第四章矩阵因子分解
正矩阵因子分解法
正矩阵因子分解法
正矩阵因子分解法，也称为Cholesky分解，是一种用于解决线性方程组的方法。
它的基本思想是将对称正定矩阵分解成两个因子，一个是下三角矩阵，另一个是它的转置。
下面我们来解释一下这个分解法的具体步骤。
1. 对称正定矩阵A的分解
Cholesky分解是从对称正定矩阵A开始的。
我们将A分解成下三角矩阵L和它的转置L^T的乘积，即A=LL^T。
在这个式子中，L是下三角矩阵，L^T是L的转置矩阵。
2. 判断矩阵是否对称正定
在进行Cholesky分解之前，需要先判断矩阵是否对称正定。
如果矩阵不是对称正定的，则Cholesky分解法不适用于该矩阵。
3. 下三角矩阵L的求解
对于下三角矩阵L的求解，我们可以采用以下的迭代公式：L(i, j) = (A(i, j) - Σ(k=1)^{j-1}L(i, k)L(j, k))/L(j, j)，其中i≥j，L(i, i)=sqrt(A(i, i) - Σ(k=1)^{i-1}L(i, k)^2)。
4. 解方程组
在进行了三步之后，我们就可以使用得到的L来解方程组Ax=b，即先解Ly=b，然后解L^Tx=y。
这样我们就得到了方程组的解。
Cholesky分解法的优点是计算速度快，特别是对于大规模稠密矩阵的解法。
此外，它还可以用于其他数学问题，比如说最小二乘问题，高斯随机场等。
但该方法缺点在于，如果矩阵不是对称正定的，则该方法不适用。
同济大学研究生课程教学大纲
同济大学研究生课程教学大纲课程名称所在院（系、所）适用专业填表日期同济大学研究生院培养处制课程编号：（请用4号字填写）课程名称：（请用黑体4号字填写）英文名称：（请用4号字填写）开课单位：（请用宋体5号字填写）开课学期：（请用宋体5号字填写）课内学时：（请用宋体5号字填写）教学方式：（请用宋体5号字填写）适用专业：（请用宋体5号字填写）考核方式：（请用宋体5号字填写）预修课程：（请用宋体5号字填写）一、教学目标与要求（请用宋体5号字填写）二、课程内容与学时分配（请用宋体5号字填写）三、实验及实践性环节（注：此项没有的不填）（请用宋体5号字填写）四、教材（序号，编著者姓名，教材名称，出版社，版次，出版日期）（请用宋体5号字填写）主要参考书（序号，编著者姓名，教材名称，出版社，版次，出版日期）（请用宋体5号字填写）大纲撰写负责人：（请用宋体5号字填写）授课教师：（请用宋体5号字填写）课程编号：000109课程名称：矩阵论英文名称：The Theory of Matrices开课单位：081（理学院数学系）开课学期：1课内学时：60 教学方式：讲授适用专业：工科各专业考核方式：考试预修课程：线性代数、高等数学一、教学目标与要求本课程较全面、系统地介绍矩阵的基本理论、方法和某些应用，重点是线性空间及其映射、变换，以及矩阵运算等。
难点是理解线性空间、线性映射、线性变换的不变子空间、λ矩阵在相抵下的标准形和矩阵算子范数等抽象概念以及计算线性映射在基下的矩阵、-的各种因子分解等。
通过本课程中基本概念和基本定理的阐述和论证，培养研究生的抽象思维与逻辑推理能力，提高研究生的数学素养。
在重视数学论证的同时，强调数学概念的物理、力学等实际背景，培养研究生应用数学知识解决实际工程技术问题的能力。
通过本课程的学习，要求研究生掌握矩阵的基本理论和方法，为学习后续课程、开展科学研究打好基础。
二、课程内容与学时分配第一章线性空间与内积空间（8学时）1．1 预备知识：集合·映射与数域 1．2 线性空间1．3 基与坐标 1．4 线性子空间1．5 线性空间的同构 1．6 内积空间第二章线性映射与线性变换（8学时）2．1 线性映射及其矩阵表示 2．2 线性映射的值域与核2．3 线性变换 2．4 特征值与特征向量2．5 矩阵的相似对角形 2．6 线性变换的不变子空间2．7 酉（正交）变换与酉（正交）矩阵第三章λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形（8学时）3．1 一元多项式 3．2 λ-矩阵及其在相抵下的标准形3．3 λ-矩阵的行列式因子和初等因子 3．4 矩阵相似的条件3．5矩阵的Jordan标准形3．