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用（结果保留整数）（可能用到的参考值：取1.732，取1.414）．答案和解析1.【答案】A【解析】解：sin390°=sin （360°+30°）=sin30°=， 故选：A ．由 sin390°=sin （360°+30°），利用诱导公式可求得结果．本题考查诱导公式的应用，把sin390°化为sin （360°+30°） 是解题的关键． 2.【答案】D【解析】解：由题意，根据三角函数的定义sinθ=＜0，cosθ=＞0 ∵r ＞0，∴y ＜0，x ＞0． ∴θ在第四象限， 故选：D ．利用三角函数的定义，可确定y ＜0，x ＞0，进而可知θ在第四象限． 本题以三角函数的符号为载体，考查三角函数的定义，属于基础题． 3.【答案】D【解析】解：因为点E 是CD 的中点，所以=，点得F 是BC 的中点，所以==-，所以=+=，故选：D ．由题意点E ，F 分别是DC ，BC的中点，求出，，然后求出向量即得．本题考查向量加减混合运算及其几何意义，注意中点关系与向量的方向，考查基本知识的应用．4.【答案】A【解析】解：，可得：，cos=．则与的夹角为30°．故选：A ．直接利用向量的数量积转化求解向量的夹角即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力． 5.【答案】A【解析】解：由题意，故sinα＞0 所以sinα==，同理，β是第三象限角，可得cosβ=由两角差的余弦公式可得：cos （β-α）=cosβcosα+sinβsinα ==故选：A ．由公式sin 2α+cos 2α=1结合角αβ所在象限，可得sinα，cosβ，然后代入两角差的余弦公式可得答案．本题为两角和与差的三角函数公式的应用，熟练运用公式是解决问题的关键，属基础题． 6.【答案】A【解析】解：由已知可得函数y=Asin （ωx+ϕ）的图象经过（-，2）点和（-，2）则A=2，T=π即ω=2则函数的解析式可化为y=2sin （2x+ϕ），将（-，2）代入得-+ϕ=+2kπ，k ∈Z ， 即φ=+2kπ，k ∈Z ，当k=0时，φ=此时故选：A ．根据已知中函数y=Asin （ωx+ϕ）在一个周期内的图象经过（-，2）和（-，2），我们易分析出函数的最大值、最小值、周期，然后可以求出A ，ω，φ值后，即可得到函数y=Asin （ωx+ϕ）的解析式．本题考查的知识点是由函数y=Asin（ωx+ϕ）的部分图象确定其解析式，其中A=|最大值-最小值|，|ω|=，φ=L•ω（L是函数图象在一个周期内的第一点的向左平移量）．7.【答案】D【解析】解：点P（cosα，sinα）在直线y=-2x上，∴sinα=-2cosα，即tanα=-2，则sin2α+cos（2α+）=sin2α-sin2α====，故选：D．利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：根据信息：定义运算：，则：函数f（x）=sinx*cosx=，所以：根据函数的图象和性质的应用，当sinx＞cosx时，函数的值域为：[]，当cosx≤sinx时，函数的值域为：[-1，1}，故函数的值域为：[-1，1}．故选：A．函数的图象和性质的应用，主要考察分段函数的应用．本题考查的知识要点：函数的图象和性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：∵∴移项整理，得．∵，∴，∴由此可得==．故选：A．根据变形，化简整理可得，由此代入即可得到的值．本题给出平面内不共线四个点满足的向量等式，求两个向量模的比值，着重考查了向量的加法及其几何意义和向量的模性质等知识，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：∵，∴，∴=2．∵，∴，化为，∴，解得．故选：B．利用向量的数量积运算即可得出．本题考查了向量的数量积运算，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：∵D是边BC上的一点（包括端点），∴可设=+（0≤λ≤1）．∵∠BAC=120°，AB=2，AC=1，∴=2×1×cos120°=-1．∴•=[+]•=-+=-（2λ-1）-4λ+1-λ=-7λ+2．∵0≤λ≤1，∴（-7λ+2）∈[-5，2]．∴•的取值范围是[-5，2]．故选：D．由于D是边BC上的一点（包括端点），利用向量共线定理：可设=+（0≤λ≤1）．由∠BAC=120°，AB=2，AC=1，可得=2×1×cos120°=-1．代入利用数量积运算性质即可得出•=-7λ+2．再利用一次函数的单调性即可得出．本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、一次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：f（x）=cos2x-2sinxcosx=cos2x-=，所以函数f（x）的周期为：，①所以：若存在x1，x2有x1-x2=π时，所以：x1=π-x2则：f（x1）=f（x2）成立．②令：（k∈Z）解得：所以函数的单调递减区间为：[] 所以：f（x）在[-，]是单调递增不成立．③令：（k∈Z）解得：x=当k=0时，函数f（x ）关于点（，0）成中心对称图象．④将函数的图象向左平移得到y=故与y=2sin2x重合相矛盾．则：（1）和（3）正确．故选：B．首先把函数的关系式通过恒等变换变换成余弦型函数，进一步利用余弦型函数的性质求出函数的周期，对称中心，及单调区间．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用三角函数的性质求单调区间周期，及函数图象的平移问题，属于基础题型．13.【答案】2【解析】解：x∈R ，向量=（x，1），=（1，-2），且，可得：x-2=0，解得x=2．故答案为：2．利用向量垂直，列出方程求解即可．本题考查向量的垂直的充要条件的应用，是基础题．14.【答案】135°【解析】解：由题意可得tanC=-tan（A+B）=-=-=-1，又∵C为三角形的内角，∴C=135°故答案为：135°由题意tanC=-tan（A+B）=-，代值结合角的范围可得．本题考查两角和与差的正切函数公式，属基础题．15.【答案】-【解析】解：因为 cos （-α）=sin（+α）=，∴cos（）=2-1=2×-1=-，故答案为-．因为cos （-α）=sin（+α）=，利用二倍角公式求得cos （）的值．该题主要考查诱导公式和余弦的二倍角公式，还要求学生能够感受到cos （-α）与sin（+α）中的角之间的余角关系，属于中档题．16.【答案】[-1，1]【解析】解：设半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系，其中A（，）；B（1，0）；C（cosθ，sinθ）（其中∠BOC=θ（0≤θ≤）有若=（cosθ，sinθ）=x （，）+y（1，0）；整理得：x+y=cosθ；x=sinθ，解得x=，y=cosθ-，则x-y=-cosθ+=sinθ-cosθ=2sin（θ-），其中（0≤θ≤）；易知x-y=-cosθ+=sinθ-cosθ=2sin（θ-），为增函数，由单调性易得其值域为[-1，1]故答案为：[-1，1]建立平面直角坐标系利用设参数用三角函数求解最值即可．本题着重考查了平面向量基本定理、向量的线性运算法则等知识，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵=∴函数f（x）=sin x+sin（x+）的最小正周期是2π．（2）∵x∈R，-1≤sin x≤1（2）=∴f（x）的最大值为，最小值为…（8分）（3）∵f（α）=sinα+sin（α+）=sinα+cosα=∴（sinα+cosα）2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+sin2α=∴sin2α=-1=【解析】（1）根据诱导公式可求出函数的解析式，推断f（x）的最小正周期是2π（2）依上问f（x）=2sinx，根据正弦函数的性质推断f（x）的最大值是2，最小值是-2．（3）把α代入函数式，两边平方可得答案．本题主要考查三角函数中诱导公式的使用．做题时注意灵活运用和差化积、倍角公式等公式．18.【答案】解：（Ⅰ），∴，（Ⅱ）依题意得：＜，即＜，∴λ2+3λ+1＜0，解得：＜＜，又当与的夹角为180°时，设且μ＜0，∵ 与不共线，∴ 得λ=-1，∵与的夹角为钝角，∴＜＜且λ≠-1，即＜＜或＜＜．【解析】（Ⅰ）由||2=代入即可求解；（Ⅱ）由与的夹角为钝角，可知，去掉向量共线的情况即可求解．本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解答的关键是性质的熟练掌握，属于中档试题19.【答案】解：（1）由已知得：，．∵α，β为锐角，∴，．∴，．∴ ．（2）∵，∴ ．∵α，β为锐角，∴＜＜，∴．【解析】（1）先求出两个锐角α，β的余弦，再利用同角三角函数的关系求出其正弦，进而利用商数关系得到两角的正切值，代入正切的和角公式求值．（2）同（1）先用正切的和角公式求出2α+β的正切，再根据其正切值求2α+β的值，再确定其值前要先确定2α+β的取值范围．本题考查两角和与差的正切函数，求解的关键是利用公式求出角的正切值，再求角．本题中涉及到了三角函数中的多个公式，变形灵活，做题时要注意转化正确．本题考查了转化化归的思想．20.【答案】解：（1）∵向量=（，1），=（cos，），记f（x）=．∴f（x）=•cos+=sin+cos+=sin（+）+，∴最小正周期T==4π，2kπ-≤+≤2kπ+，则4kπ-≤x≤4kπ+，k∈Z．故函数f（x）的单调递增区间是[4kπ-，4kπ+]，k∈Z；（2）∵将函数y=f（x）=sin（+）+的图象向右平移个单位得到函数解析式为：y=g（x）=sin[（x-+）]+=sin（-）+，∴则y=g（x）-k=sin（x-）+-k，∵x∈[0，]，可得：-≤x-≤π，∴-≤sin（x-）≤1，∴0≤sin（x-）+≤，∴若函数y=g（x）-k在[0，]上有零点，则函数y=g（x）的图象与直线y=k在[0，]上有交点，∴实数k的取值范围是[0，]．∴当k＜0或k＞时，函数y=g（x）-k在，的零点个数是0；当0≤k＜1时，函数y=g（x）-k在，的零点个数是2；当k=0或k=时，函数y=g（x）-k在，的零点个数是1．【解析】（1）通过平面向量数量积的运算，三角函数的恒等变形得到f（x）=sin （+）+，根据正弦函数的性质求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）先求得y=g（x）-k的解析式，从而可求g（x）的值域，由函数y=g（x）的图象与直线y=k在的上有交点，可得实数k的取值范围．本题是中档题，考查向量的数量积的应用，三角函数的化简求值，函数的单调增区间的求法，函数零点的判断方法，考查计算能力．21.【答案】解：（1）设∠CAB=α，∠CAD=β，，，∴ ，，…．（3分）∴cos∠BAD=cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=…..（6分）（2）由得：…．（8分）∴ …..（10分）解得：，．…（12分）【解析】（1）设∠CAB=α，∠CAD=β，由AB=13，AC=10，．可得α的余弦值，又由，分别求出两个角的正弦值，代入两角和的余弦公式，可得答案．（2）若，则，结合AD=5，及（1）中结论，可得x、y值．本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，熟练掌握平面向量夹角公式及数量积公式是解答的关键．22.【答案】解：（Ⅰ）∵在Rt△CHE中，CH=50，∠C=90°，∠CHE=x，∴HE=在Rt△HDF中，HD=50，∠D=90°，∠DFH=x，∴HF=．又∠EOF=90°，∴EF=，∴三条路的全长（即△HEF的周长）L=．当点F在点D时，这时角x最小，求得此时x=；当点E在C点时，这时角x最大，求得此时x=．故此函数的定义域为[，]；（Ⅱ）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长L的最小值即可．由（Ⅰ）得L=，x∈[，]，设sin x+cos x=t，则sin x cosx=，∴L=由t=sin x+cos x=，x∈[，]，得，从而+1≤≤+1，当x=，即CE=50时，L min=100（），所以当CE=DF=50米时，铺路总费用最低，最低总费用为96560元．【解析】（Ⅰ）要将△HEF的周长L表示成x的函数关系式，需把△HEF的三边分别用含有x的关系式来表示，从而可求．（Ⅱ）要求铺路总费用最低，只要求△HEF的周长L的最小值即可．利用换元法，从而转化为求函数在闭区间上的最小值．本题主要考查了借助于三角函数解三角形在实际问题中的应用，考查了利用数学知识解决实际问题的能力，及推理运算的能力．。
2020-2021学年湖南省长沙雅礼中学高一下期中考试数学试卷及答案解析
