电磁学第五章

四川师范大学教案电磁学物理与电子工程学院物理与电子工程学院注：教案按授课章数填写，每一章均应填写一份。

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第五章恒定电流的磁场§5.1 磁现象及其与电现象的联系人类对磁现象的研究早于对电现象的研究，早期对磁现象的观察（研究）是从天然磁体（永磁体）之间的相互作用开始的。

一、永磁体（早期的永磁体指天然磁体）天然磁铁和人造磁铁统称永磁体（永磁铁）。

人类对磁现象的认识和研究就开始于永磁体之间的相互作用。

通过观察发现，永磁体的基本现象归结为：（1）永磁体：具有吸引铁、钴、镍等物质的性质（具有磁性）；（2）永磁体有两个磁性最强的区域，叫做磁极，分别叫做南北两极（南S，北N）；（3）两磁铁的磁极之间有相互作用力，同性极相斥，异性极相吸；（4）磁极不能单独存在。

二、电磁相互作用（电流具有磁效应）十九世纪初，人们从一系列重要的实验中开始认识到电（现象）与磁（现象）之间有着不可分割的联系。

（1）1819年：丹麦科学家奥斯特发现：通电导线附近的磁针会发生偏转；说明：电流具有磁效应电流→磁体（2）1820年：安培发现：放在磁铁附近的载流导线或载流线圈受到磁力的作用而发生运动；说明：磁体→电流（3）同时期发现：两平行直导线间有相互作用力：电流同向，相吸；电流反向，相斥。

说明：电流→电流一系列实验现象都说明磁现象与电流有密切的联系，迫使人们去探索磁现象的本质，并使人们想象磁现象是否就起源于电流（或电荷的运动）呢？三、磁现象的本质：安培的分子电流假说1、“磁荷”观点由于有些磁现象与电现象有类似之处（如同性相斥，异性相吸等），因此人们最早参照电荷提出了“磁荷”的说法。

人们认为磁性起源于“磁荷”，大量“磁荷”集中在磁极处而显磁性。

磁铁之间的相互作用起源于“磁荷”之间的相互作用。

但这个观点不能解释磁棒被无限分小后仍有N、S极、N、S极不能单独存在这种现象（因正负电荷可以单独存在）。

2、分子电流观点（假说）奥斯特的电流磁效应实验以后，特别发现了通电螺线管与一条形磁铁的外部磁性相似。

由此1822年安培提出了分子电流假说。

他认为：磁性物质的分子中存在圆形电流，称为分子电流。

分子电流相当于一个基元磁体，当物质不呈现磁性时，分子电流无规则排列，它们对外界所产生的磁效应互相抵消，使整个物体不显磁性。

在外磁场作用下，圆形电流受力矩作用，其轴线沿一定方向排列起来，在宏观上显示出N、S极来，呈现磁性。

安培的假说很容易解释为什么磁体的N、S两种磁极不能单独存在。

因为基元磁体的两个极对应于圆形电流的两个面，显然这两个面是不能单独存在的。

电子的轨道运动和自旋运动构成了等效的分子电流，这就是物质磁性的基本来源。

总之，磁现象起源于电荷的运动（电流）。

磁铁与磁铁，磁铁与电流，电流与电流之间的相互作用，都是运动电荷（电流）之间的相互作用，而这种作用是通过磁场来传递的。

用图表示为：说明：（1）电荷无论运动还是静止，它们之间都有库仑相互作用，在其周围都要激发电场；（2）只有运动电荷在其周围激发磁场，运动电荷之间才有磁场相互作用。

四、磁感应强度B，磁感应线（一）、磁感应强度B1、磁场的性质在磁场中引入试探运动电荷来了解磁场的性质，实验发现： （1）在磁场中的给定点P 处，存在一个特定方向，电荷沿此方向运动时，受磁力为零。

此方向就是该点磁场的方向，即B的方向；（2）无论运动电荷以多大速率和什么方向通过P 点，总有F ⊥B，及F ⊥v ，说明磁力为侧向力，只改变v的方向不改变其大小；（3）v ⊥B时，运动电荷受力最大，用F m 表示，且F m 正比于运动电荷的电荷量q 和速率v ；v ∥B时，F =0；（4）对场中某一确定点，qv F m有确定的值且与q 、v 无关，把此量定义为磁感应强度的大小。

2、磁感应强度B大小：B =qvF m方向：v ×B 的方向为F 的方向，v ，B ，F三者间的方向关系如下图所示。

（二）、磁感应线1、作磁感应线的规定（1）在磁场中画一系列曲线，使线上任一点的切线方向和该点处的磁感应强度矢量B的方向一致。

（2）通过垂直于B 的单位面积上的磁感应线的条数等于该点B矢量的量值。

因而磁场强的地方，磁感应线密，反之，磁感应线就疏。

2、磁感应线的性质（1）磁感应线是无头无尾的曲线，或者从无限远到无限远。

说明磁场是涡旋场。

与电场线截然不同。

这是与正负电荷可以被分离，而N 、S 磁极不能被分离的事实相联系的。

（2）B线环绕方向与电流方向彼此满足右手定则。

五、运动电荷在磁场中受到的力1、洛仑兹力实验表明：运动电荷q 在磁场中受力F 与其速度v以及磁感应强度B 有如下关系：B v q F（q 为代数量）——洛仑兹力方向：F 与v 和B构成的平面垂直，并满足右手法则大小： sin vB q F F2、当空间除磁场B外还存在电场时，电荷q 在空间某点受力：B v q E q F， 电场力和磁场力的矢量和3、洛仑兹力B v q F ，F ⊥v，故它永远不对带电粒子作功，其作用只改变运动电荷的速度方向，而不改变它的速度的大小（速率）以及动能。