6 Cayley-Hamilton定理与最小多项式第四章矩阵的因子分解（8学时）4．1 初等矩阵 4．2 满秩分解4．3 三角分解 4．4 QR分解4．5 Schur定理与正规矩阵 4．6 奇异值分解第五章 Hermite 矩阵与正定矩阵（6学时）5．1 Hermite 矩阵与Hermite 二次型 5．2 Hermite 正定（非负定）矩阵5．3 矩阵不等式 5．4 Hermite 矩阵的特征值* 第六章 范数与极限（10学时）6．1 向量范数 6．2 矩阵范数6．3 矩阵序列与矩阵级数 6．4 矩阵扰动分析第七章 矩阵函数与矩阵值函数（4学时）7．1 矩阵函数 7．2 矩阵值函数7．3 矩阵值函数在微分方程组中的应用 7．4 特征对的灵敏度分析* 第八章 广义逆矩阵（6学时）8．1 广义逆矩阵的概念 8．2 广义逆矩阵A -与线性方程组的解8．3 极小范数广义逆A m -与相容方程组的极小范数解8．4 最小二乘广义逆A i -与矛盾方程组的最小二乘解8．5 广义逆矩阵A +与线性方程组的极小最小二乘解第九章 Kronecker 积与线性矩阵方程（2学时）9．1 矩阵的Kronecker 积 9．2 矩阵的拉直与线性矩阵方程9．3 矩阵方程AXB C =与矩阵最佳逼近问题* 9．4 矩阵方程AX B =的Hermite 解与矩阵最佳逼近问题* 9．5 矩阵方程AX XB C +=和X AXB C-=* 第十章 非负矩阵* 10．1 非负矩阵与正矩阵 10．2 素矩阵与不可约矩阵10．3 随机矩阵 10．4 M —矩阵注：带“*”者为机动的内容。
第四章 矩阵
Ch5 P234 习题4（1）
13.正交矩阵
定义7：P370CH9
1.正交矩阵的充要条件
A
（a
）正交（A是实矩阵）
ij
A为正交阵
A1为正交阵
A为正交阵
A*为正交阵
A1 A
2）A正交，则A的特征值的模为1；
3）A正交，则 A 1； 4） A、B正交，则AB正交.
,A )为准对角阵，则 S
秩A=秩A +秩A
1
2
L
秩AS
4）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 1
2
,L
,B ) S
那么 AB diag( A1B1,L , AS BS )
5）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 12
,L
,B ) S
8) 设A为n m复矩阵，则 秩A=秩A=秩AA=秩AA
9) A,B为n n矩阵，AB=0,则 秩A+秩B n,(P200.18)
10) A为n n矩阵, A2 E,则
秩（A+E）+秩(A-E)=n；（P .3） 203
11) A为n n矩阵, A2 A,则
秩A+秩(A-E)=n；（P .4） 203
1）设 A, B 为n阶矩阵，则
① tr(A B) trA trB
② tr(kA) ktrA
③ trA trA ④ trAB trBA
2）A ~ B 那么 trA trB
3) A为n阶方阵，则A的特征多项式为
则有 E A
n
b n1 n1
正定矩阵因子分解法
正定矩阵因子分解法正定矩阵因子分解法是一种非常有效的矩阵分解技术，是矩阵分析和数据处理中的重要工具。
在数学、物理、工程、计算机科学等许多学科中都有广泛的应用。
本文将从概念、原理、应用等方面介绍正定矩阵因子分解法。
一、概念正定矩阵是指对于任意非零的列向量x，都有x’Ax>0的矩阵A。
其中x’表示x的转置，意义是x的行向量，x是一列向量。
正定矩阵因子分解法是把一个正定矩阵分解成两个较小的正定矩阵相乘的过程。
具体来讲，若A是一个n×n正定矩阵，则可以将它写成A=LL’的形式，其中L是一个n×r矩阵，r≤n，L’是L的转置，即r×n矩阵。
此时L被称为A的正定矩阵因子分解。
二、原理A的正定矩阵因子分解需要用到Cholesky分解。
Cholesky分解是对称正定矩阵的一种特殊分解形式，于1914年由法国数学家Cholesky提出，具体来说就是将对称正定矩阵A分解为A=LL’的形式，其中L是一个下三角矩阵，而L’为其转置。
这种分解形式在计算过程中比一般LU分解有更快的速度和更小的误差。
