华北电力大学理论力学第四章 物体系的平衡
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3-3物体系的平衡
F
B 60°C 2m
E
M 4m
A
4m
2m
2m
2m
D
F
B 60°C 2m E M 4m 4m 2m 2m 2m
解：1.先取CD为研究对象， 受力分析如图。
C FC M D FD
A
D
4m 2m
M 0 ,
M F 2 0 D 4
2 2
FD = 8.95 kN
错在何处？
力偶M与一对力平衡，FC 和FD的方向未知， 不能想当然地认为垂直于CD杆！
FDy = 6.5 k N
FDx
FDy
思考题：（1）人重为W，板重为P，若人有足够大的力量，在 图示结构中，人能否维持平衡。（2）如何求人的算双手作用在 AB杆上的力。不计AB杆、滑轮以及绳索的重力。
问题1：对于静不定问题，可否求解出部分未知量 问题2：如何解除约束，使静不定变为静定问题
例 3-7 如 图 所 示 水 平 横
FAy
A
q
C
M
FB
B x
F
x
0,
FAx 0
Ay
FAx
2a
F 0, F M F 0,
y A
q 2 a G FB 0
G 4a
FB 4 a G 2 a q 2 a a M 0
4. 联立求解。
FAx 0, F B FAy G 3 qa 4 2
F
B 60°C 2m
正解：1.先取BC为研究对 象，受力分析如图。
M
E
4m
A
M F 0 ,
C
4m
2m
工程力学理论力学第4章
———合力矩定理
M O ( R ) mO ( Fi )
n i 1
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。 即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系 中各力对于同一点之矩的代数和。
§4-2
平面任意力系的平衡条件与平衡方程
由于 F ' =0 为力平衡 R MO=0 为力偶也平衡 所以平面任意力系平衡的充要条件为：
解得：
qa m 200.8 16 RB 2 P 220 12( kN) 2 a 2 0.8 Y A P qa RB 20 200.81224(kN)
§4-4 物体系统的平衡、静定与超静定问题的概念
一、静定与超静定问题的概念 我们学过： 平面汇交力系 X 0 Y 0 力偶系 两个独立方程，只能求两个独立 未知数。 一个独立方程，只能求一个独立未知数。
主矩MO =0
所以 平面平行力系的平衡方程为：
Y 0
mO ( Fi ) 0
mA ( Fi ) 0
实质上是各力在x 轴上的投影 恒等于零，即
X 0
一矩式
二矩式
mB ( Fi ) 0
条件：AB连线不能平行 于力的作用线
恒成立
的未知数。
，所以只有两个
独立方程，只能求解两个独立
mi 0
X 0 平面 Y 0 任意力系
三个独立方程，只能求三个独立未知数。 mO ( Fi ) 0
当：独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）
[例]
M
静定（未知数三个）
超静定（未知数四个）
超静定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移 谐调条件来求解。
M O ( R ) mO ( Fi )
n i 1
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。 即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系 中各力对于同一点之矩的代数和。
§4-2
平面任意力系的平衡条件与平衡方程
由于 F ' =0 为力平衡 R MO=0 为力偶也平衡 所以平面任意力系平衡的充要条件为：
解得：
qa m 200.8 16 RB 2 P 220 12( kN) 2 a 2 0.8 Y A P qa RB 20 200.81224(kN)
§4-4 物体系统的平衡、静定与超静定问题的概念
一、静定与超静定问题的概念 我们学过： 平面汇交力系 X 0 Y 0 力偶系 两个独立方程，只能求两个独立 未知数。 一个独立方程，只能求一个独立未知数。
主矩MO =0
所以 平面平行力系的平衡方程为：
