2021年安徽省高考数学重难点热点复习:圆锥曲线
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
2021年安徽省高考数学重难点热点复习:圆锥曲线
1.已知椭圆C :
x 2a +
y 2b =1(a >b >0)过点(√2,
√6
2
),且离心率为e =12
,若△PMN 为椭
圆C 的内接三角形,且MN ⊥x 轴,设直线PM ,PN 与x 轴的交点分别为G ,H ,(O 为原点)
(1)求椭圆C 的方程;
(2)求|OG |2+|OH |2的最小值,并求出此时点P 的坐标.
【解答】解:(1)由题意得{ 2a 2+(√
6
2)2
b 2=1
c a =12
a 2=
b 2+
c 2
, 解得 {a =2b =√3,c =1 因此椭圆C 的方程为 x 24+y 2
3
=1.
(2)设点 M (x 1,y 1),N (x 1,﹣y 1),P (x 2,y 2), 直线 PM 的斜率为 k PM =y 2−y
1x 2−x 1
,
直线 PM 的方程为 y −y 1=y 2−y 1x 2−x 1(x −x 1), 令 y =0,解得 x =x 1y 2−x 2y 1
y 2−y 1
, 则点 G(x 1y 2−x 2
y 1
y 2−y 1,0),同理可得点 H(x 1y 2+x 2
y 1
y 2+y 1
,0),
∴x 1y 2−x 2y 1y 2−y 1
⋅
x 1y 2+x 2y 1y 2+y 1
=
x 12y 22−x 22y 1
2y 22−y 1
2=
(4−4y 123)y 22−(4−4y 223
)y 1
2y 22−y 1
2=4,
∴|OG|2+|OH|2=(x 1y 2−x 2y
1y 2−y 1)2+(x 1y 2+x 2y
1y 2+y 1
)2≥2|
x 1y 2−x 2y 1y 2−y 1⋅x 1y 2+x 2y 1
y 2+y 1
|=8. 当且仅当|OG |=|OH |时,即点 P 为椭圆长轴端点时,|OG |2+|OH |2取最小值 8,此时点 P 的坐标为 (±2,0).
2.如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆
x 2a 2
+
y 2b 2
=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1
(﹣c ,0),F 2(c ,0).已知(1,e )和(e ,√3
2
)都在椭圆上,其中e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程;
(2)设A ,B 是椭圆上位于x 轴上方的两点,且直线AF 1与直线BF 2平行,AF 2与BF 1
交于点P . (i )若AF 1﹣BF 2=
√6
2
,求直线AF 1的斜率;
(ii )若S △APF 1=9S △BPF 2,求直线BF 2的斜率;
【解答】解:(1)由题设知,a 2=b 2+c 2,e =c
a
, 由点(1,e )在椭圆上,得
12a 2
+
e 2b 2
=1,即
1
a 2
+
c 2a 2b 2
=1,
即有b 2+c 2=a 2b 2,则a 2=a 2b 2,则b 2=1,c 2=a 2﹣1,
由点(e ,√3
2)在椭圆上,得e 2
a 2+
3
4b 2
=1,即
c 2
a 4
+
34
=1,
即有
a 2−1a =14,可得a 4﹣4a 2
+4=0,解得a 2=2,
则椭圆的方程为
x 22
+y 2=1.
(2)由(1)得F 1(﹣1,0),F 2(1,0),又AF 1∥BF 2, 可设AF 1、BF 2的方程分别为my =x +1,my =x ﹣1,m >0, A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),y 1>0,y 2>0.
联立{x 122+y 12=1my 1
=x 1
+1
,化为(2+m 2)y 12﹣2my 1﹣1=0,解得y 1=m+√2+2m 22+m 2, 可得|AF 1|=√(x 1+
1)2
+(y 1−
0)2
=√(my 1
)2
+y 12
=√1+
m 2
•
m+√2+2m 2
2+m 2
=
√2(1+m 2)+m√1+m 2
2+m ,①
同理可得,|BF 2|=
√2(1+m 2)−m √1+m 2
2+m 2
②
(i )由①②得,|AF 1|﹣|BF 2|=2m √1+m 22+m 2
=√6
2,
解得m 2=2,
注意到m >0,则m =√2,