2020-2021学年湖南省长沙雅礼中学高一下期中考试数学试卷一．单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知复数z =2i 31+i ，则z ＝（ ）A ．﹣1﹣iB ．1﹣iC ．1+3i 2D ．1+3i2．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，cosC =13，则边c 长为（ ） A ．3B ．2C ．√11D ．√173．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直； ③若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ④垂直于同一直线的两条直线相互平行． 其中，为真命题的是（ ） A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④4．三棱锥S ﹣ABC 的各顶点均在球O 的球面上，SC 为该球的直径，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝120°，且三棱锥S ﹣ABC 的体积为2，则球O 的半径为（ ） A ．√7B ．√5C ．52D ．35．在△ABC 中，|CA |＝1，|CB |＝2，∠ACB =23π，点M 满足CM →=CB →+2CA →，则MA →•MB →=（ ） A ．0B ．2C ．2√3D ．46．已知：向量a →=（1，2），b →=（﹣2，m ），若a →∥b →，则实数m 的值为（ ） A ．4B ．﹣4C ．1D ．﹣17．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝4，b ＝5，A ＝45°，则满足条件的三角形有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．无法确定8．如图，向量OA →，OB →，OC →的终点在同一直线上，且AC →=−3CB →，设OA →=p →，OB →=q →，OC →=r →，则下列等式中成立的是（ ）A．r→=−12p→+32q→B．r→=−p→+2q→C．r→=32p→−12q→D．r→=−q→+2p→二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．已知向量e1→=（﹣1，2），e2→=（2，1），若向量a→=λ1e1→+λ2e2→，则可使λ1λ2＜0成立的a→可能是（）A．（1，0）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（0，﹣1）10．对任意z1，z2，z∈C，下列结论成立的是（）A．当m，n∈N*时，有z m z n＝z m+nB．当z1，z2∈C时，若z12+z22＝0，则z1＝0且z2＝0C．互为共轭复数的两个复数的模相等，且|z|2＝|z|2＝z•zD．z1＝z2的充要条件是|z1|＝|z2|11．在四面体ABCD中，∠DAB＝∠DAC＝60°，AB＝AC＝AD＝4，AB⊥AC，E是棱BC 上一动点，则下列说法正确的是（）A．△AED的面积最小值为4B．平面BCD⊥平面ABCC．四面体ABCD的体积为16√2 3D．若F为棱AC的中点，当且仅当E点为棱BC的中点时，EF∥平面ABD12．已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥βB．若m⊥α，n∥α，则m⊥nC．若α∥β，m⊂α，则m∥βD．若m∥n，α∥β，则m与α所成的角和n与β所成的角相等三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．设i是虚数单位，复数z满足（1+2i）z＝4+3i，则z＝．14．复数z满足|z+i|＝1，且z+z=2，则z＝．15．已知向量a →=（m ，3），b →=（1，﹣2），且（a →+b →）⊥b →，则m ＝ ． 16．在△ABC 中，若AB ＝2，∠B =5π12，∠C =π4，则BC ＝ ． 四．解答题（共6小题，第17题10分，第18-22题各12分，共70分） 17．已知复数z ＝（m 2﹣3m +2）+（m 2﹣4m +3）i ，m ∈R ． （1）若z 对应复平面上的点在第四象限，求m 的范围； （2）若z 是纯虚数，求m 的值．18．已知向量a →=（5，﹣12），b →=（﹣3，4）． （1）求a →与b →夹角θ的余弦值；（2）若向量a →+t b →与a →−b →垂直，求实数t 的值．19．如图1，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，过A ，B 分别作AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ．若AB ＝AE ＝2，CD ＝5，DE ＝1，将梯形ABCD 沿AE ，BF 折起，且平面ADE ⊥平面ABFE （如图2）． （Ⅰ）证明：AF ⊥BD ；（Ⅱ）若CF ∥DE ，在线段AB 上是否存在一点P ，使得直线CP 与平面ACD 所成角的正弦值为√618，若存在，求出AP 的值，若不存在，说明理由．20．已知平面向量a →=（1，x ），b →=（2x +3，﹣x ），x ∈R ． （1）若x ＝2，求b →在a →上的投影向量c 的坐标； （2）若a →⊥b →，求x 的值．21．已知等腰△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝c，D是AC的中点．（Ⅰ）若cos∠BDC=√24，sin∠ABD=√148，CD＝1，求△ABC的面积S；（Ⅱ）若△ABC的面积S等于2，求BD的最小值．22．如图①，是由正三角形ABE和正方形BCDE组成的平面图形，其中AB＝2；将其沿BE 折起，使得AC＝2√2，如图②所示．（1）证明：图②中平面ABE⊥平面BCDE；（2）在线段AB上有一点P，且AP=13AB，求三棱锥P﹣ACE的体积．2020-2021学年湖南省长沙雅礼中学高一下期中考试数学试卷参考答案与试题解析一．单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知复数z =2i 31+i ，则z ＝（ ）A ．﹣1﹣iB ．1﹣iC ．1+3i 2D ．1+3i【解答】解：∵复数z =2i 31+i =−2i1+i=−1﹣i ，故选：A ．2．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，cosC =13，则边c 长为（ ） A ．3B ．2C ．√11D ．√17【解答】解：在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，cosC =13， 则c =√a 2+b 2−2abcosC =√4+9−2×2×3×13=3． 故选：A ．3．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直； ③若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ④垂直于同一直线的两条直线相互平行． 其中，为真命题的是（ ） A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④【解答】解：当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故②正确；由平面与平面垂直的判定定理可知③正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，相交也可以异面，故④不对． 故选：B ．4．三棱锥S ﹣ABC 的各顶点均在球O 的球面上，SC 为该球的直径，AC ＝BC ＝2，∠ACB＝120°，且三棱锥S ﹣ABC 的体积为2，则球O 的半径为（ ） A ．√7B ．√5C ．52D ．3【解答】解：因为AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝120°， 所以S △ABC =12×2×2×√32=√3，设△ABC 的外接圆的圆心E ，连接OE ，则OE ⊥平面ABC ，作圆的直径CD ，连接SD ， 因为O ，E 分别为SC ，CD 的中点， 所以SD ∥OE ，SD ⊥平面ABC ，所以三棱锥S ﹣ABC 的体积13×√3×SD =2，所以SD ＝2√3，因为AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝120°， 所以∠ABC ＝30°， 由正弦定理可得，CD =AC sin∠ABC =2sin30°=4，所以SC =√CD 2+SD 2=√42+(2√3)2=2√7， 则外接球直径2R ＝SC ＝2√7即R =√7． 故选：A ．5．在△ABC 中，|CA |＝1，|CB |＝2，∠ACB =23π，点M 满足CM →=CB →+2CA →，则MA →•MB →=（ ） A ．0B ．2C ．2√3D ．4【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，由题意知，C （0，0），B （2，0），A （−12，√32）；∴CB →=（2，0），CA →=（−12，√32）， ∴CM →=CB →+2CA →=（1，√3）， ∴MA →=CA →−CM →=（−32，−√32），MB →=CB →−CM →=（1，−√3）， 则MA →•MB →=−32+32=0． 故选：A ．6．已知：向量a →=（1，2），b →=（﹣2，m ），若a →∥b →，则实数m 的值为（ ） A ．4B ．﹣4C ．1D ．﹣1【解答】解：∵a →∥b →，∴m ﹣2×（﹣2）＝0，解得m ＝﹣4． 故选：B ．7．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝4，b ＝5，A ＝45°，则满足条件的三角形有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．无法确定【解答】解：由于a ＝4，b ＝5，A ＝45°， 由于b ＞a ＞b sin A ， 所以三角形有两解． 故选：C ．8．如图，向量OA →，OB →，OC →的终点在同一直线上，且AC →=−3CB →，设OA →=p →，OB →=q →，OC →=r →，则下列等式中成立的是（ ）A ．r →=−12p →+32q →B ．r →=−p →+2q →C ．r →=32p →−12q →D ．r →=−q →+2p →【解答】解：有题意可知r →=q →+BC →=q →−13AC →=q →−13(r →−p →)，∴r →=−12p →+32q →， 故选：A ．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．已知向量e 1→=（﹣1，2），e 2→=（2，1），若向量a →=λ1e 1→+λ2e 2→，则可使λ1λ2＜0成立的a →可能是（ ） A ．（1，0）B ．（0，1）C ．（﹣1，0）D ．（0，﹣1）【解答】解：e 1→=（﹣1，2），e 2→=（2，1）， ∴向量a →=λ1e 1→+λ2e 2→=（﹣λ1，2λ1）+（2λ2，λ2）， ＝（2λ2﹣λ1，2λ1+λ2）， 若使λ1λ2＜0成立，a →=（1，0），则2λ1+λ2＝0，满足题意，a →=（0，1），则2λ2﹣λ1＝0，不满足题意，a →=（﹣1，0），则2λ1+λ2＝0，满足题意，a →=（0，﹣1），则2λ2﹣λ1＝0，不满足题意， 故选：AC ．10．对任意z 1，z 2，z ∈C ，下列结论成立的是（ ） A ．当m ，n ∈N *时，有z m z n ＝z m +nB ．当z 1，z 2∈C 时，若z 12+z 22＝0，则z 1＝0且z 2＝0C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且|z |2＝|z |2＝z •zD ．z 1＝z 2的充要条件是|z 1|＝|z 2|【解答】解：根据复数的运算法则，当m ，n ∈N *时，有z m z n ＝z m +n ，故选项A 正确； 设z 1＝i ，z 2＝1，则有z 12+z 22＝﹣1+1＝0，但此时z 1≠0且z 2≠0，故选项B 错误； 设z ＝a +bi ，z =a ﹣bi ，所以|z|2=a 2+b 2，|z|=a 2+b 2，z ⋅z =(a +bi)(a −bi)=a 2+b 2，所以|z |2＝|z |2＝z •z ，故选项C 正确；由z 1＝z 2能推出|z 1|＝|z 2|，但是|z 1|＝|z 2|不能推出z 1＝z 2，所以z 1＝z 2的必要不充分条件是|z 1|＝|z 2|，故选项D 错误． 故选：AC ．11．在四面体ABCD 中，∠DAB ＝∠DAC ＝60°，AB ＝AC ＝AD ＝4，AB ⊥AC ，E 是棱BC 上一动点，则下列说法正确的是（ ） A ．△AED 的面积最小值为4 B ．平面BCD ⊥平面ABCC ．四面体ABCD 的体积为16√23D ．