中考数学每日一练：二次函数y=ax^2+bx+c的性质练习题及答案_2020年压轴题版
中考数学每日一练：二次函数y=ax^2+bx+c 的性质练习题及答案_2020年压轴题版
答案答案2020年中考数学：函数_二次函数_二次函数y=ax^2+bx+c 的性质练习题
~~第1题~~
(2020杭州.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC 如图放置，将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90°
得到平行四边形A ′B ′OC ′．抛物线y ＝﹣x +2x +3经过点A 、C 、A ′三点．
（1） 求A 、A′、C 三点的坐标；
（2） 求平行四边形ABOC 和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD 的面积；
（3） 点M 是第一象限内抛物线上的一动点，问点M 在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M 的坐标．
考点： 二次函数y=ax^2+bx+c 的性质;二次函数图象与坐标轴的交点问题;三角形的面积;平行四边形的性质;相似三角形的判定与性质;~~第2题~~
(2020百色.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝﹣x +bx+c 的图象与x 轴交于A 、B
两点，A 点的坐标为（﹣3，0），B 点在原点的左侧，与y 轴交于点C （0，3），点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点
（1） 求这个二次函数的表达式；
（2） 连接PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP′C （如图1所示），那么是否存在点P ，使四边形POP′C 为菱形？若存在，请此时点P 的坐标：若不存在，请说明理由；
（3） 当点P 运动到什么位置时，四边形ABCP 的面积最大，并求出其最大值.
考点： 二次函数y=ax^2+bx+c 的性质
;待定系数法求二次函数解析式;二次函数的实际应用-动态几何问题;~~第3题~~
(2020湖州.中考模拟) 如图， 已知抛物线
的对称轴是直线x=3，且与x 轴相交于A ，B 两点（B 点在A 点
右侧）与y 轴交于C 点 ．22
答案
答案答案（1） 求抛物线的解析式和A 、B 两点的坐标；
（2） 若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），则是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大．若存在，请求出△PBC 的最大面积；若不存在，试说明理由；
（3） 若M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN=3时，求M 点的坐标．
考点： 待定系数法求一次函数解析式;二次函数y=ax^2+bx+c 的性质;二次函数与一次函数的综合应用;二次函数的实际应用-动态几何问题;~~第4题~~
(2020乌鲁木齐.中考模拟) 如图，直线y=x+2与抛物线y=ax +bx+6（a≠0）相交于A （
）和B （4，6），点P 是线
段AB
上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C.（1）
求抛物线的解析式；
（2） 当C 为抛物线顶点的时候，求
的面积.
（3） 是否存在质疑的点P ，使 的面积有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由.考点： 二次函数y=ax^2+bx+c 的性质;二次函数图象上点的坐标特征;待定系数法求二次函数解析式;~~第5题~~
(2020长春.中考模拟) 在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x -2mx-3m
（1） 当m=1时，
①抛物线的对称轴为直线①抛物线的对称轴为直线，，
②抛物线上一点P 到x 轴的距离为4，求点P 的坐标
③当n≤x≤ 时，函数值y 的取值范围是- ≤y≤2-n ，求n 的值
（2） 设抛物线y=x -2mx-3m 在2m-1≤x≤2m+1上最低点的纵坐标为y ，直接写出y 与m 之间的函数关系式及m 的取值范围．
考点： 二次函数y=ax^2 bx c 的图象;二次函数y=ax^2+bx+c 的性质;2020
年中考数学：函数_二次函数_二次函数y=ax^2+bx+c 的性质练习题答案
1.答案：22200
2.答案：
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5.答案：。
二次函数考试题目及答案
二次函数考试题目及答案1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向上，且经过点(1,0)和(3,0)，求二次函数的解析式。
答案：由于二次函数的图象开口向上，所以a>0。
又因为函数图象经过点(1,0)和(3,0)，可以设二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-3)。
将点(2,-4)代入，得到-4=a(2-1)(2-3)，解得a=4。
因此，二次函数的解析式为y=4(x-1)(x-3)。
2. 抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0)，且抛物线的顶点在直线y=-2x上，求抛物线的解析式。
答案：设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)。
由于顶点在直线y=-2x上，设顶点坐标为(m,n)，则有n=-2m。
根据抛物线的对称性，顶点的横坐标m=(3-1)/2=1，所以n=-2。
将顶点坐标(1,-2)代入抛物线解析式，得到-2=a(1+1)(1-3)，解得a=1。
因此，抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3)。
3. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(0,2)和(2,0)，且对称轴为直线x=1，求二次函数的解析式。
答案：由于二次函数的对称轴为直线x=1，可以设二次函数的解析式为y=a(x-1)^2+k。
将点(0,2)代入，得到2=a(0-1)^2+k，即2=a+k。
又因为函数图象经过点(2,0)，代入得到0=a(2-1)^2+k，即0=a+k。
解得a=-2，k=2。
因此，二次函数的解析式为y=-2(x-1)^2+2。
4. 抛物线y=ax^2+bx+c与x轴的交点为A(-2,0)和B(4,0)，且抛物线经过点(1,3)，求抛物线的解析式。
答案：设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4)。
将点(1,3)代入，得到3=a(1+2)(1-4)，解得a=-1/3。
因此，抛物线的解析式为y=-1/3(x+2)(x-4)。
5. 二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向下，且经过点(-1,0)和(3,0)，求二次函数的解析式。
二次函数测试题及答案
二次函数测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个选项是二次函数的一般形式？A. y = 2x + 1B. y = x^2 + 3x + 2C. y = 3x^3 - 5D. y = 4/x答案：B2. 二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为（h, k），那么h的值为：A. -b/2aB. -b/aC. b/2aD. b/a答案：C3. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的对称轴方程是：A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = -2答案：A4. 如果二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，那么a的值：A. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 可以是任意实数答案：A5. 二次函数y = -x^2 + 4x - 3的顶点坐标是：A. (1, 2)B. (2, 1)C. (3, 0)D. (3, 4)答案：C6. 二次函数y = 3x^2 - 6x + 5的图象与x轴的交点个数是：A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：C7. 二次函数y = x^2 - 4x + 4的最小值是：A. 0B. 4C. -4D. 1答案：A8. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的图象开口方向是：A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右答案：A9. 二次函数y = -x^2 + 2x + 3的图象与y轴的交点坐标是：A. (0, 3)B. (0, -3)C. (0, 5)D. (0, -5)答案：A10. 二次函数y = 5x^2 - 10x + 8的图象与x轴的交点坐标是：A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (1, 0)D. (-1, 0)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且经过点（2, 0），则a的值至少为______。
答案：02. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的顶点坐标是（______, ______）。
人教版2022-2023学年九年级数学上册二次函数y=ax^2的图象和性质练习题含答案