Y 0
mO ( Fi ) 0
mA ( Fi ) 0
实质上是各力在x 轴上的投影 恒等于零，即
X 0
一矩式
二矩式
mB ( Fi ) 0
条件：AB连线不能平行 于力的作用线
恒成立
的未知数。
，所以只有两个
独立方程，只能求解两个独立
mi 0
X 0 平面 Y 0 任意力系
三个独立方程，只能求三个独立未知数。 mO ( Fi ) 0
当：独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）
[例]
M
静定（未知数三个）
超静定（未知数四个）
超静定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移 谐调条件来求解。
理论力学课件 简单物体系平衡问题
2R
r
3.3 简单物体系平衡问题
M
q
30o
F
A
C
B 60o D
l
l
l
l
例3-6 如图所示组合梁由AC 和CD在C处铰接而成。梁的 A端插入墙内，B处铰接一 二力杆。已知：F=20 kN， 均 布 载 荷 q=10 kN/m ， M=20 kN•m，l=1 m。试求 插入端A及B处的约束力。
3.3 简单物体系平衡问题
作业1 图示结构，各杆在A、E、F、G处均为铰接，B处为光滑 接触。在C、D两处分别作用力P1和P2，且P1＝P2＝500 N，各杆 自重不计，求F处的约束反力。
2m 2m 2m
A DE
F
P2 G
C
P1
B 2m
2m
2m
作业2 刚架的支承和载荷如图所示。已知均布载荷的集度q1 =
4kN/m，q2 = 1kN/m，求支座A、B、C三处的约束力。
只分析解题过程
3.3 简单物体系平衡问题
FCy FCx
FAx
FEx
FAy
FEy
整体４未知
AC 5未知
BD 3未知
FAx FAy FB
FB
FDy FDx
3.3 简单物体系平衡问题
FAx
FAx
FEx
FAy
FEy
FAy
AC
列三方程求其余 的约束力
FCy FCx
BD 3未知
∑MD =0
求 FB
整体４未知三汇交
∑ FB
M E = 0 求FAy
FDy FDx
FB
3.3 简单物体系平衡问题
思考题：人重W，板重P，若人有足够大的力量。 1、可能维持平衡的是？ 2、哪种情况人更费力？
r
3.3 简单物体系平衡问题
M
q
30o
F
A
C
B 60o D
l
l
l
l
例3-6 如图所示组合梁由AC 和CD在C处铰接而成。梁的 A端插入墙内，B处铰接一 二力杆。已知：F=20 kN， 均 布 载 荷 q=10 kN/m ， M=20 kN•m，l=1 m。试求 插入端A及B处的约束力。
3.3 简单物体系平衡问题
作业1 图示结构，各杆在A、E、F、G处均为铰接，B处为光滑 接触。在C、D两处分别作用力P1和P2，且P1＝P2＝500 N，各杆 自重不计，求F处的约束反力。
2m 2m 2m
A DE
F
P2 G
C
P1
B 2m
2m
2m
作业2 刚架的支承和载荷如图所示。已知均布载荷的集度q1 =
4kN/m，q2 = 1kN/m，求支座A、B、C三处的约束力。
只分析解题过程
3.3 简单物体系平衡问题
FCy FCx
FAx
FEx
FAy
FEy
整体４未知
AC 5未知
BD 3未知
FAx FAy FB
FB
FDy FDx
3.3 简单物体系平衡问题
FAx
FAx
FEx
FAy
FEy
FAy
AC
列三方程求其余 的约束力
FCy FCx
BD 3未知
∑MD =0
求 FB
整体４未知三汇交
∑ FB
M E = 0 求FAy
FDy FDx
FB
3.3 简单物体系平衡问题
思考题：人重W，板重P，若人有足够大的力量。 1、可能维持平衡的是？ 2、哪种情况人更费力？
理论力学,动力学,第四章 力系的平衡-r
§4-4 静定与超静定问题 一、静定与超静定问题
物体系统的平衡
（1）
不完全约束
机构
（2）
完全约束
静定结构
（3）
多余约束
超静定结构
§4-4 静定与超静定问题 一、静定与超静定问题
物体系统的平衡
静定问题
一次超静定问题
三次超静定问题
§4-4 静定与超静定问题
物体系统的平衡
例1：联合梁由AC、CB铰接而成，已知F＝5kN，q＝
第四章
• • • •
力系的平衡
汇交力系的平衡 力偶系的平衡 任意力系的平衡 物体系统的平衡
