二项式定理课件(二)
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二项式定理的推导课件2
【例 1】
(1)求3
x＋ 1x4的展开式；
(2)求值 C1n＋3C2n＋9C3n＋…＋3n－1Cnn．
[思路点拨] (1)直接利用二项式定理展开，也可以先化简再展 开；(2)先化成二项展开式的形式，然后逆用二项式定理求解．
[解]
(1)法一：3
x＋ 1x4＝(3
x)4＋C14(3
x)3 1x＋C24(3
【例 2】 (1)求 n；
3 已知在
x－ 1 3
2
n
的展开式中，第 x
6
项为常数项．
(2)求含 x2 的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
[思路点拨] 利用展开式中的通项公式求出当 x 的次数为 0 时 n 的值，再求解(2)(3)问．
[解] (1)由通项公式知，展开式中第 k＋1 项为
2．化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
[解] 原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2＋C45(x －1)＋C55－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1．
类型 2 利用通项公式求二项展开式中的特定项
求二项展开式中的特定项
2．相关概念 (1)公式右边的多项式叫作(a＋b)n 的二项展开式； (2)各项的系数 Ckn(k∈{0，1，2，…，n})叫作二项式系数； (3)展开式中的__C__kna_n_－_kb_k___叫作二项式通项，记作_T_k_＋_1__，它表 示展开式的第_k_＋__1项； (4)在二项式定理中，如果设 a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝ _C__0n＋__C__1nx_＋__C_2n_x_2_＋_…__＋__C__knx_k_＋__…__＋__C_nn_x_n ____．
6.3 二项式定理(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
n (0
n 1
n
C
k n)
k nk k
C
b
k 1
na
(2)各项的统一表达式为____________,这是展开式的第_____项.
a降幂(n→0),b升幂(0→n)
(3)a的幂、b的幂的变化规律：_________________________
二项式定理：即(a+b)n的展开式
n 1
[( x 1) 1]5 1 x 5 1
新知：二项式系数的性质
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C
2
n 1
n
ab
n 1
C b
n
n
n
(1)令a b 1, 得(a b) n 的二项式系数之和为2n ,
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C b
2
n
n
n
二项式定理：即(a+b)n的展开式
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C b
2
n
n
n
k
(1)展开式共_____项，各项次数是___，各项系数是____.
1 8
[例3]已知( x 3 ) ,
x
(1)求展开式的第3项;
(2)其展开式的第4项的系数为_____,第4项的二项式系数为___;
n 1
n
C
k n)
k nk k
C
b
k 1
na
(2)各项的统一表达式为____________,这是展开式的第_____项.
a降幂(n→0),b升幂(0→n)
(3)a的幂、b的幂的变化规律：_________________________
二项式定理：即(a+b)n的展开式
n 1
[( x 1) 1]5 1 x 5 1
新知：二项式系数的性质
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C
2
n 1
n
ab
n 1
C b
n
n
n
(1)令a b 1, 得(a b) n 的二项式系数之和为2n ,
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C b
2
n
n
n
二项式定理：即(a+b)n的展开式
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C b
2
n
n
n
k
(1)展开式共_____项，各项次数是___，各项系数是____.
1 8
[例3]已知( x 3 ) ,
x
(1)求展开式的第3项;
(2)其展开式的第4项的系数为_____,第4项的二项式系数为___;
人教版高中数学选修2-3二项式定理 (共16张PPT)教育课件
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
余
天
，
贫
穷
与
富
贵
，
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
，
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
，
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
，
芸
芸
众
生
皆
是
客
，
时
光
深
处
，
流
年
似
水
，
转
瞬
间
，
光
阴
就
会
老
去
，
留
在
心
头
的
，
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
，
淡
看
流
年
，
掬
一
捧
岁
月
，
握
一
份
懂
得
，
红
尘
口
罗
不
–■
① 项： a 3
a 2b ab 2 b 3
a3kbk
二项式定理---课件
• 对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；而对于有理 项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰 好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指 数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求 解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指 数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
一个展开式的第三项．
[解析] (a＋b)2n 展开式中奇数项的二项式系数的和
为 22n－1，
x＋ 1 n 3 x
展开式中偶数项的二项式系数的和为
2n－1. 依题意，有 2n－1＝22n－1－120，即(2n)2－2n－240＝0，
解得 2n＝16 或 2n＝－15(舍)．∴n＝4.