若F 为棱AC 的中点，当且仅当E 点为棱BC 的中点时，EF ∥平面ABD【解答】解：如图所示，当E 是棱BC 的中点时，△AED 的面积最小，由∠DAB ＝∠DAC ＝60°，AB ＝AC ＝AD ＝4，AB ⊥AC ，所以BC ＝4√2，AE =12BC ＝2√2，又BD ＝CD ＝AB ＝4，所以△BCD 是等腰直角三角形，DE =12BC ＝2√2， 所以AD 2＝AE 2+DE 2，所以DE ⊥AE ，所以△ADE 的面积为12×2√2×2√2=4，选项A 正确；又DE ⊥BC ，AE ∩BC ＝E ，AE ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ， 又DE ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面ABC ，所以选项B 正确；四面体ABCD的体积为V三棱锥D﹣ABC=13S△ABC•DE=13×12×4×4×2√2=16√23，所以选项C正确；当F为棱AC的中点时，过F作FE∥AB，交BC于E，则E点为棱BC的中点，由EF∥AB，AB⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，所以EF∥ABD；反之，EF∥平面ABD时，由直线与平面平行的性质定理得出EF∥BA，由F是AC的中点，得出E是BC的中点，所以选项D正确．故选：ABCD．12．已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥βB．若m⊥α，n∥α，则m⊥nC．若α∥β，m⊂α，则m∥βD．若m∥n，α∥β，则m与α所成的角和n与β所成的角相等【解答】解：A．满足m⊥n，m⊥α，n∥β时，得不出α⊥β，α与β可能平行，如图所示：∴该选项错误；B．∵n∥α，∴设过n的平面β与α交于a，则n∥a，又m⊥α，∴m⊥a，∴m⊥n，∴该选项正确；C．∵α∥β，∴α内的所有直线都与β平行，且m⊂α，∴m∥β，∴该选项正确；D．根据线面角的定义即可判断该选项正确．故选：BCD．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．设i是虚数单位，复数z满足（1+2i）z＝4+3i，则z＝2﹣i．【解答】解：∵i是虚数单位，复数z满足（1+2i）z＝4+3i，∴z=4+3i1+2i=(4+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=4+3i−8i−6i21−4i2=10−5i5=2﹣i．故答案为：2﹣i ．14．复数z 满足|z +i |＝1，且z +z =2，则z ＝ 1﹣i ．【解答】解：设复数z ＝a +bi ，z +z =a +bi +a −bi =2a =2，解得a ＝1， 又z +i ＝a +（b +1）i ＝1+（b +1）i ，且|z +i |＝1， 所以√1+(b +1)2=1，解得b ＝﹣1， 所以z ＝1﹣i ． 故答案为：1﹣i ．15．已知向量a →=（m ，3），b →=（1，﹣2），且（a →+b →）⊥b →，则m ＝ 1 ．【解答】解：根据题意，向量a →=（m ，3），b →=（1，﹣2），则a →+b →=(m +1，1)． 因为(a →+b →)⊥b →，所以（a →+b →）•b →=m +1﹣2＝0，解得m ＝1， 故答案为：1．16．在△ABC 中，若AB ＝2，∠B =5π12，∠C =π4，则BC ＝ √6 ． 【解答】解：A =π−B −C =π−5π12−π4=π3，由正弦定理得AB sinC =BCsinA ，所以BC =ABsinA sinC =2sin π3sin π4=√6．故答案为：√6．四．解答题（共6小题，第17题10分，第18-22题各12分，共70分） 17．已知复数z ＝（m 2﹣3m +2）+（m 2﹣4m +3）i ，m ∈R ． （1）若z 对应复平面上的点在第四象限，求m 的范围； （2）若z 是纯虚数，求m 的值．【解答】解：（1）由题意，{m 2−3m +2＞0m 2−4m +3＜0，解得2＜m ＜3，∴m 的范围是（2，3）；（2）由题意，{m 2−3m +2=0m 2−4m +3≠0，解得m ＝2．18．已知向量a →=（5，﹣12），b →=（﹣3，4）． （1）求a →与b →夹角θ的余弦值；（2）若向量a →+t b →与a →−b →垂直，求实数t 的值．【解答】解：（1）∵a →⋅b →=5×(−3)+(−12)×4=−63，|a →|=13，|b →|=5，∴cosθ=a →⋅b|a →|⋅|b →|=−6365，（2）∵a →+tb →=(5，−12)+t(−3，4)=(5−3t ，−12+4t)，a →−b →=(5，−12)−(−3，4)=(8，−16) 又a →+tb →与a →−b →垂直， ∴(a →+tb →)⋅(a →−b →)=0，即8（5﹣3t ）﹣16（﹣12+4t ）＝0，解得t =2911．19．如图1，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，过A ，B 分别作AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ．若AB ＝AE ＝2，CD ＝5，DE ＝1，将梯形ABCD 沿AE ，BF 折起，且平面ADE ⊥平面ABFE （如图2）． （Ⅰ）证明：AF ⊥BD ；（Ⅱ）若CF ∥DE ，在线段AB 上是否存在一点P ，使得直线CP 与平面ACD 所成角的正弦值为√618，若存在，求出AP 的值，若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵平面ADE ⊥平面ABFE ，DE ⊂平面ADE ， 平面ADE ∩平面ABFE ＝AE ，DE ⊥AE ，∴DE ⊥平面ABFE ，又AF ⊂平面ABFE ，∴DE ⊥AF ， 又正方形ABFE 中，AF ⊥BE ，且BE ∩DE ＝E ， DE ⊂平面BDE ，BE ⊂平面BDE ， ∴AF ⊥平面BDE ，∵BD ⊂平面BDE ，∴AF ⊥BD ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，DE 、EA 、EF 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，∵CF ∥DE ，CF ⊥平面ABFE ，则A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，2），D （0，0，1）， AD →=（﹣2，0，1），AC →=（﹣2，2，2）， 设平面ACD 的一个法向量n →=（x ，y ，z ）， 则{AD →⋅n →=−2x +z =0AC →⋅n →=−2x +2y +2z =0，取x ＝1，得n →=（1，﹣1，2），设P （2，t ，0），且0≤t ≤2，则CP →=（2，t ﹣2，﹣2）， 设直线CP 与平面ACD 所成角为θ∵在线段AB 上存在一点P ，使得直线CP 与平面ACD 所成角的正弦值为√618， ∴sin θ=|n →⋅CP →||n →|⋅|CP →|=|2+2−t−4|√6⋅√8+(t−2)2=√618，解得t ＝1或t =−32（舍）．∴AP ＝1．20．已知平面向量a →=（1，x ），b →=（2x +3，﹣x ），x ∈R ． （1）若x ＝2，求b →在a →上的投影向量c 的坐标； （2）若a →⊥b →，求x 的值．【解答】解：（1）若x ＝2，则a →=（1，2），b →=（7，﹣2），则c →=a →⋅b →|a →|×a→|a →|=（35，65）．（2）若a →⊥b →，则a →⋅b →=（1，x ）•（2x +3，﹣x ）＝1×（2x +3）+x （﹣x ）＝0， 即x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x ＝﹣1或x ＝3．21．已知等腰△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝c ，D 是AC 的中点． （Ⅰ）若cos ∠BDC =√2，sin ∠ABD =√14，CD ＝1，求△ABC 的面积S ；（Ⅱ）若△ABC的面积S等于2，求BD的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为b＝c，D是AC的中点，所以AD＝CD=b2=1，所以b＝c＝2，因为cos∠BDC=(b2)2+BD2−a22BD⋅b2=√24，即1+BD2−a22BD=√24，又因为∠ADB+∠BDC＝π，所以cos∠ADB＝﹣cos∠BDC=(b2)2+BD2−c22BD⋅b2=−√24，整理可得2BD2+√2BD﹣6＝0，解得BD=√2，可得22√2=√24，可得a=√2，在△ABD中，由正弦定理可得BDsinA =b2sin∠ABD，即sin A=2BD⋅sin∠ABDb=2×√2×√1482=√7 4，所以S△ABC=12bc sin A=12×2×2×√74=√72．（Ⅱ）取BC的中点F，连接AF交BD于O，则AF⊥BC，OF=13AF，作DE⊥BC，则E为CF的中点，设OF＝t，则AF＝3t，DE=12AF=3t2，因为S△BDC=12S△ABC＝1，而S△BDC=12DE•BC，所以BC=43t，BE=34BC=1t，所以BD2＝BE2+DE2=1t2+9t24≥2√94=3，当且仅当1t2=9t24，即t=√63时取等号，所以BD的最小值为√3．22．如图①，是由正三角形ABE和正方形BCDE组成的平面图形，其中AB＝2；将其沿BE 折起，使得AC＝2√2，如图②所示．（1）证明：图②中平面ABE⊥平面BCDE；（2）在线段AB上有一点P，且AP=13AB，求三棱锥P﹣ACE的体积．【解答】（1）证明：分别取BE，CD的中点O，M，连接AO，AM，OM，∵△ABE为正三角形且AB＝2，∴AO⊥BE，且AO=√3，∵BCDE为正方形，∴OM＝2，依题意，△ACD为等腰三角形，∵AC＝2√2，∴AM=√7，则AO2+OM2＝AM2，∴AO⊥OM，又∵BE∩OM＝O，且BE，OM⊂平面BCDE，∴AO⊥平面BCDE，∵AO⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面BCDE．（2）解：如图，取AP=13AB，连接PC，PE，EC，由（1）可得平面ABE⊥平面BCDE．则C到平面P AE的距离d＝|BC|＝2，∵AP=13AB，∴S△APE=13S△ABE，∵△ABE为正三角形，且AB＝2，∴S△ABE=13×2×2×sin60°=√3，∴S△APE=13S△ABE=√33，所以，三棱锥P﹣AEC的体积V P﹣AEC=13d⋅S△APE=2√39．。
2018-2019学年湖南省长沙市雅礼教育集团高一下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年湖南省长沙市雅礼教育集团高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知不等式2340x x -->的解集为A ，则A =（ ） A ．()1,4- B ．()(),14,-∞-+∞U C ．(]4,1- D ．()(),41,-∞-+∞U【答案】B【解析】解一元二次不等式得集合A 即可. 【详解】解不等式()()234410x x x x --=-+>，得4x >或1x <-，所以不等式的解集为()(),14,A =-∞-+∞U .故选：B 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.2．已知向量a r ，b r，满足1a =r ，1a b ⋅=-r r ，则()a ab ⋅+=r r r （ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】D【解析】利用向量的模长及运算法则，计算即可. 【详解】向量a r ，b r，满足1a =r ，1a b ⋅=-r r ，则()2110a a b a a b ⋅+=+⋅=-=r r r r r r .故选：D. 【点睛】本题考查了向量的模长和数量积及运算的法则，属于基础题.3．等差数列{}n a 中，382a a +=-，则数列前10项和10S 的值为（ ） A ．20- B ．10-C ．20D ．10【答案】B【解析】由等差数列前n 项和公式和等差数列的性质求出结果即可． 【详解】∵在等差数列{}n a 中，382a a +=-，∴该数列前10项和：S 10＝()()11038101022a a a a +=+＝()102102⨯-=-． 故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的求法，注意等差数列性质的合理运用，属于基础题． 4．函数()2sin cos f x x x =是 A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数【答案】C【解析】试题分析：本题考查三角函数的性质f （x ）=2sinxcosx=sin2x ，周期为π的奇函数．解：∵f （x ）=2sinxcosx=sin2x ， ∴f （x ）为周期为π的奇函数， 故选C【考点】二倍角的正弦．5．要得到函数cos(21)y x =+的图象，只要将函数cos 2y x =的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移 12个单位 D ．