力系的平衡
§4-1 汇交力系的平衡
一、汇交力系平衡的充分必要条件
FR F1 F2 Fn 0
二、汇交力系的平衡方程
空间汇交力系： 平面汇交力系：
FRx =Fix=0
FRy =Fiy=0
FAx MA FAy
FE
练习4：
如图杆系结构中BD、DE杆水 平，长各为l，AB、EH杆铅垂， 长各为2l，CD杆铅垂，长为l。 已知m = ql2/2，试求1、2、3、4 杆所受之力。 q
B D 2 C 4 H E
q
B 2 D 3
E
1
A
C
4 H
m
FB
3
m
FHx
FHy
§4-4 静定与超静定问题
物体系统的平衡
200kN,载重W1距左轨的最远距 离为12m，试问： （1）为保证起重机在满载和 空载时都不致翻倒，求配重W2 应为多少？ （2）当W2＝480kN，求满载时 轨道A、B处的约束反力。
6m
2m
W2
W1
理论力学4.3第4-3章物体系的平衡 静定和超静定问题
DM FD
θ
FCB
C
q
P
A E
DM 2a
θ
C a
B a
q
A E
P B
FBC
q
例 题 5 求：A、E的约束
反力和BC杆内力。
a
a a
解：(1) 取整体为研究对象
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Fx 0, FAx 0
Fy 0,
FAy FE qa 0
D
M E 0, FAy a qa 1.5a 0
A
B
C
③
2a
②
① D
aa
aa
A 2a
P q
B ②③
① D
aa
a
C a
B
q
C
FBx
③
FBy ②
F1
D
Aq MA
FAx
FAy
P
B
C
③ ②
D F1
例 题 7 求：D、E的约束反力。
FAy
2m 2m
解：(1)取CDE为研究对象
A
M E 0, FDy 2 500 4 0(1)
C
D
Fy 0, FDy FEy 500 0 (2)
§4.4 物体系的平衡 ·静定和静不定问题
●静定体系：未知量数目等于独立平衡方程数目
●超静定体系：未知量数目多于独立平衡方程数目
q
A
FA
B
FB
C
A
EB
F
D
1m
2m
1m
P
AC
B
FC
FA
FB
《理论力学》第4章 力系的平衡
解：1、明确研究对象； 2、取脱离体，受力分析画受力图； 3、立平衡方程求解。
F ix
0:
FA cos30 FB cos60 F cos60 0
F iy
0:
FA sin 30 FB sin 60 F sin 60 0
解得： F 3F / 2, F F / 2
A
B
★理论力学电子教案
第4章 力系的平衡
第4章 力系的平衡
18
例题 求图示梁的约束力。已知FP=15kN，M=20kNm，图中长度 单位为m。
★理论力学电子教案
第4章 力系的平衡
19
解 ：分 析 梁 ， 作 示 力 图.
首 先 由 M iD' 0 可 直 接 求 得FB。 然 后 由 Fix 0与 Fiy 0 分 别 求 出FC与FA。
MA FAx
FAy A
F1
FBx
B FBy
★理论力学电子教案
F1
m C
AB
第4章 力系的平衡
26
F2 D
独立平衡方程个数6；未知
量个数8。称2次超静定。
工程中的结构大多数为超静定结构，为什么？
★理论力学电子教案
第4章 力系的平衡
27
超静定问题能求解吗？
超静定问题并不是不能解决的问题，而只是不 能仅用平衡方程来解决的问题。问题之所以成为超 静定的，是因为静力学中把物体抽象成为刚体，略 去了物体的变形；如果考虑到物体受力后的变形， 在平衡方程之外，再列出某些补充方程，问题也就 可以解决。
如果所考察的问题的未知力的数目多于独立平衡方程的
数目，仅仅用平衡方程就不可能完全求得那些未知力，这类
问题称为超静定问题或静不定问题（statically indeterminate
F ix
0:
FA cos30 FB cos60 F cos60 0
F iy
0:
FA sin 30 FB sin 60 F sin 60 0
解得： F 3F / 2, F F / 2
A
B
★理论力学电子教案
第4章 力系的平衡
第4章 力系的平衡
18
例题 求图示梁的约束力。已知FP=15kN，M=20kNm，图中长度 单位为m。
★理论力学电子教案
第4章 力系的平衡
19
解 ：分 析 梁 ， 作 示 力 图.
