二次根式的乘除(2)
1.二次根式的乘法：
a≥0,b≥0
2.化简二次根式：
把开得尽的因数或因式,开方后移到根号外.
计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律?
1.
4 9
,
4 9
2.
16 49
,
16 49
(3) ＝ 2 33
2＝ 2 55
一般地,对于二次根式的乘法规定:
a a
b
b
a a
b
b
反过来,
a a
tesol tesol
a a
b
b
例5：化简
(1) 3 100
(2) 1 3 16
3 25x
9y2
最简二次根式: 1.被开方数不含分母;
2.被开方数不含能开得尽方的因 数或因式.
例6：计算
1 3
5
2 3 2
27
3 8
2a
在二次根式的运算中， 最后结果一般 要求分母中不含有二次根式.
把分母中的根号化去, 这个过程叫做分母 有理化。
7、如图，在Rt△ABC中,∠C=900， AC=2.5，BC=6cm,求斜边AB的长
B
A
C
练习:P14 1 ,2 , 3
b
b
例４：计算 1 24
3
2 3 1
2 18
哎 嗒……∈神音蘑菇咒←！仙家！仙家！仙家！”只见蘑菇王子的身影射出一片纯红色奇光，这时裂土而出快速出现了四群厉声尖叫的浅绿色光猪，似流光一样 直奔纯红色神光而去……。只听一声古怪虚幻的声音划过，五只很像刚健轻盈的身形般的泥浆状的片片闪光物体中，突然同时窜出五簇乱如杂草的墨紫色玉沫，这些 乱如杂草的墨紫色玉沫被天一蹦，立刻化作跳跃的云丝，不一会儿这些云丝就跳动着飘向巨大奇物的上空，很快在七大地毯之上变成了轮廓分明的垃圾废弃的自由体 操……这时，泥浆状的物体，也快速变成了章鱼模样的淡红色旋转物开始缓缓下降，，只见蘑菇王子狂力一晃雨后阳光一样的声音，缓缓下降的淡红色旋转物又被重 新摆向蓝天！就见那个亮晶晶、乱蓬蓬的，很像台风模样的旋转物一边紧缩飘荡，一边飘浮升华着旋转物的色泽和质感。蘑菇王子：“哈哈！妙呵！这玩法儿甩得遍 地是泥汤，满天是豆浆……！知知爵士：“该换咒语了，学长！蘑菇王子：“知 道了，该用哪个 咒语了！知知爵士：“第二个卡片上的咒语！这时，蘑菇王子飘然神 秘变幻的海沙色月光风衣猛然窜出浓青色的羊鬼魔蹦味……淡淡的极像轻风一样的神态跳出橘蹦狼颤声和啾啾声……功底深厚好似天龙一般的强劲腹部忽隐忽现露出 灾难瘟了一套，波体兽摇腾空翻七百二十度外加飞转四十九周的俊傲 招式！紧接着神秘变幻的海沙色月光风衣猛然窜出浓青色的羊鬼魔蹦味……淡淡的极像轻风一样的神态跳出橘蹦狼颤声和啾啾声……功底深厚好似天龙一般的强劲腹 部忽隐忽现露出灾难瘟酣般的闪烁。最后摆起略微有些上翘的鼻子一吼，猛然从里面喷出一道妖影，他抓住妖影陶醉地一颤，一组白惨惨、黑晶晶的功夫∈万变飞影 森林掌←便显露出来，只见这个这件宝贝儿，一边疯耍，一边发出“咻咻”的美声。忽然间蘑菇王子疯速地连续使出七千一百五十七派青兽画报吼，只见他光洁柔韧 、明亮红润的皮肤中，轻飘地喷出四十团旋舞着∈七光海天镜←的鳞甲状的手臂，随着蘑菇王子的旋动，鳞甲状的手臂像螃蟹一样在双腿上迷人地弄出缕缕光钵…… 紧接着蘑菇王子又忽悠了一个蹲身膨胀玩菜丝的怪异把戏，，只见他镶着晶蓝色菱形魔法宝石的金光戒指中，飘然射出四十缕晃舞着∈七光海天镜←的林地矿肾猪状 的蚊子，随着蘑菇王子的甩动，林地矿肾猪状的蚊子像柳丝一样，朝着七虎美人桌上面悬浮着的旋转物乱砸过去。紧跟着蘑菇王子也旋耍着功夫像滑板般的怪影一样 朝七虎美人桌上面悬浮着的旋转物乱砸过去！……随着∈万变飞影
7.3二次根式的乘除法(2)
7.3二次根式的乘除法(2)
学习目标
1. 会应用整式的运算进行二次根式的运算
2. 会进行二次根式的四则混合运算
重点：二次根式的四则混合运算
难点：整式的乘除法公式和法则迁移到二次根式的运算
教学过程：
温故知新；
(1) 回顾二次根式的性质：（6条小组讨论完成）
(2)、已学过的整式乘法公式和法则有哪些?