向右平移12个单位 【答案】C【解析】y ＝cos2x 向左平移12个单位得y ＝cos2(x ＋12)＝cos(2x ＋1)，选C 项．6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB AC ⋅uu u r uuu r等于( ) A ．－16 B ．－8C ．8D ．16【答案】D【解析】因为∠C ＝90°，所以AC u u u r ·CB u u u r ＝0，所以AB u u u r ·AC u u u r ＝(AC u u u r ＋CB u u u r )·AC u u u r ＝|AC u u u r|2＋AC u u u r ·CB u u u r＝AC 2＝16.7．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 A． BC． D．【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈， 又1a f =，则7781a a q f === 故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1nn a q a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈）， 数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.8．设变量x ，y 满足10020015x y x y y -≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩，则23x y +的最大值为（ ）A ．55B ．45C ．35D ．25【答案】A【解析】画出满足约束条件的平面区域，结合目标函数的几何意义，令23z x y =+，求出目标函数23z x y =+取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可． 【详解】变量x ，y 满足约束条件10020015x y x y y -≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩的平面区域，如图所示：令23z x y =+，可得233zy x =-+，则3z 为直线230x y z +-=在y 轴上的截距，截距越大，z 越大，作直线l ：230x y +=，把直线向上平移可得过点D 时，z 最大，由1520y x y =⎧⎨+=⎩可得x ＝5，y ＝15，此时232531555z x y =+=⨯+⨯=.故选：A ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键，属于基础题．9．已知函数()()sin 0,0f x A x A ωω=>>的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ，若24g π⎛⎫=⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2 B 2C ．2-D ．2-【答案】B【解析】根据条件求出ω的值，结合函数图象变换关系求出()g x 的解析式，结合条件求出A 的值，利用代入法进行求解即可． 【详解】∵()()sin 0,0f x A x A ωω=>>的最小正周期为π，∴2πω＝π，得ω＝2，则f （x ）＝A sin2x ，将y ＝f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ． 则()g x ＝A sin x ，若g （4π，则g （4π）＝A sin 4π＝2A，即A ＝2，得()2sin 2f x x =，则f （38π）＝2sin （2×38π）＝2sin 34π＝2×2.故选：B ． 【点睛】本题主要考查三角函数的解析式的求解，结合条件求出A ，ω的值是解决本题的关键，属于基础题．10．若4cos 5α=-,α是第三象限的角,则1tan21tan 2αα+=-（ ） A ．12-B ．12C ．2D ．-2【答案】A【解析】试题分析：∵4cos 5α=-，α为第三象限，∴3sin 5α=-, ∵2sin211tancos cos sin (cossin)2222221tansin cossin(cossin)(cossin)222222221cos2αααααααααααααααα++++===---+-2231()1sin 1sin 154cos 2cos sin 225ααααα+-++====---． 【考点】同角间的三角函数关系，二倍角公式．11．已知ABC ∆中，D 为边BC 上一点，13BD BC =，ADC 60∠=o ，4=AD ，若ADB ∆的面积为6-，则cos BAC ∠=（ ）A．12B．13C．624-D．0【答案】A【解析】利用ADB∆的面积求得DC，进而根据余弦定理求得AB和AC，在ABC∆中利用余弦定理求得cos BAC∠的值．【详解】由已知条件得，()11sin180604sin1206322ADBS BD AD BD∆=⨯⨯-=⨯⨯=-o o o，232BD∴=-，Q13BD BC=，636BC∴=-，434CD=-，在ABD∆中，由余弦定理得AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°＝()()22423224232cos12024+--⨯⨯-=o，∴26AB=.在ABD∆中，由余弦定理得AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cos60°＝()()()222443424434cos602431+--⨯⨯-=-o，∴()2631AC=-.在ABC∆中，由余弦定理得((()2222224243136311cos222262631AB AC BCBACAB AC+---+-∠===⋅⨯⨯-.故选：A.【点睛】本题主要考查解三角形中的边角关系及其面积，余弦定理等基础知识，考查分析问题与解决问题的能力以及相应的运算能力，属于中档题．二、填空题12．若1sin3α=，则cos2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭______．【答案】13-【解析】由已知直接利用三角函数的诱导公式化简求值． 【详解】1sin 3α=Q ，1cos sin 23παα⎛⎫∴+=-=- ⎪⎝⎭．故答案为13-． 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题． 13．等比数列{}n a 中，158a a =，3416a a =，则{}n a 的公比为______. 【答案】2【解析】利用等比数列通项公式计算即可. 【详解】在等比数列{}n a 中，设{}n a 的公比为q ，则241518a a a q ==，2534116a a a q ==，所以2512411628a q q a q ===. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了等比数列通项公式的应用，属于基础题.14．已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若()AO AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，AB AC ⊥，则λ=______. 【答案】12【解析】根据向量加法的运算及圆直径的性质，即可得到结论． 【详解】已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若()AO AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r，设D 为BC 的中点，则()2AO AB AC AD λλ=+=u u u r u u u r u u u r u u u r ，且AB AC ⊥，即2BAC π∠=,得BC 为圆O 的直径.所以点O 与点D 重合，即21λ=，得12λ=. 故答案为：12【点睛】本题主要考查平面向量加法的运算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，属于基础题． 15．设a R ∈，若0x >时均有()()211310a x x ax ----≥⎡⎤⎣⎦，则a =______.【答案】54【解析】当a ＝1时，不等式不可能恒成立；当a ≠1，若对任意的x ＞0时均有()()211310a x x ax ----≥⎡⎤⎣⎦，则构造函数y 1＝（a ﹣1）x ﹣1，y 2＝x 2﹣3ax ﹣1，与x 轴交于同一点，代入可得答案． 【详解】当a ＝1时，代入题中不等式得2310x x --≤，明显不恒成立，舍．当a ≠1，构造函数y 1＝（a ﹣1）x ﹣1，y 2＝x 2﹣3ax ﹣1，它们都过定点P （0，﹣1）． 在函数y 1＝（a ﹣1）x ﹣1中，令y ＝0，得M （11a -，0）； 在函数y 2＝x 2﹣3ax ﹣1，∵x ＞0时，均有()()211310a x x ax ----≥⎡⎤⎣⎦成立，又∵y 2＝x 2﹣3ax ﹣1开口向上，随着x 的增加，y 2＞0成立，所以a ﹣1＞0. ∴y 2＝x 2﹣3ax ﹣1显然过点M （11a -，0），代入得：（11a -）2﹣3a •11a -﹣1＝0， 解之得：a ＝54或a ＝0（舍去）． 故答案为：54.【点睛】本题考查的知识点为函数不等式恒成立问题，函数的图象和性质，分类讨论思想，数形结合思想，属于中档题．三、解答题16．已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=. （1）求n a ； （2）令()()*21n n b n N a n=∈+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =+；（2）1n nT n =+. 【解析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出； （2）由（1）得111n b n n =-+，再利用“裂项相消法求和”即可得出． 【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为a 1，公差为d ，由于37a =，5726a a +=， ∴112721026a d a d +⎧⎨+⎩＝＝，解得132a d ⎧⎨⎩＝＝，∴()1121n a a n d n =+-=+；（2）由（1）知a n ＝2n +1，∴()()11221221n n a n n b n n n =-=+++=，∴因此T n ＝b 1+b 2+…+b n ＝1111223⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+…+111111n n n ⎛⎫-=- ⎪++⎝⎭＝1n n +． 所以1n nT n =+. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、裂项相消法求和，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17．在平面直角坐标系xoy中，己知向量m =⎝⎭u r ，向量()sin ,cos n x x =r ，()0,x π∈.（1）若m n ⊥u r r，求tan x 的值； （2）若//m n u r r，求x 的值. 【答案】（1）1；（2）34π. 【解析】（1）由已知向量的坐标，结合向量垂直的坐标运算可求tan x 的值； （2）由向量平行的坐标运算得，∴2sin x+2cos x ＝0，解出tan x ，结合x 的范围再求出x ； 【详解】（1）己知向量,22m ⎛=- ⎝⎭u r ，向量()sin ,cos n x x =r ，若m n ⊥u r r，则,(sin ,cos )cos 02222m n x x x x ⎛⋅=-⋅=-= ⎝⎭u r r ，即cos 22x x =，得sin x ＝cos x ，∴tan x ＝1；（2）∵//m n u r r，sin xcos x ＝0，即sin x +cos x ＝0，∴tan x ＝﹣1，∴()0,x π∈，∴x ＝34π． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的恒等变换，向量的位置关系与数量积的关系，属于基础题．18．某实验室一天的温度（单位：C o ）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：()10sin1212f t t t ππ=-，[)0,24t ∈.（1）求实验室这一天的最高温度；（2）若要求实验室温度不高于11C o ，则在哪段时间实验室需要降温？ 【答案】（1）12C ︒；（2）10时到18时【解析】（1）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f （t ）=10﹣2sin （12πt +3π），t ∈[0，24），利用正弦函数的定义域求得f （x ）的最大值；（2）由题意可得，当f （t ）＞11时，需要降温，由f （t ）＞11，求得sin （12πt +3π）＜﹣12，即 76π＜12πt +3π＜116π，解得t 的范围，可得结论．