Cholesky分解的一个显著特点是只用考虑一个三角矩阵，而不需要LU 分解中的两个矩阵。
因此，它的实现比LU分解要容易，速度也更快。
此外，Cholesky分解也很适合数值计算，因为它能够避免数值精度的问题。
三、应用正定矩阵因子分解法在科学计算中有广泛的应用，例如统计学、信号处理、金融工程等领域。
在人工智能领域中，它被广泛应用于深度学习、矩阵分解等问题中。
举个例子，正定矩阵因子分解法在PCA（主成分分析）中起到关键作用。
PCA是一种线性映射，通过将向量投影到代表数据不同方面的主轴上来降低数据维度，从而得到一个更小的数据集。
在这个过程中，用到了数据的协方差矩阵，而协方差矩阵必须是正定的，因此需要用到正定矩阵分解。
四、总结正定矩阵因子分解法是一种重要的矩阵分解技术，它能够将一个大的正定矩阵分解成两个较小的正定矩阵相乘的形式。
正定矩阵因子分解法
正定矩阵因子分解法
正定矩阵因子分解法是将一个正定矩阵表示为若干个因子的乘积的方法，其中每个因
子也是正定矩阵。
正定矩阵因子分解法可以用于解决许多问题，例如：
1. 矩阵求逆
2. 矩阵特征值分解
4. 线性方程组求解
等等。
在正定矩阵因子分解法中，其中一个很重要的步骤是矩阵的对称平方根分解。
对称平
方根分解是将一个正定矩阵表示为一个下三角矩阵和它的转置矩阵的乘积的方法。
这个下
三角矩阵就是原矩阵的对称平方根。
当一个正定矩阵被成功地分解成若干个因子的乘积时，我们可以使用这些因子来求解
各种问题。
例如，我们可以使用这些因子来快速求解一个线性方程组，这个线性方程组的系数矩
阵是正定的。
具体来说，我们可以首先将系数矩阵写成对称平方根的形式，然后将方程组
转化为一个新的方程组，其中系数矩阵是一个对称三角矩阵。
最后，我们可以使用回代法
来求解这个新的方程组，从而得到原方程组的解。
除了线性方程组的求解，正定矩阵因子分解法还可以用于求解矩阵特征值和特征向量，以及计算矩阵和向量的广义逆。
总之，正定矩阵因子分解法是一个非常重要和有用的技术，在许多领域中都得到了广
泛的应用。
矩阵分析与计算--04-矩阵分解-01-Jordan标准型
则 A( ) 的 k 级行列式因子为
Dk ( ) d1 ( )d 2 ( ) d k ( ), k 1,2, r.
26
2）（定理4） 矩阵的Smith标准形是唯一的. 证：设 矩阵 A( ) 的标准形为
A( ) 与C ( ) 等价.
16
2) A( )与 B( ) 等价 存在一系列初等矩阵
P1 PS , Q1 Qt 使 A( ) P1 PS B( )Q1 Qt .
17
七、λ－矩阵的对角化
都等价于下列形式的矩阵
d1 ( ) d 2 ( )
19
1 2 1 1 2 0 [1,3] 1 3 1 1 2 1 2 1 1 3 1 0 2 0 3 2 0 0 1 2 0 [21(2 1),[31( 1)]] 0 3 2
2.（定理2）任意一个非零的 s n 的 一矩阵 A( ) 称之为 A( )的 Smith标准 形.
d r ( )
0
0
其中 r 1, d i ( ) ( i 1,2, 多项式，且
, r ) 是首项系数为1的
d i ( ) d i 1 ( ) ( i 1,2,
1
( )
1
i行 j行 1
14
② 初等矩阵皆可逆.
p( i , j )1 p( i , j )
p( i (c ))1 p( i ( 1 c ))
p( i , j( ( ))) p( i , j( ( )))
某211高校研究生课程《矩阵论》第4章l矩阵的因子分解剖析
(4.6.1)
引理4.6.2 设A C mn ,则
(1) AH A与AAH的特征值均为非负实数 ； (2) AH A与AAH的非零特征值相同，并且非零特征
值的个数(重特征值按重数计算)等于rank ( A).
定义4.6.1 设ACmn ,如果存在非负实数和非零向量
u Cn, v Cm使得
Au v, AH v u
定理4.6.1 若A是正规矩阵，则 A的奇异值是A的特征 值的模。
定理4.6.2 设 A是 m n 矩阵，且rank(A) = r，则存在 m阶酉矩阵V 和 n 阶酉矩阵U使得
V
H
AU
0
0 0
(4.6.5)
其中 diag(1,, r )，且1 r 0.
