高考文科数学模拟试题三

2014年泰安一中高考文科数学模拟试题（三）

一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分) 1. 复数

i

-12

化简的结果为（ ） A.1i + B.1i -+ C. 1i - D.1i --

2．已知向量(1,)x =a ，(1,)x =-b ，若2-a b 与b 垂直，则||=a （ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．4

3．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（ ） A ．1 B ．53

C ．2

D ．3

4．如图是一个算法的程序框图，当输入的值为5时，则其输出的结果是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 5．设a ,b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ） A ．,//,a b αβαβ⊥⊥ B ．,,//a b αβαβ⊥⊥

C ．,,//a b αβαβ?⊥

D ．,//,a b αβαβ?⊥

6．函数)1,0(23≠>-=+a a a y x 且的图象恒过定点A ，且点A 在直线01=++ny mx 上

)0,0(>>n m ，则

n

m 3

1+的最小值为（ ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．14 7．函数),2

||,0,0()sin(R x A B x A y ∈<>>++=π

?ω?ω的部分图象如图所示，则函数表

达式为（ ）

A ．1)6

3sin(2+-=ππx y B ．1)3

6

sin(2+-=π

πx y

C ．1)63

sin(2-+=ππx y D ．1)36sin(2++=π

πx y

8．若函数f(x)＝x

x a ka --(a ＞0且a≠1)在

()+∞∞-,上既是奇函数又是增函数，则)(log )(k x x g a +=的图象是（ ）

9．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．8 B ．

20

3

C ．

173 D ．143

10．已知抛物线22y px =的焦点F 到其准线的距离是8，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且||2||AK AF =，则AFK ?的面积为（ ）

A ．32

B ．16

C ．8

D ．4

第Ⅱ卷 非选择题部分（共100分）

二、填空题（共有5个小题，每小题5分，共25分）

11．已知ABC ?的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =，3b =，4cos 5

B =，则sin A 的值为__________．

12．点(,)P x y 在不等式组20

10220x y x y -≤??

-≤??+-≥?

表示的平面区域上运动，则z x y =-的最大值为

___________.

13．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，'()0f x >，且1()02

f -=，则不等式

()0f x <的解集为__________．

14．已知△ABC 中，AD BC ⊥于D ，2AD BD ==，1CD =，则AC AB ?=___ ． 15．已知函数()()1||

x

f x x R x =

∈+ 时，则下列结论正确的是 . ①x R ?∈，等式()()0f x f x -+=恒成立；②(0,1)m ?∈，使得方程|()|f x m =有两个不等实数根

③12,x x R ?∈，若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠

④(1,)k ?∈+∞，使得函数()()g x f x kx =-在R 上有三个零点

三、解答题：（本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分12分） 已知,,a b c 分别是ABC ?的三个内角,,A B C 的对边，2cos cos b c C

a A

-=

. （Ⅰ）求角A 的大小；

（Ⅱ）求函数3sin sin()6

y B C π

=+-的值域.

17. （本小题满分12分）

某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少%75的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区” ．已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区.

（Ⅰ）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；

（Ⅱ）假定选择的“非低碳小区”为小区A ，调查显示其“低碳族”的比例为2

1，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区A 是否达到“低碳小区”的标准？ 18. (本小题满分12分）

如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC , ,AB BC D ⊥为AC 的中点,12AA AB ==.

(1) 求证：1//AB 平面1BC D ；

(2) 若3BC =，求三棱锥1D BC C -的体积. 19. (本小题满分13分）

已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S n S 14

与2

(1)n a +的等比中项. O 月排放量 （百千克/户

频率 组距 0.46

0.23 0.10 0.07

1 2 3 4 5

图2

O 月排放量

（百千克/户

频率 组距 0.30 0.25 0.20 0.15 0.05

1 2 3 4 5 图1

6 0.14 D

C 1

A 1

B 1

C

B

A

第18题图

（Ⅰ）求证：数列{}n a 是等差数列；

（Ⅱ）若11b a =，且123n n b b -=+，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若3

n

n n a c b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .

20. (本小题满分13分）

已知函数1()x f x x e -=的定义域为(0,)+∞.

（I ）求函数()f x 在[]1,+m m （0>m ）上的最小值；

（Ⅱ）对(0,)x ?∈+∞，不等式2()1xf x x x λ>-+-恒成立，求λ的取值范围. 21. (本小题满分13分）

已知命题“若点00(,)M x y 是圆222x y r +=上一点，则过点M 的圆的切线方程为

200x x y y r +=”．

（Ⅰ）根据上述命题类比：“若点00(,)M x y 是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上一点，则过

点M 的切线方程为 ．”（写出直线的方程，不必证明）．

（Ⅱ）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为1(1,0)F -，且经过点（1，3

2

）．

（ⅰ）求椭圆C 的方程；

（ⅱ）过1F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，过点A 、B 分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程．