【详解】（1）∵f （t ）＝10sin1212t t ππ-＝10﹣2（2cos 12πt +12sin 12πt ）＝10﹣2sin （12πt +3π），[)0,24t ∈，∴3π≤12πt +3π＜73π，故当12πt +3π＝32π时，即t ＝14时，函数取得最大值为10+2＝12.实验室这一天的最高温度12C ︒.（2）由题意可得，当f （t ）＞11时，需要降温，由（1）可得f （t ）＝10﹣2sin （12πt +3π），由10﹣2sin （12πt +3π）＞11，求得sin （12πt +3π）＜﹣12，∵[)0,24t ∈，∴3π≤12πt +3π＜73π， 结合正弦函数的图象可得76π＜12πt +3π＜116π，解得10＜t ＜18，即在10时到18时，需要降温．【点睛】本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题．19．ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .（1）若a ，b ，c 成等差数列，求()sin sin sin A C A C ++的值； （2）若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值.【答案】（1）2；（2）12. 【解析】（1）由a ，b ，c 成等差数列，可得2b ＝a +c ，由三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式即可得解．（2）由a 、b 、c 成等比数列，则b 2＝ac ，由余弦定理和基本不等式，即可得到cos B 的最小值.【详解】（1）∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a +c ，由正弦定理得：2sin B ＝sin A +sin C ，且A B C π++=，∴2sin （A +C ）＝sin A +sin C ，∵sin B ＝sin （A +C ）≠0，∴sin sin 2sin()A C A C +=+； （2）∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ， ∴cosB ＝22222212222a c a a c ac ac ac ac c b ac +--=≥=+-， 当且仅当a c =取等号，∴1cos ,12B ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以cos B 的最小值为12. 【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理的运用，等差数列，等比数列的性质及运用，考查基本不等式的运用求最值，属于基础题．20．等比数列{}n a 满足：12a =，且1a ，21a +，3a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若不等式81410n a n p≤+-成立的正整数n 恰有4个，求正整数p 的值. 【答案】（1）2n n a =；（2）3.【解析】（1）利用等比数列的通项公式计算即可；（2）结合条件对n 进行分类讨论，当3n ≥时利用分离常数法化简得162225np n ≤--，利用取特值和做商法判断出225nn -的单调性，再判断出162225n n --的单调性，根据条件即可求出正整数p 的值．【详解】 （1）已知等比数列{}n a 满足：12a =，设公比为q ，且1a ，21a +，3a 成等差数列，∴()21321a a a +=+，得()222122q q +=+，解得2q =，或0q =（舍）.所以1222n n n a -=⨯=，即2n n a =；（2）由（1）得，281410n n p≤+-， ∵0p >，∴当n ＝1、2时，上式一定成立；当3n ≥时，化简16(25)2410n n p n -≤-+＝162225n n --， 当n ＝3时，1681210p ≤-+＝83＝223， 当n ＝4时，163161610p ⨯≤-+＝245＝4.8， 当n ＝5时，165322010p ⨯≤-+＝40411<， 当n ＝6时，56325p ≤<，… 设b n ＝225nn -，则1n nb b +＝1225232n n n n +-⋅-＝2(25)23n n --＝2（1﹣223n -）， 当n ≥4时，2（1﹣223n -）≥615≥，则1n n b b +＞1，∴当n ≥4时，b n 随着n 的增大而增大，则162225nn --随着n 的增大而减小， ∵不等式81410n a n p≤+-成立的正整数n 恰有4个，即n ＝1、2、4、5， ∴正整数p 的值为3．【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的性质的判断与应用，同时考查了累加法的应用及方程思想与分类讨论的思想应用，属于中档题．21．水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放(04a a <≤且)a R ∈个单位的营养液，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为()y af x =，其中()()()3023727x x f x x x x +⎧≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效.（1）若只投放一次2个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？（2）若先投放2个单位的营养液，4天后再投放b 个单位的营养液，要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，试求b 的最小值.【答案】（1）4天；（2）20-【解析】（1）营养液有效则需满足y ≥4，由分段函数，对x 讨论，解不等式即可得到结论；（2）通过化简、利用基本不等式可知()()21071x x b x --≥-在[4，7]上恒成立，运用参数分离和换元法，结合基本不等式，即可得到b 的最小值．【详解】（1）已知()()()3,0237,27x x f x x x x +⎧≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩，当2a =时，()()()()32,022327,27x x y f x x x x +⎧⨯≤≤⎪==-⎨⎪-<≤⎩要使营养液有效，则需满足y ≥4，则023243x x x⎧⎪+⎨⋅≥⎪-⎩剟或()27274x x <≤⎧⎨-≥⎩， 即为1≤x ≤2或2＜x ≤5，解得1≤x ≤5，所以营养液有效时间可达4天；（2）当4≤x ≤7时，y ＝14﹣2x +b •()()34434x x +-≥--在[4，7]上恒成立，∴()()21071x x b x --≥-在[4，7]上恒成立，令[]13,6t x =-∈，则b ≥﹣2（t +24t）+20， 又﹣2（t +24t ）+20≤﹣2•＝20﹣ 当且仅当t ＝24t ，当t＝1x =时，取等号；∵[]14,7x =∈，∴20b ≥-b的最小值为20-．所以，要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，b的最小值为20-．【点睛】本题考查函数模型在实际问题中的运用，考查函数的最值求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于中档题．。
2019学年湖南省高一下期中数学试卷【含答案及解析】
2019学年湖南省高一下期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. （）A. B. C. D.2. sin 20 °cos 40 ° ＋cos 20 °s in 40 ° 的值等于（）A．______________________________________ B．C． D．3. 已知角的终边过点，，则的值是（）A．1或－1___________________________________ B．或C．1或___________________________________ D．－1或4. 下列命题正确的是（）A．若，则 =0B．若 = ，则 =C．若 // ， // ，则 //D．若与是单位向量，则 =15. 函数 f(x)=sin2x cos2x是（）A．周期为π的偶函数____________________________ B．周期为π的奇函数C ．周期为的奇函数.________________________ D．周期为的偶函数6. 将函数的图象左移，再将图象上各点横坐标压缩到原来的，则所得到的图象的解析式为（）A． B．C．___________________________________ D．7. 若| ，且（）⊥ ，则与的夹角是（）A． B． C．D．8. 已知 , 且点在的延长线上, ,则点的坐标为（）A． B ． C ．___________________________________ D．9. 已知 , , 则的值为（）A ．______________ ______________B ．___________________________________________________ C ．______________________________ D ．10. 化简 + ，得到（）A．2sin5 B．－2cos5 C．－2sin5 D．2cos511. 函数的部分图象如图，则、可以取的一组值是（）A. B.C. D.12. 2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是的值等于（）A．1 B． C．－D．二、填空题13. 已知向量 a＝(3，2) ， b＝(0，－1) ，那么向量 3b－a 的坐标是．14. 设－， , 则．15. 已知向量设 X 是直线 OP 上的一点（O为坐标原点），那么的最小值是___________16. 关于下列命题：①函数在第一象限是增函数；②函数是偶函数；③函数的一个对称中心是（，0）；④函数在闭区间上是增函数；写出所有正确的命题的题号：_________________________________ ．三、解答题17. 已知，，，，求的值.18. 已知 , ,当为何值时，（1）与垂直？（2）与平行？平行时它们是同向还是反向？19. 已知点A、B、C的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈( ,).（I）若| |=| |，求角α的值；（II）若，求的值.20. 已知， , 且 f(x)= . （1）求函数的解析式；（2）当时, 的最小值是－4 , 求此时函数的最大值, 并求出相应的的值.21. 已知关于x的方程的两根为和，∈（0，π）. 求：（I）m的值；（II）的值；（III）方程的两根及此时的值.22. 设，其中．（1）用a表示f(x)的最大值M(a)；（2）当M(a)=2时，求a的值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
2018-2019高一下学期期中考试数学试题(解析版)
（1）由向量的平行关系可以得到 ,再由正弦定理可以解出答案。
（2）由（1）的答案，再根据余弦定理可以求得 ，根据面积公式算出答案。
【详解】(1)因为 ，所以asinB－ bcosA＝0，
由正弦定理，得sinAsinB－ sinBcosA＝0，
又sinB≠0，从而tanA＝ ，由于0＜A＜π，所以A＝ .
（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosA，把BC，AB及求出的AC的值代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
试题解析：
（1）由正弦定理得
= = = AC= =5。
（2）由余弦定理得
cosA= = =- ，所以∠A=120°。
20.已知数列 的前 项和为 且 .
（1）求数列 的通项公式
【详解】记 点正下方为 ，
由题意可得 ， ， ，
在 中，由 ，
得到 ；
在 中，由 得到 ，
所以河流的宽度 等于 米.
故选B
【点睛】本题主要考查解三角形，熟记特殊角对应的三角函数值，已经两角和的正切公式即可，属于常考题型.
12.设 是 的重心， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，若 ，则角 ( )
A. B. C. D.
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正弦定理，结合题中数据求出 ，即可得出结果.
【详解】因为 ， ， ，
由正弦定理 ，可得 ，
所以 或 ；且都满足 .
故选C
【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理即可，属于基础题型.