首 先 由 M iD' 0 可 直 接 求 得FB。 然 后 由 Fix 0与 Fiy 0 分 别 求 出FC与FA。
MA FAx
FAy A
F1
FBx
B FBy
★理论力学电子教案
F1
m C
AB
第4章 力系的平衡
26
F2 D
独立平衡方程个数6；未知
量个数8。称2次超静定。
工程中的结构大多数为超静定结构，为什么？
★理论力学电子教案
第4章 力系的平衡
27
超静定问题能求解吗？
超静定问题并不是不能解决的问题，而只是不 能仅用平衡方程来解决的问题。问题之所以成为超 静定的，是因为静力学中把物体抽象成为刚体，略 去了物体的变形；如果考虑到物体受力后的变形， 在平衡方程之外，再列出某些补充方程，问题也就 可以解决。
如果所考察的问题的未知力的数目多于独立平衡方程的
数目，仅仅用平衡方程就不可能完全求得那些未知力，这类
问题称为超静定问题或静不定问题（statically indeterminate
静定和超静定
FDy 2F
对ADB杆受力图
MA 0
FBx 2a FDx a 0
得
FBx F
解：先整后零
F 0 F 0
y x
M
A
0
再研究DC杆 可将 FDy 求解出来 最后研究BC杆 可将 F 求解出来
Dx
§3-4
平面简单桁架的内力计算
桁架：一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构， 它在受力后几何形状不变。 节点：桁架中杆件的铰链接头。
解: 取大轮，塔轮及重物C,画受力图.
M
由
B
0
Pr F R 0
Pr F 10 P t 1 R
Fr tan 200 Ft
Fr Ft tan 200 3.64 P 1
F
x
yLeabharlann 0 FBx Fr 0
0 FBy P P2 F 0
FBx 3.64P 1
M
C
0
FDB cos 45 2l FK l FEx 2l 0
0
FDB
3 2 P 8
(拉)
习题
已知: P2=2P1， P=20P1 ，r, R=2r, 20 ;
求:物C 匀速上升时，作用于小轮上的力偶矩M； 轴承A，B处的约束力.
齿轮传动机构，大轮上固定一塔轮，大轮和塔轮共重P2,压力 角又叫啮合角，啮合力与节圆切线的夹角
静定物系的平衡问题解题步骤：
1.分析系统由几个物体组成； 2.按照便于求解的原则，适当选取整个或者 个体为研究对象进行受力分析并画出受力 图，一般先取整体，整体行不通再拆； 3.列出平衡方程并解出未知量。
选取研究对象和列平衡方程时，尽量使方 程中只含一个未知量，避免求解联立方程。
理论力学课件 6.1 物体系的平衡,静定和超静定的概念
各种平面力系的平衡方程。 投影式、取矩式。
平衡力系对任意一点的力的投影之和等于零，力矩之和等于零。
可以列出无数个平衡方程。 可以求解无数个未知数？ • 平面任意力系，3 个； • 平面汇交力系，2 个； • 平面平行力系， 2 个； • 平面力偶系， 1 个。 实际工程中，大多都是物体系的平衡。有的时候未知量的数目等 于独立平衡方程的数目；但有的时候，为了使结构更加稳固，需 要增加多余的约束使得未知量数目多于独立平衡方程数。
物体系的平衡·静定和超静定
例2 图示结构中，已知重物重力为P，DC=CE=AC=CB=2l，定滑轮半径为 R，动滑轮半径为r，且R=2r=l, θ=45º。试求A、E支座的约束力以及BD杆
所受到的力。
D
解：解这类题时，应根据已知条件与待求未知量，选
FA K
取适当的系统为研究对象，并列适当的平衡方程，尽 量能使一个方程解出一个未知量。一般先分析整体。 (1) 取整体为研究对象，画出其受力图。
物体系的平衡·静定和超静定
物体系的平衡·静定和超静定问题
物体系的平衡·静定和超静定
本讲主要内容
1、物体系的平衡，静定和超静定的概念 2、物体系的平衡问题练习 3、平面简单桁架的内力计算
物体系的平衡·静定和超静定
1、物体系的平衡，静定和超 静定的概念
物体系的平衡·静定和超静定