人教版2022-2023学年九年级数学上册 二次函数y=ax^2的图象和性质练习题学校:___________姓名：___________班级：_______________一、单选题1．对于二次函数y ＝x 2-4x -1的图象，下列叙述正确的是（ ） A ．开口向下B ．对称轴为直线x ＝2C ．顶点坐标为（-2，-5）D ．当x ≥2时，y 随x 增大而减小2．一次函数y kx k =+与二次函数2y ax =的图象如图所示，那么二次函数2y ax kx k =--的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，正方形OABC 的边长为2，OC 与y 轴正半轴的夹角为30°，点A 在抛物线()20y ax a =<的图象上，则a 的值为（ ）A ．3-B ．C ．D ．13-4．已知：10a -<<，且点()()()1232,,,,2,a y a y a y -+都在函数2y x 的图像上，那么123,,y y y 的大小关系是（ ）A ．123y y y <<B ．231y y y <<C ．321y y y <<D ．312y y y <<5．抛物线y ＝2x 2与y ＝－2x 2相同的性质是（ ） A ．开口向下B ．对称轴是y 轴C ．有最低点D ．对称轴是x 轴6．已知226A x x n =++，222423B x x n =+++，下列结论正确的个数为( ) ①若226A x x n =++是完全平方式，则3n =±； ①B －A 的最小值是2；①若n 是0A B +=的一个根，则2216549n n +=； ①若()()202220192A A --=，则()()22202220194A A -+-= A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．若二次函数2y ax =的图象经过点()2,5P ，则a 的值为（ ） A ．54B ．54-C ．45D ．45-8．如图，已知开口向下的抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点1,0对称轴为直线1x =．则下列结论：①0abc >；①20a b +=；①函数2y ax bx c =++的最大值为4a -；①若关于x 的方数21ax bx c a ++=+无实数根，则105a -<<．正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，在平面直角坐标系中，平行于x 轴的直线2y =，与二次函数2y x ，2y ax =分别交于A 、B 和C 、D ，若2CD AB =，则a 为（ ）A ．4B ．14C ．2D ．1210．已知点（1，y 1），（2，y 2）都在函数y ＝﹣x 2的图象上，则（ ） A ．y 1＜y 2 B ．y 1＞y 2C ．y 1＝y 2D ．y 1，y 2大小不确定二、填空题11．已知抛物线y ＝ax 2（a ≠0）过点（﹣2，4），则当x ≤0时，y 随x 的增大而 _____． 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2P ，点()3,2Q ，如果二次函数2y ax =的图象与线段PQ 有交点，那么a 的取值范围为__________． 13．如果函数2(1)2m m y m x -=++是二次函数，那么m =____．14．如图，点A 是y 轴正半轴上一点，直线AC 平行于x 轴，分别交抛物线21(0)y x x =≥与22(0)2x y x =≥于,B C 两点，过点C 作y 轴的平行线交1y 的图像于点D ，直线DE AC ∥，交2y 的图像于点E ，则DEAB=_____．15．已知0a <，二次函数2y ax =-的图象上有三个点()()()1232,,1,,3,A y B y C y -，请比较123,,y y y 的大小：___________．（用“＜”连接） 三、解答题16．如图，已知抛物线26y ax bx +＝＋经过A (-1,0)，B (3,0)两点，C 是抛物线与y 轴的交点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P(m，n)在平面直角坐标系的第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S求S关于m的函数解析式(指出自变量m的取值范围)和S的最大值．17．函数y=ax2 (a≠0)的图象与直线y=2x-3交于点(1，b)．（1）求a和b的值；（2）求抛物线y=ax2的解析式，并求顶点坐标和对称轴；（3）x取何值时，y随x的增大而增大?（4）求抛物线与直线y=-2的两个交点及其顶点所构成的三角形的面积．参考答案：1．B【分析】根据题目中的抛物线的解析式以及二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确．【详解】解：①224125y x x x =--=--（）， ①该函数图象开口向上，对称轴为直线2x =，顶点坐标为（2，-5）， ①当2x ≥时，y 随x 的增大而增大， 故选项B 符合题意， 故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 2．B【分析】由二次函数2y ax =的图象知：开口向上，0a >，一次函数y kx k =+图象可知0k >，然后根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】解：由二次函数2y ax =的图象知：开口向上，0a >，一次函数y kx k =+图象可知0k >，∴二次函数2y ax kx k =--的图象开口向上，对称轴2kx a-=-在y 轴的右侧，交y 轴的负半轴，①B 选项正确， 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象和一次函数的图象，熟记二次函数的性质和一次函数的性质是解题的关键． 3．D【分析】过点C 、A 分别作CD ①x 轴，AE ①x 轴，垂足分别为D 、E ，可得①COD ①①OAE ，在Rt COD 中，由①COD =60°， 可得①OCD =30°，从而得到112OD OC == ，CD =，进而得到1OE AE == ，可得到点)1A- ，即可求解．【详解】解：如图，过点C 、A 分别作CD ①x 轴，AE ①x 轴，垂足分别为D 、E ，根据题意得①AOC =90°，OA =OC =2，①COD =90°-30°=60°， ①①AOE +①COD =90°， ①CD ①x 轴，AE ①x 轴， ①①CDO =①OEA =90°， ①①AOE +①OAE =90°， ①①COD =①OAE ， ①①COD ①①OAE ， ①AE =OD ，OE =CD ， 在Rt COD 中，①COD =60°， ①①OCD =30°，①112OD OC == ，①CD =，①1OE AE == ，①点)1A - ，把)1A-代入()20y ax a =<，得：21a -=⨯，解得：13a =- ．故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，根据题意得到①COD ①①OAE 是解题的关键． 4．B【分析】计算对应的函数值，后作差比较大小，判断即可． 【详解】①点()()()1232,,,,2,a y a y a y -+都在函数2yx 的图像上，①221(2)44y a a a =-=-+，22y a =，223(2)44y a a a =+=++，①10a -<<，①-4a ＞0，-4a +4＞0，4a ＜0，4a +4=4（a +1）＞0，①22324444y y a a a a -=++-=+＞0，223144448y y a a a a a -=++-+-=＜0， ①31y y <，23y y <， ①231y y y <<， 故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，正确进行作差进行实数大小的比较是解题的关键． 5．B【分析】根据二次函数的性质即可判断．【详解】解：抛物线22y x =的开口向上，对称轴为y 轴，有最低点； 抛物线22y x =-开口向下，对称轴为y 轴，有最高点； 故抛物线22y x =与22y x =-相同的性质是对称轴都是y 轴， 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 6．B【分析】①利用完全平方式求解；①利用整式的加减运算和配方法求解；①利用求根公式和完全平方公式求解；①利用完全平方公式求解． 【详解】解：①①A =x 2+6x +n 2是完全平方式， ①n =±3，故结论正确； ①①B -A=2x 2+4x +2n 2+3-（x 2+6x +n 2） =x 2-2x +n 2+3 =（x -1）2+n 2+2， 而（x -1）2+n 2≥0，①B -A ≥2，①B -A 的最小值是2，故结论正确；①①A +B =x 2+6x +n 2+2x 2+4x +2n 2+3=3x 2+10x +3n 2+3， 把x =n 代入3x 2+10x +3n 2+3=0， 得3n 2+10n +3n 2+3=0，即6n 2+10n +3=0，解得n =当n =1102,3n n +==- 22211100644(2)4499n n n n ∴+=+-=-=当n =11023n n +==- 22211100644(2)44;99n n n n ∴+=+-=-=故结论错误；①①（2022-A +A -2019）2 =（2022-2019）2=（2022-A ）2+（A -2019）2+2（2022-A ）（A -2019） =（2022-A ）2+（A -2019）2+2×2 =9，①（2022-A ）2+（A -2019）2=5；故结论错误； 故选B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，配方方法的应用，完全平方公式，正确的计算是解题的关键． 7．A【分析】把已知点的坐标代入抛物线解析式可得到a 的值． 【详解】解：二次函数2y ax =的图象经过点(2,5)P ，54a ∴=，解得54a =． 故选：A ．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．8．C【分析】由图象可知，图像开口向下，a ＜0，对称轴为x =1，故12ba-=，故b ＞0，且2b a =-，则20a b += 图象与y 轴的交点为正半轴，则c ＞0，由此可知abc ＜0，故①错误，由图象可知当x =1时，函数取最大值，将x =1，代入2y ax bx c =++，中得：y a b c =++，计算出函数图象与x 轴的另一交点为（3,0）设函数解析式为：()()12y a x x x x =--，将交点坐标代入得化简得：223y ax ax a =--，将x =1，代入可得：234y a a a a =--=-，故函数的最大值为-4a ，、21ax bx c a ++=+变形为：210ax bx c a ++--=要使方程无实数根，则24(1)0b a c a ---<，将c =-3a ，2b a =-，代入得：22040a a +<，因为a ＜0，则2040a +>，则15a >-，综上所述105a -<<，结合以上结论可判断正确的项． 