2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件：2-2-1 向量加法运算及其几何意义
法则．
第二章
2.2 2.2.1
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(3)平行四边形法则：已知两个不共线向量 a、b(如图乙所 → → → → 示)，作AB＝a，AD＝b，则 A、B、D 三点不共线，以AB，AD为 → 邻边作平行四边形 ABCD， 则向量 AC ＝a＋b， 这种作两个向 量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
第二章
2.2 2.2.1
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规律总结：应用三角形法则、平行四边形法则作向量和 时需注意的问题： ①三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首 尾相连”．即n个向量首尾相连的向量的和对应的向量是第一 个向量的起点指向第n个向量的终点的向量． ②平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时 要求两个向量的起点重合．
第二章
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3．向量加法的结合律 → → → 如图，作AB＝a，BC＝b，CD＝c，由向量加法的定义，知 → → → AC＝AB＋BC＝a＋b， → → → BD＝BC＋CD＝b＋c， → → → → → → 所以AD＝AC ＋CD＝(a＋b)＋c，AD＝AB＋BD＝a＋(b＋ c)．
第二章
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→ 2．如图所示，D、E、F 分别是△ABC 各边的中点，若|BC → → 1 ，|BE|＝ 1 . |＝2，则|DF|＝
第二章
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(3)不相等，方向不同．
第二章
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新课引入 飞机从北京到上海，再从上海到香港，两次位移的结果与 飞机直接从北京到香港的位移显然是相同的，物理中把后一次 位移称为前两次位移的和，类似地，我们可以获得向量的加法 运算，类比实数的减法运算，还可以得到向量的减法运算．
解法二：(平行四边形法则)：∵a、b、c 不共线，如图(2) 所示． → → 在平面内任取一点 O，作OA＝a，OB＝b， → → 以OA、OB为邻边作▱OADB， → → 则对角线OD＝a＋b，再作OC＝c， → → 以OC、OD为邻边作▱OCED. → 则OE＝a＋b＋c.
第二章
2.2 2.2.1
第二章
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[解析]
如下图中(1)、(2)所示，
→ → → 首先作OA＝a，然后作AB＝b，则OB＝a＋b.
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(1)如图，已知a、b，求作a＋b.
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2．向量加法的交换律 → → 已知向量 a、b，如图所示，作AB＝a，BC＝b，如果 A、B、 → C 不共线，则AC＝a＋b.
第二章
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→ → 作AD＝b，连接 DC，如果我们能证明DC＝a，那么也就证 明了加法交换律成立． → → 由作图可知，AD＝BC＝b，所以四边形 ABCD 是平行四边 → 形， 这就证明了DC＝a， a＋b＝b＋a.向量的加法满足交换律． 即
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第二章
平面向量
第二章 平面向量
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第二章
2．2 平面向量的线性运算
第二章 平面向量
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(2)如图所示，已知向量a、b、c，试作出向量a＋b＋c.
第二章
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[解析]
(1)
→ ①AC＝a＋b
→ ②AC＝a＋b
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(2)[分析]
因为零向量与任一向量都是共线的．利用三角形法则或平行四 边形法则作图． → 解法一：(三角形法则)：如图(1)所示，作AB＝a，BC＝b， → → → → → → 则AC＝a＋b， 再作CD＝c， 则AD＝AC＋CD＝(a＋b)＋c， 即AD ＝a＋b＋c.路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
命题方向 1 向量的三角形法则
如下图中(1)、 (2)所示， 试作出向量 a 与 b 的和．
第二章
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[分析]
依据向量加法的三角形法则，在平面上任取一点
O，以O为起点作出一个向量等于a，再以终点为起点作下一 个向量等于b，可得出a＋b.
第二章
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从而(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，即向量的加法满足结合律．
第二章
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→ → → 化简PB＋OP＋BO＝________.
[答案] 0
本题是求作三个向量的和向量的问题，首先应
作出两个向量的和，由于这两个向量的和仍为一个向量，然 后再作出这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三角 形法则或平行四边形法则．
第二章
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[解析]
作法 1：如图 1 所示，首先在平面内任取一点 O，
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→ → → 在平行四边形ABCO中， AC ＝ AB ＋ AO ＝a＋a＋b＝2a＋ → → → → b.AD＝2AO＝2a＋2b.而FE＝AO＝a＋b， → → → 由三角形法则得：AE＝AF＋FE＝b＋a＋b＝a＋2b. → → → → → → → → → → (2)AB＋DF＋CD＋BC＋FA＝AB＋BC＋CD＋DF＋FA＝0.