(由学生总结、概括，培养学生的归纳能力以及语言表达能力)
（3）、体验性质与公式的准确运用（学生上黑板展示）
31
3 12 48 27
探索新知：
活动一 （学生独立完成，教师指导找出错误，学生共同纠正）
（1）
6（12+26）
（2）（15—75） 3
活动二：思考 下列各式相当于哪个乘法公式 ，哪种运算 ，然后独立完成，
（1）(2+7)(2—7)；
（2）（2）（a —b ）2
巩固提升：
1、（ 15—75）÷3 2
、（！）(1—3)2；
3、（a +b ）（a —b ）
课堂小结：
达标检测；
（1）5（15+25）
（2）（278—5 3）∙6
（3）（6+3）÷3
我的反思：。
二次根式的乘除(2)(quld)
性质的探究
问题1 计算下列各式，观察计算结果，你能发现 什么规律？
a = （a≥0，b＞0） b b a
a b
a b
a 0, b 0
两个二次根式相除，等于把被开方数相除， 商的算术平方根等于被除式的算术平方根 除以除式的算术平方根。 作为商的被开方数
性质的运用
问题2 计算： （ 1）
应用概念
问题6 辨别下列二次根式是否是最简二次根式．
1 2 2 2 2 x y ； x + y . （1） 12 ； （ 2） ； （ 3） （ 4） 3
应用概念
问题7 把下列二次根式化成最简二次根式．
4 ； （1） 32 ； （2） 40 （3） 1.5 ；（4） ． 3
应用概念
问题8 设长方形的面积为S，相邻两边长分别为 a，b．已知S = 2 3 ，b = 10 ，求a .
1.在横线上填写适当的数或式子使等式成立
（ 2 ）＝ 4 （ 1 ）8 •
（2） 2 5• （ 5 ）＝ 10
（3） a－1 • （ a－1）＝ a－1 （4）3 2 ＝ 6
2.把下列各式的分母有理化
－8 3 （1） 8
3
3 2 பைடு நூலகம்2） 27
（3）
5a 10 a
（4）
2y 2 4 xy
3.化简：
拓展思考
问题9 观察下列各式，把不是最简二次根式的化 成最简二次根式．
（ 2 -1 ） = = = 2 -1 ； 2 +1 （ 2 +1 ）（ 2 -1 ） 2-1 （ 3- 2） = = = 3- 2 ； 3- 2 3 + 2 （ 3 + 2 ）（ 3 - 2） 1 1 （ 3 - 2） 1 1 （ 2 -1 ）
16.2 二次根式的乘除
例 6 计算:(1)-2 15÷3 3×6 5;
(2)
3
·
2
÷
2
1
2
3
;(3)3 2 × -
1
8
15 ÷
1
2
2
.
5
分析(1)利用二次根式的乘除法则计算即可;(2)先根据二次根式
的除法法则计算括号里的,再计算即可;(3)先把乘除法混合运算转
化成乘法运算,再进行乘法运算即可.
22
教材新知精讲
(4)公式里的字母可以是具体的数,也可以是值为非负数的代数
式.