于是，第一个展开式中第三项为
3．“杨辉三角”与二项式系数的性质 (1)对称性：在(a＋b)n 的展开式中，________的两个二 项式系数相等，即 C0n＝Cnn，C1n＝Cnn－1，…，Crn＝Cnn－r. (2)增减性与最大值：当 k<n＋2 1时，二项式系数是逐 渐 ________ 的 ， 由 对 称 性 可 知 它 的 后 半 部 分 是 逐 渐 ________的，且在中间取到最大值．当 n 是偶数时，中间 两项的二项式系数________取得最大值；当 n 是偶数时， 中间两项的二项式系数________相等，且同时取到最大 值．
• a0－a1＋a2－…＋a2 010＝32 010②
• 与①式联立，①－②得
• 2(a1＋a3＋…＋a2 009)＝1－32 010，
(3)∵Tr＋1＝Cr2 010·12 010－r·(－2x)r ＝(－1)r·C2r 010·(2x)r. ∴a2k－1<0(k∈N＋)，a2k>0(k∈N＋)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 010| ＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 010， 所以令 x＝－1 得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 010＝32 010.
高考数学一轮复习第九章概率与统计第2讲二项式定理课件理
第四页，共三十九页。
3.二项式系数(xìshù)的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，
即 Cnr＝Cnn－r.
(2)增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间一项的二项式系
n
n1
n1
数
C
2 n
最大；当
n
是奇数时，中间两项的二项式系数Cn2
，Cn2
相
等且最大.
(3)各二项式系数的和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝___2_n____， 其中 C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1，即奇数项的二 项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于 2n－1.
解析：由题意(x－y)(x＋y)8 的展开式中得到 x2y7 可能为 xC78xy7－yC68x2y6＝[C78－C68]x2y7＝－20x2y7，其系数为－20.
第七页，共三十九页。
3.(2015 年重庆)x3＋2
1
5
x
的展开式中
x8
5 的系数是___2____.
(用数字作答)
解析：二项展开式通项为
第二十一页，共三十九页。
【互动(hù dònɡ)探究】
1.(2016
年上海)在 3
x
2 x
n
的二项式中，所有项的二项式
系数之和为 256，则常数项等于__1_1_2__.
解析：因为二项式所有项的二项式系数之和为 2n，所以 2n
＝256.所以 n＝8.二项式展开式的通项为 Tr＋1＝C8r( 3 x )8－r·－2xr
第二十五页，共三十九页。
考点(kǎo di二ǎn)项3式展开式中系数(xìshù)的最值问题
例
3：已知x＋2
3.二项式系数(xìshù)的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，
即 Cnr＝Cnn－r.
(2)增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间一项的二项式系
n
n1
n1
数
C
2 n
最大；当
n
是奇数时，中间两项的二项式系数Cn2
，Cn2
相
等且最大.
(3)各二项式系数的和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝___2_n____， 其中 C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1，即奇数项的二 项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于 2n－1.
解析：由题意(x－y)(x＋y)8 的展开式中得到 x2y7 可能为 xC78xy7－yC68x2y6＝[C78－C68]x2y7＝－20x2y7，其系数为－20.
第七页，共三十九页。
3.(2015 年重庆)x3＋2
1
5
x
的展开式中
x8
5 的系数是___2____.
(用数字作答)
解析：二项展开式通项为
第二十一页，共三十九页。
【互动(hù dònɡ)探究】
1.(2016
年上海)在 3
x
2 x
n
的二项式中，所有项的二项式
系数之和为 256，则常数项等于__1_1_2__.
解析：因为二项式所有项的二项式系数之和为 2n，所以 2n
＝256.所以 n＝8.二项式展开式的通项为 Tr＋1＝C8r( 3 x )8－r·－2xr
第二十五页，共三十九页。
考点(kǎo di二ǎn)项3式展开式中系数(xìshù)的最值问题
例
3：已知x＋2
第十章 §10.2 二项式定理-2024-2025学年高考数学大一轮复习(人教A版)配套PPT课件
(x＋y)8 展开式的通项为 Tk＋1＝Ck8x8－kyk，k＝0,1，…，7,8. 令 k＝6，得 T6＋1＝C68x2y6； 令 k＝5，得 T5＋1＝C58x3y5， 所以1－yx(x＋y)8 的展开式中 x2y6 的系数为 C68－C58＝－28.
(2)若(x2＋a)x＋1x8 的展开式中 x8 的系数为 9，则 a 的值为__1___.
自主诊断
2.(选择性必修第三册P31T4改编) 1x－
x10
的展开式中x2的系数等于
√A.45
B.20
C.－30
D.－90
k
因为展开式的通项为Tk＋1＝(1)k C1k0x 2
·x－(10－k)＝(
1)k
C1k0
x
10
3 2
k
Hale Waihona Puke ，令－10＋32k＝2，得 k＝8，
所以展开式中 x2 的系数为(－1)8×C810＝45.