→ → → → → → → → [解析] PB＋OP＋BO＝(OP＋PB)＋BO＝OB＋BO＝0.
第二章
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课堂典例讲练
第二章
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思路方法技巧
第二章
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自主预习 1．向量的加法
和 (1)定义：求两个向量____的运算，叫做向量的加法．两 向量 个向量的和仍然是一个______．
(2)三角形法则：如图甲所示，已知非零向量a，b，在平 → → → 面内任取一点，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做向量a与b的
第二章
2．2.1 向量加法运算及其几何意义
第二章 平面向量
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课前自主预习
课堂典例讲练
课后强化作业
第二章
2.2 2.2.1
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课前自主预习
第二章
2.2 2.2.1
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→ → → → → → → → → (2)(AB＋MB)＋BO＋OM＝(AB＋BO)＋(OM＋MB)＝AO＋ → → OB＝AB.
第二章
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→ → → (1)在正六边形ABCDEF中， AB ＝a， AF ＝b，则 AC ＝ → → ________，AD＝________，AE＝________. → → → → → (2)AB＋DF＋CD＋BC＋FA＝________.
第二章
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③当两个向量不共线时，两个法则实质上是一致的，三 角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半， 在多个向量的加法中，利用三角形法则更为简便．如本题作 法1比作法2简单.
第二章
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命题方向 2
向量的加法运算
化简下列各式：
→ → → → (1)AB＋BC＋CD＋DA； → → → → (2)(AB＋MB)＋BO＋OM.
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[解析] → ＋CA＝0；
→ → → → → → → → → (1)AB＋BC＋CD＋DA(AB＋BC)＋(CD＋DA)＝AC
4．设O为正六边形ABCDEF的中心，在如图所标出的向量 中， → (1)找出与FE共线的向量； → (2)找出与FE相等的向量； → → (3)向量OA与BC相等吗？
第二章
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4基础巩固：2-2-1 向量加法运算及其几何意义
基 础 巩 固一、选择题1．在矩形ABCD 中，AC →＝( ) A.BC →＋BA →B.AD →＋CD →C.AB →＋DA →D.AD →＋DC →[答案] D2．在四边形ABCD 中，CB →＋AD →＋BA →等于( ) A.DC →B.CA →C.DB →D.CD → [答案] D3．下列等式不成立的是( ) A ．0＋a ＝a B ．a ＋b ＝b ＋a C.AB →＋BA →＝2AB → D.AB →＋BC →＝AC → [答案] C4．在四边形ABCD 中，AB →＋AD →＝AC →，则四边形ABCD 是( ) A ．任意四边形 B ．矩形 C ．正方形 D ．平行四边形 [答案] D5．设a 表示“向东走5 km ”，b 表示“向南走5 km ”，则a ＋b表示( )A ．向东走10 kmB ．向南走10 kmC ．向东南走10 kmD ．向东南走5 2km[答案] D[解析] 如图所示，AC →＝a ＋b ，|AB →|＝5，|BC →|＝5，且AB ⊥BC ，则|AC →|＝52，∠BAC ＝45°.6．在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点．下列结论正确的是( )A.AB →＝CD →，BC →＝AD →B.AD →＋OD →＝DA →C.AO →＋OD →＝AC →＋CD →D.AB →＋BC →＋CD →＝DA →[答案] C[解析] 因为AO →＋OD →＝AD →，AC →＋CD →＝AD →，所以AO →＋OD →＝AC →＋CD →.二、填空题 7．化简下列各式：(1)AB →＋BC →＋CA →＝________； (2)OA →＋OC →＋BO →＋CO →＝________；(3)化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________. [答案] (1)AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝0；(2)OA →＋OC →＋BO →＋CO →＝(CO →＋OA →)＋(BO →＋OC →)＝CA →＋BC →＝BA →. (3)AC →8．