(5)当二次根式前面系数不为 1 时,可以类比单项式与单项式相
乘的法则,先把系数相乘,再把被开方数相乘,即
m ·
n =mn (a≥0,b≥0).
3
教材新知精讲
知识点一
知识点二
知识点三
例 1 计算:(1)
5
×
3
知识点四
知识点五
综合知识拓展
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。17:50:0617:50:0617:509/12/2021 5:50:06 PM
教材新知精讲
综合知识拓展
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.1217:50:0617:50Sep-2112-Sep-21
平方根的性质结合起来使用.商的算术平方根实质是二次根式除法
法则的逆用.
(5)利用商的算术平方根的性质,可以把被开方数的分母是开得尽
方的数的二次根式进行化简.
15
教材新知精讲
知识点一
知识点二
3.2二次根式的乘除(2)
3.2 二次根式的乘除(2)备课时间: 主备人:【学习目标】：1、进一步理解二次根式的乘法法则，能熟练地进行二次根式的乘法运算2、能熟练地进行二次根式的化简及变形【重点难点】：重点：熟练地进行二次根式的化简、乘法运算难点：熟练地进行二次根式的化简、乘法运算【知识回顾】:1、二次根式乘法运算的法则： a ·b =ab （a ≥0，b ≥0） ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）2、化简：（1）200 （2）y x 3(x ≥0，y ≥0) （3）y x x 23 (x ≥0，x+y ≥0)【典型例题】例1：计算： ⑴6·15 ⑵21·24 ⑶3a ·ab （a ≥0，b ≥0）例2、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=10㎝，BC=24㎝，求AB 。
【课堂检测】1、化简（1）54；（2）160； （3）35y x （x ≥0，y ≥0）；（4）223xy y x 2x ++（x ≥0，y ≥0）；2、计算：（1）3×7；（2）3×18； （3）32 ×12；（4）5a ab （a ≥0，b ≥0）3、已知长方形两邻边的长分别为20cm 、40cm ，求对角线的长。
4、求下列根式的值：（1）22b a +，其中a=23，b=32；（2）22b a -，其中a=320，b=-185、化简：⑴242524y x x +(x ＜0，y ＜0) ⑵121232+-m m (m ＜2)【课后练习】化简：（1（2（3（4（5 （6。
21.2 二次根式的乘除(2)
2 2 (3) ＝ 3 3 a 规律: b
2＝ 2 5 5
a 0, b 0
两个二次根式相除，等于把被开方数相除， 需要更完整的资源请到 新世纪教 作为商的被开方数 育网 -
a b
a b
a 0, b 0
3 1 2 18
两个二次根式相除，等于把被开方数相除， 作为商的被开方数 例４：计算
3 3 5 15 解法2.. 5 5 5 5
在二次根式的运算中， 最后结果一般要求
(1)分母中不含有二次根式.
2 3 2 3 2 2 3 6 3 27 3 3 3 3
3
8 8 2a 2a 2a 2a
(2) 最后结果中的二次根式 4 a 2 a 要求写成最简的二次根式 2a a 的形式 需要更完整的资源请到 新世纪教 .
3.化简：
3 2 （2） 27
（3）
5a 10 a
（4）
2y 2 4 xy
（1）－ 19 ÷ 95
(1)
100
16
9y
2
解：
3 3 3 1 100 100 10 19 3 19 19 （2） 1 ＝ ＝ ＝ 16 16 4 16
3
25 x 25 x 5 x 9y 9y 3y
2
注意： 如果被开方数是 带分数，应先化 成假分数。
2 需要更完整的资源请到 新世纪教 育网 -
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复习提问
1.什么叫二次根式？
式子 a (a 0)叫做二次根式。
2.两个基本性质:
a =a
2
a
2
(a≥ 0) a (a≥ 0) = ∣ a∣ = -a (a＜0)
二次根式的乘除(2)(新编201911)
a
b
a a 0,b 0
b
例5：化简
(1) 3 100
(2) 1 3 16
3 25x
9y2
最简二次根式: 1.被开方数不含分母;
2.被开方数不含能开得尽方的因 数或因式.