【详解】解：由图象可知，图像开口向下，a ＜0，对称轴为x =1，故12ba-=，故b ＞0，且2b a =-，则20a b +=故①正确， ①图象与y 轴的交点为正半轴， ①c ＞0，则abc ＜0，故①错误， 由图象可知当x =1时，函数取最大值，将x =1，代入2y ax bx c =++，中得：y a b c =++，由图象可知函数与x 轴交点为（﹣1,0），对称轴为将x =1，故函数图象与x 轴的另一交点为（3,0），设函数解析式为：()()12y a x x x x =--， 将交点坐标代入得：()()13y a x x =+-， 故化简得：223y ax ax a =--，将x =1，代入可得：234y a a a a =--=-，故函数的最大值为-4a ，故①正确，21ax bx c a ++=+变形为：210ax bx c a ++--=要使方程无实数根，则24(1)0b a c a ---<，将c =-3a ，2b a =-，代入得：22040a a +<，因为a ＜0，则2040a +>，则15a >-，综上所述105a -<<，故①正确， 则①①①正确，故选C ．【点睛】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标掌握数形结合思想是解决本题的关键． 9．B【分析】先求出点A 、B 的坐标由此得到AB 的长，由此得到CD 的长，点D 的坐标，代入解析式即可得到答案．【详解】解：如图，设直线AB 交y 轴于点E ， ①直线2y =与二次函数2yx 交于A 、B ，①当2y =时，2=2x ，得x =①2),(2,2)A B ，①AB = ①2CD AB =，①CD由二次函数的对称性可得CE=DE ①D（，2），将点D 的坐标代入2y ax =，得8a =2，解得a =14，故选：B ．【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特点，正确掌握二次函数图象的对称性、图象上点的坐标特点是解题的关键． 10．B【分析】分别求出1y 和2y 的值即可得到答案．【详解】解：①点（1，y 1），（2，y 2）都在函数y ＝﹣x 2的图象上，①2111y =-=-，2224y =-=-，①12y y >，故选B ．【点睛】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，正确求出1y 和2y 是解题的关键．11．减小【分析】根据该二次函数的对称轴和开口方向可判断增减性．【详解】解：①抛物线y ＝ax 2（a ≠0）过点（﹣2，4），①4＝4a ，即a ＝1；①a ＝1＞0，①抛物线开口向上，①对称轴x ＝0，①当x ≤0时，y 随x 的增大而减小．故答案为：减小【点睛】本题主要考查了二次函数()20y ax a =≠ 的图象和性质，熟练掌握二次函数()20y ax a =≠ 的图象和性质是解题的关键．12．292a ≤≤ 【分析】线段PQ 在第一象限，当开口向下时显然无交点；当开口向上时，开口越大|a|越小，当2y ax =经过点()3,2Q 求出a 的最小值；当2y ax =经过点()1,2P 求出a 的最大值．【详解】解：由题意可知：线段PQ 在第一象限，当a ＜0时开口向下，显然2y ax =的图象与线段PQ 没有交点；当开口向上时，由抛物线性质“开口越大|a|越小”可知：当2y ax =经过点()3,2Q 时，a 有最小值，此时29a =，解出29a =， 当2y ax =经过点()1,2P 时，a 有最大值，此时2a =，解出2a =，故a 的取值范围为：292a ≤≤．【点睛】本题考查抛物线的性质：a 的正负决定抛物线的开口方向，|a |决定抛物线的开口大小，|a |越大，开口越小；|a |越小，开口越大．13．2．【分析】直接利用二次函数的定义得出m 的值．【详解】①函数2(1)2m m y m x -=++是二次函数，①m 2−m ＝2，（m−2）（m ＋1）＝0，解得：m 1＝2，m 2＝−1，①m ＋1≠0，①m≠−1，故m ＝2．故答案为：2．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，正确得出m 的方程是解题关键．14．22 【分析】设2,,2m C m 再分别求解,,DE AB 从而可得答案. 【详解】解：设2,0,2m C m m 2,,2m OAAC m 22,,22BB m y x m 2,2AB m DC y ∥轴，2,,D D x m y mDE AC ∥，2,E y m 则22,2x m 2,Ex m 221,DE m m m12 2.2m DEAB故答案为：2【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，坐标与图形，熟练的应用函数图象上点的坐标满足函数的解析式建立方程是解本题的关键.15． y 2< y 1< y 3【分析】二次函数的抛物线开口向上，对称轴为y 轴，根据点的横坐标距离对称轴的远近来判断点的纵坐标的大小．【详解】解：①二次函数2y ax =-（a ＜0），①-a >0，①该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为y 轴．①()()()1232,,1,,3,A y B y C y -为二次函数y=ax 2-3ax+c （a ＜0）的图象上三个点，且三点横坐标距离对称轴y 轴的距离远近顺序为：（3，y 3）、（-2，y 1）、（1，y 2），①三点纵坐标的大小关系为：y 2< y 1< y 3．故答案为：y 2< y 1< y 3．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．16．(1)2246y x x =-++(2)2327324S m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭(0＜m ＜3)，当m =32时，△PBC 的面积取得最大值，最大值为274【分析】(1)应用待定系数法将A (-1，0)，B (3，0)代入26y ax bx +＝＋中，可得609360a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解方程组即可得出答案；(2)过点P 作PF ∥y 轴，交BC 于点F ，如图，当x =0时代入二次函数解析式2246y x x =-++=6，即可算出点C 的坐标．设直线BC 的解析式为y =kx +c ，把B (3,0)，C (0,6)代入y =kx +c 中，求出k ，b 的值即可算出直线BC 的解析式，根据点P 在抛物线上可设的坐标为(m ，2246m m -++)，则点F 在直线BC 上可设坐标为(m ，-2m +6)，即可算出PF =2246m m -++-(-2m +6)，再由()212632PBC S m m =⨯-+⨯=239m m -+=2327324m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，当m =32时，△PBC 的面积取得最大值点P (m ，n )在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，即可算出m 的取值范围．（1）解：将A (-1,0)，B (3,0)代入26y ax bx ++＝中，得：609360a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：24a b =-⎧⎨=⎩， ①抛物线的解析式为2246y x x =-++；（2）解：过点P 作PF ∥y 轴，交BC 于点F ，如图所示，由(1)知：当x =0时，y =6，①点C 的坐标为(0，6)；设直线BC 的解析式为y =kx +c ，把B (3，0)，C (0，6)代入y =kx +c 中，得：306k c c +=⎧⎨=⎩，解得：26k c =-⎧⎨=⎩， ①直线BC 的解析式为y =-2x +6．设点P 的坐标为(m ,2246m m -++)，则点F 的坐标为(m ,-2m +6)，①PF =2246m m -++-(-2m +6)=226m m -+， ①12PBC S PF OB =⋅ ①S =()212632m m ⨯-+⨯=239m m -+ =2327324m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， ①点P (m ，n )在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，①0＜m ＜3． 故2327324S m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭(0＜m ＜3)， ①-3<0，①当m =32时，①PBC 的面积取得最大值，最大值为274． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及二次函数的最值，熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及二次函数的最值的计算方法进行求解是解决本题的关键．17．（1）a =-1，b =-1；（2）y =-x 2，顶点坐标为(0，0)，对称轴为直线x =0；（3）x ＜0；（4）【分析】（1）把(1，b )代入直线y =2x -3中，解得b 的值，得到交点坐标是(1，-1)，再把交点坐标代入函数y =ax 2即可解题；（2）由（1）中结论得到抛物线解析式为y =-x 2，再根据抛物线的性质解题；（3）根据抛物线的图象性质解题：当a <0时，抛物线图象开口向下，在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大；（4）联立抛物线y =-x 2与直线y =-2成方程组，解方程组即可解得点A(，-2)，B-2)，再解得AB 的长为2，最后根据三角形面积公式解题．【详解】解：（1）将x =1，y =b 代入y =2x -3，得b =-1，所以交点坐标是(1，1-)， 将x =1，y =1-代入y =ax 2，得a =1-，所以a =1-，b =1-；(2)抛物线的解析式为y =-x 2，顶点坐标为(0，0)，对称轴为直线x =0(即y 轴)；(3) a =1-<0，抛物线图象开口向下，在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，即当x ＜0时，y 随x 的增大而增大．(4)设直线y =- 2与抛物线y =-x 2相交于A 、B 两点，抛物线顶点为O (0，0)．由22y y x =-⎧⎨=-⎩，得112x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩222x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩①A (，-2)，B -2)①AB(，|-2|=2①122AOB S ∆=⨯= 【点睛】本题考查一次函数与抛物线综合题，是重要考点，涉及抛物线与一元二次方程、一次函数解析式、抛物线的图象与性质、三角形面积等知识，掌握相关知识是解题关键．。
26.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 华师版数学九年级下册练习(含答案)