六、带电粒子在均匀磁场中的运动 （P193—195 §5.5）一电荷量为q ，质量为m （m 很小，忽略重力）的粒子，以速度v进入均匀磁场B 中（均匀磁场：B线一定平行，等间距）。

1、如果v ∥B由0 B v q F知：带电粒子不受力，作匀速直线运动。

2、如果v ⊥B（电荷的圆周运动）由B v q F 知： qvB qvB F90sin 恒量即： （1）带电粒子受恒力的作用；（2）F 的方向垂直v ×B 的平面，F 只改变v的方向，不改变其大小。

B粒子在垂直于B的平面内作匀速圆周运动，圆周运动的向心力就是电荷受的洛仑兹力，即有：Rv m qvB F 2向∴ qB mvR粒子作圆周运动的周期、角速度、频率均可求出： 周期： mqBqB m v R T222 频率： m qBT f 213、如果v 与B成任意夹角此时v可分解为 cos 11v v 和 sin v v ，它们分别平行和垂直于B ，11v 不受磁场力的影响，此部分作匀速直线运动，而 v 受磁场作用而在垂直于B的平面内作圆周运动。

即粒子同时参与两个运动，其合成运动的轨迹为一螺旋线。

螺旋线的半径：（一个周期内 v 方向的距离）T v qBmv qB mv Rsin 螺旋线的旋距：（一个周期内11v 方向的距离）qBm v T v h 2cos 11以上结论是回旋加速器和磁聚焦等实验仪器的理论依据。

七、霍尔效应 （P198—199 §5.5）§5.2 毕奥——萨伐尔定律一、毕一萨定律 P177主要讨论恒定电流产生的磁场，而恒定电流的电流线是闭合的。

为了求得任意电流激发的磁场，我们将电流分成许多小元段，每一小段取得无限小，使得这一小段电流中电流密度矢量与线段元l d矢量的方向一致，我们把I 与l d 的乘积I l d 称为电流元，电流元I l d产生磁场的规律称为毕奥——萨伐尔定律，其数学表达式为：20ˆ4r r l Id B d大小： sin 420rIdldB → 与I dl 成正比，与距离r 的平方成反比。

方向： B d （B）的方向与I l d 满足右手螺旋法则常数：70104 （韦伯/安培·米）或（牛顿/安培2），称为真空中的磁导率。

实验表明：和电场一样，磁感应强度B也遵从迭加原理。

故整个载流导线在空间任一点P 产生的磁场B 是各电流元产生的B d的矢量迭加（场的迭加性）20ˆ4r r l Id B d B整根载流导线二、直长载流导线的磁场 P178设直长载流导线中的电流强度为I （方向如图），计算距导线为a 的场点P 的B：过P 点作垂线与电流交于垂足O 点，离O 点为l 的地方取电流元I l d（将长直导线分为许多电流元），应用毕一萨定律求出电流元的B d，再运用场的迭加性。

任选一电流元：Idl r （如图，方向与I 相同），r 为从Idl r 指向P 点的矢径∴ 204ˆrr l Id B d大小： sin 420rIdldB， 为r ˆ与dl r 的夹角，由dl r 旋到r ˆ（0— 内）方向： 所有电流元在P 点的B的方向均相同，垂直纸面向外，用⊙表示。

所以矢量和变为代数和，即求积分sin 420rIdldB B 整根导线以下的工作就是怎样通过数学知识来积分：统一变量：选 为变量，将被积函数中的变量由已知量和 表示出来。

（ 4、0 、I 均为常量）。

如图： cos cos sin sin sin l r r a a r r r∴ cos sin l a求微分：2sin d dl a∴ )cos (cos 4sin 4210021aI d a I B 化简特例：（1）导线为无限长时， 21,0（事实上，载流导线非有限长）02IB a即无限长载流直导线周围的磁感应强度B与距离a 的一次方向反比，与电流强度I 成正比。

磁感应线是在垂直于导线的平面内以导线为圆心的一系列的同心圆。

（2）P 点位于半无限长导线一端时，2221,22,004IB a（3）P 点位于延长线上，or 021 B =0三、圆形载流导线的磁场求圆形载流导线轴线上一点的磁感应强度B。

在线圈上A 点取电流元Idl r ，它在轴线上P 点产生的元磁场B d位于POA平面内且与PA （r）垂直，所以B d与轴线OP 的夹角 等于∠PAO 。

现在A 点对称的另一端A ′取电流元l Id ，r也在平面POA 内。

由对称性知：B d 与B d合成后垂直于OP 轴的分量相互抵消，合成后合B d 为沿OP 轴线方向，所以，圆形电流的所有电流元在P 点的B d只有11B d 对B 有贡献。

故 cos dB B （大小）方向沿轴方向又 02sin 4Idl dB rr（ 为dl r 与r夹角） 当P 点在轴线上时，2（r垂直于圆切线，dl r 正好沿切线方向）∴cos 420rIdlB 余下的问题又是把被积函数中的积分变量统一起来： 如图：sin ardl aI B cos sin 422dl aIcos sin 4220 R R a R Ra a aI 24222222=232222R a IR讨论：（1）圆心处，a =0，RIB 20（方向沿右手螺施法则）（2） a R ，P 点位于距圆形电流较远处的轴线上I R aa IR B 23032022=302a IS∴ 302ap B m（3）上式中定义nIS p m ˆ为载流线圈的磁矩（与电偶极子的电偶极矩类似），nˆ为线圈平面的法线方向的单位矢量。

若载流线圈有N 匝，则n IS p m ˆ四、载流螺流管轴线上一点的磁场螺线管长L ，半径R ，通电流I ，单位长度匝数为n （n 足够大）。