数列通项公式的五种求法
例３ ． 已 知数列（ ａ ） 中 ． ａ ＝ ÷， 前ｎ 项和ｓ 与 ａ 的关系是ｓ ＝ ｎ
・ ． ．
（ ２ ｎ 一 １ ） ａ ， 试 求 通 项公 式ａ ．
解析 ： 首 先 由Ｓ ＝ ｎ （ ２ ｎ 一 １ ） ａ 易 求 得 递 推 公式 ：
点评 ： 这种 方 法 类 似 于换 元 法 ， 主 要 用 于 已 知 递 推 关 系 式
求 通项 公 式 ．
１ Ｏ
项 公式 ．
或 等 比数 列 的 通 项 公式 ． 只 需 求 得 首 项 及 公差 公 比 即可 ．
二、 叠 加 法
解： ａ ｌ ＝ ｓ １ － ０ ， 当ｎ ≥２ 时， ＝ ｓ 一 ｓ １ ＝ （ ｎ ‘ － １ ） － Ｅ （ ｎ － １ ） ‘ 一 １ ］ ＝ ２ ｎ － １ ．
＝ — —
ａ
一
２
２ ｎ一１
ａ １ ５
、
公 式 法 ）等 式相 乘 得 ：
ａ
ｎ
例１ ． 等差数列｛ ａ ｝ 是递减数列． 且ａ ２ ・ ａ ３ ・ ａ ４ ＝ ４ ８ ， ８ ２ ＋ ａ ３ ＋ ａ ４ ＝ １ ２ ．
则数列的通项公式是（
一
・ ．
例２ ． 若在数列｛ ａ ） 中， ａ 。 ＝ ３ ， ａ ＋ 。 一 ＋ ｎ ， 求通项ａ ｎ ．
解 析 ：由ａ ｎ ＋ ｌ ＋ ｎ 得ａ ＋ ｌ — ａ ＝ ｎ ＿ ． ＿ ～ ～ ｌ ＝ ｎ－１ ． ａ ｌ—ａ ２ ＝ ｎ－２，
一 一 一
＿ ａ １ 不 适 合 于 此 等 式 ， ． ‘ ～ ＝ １ ） ２ ） ．
：
例５ ： 已知数 ｛ ａ ｝ 的递推关 系为ａ ＋ 。 ＝ ２ ａ ＋ ｌ ， 且ａ 。 ： １ 求 通 项
ａ ｎ ・
竺 ＝ ｌ １ ） ＋ ３
．
２
解： ‘ ． 一 ＋ ｌ ＝ ２ ａ ＋ １
‘ ． ．
点评 ： 一般 地 ， 对于型如ａ ＝ ａ ＋ ｆ （ ｎ ） 类 的通项公式 ， 只要
． ．
ａ ＝～
） ‘ 解析： 设等差数 列的 公差为ｄ ． 由 已知／ （ ａ ； － ｄ
２
（ ２ ｎ ＋ １ ） （ ２ ｎ 一１ ） 点评 ： 一般地 ， 对 于 型 如ａ ｎ ＋ ＝ ｉｎ ｆ ） 一 类 的通 项 公 式 ， 当ｆ （ １ ）
解 得 ｛ 芝．
又 ． 。 ｛ Ｊ 是递减数列－ ． ． ． ｄ ＝ － ２ ， ａ ＝ ８ ． ａ＝ ８ ＋ （ ｎ － １ ） （ － ２ ） ＝ － ２ ｎ ＋
■墨
数
．
庞 忠 全
（ 陇南 市 武 都 区 两 水 中学 ， 甘肃 陇 南 ７ ４ ６ ０ １ ０ ）
ａ ２ ｎ － ３ 一
，
列 通 项 公 式 的 五 种 求 法
求 数 列 通 项 公 式 是 高 考 命 题 的 热 点 问题 ． 考 查 形 式 灵 活
多变 ， 常在解 答题 中出现． 由于数列 问题解题方法 灵活 ． 技 巧 性强 ， 如 果 对 一 些 典 型 题 型 的变 形 不 太 熟 悉 ， 就 无法 很 快 找 到
点评 ： 先 分ｎ ＝ ｌ 和ｎ ＞２ Ｉ 两种情 况分别进 行运算 ． 然 后 验 证 能 否 统 一． 五、 辅 助 数 列 法
…
，
ａ ｚ －ａ ｌ ＝１ ．
将 以上 各 式 相 加 得 ： ａ 一 ａ １ ＝ （ ｎ 一 １ ） ＋ （ ｎ 一 ２ ） ＋ …＋ １ ， 又ａ ＝ ３ ． ａ
Ａ． ａ ＝ ２ ｎ 一１ ２ Ｂ ． ａ ＝ ２ ｎ ＋ ４ Ｃ． ａ ＝ 一 ２ ｎ ＋ １ ２ Ｄ． ａ ＝ 一 ２ ｎ ＋ １ ０
（ ２ ｎ － ３ ） （ ２ ｎ 一 ５ ） （ ２ ｎ 一 ７ ） …３ ・ １
１
３
ａ ， （ ２ ｎ ＋ １ ） （ ２ ｎ 一 １ ） （ ２ ｎ 一 ３ ） …７ ・ ５ （ ２ ｎ ＋ １ ） （ ２ ｎ 一 １ ）
（ ２ ｎ ＋ １ ）
、
＝
ｎ
（ ２ ）
、
ａ
２ｎ ＋ｌ‘
思路解题 ． 这 令 同学 们 困 惑 不 已． 本 文 就 一 些 典 型 的 问 题 介 绍 几种解题策略 ， 供参考．
一
ａ
． ． ． —
ｎ ＿１
—
２ ｎ －５
—
…
． ． —
ａ ２ １
—
＝ —
ｆ （ １ ） ＋ ｆ （ ２ ） ＋ …＋ ｉｎ ｆ ） 能进 行求 和 ， 则 宜 用 此 方 法求 解 ． 三、 叠 乘 法
ａ
ｎ ＋ｌ
＋ １ ＝ ２ （ ａ ＋ １ ）
令ｂ 一 ＋ １ ， 则数列（ ｂ ） 是公 比为２ 的等 比数列
・
． ．
ｂ＝ ｂ １ ｑ “ 一 Ｂ 口 ａ ＋１ ＝（ ａ １ ＋１ ） ｑ “ 一 ＝ ＝ ２
１ ０ ． 故选Ｄ ． 点评 ： 当 已知 数 列 为等 差 或 等 比数 列 时 ． 可 直 接 利 用 等 差
ｆ （ ２ ） …ｆ （ ｎ ） 的值 可 以求 得 时 ， 宜采用此方法．
四、 Ｓ法 利 用ａ ＝ Ｓ Ｓ （ ｎ ≥２ ）
－
…
Ｎ４ ： 已 知数 列 ｛ ａ ｎ ） 的前 ｎ 项和ｓ 的公 式 ： ｓ ＝ ｎ ‘ 一 １ ． 求｛ ａ ｝ 的 通
求数列的通项公式