2014年泰安一中高考文科数学模拟试题（三）

一、选择题

1、A

2、C

3、C

4、D

5、C

6、A

7、A

8、C

9、C 10、A 二、填空题

11、2

5

12、2 13、11(,)(0,)22

-∞-U 14、2 15、①②③

三、解答题： 16、解：（I ）

…………………………………………………………………………………………………6分 （II ）22

(0,)3

33

A B C B π

ππ=

∴+=∈Q 且……………………………………………8分

…………………………………………………………………………………………………10分

所以所求函数值域为

(1,2]……………………………………………………………………12分

17、解：（Ⅰ）设三个“非低碳小区”为C B A ,,，两个“低碳小区”为,,m n 用),(y x 表示选定的两个小区，{},,,,,x y A B C m n ∈，

则从5个小区中任选两个小区,所有可能的结果有10个，它们是(,)A B ，(,)A C ，

(,)A m ，

(,)A n ,(,)B C ,(,)B m ,(,)B n ,(,)C m ,(,)C n ,(,)m n . …………2分

用D 表示：“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件，则D 中的结果有6个，它们是：(,)A m ,(,)A n ,(,)B m ,(,)B n ,(,)C m ,(,)C n . …………4分

故所求概率为

63

()105

P D =

=. …………6分 （II ）由图1可知月碳排放量不超过300千克的成为“低碳族”. …………8分

由图2可知，三个月后的低碳族的比例为0.070.230.460.760.75++=>，…………10分

所以三个月后小区A 达到了“低碳小区”标准. …………12分

18、证明:（1）连接1B C ,设1B C 与1BC 相交于点O ,连接OD . …………1分

∵ 四边形11BCC B 是平行四边形,∴点O 为1B C 的中点. ∵D 为AC 的中点，∴OD 为△1AB C 的中位线, ∴ 1//OD AB . …………4分 ∵OD ?平面1BC D ,1?AB 平面1BC D , ∴1//AB 平面1BC D . ………… 6分 解:（2）∵三棱柱111-ABC A B C ，∴侧棱11//AA CC ， 又∵1AA ⊥底面ABC ，∴侧棱1CC ABC ⊥面，

故1CC 为三棱锥1C BCD -的高，112A A CC ==， …………8分

2

3

)21(2121=?==

??AB BC S S ABC BCD …………10分 12

3

23131111=??=?==?--BCD BCD C BCC D S CC V V …………12分

19、解：（Ⅰ）221()(1)4n n S a =+即21

(1)4n n S a =+

…………1分

当1n =时，2111

(1)4a a =+，∴11a = …………2分

当2n ≥时，2111

(1)4n n S a --=+

∴22

1111(22)4n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+- 即11()(2)0n n n n a a a a --+--= …………3分 ∵0n a > ∴ 12n n a a --=

∴数列{}n a 是等差数列 …………4分 （Ⅱ）由123n n b b -=+得132(3)n n b b -+=+ …………6分

D

C 1

A 1

B 1

C

B

A

O

∴数列{3}n b +是以2为公比的等比数列

∴ 111113(3)2(3)22n n n n b b a --++=+=+= …………8分 ∴ 123n n b +=- …………9分 （Ⅲ）121

32

n n n n a n c b +-=

=+ …………10分 ∴234113521

2222n n n T +-=

++++

L ① 两边同乘以12得3452113521

22222n n n T +-=++++L ②

①-②得23451211222221

2222222

n n n n T ++-=+++++-L

1111121323

(1)22222n n n n n -++-+=+--=- …………13分

20、解：2

()x x xe e

f x x

-'=， …………1分 令()0f x '>得1x >；令()0f x '<得1x <

所以，函数()f x 在（0，1）上是减函数；在(1,)+∞上是增函数 …………2分

（I ）当1m ≥时，函数()f x 在[m,m+1]（m>0）上是增函数，

所以， min ()()m

e f x f m m ==

…………4分

当01m <<时，函数()f x 在[m,1]上是减函数；在[1,m+1] 上是增函数

所以， min ()(1)f x f e ==。 …………6分 （Ⅱ）由题意，对(0,)x ?∈+∞，不等式21x e x x λ++>恒成立

即 1

x e x x x

λ++>恒成立 …………8分

令1()x e g x x x x =++，则2

(1)(1)

()x e x x g x x ++-'=

…………10分 由()01;()01g x x g x x ''>><<得，由得， …………12分

所以，min ()(1)2g x g e ==+。 所以，2e λ<+. …………13分 21、解：（Ⅰ）00221x x y y

a b

+=；……………………………………………………………3分

（Ⅱ）（ⅰ）22143

x y +=； (7)

分

（ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设为k ，直线l 的方程为(1)y k x =+，

设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，

则椭圆在点A 处的切线方程为：

11143x x y y += ① 椭圆在点B 的切线方程为：22143

x x y y

+= ②

联解方程① ②得：2121122112214()4()

4(1)(1)

y y k x x x x y x y x k x x k x --=

==--+-+，

即此时交点的轨迹方程：4x =-． ……………………………… 11分

当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =-， 此时A 3(1,)2

-3(1,)2

B --，经过AB 两点的切线交点为(4,0)-

综上所述，切线的交点的轨迹方程为：4x =-． …………………………… 13分