26.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质一、单选题1．抛物线，，共有的性质是（）A．开口方向相同B．开口大小相同C．当时，随的增大而增大D．对称轴相同2．下列四个二次函数：①y＝x2，②y＝﹣2x2，③，④y＝3x2，其中抛物线开口从大到小的排列顺序是( )A．③①②④B．②③①④C．④②①③D．④①③②3．函数y＝kx﹣k与y＝kx2的图象大致是( )A．B．C．D．4．若抛物线的开口向下，则m的值为( )A．B．C．3D．﹣35．对于抛物线y＝x2与y＝﹣x2，下列命题中错误的是( )A．两条抛物线关于x轴对称B．两条抛物线关于原点对称C．两条抛物线各自关于y轴对称D．两条抛物线没有公共点6．下列函数中,当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（）A．y= x B．y=C．y=x-1D．y=x27．已知原点是抛物线y＝(m＋1)x2的最高点，则m的范围是( )A．m＜－1B．m＜1C．m＞－1D．m＞－28．如图，分别过点P n(n，0)(n为正整数)作x轴的垂线，交二次函数(x＞0)的图象于点A n，交直线(x＞0)于点B n，则的值为（）A．B．2C．D．二、填空题9．抛物线在y轴的左侧部分是________的．（填“上升”或“下降”）10．如果抛物线y＝（m﹣1）x2有最低点，那么m的取值范围为_____．11．二次函数，点在函数图象上，当时，(填“﹥”或“﹤”)．12．二次函数的图象开口方向是_____，对称轴是_____，顶点坐标是______．13．二次函数有最低点，则m=__________三、解答题14．若二次函数的图象开口向下，求m的值．晓丽的解题过程如下：（解）∵是二次函数，（第一步）∴，解得或．（第二步）请问晓丽的解题过程正确吗？如果不正确，从第几步开始出现错误，写出正确的解题过程．15．在如图所示的同一直角坐标系中，画出函数，，与的图象并回答下列问题：x…01………………………（1）抛物线的开口方向_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____．抛物线的开口方向______，对称轴是______，顶点坐标是______；（2）抛物线与抛物线的图象关于______轴对称；（3）抛物线，当x______0时，抛物线上的点都在x轴上方；当x______0时，抛物线从左向右逐渐上升；它的顶点是最_______点．抛物线，当x_______0时，抛物线从左向右逐渐下降，它的顶点是最_______点．16．已知是关于x的二次函数.(1)求满足条件的k的值；(2)k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点.当x为何值时，y的值随x值的增大而增大？(3)k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y的值随x值的增大而减小？参考答案1．D解析：分别利用二次函数的性质判断开口方向，得出最值以及增减性，进而判断即可．∵抛物线，，中的＞0,8＞0，-5＜0，不相等，故开口方向和大小不同，A,B错误；∵中，当时，随的增大而减小，故C错误；∵抛物线，，的对称轴都是轴，故D正确故选D.【点拨】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的性质是解题关键．2．A解析：二次函数的解析式中a的绝对值越小，开口方向越大，根据以上特点得出即可．解：∵1＜|﹣2|＜3，∴抛物线开口从大到小的排列顺序是③①②④，故选：A．【点拨】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，注意：二次函数的解析式中，a的绝对值越小，开口方向越大．3．B解析：由选项中的二次函数图象可得k＞0，可判定出一次函数的正确图象．解：由选项中的二次函数图象可得k＞0，所以y＝kx﹣k过一，三，四象限．故选：B．【点拨】本题主要考查了二次函数及一次函数的图象，解题的关键是熟记二次函数及一次函数的图象的特征．4．B解析：根据二次函数的二次项的系数小于零开口向下，二次项的次数为二，可得方程，根据解方程，可得答案．解：的开口向下，∴且，∴且m＜﹣3，∴m＝，故选：B．【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数开口向下，可得二次项的系数小于0，指数是二次，注意把不符合条件的舍去．5．D解析：把抛物线y=x2沿x轴对称得到抛物线y=-x2；或把抛物线y=x2沿原点旋转180°得到抛物线y=-x2，则可对A.C进行判断；利用二次函数的性质对B.D进行判断．解：两个函数的顶点坐标都是(0，0)，二次项的系数互为相反数，说明一个开口向上，一个开口向下．故两条抛物线的交点为原点，两条抛物线关于x轴对称且两条抛物线关于原点对称．故选：D．【点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次项系数决定抛物线的开口方向及大小是解题的关键，注意数形结合．6．B解析：根据题意x＞0时，y值随x值增大而减小，选择合适的函数满足条件即可.A.、正比例函数y=的图象在一、三象限内，y随x的增大而增大；故本选项错误；B.反比例函数y=中的1＞0，所以y随x的增大而减小；故本选项正确；C.一次函数y=x-1的图象，y随x的增大而增大；故本选项错误；D.二次函数y=x2的图象，开口向上，并向上无限延伸，在y轴右侧（x＞0时)，y随x的增大而增大；故本选项错误；故选B．【点拨】本题综合考查了二次函数、一次函数、正比例函数及反比例函数的性质．解答此题时，应牢记函数图象的单调性．7．A解析：∵原点是抛物线y=（m+1）x2的最高点，∴m+1＜0，即m＜-1．故选A．8．A解析：根据题意写出A n、B n的坐标，然后可得到，从而，然后进行计算即可．解：由题意可知A n、P n、B n的横坐标相同，∵P n(n，0)，∴B n(n，)，A n(n，)，∴，，∴故选：A．本题考查了二次函数和一次函数图象上点的坐标，代数式的化简，得出是解题的关键．9．下降解析：根据的图象即可求解．∵a<0，开口向上∴抛物线在y轴的左侧部分是下降．故答案为下降．【点拨】此题主要考查二次函数的图象，解题的关键是熟知的图象特点．10．m＞1．解析：直接利用二次函数的性质得出m－1的取值范围进而得出答案．∵抛物线y=（m－1）x2有最低点，∴m－1＞0，解得：m＞1．故答案为：m＞1．【点拨】本题考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的性质是解题的关键．11．＜解析：根据二次函数确定抛物线对称轴，开口方向，增减性，再结合已知条件即可求解．解：由二次函数得，抛物线对称轴为y轴，开口向下，y轴左侧，y随x增大而增大，再y轴右侧，y随x增大而减小，∴当时，＜．故答案为：＜【点拨】本题考查了二次函数的性质，熟知特殊二次函数的性质是解题关键．12．开口向下y轴(0，0)根据二次函数的性质：当时，抛物线的开口向下，顶点式：，，是常数，，其中为顶点坐标，对称轴为：．解：函数中，∵，∴抛物线的开口向下，∵，∴对称轴是y轴，顶点坐标是(0，0)，故答案为：开口向下，y轴，(0，0)．【点拨】此题主要考查了二次函数的性质，熟悉相关性质是解题的关键．13．2解析：根据函数为二次函数求出m，再根据函数有最低点，确定m取值范围，进而求出m即可．解：∵函数是二次函数，∴，∴，∵二次函数有最低点，∴m＞0，∴．故答案为：2【分析】本题考查了二次函数的概念和性质，熟知概念和性质是解题关键．14．晓丽的解题过程不正确，从第二步开始出现错误．正确的解题过程见解析．解析：根据二次函数的定义及开口方向进行求解判断即可．解：晓丽的解题过程不正确，从第二步开始出现错误．正确的解题过程如下：∵是二次函数，∴，解得或，∵抛物线图象开口向下，∴，解得，∴．【点拨】本题考查二次函数的定义与图象性质，熟练掌握定义及图象性质是解题的关键．15．列表、画图象，如图所示,见解析；（1）向上y轴向下y轴；（2）x；（3）≠> 低> 高．解析：根据画函数图象的步骤：列表，根据表中提示先填好表格的数，再描点，根据表中提供的对应数值作为点的坐标描点，最后用平滑的曲线连接各点可得函数的图象；（1）根据所画的与图象可得答案；（2）根据所画的与图象可得答案；（3）根据所画的与图象可得答案；列表如下：x…01……404……0……0……0…描点：将表中的数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出各点．连线：用平滑的曲线连接，如图所示：（1）根据所画的函数与的图象可得：抛物线的开口方向向上，对称轴是轴，顶点坐标是．抛物线的开口方向向下，对称轴是y轴，顶点坐标是；故答案为：向上y轴向下y轴（2）由图象可得：抛物线与抛物线的图象关于轴对称；故答案为：x．（3）由图象可得：抛物线，当x≠ 0时，抛物线上的点都在x轴上方；当x>0时，抛物线从左向右逐渐上升；它的顶点是最低点．抛物线，当x>0时，抛物线从左向右逐渐下降，它的顶点是最高点．故答案为：≠> 低> 高．【点拨】本题考查的是画函数的图象，及根据图象总结函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．16．(1)k=±2； (2) 见解析； (3)见解析.解析：（1）直接利用二次函数定义得出符合题意的k的值；（2）抛物线有最低点，所以开口向上，k+1大于0，再根据（1）中k的值即可确定满足条件的值，再根据二次函数性质，即可得最低点的坐标和函数的单调区间；（3）函数有最大值，可得抛物线的开口向下，k+1小于0，再根据（1）中k的值即可确定满足条件的值，然后根据二次函数性质可求得最大值和函数单调区间．(1) 根据二次函数的定义得解得k=±2.∴当k=±2时，原函数是二次函数.(2) 根据抛物线有最低点，可得抛物线的开口向上，∴k+1＞0，即k＞-1，根据第(1)问得：k=2.∴该抛物线的解析式为，∴抛物线的顶点为(0，0)，当x＞0时，y随x的增大而增大.(3) 根据二次函数有最大值，可得抛物线的开口向下，∴k+1＜0，即k＜-1，根据第(1)问得：k=-2.∴该抛物线的解析式为，顶点坐标为(0，0)，∴当k=-2时，函数有最大值为0. 当x＞0时，y随x的增大而减小.【点拨】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的定义，正确掌握二次函数的性质是解题关键，是基础题型．。
九上数学每日一练：二次函数y=ax^2+bx+c的性质练习题及答案_2020年压轴题版
（1） 求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2） 点P是抛物线上的一点，当△ABP的面积是8，求出点P的坐标；
（3） 过直线AD下方的抛物线上一点M作y轴的平行线，与直线AD交于点N，已知M点的横坐标是m，试用含m的式子
表示MN的长及△ADM的面积S，并求当MN的长最大时s的值.