求数列通项公式法一 ：公式法：运用等差（等比）数列的通项公式.法二：前n 项和法：已知数列}{n a 前n 项和n S ，则⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n nn （注意：不能忘记讨论1=n ）Sn 表达式中含an ：已知n a 与n S 的关系式，利用)2(1≥-=-n S S a n n n ，将关系式转化为只含有n a 或n S 的递推关系，再利用上述方法求出n a .已知数列}{n a 前n 项和n S ，则⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n nn （注意：要验证能否合二为一）例1 数列{}n a 的前n 项和n n S n 92-=，则n a = 。
变式 数列{}n a 的前n 项和n n S n 92-=，._______85=<<k a k ，则若 变式 已知数列{}n a 的前n 项和公式，求{}n a 的通项公式①n n S n 322+=；②132-⋅=n n S例2设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且12-=n n a S ，求数列}{n a 的通项公式； 变式 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且*111,42()n n a S a n N +==+∈，（1）设2n n n a b =，求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列}{n a 的通项公式及前n 项和的公式法三:：利用前n 项积，已知数列}{n a 前n 项之积T n ，一般可求T n-1，则a n ＝1－n n T T （注意：不能忘记讨论1=n ）. 例 数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a __________.法四 ：累加法：已知)2)((1≥=--n n f a a n n ，且{f(n)}成等差（比）数列，则求n a 可用累加法. 常见基本形式：三种例 数列}{n a 满足12212,5,32n n n a a a a a ++===-，（1）求证：数列1{}n n a a +-是等比数列； （2）求数列}{n a 的通项公式n a ；（3）求数列}{n a 的前n 项和n S .变式 已知数列}{n a ；①若满足291=a ，)2(121≥-=--n n a a n n ，则n a =_______________.变式 已知数列{}n a 满足11a =，)1(11+=-+n n a a n n (2)n ≥，则n a =_______________. 变式 已知数列{}n a 满足11a =，n n a a n n ++=--111(2)n ≥，则n a =_______________.法五：累乘法例 若满足a 1=1,)2(11≥+=-n n n a a n n ，则n a =_______________. 变式已知）（，n n n a a n a a -==+111,则数列{}n a 的通项公式=n a ( ) A. 12-n B.11-+n nn ）（ C. 2n D. n 法六 ：构造辅助数列法： 已知数列}{n a 的递推关系，研究a n 与a n －1的关系式的特点，可以通过变形构造，得出新数列)}({n a f 为等差或等比数列.共有六种类型：类型一：待定系数法例 已知数列满足1a =1，1n a +=2n a +3，则n a =_______________.变式 已知点,3121),11=+=+a x y a a n n 上，且在直线（则n a =_______________. 变式 已知数列{}n a 满足11a =，n n n a x a x a ，求的两实根，且满足为方程，26-60312=+=+-+βαβαβα类型二 取倒法例 已知数列}{n a 满足11=a ，131+=+n n n a a a ，则n a =_______ 变式 已知数列}{n a 满足11=a ，3231+=+n n n a a a ，则n a =_______ 类型三 取倒法与待定系数法相结合 例 已知数列}{n a 满足11=a ，231+=+n n n a a a ，则n a =_______ 变式 已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n =，，．求{}n a 的通项公式；变式 变式 已知数列}{n a 的首项1a a =（a 是常数且1a ≠-），121(,2)n n a a n N n -=+∈≥．（1）}{n a 是否可能是等差数列，若可能，求出}{n a 的通项公式；若不可能，说明理由；（2）设(,n n b a c n N =+∈c 是常数)，若{}n b 是等比数列，求实数c 的值，并求出}{n a 的通项公式。
求数列通项公式常用的七种方法