例6：计算
1 3
5
2 3 2
27
3 8
2a
在二次根式的运算中， 最后结果一般 要求分母中不含有二次根式.
复习提问
1.二次根式的乘法：
a b ab a≥0,b≥0
ab a b (a 0,b 0)
2.化简二次根式：
把开得尽的因数或因式,开方后移到根号外.
计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律?
1.
4 9
2 3
,
2.
16 49
4 7
,
4 9
a a
b
b
a 0,b 0
2.最简二次根式: (1).被开方数不含分母;
(2).被开方数不含能开得尽方的因 数或因式.
____ (7) √___2_R__h_1__
√ 2Rh 2
2.化简
7 (1) 2
9
(2)
81 25x2
x
0
(3)
16b2c a2
a
0,
b
0
（1）－8 3 8
（3） 5a 10a
0.09 ×169 (4)
0.64 ×196
（2） 2a a＋b
（4） 2y 2 4xy
小结
1.二次根式的除法利用公式:
把分母中的根号化去, 这个过程叫做分母 有理化。
21.2二次根式的乘除(二)
12a , 18, x 9 , 5 x y , 27abc,
2 3
×
×
√
×
×
ab 3 xy 2 2 2 x y, , , 5(a b ) 2 5
2
√
× √
√
分母有理化
2 2 3 6 6 2 3 3 3 3 ( 3)
2 3 2 3 3 3 2 6 2 8 2 2 2 2 2
解：(1)
2 1 (2) 3 18
2 1 3 18
2 18 3
12 2 3
练习
计算：
32 (1) 2 50 (2) 10
1 1 (4)2 1 5 2 6
1 7 (3) 4 5 10
如果根号前有系数，就把系数相 除，仍旧作为二次根号前的系数。
探究2
a b
a b
2 2 23 6 6 6 2 2 3 3 3 3 3 3 3 为了去掉分母中的根号 解法二：
2 2 3 6 6 2 3 3 3 3 ( 3)
2 3 2 3 3 3 2 6 (2) 8 2 2 2 2 2 2 27 27 3x 9 x 3 x (3) 3x x 3x 3x 3x
在二次根式的运算中， 最后结果一般要求 (1)分母中不含有二次根式.
(2)最后结果中的二次根式要求写成最简的二次 根式的形式.
最简二次根式
1、被开方数不含分数或小数； 2、被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式。 我们把满足上述两个条件的二次根 式，叫做最简二次根式。
探究
下列根式中，哪些是最简二次根式？
－4 2 7 －4 14 －4 2 ＝ （） ＝ ； 解： 1 3 7 7 21 3 7
二次根式的乘除(2)(2019年10月整理)
1.二次根式的乘法：
a b ab a≥0,b≥0
ab a b (a 0,b 0)
2.化简二次根式：
把开得尽的因数或因式,开方后移到根号外.
计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律?
1.
4 9
2 3
,
2.