考点： 待定系数法求一次函数解析式;二次函数y=ax^2+bx+c的性质;二次函数图象上点的坐标特征;待定系数法求二次函数解析
（1） 求二次函数的解析式；
（2） 求函数图象的顶点坐标及D点的坐标；
（3） 二次函数的对称轴上是否存在一点C，使得△CBD的周长最小？若C点存在，求出C点的坐标；若C点不存在，
请说明理由．
考点： 二次函数y=ax^2+bx+c的性质;待定系数法求二次函数解析式;轴对称的应用-最短距离问题;
答案解析
（3） 设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB=90°的点P的坐标。
考点： 二次函数y=ax^2 bx c的图象;二次函数y=ax^2+bx+c的性质;
答案解析
2020年 九 上 数 学 ： 函 数 _二 次 函 数 _二 次 函 数 y=ax^2+bx+c的 性 质 练 习 题 答 案
的式子表示 的长及△ADM的面积 ，并求当 的长最大43;bx+c的性质;二次函数图象上点的坐标特征;待定系数法求二次函数解析式;三角形的面积;
，试用含 答案解析
4. (2020临沂.九上期末) 如图，二次函数y＝ ，B点坐标是（8，6）．
x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0）
二次函数y=ax^.bx+c的图像和性质练习题
二次函数y ax2 bx c的图像和性质一、填空题：1. 二次函数在上有最小值 -，则 的值为___________.2. 将抛物线y＝ ＋1 先向左平移2 个单位，再向下平移3 个单位，那么所得抛物线的函数关系式是.3. 直线y = 2x＋b 右移3 个单位长度后过抛物线y = 2x2－2x＋4 的顶点，则b =。
4. 已知二次函数y=的图象与x 轴分别交于A、B 两点（如图所示），与y 轴交于点C，点P 是其对称轴上一动点，当PB+PC 取得最小值时，点P 的坐标为．（4）（5）（6）（7）(4)（5）（6）（7）5. 如图，抛物线 y=(与x 轴的一个交点A 在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则a 的取值范围是。
6. 如图，菱形ABCD 的三个顶点在二次函数 y=与y 轴的交点，则点D 的坐标为．（a＜0）的图象上，点A、B 分别是该抛物线的顶点和抛物线7. 如图，在第一象限内作射线OC，与x 轴的夹角为30°，在射线OC 上取一点A，过点A 作AH⊥x 轴于点H．在抛物线y（x＞0）上取点P，在y 轴上取点Q，使得以P，O，Q 为顶点的三角形与△AOH 全等，则符合条件的点A 的坐标是.8．（2015 南通）关于 x 的一元二次方程 包括﹣1 和 0），则 a 的取值范围是的两个不相等的实数根都在﹣1 和 0 之间（不 .9．（2015 宿迁）当或时，代数式的值相等，则时，代数式的值为.10．（2015•孝感）二次函数 y=的图象如图所示，且 P=|a﹣b+c|+|2a+b|，Q=|a+b+c|+|2a﹣b|，则 P、Q 的大小关系为 P _________ Q．（10）（11）（12）（13）（14）11．已知二次函数 y=的图象如图所示，则点 P（a，bc）在第 _________ 象限．12． 如图，抛物线 y=的顶点为 B，O 为坐标原点，四边形 ABCO 为正方形，则 ac= _________ ．13．如图所示，已知抛物线 y=ax2+bx+c 的图象，试确定下列各式的符号：a _____0，b ____0，c _____0；a+b+c ____0，a﹣b+c ____0．14．（2015 贺州）已知二次函数 y=的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0，②a﹣b+c＜0，③2a=b，④4a+2b+c＞0，⑤若点（﹣2， ）和（- ， ）在该图象上，则．其中正确的结论是.（填入正确结论的序号）．15．（2015 雅安）为美化小区环境，决定对小区的一块空地实施绿化，现有一长为 20m 的栅栏，要围成一扇形绿化区域，则该扇形区域的面积的最大值为.二、选择题：16. 抛物线y= 的图象向左平移2 个单位，再向下平移1 个单位，则所得抛物线的解析式为（ ）。
二次函数练习题及答案
二次函数练习题及答案二次函数是高中数学中的一个重要知识点，也是数学建模和应用题中常见的内容。
在学习二次函数的过程中，练习题是必不可少的。
通过大量的练习，可以加深对二次函数的理解，提高解题能力。
本文将给出一些常见的二次函数练习题及答案，希望对读者的学习有所帮助。
题目一：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象过点（1,3），且在x轴上的截距为4，求a，b，c的值。
解答：由已知条件可得方程组：3=a+b+c0=a+4b+16c解方程组得：a=2，b=-6，c=7题目二：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象过点（-2,5），且在x轴上的截距为6，求a，b，c的值。
解答：由已知条件可得方程组：5=4a-2b+c0=36a+6b+c解方程组得：a=-1/6，b=1/3，c=1/2题目三：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象过点（3,2），且在x轴上的截距为5，求a，b，c的值。
解答：由已知条件可得方程组：2=9a+3b+c0=25a+5b+c解方程组得：a=-1/5，b=2/5，c=0题目四：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象过点（-3,4），且在x轴上的截距为7，求a，b，c的值。
解答：由已知条件可得方程组：4=9a-3b+c0=49a+7b+c解方程组得：a=-1/7，b=2/7，c=4/7通过以上四道题目的练习，我们可以发现，已知二次函数的图象经过一个点和在x轴上的截距，可以得到一个含有三个未知数的方程组，通过解方程组可以求解出a，b，c的值。
这是二次函数的基本应用之一。
除了已知图象经过一个点和在x轴上的截距，还有其他常见的二次函数练习题类型，如已知顶点坐标、已知对称轴、已知与其他函数的关系等。
通过大量的练习，可以熟练掌握这些题型，并且在实际应用中能够灵活运用。
二次函数练习题的答案不仅仅是求出a，b，c的值，更重要的是理解解题过程。
在解题过程中，我们需要灵活运用二次函数的性质，如顶点坐标公式、对称性、判别式等。
二次函数的图象与性质大题(五大题型)—2024年中考数学(全国通用)解析版
二次函数的图象与性质大题（五大题型）通用的解题思路：题型一．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c （a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．题型二．二次函数图象与系数的关系二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac ＜0时，抛物线与x轴没有交点．题型三．待定系数法求二次函数解析式（1）二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；（2）用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．题型四．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．题型五．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．题型一．二次函数的性质（共3小题）1．（2024•石景山区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线2(0)y x bx b =−+≠上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x h =． （1）若抛物线经过点(2,0)，求h 的值；（2）若对于11x h =−，22x h =，都有12y y >，求h 的取值范围；（3）若对于121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，直接写出h 的取值范围． 【分析】（1）根据对称轴2bx a=−进行计算，得2b h =，再把(2,0)代入2(0)y x bx b =−+≠，即可作答．（2）因为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线2(0)y x bx b =−+≠上的点，所以把11x h =−，22x h =分别代入，得出对应的1y ，2y ，再根据12y y >联立式子化简，计算即可作答；（3）根据121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，得出当221h −<−<−或者211h −<+<−，即可作答． 【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x h =， 22b bh ∴=−=−， 即2b h =，∴抛物线22y x hx =−+，把(2,0)代入22y x hx =−+， 得0422h =−+⨯， 解得1h =；（2）由（1）知抛物线22y x hx =−+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线22y x hx =−+上任意两点，221(1)2(1)1y h h h h ∴=−−+−=−，22(2)220y h h h =−+⨯=，对于11x h =−，22x h =，都有12y y >， 210h ∴−>，解得1h >或1h <−；（3）1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线22y x hx =−+上任意两点，对于121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，且1(2,)h y −关于直线x h =的对称点为1(2,)h y +，1(1,)h y +关于直线x h =的对称点为1(1,)h y −，∴当221h −<−<−时，存在12y y <，解得01h <<，当221h −<+<−时，存在12y y <， 解得43h −<<−，当211h −<+<−时，存在12y y <， 解得32h −<<−，当211h −<−<−时，存在12y y <， 解得10h −<<，综上，满足h 的取值范围为41h −<<且0h ≠．