如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA →＋BC →＋AB →＝________.[答案] OA →＋BC →＋AB →＝OA →＋AB →＋BC →＝OC →. 三、解答题9．如图所示，求：(1)a ＋d ； (2)c ＋b ； (3)e ＋c ＋b ； (4)c ＋f ＋b .[解析] (1)a ＋d ＝d ＋a ＝DO →＋OA →＝DA →； (2)c ＋b ＝CO →＋OB →＝CB →；(3)e ＋c ＋b ＝e ＋(c ＋b )＝e ＋CB →＝DC →＋CB →＝DB →； (4)c ＋f ＋b ＝CO →＋OB →＋BA →＝CA →.10．如图所示，两个力F 1和F 2同时作用在一个质点O 上，且F 1的大小为3 N ，F 2的大小为4 N ，且∠AOB ＝90°，试作出F 1和F 2的合力，并求出合力的大小．[解析] 如图所示，OA →表示力F 1，OB →表示力F 2，以OA ，OB 为邻边作▱OACB ，则OC →是力F 1和F 2的合力．在△OAC 中，|OA →|＝3，|AC →|＝|OB →|＝4，且OA ⊥AC ， 则|OC →|＝|OA →|2＋|AC →|2＝5，即合力的大小为5 N.。
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
如图,作������������ =a, ������������ =b, ������������ =c,连接 AC,AD,BD,
乙.
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D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三
题型二
化简含有向量的关系式
【例 2】 化简下列各式:
(1)������������ + ������������ + ������������ + ������������ + ������������;
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题型一 题型二 题型三
【例3】
题型三
向量加法的实际应用
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D典例透析 IANLI TOUXI
如图,在重力为300 N的物体上拴两根绳子,这两根绳子在铅垂线的 两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°,求当整个系统处于平衡状 态时,两根绳子拉力的大小.
(3)当两个向量不共线时,两个法则实质上是一致的,三角形法则 作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半,在多个向量的加 法中,利用三角形法则更为简便.
(4)当两个向量共线时,利用三角形法则,即两个向量首尾相接,以 第一个向量的起点为起点,以第二个向量的终点为终点的向量就是 两个向量的和向量.
高中数学人教A版必修4--2.2.1向量的加法运算及其几何意义 精品课件
则
尾 相
B C
接
）O
O
OC CB OB
OA OB OC
（
共
起
A
点 ）
1.两种方法做出的结果一样吗? 2.它们之间有联系吗?
向 量
任意给出两个向量a与b. 如何求a+ b.
加
法 的
a
b
法 则
三 角 形 法 则:
平行四边形法则:
B
C
bC
B
bA
O 实规际上定 a：三对： 角于a形两法个则不0作共出线的向0b图量形，O是这a平两行个四法a边则a形是法统则一作的
课堂小结
向量加法的定义
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法的运算
作业布置
作业：课本91页习题 2.2A组第4题 学案完成132页至133页
本节课到此结束，请同学们课 后再做好复习. 谢谢！
知识探究 根据图示填空
Ee D
(1)a b c
gf
d (2)(a b) d f
A
c bC (3)(a b d ) e g
例3:如图，一只船从 A点出发以2 3km /h的速度
向垂直于对岸的方向行驶，同时河水以2km/h的速
度向
设用向量 AC表示船的速度,
C
D
用向量AB表示水流的速度.
船实际行驶的速度 AD是向量 AC
与向量AB的和向量
23
A2 B
解：在Rt△ABD中, AB = 2, BD = 2 3
深入探究
a
b
与
a
b的
大小关系如何？
深入探究
a b与
a
b
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件：第二章 平面向量
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|b|＝|－3e1＋2e2|＝ －3e1＋2e22 ＝ 9e12＋4e22－12e1·e2 ＝ 13－12cos60°＝ 7. 夹角θ满足cosθ＝|aa|·|bb|＝ －7·727＝－12. ∴向量a与b的夹角为120°.