求数列通项公式常用的七种方法一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 进行求解.例1：已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a ，求{}n a 的通项公式.二、前n 项和法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a . 例2：已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ，求通项n a .三、n s 与n a 的关系式法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a . 例3：已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 311=+，其中11=a ，求n a .注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”，由n s 与n a 的关系式，类比出1-n a 与1-n s 的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项.四、累加法：当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.例4：()12,011-+==+n a a a n n ，求通项n a五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.例5：111,1n n na a a n -==- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a六、构造法：㈠、一次函数法：在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+（,k b 均为常数且0k ≠），从表面形式上来看n a 是关于1n a -的“一次函数”的形式，这时用下面的方法:一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+ 则()11n n a ka k m -=+- 而1n n a ka b -=+ ∴()1b k m =- 即1b m k =- 故111n n b b a k a k k -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭∴数列11n b a k -⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 为公比的等比数列，借助它去求n a例6：已知111,21n n a a a -==+ ()2,n n N *≥∈ 求通项n a㈡、取倒数法：这种方法适用于11n n n ka a ma p--=+()2,n n N *≥∈（,,k m p 均为常数0m ≠）， 两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于1n n a ka b -=+的式子. 例7：已知11122,2n n n a a a a --==+ ()2,n n N *≥∈ 求通项n a㈢、取对数法：一般情况下适用于1k l n n a a -=（,k l 为非零常数）例8：已知()2113,2n n a a a n -==≥ 求通项n a七、“m n n c ba a +=+1（c b ,为常数且不为0，*,N n m ∈）”型的数列求通项n a .例9：设数列{}n a 的前n 项和为n s ，已知*11,3,N n s a a a n n n ∈+==+，求通项n a .注：求m n n c ba a +=+1（c b ,为常数且不为0，*,N n m ∈）”型的数列求通项公式的方法是等式的两边同除以1+n c ，得到一个“1n n a ka b -=+”型的数列，再用上面第六种方法里面的“一次函数法”便可求出n n ca 的通式，从而求出n a .另外本题还可以由n n n s a 31+=+得到nn n n s s s 31+=-+即 n n n s s 321+=+,按照上面求n a 的方法同理可求出n s ,再求n a .您不不妨试一试.除了以上七种方法外，还有嵌套法（迭代法）、归纳猜想法等，但这七种方法是经常用的，将其总结到一块，以便于学生记忆和掌握.。
数列通项公式
数列通向公式的求解1、公式法：2、累加法：3、累乘法：4、a n与S n的关系：5、构造法：（1）、待定系数法：（2）、同除+待定系数：（3）、取倒数+待定系数：（4）、取对数+待定系数：（5）、连续三项：6、无穷递推关系式：（减去前n-1项剩下最后一项）7、连续两项：8、不动点法：→不动点：方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点。