7.设 ， ，点 与 关于点 对称，点 与 关于点 对称，则向量 ( )
A. B. C. D.
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若sin(α+π)=34，则cos(α+π2)=()A. 34B. −34C. √74D. −√742.设A，B，C，D是空间不共面的四个点，且满足·=0，·=0，·=0，则△BCD的形状是()A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 无法确定3.设是两个非零向量，下列选项正确的是()A. 若，则B. 若，则C. 若，则存在实数，使得D. 若存在实数，使得，则4.已知平面向量a⃗=(3,1)，b⃗ =(x,3)，且a⃗⊥b⃗ ，则实数x的值为()A. 9B. 1C. −1D. −95.已知α是第一象限角，其终边与单位圆交点P的横坐标为13，绕坐标原点O将射线OP按逆时针方向旋转π3，所得射线与单位圆交于点Q，则点Q的纵坐标为()A. 2√3−16B. 2√2−36C. 2√6+16D. 2√2+√366.已知函数f(x)=sin(ωx−π6)+12(ω>0)，且f(α)=−12，f(β)=12，若|α−β|的最小值为3π4，则ω的值为()A. 1B. 13C. 23D. 27.设sin()=，sin2=()A. B. C. D.8.已知函数f(x)=sinx+sin(x+π3)，x∈[0,π]，则f(x)的值域为()A. [−√3,√3]B. [−√32,√3] C. [√32,√3] D. [−2,2]9. 已知空间四边形OABC 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ .点M 在OA 上，且OM =2MA ，点N 为△ABC 重心，则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. −13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. −16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 16OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −16OC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 16OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +16OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 10. 在△ABC 中，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2>AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABC 是( ) A. 不等边三角形 B. 三条边不全等的三角形 C. 锐角三角形D. 钝角三角形11. 已知与均为单位向量，它们的夹角为60°，那么+|等于A.B.C.D. 412. 如图是函数y =sin(ωx +φ)的图象的一部分，A ，B 是图象上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. 12π B. 19π2+1 C. 19π2−1 D. 13π2−1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−3,2)且k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −3b ⃗ 垂直，则k 的值为______ ． 14. 已知钝角α满足cosα=−35，则tan(α+π4)的值为______． 15. 计算cos210°=______．16. 已知平面内M ，N ，P ，Q 四点，其中N ，P ，Q 三点共线，且MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μMP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 函数f(x)=Asin(ωx −π6)+1(A >0,ω,0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，(1)求函数f(x)的解析式；(2)设α∈(0,π2)，则f(α2)=2，求α的值．18.在平面直角坐标系中，已知向量，，．(1)若，求tan x的值；(2)若与的夹角为，求的值．19.已知函数f(x)=(cosx+√3sinx)⋅sin(π2−x)+12．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；(2)求函数f(x)在区间[712π,56π]上的最小值以及取得该最小值时x的值．20.(1)已知角α的终边上有一点P的坐标是(3a,−4a)，其中a≠0，求2sinα+cosα．(2)已知sinθ+cosθ=1，θ∈(0,π)，求sinθ−cosθ的值．521.(10分)设向量，函数．(Ⅰ)求函数的最大值与最小正周期；(Ⅱ)求使不等式成立的的取值范围．22.设函数f(x)=x2+|x−a|，g(x)=a．x(1)当a=0时，解关于x的不等式f(x)>2；(2)求函数f(x)的最小值；(3)若∀t∈(0,2)，∃x∈R使f(x)=g(t)成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：解：若sin(α+π)=34=−sinα，则cos(α+π2)=−sinα=34，故选：A．由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．本题主要考查利用诱导公式化简式子，属于基础题．2.答案：C解析：【思路点拨】通过·，·，·的符号判断△BCD各内角的大小，进而确定出三角形的形状．解：·=(−)·(−)=·−·−·+=>0，同理·>0，·>0.故△BCD为锐角三角形．3.答案：C解析：试题分析：根据题意，由于是两个非零向量对于A.若，则，可知不垂直，对于B.若，则，两边平方不成立，对于C.若，则存在实数，使得成立，对于D.若存在实数，使得，则，只有方向相反的时候成立故答案为C。
湖南省长沙市雅礼中学2017-2018学年高一下期中考试数学试题
雅礼中学2017-2018学年度第二学期高一年级期中考试数学试卷一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}{}，，，，，，，，54323210==B A 则B A 中元素的个数为 A.2 B.3 C.4 D.52.已知角θ的终边与单位圆的交点为，，⎪⎪⎭⎫⎝⎛2321P 则θcos 等于 A.21 B.21- C.22- D.23 3.已知向量()()241，，-==k 且，⊥则实数k 的值为 A.21- B.21 C.2- D.2 4.设βαtan tan 、是方程0232=+-x x 的两根,则()βα+tan 的值为A.-3B.-1C.1D.35,在某学校图书馆的书架上随意摆放着有编号1、2、3、4、5的五本史书,若某同学从中任意选出两本史书,则选出的两本史书编号相连的概率为 A.101 B.51 C.21 D.52 6.已知非零向量==则的夹角大小为 A.65π B.32π C.3π D.6π 7.函数()x e e y x x sin -+=的部分图像大致为8.计算:=︒-⋅︒︒-20cos 180cos 10cos 12 A.22 B.21 C.23 D.22- 9.将函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 图像向右平移6π个单位,得到函数()x g 的图像,则下列说法不正确的是A.()x g 的周期为πB.236=⎪⎭⎫ ⎝⎛πg C.6π=x 是()x g 的一条对称轴 D.()x g 为奇函数 10.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:我有一壶酒,携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经三处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多少酒?其意思是:“诗人带着装有部分酒的壸去春游,先遇到酒店就将酒添加一倍，后遇到朋友饮酒一斗，如此三次先后遇到陋酉店和朋友,壶中酒恰好饮完问壶中原有多少酒?”用程序相图表达如图所示,即最终输出的0=x ,那么在这个空白框□可以填入A.1-=x xB.12-=x xC.x x 2=D.12+=x x11.如图,将45°直角三角板和30°角直角三角板拼在一起,其中45°角直角三角板的斜边与30°角直角三角板的角所对的直角边重合,若，DA y DC x DB +=则=+y xA.13+B.33+C.13-D.33-12.一个几何体的三视图图际,其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的体积为A.π334B.π38C.π316 D.π27332 二、填空题(毎小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.若一个扇形的圆心角为2,半径为1cm,则该扇形的面积为_______2cm .14.某餐厅的原料费支出x 与销售额y (单位:万元)之间有如下数据,根据表中提供的全部费用,用最小二乘法得出与的线形回归方程为，5.75.8+=∧x y 则表中的m 的值为_______.15.若[]，，π0∈θ则213sin ＞π⎪⎭⎫ ⎝⎛+θ成立的概率为_______. 16.已知函数()(]()()，，，，，⎩⎨⎧∞+∈-∞-∈-=222222x x f x x x x f 则方程()012sin =-+x x f π在[]66，-∈x 上所有实数根的和为_________.三、解答题17.(本小题满分10分)已知函数().cos sin R x x x x f ∈=，(1)求函数()x f 的最小正周期；。
2018-2019学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥﹣1}，则A ∩B ＝（ ）A ．（﹣1，1]B ．（﹣1，2）C ．∅D ．[﹣1，2]【答案】B【解析】直接利用交集的运算求解即可.【详解】解:因为A ＝{x |﹣1＜x ＜2},B ＝{x |x ≥﹣1},所以A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜2}.故选:B .【点睛】本题考查了交集的运算,属基础题.2．圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的表面积为（ ）A ．πB ．3πC ．2πD ．4π【答案】D【解析】根据圆柱表面积的计算公式直接求解即可.【详解】解:因为圆柱的底面半径为1,高为1,所以圆柱的表面积.221214S πππ=⨯+⨯⨯=故选:D .【点睛】本题考查了圆柱表面积的求法,属基础题.3．若点在直线：上，则直线的倾斜角为（ ）2)l 10ax y ++=l A ．B ．C ．D ．3045︒60︒120︒【答案】C【解析】由题意可得直线方程为：，210,a ++=∴=10y ++=据此可得，直线的倾斜角为.l 60︒本题选择C 选项.4．已知函数f (x )＝，若f (1)＝f (－1)，则实数1,0,0x x x a x -≤⎧⎨>⎩a =A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据题意，由f (1)＝f (－1)可得a ＝1－(－1)＝2，故选:B5．已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．m ⊂α，n ∥m ⇒n ∥α B ．m ⊂α，n ⊥m ⇒n ⊥αC ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ⇒α∥βD ．n ⊂β，n ⊥α⇒α⊥β【答案】D【解析】在A 选项中，可能有n ⊂α，故A 错误；在B 选项中，可能有n ⊂α，故B 错误；在C 选项中，两平面有可能相交，故C 错误；在D 选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D 正确．故选：D ．6．已知直线过定点，点在直线上，则:20l kx y k -+-=M (),P x y 210x y +-=的最小值是（ ）MPA B C D ．【答案】B 【解析】令直线的参数的系数等于零，求得定点的坐标，利用两点间的距离公式、l k M 二次函数的性质，求得的最小值.MP 【详解】直线，即，过定点，:20l kx y k -+-=()120k x y --+=()1,2M 点在直线上，，(),P x y 210x y +-=12y x ∴=-MP ∴===故当时，取得最小值为，故选B.15x =-MP【点睛】本题主要考查直线经过定点问題，两点间的距离公式的应用，二次函数的性质，属于中档题.7．设，，，若x ＞1，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）2(3x a =13(2x b -=23c log x =A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a【答案】B【解析】根据x ＞1,取x =2,则可以得到a ,b ,c 的具体值,然后比较大小即可.【详解】解:由x ＞1,取x =2,则,,,2(439x a ==123()23x b -==2233log log 20c x ==<所以.b ac >>故选:B .