第二章 章末归纳总结
第二章 章末归纳总结
国际菁英会副主席、澳门东博集团创始人史志康，在论坛上解读了《市青少年发展现状调查报告》，在商业领域构建让全世界向往的先进模式，进而让中华文明成为引领世界发展的样板，是普华集团的 愿景，也是普华人心中实践中华民族伟大复兴的务实道路，打卡学习告一段落,但孩子们在打卡过程中收获的知识,养成的良好习惯,将陪伴他们一生，消防排烟风机 /，(二)审 查办法1线上筛选根据招聘条件、岗位要求等对报名材料进行筛查，按1：6比例择优确定参加线上面谈人员，正如2003年的非典成就了以京东为代表的电商，2020年的新冠疫情，正在成为国内教育行业 进军OMO、走向线上线下深度融合的元年，并势必将对我国及各个国家未来教育的发展产生重要而深远的影响，二是深化社会分工
专题三 有关向量的模(长度) 已知|a|＝3，|b|＝4，求|a－b|的范围．
[分析] 本题考查向量的模，要求同学们熟练掌握研究 向量模的方法．
第二章 章末归纳总结
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[解析] 解法1：∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|， ∴1≤|a－b|≤7. 即：|a－b|的范围是[1,7]． 解法2：∵|a－b|2＝a2＋b2－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cosθ ＝25－24cosθ， θ为两向量a、b的夹角，∴θ∈[0，π]， ∴|a－b|2∈[1,49]．∴|a－b|∈[1,7]．
高一数学人教A版必修4课件2.2.1 向量加法运算及其几何意义
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预习导引
1
2
பைடு நூலகம்
3
4
1.向量加法的定义 求两个向量和的运算,叫做向量的加法.
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预习导引
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2.向量加法的三角形法则 已知非零向量 a,b,在平面内任取一点 A,作 ������������ =a,������������ =b,则向量 ������������ 叫做 a 与 b 的和,记作 a+b,即 a+b= ������������ + ������������ = ������������ ,这种求向量和 的方法,称为向量加法的三角形法则.
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预习导引
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3.向量加法的平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作▱OACB,则以O为起点的对角线
������������就是a与b的和,这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
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4.向量加法的运算律 交换律:a+b=b+a; 结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c).
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预习导引
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预习交流 任意两个非零向量相加,是否都可以用向量的平行四边形法则进行? 提示:不一定,当两向量共线时不能用平行四边形法则,只能用三角形法则.
一
二
三
知识精要
典题例解
迁移应用
一、向量加法运算 1.向量的和及其物理背景 两向量的和仍是一个向量.向量的加法就是求两个向量和的运算,是物理学中位 移、力的合成等在数学运算中的抽象概括. 2.三角形法则和平行四边形法则
高一数学(人教A版)必修4精品课件：2-2-1 向量加法运算及其几何意义 公开课一等奖课件
温故知新 1．向量的有关概念：
既有大小又有方向 (1)所谓向量是______________________ 的量，其三要素
始点，大小，方向 ． 是____________________ 大小相等，方向相同 ，所谓共线 (2)相等向量应满足______________________ 方向相同或相反 向量是指___________________ 的向量．
向量和 的方法叫做向量加法的三角形 和，记作a＋b.这种求________
法则．
第二章
2.2 2.2.1
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(3)平行四边形法则：已知两个不共线向量 a、b(如图乙所 → → → → 示)，作AB＝a，AD＝b，则 A、B、D 三点不共线，以AB，AD为 → 邻边作平行四边形 ABCD， 则向量 AC ＝a＋b， 这种作两个向 量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
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2.2 2.2.1
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自主预习 1．向量的加法
和 的运算，叫做向量的加法．两 (1)定义：求两个向量____ 向量 ． 个向量的和仍然是一个______
(2)三角形法则：如图甲所示，已知非零向量a，b，在平 → → → 面内任取一点，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做向量a与b的
第二章
2.2 2.2.1
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[拓展]①向量加法的多边形法则：n个向量经过平移，顺 次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一组 向量折线，这n个向量的和等于折线起点到终点的向量．这个 法则叫做向量加法的多边形法则．多边形法则实质就是三角 形法则的连续应用． ②三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意 义． (4)规定：a＋0＝0＋a＝a. (5)结论：|a＋b|≤|a|＋|b|.