【点评】本题考查了二次函数的图象性质、增减性，熟练掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键． 2．（2024•鹿城区校级一模）已知二次函数223y x tx =−++． （1）若它的图象经过点(1,3)，求该函数的对称轴． （2）若04x ……时，y 的最小值为1，求出t 的值．（3）如果(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上，直线2y mx a =+与该二次函数交于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点，则12x x +是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）把(1,3)代入解析式求出12t =，再根据对称轴公式求出对称轴； （2）根据抛物线开口向下，以及0x =时3y =，由函数的性质可知，当4x =时，y 的最小值为1，然后求t 即可；（3）(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上，有对称轴公式得出1m t −=，再令2232x tx mx a −++=+，并转化为一般式，然后由根与系数的关系求出122x x +=−．【解答】解：（1）将(1,3)代入二次函数223y x tx =−++，得3123t =−++， 解得12t =， ∴对称轴直线为21122t x t =−==−⨯； （2）当0x =时，3y =，抛物线开口向下，对称轴为直线x t =， ∴当x t =时，y 有最大值，04x ……时，y 的最小值为1，∴当4x =时，16831y t =−++=，解得74t =； （3）12x x +是定值，理由：(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上， 212m mx t m −+∴===−， 1m t ∴−=，令2232x tx mx a −++=+， 整理得：22()30x m t x a +−+−=，直线2y mx a =+与该二次函数交于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点， 1x ∴，2x 是方程22()30x m t x a +−+−=的两个根，122()2()21m t x x m t −∴+=−=−−=−是定值． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，关键是掌握二次函数的性质． 3．（2024•拱墅区一模）在平面直角坐标系中，抛物线2(2)2y ax a x =−++经过点(2,)A t −，(,)B m p ． （1）若0t =，①求此抛物线的对称轴；②当p t <时，直接写出m 的取值范围；（2）若0t <，点(,)C n q 在该抛物线上，m n <且5513m n +<−，请比较p ，q 的大小，并说明理由． 【分析】（1）①当0t =时，点A 的坐标为(2,0)−，将其代入函数解析式中解得1a =−，则函数解析式为抛物线的解析式为22y x x =−−+，再根据求对称轴的公式2bx a=−即可求解； ②令0y =，求出抛物线与x 轴交于(2,0)−和(1,0)，由题意可得0p <，则点B 在x 轴的下方，以此即可解答； （2）将点A 坐标代入函数解析式，通过0t <可得a 的取值范围，从而可得抛物线开口方向及对称轴，根据点B ，C 到对称轴的距离大小关系求解．【解答】解：（1）①当0t =时，点A 的坐标为(2,0)−，抛物线2(2)2y ax a x =−++经过点(2,0)A −， 42(2)20a a ∴+++=，1a ∴=−，∴抛物线的解析式为22y x x =−−+， ∴抛物线的对称轴为直线112(1)2x −=−=−⨯−；②令0y =，则220x x −−+=， 解得：11x =，22x =−，∴抛物线与x 轴交于(2,0)−和(1,0)，点(2,0)A −，(,)B m p ，且0p <， ∴点(,)B m p 在x 轴的下方，2m ∴<−或1m >．（2）p q <，理由如下：将(2,)t −代入2(2)2y ax a x =−++得42(2)266t a a a =+++=+，0t <， 660a ∴+<， 1a ∴<−，∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线(2)1122a x a a −+=−=+， 1a <−，110a∴−<<， 1111222a ∴−<+<， m n <且5513m n +<−，∴1312102m n +<−<−， ∴点(,)B m p 到对称轴的距离大于点(,)C n q 到对称轴的距离，p q ∴<．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．题型二．二次函数图象与系数的关系（共8小题）4．（2023•南京）已知二次函数223(y ax ax a =−+为常数，0)a ≠． （1）若0a <，求证：该函数的图象与x 轴有两个公共点． （2）若1a =−，求证：当10x −<<时，0y >．（3）若该函数的图象与x 轴有两个公共点1(x ，0)，2(x ，0)，且1214x x −<<<，则a 的取值范围是 ．【分析】（1）证明240b ac −>即可解决问题． （2）将1a =−代入函数解析式，进行证明即可． （3）对0a >和0a <进行分类讨论即可．【解答】证明：（1）因为22(2)43412a a a a −−⨯⨯=−， 又因为0a <，所以40a <，30a −<， 所以24124(3)0a a a a −=−>，所以该函数的图象与x 轴有两个公共点． （2）将1a =−代入函数解析式得，2223(1)4y x x x =−++=−−+，所以抛物线的对称轴为直线1x =，开口向下． 则当10x −<<时，y 随x 的增大而增大， 又因为当1x =−时，0y =， 所以0y >．（3）因为抛物线的对称轴为直线212ax a−=−=，且过定点(0,3)， 又因为该函数的图象与x 轴有两个公共点1(x ，0)，2(x ，0)，且1214x x −<<<， 所以当0a >时，230a a −+<， 解得3a >， 故3a >．当0a <时，230a a ++<，解得1a <−， 故1a <−．综上所述，3a >或1a <−． 故答案为：3a >或1a <−．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．5．（2024•南京模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点1(1,)y ，2(3,)y 在抛物线222y x mx m =−+上． （1）求抛物线的顶点(,0)m ； （2）若12y y <，求m 的取值范围；（3）若点0(x ，0)y 在抛物线上，若存在010x −<<，使102y y y <<成立，求m 的取值范围． 【分析】（1）利用配方法将已知抛物线解析式转化为顶点式，可直接得到答案； （2）由12y y <，得到221296m m m m −+<−+，解不等式即可； （3）由题意可知012032m m +⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩或112132m m −+⎧<⎪⎪⎨−+⎪>⎪⎩，解不等式组即可．【解答】解：（1）抛物线222()y x mx m x m =−+=−． ∴抛物线的顶点坐标为(,0)m ．故答案为：(,0)m ；（2）点1(1,)y ，2(3,)y 在抛物线222y x mx m =−+上，且12y y <， 221296m m m m ∴−+<−+，2m ∴<；（3）点0(x ，0)y 在抛物线上，存在010x −<<，使102y y y <<成立， ∴012032m m +⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩或112132m m −+⎧<⎪⎪⎨−+⎪>⎪⎩，解得302m <<． 【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．6．（2024•北京一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线23y ax bx =++经过点(2,3)a −． （1）求该抛物线的对称轴（用含有a 的代数式表示）；（2）点(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −为该抛物线上的三个点，若存在实数t ，使得m n p >>，求a 的取值范围．【分析】（1）将点(2,3)a −代入抛物线23y ax bx =++中，然后根据二次函数的对称轴公式代入数值，即可得出答案；（2）分类讨论当0a >和0a <，利用数形结合以及二次函数的性质就可以得出a 的取值范围． 