【点睛】本题考查了指数和对数大小的比较,解题的关键是根据条件取特殊值,属基础题.8．在正方体中，异面直线与所成角是（ ）1111ABCD A B C D -1A B AC A ．B ．C ．D ．3045︒60︒90︒【答案】C【解析】在正方体中，，1111ABCD A B C D -11//AC A C 所以即为所求（或其补角）.11B A C ∠连接，因为，所以.1B C 1111B C A C A B ==11B 60A C ∠=︒故选C.9．设两条直线的方程分别为x +y ﹣a ＝0、x +y +b ＝0，已知a 、b 是关于x 的方程x 2+x +c ＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离是（ ）A B C D ．无法确定【答案】C【解析】根据条件,由韦达定理可得,然后利用平行线间的距离公式求出距离.1a b +=-【详解】解:因为a 、b 是关于x 的方程x 2+x +c ＝0的两个实数根,所以,所以两直线间的距离.1a b +=-d ==故选:C .【点睛】本题考查了韦达定理和两平行直线间的距离,属基础题.10．已知函数在闭区间上的值域为[﹣1，3]，则满足题意的有序实数对22y x x =+[,]a b 在坐标平面内所对应点组成的图形为(,)a bA ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】∵y=x 2+2x=（x+1）2﹣1，∴可画出图象如图1所示．；由x 2+2x=3，解得x=﹣3或x=1；又当x=﹣1时，（﹣1）2﹣2=﹣1．①当a=﹣3时，b 必须满足﹣1≤b≤1，可得点（a ，b ）在坐标平面内所对应点组成图形的长度为|AB|=1﹣（﹣1）=2；②当﹣3＜a≤﹣1时，b 必须满足b=1，可得点（a ，b ）在坐标平面内所对应点组成图形的长度为|BC|=（﹣1）﹣（﹣3）=2．如图2所示：图2；故选：C．点睛：本题考查了二次函数在给定区间上的值域问题，值域是确定的，而定义域是变动的，解题关键是分辨清楚最大值是在左端点取到还是在右端点取到，问题就迎刃而解了. 11．已知函数y=f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠2}，且y=f（x+2）是偶函数，当x＜2时，f（x）=|2x﹣1|，那么当x＞2时，函数f（x）的递减区间是（）A．（3，5）B．（3，+∞）C．（2，+∞）D．（2，4]【答案】D【解析】试题分析：根据函数的奇偶性，推导出函数的对称性，再由题意和对称性求出函数的解析式，根据指数函数的图象画出函数大致的图形，可得到函数的减区间．解：∵y=f（x+2）是偶函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2），则函数f（x）关于x=2对称，则f（x）=f（4﹣x）．若x＞2，则4﹣x＜2，∵当x＜2时，f（x）=|2x﹣1|，∴当x＞2时，f（x）=f（4﹣x）=|24﹣x﹣1|，则当x≥4时，4﹣x≤0，24﹣x﹣1≤0，此时f（x）=|24﹣x﹣1|=1﹣24﹣x=1﹣16×，此时函数递增，当2＜x≤4时，4﹣x＞0，24﹣x﹣1＞0，此时f（x）=|24﹣x﹣1|=24﹣x﹣1=16×﹣1，此时函数递减，所以函数的递减区间为（2，4]，【考点】奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质．12．设函数，若的图像上有四个不同的点、21(0)()ln 2(0)a x y f x xx x x ⎧+<⎪==⎨⎪->⎩()y f x =A 、、同时满足：①、、、、（原点）五点共线；②共线的这条直B C D A B C D O 线斜率为，则的取值范围是（）3-a A ．B ．C ．D．)+∞(4)-∞，(-∞-，(4)+∞，【答案】A 【解析】由题过、、、、的直线，当时，记A B C D O y 3x =-x 0>()2g ln 2x x x =-，则()241g'x x x-+=在上单调递增，单调递减，与有两个交点、。
2018-2019学年湖南省长沙市雅礼中学高一(下)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年湖南省长沙市雅礼中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.sin390°=（）A. B. C. D.2.若cosθ＞0，sinθ＜0，则角θ的终边所在的象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.如图，正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么=（）A.B.C.D.4.若，，，则与的夹角是（）A. B. C. D. 1505.cosα=-，α∈（，π），sinβ=-，β是第三象限角，则cos（β-α）=（）A. B. C. D.6.函数y=A sin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A.B.C.D.7.若点P（cosα，sinα）在直线y=-2x上，则sin2α+cos（2α+）=（）A. 0B.C.D.8.定义运算：，如1*2=2，则函数f（x）=sin x*cos x的值域为（）A. B. C. D.9.已知平面上不共线的四点O，A，B，C．若+2=3，则的值为（）A. B. C. D.10.已知向量，满足，，，，则的值为（）A. 1B. 2C.D.11.△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上的一点（包括端点），则•的取值范围是（）A. B. C. D.12.函数f（x）=cos2x-2sin x cosx下列命题中正确的是（）（1）若存在x1，x2有x1-x2=π时，f（x1）=f（x2）成立（2）f（x）在[-，]是单调递增（3）函数f（x）关于点（，0）成中心对称图象（4）将函数f（x）的图象向左平移个单位后将与y=2sin2x重合．A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x∈R，向量=（x，1），=（1，-2），且，则x=______．14.在△ABC中，若tan A=，tan B=，则∠C=______．15.已知sin（+α）=，则cos（）=______．16.如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，C为弧上的一个动点，若，则x-y的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f（x）=sin x+sin（x+），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的最大值和最小值；（3）若f（α）=，求sin 2α的值．18.已知，，与的夹角为．（Ⅰ）求||；（Ⅱ）若与的夹角为钝角，求实数λ的取值范围．19.如图，在平面直角坐标系xOy中，以x为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A，B两点．已知A，B的横坐标分别为，．（1）求tan（α+β）的值；（2）求2α+β的值．20.已知向量=（，1），=（cos，），记f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位得到y=g（x）的图象，讨论函数y=g（x）-k在，的零点个数．21.如图，平面四边形ABCD中，AB=13，AC=10，AD=5，，．（1）求cos∠BAD；（2）设，求、的值．22.某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD，已知草坪长AB=100米，宽BC=50米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE、HF和EF，并要求H是CD的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EHF为直角，如图所示．（Ⅰ）设∠CHE=x（弧度），试将三条路的全长（即△HEF的周长）L表示成x的函数，并求出此函数的定义域；（Ⅱ）这三条路，每米铺设预算费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用（结果保留整数）（可能用到的参考值：取1.732，取1.414）．答案和解析1.【答案】A【解析】解：sin390°=sin （360°+30°）=sin30°=， 故选：A ．由 sin390°=sin （360°+30°），利用诱导公式可求得结果．本题考查诱导公式的应用，把sin390°化为sin （360°+30°） 是解题的关键． 2.【答案】D【解析】解：由题意，根据三角函数的定义sinθ=＜0，cosθ=＞0 ∵r ＞0，∴y ＜0，x ＞0． ∴θ在第四象限， 故选：D ．利用三角函数的定义，可确定y ＜0，x ＞0，进而可知θ在第四象限． 本题以三角函数的符号为载体，考查三角函数的定义，属于基础题． 3.【答案】D【解析】解：因为点E 是CD 的中点，所以=，点得F 是BC 的中点，所以==-，所以=+=，故选：D ．由题意点E ，F 分别是DC ，BC的中点，求出，，然后求出向量即得．本题考查向量加减混合运算及其几何意义，注意中点关系与向量的方向，考查基本知识的应用．4.【答案】A【解析】解：，可得：，cos=．则与的夹角为30°．故选：A ．直接利用向量的数量积转化求解向量的夹角即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力． 5.【答案】A【解析】解：由题意，故sinα＞0 所以sinα==，同理，β是第三象限角，可得cosβ=由两角差的余弦公式可得：cos （β-α）=cosβcosα+sinβsinα ==故选：A ．由公式sin 2α+cos 2α=1结合角αβ所在象限，可得sinα，cosβ，然后代入两角差的余弦公式可得答案．本题为两角和与差的三角函数公式的应用，熟练运用公式是解决问题的关键，属基础题． 6.【答案】A【解析】解：由已知可得函数y=Asin （ωx+ϕ）的图象经过（-，2）点和（-，2）则A=2，T=π即ω=2则函数的解析式可化为y=2sin （2x+ϕ），将（-，2）代入得-+ϕ=+2kπ，k ∈Z ， 即φ=+2kπ，k ∈Z ，当k=0时，φ=此时故选：A ．根据已知中函数y=Asin （ωx+ϕ）在一个周期内的图象经过（-，2）和（-，2），我们易分析出函数的最大值、最小值、周期，然后可以求出A ，ω，φ值后，即可得到函数y=Asin （ωx+ϕ）的解析式．本题考查的知识点是由函数y=Asin（ωx+ϕ）的部分图象确定其解析式，其中A=|最大值-最小值|，|ω|=，φ=L•ω（L是函数图象在一个周期内的第一点的向左平移量）．7.【答案】D【解析】解：点P（cosα，sinα）在直线y=-2x上，∴sinα=-2cosα，即tanα=-2，则sin2α+cos（2α+）=sin2α-sin2α====，故选：D．利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：根据信息：定义运算：，则：函数f（x）=sinx*cosx=，所以：根据函数的图象和性质的应用，当sinx＞cosx时，函数的值域为：[]，当cosx≤sinx时，函数的值域为：[-1，1}，故函数的值域为：[-1，1}．故选：A．函数的图象和性质的应用，主要考察分段函数的应用．本题考查的知识要点：函数的图象和性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】解：∵∴移项整理，得．∵，∴，∴由此可得==．故选：A．根据变形，化简整理可得，由此代入即可得到的值．本题给出平面内不共线四个点满足的向量等式，求两个向量模的比值，着重考查了向量的加法及其几何意义和向量的模性质等知识，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：∵，∴，∴=2．∵，∴，化为，∴，解得．故选：B．利用向量的数量积运算即可得出．本题考查了向量的数量积运算，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：∵D是边BC上的一点（包括端点），∴可设=+（0≤λ≤1）．∵∠BAC=120°，AB=2，AC=1，∴=2×1×cos120°=-1．∴•=[+]•=-+=-（2λ-1）-4λ+1-λ=-7λ+2．∵0≤λ≤1，∴（-7λ+2）∈[-5，2]．∴•的取值范围是[-5，2]．故选：D．由于D是边BC上的一点（包括端点），利用向量共线定理：可设=+（0≤λ≤1）．由∠BAC=120°，AB=2，AC=1，可得=2×1×cos120°=-1．代入利用数量积运算性质即可得出•=-7λ+2．再利用一次函数的单调性即可得出．本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、一次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：f（x）=cos2x-2sinxcosx=cos2x-=，所以函数f（x）的周期为：，①所以：若存在x1，x2有x1-x2=π时，所以：x1=π-x2则：f（x1）=f（x2）成立．②令：（k∈Z）解得：所以函数的单调递减区间为：[] 所以：f（x）在[-，]是单调递增不成立．③令：（k∈Z）解得：x=当k=0时，函数f（x ）关于点（，0）成中心对称图象．④将函数的图象向左平移得到y=故与y=2sin2x重合相矛盾．则：（1）和（3）正确．故选：B．首先把函数的关系式通过恒等变换变换成余弦型函数，进一步利用余弦型函数的性质求出函数的周期，对称中心，及单调区间．