圣维南原理证明
圣维南原理
——局部效应原理(P29)
为简化局部边界上的应力条件提供很大便利.
局部效应原理简单表述为: 在结构局部作用一组等效载荷 ,产生的影响是局部的.
Saint-Venant 表明: Saint-Venant原理表明: 表明
在结构局附近区域——在距离该区域相当 远处,这种影响便急剧减小.
如图所示
Saint-Venant的推论 Saint-Venant的推论
平衡力系等效原理——
在弹性体的一小部分边界上作用一 组平衡力系,则只对力作用的边界附近 的应力有影响,而对力作用的较远处的 应力几乎无影响.(零力等效)
例如—— 例如—— 钢丝钳剪断金属丝时, 钢丝钳剪断金属丝时,施力点附近产生很大的应 力,但稍离开施力点处,应力几乎完全消失. 但稍离开施力点处,应力几乎完全消失.
圣维南原理的应用
纯弯曲梁的边界条件
�
圣维南原理及其证明
圣维南原理及其证明圣维南原理又称为中值定理，是微积分中一个重要的定理。
它是由法国数学家约瑟夫·路易·圣维南于1690年发现并提出的。
该原理主要用于描述实函数的连续性与导数之间的关系，并说明在一定条件下函数在其中一区间上的平均变化率与其中一点上的瞬时变化率之间存在关系。
1.第一中值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上可导（注意不一定连续），则在开区间(a,b)内存在一个点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
即函数在区间[a,b]上有一点的导数等于该区间上函数值的平均变化率。
2.第二中值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续且在开区间(a,b)上可微，且f(a)≠f(b)，则在开区间(a,b)内存在一个点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
即函数在区间[a,b]上其中一点的导数等于该区间上函数值的平均变化率。
3.第三中值定理：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续且在开区间(a,b)上可微，且g'(x)≠0且g(a)≠g(b)，则在开区间(a,b)内存在一个点c，使得[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)]=f'(c)/g'(c)。
即两个函数在区间[a,b]上的斜率之比等于它们在开区间(a,b)内其中一点的导数之比。
对于圣维南原理的证明，需要运用微积分的基本概念和定理。
以下以第一中值定理为例进行证明。
证明：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上可导。
我们定义一个新的函数g(x)=f(x)-[(f(b)-f(a))/(b-a)](x-a)。
1.首先验证函数g(x)在闭区间[a,b]上连续。
由于f(x)在[a,b]上连续，那么f(x)-[(f(b)-f(a))/(b-a)](x-a)也是连续函数。
2.再来验证函数g(x)在开区间(a,b)上可导。
6 圣维南原理解析
y方向力等效：
yx
h
h
( y )
y 0
dx P sin
对O点的力矩等效：
h ( y ) xdx P sin h y 0 2
h
x方向力等效：
h
h
( yx )
y 0
dx P cos
注意：
y , xy
必须按正向假设！
N
p Xx l x m yx n zx
p Y y l xy m y n zy
Z Y
X
Z
Y Xl x s m yx Nhomakorabeas n zx s X l xy s m y s n zy s Y l xz s m yz s n z s Z
影响区 域约为作用 面尺寸的2-3 倍。
材料力学的性能试验，试验数据与 装夹头具体类型无关。
实验证明，夹持钢筋只会使夹持部 位有较大应力，无论作用力多大，在距 离力的作用区域比较远处，几乎没有应 力产生。
有限元分析也证明了这一点。
圣维南原理(Saint-Venant Principle) 物体表面某一小面积上作用的外力 力系，如果被一个静力等效力系所替带， 那么物体内部只能导致局部应力的改变。 而在距离外力的作用点较远处，这种影 响便急剧减小，其影响可以忽略不计。
x x h 0 0 xy x h
右侧面：
l 1, m 0
X y ,Y 0
代入应力边界条件公式，有
x x h y 0 xy x h
上端面：
次要边界，可由
圣维南原理求解。
y
注意事项
圣维南原理
几何方程
应变
协调条件
位移
位移求解： 位移
几何方程
应变
物理方程
应力
应力解法