【解答】解（1）抛物线23y ax bx =++经过点(2,3)a −， ∴把(2,3)a −代入23y ax bx =++得2(2)233a a ab ⨯−−+=，22b a ∴=，2223y ax a x ∴=++，∴抛物线的对称轴222a x a a=−=−，答：抛物线的对称轴为：x a =−；（2）①当0a >时，抛物线开口方向向上，对称轴0x a =−<，在x 轴的负半轴上，所以越靠近对称轴函数值越小， ∴当0t <时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+，∴此时p m n >>与题干m n p >>相矛盾，故舍去， ∴当0t >时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+，∴此时m n <与题干m n p >>相矛盾，故舍去；②当0a <时，抛物线开口方向向下，对称轴0x a =−>，在x 轴的正半轴上，所以越靠近对称轴函数值越大， ∴当0t >时，点M 、N 分别在对称轴同侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+， .m n p >>，∴此时02a t <−<−，即20t a −<<，2t ∴>，∴当0t >时，点M 、N 分别在对称轴两侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，p m n ∴>>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，∴当0t <时，且点M 、N 分别在对称轴两侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，n m ∴>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，当0t <时，且点M 、N 分别在对称轴同侧时， (2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，n m ∴>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，答：a 的取值范围为20(2)t a t −<<>．7．（2024•张家口一模）某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式2y x bx c =++，通过输入不同的b ，c 的值，在几何画板的展示区内得到对应的图象．（1）若输入2b =，3c =−，得到如图①所示的图象，求顶点C 的坐标及抛物线与x 轴的交点A ，B 的坐标； （2）已知点(1,10)P −，(4,0)Q ．①若输入b ，c 的值后，得到如图②的图象恰好经过P ，Q 两点，求出b ，c 的值；②淇淇输入b ，嘉嘉输入1c =−，若得到二次函数的图象与线段PQ 有公共点，求淇淇输入b 的取值范围．【分析】（1）将2b =，3c =−，代入函数解析式，进行求解即可； （2）①待定系数法进行求解即可；②将1c =−代入解析式，得到抛物线必过点(0,1)−，求出1x =−和4x =的函数值，根据抛物线与线段PQ 有公共点，列出不等式进行求解即可． 【解答】解：（1）2y x bx c =++，解：当2b =，3c =−时，2223(1)4y x x x =+−=+−， ∴顶点C 的坐标为：(1,4)−−；当0y =时，2230x x +−=，即(3)(1)0x x +−=， 解得：13x =−，21x =， (3,0)A ∴−，(1,0)B ；（2）①抛物线恰好经过P ，Q则：1101640b c b c −+=⎧⎨++=⎩，解得：54b c =−⎧⎨=⎩；②当1c =−时，21y x bx =+−， 当0x =时，1y =−， ∴抛物线过(0,1)−，当1x =−时，11y b b =−−=−，当点(1,)b −−在点P 上方，或与点P 重合时，抛物线与线段PQ 有公共点，即：10b −…， 解得：10b −…；当4x =时，1641415y b b =+−=+，当点(4,154)b +在点Q 上方，或与点Q 重合时，抛物线与线段PQ 有公共点，即：1540b +…，154b ≥−； 综上：10b −…或154b ≥−． 【点评】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．8．（2024•浙江模拟）设二次函数24(y ax ax c a =−+，c 均为常数，0)a ≠，已知函数值y 和自变量x 的部分对应取值如下表所示：（1）判断m ，n 的大小关系，并说明理由； （2）若328m n −=，求p 的值；（3）若在m ，n ，p 这三个数中，只有一个数是负数，求a 的取值范围．【分析】（1）根据所给函数解析式，可得出抛物线的对称轴为直线2x =，据此可解决问题． （2）根据（1）中发现的关系，可求出m 的值，据此即可解决问题． （3）根据m 和n 相等，所以三个数中的负数只能为p ，据此可解决问题． 【解答】解：（1）m n =．因为二次函数的解析式为24y ax c =+， 所以抛物线的对称轴为直线422ax a−=−=， 又因为1522−+=， 所以点(1,)m −与(5,)n 关于抛物线的对称轴对称， 故m n =．（2）因为m n =，328m n −=， 所以8m =．将(0,3)和(1,8)−代入函数解析式得：348c a a c =⎧⎨++=⎩，解得13a c =⎧⎨=⎩所以二次函数的解析式为243y x x =−+．将2x =代入函数解析式得，224231p =−⨯+=−．（3）由（1）知，m n =， 所以m ，n ，p 中只能p 为负数． 将(0,3)代入函数解析式得，3c =， 所以二次函数解析式为243y ax ax =−+． 将1x =−代入函数解析式得，53m a =+． 将2x =代入函数解析式得，43p a =−+．则430530a a −+<⎧⎨+≥⎩，解得34a >，所以a 的取值范围是34a >． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．9．（2024•北京模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(26)1y x m x =+−+经过点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +．（1）若13y y =，求抛物线的对称轴； （2）若231y y y <<，求m 的取值范围． 【分析】（1）利用对称轴意义即可求解；（2m 的不等式组，解不等式组即可．【解答】解：（1）抛物线2(26)1y x m x =+−+经过点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +，13y y =， ∴该抛物线的对称轴为：直线22m m x −++=，即直线1x =； （2）当0m >时，可知点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +从左至右分布， 231y y y <<，∴232232m m m m m m ++⎧−<⎪⎪⎨−++⎪−>⎪⎩，解得12m <<； 当0m <时，3m m m ∴<−<−+，21y y ∴>，不合题意，综上，m 的取值范围是12m <<．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．10．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 为常数，且0)a ≠经过(2,4)A −−和(3,1)B 两点．（1）求b 和c 的值（用含a 的代数式表示）；（2）若该抛物线开口向下，且经过(23,)C m n −，(72,)D m n −两点，当33k x k −<<+时，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围；（3）已知点(6,5)M −，(2,5)N ，若该抛物线与线段MN 恰有一个公共点时，结合函数图象，求a 的取值范围．【分析】（1）把(2,4)A −−和(3,1)B 代入2y ax bx c =++，即可求解；（2）先求出对称轴为：直线2x =，结合开口方向和增减性列出不等式即可求解； （3）分0a >时，0a <时，结合图象即可求解．【解答】解：（1）把(2,4)A −−和(3,1)B 代入2y ax bx c =++，得：424931a b c a b c −+=−⎧⎨++=⎩，解得：162b a c a =−⎧⎨=−−⎩；（2）抛物线经过(23,)C m n −，2,)m n −两点， ∴抛物线的对称轴为：直线237222m mx −+−==，抛物线开口向下，当33k x k −<<+时，y 随x 的增大而减小，32k ∴−…，即5k …； （3）①当0a >时，6x =−，5y …，即2(6)(1)(6)625a a a ⨯−+−⨯−−−…， 解得：1336a …，抛物线不经过点N ，如图①，抛物线与线段MN 只有一个交点，结合图象可知：1336a …；②当0a <时，若抛物线的顶点在线段MN 上时，则2244(62)(1)544ac b a a a a a−−−−−==，解得：11a =−，2125a =−， 当11a =−时，111112222(1)a −=−=⨯−， 此时，定点横坐标满足116222a−−……，符合题意； 当11a =−时，如图②，抛物线与线段MN 只有一个交点，如图③，当2125a =−时，11111312222()25a −=−=⨯−，此时顶点横坐标不满足116222a−−……，不符合题意，舍去； 若抛物线与线段MN 有两个交点，且其中一个交点恰好为点N 时，把(2,5)N 代入2(1)62y ax a x a =+−−−，得：252(1)262a a a =⨯+−⨯−−， 解得：54a =−，当54a =−时，如图④，抛物线和线段MN 有两个交点，且其中一个交点恰好为点N ，结合图象可知：54a <−时，抛物线与线段MN 有一个交点，综上所述：a 的取值范围为：1336a …或1a =−或54a <−．【点评】本题考查二次函数的性质和图象，根据题意画出图象，分类讨论是解题的关键．11．