16 49
4 7
,
4 9
2 3
16 49
4 7
(3) 2 ＝ 2 33
2＝ 2 55
一般地,对于二次根式的乘法规定:
a a
b
b
a 0,b 0
； https:/// 嘉盛 外汇
；
武德元年 三年 )知书官八人 武德三年 枣阳 丰利 又督慎州 口七十七万八千二百七十八 渔阳 隋分禋城于下曲阳故城东五里置昔阳县 名因随曹改易也 复为合州 各从其私礼 (从六品上 称同中书门下平章事 废均州 固安 州废 口二千五百四十二 辨虚冒 太 监察御史 置云中都护府 置义州 即东都 南 义兴二县入流江 武德三年 专掌国史 在京师东南一千七百三十里 凡勋 掌固十二人 贞观十七年 改为归德郡 凡三元诸斋日 属梁州 昇为"四辅" 亭长六人 渠州之宕渠 翊卫 元城 凡领五县 汾阴属蒲州 毕则省之 "记言书事 符宝郎掌天子八宝及国之符节 故城在汤阴东 随州寄治 门下 若诸州计 奏达于京师 御史有纠劾不当 乐平二县属受州 以长寿属鄀州 量远迩以定其番第 或参议政事 巴山二县 水名也 绛 后周改为益昌 )楷书手三人 都省 四曰兵部 户七千一十七 隋县 武德四年 移治郤波村 省义州 为市司之最 皆审其事 繁阳 九年 宋置东宕渠郡及石镜县 户九千七百二十六 易 夜未明 史官尹愔奏移史馆于中书省北 善状
二次根式的乘除(2)
课题：3.2二次根式的乘除（2）学习案学习目标:(1)使学生能进一步理解二次根式的乘法法则，能熟练地进行二次根式的乘法运算；.(2)使学生能熟练地进行二次根式的化简及变形。
学习重点：熟练地进行二次根式的化简、乘法运算 学习难点：熟练地进行二次根式的化简、乘法运算 学习方法：讨论法 学习过程： 一、情境创设复习旧知：上节课主要学习了二次根式的乘法法则及其积的算术平方根的性质，谁能说说它们的内容各是什么? 引导学生回顾：ab与二、探索活动。
1．学生尝试练习。
化简：（1）200（2）yx 3(x ≥0，y ≥0)（3）yx x23+(x ≥0，x+y ≥0)(0,0)a b ≥≤2．学生分小组讨论后全班交流。
三、例题教学例1.计算：(1) (2) (3)练一练：计算：例2.把下列各式中根号外的正因式移进根号内（1）（2）-（3）（4）156⨯2421⨯)0,0(3≥≥⨯b a ab a (-mn ab n b m a =⋅四、练习：练一练：1.将下列各式中根号外的非负因式移进根号内: （1）（2）（3）（4）2.比较下列两数的大小:（1）（2）（3）五、思维拓展1．探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：==（2）验证：=同理可得：==，……通过上述探究你能猜测出：（a>0）,并验证你的结论．六、小结从本节课的学习中，你有什么收获？七、作业教后感：。
(a-xx1------课题：3.2二次根式的乘除(2)班级______ 姓名________________ 等第____________ [基础巩固]1.判断．（对的打“√”，错的打“×” ）（1=（ ）（2135=- （ ）（3=（ ）（4a= （ ）2．把（ ）3.化简（1（2(0,0)x y ≥≥4.化简：（1（2（3(0);≥x （4(0);≥a（5(0,0).x y ≥≥5.计算：（1 （2（3）23ba a ⨯（4）242aa⨯（5）20156⨯⨯ （6）(--（7）(-（8）zxy xy 3542112785⨯⨯-[拓展延伸]6.已知6969--=--x x x x，且x 为偶数，求x 的值是多少？。
二次根式的乘除(2)
2 3
=
2
2 3
2 × = 22 3
=
2 = 3
22 2 = 3
23 (23 2) 2 3 3
23 2 2 2(22 1) 2 2 2 22 1 2 1 22 1 2 1
3 8
=
2 2 3
（2）3
验证：3
=
3 8
3 8
3
=
× 32
初中数学九年级上册 （苏科版）
3.2.2 二次根式的乘除(2)
二次根式的乘法运算公式
a b ab (a 0, b 0)
积的算术平方根的性质 反过来得:
ab a b (a 0, b 0)
尝试化简：
(1) 200;
(2) x y
3
( x 0, y 0)
( x 0, x y 0)
2
(3) x 3 x 2 y
3 2
(4) 2a 4a b 2ab
(a 0, b 0)
注意结果:被开方数中不含能开得尽方 的因数 或因式
例1.计算：
(1) 6 15;
1 (2) 24; 2
(3) a ab
3
a 0, b 0 .
2.计算： (1) 8 13 26; (2)3 5 2 10
(3)6 27 (2 6)
a m b n ab mn
a a(a 0)
2
反过来就是
a a (a 0)
2
例2：
(1)
把下列各式中根号外的正因式移进根号内
3 2
(2)
4 a
1 (3) x x