未知数3个σx、σy、τxy，须联立平衡方程与 变形协调条件，以平面应力问题为例， 将虎克定律代入应变协调条件得到：
xy ( x y ) 2 ( y x ) 2(1 ) 2 y x xy
X Y x y x 2 y 2 ( x y ) (1 )
2 2
(1)
平面应力情形
控制方程
μ
μ/1-μ
平面应变情形
控制方程
1 X Y ( ) x y x 2 y 2 1 x y
i
这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正 确，但对变形体而言一般是不等效的。
2.圣维南原理
(Saint-Venant Principle)
原理： 若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布 不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有 显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。 P P/2
P A
h( yx )y Nhomakorabea0dx P cos
可见，与前面结果相同。
§2-8 平面问题应力解法
上节回顾 应力解法 应力函数
上节回顾
平衡方程 基本方程 几何方程 物理方程 位移边界 边界条件 应力边界 混合边界 弹性力学问题的解
基本方程
1、平衡方程
xy x X 0 x y xy y Y 0 x y
P P/2
P A P A
P
3.圣维南原理的应用
圣维南原理及其证明
圣维南原理及其证明：历史与评述赵建中云南大学资源、环境与地球科学学院地球物理系，昆明650091 摘要圣维南原理（Saint-Venant’s Principle）是弹性力学的基础性原理，圣维南原理的证明一直是弹性力学重要的研究课题。
本文以圣维南原理研究中最重要的事件为线索，对圣维南原理的发展历史作了综述，对重要的研究工作和结果进行了评论；发表和论证了图平定理不是圣维南原理的数学表达、一般的圣维南原理不成立、修正的圣维南原理可以证明为真等观点；介绍了建立修正的圣维南原理的数学方法；阐述了研究圣维南原理证明问题的意义；目的在于引起对这些有关圣维南原理的基本问题的关注和讨论，促进圣维南原理研究的繁荣和发展。
关键词圣维南原理，历史，图平定理，证明，否证，数学表达，修正，意义中图分类号：0343.2AMS Subject Classifications: 74G50引言弹性力学的圣维南原理已经有一百多年的历史了[1,2]。
早期有关原理有重要的文章[39] 。
波西涅克（Boussinesq）[3]于1885年、勒夫（Love）[4]于1927 年分别发表了圣维南原理的一般性陈述。
然而Mises[5]认为勒夫陈述不清楚并提出修改的陈述，其后的论证既可以看作是对一般的Mises 陈述的否证，又可以看作是对具有特殊条件的Mises 陈述的证明。
Sternberg [6]赞同Mises的修改，他的论证也可以既看作是对Mises 陈述（Sternberg称为圣维南原理的传统陈述）的一般性的否证，又看作是对附加了条件的Mises 陈述的证明。
Truesdell[10]于1959年断言，如果关于等效载荷的圣维南原理为真，它“必须是”线性弹性力学“一般方程的数学推论”。
这就从理性力学的角度提出了圣维南原理的证明问题，圣维南原理被视为一个数学命题，其真理性需要证明。
毫无疑问，圣维南原理的数学证明成了一个学术热点。
为了揭示原理隐秘的内涵，或者说破解原理之谜，学者们花费了巨大的努力。
6-圣维南原理解析
例 图示矩形截面水坝， 其右侧受静水压力， 顶部受集中力作用。 试写出水坝的应力边 界条件。
左侧面：
l 1, m 0
X Y 0
代入应力边界条件公式
l( x )s m( xy )s X m( y )s l( xy )s Y
x xh 0
xy
xh
0
右侧面：
l 1, m 0
X y,Y 0
静力等效 两个力系，若它们的主矢量、主矩
相等，则两个力系为静力等效力系。
R Fi MO mO (F i )
这种等效有效的条件？
静力等效
在端面上合力为零，合力矩为M， 即静力等效力系，但它们的外力分布不 一样。外力作用区域状态肯定不一致， 问题时该区域有多大，是否对其他区域 有影响？
影响区 域约为作用 面尺寸的2-3 倍。
§1-6 圣维南(Saint-Venant)原理
问题的提出
弹性力学问题的求解是在给定的边界条 件下求解基本方程。使应力分量、应变分量、 位移分量完全满足8个基本方程相对容易。但 对于工程实际问题，构件表面面力或者位移是 很难满足边界条件要求。这使得弹性 力学解的应用将受到 极大的限制。
？
？
？
为了扩大弹性力学解的适用范围，放宽这 种限制，圣维南提出了局部影响原理。
N
pXx l x m yx n zx
Z