(4.6.5)称为矩阵 A的奇异值分解.
d1 a11 ,
dk
k k 1
,
k 2,, n
分解式 A LDU称为矩阵A的LDU分解。
一般说来，即使A是n阶非奇异矩阵， A未必 能作LU分解和LDU分解。
定义4.3.1 设ei是n 阶单位矩阵的第i列(i=1,2,…n)， 以e1, e2,, en为列作成的矩阵[ei1 , ei2 , , ein ] 称为 n 阶 排列矩阵，其中 i1, i2 ,, in 是1,2,…n的一个排列。
推论4.5.2 若 A是n 阶实对称矩阵，则 A正交相似于实 对角矩阵，即存在n 阶正交矩阵 Q 使得
QT AQ
(4.5.13)
其中 diag(1,, n )，i (i 1,, n)是A的实
特征值。
4.6 奇异值分解
引理4.6.1 设A C mn ,则
rank( AH A) rank( AAH ) rank( A)
矩阵分解发展历程
矩阵分解，也称为矩阵因子分解或矩阵分解，是矩阵理论中的一种重要技术。
以下是矩阵分解的发展历程：
1. 早期阶段：矩阵分解的思想在早期的线性代数教材中就已经出现，但当时并没有引起广泛的关注。
2. 1901年：法国数学家Édouard Goursat开展了关于矩阵分解的研究，他提出了Goursat定理，该定理描述了任意一个可逆矩阵如何可以被分解为一些初等矩阵的乘积。
3. 1909年：挪威数学家Harald Bohr和英国数学家F. Murnaghan 分别独立地提出了矩阵的谱分解，也就是将一个矩阵分解为一个对称正定矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
4. 1928年：英国数学家Hugh Everett提出了Everett定理，该定理给出了任意一个矩阵如何可以被分解为一些行阶梯形矩阵的乘积。
5. 1932年：德国数学家Eberhard M气象学家和物理学家合作，将矩阵分解应用到气象学中，用来模拟和研究大气环流。
6. 1960年代：随着计算机科学和数值分析的兴起，矩阵分解开始广泛应用于各个领域，如线性方程组的求解、最优化问题、控制论、信号处理等。
7. 1980年代：随着稀疏矩阵技术和并行计算的快速发展，矩阵分解的算法和实现也在不断改进和优化，以适应大规模和高性能计算的需求。
8. 2000年代至今：随着机器学习和数据科学的发展，矩阵分解被广泛应用于数据分析和处理中，如推荐系统、社交网络分析、自然语言处理等。
总之，矩阵分解是一个古老而又充满活力的研究领域。
随着科学技术的发展，矩阵分解的应用范围越来越广泛，其理论和方法也在不断地发展和完善。
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（Matrix Factorization and Decomposition）
教学要求 ➢掌握矩阵的满秩分解； ➢掌握矩阵的三角分解； ➢掌握矩阵的正交分解； ➢掌握Schur定理和正规矩阵的定义； ➢熟练掌握矩阵的奇异值分解；
数据集中可能包含大量特征，维灾难使得数据分析很 困难，
初等下三角矩阵性质
(1)det(Li)=1,
No 1
1
0
Image L1 i
l 1 i 1 i
0
0
l ni
1
(2)用初等下三角矩阵左乘矩阵A，等于将A的第i行依次乘以
-li+1i,…,-lni 分别加到第i+1行到第n行上去。
No (3)设A=(aij) nn,且a jj 0，并且取
§4.2 矩阵的满秩分解
满秩分解定理：设 ACrmn为任意矩阵，则存在 B C rm r,C C rrn 使得 A=BC,
其中B为列满秩矩阵,C为行满秩矩阵.
➢任一非（行或列）满秩的非零矩阵可表示为一列满秩矩 阵和一行满秩矩阵的积； ➢B的列可取为A的列的任一极大线性无关组； ➢C可取为其行为A的行所生成的空间的基, 然后用定理确 定矩阵B。 ➢应用于极小最小二乘解和极小范数最小二乘解的算法中 。
1,2…n的一个排列.
➢ P是排列阵的充要条件是P为一系列形如P(i,j)的初等交换
矩阵的乘积.
排列阵的性质：
1. P是排列阵，则PT和P-1也是排列阵，且PT=P-1
2. P1 ，P2是排列阵，则P1P2是排列阵
3.