(1) 问题的引出
1、物体系的平衡，静定和超静 定的概念
åMC = 0
FB
sin
60o
×
l
-
ql
×
l 2
-
F
cos
30o
×
2l
=
0
FB=45.77kN
先局部后整体的方法
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1．刚体系的静定和超静定
由多个刚体相互约束组成的系统称为刚体系。在一般情况下，若系统 是静定的，则刚体系的未知变量总数必等于独立方程总数。静定的 刚体系也称为静定结构。若未知变量总数大于独立方程总数，则系 统是超静定的，称为超静定结构。若未知变量总数小于独立方程总 数，则为不完全约束，刚体系可产生运动而不可能平衡。受不完全 约束的刚体系通常称为机构。
G FAB FAC （a） A G
y
x
例4-3
平面刚架的各部分及受力如图4-7(a)所示，A端为固定端约束，图中 各参数q、F、M、L均为已知。试求A端的约束力。 解：以刚架ABCD整体为研究对象 列平衡方程
F F
x y
0 , FAx qL 0 0 , FAy F 0
3 M M M F L qL L0 0 , A A 2
主矢
0 FR
F F F
ix
iy iz
0 0 0
主矩 M O 0
（对任意点主矩）
M x (F i) 0 M y (F i) 0 M z ( Fi ) 0
共六个独立方程，可解出六个未知量。
特殊力系平衡方程
空间汇交力系
可列三个独立方程
Fix 0 Fiy 0 Fiz 0
F
x
0 , FAB cos30 F 0
得
FAB
2 F 3
A
FAB M
（2）再取OA为研究对象
M
O
( F ) 0 , FAB cos 30 r M 0
FOx
O FOy
解得
M Fr
例题 三刚体平衡
求A、B、D、G处约束。
解：
（1）先分析EG段
F 0 , F 0 , M 0 ,
x y E
FEx 0 FEy FG 2 4.5 0
得
FG 4.5 2 4.5 2.25 0 FEy 4.5, FG 4.5
（2）再分析CE段
F 0 , F 0 , M 0 ,
x y C
FEx FCx 0 FCy FD FEy 10 0 FD 4.5 FEy 6 10 2 0
M
解得
A
0
FB 4a M P 2a q 2a a 0
FB 3 1 P qa 4 2 FAy q 2a P FB 0
Fy 0
解得
P 3 FAy qa 4 2
例题
起重架可借绕过滑轮A的绳索将重力的大小G=20kN的物体吊起，滑轮A用 不计自重的杆AB和AC支承，不计滑轮的自重和轴承处的摩擦。求系统平 衡时杆AB、AC所受力（忽略滑轮的尺寸）。 解： 以滑轮A为研究对象，受力如图（a）所示
(2) 列平衡方程并求解
M
M
M
解得
A
0
FG 2 FP 3 FT sin 30 4 0
B
0
FAy 4 FG 2 FP 1 0
C
0
F Ax 4 tan 30 FG 2 F P 3 0
2 FG 3FP 2 1 3 8 13.00 kN 4 0.5 4 sin 30
FBx 14.14kN
FBy 7.07 kN
FC 7.07kN
分清内力与外力
[例] 已知OA=r，求机构平衡时力矩M与力F的关系。
A
M
B
30
F
O
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各刚体之间的相互作用力叫内力。
解：
AC为二力杆，
（1）先分析滑块B
FAB B FB F
静定与静不定
静定
超静定
静定
超静定
刚体系平衡的求解方法
方法: 1. 先整体，后局部。 2. 先局部，后整体。 3. 局部，整体同时分析。
原则: 减少计算工作量，避免求解联立方程。
例题4-5
组合梁ABC的支承与受力情况如图所示 ，已知P = 30kN，Q = 20kN ， =45°，l=2m。试求A，B及C处的约束力。
第四章
物体系的平衡
§4-1 力系的平衡条件及平衡方程
1 力系的平衡条件