则CC4n2n＝134，
nn－1 故nn－11n×－22n－3＝134，
1×2×3×4
得n2－5n－50＝0，解得n＝10(负值舍去)，故A正确；
则Tk＋1＝
(1)k
C1k0
x
20
5k 2
，
令 20－52k＝0，解得 k＝8， 则展开式中的常数项为(－1)8C810＝45，故 B 正确；
令 20－52k＝5，解得 k＝6，
第十章
§10.2 二项式定理
课标要求
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理 解决与二项展开式有关的简单问题.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分
人教A版选择性必修第三册6.3.1二项式定理课件
分析：本金10万元，年利率11％，按单利计算，10年后的本利和是10×(1 ＋11％×10)＝21(万元); 本金10万元，年利率9％，按复利计算，10年后的本利和是10×(1＋9％)10; 那么如何计算 (1＋9％)10 的值呢？能否在不借助计算器的情况下，快速、 准确地求出其近似值呢？
探究点1 多项式的乘法规律
2．三项或三项以上的展开问题 应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为 计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合， 项与项结合时要注意合理性和简捷性．
(1)在(2x－1)(x－y)6 的展开式中，x3y3 的系数为( )
A．50 B．20 C．15 D．－20
(x－y)6 的通项为 Cr6(－1)rx6－r·yr (0≤r≤6，r∈Z)，
1.数学抽象：二项式定理. 2.数学运算：二项式定理的应用.
新课引入 某人投资10万元，有两种获利的可能供选择。一种是年利率11 ％，按单利计算，10年后收回本金和利息。另一种是年利率9％，按复利计 算，10年后收回本金和利息。
试问，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资10年后大约可多得利 息多少元？
(x－ 2 )4 的展开式的通项为 Tk＋1＝(－ 2 )kCk4 x4－k，
令4－k＝2，则k＝2， 所以含 x2 的项为(－ 2 )2C24 x2＝12x2.
x)4＝161x2(2x－1)4
＝1 16x2
(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)
＝x2－2x＋32－21x＋161x2.
(2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)kCkn(x＋1)n－k ＋…＋(－1)nCnn. (2)原式＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
探究点1 多项式的乘法规律
2．三项或三项以上的展开问题 应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为 计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合， 项与项结合时要注意合理性和简捷性．
(1)在(2x－1)(x－y)6 的展开式中，x3y3 的系数为( )
A．50 B．20 C．15 D．－20
(x－y)6 的通项为 Cr6(－1)rx6－r·yr (0≤r≤6，r∈Z)，
1.数学抽象：二项式定理. 2.数学运算：二项式定理的应用.
新课引入 某人投资10万元，有两种获利的可能供选择。一种是年利率11 ％，按单利计算，10年后收回本金和利息。另一种是年利率9％，按复利计 算，10年后收回本金和利息。
试问，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资10年后大约可多得利 息多少元？
(x－ 2 )4 的展开式的通项为 Tk＋1＝(－ 2 )kCk4 x4－k，
令4－k＝2，则k＝2， 所以含 x2 的项为(－ 2 )2C24 x2＝12x2.
x)4＝161x2(2x－1)4
＝1 16x2
(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)
＝x2－2x＋32－21x＋161x2.
(2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)kCkn(x＋1)n－k ＋…＋(－1)nCnn. (2)原式＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
高中数学同步教学课件 二项式定理 (2)
知识梳理
注意点： (1)每一项中a与b的指数和为n. (2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依 次增加1，到n为止. (3)a与b的位置不能交换.
例1
(1)求3
x＋
1
4
x
的展开式.
方法一
3
x＋
1
4
x
＝C04(3
x)4＋C14(3
x)3 1x＋C24(3
x)2
1234
五
课时对点练
基础巩固
1.(x＋2)n的展开式共有16项，则n等于
A.17
B.16
√C.15
D.14
∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有16项，∴n＝15.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.若(1－2x)n的展开式中x3的系数为－160，则正整数n的值为
√A.32
B.－32
C.1 024
D.512
a10－2C110a9＋22C210a8－…＋210＝(a－2)10， 当 a＝2－ 2时，(a－2)10＝32.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6.在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是
A.－5
第六章 §6.3 二项式定理
6.3.1 二项式定理
学习目标
1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
导语