人教A版高中数学必修四课件2.2.1向量加法运算及其几何意义(一)
C AB
AB
情境设置
(3)某车从A到B，再从B改变方向到C， 则两次的位移和： AB BC AC (4) 船速为 AB , 水速为BC , 则两速度和 :
AB BC AC
C
C AB
AB
讲授新课
1.向量的加法：
讲授新课
1.向量的加法： 求两个向量和的运算，叫做向量的 加法.
讲授新课
2.2.1向量加法运算 及其几何意义
主讲老师：陈震
复习引入
向量的定义以及有关概念.
向量是既有大小又有方向的量.长度 相等、方向相同的向量相等.因此，我们 研究的向量是与起点无关的自由向量， 即任何向量可以在不改变它的方向和大 小的前提下，移到任何位置.
复习引入
问题
数可进行加法运算：1＋2＝3．那
已知向量 a， b. 在平面内任取一点 A， 作 AB a， BC b，则向量 AC 叫作 a与b的 和，记作：a b . 即 a b AB BC AC，
b
a
C ab
A B
规定： a 0 0 a
讲授新课
2.三角形法则(“首尾相接，首尾连”)
么向量的加法是怎样定义的？长度是1 的向量与长度是2的向量相加是否一定 是长度为3的向量呢？
情境设置
(1)某人从A到B，再从B按原方向到C， (2)则两次的位移和：
A
B
C
情境设置
(1)某人从A到B，再从B按原方向到C， (2)则两次的位移和： AB BC AC
A
B
C
情境设置
(1)某人从A到B，再从B按原方向到C， (2)则两次的位移和： AB BC AC
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4能力提升：2-2-1 向量加法运算及其几何意义
能 力 提 升一、选择题1．下列等式中不正确的是( ) A ．a ＋0＝a B ．a ＋b ＝b ＋a C ．|a ＋b |＝|a |＋|b | D.AC →＝DC →＋AB →＋BD →[答案] C[解析] 当a 与b 方向不同时，|a ＋b |≠|a |＋|b |. 2．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，则a ＋b 等于( ) A.CA →B.BC →C.AB →D.AC →[答案] D[解析] AB →＋BC →＝AC →.3．(山东师大附中2012－2013期中)，如图，正六边ABCDEF 中，BA →＋CD →＋FE →＝( )A ．0B.BE →C.AD →D.CF →[答案] B[解析] 连结CF ，取CF 中点O ，连结OE ，CE . 则BA →＋CD →＋FE →＝(BA →＋AF →)＋FE →＝BE →.4．在△ABC 中，|AB →|＝|BC →|＝|AB →＋BC →|，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形[答案] B[解析] AB →＋BC →＝AC →，则|AB →|＝|BC →|＝|AC →|， 则△ABC 是等边三角形．5．a 、b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a 、b 是共线向量 C ．a ＝－bD ．a 、b 无论什么关系均可 [答案] A[解析] 当两个非零向量a 与b 不共线时，a ＋b 的方向与a 、b 的方向都不相同，且|a ＋b |<|a |＋|b |；向量a 与b 同向时，a ＋b 的方向与a 、b 的方向都相同，且|a ＋b |＝|a |＋|b |；向量a 与b 反向且|a |<|b |时，a ＋b 的方向与b 的方向相同(与a 方向相反)，且|a ＋b |＝|b |－|a |.6．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A.P A →＋PB →＝0 B.PB →＋PC →＝0 C.PC →＋P A →＝0 D.P A →＋PB →＋PC →＝0[答案] C[解析] ∵BC →＋BA →＝2BP →，∴由平行四边形法则，点P 为线段AC 的中点， ∴PC →＋P A →＝0.故选C. 二、填空题7．已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝90°，则|a ＋b |＝________.[答案] 3 2[解析] ∵|OA →|＝|OB →|且∠AOB ＝90°，∴|a ＋b |为以OA →、OB →为两邻边的矩形的对角线的长，∴|a ＋b |＝3 2.8．已知|a |＝3，|b |＝2，则|a ＋b |的取值范围是____________． [答案] [1,5][解析] |a |－|b |＝3－2＝1，|a |＋|b |＝3＋2＝5，又|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，则有1≤|a ＋b |≤5.9．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，向量|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝________.[答案] 1[解析] 在△ABD 中，AD ＝AB ＝1，∠DAB ＝60°，△ABC 是等边三角形，则BD ＝1，则|BC →＋CD →|＝|BD →|＝1.三、解答题10．已知两个力F 1、F 2的方向互相垂直，且它们的合力F 大小为10N ，与力F 1的夹角是60°，求力F 1、F 2的大小．[解析] 设OA →表示力F 1，OB →表示力F 2，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则OC →表示合力F ，由题意易得|OA →|＝|OC →|cos60°＝5，|OB →|＝|OC →|sin60°＝53，因此，力F 1，F 2的大小分别为5N 和53N.11．