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用三角函数的性质求单调区间周期，及函数图象的平移问题，属于基础题型．13.【答案】2【解析】解：x∈R ，向量=（x，1），=（1，-2），且，可得：x-2=0，解得x=2．故答案为：2．利用向量垂直，列出方程求解即可．本题考查向量的垂直的充要条件的应用，是基础题．14.【答案】135°【解析】解：由题意可得tanC=-tan（A+B）=-=-=-1，又∵C为三角形的内角，∴C=135°故答案为：135°由题意tanC=-tan（A+B）=-，代值结合角的范围可得．本题考查两角和与差的正切函数公式，属基础题．15.【答案】-【解析】解：因为 cos （-α）=sin（+α）=，∴cos（）=2-1=2×-1=-，故答案为-．因为cos （-α）=sin（+α）=，利用二倍角公式求得cos （）的值．该题主要考查诱导公式和余弦的二倍角公式，还要求学生能够感受到cos （-α）与sin（+α）中的角之间的余角关系，属于中档题．16.【答案】[-1，1]【解析】解：设半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系，其中A（，）；B（1，0）；C（cosθ，sinθ）（其中∠BOC=θ（0≤θ≤）有若=（cosθ，sinθ）=x （，）+y（1，0）；整理得：x+y=cosθ；x=sinθ，解得x=，y=cosθ-，则x-y=-cosθ+=sinθ-cosθ=2sin（θ-），其中（0≤θ≤）；易知x-y=-cosθ+=sinθ-cosθ=2sin（θ-），为增函数，由单调性易得其值域为[-1，1]故答案为：[-1，1]建立平面直角坐标系利用设参数用三角函数求解最值即可．本题着重考查了平面向量基本定理、向量的线性运算法则等知识，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵=∴函数f（x）=sin x+sin（x+）的最小正周期是2π．（2）∵x∈R，-1≤sin x≤1（2）=∴f（x）的最大值为，最小值为…（8分）（3）∵f（α）=sinα+sin（α+）=sinα+cosα=∴（sinα+cosα）2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+sin2α=∴sin2α=-1=【解析】（1）根据诱导公式可求出函数的解析式，推断f（x）的最小正周期是2π（2）依上问f（x）=2sinx，根据正弦函数的性质推断f（x）的最大值是2，最小值是-2．（3）把α代入函数式，两边平方可得答案．本题主要考查三角函数中诱导公式的使用．做题时注意灵活运用和差化积、倍角公式等公式．18.【答案】解：（Ⅰ），∴，（Ⅱ）依题意得：＜，即＜，∴λ2+3λ+1＜0，解得：＜＜，又当与的夹角为180°时，设且μ＜0，∵ 与不共线，∴ 得λ=-1，∵与的夹角为钝角，∴＜＜且λ≠-1，即＜＜或＜＜．【解析】（Ⅰ）由||2=代入即可求解；（Ⅱ）由与的夹角为钝角，可知，去掉向量共线的情况即可求解．本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解答的关键是性质的熟练掌握，属于中档试题19.【答案】解：（1）由已知得：，．∵α，β为锐角，∴，．∴，．∴ ．（2）∵，∴ ．∵α，β为锐角，∴＜＜，∴．【解析】（1）先求出两个锐角α，β的余弦，再利用同角三角函数的关系求出其正弦，进而利用商数关系得到两角的正切值，代入正切的和角公式求值．（2）同（1）先用正切的和角公式求出2α+β的正切，再根据其正切值求2α+β的值，再确定其值前要先确定2α+β的取值范围．本题考查两角和与差的正切函数，求解的关键是利用公式求出角的正切值，再求角．本题中涉及到了三角函数中的多个公式，变形灵活，做题时要注意转化正确．本题考查了转化化归的思想．20.【答案】解：（1）∵向量=（，1），=（cos，），记f（x）=．∴f（x）=•cos+=sin+cos+=sin（+）+，∴最小正周期T==4π，2kπ-≤+≤2kπ+，则4kπ-≤x≤4kπ+，k∈Z．故函数f（x）的单调递增区间是[4kπ-，4kπ+]，k∈Z；（2）∵将函数y=f（x）=sin（+）+的图象向右平移个单位得到函数解析式为：y=g（x）=sin[（x-+）]+=sin（-）+，∴则y=g（x）-k=sin（x-）+-k，∵x∈[0，]，可得：-≤x-≤π，∴-≤sin（x-）≤1，∴0≤sin（x-）+≤，∴若函数y=g（x）-k在[0，]上有零点，则函数y=g（x）的图象与直线y=k在[0，]上有交点，∴实数k的取值范围是[0，]．∴当k＜0或k＞时，函数y=g（x）-k在，的零点个数是0；当0≤k＜1时，函数y=g（x）-k在，的零点个数是2；当k=0或k=时，函数y=g（x）-k在，的零点个数是1．【解析】（1）通过平面向量数量积的运算，三角函数的恒等变形得到f（x）=sin （+）+，根据正弦函数的性质求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）先求得y=g（x）-k的解析式，从而可求g（x）的值域，由函数y=g（x）的图象与直线y=k在的上有交点，可得实数k的取值范围．本题是中档题，考查向量的数量积的应用，三角函数的化简求值，函数的单调增区间的求法，函数零点的判断方法，考查计算能力．21.【答案】解：（1）设∠CAB=α，∠CAD=β，，，∴ ，，…．（3分）∴cos∠BAD=cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=…..（6分）（2）由得：…．（8分）∴ …..（10分）解得：，．…（12分）【解析】（1）设∠CAB=α，∠CAD=β，由AB=13，AC=10，．可得α的余弦值，又由，分别求出两个角的正弦值，代入两角和的余弦公式，可得答案．（2）若，则，结合AD=5，及（1）中结论，可得x、y值．本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，熟练掌握平面向量夹角公式及数量积公式是解答的关键．22.【答案】解：（Ⅰ）∵在Rt△CHE中，CH=50，∠C=90°，∠CHE=x，∴HE=在Rt△HDF中，HD=50，∠D=90°，∠DFH=x，∴HF=．又∠EOF=90°，∴EF=，∴三条路的全长（即△HEF的周长）L=．当点F在点D时，这时角x最小，求得此时x=；当点E在C点时，这时角x最大，求得此时x=．故此函数的定义域为[，]；（Ⅱ）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长L的最小值即可．由（Ⅰ）得L=，x∈[，]，设sin x+cos x=t，则sin x cosx=，∴L=由t=sin x+cos x=，x∈[，]，得，从而+1≤≤+1，当x=，即CE=50时，L min=100（），所以当CE=DF=50米时，铺路总费用最低，最低总费用为96560元．【解析】（Ⅰ）要将△HEF的周长L表示成x的函数关系式，需把△HEF的三边分别用含有x的关系式来表示，从而可求．（Ⅱ）要求铺路总费用最低，只要求△HEF的周长L的最小值即可．利用换元法，从而转化为求函数在闭区间上的最小值．本题主要考查了借助于三角函数解三角形在实际问题中的应用，考查了利用数学知识解决实际问题的能力，及推理运算的能力．。
2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷word文档逐题详解
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在数列中，若，，则（）A. 16B. 17C. 18D. 19 【答案】B【解析】【分析】根据递推关系依次求对应项.【详解】因为，，所以，所以.选B. 【点睛】本题考查由递推关系求项，考查基本求解能力，属基础题.2.在中，角,,所对的边分别是，，，若，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理求解.【详解】因为，所以,选C.【点睛】本题考查正弦定理，考查基本求解能力，属基础题.3.不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式即得结果.【详解】因为，所以，解得.选D.【点睛】本题考查解一元二次不等式，考查基本求解能力，属基础题.4.若，，则与的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作差后因式分解，即可判断大小.【详解】因为，，所以，即,选A.【点睛】本题考查作差法比较大小，考查基本分析判断能力，属基础题.5.记等差数列的前项和为，若，，则（）A. 36B. 72C. 55D. 110 【答案】C【解析】【分析】根据等差数列前n项和性质得，再根据等差数列性质求.【详解】因为，所以，因为，所以，因为，所以.选C.【点睛】本题考查等差数列前n项和性质以及等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.6.在中，角,,所对的边分别是，，，若，则的形状是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】先根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式以及二倍角公式化简得角的关系，最后根据角的关系确定三角形形状.【详解】因为，所以，所以，从而.因为，,所以或，即或，故是等腰三角形或直角三角形.选D.【点睛】本题考查正弦定理、两角和正弦公式以及二倍角公式，考查基本分析求解能力，属中档题.7.设满足约束条件，则的最小值为（）A. -5B. -1C. 5D. 11 【答案】A【解析】【分析】作可行域，结合目标函数所表示的直线确定最优解，解得结果.【详解】作出可行域，当直线经过点时，.选A.【点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.8.在正项等比数列中，，则（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】D【解析】【分析】根据对数运算法则以及等比数列性质求解.【详解】因为，所以.选D.【点睛】本题考查对数运算法则以及等比数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 9.在中，角,,所对的边分别是，，，若，，则面积的最大值为（）A. 4B.C. 8D.【答案】B【解析】【分析】先根据余弦定理得，再利用基本不等式得，最后根据三角形面积公式得结果.【详解】由余弦定理可得，因为,，所以，因为，所以，即，故的面积为.选B.【点睛】本题考查余弦定理以及基本不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.10.等比数列的前项和为，若，，则（ ）A. 20B. 10C. 20或-10D. -20或10 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列和项性质列式求解. 【详解】因为等比数列的前项和为,所以成等比数列， 因为,所以，解得或，因为，所以，则.选A.【点睛】本题考查等比数列和项性质，考查基本分析求解能力，属中档题.11.已知函数，若对任意的正数，满足，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8C. 12D. 24【答案】C 【解析】 【分析】先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得，最后根据基本不等式求最值 【详解】因为所以定义域为，因为，所以为减函数因为，,所以为奇函数，因为，所以，即，所以，因为，所以（当且仅当，时，等号成立），选C.【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.12.在中，，为边上的一点，且，若为的角平分线，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据正弦定理用角A,C表示，再根据三角形内角关系化基本三角函数形状，最后根据正弦函数性质得结果.【详解】因为，为的角平分线，所以，在中，，因为，所以，在中，，因为，所以，所以，则,因为，所以,所以，则，即的取值范围为.选A.【点睛】本题考查函数正弦定理、辅助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.在等差数列，，，则公差______．【答案】3【解析】【分析】根据等差数列公差性质列式得结果.【详解】因为，，所以.【点睛】本题考查等差数列公差，考查基本分析求解能力，属基础题.14.若，则的最小值为______．【答案】8【解析】【分析】根据基本不等式求最值.【详解】因为，所以, 当且仅当时取等号,即的最小值为8.【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.15.数列满足，则数列前6项和为_______．【答案】84【解析】【分析】根据分组求和法以及等差数列与等比数列前n项和公式求解.【详解】因为，所以.【点睛】本题考查分组求和法以及等差数列与等比数列前n项和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.16.已知甲船位于小岛的南偏西的处，乙船位于小岛处，千米，甲船沿的方向以每小时6千米的速度行驶，同时乙船以每小时8千米的速度沿正东方向匀速行驶，当甲、乙两船相距最近时，他们行驶的时间为_____小时．【答案】【解析】【分析】根据方位角的定义，可知= ，设出时间为t，则可表示出，，根据余弦定理可求出两船之间的距离表达式，进而可求出距离最小值及对应的时间t。