一个力系的主矢和对任一点的主矩都等于零，该力系称为平衡力系。
力系平衡的充分必要条件：
0 ，对任意点的主矩 力系的主矢 FR
M O 0。
即
Fi 0
M（ 0 O Fi）
2 力系的平衡方程
将主矢、主矩投影到x, y, z坐标轴上，得到六个标量 方程。
三矩式方程
（A、B、C三点不得共线）
平衡方程的其它形式的分析论证
几个注意的问题
（1）平衡方程的其它形式 平衡方程的形式多样（两矩式方程，三矩式方程），根据情 况，灵活选择矩心的位置，以简化代数方程求解 。 （2）空间力系的处理方法 工程实际中绝大多数问题都是空间力系问题，空间力系问题 中很大一部分问题是可以通过适当的简化和合理的假定，最 后按照平面力系问题来处理的。只有哪些无法简化为平面问 题的力系，才采用空间力系平衡理论去分析。物体平衡与力 系平衡的关系 （3）物体平衡与力系平衡的含义是不同的 力系平衡是说该力系和一个零力系等效。物体平衡是指其相对 于惯性参考系静止或作匀速直线运动的状态，是机械运动的 一种特殊形式。也就是说力系平衡是物体（物体系）平衡的 必要条件，而不是充分条件。
解： 取梁AB为研究对象，受力图及坐标系的选取如图
F
x
0
y
FAx 0
FAy ql F 0
F
0
M A 0
M A ql 2 / 2 Fl M 0
例题 已知：
P, q, a, M pa;
求：支座A、B处的约束力. 解：1）取AB梁，画受力图. 2）列平衡方程 Fx 0 FAx 0 解得 FAm 0
FT
FAx
2 FG 3FP 2 1 3 8 11.26 kN 4 0.577 4 tan 30
FAy
2 FG FP 2 1 8 2.50 kN 4 4
例题 如图横梁，已知：P，q，a，M=Pa 求：支座A、B处的约束力. 解：1）取AB梁，画受力图. 2）列平衡方程 FAx 0 Fx 0
F 0 , F F 0 , F M (F ) 0 ,
x y A
Ax Ay
FBx 0 FBy P 0 M A Pl FBy 2l 0
解得A，B及C处的约束力为
FAx 14.14kN
FAy 37.07 kN
M A 88.28kN m
(1) 取起重机为研究对象，受力如图 （2）当满载时，重量P1在端部，系统有绕B点翻转的趋势，临界平衡状态 下支座 A的约束力为0。
M
B
0
（6 2）P3 2 P2 （ 12 2）P1 4 FA 0
FA 2 P3 0.5 P2 2.5 P1
不翻倒的条件
FA 0
M x (F i) 0 M y (F i) 0 M z ( Fi ) 0
变速箱
空间力偶系
可列三个独立方程
空间平行力系
可列三个独立方程
Fiz 0 m x ( Fi ) 0 m y ( Fi ) 0
平面任意力系
可列三个独立方程
Fx 0 Fy 0 M O 0
分析：1 先分析BC段，再整体分析。 2 先分析BC段，再分析AB段。
解：
（1）取梁BC为研究对象
F 0 , F 0 , M 0 ,
x y B
FBx Qcos45 0 FBy FC Qcos45 0 FC 2l Q lcos45 0
（2）再取梁AB为研究对象
解得：
ห้องสมุดไป่ตู้
FAx qL
FAy F
3 M A M qL2 FL 2
例4-4平面平行力系
塔式起重机机身重量为P2＝700kN ，起吊的最大重量 为P1＝200kN，最大悬臂长12m，轨道A、B的间 距为4m，平衡块重P3，其作用线距塔架中心6m。 试求使起重机满载和空载不至于翻倒时，起重机 平衡块重P3的值。 解
解得
FAx 0, FAy 9, FB 15.1, FD 10.4, FG 4.5
如图所示结构(各杆自重不计)。若 F1 F 2 200 kN ，C、 D、E处均为中间铰约束。试求：A、B、C处的约束反力 。
解：(1)取整体为研究对象。
例4-6
M
A
0
( FB F2 ) 2l F1 3l 0
§ 4.2 平面力系的平衡
1 工程中的平面力系
2 平面力系平衡方程.