数列通项公式典例分析:1、已知数列{a n}满足_________________2、已知数列{a n}满足_________________3、已知数列{a n}满足___________;___________4、已知数列{a n}满足__________________5、已知数列{a n}满足_________________6、已知数列{a n}满足_____________7、已知数列{a n}满足________________8、已知数列{a n}满足______________9、已知数列{a n}满足_________________10、已知数列{a n}满足__________11、已知数列{a n}满足__________________12、已知数列{a n}满足_________________13、已知数列{a n}满足__________________14、已知数列{a n}满足__________________15、已知数列{a n}满足_____________________16、已知数列满足，，则=________17、设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则=________18、在数列中，，，．则=______________19、数列中，，（n≥2）,则=______________20、已知数列的首项，，则=__________________21、设数列｛an｝满足,则=_______________22、已知数列满足且,则=___________23、设数列满足,则=______________。
求数列通项公式常用的八种方法
求数列通项公式常用八种方法一、 公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式()d n a a n 11-+= 或11-=n n q a a 进行求解.二、前n 项和法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a .（分3步）三、n s 与n a 的关系式法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a .（分3步）四、累加法：当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列{}n a 中有()1n n a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.六、构造法：㈠、一次函数法：在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+（,k b 均为常数且0k ≠），从表面形式上来看n a 是关于1n a -的“一次函数”的形式，这时用下面的方法:------＋常数P㈡、取倒数法：这种方法适用于11c --=+n n n Aa a Ba ()2,n n N *≥∈（,,k m p 均为常数 0m ≠），两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于 1n n a ka b -=+的式子.㈢、取对数法：一般情况下适用于1k l n n a a -=（,k l 为非零常数）例8：已知()2113,2n n a a a n -==≥ 求通项n a分析：由()2113,2n n a a a n -==≥知0n a >∴在21n n a a -=的两边同取常用对数得211lg lg 2lg n n n a a a --== 即1lg 2lg n n a a -= ∴数列{}lg n a 是以lg 3为首项，以2为公比的等比数列故112lg 2lg3lg3n n n a --==∴123n n a -=七、“1p ()n n a a f n +=+（c b ,为常数且不为0，*,N n m ∈）”型的数列求通项n a . 可以先在等式两边 同除以f(n)后再用累加法。
数列求通项公式的9种方法
例
9：已知数列{an} 满足 a1
1 ， an1
an an
2
，求{an} 的通项公式.
例 10（拓展）.设由 a1
1, an
an1
2n 1an1
n
1
2,3,定义数列an ，试将 an 用 n 来表示
变式训练 11
已知数列 {an }
满足
a1
1 ， an1
变式训练 14
已知数列{an} 满足 a1
2 ， an1
1 2 an
2n ，求{an} 的通项公式.
变式训练 15 已知数列{an} 满足 a1 1 ， an1 2an 3 2n1 ，求{an} 的通项公式.
七、型如 an1 pan A0n B0 的数列
四、加法构造
型如 an1 kan b ( k、b 为常数)的数列构造{an } 为等比数列
例 7 已知数列{an} 满足 a1 2 ， an1 2an 3 ，求{an} 的通项公式.
变式训练 9 已知数列{an} 满足 a1 1 ， an1 3an 2 ，求{an} 的通项公式.
数列求通项公式常见的9种方法
知识复习
1、等差数列通项公式： an＝a1＋ (n－1)d an＝am＋(n－m)d
2、等比数列通项公式： an＝ a1·qn－1 am＝ a1·qn－m
一、利用 an 与 Sn 关系求 an
an＝SS1n，－Sn－1，
n＝1， n≥2.
例1 已知数列{an}的前n项和Sn，求数列{an}的通项公式．(1)Sn＝2n－1；(2)Sn＝2n2＋ n＋3.