Y X
Z Y
X
pYy l xy m y n zy
pZz l xz m yz n z
l x s m yx s n zx s X l xy s m y s n zy s Y l xz s m yz s n z s Z
P
P
P P/2
P
A
圣维南原理并说明它的用途
圣维南原理并说明它的用途圣维南原理（Saint-Venant's principle）是弹性力学中的一个基本原理，也被称为等效自由力原理或诺特尔对偶原理。
它是由法国数学家和工程师阿道夫·圣维南（Adhémar Jean Claude Barréde Saint-Venant）于19世纪中期提出的。
圣维南原理的基本思想是，当对结构施加作用力并达到平衡状态时，结构内部的应力分布在离作用点足够远的地方将变得无关紧要，只保留结构的整体行为。
具体来说，圣维南原理认为结构在受力下，仅在应力集中的区域附近才会出现显著的变形和应力，而在远离这些集中应力区域的地方，结构的变形和应力将逐渐趋于均匀分布，从而使结构产生一个等效的自由体力或力偶。
这种等效力或力偶可以反映出结构的整体行为和响应，用来简化对结构的分析和计算。
圣维南原理的主要用途如下：1. 结构受力分析：在结构力学中，使用圣维南原理可以简化结构的受力分析。
通过将外部作用力转化为等效的自由力或力偶，并结合结构的边界条件和材料性质，可以有效地求解结构的应力、应变和变形等问题。
这对于设计和优化复杂结构的强度和刚度具有重要意义。
2. 结构变形衡量：通过圣维南原理，可以量化结构的变形情况。
根据等效自由力或力偶的大小和方向，可以确定结构的变形形态和位移分布。
这对于工程师评估和控制结构的变形行为，尤其是在弹性阶段的变形情况，非常有帮助。
3. 结构优化设计：圣维南原理可以在结构优化设计中发挥重要作用。
通过分析结构的等效自由力或力偶，可以直观地了解结构的受力特点和存在的问题，从而指导工程师进行合理的结构调整和优化。
这可以使结构更加经济高效，减轻结构在受力中的应力集中和可能的破坏。
4. 材料选择和设计验证：圣维南原理可以帮助工程师选择合适的材料和验证结构的设计安全性。
通过分析结构的等效自由力或力偶，可以评估结构在不同材料参数下的应力分布和变形行为，从而选择适合的材料，并验证结构的安全性和可靠性。
圣维南原理的理解及其在工程问题中的应用
一、题目圣维南原理的理解及其在工程问题中的应用二、涉及到的弹性力学相关概念介绍1855年，圣维南在梁理论研究中提出：若在物体一小部分区域上作用一平衡力系，则此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生影响，只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。
这就是著名的圣维南原理。
圣维南原理的一种较为实用的提法是：若作用在物体局部表面上的外力，用一个静力等效的力系（具有相同的主矢和主距）代替，则离此区域较远的部分所受影响可以忽略不计[1]。
三、正文部分1圣维南原理的理解圣维南原理的提出背景求解弹性力学问题就是在给定边界条件下求解偏微分方程。
边界条件不同，问题的解答也不一样。
但是要求出严格满足边界条件的精确解，有时是非常困难的，另外，对于一些实际问题，不能确切的给出面力的分布，只是知道它在某边界上的合理与合力偶的大小。
于是我们会提出一个问题，能不能用一个可解的等效力系来代替它；满足合力、合力偶条件的解是否可以替换它。
这个问题可由圣维南发原理来回答。
凭借生活经验的理解对于圣维南原理的第一种提法：若在物体一小部分区域上作用一平衡力系，则此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生影响，只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形，可以用一个实例先简单理解。
例如用钳子剪钢丝即使外力大道把钢丝剪断的程度，根据生活经验，钢丝的应力和变形仅局限于潜口附近。
经验表明，这一平衡力系越小，对钢丝其它部分的影响越小[3]。
对于圣维南原理的另一种提法是：若作用在物体局部表面上的外力，用一个静力等效的力系（具有相同的主矢和主距）代替，则离此区域较远的部分所受影响可以忽略不计。
可以这样理解:悬臂梁在端部不沿受集中力作用，基础上增加一对自相平衡的力系。
再减少一对相平衡的力系，根据圣维南原理，仅在小区域那有明显差异，而在该区域之外应力几乎是相同的[1]。
简单应用的理解书上的例子是这样的：如图所示，设有柱形构件，在两端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力F，如图（a），如果把一端或两端的拉力变化为静力等效的力，图（b）或图（c），则只有虚线划出的部分的应力分布有显著的改变，而其余部分所受的影响是可以不计的。