在水流速度大小为10km/h 的河中，如果要使船实际以103km/h 大小的速度与河岸成直角横渡，求船行驶速度的大小与方向．[解析] 如图所示，OA 表示水流方向，OB →表示垂直于对岸横渡的方向，OC →表示船行速度的方向，由OB →＝OC →＋OA →易知|BC →|＝|OA →|＝10，又∠OBC ＝90°，∴|OC →|＝20，∴∠BOC ＝30°，∴∠AOC ＝120°，即船行驶速度为20km/h ，方向与水流方向成120°角．12．如图，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．[解析] 如图，设CE →、CF →分别表示A ，B 所受的力，10 N 的重力用CG →表示，则CE →＋CF →＝CG →.易得∠ECG ＝180°－150°＝30°， ∠FCG ＝180°－120°＝60°， ∴|CE →|＝|CG →|cos30° ＝10×32＝5 3.|CF →|＝|CG →|cos60°＝10×12＝5.∴A 处所受的力的大小为53N ，B 处所受的力的大小为5 N.。
高中数学人教A版必修四 2.2.1向量加法运算及其几何意义公开课教学课件(共21张PPT)
如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以2 3 km/h的速度向
垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹
角来表示）。
D
C
解：
A
B
（1）如图所示， AD表示船速， AB表示水速，
以AD、AB为邻边作 ABCD,则AC表示 船实际航行的速度.
a ab
.
布置作业
P45-46习题案 选做题：变式训练
向量加 法
课后探究
若水流速度和船速的大小保持不变, 最后要能使渡船垂直过江,则船的航 向应该如何?请作图探究.
D
C
5
A2 B
向量加 法
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输， 如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以2 3 km/h的速度向
垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹
角来表示）。
复习回顾：
1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？
向量：既有大小又有方向的量。
平行向量：①方向相同或相反的非零向量。 ②规定零向量与任意向量平行。
相等向量：方向相同并且长度相等的向量 2.零向量和单位向量？
零向量：长度为零的向量叫零向量； 单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量。
普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修4
巩固练习
1.若a表示“向南走10km”,
b表示“向西走10 3km”,
高中数学人教A版必修4课件：2-2-1向量加法运算及其几何意义
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EZUO XUEXI
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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的 打“×”. (1)对于任意两个向量,都可利用平行四边形法则求出它们的和 向量. ( ) (2)对于任意的点 A,B,C,D,都有������������ + ������������ + ������������ + ������������=0. ( ) (3)如果 a,b 是共线的非零向量,那么 a+b 的方向必与 a,b 之一的 方向相同. ( ) (4)若������������ + ������������ + ������������=0,则 A,B,C 三点构成三角形. (5)若 a,b 是共线向量,则必有|a+b|=|a|+|b|.
提示:结果相同,即������������ + ������������ = ������������.
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2.如图①表示橡皮条在两个力的作用下,沿着GC的方向伸长了 EO;图②表示撤去F1和F2,用一个力F作用在橡皮条上,使橡皮条沿 着相同的方向伸长了相同的长度.根据物理学知识,F1和F2两个力的 和与力F相等吗?
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三、|a+b|与|a|,|b|之间的关系 【问题思考】 1.根据向量加法的三角形法则以及“三角形中两边之和大于第三 边,两边之差小于第三边”,你能发现|a+b|与|a|,|b|之间的关系吗? 提示:||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|. 2.填空:(1)对于任意向量a,b,都有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|; (2)当a,b共线,且同向时,有|a+b|=|a|+|b|; (3)当a,b共线,且反向时,有|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|). 3.做一做:如果|������������|=8,|������������|=5,那么|������������|的取值范围为 . 解析:根据公式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|直接计算可得. 答案:[3,13]