英国科学家艾萨克·牛顿(Isaac Newton,1643－1727)被誉为人类历史上最 伟大的科学家之一.他不仅是一位物理学家、天文学家， 还是一位伟大的数学家.1664年冬，由于瘟疫流行迫使 牛顿从剑桥回到乡下，研读沃利斯博士的《无穷算术》， 牛顿开始了对二项式定理的研究，并最终建立了二项式 定理.那么，牛顿是如何思考的呢？
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11 2 m 5m
A
2 m2 113 m
(m N )
5 23 2 n 公差是（ x ) 的展开式中常数项，其中n为 2x 5 7777 15除以19的余数，求(n 8, n N )展开式中，第五、第六、第七项 的系数成等差，求展开式中 (1)中间项; (2)二项式系数最大的项： （3）系数最大的项： （4）各项系数之和。
二项式定理（二）
1
复习
温故而知新
n
－ － －
1．二项式定理
0 n 1 n 1 1 2 n 2 2 r n r r C a ＋ C a b ＋ C a b ＋…＋ C b n n na ( a＋ b) ＝ n
n ＋…＋Cn nb (n∈N＋) _______________________ 这个公式所表示的定理叫做二项式定
9
（2）设(x 1) (x 2) a0 a1 ( x 3) a2 ( x 3) L a9 ( x 3)
4 5 2
9
则(a0 a2 a4 a6 a8 )2 (a1 a3 a5 a7 a9 )2 _______
(3)若等差数列{an }的首项a1 =C
理，右边的多项式叫做(a＋b)n 的二项展开式，其中的系数 Cr n(r ＝0,1,2，…，n)叫做 二项式系数 项展开式的通项 Tr＋1＝
n－r r Cr a b . n
n r r ．式中的 Cr b 叫做二 na
－
，用 Tr＋1 表示，即展开式的第r＋1
项；
2
2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为
4
6
3
例3、已知 (1 2 x展开式中第 2项大于它的相邻两项， ) 求x的范围。
5
1 n 例4、(1)已知( x 2 ) 的第5项的二项式系数与第3 3x
项的二项式系数比为14：3，求展开式中不含x 的项。
2 n (2)已知 ( x 2 ) 的展开式中，第5项的系数与 x
第3 项的系数比为56：3，求展开式中的常数项。
(4)二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项
1 3 5 0 2 4 n－1 C ＋ C ＋ C ＋ … ＝ C ＋ C ＋ C ＋ … ＝ 2 n n n n n 式系数和，即 n .
4
课前练习：
1 2 3 n1 n 1. Cn 等于 （ ） 2Cn 4Cn 2 C n n n n 3 1 3 n A. 3 B. 3 1 C. D. 1
1 5 2 2 5 4 3 5 7 6 4 5 8 5 5
10
(2)3 3 C 3 C 3 C 3 C 3 C
10 9 1 10 8 2 10 3 10 6 4 10 5
5 10
3 C 3 C 3 C 3C
4 6 10 3 7 10 2 8 10
9 10
(3)C 2C 3C ... nC
3
3．二项式系数的性质 (1)在二项展开式中， 与首末两端“等距离”的两项的_______ 二项式 _________ 系数 相等． (2)如果二项式的幂指数是偶数， 中间一项 的二项式系数 最大；如果二项式的幂指数是奇数， 中间两项 的二项式系数相 等并且最大．
n 0 2 n n ＋C1 (3)二项式系数的和等于 2 ，即 Cn n＋Cn＋…＋Cn＝2 .
•练习:
•(1)若已知(1+2x)200= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + …+ a200(x-1)200
求a1+a3+a5+a7+…+a199 的值。
8
[点评] 二项式定理给出的是一个恒等式，对于 a，b 的 一切值都成立．因此，可将 a，b 设定为一些特殊的值．在使 用赋值法时，令 a，b 等于多少，应就具体情况而定，有时取 “1”，有时取“－1”，也有时要取其他值．一般地，若 f(x) ＝ a0 ＋ a1x ＋ a2x2 ＋ … ＋ anxn ，则 f(x) 展开式各项系数之和为 f1＋f－1 f(1)，偶数项系数之和 a0＋a2＋a4＋…＝ ，奇数项 2 f1－f－1 系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝ . 2
2 2 2 x 3x 2 的展开式中x的系数为（ 2．在 ） A．160 B．240 C．360 D．800
5
3.求(1 x) (1 x) 2 (1 x)16 的展开式中 x 项的系数. 4．已知 (1 x) (1 x) 2 (1 x) n
an x n , a1 a2 an1 6 n ( 1 y ) y 29 n(n N , n 1), 那么 的展开式中含 项的系数是 a0 a1 x a2 x 2
5
3
.
5.求值：
(1)1 C 2 C 2 C 2 C 2 C 2
7
赋值法
例5、已知(1-2x)7=a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 ,则
(1)a1+a2+a3+…+a7=_______
(2)a1+a3+a5+a7 =_________
(3)a0+a2+a4+a6 =_________
(4) ao a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 _____
1 n 2 n 3 n
n n
16
例1、计算：
5 4 3 2 ( x 1) 5( x 1) 10( x 1) 10( x 1) 5( x 1) （ 1）
（2）1 2C
1 n
4C ... 2 C
2 n n
n n
例2、求 (1 x)
6
(1 x) 的展开式中的 x 系数。
n＋1
.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和 为
n
.
降幂 升幂
(3)字母 a 按 到零；字母 b 按 n.
排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直 排列，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到
0 Cn ，C1 n，一直到 n－ 1 Cn ，Cn n.
(4)二项式的系数从