平衡方程
标准式方程
Fx 0 Fy 0 M O 0
二矩式方程
Fx 0 M A 0 （A、B两点连线不得与投影轴垂直） M B 0
M A 0 M B 0 M C 0
Fx 0
Fy 0
FAB G cos 30 G sin 30 0
FAC G cos 30 G sin 30 0
FAB G (cos 30 sin 30) 7.32 kN
FAC G (cos 30 sin 30) 27.32 kN
(3) 取BEC杆为研究对象。
M
P3 2.5P1 0.5P2 75kN
（3）当空载时，重量P1=0，系统有绕A点翻转的趋势，
由多个刚体相互约束组成的系统称为刚体系。在一般情况下，若系统 是静定的，则刚体系的未知变量总数必等于独立方程总数。静定的 刚体系也称为静定结构。若未知变量总数大于独立方程总数，则系 统是超静定的，称为超静定结构。若未知变量总数小于独立方程总 数，则为不完全约束，刚体系可产生运动而不可能平衡。受不完全 约束的刚体系通常称为机构。
G FAB FAC （a） A G
y
x
例4-3
平面刚架的各部分及受力如图4-7(a)所示，A端为固定端约束，图中 各参数q、F、M、L均为已知。试求A端的约束力。 解：以刚架ABCD整体为研究对象 列平衡方程
F F
x y
0 , FAx qL 0 0 , FAy F 0
3 M M M F L qL L0 0 , A A 2
主矢
0 FR
F F F
ix
iy iz
0 0 0
主矩 M O 0
（对任意点主矩）
M x (F i) 0 M y (F i) 0 M z ( Fi ) 0
共六个独立方程，可解出六个未知量。
特殊力系平衡方程
空间汇交力系
可列三个独立方程
Fix 0 Fiy 0 Fiz 0
F
x
0 , FAB cos30 F 0
得
FAB
2 F 3
A
FAB M
（2）再取OA为研究对象
M
O
( F ) 0 , FAB cos 30 r M 0
FOx
O FOy
解得
M Fr
例题 三刚体平衡
求A、B、D、G处约束。
解：
（1）先分析EG段
F 0 , F 0 , M 0 ,
x y E
FEx 0 FEy FG 2 4.5 0
得
FG 4.5 2 4.5 2.25 0 FEy 4.5, FG 4.5
（2）再分析CE段
F 0 , F 0 , M 0 ,
x y C
FEx FCx 0 FCy FD FEy 10 0 FD 4.5 FEy 6 10 2 0
M
解得
A
0
FB 4a M P 2a q 2a a 0
FB 3 1 P qa 4 2 FAy q 2a P FB 0
Fy 0
解得
P 3 FAy qa 4 2
例题
起重架可借绕过滑轮A的绳索将重力的大小G=20kN的物体吊起，滑轮A用 不计自重的杆AB和AC支承，不计滑轮的自重和轴承处的摩擦。求系统平 衡时杆AB、AC所受力（忽略滑轮的尺寸）。 解： 以滑轮A为研究对象，受力如图（a）所示
(2) 列平衡方程并求解
M
M
M
解得
A
0
FG 2 FP 3 FT sin 30 4 0
B
0
FAy 4 FG 2 FP 1 0
C
0
F Ax 4 tan 30 FG 2 F P 3 0
2 FG 3FP 2 1 3 8 13.00 kN 4 0.5 4 sin 30
FBx 14.14kN
FBy 7.07 kN
FC 7.07kN
分清内力与外力
[例] 已知OA=r，求机构平衡时力矩M与力F的关系。
A
M
B
30
F
O
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各刚体之间的相互作用力叫内力。
解：
AC为二力杆，
（1）先分析滑块B
FAB B FB F
静定与静不定
静定
超静定
静定
超静定
刚体系平衡的求解方法
方法: 1. 先整体，后局部。 2. 先局部，后整体。 3. 局部，整体同时分析。
原则: 减少计算工作量，避免求解联立方程。
例题4-5
组合梁ABC的支承与受力情况如图所示 ，已知P = 30kN，Q = 20kN ， =45°，l=2m。试求A，B及C处的约束力。
第四章
物体系的平衡
§4-1 力系的平衡条件及平衡方程
1 力系的平衡条件
一个力系的主矢和对任一点的主矩都等于零，该力系称为平衡力系。
力系平衡的充分必要条件：
0 ，对任意点的主矩 力系的主矢 FR
M O 0。
即
Fi 0