P
( e i1
,ein
),
A
A1
An
(a1 , a n
1.维归约（降维）：利用旧属性的线性组合得到新属性， 使得新属性相互正交，捕获到数据的最大变差（PCA：主 成分分析(principle components analysis)和SVD）
2.选择特征子集：嵌入（决策树分类其），过滤和包装 （搜索，特征加权等）
）
矩阵的各种分解在矩阵计算中也扮演相当重要的角色。 由于变换即矩阵，所以各种分解从根本上看是各种变换， 其目的是将矩阵变换成特殊的矩阵。
1 2 1 0 1 2 1 2 0 1 1 1
1
22
13
3
0
0
1
1
2 1
2 4 3 1 4 5 0 0 0 0 0 0
4 8 6 2 8 10 0 0 0 0 0 0
由此可知rank(A)=2，且该矩阵第一列、第三列是线性无关的。
选取
1
B 1 2 4
1
2 3
C 42 2
6
1 C 0
2.取L= L11：因为L1是一系列初等下三角矩阵乘积（对应
初等行变换），所以L是单位下三角矩阵。
例 1 求下列矩阵的LU分解：
1 2 1
A
3
1
0
1 1 2
解：
1 2 1 1 0 0
( A,
I)
3
1
0 0 1 0
1 1 2 0 0 1
1 2 1 1 0 0 0 5 3 3 1 0 0 1 3 1 0 1
1 2 1 1 0 0
0 5
3
3 1 0
0 0 12 / 5 2 / 5 1 / 5 1
从而得 L1 A U , 这里
1 0 0 1 2 1
L1
3
1 0 ,U 0 5
3
2 / 5 1 / 5 1 0 0 12 / 5
因为 所以
1 0 0
L
L11
3
1 0
1 1 / 5 1
1 0 0 1 2
例1 求下面矩阵的满秩分解
1 2 1 0 1 2
1
2
2
1
3
3
2 4 3 1 4 5
4 8 6 2 8 10
解 思路：对矩阵A实施初等行变换得简化阶梯形矩阵H （阶梯型的非零行的第一个非零元为1，其所在的列其它元 素为0）,取A的r个使H阵满秩的列为B，将H全为零的行去掉 后即可构成行满秩矩阵C。
（主对角线上元素全为1的下三角矩阵）与唯一的上三角矩 阵U ，使得
ALU 的充要条件是A的所有顺序主子式均非零，即
kA1 1....k k..0,k1,2,.n ..1
矩阵的LU分解也称为Doolitte分解 若L为下三角矩阵,U为单位上三角矩阵,称为Crout分解。
定理2 ( LDU分解定理 ) 设A是n阶非奇异矩阵，则存在唯一的单位下三角矩阵L，
Image lk
i
akj ajj
,ki
1,...n,
则LiA在(i+1,j),(i+2,j)…(n,j)的位置上为0
(4)
1
0
1
No Li L j
li1i
Image 0
0
1 l j1 j
l ni
l nj 0 1
定理1 ( LU分解定理 ) 设A是n阶非奇异矩阵，则存在唯一的单位下三角矩阵L
2 0
0 1
1 1
1 2
1 1
C
26 2
同样，我们也可以选取
1
B 1 2 4
0
1 1
C 42 2
2
1 C 0
2 0
1 1
0 1
1 2
2 1
C 26 2
由上述例子可以看出矩阵的满秩分解形式并不唯一。
但是不同的分解形式之间有如下联系：
注：如果 A BC B1C1 均为矩阵A 的满秩分解，那么存在
矩阵 GCnnn满足
B B1G , C G 1C 1
§4.3 矩阵的三角分解
定义1 如果方阵A可以分解成一个单位下三角矩阵L与一个上三 角矩阵U的乘积
A LU
则称其为A的 LU 分解或三角分解。
初等下பைடு நூலகம்角矩阵
1
0
No
Li
1 li1i 1
Image
0
0
l ni
1
A
LU
3
1
0 0 5
1 1 / 5 1 0 0
1
3
12 / 5
说明
1. 即使矩阵A非奇异，如果A不满足前n-1个顺序主子式 非零，未必能做LU分解，
2.适当改变非奇异矩阵的行的次序，可使改变后的矩阵 做LU分解，引入排列阵的概念
定义1 设e1, e2,…, en是n阶单位矩阵I的n个列向量，矩阵 P=(ei1, ei2, ,…, ein )称为一个n阶排列阵，其中i1, i2,…, in是
对角矩阵D=diag(d1,d2,…dn)和单位上三角矩阵U ，使得 A=LDU
的充要条件是A的所有顺序主子式均非零，即
1...k k A1...k0,k1,2,..n. 1
并且
d1
a11,dk
k k1
,k
2,...n,
矩阵的LU分解方法
矩阵的LU分解方法有很多种，这里主要介绍初等行变换消 元法 步骤： 1. 通过初等行变换将A化为上三角矩阵U： （A，I）（U，L1）