变式训练 10
数列求通项9种方法
数列通项公式的九种求法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2nna 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222nn a n =-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2n na 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。
二、累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+ ，即得数列{}n a 的通项公式。
例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
数列通项公式的求法大全
数列通项公式的求法各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。
特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈.本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。
一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.解:设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①∵255a S = ∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………② 由①②得：531=a ,53=d ∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比）后再写出通项.二、公式法若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n nn 求解。
例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S nn n ．求数列{}n a 的通项公式。
解:由1121111=⇒-==a a S a当2≥n 时,有,)1(2)(211nn n n n n a a S S a -⨯+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+⨯-,)1(22221----⨯+=n n n a a ……，.2212-=a a11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+⨯-+⨯-++⨯-].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n nn n n n n经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3212---+=n n n a 点评：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-211n S S n S a n nn n 求解时,要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．三、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。
求通项公式常用5法
行运算，然后验证能否统一。
(①只含n) 例1、数列 {an }的前n项和为S n，S n n 2 n， 求：数列 {an }的通项公式。 练习 1、数列 {an }的前n项和为S n，S n 2n 2 n 1， 求：数列 {an }的通项公式。
(②含an ) 例2、数列 {an }的前n项和为S n，S n 2an n， 求：数列 {an }的通项公式。
an1 pan q( p, q为常数）往往变为an1 p（an ）
构成等比数列，求得通项公式，再求an。
练习 1、数列an 中，a1 1, an 1 4an 3, 求an
练习2、数列an 中，a1 1,3an 1 2an 3, 求an
an 中，a1 1, 前n项和Sn满足Sn n an , 求an 练习 1、数列
2
解：当n 2时
Sn n2an 1
Sn1 n 1 an1 2
2
an a2 a3 a4 累乘得： a1 a2 a3 an1
1 2 3 n 3 n 2 n 1 3 4 5 n 1 n n 1 an 2 2 ,即an n 2 a1 nn 1 nn 1
2n－1 等比数列，∴an＋1－an＝－3 .
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋ 2n－2 2n－3 2 2 2 8 3 2n－1 a1＝－3 ＋－3 ＋…＋－3 ＋－3＋1＋1＝5－5－3 .
例3．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2,3an－an－1－2an－2＝0(n≥3)， 求数列{an}的通项公式．
数列求通项公式及求和9种方法
数列求通项公式及求和9种方法数列是指按照一定规律排列的一系列数值。
求数列的通项公式和求和的方法是数列研究的基础，下面将介绍9种常见的方法。
一、等差数列求通项公式和求和等差数列是指数列中两个相邻项之间的差固定的数列。
例如：1，3，5，7，9，……，其中差为21.1求通项公式对于等差数列，可使用以下公式计算通项：通项公式：a_n=a_1+(n-1)*d其中a_n表示数列第n项，a_1表示数列第一项，d表示公差。
1.2求和求和的公式为：S_n=(a_1+a_n)*n/2其中S_n表示数列前n项的和。
二、等比数列求通项公式和求和等比数列是指数列中的两个相邻项之间的比值是固定的数列。
例如：1，2，4，8，16，……，其中比值为22.1求通项公式等比数列的通项公式为：a_n=a_1*q^(n-1)其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的第一项，q表示公比。
2.2求和求等比数列前n项和的公式为：S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)三、斐波那契数列求通项公式和求和斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和。
例如：0，1，1，2，3，5，8，13，……3.1求通项公式斐波那契数列的通项公式为：a_n=a_(n-1)+a_(n-2)其中a_n表示数列的第n项。
3.2求和斐波那契数列前n项和的公式为：S_n=a_(n+2)-1四、等差数列的和差公式求通项公式和求和对于等差数列，如果已知首项、末项和项数，可以使用和差公式求通项公式和求和。
4.1公式和差公式是指通过首项、末项和项数计算公差的公式。
已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用和差公式计算公差d：d=(a_n-a_1)/(n-1)4.2求通项公式已知首项a_1、公差d和项数n，可以使用通项公式计算任意项的值：a_n=a_1+(n-1)*d4.3求和已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用求和公式计算等差数列前n项的和：S_n=(a_1+a_n)*n/2五、等比数列的部分和求和公式求通项公式和求和对于等比数列，如果已知首项、公比和项数，可以使用部分和求和公式求通项公式和求和。
求数列通项公式的11种方法
解：原递推式可化为
比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为
所以 是一个等比数列，首项 ,公比为 .
即：
故 .
4．形如 (其中a,b,c是常数，且 )
基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
例10已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。
评注：本题是关于 和 的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到 与 的更为明显的关系式，从而求出 .
练习.已知 ,求数列{an}的通项公式.
答案： -1.
评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式 转化为
若令 ,则问题进一步转化为 形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.
三、待定系数法适用于
解： ……①
令 ，解得 ，将它们代回①得，
……②， ……③，
③÷②，得 ,则 ，
∴数列 成等比数列，首项为1，公比q=2
所以 ，则 ，
十二、四种基本数列
1．形如 型等差数列的广义形式，见累加法。
2.形如 型等比数列的广义形式，见累乘法。
3.形如 型
（1）若 （d为常数），则数列{ }为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;
解：递推关系是对应得递归函数为 ，由 得，不动点为-1
∴ ，……
类型二：形如
分析：递归函数为
（1）若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得 ，其中 ，∴
（2）若有两个相同的不动点p，则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得 ，其中 。
例22.设数列 满足 ,求数列 的通项公式.