M（ 0 O Fi）
2 力系的平衡方程
将主矢、主矩投影到x, y, z坐标轴上，得到六个标量 方程。
三矩式方程
（A、B、C三点不得共线）
平衡方程的其它形式的分析论证
几个注意的问题
（1）平衡方程的其它形式 平衡方程的形式多样（两矩式方程，三矩式方程），根据情 况，灵活选择矩心的位置，以简化代数方程求解 。 （2）空间力系的处理方法 工程实际中绝大多数问题都是空间力系问题，空间力系问题 中很大一部分问题是可以通过适当的简化和合理的假定，最 后按照平面力系问题来处理的。只有哪些无法简化为平面问 题的力系，才采用空间力系平衡理论去分析。物体平衡与力 系平衡的关系 （3）物体平衡与力系平衡的含义是不同的 力系平衡是说该力系和一个零力系等效。物体平衡是指其相对 于惯性参考系静止或作匀速直线运动的状态，是机械运动的 一种特殊形式。也就是说力系平衡是物体（物体系）平衡的 必要条件，而不是充分条件。
解： 取梁AB为研究对象，受力图及坐标系的选取如图
F
x
0
y
FAx 0
FAy ql F 0
F
0
M A 0
M A ql 2 / 2 Fl M 0
例题 已知：
P, q, a, M pa;
求：支座A、B处的约束力. 解：1）取AB梁，画受力图. 2）列平衡方程 Fx 0 FAx 0 解得 FAm 0
FT
FAx
2 FG 3FP 2 1 3 8 11.26 kN 4 0.577 4 tan 30
FAy
2 FG FP 2 1 8 2.50 kN 4 4
例题 如图横梁，已知：P，q，a，M=Pa 求：支座A、B处的约束力. 解：1）取AB梁，画受力图. 2）列平衡方程 FAx 0 Fx 0
F 0 , F F 0 , F M (F ) 0 ,
x y A
Ax Ay
FBx 0 FBy P 0 M A Pl FBy 2l 0
解得A，B及C处的约束力为
FAx 14.14kN
FAy 37.07 kN
M A 88.28kN m
(1) 取起重机为研究对象，受力如图 （2）当满载时，重量P1在端部，系统有绕B点翻转的趋势，临界平衡状态 下支座 A的约束力为0。
M
B
0
（6 2）P3 2 P2 （ 12 2）P1 4 FA 0
FA 2 P3 0.5 P2 2.5 P1
不翻倒的条件
FA 0
M x (F i) 0 M y (F i) 0 M z ( Fi ) 0
变速箱
空间力偶系
可列三个独立方程
空间平行力系
可列三个独立方程
Fiz 0 m x ( Fi ) 0 m y ( Fi ) 0
平面任意力系
可列三个独立方程
Fx 0 Fy 0 M O 0
分析：1 先分析BC段，再整体分析。 2 先分析BC段，再分析AB段。
解：
（1）取梁BC为研究对象
F 0 , F 0 , M 0 ,
x y B
FBx Qcos45 0 FBy FC Qcos45 0 FC 2l Q lcos45 0
（2）再取梁AB为研究对象
解得：
ห้องสมุดไป่ตู้
FAx qL
FAy F
3 M A M qL2 FL 2
例4-4平面平行力系
塔式起重机机身重量为P2＝700kN ，起吊的最大重量 为P1＝200kN，最大悬臂长12m，轨道A、B的间 距为4m，平衡块重P3，其作用线距塔架中心6m。 试求使起重机满载和空载不至于翻倒时，起重机 平衡块重P3的值。 解
解得
FAx 0, FAy 9, FB 15.1, FD 10.4, FG 4.5
如图所示结构(各杆自重不计)。若 F1 F 2 200 kN ，C、 D、E处均为中间铰约束。试求：A、B、C处的约束反力 。
解：(1)取整体为研究对象。
例4-6
M
A
0
( FB F2 ) 2l F1 3l 0
§ 4.2 平面力系的平衡
1 工程中的平面力系
2 平面力系平衡方程.
平衡方程
标准式方程
Fx 0 Fy 0 M O 0
二矩式方程
Fx 0 M A 0 （A、B两点连线不得与投影轴垂直） M B 0
M A 0 M B 0 M C 0
Fx 0
Fy 0
FAB G cos 30 G sin 30 0
FAC G cos 30 G sin 30 0
FAB G (cos 30 sin 30) 7.32 kN
FAC G (cos 30 sin 30) 27.32 kN
(3) 取BEC杆为研究对象。
M
P3 2.5P1 0.5P2 75kN
（3）当空载时，重量P1=0，系统有绕A点翻转的趋势，