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有限元圣维南原理简述
圣维南原理（Saint Venant ’s Principle ）是弹性力学的基础性原理，是法国力学家圣维南于1855年提出的。
其内容是：分布于弹性体上一小块面积（或体积）内的荷载所引起的物体中的应力，在离荷载作用区稍远的地方，基本上只同荷载的合力和合力矩有关；荷载的具体分布只影响荷载作用区附近的应力分布。
还有一种等价的提法：如果作用在弹性体某一小块面积（或体积）上的荷载的合力和合力矩都等于零，则在远离荷载作用区的地方，应力就小得几乎等于零。
不少学者研究过圣维南原理的正确性，结果发现，它在大部分实际问题中成立。
因此，圣维南原理中“原理”二字，圣维南原理（Saint-Venant ’s Principle ）表述如下：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。
圣维南原理是弹性力学的基础性原理，圣维南原理的证明一直是弹性力学重要的研究课题，在此通过ANSYS 软件工具，进行该原理的证明。
2. ANSYS 证明
当物体一小部分边界上的位移边界条件不能满足时，也可以应用圣维南原理得到用用的解答。
例如，图1，2 所示构建的右端是固定端，则在该构件的右端，有边界条件()0,()0s s u u v v ====。
这就是说，右端固定端的面力，静力等效于经过右端截面形心的力F 。
结果仍然应该是在靠近两端处有显著的误差，而在离两端较远之处，误差是可以不计的。
考虑到在ANSYS 中建立约束条件的可行性，采用具有代表性的进行建模分析。
图1
图2
1) 创建有限元模型——柱形构件
为便于在两端面中心加载，选用四面体单元类型。
由于ANSYS的单元类型是在不断发展和改进的，同样功能的单元，编号大的往往意味着在某些方面有优化或者增强。
在ANSYS 15.0中，选用Solid-Tet-10 node 187单元类型。
根据常用材料属性表，选用弹性较好较为常用的低碳钢，弹性模量取EX=2.0E11，泊松比PRXY=0.25。
为满足小边界条件，使L>>h，创建一个长、宽、高分别为1m，0.01m，0.01m的长方体，并对其进行自由网格划分，SmatSize 取6。
建模及网格划分结果如下图3所示
图3 矩形截面直杆模型的ANSYS建模与网格划分
2、施加载荷并求解。
低碳钢的屈服极限为207MPa，取安全系数S=2时，计算可得，在不发生塑性变形的前提下，在断面可施加的最大力为：
Fmax=
62
*/(207*10*0.01/2)10.35
s A S N KN σ==
1）在柱形构件一端加上全自由度位移约束，另一端面中心加上沿X方向的F=5KN的集中力作用，求解。
约束及载荷施加结果如图4所示。
图4 集中力及约束施加结果
2）在柱形构件一端加上全自由度位移约束，另一端面（与集中力作用端面相同）加上与集中力静力等效的P=5e7N的均布载荷作用，求解。
约束及载荷施加结果如图5所示。
图5 均布载荷及约束施加结果
3、查看分析结果。
1）分别生成在柱形构件端面施加集中力与等效均布载荷情况下，各节点X 方向位移图以及位移分布变化曲线。
如下图所示。
图6 集中力下各节点X方向位移图
图7均布载荷下各节点X方向位移图
2）分别生成在柱形构件端面施加集中力与等效均布载荷情况下，其平均应力分布图以及各节点处平均应力分布变化曲线。
如下图所示。
图8集中力下所得平均应力分布图
图9均布载荷下所得平均应力分布图
图10均布载荷下所得平均应力分布图
在ANSYS后处理中，基于两端面中心的1117号节点和1122号节点，建立贯穿柱形构件中线的路径，并分别将X方向位移数值和平均应力数值映射到所创建的路径上。
数值列表及分布曲线如下所示：
图11集中力下各节点处位移分布变化曲线
图12均布载荷下各节点处位移分布变化曲线
图13集中力下各节点处平均应力分布变化曲线
图14均布载荷下各节点处平均应力分布变化曲线
3) 基于其他有限元模型
同样道理，亦可建立满足一定长宽比的基本的圆柱、圆锥构件等，原理过程与柱形构建一致，在此不复赘述。
三、分析与总结
由图可知，所创建柱形构件在受到集中力及与其等效的均布载荷作用下，
其绝大部分平均应力数值均处于5000Pa左右，而且各节点处应力分布变化情况也基本一致，只在添加约束及受力端面处有明显变化。
故此矩形截面直杆两端受等效应力的实例结果，即验证了圣维南原理的正确性：作用在物体一端（次要边界或是小边界）的荷载，如果只改变应力分布而不改变合成，那么就只会显著改变该端附近的应力，在距离端部较远处相差甚微。
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