（2024•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)，1(6,)y 在抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上． （1）当13y =时，求抛物线的对称轴；（2）若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点(1,1)−−，当自变量x 的值满足12x −……时，y 随x 的增大而增大，求a 的取值范围；（3）当0a >时，点2(4,)m y −，2(,)m y 在抛物线2y ax bx c =++上．若21y y c <<，请直接写出m 的取值范围．【分析】（1）当13y =时，(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点，根据对称性求出对称轴；（2）把(0,3)，(1,1)−−代入抛物线解析式得出a ，b 的关系，然后求出对称轴，再分0a >和0a <，由函数的增减性求出a 的取值范围；（3）先画出函数图象，再根据21y y c <<确定m 的取值范围． 【解答】解：（1）当13y =时，(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点， 0632x +∴==， ∴抛物线的对称轴为直线3x =；（2）2(0)y ax bx c a =++≠过(0,3)，(1,1)−−，3c ∴=，31a b −+=−， 4b a =+，∴对称轴为直线422b a x a a+=−=−，①当0a >时，12x −……时，y 随x 的增大而增大，∴412a a+−−…， 解得4a …，04a ∴<…；②当0a <时，12x −……时，y 随x 的增大而增大，∴422a a+−…， 解得45a −…， ∴405a −<…，综上：a 的取值范围是405a −<… 或04a <…；（3）点(0,3)在抛物线2y ax bx c =++上，3c ∴=，点2(4,)m y −，2(,)m y 在抛物线2y ax bx c =++上， ∴对称轴为直线422m mx m −+==−， ①如图所示：21y y c <<，6m ∴<且06232m +−>=， 56m ∴<<；②如图所示：21y y c <<，46m ∴−>， 10m ∴>，综上所述，m 的取值范围为56m <<或10m >．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用数形结合和分类讨论的思想进行解答．题型三．待定系数法求二次函数解析式（共3小题）12．（2024•保山一模）如图，抛物线2y ax bx c =++过(2,0)A −，(3,0)B ，(0,6)C 三点；点P 是第一象限内抛物线上的动点，点P 的横坐标是m ，且132m <<． （1）试求抛物线的表达式；（2）过点P 作PN x ⊥轴并交BC 于点N ，作PM y ⊥轴并交抛物线的对称轴于点M ，若12PM PN =，求m 的值．【分析】（1）将A ，B ，C 三点坐标代入函数解析式即可解决问题． （2）用m 表示出PM 和PN ，建立关于m 的方程即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知，将A ，B ，C 三点坐标代入函数解析式得，4209306a b c a b c c −+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得116a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以抛物线的表达式为26y x x =−++．（2）将x m =代入抛物线得表达式得，26y m m =−++， 所以点P 的坐标为2(,6)m m m −++． 令直线BC 的函数解析式为y px q =+，则306p q q +=⎧⎨=⎩，解得26p q =−⎧⎨=⎩，所以直线BC 的函数解析式为26y x =−+． 因为132m <<，且抛物线的对称轴为直线12x =，所以12PM m =−． 又因为点N 坐标为(,26)m m −+，所以226(26)3PN m m m m m =−++−−+=−+． 因为12PM PN =， 所以211(3)22m m m −=−+，解得m =， 又因为132m <<，所以m =． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键．13．（2024•东营区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线28y x =−+与抛物线2y x bx c =−++交于A ，B 两点，点B 在x 轴上，点A 在y 轴上． （1）求抛物线的函数表达式；（2）点C 是直线AB 上方抛物线上一点，过点C 分别作x 轴，y 轴的平行线，交直线AB 于点D ，E ．当38DE AB =时，求点C 的坐标．【分析】（1）根据一次函数解析式求出A ，B 两点坐标，再将A ，B 两点坐标代入二次函数解析式即可解决问题．（2）根据AOB ECD ∆∆∽得到CD 与OB 的关系，建立方程即可解决问题． 【解答】解：（1）令0x =得，8y =， 所以点A 的坐标为(0,8)； 令0y =得，4x =， 所以点B 的坐标为(4,0)；将A ，B 两点坐标代入二次函数解析式得，81640c b c =⎧⎨−++=⎩，解得28b c =⎧⎨=⎩，所以抛物线的函数表达式为228y x x =−++． （2）因为//CD x 轴，//CE y 轴， 所以AOB ECD ∆∆∽， 则CD DEOB AB=． 因为38DE AB =，4OB =， 所以32CD =． 令点C 坐标为2(,28)m m m −++， 则点D 坐标为21(2m m −，228)m m −++所以2211()222CD m m m m m =−−=−+，则213222m m −+=，解得1m =或3．当1m =时，2289m m −++=； 当3m =时，2285m m −++=； 所以点C 的坐标为(1,9)或(3,5)．【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键．14．（2024•南关区校级二模）已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点(0,3)A −，(3,0)B ．点P 在抛物线2y x bx c =++上，其横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式；（2）当23x −<<时，求y 的取值范围；（3）当抛物线2y x bx c =++上P 、A 两点之间部分的最大值与最小值的差为34时，求m 的值； （4）点M 在抛物线2y x bx c =++上，其横坐标为1m −．过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，分别连结PM ，PN ，QM ，当PQM ∆与PNM ∆的面积相等时，直接写出m 的值． 【分析】（1）依据题意，将A 、B 两点代入解析式求出b ，c 即可得解；（2）依据题意，结合（1）所求解析式，再配方可得抛物线的最值，进而由23x −<<可以判断得解； （3）依据题意，分类讨论计算可以得解；（4）分别写出P 、Q 、M 、N 的坐标，PQM ∆与PNM ∆的面积相等，所以Q 到PM 的距离等于N 到PM 的距离，可得m 的值．【解答】解：（1）由题意，将(0,3)A −，(3,0)B 代入解析式2y x bx c =++得，3c =−，930b c ++=，2b ∴=−，3c =−，∴抛物线的解析式为223y x x =−−；（2）由题意，抛物线2223(1)4y x x x =−−=−−，∴抛物线223y x x =−−开口向上，当1x =时，y 有最小值为4−，当2x =−时，5y =；当3x =时，0y =， ∴当23x −<<时，45y −<…；（3）由题意得，2(,23)P m m m −−，(0,3)A −，①当0m <时，P 、A 两点之间部分的最大值为223m m −−，最小值为3−， 2323(3)4m m ∴−−−−=，解得：1m =−②当02m ……时，P 、A 两点之间部分的最大值为3−，最小值为223m m −−或4−， 显然最小值是4−时不合题意， ∴最小值为223m m −−， 233(23)4m m ∴−−−−=， 解得：32m =或12m =， 32m =时，P 、A 两点之间部分的最小值为4−，故舍去， ③当2m <时，P 、A 两点之间部分的最大值为223m m −−，最小值为4−， 2323(4)4m m ∴−−−−=，解得：1m =+，12+<，故舍去，综上，满足题意得m 的值为：1或12； （4）由题意得，2(1,4)M m m −−，(1,0)N m −，2(0,23)Q m m −−， 设PM y kx b =+，代入P 、M 两点， 2223(1)4mk b m m m k b m ⎧+=−−⎨−+=−⎩， 解得：1k =−，23b m m =−−，23PM y x m m =−+−−，PQM ∆与PNM ∆的面积相等，Q ∴到23PM y x m m =−+−−的距离与N 到23PM y x m m =−+−−的距离相等，Q 到23PM y x m m =−+−−的距离=，N 到23PMy x m m =−+−−的距离=， 2|||4|m m ∴−=−+，当2m <−时，24m m −=−，解得：m =，当20m −……时，24m m −=−，解得：m =，当02m <…时，24m m =−，解得：m =当2m <时，24m m =−，解得：m =综上，满足题意得m ． 【点评】本题考查了二次函数，关键是注意分类讨论． 题型四．抛物线与x 轴的交点（共14小题）15．（2024•秦淮区校级模拟）已知函数2(2)2(y mx m x m =−−−为常数）． （1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点．（2）不论m ． （3）在22x −……的范围中，y 的最大值是2，直接写出m 的值． 【分析】（1）分两种情况讨论，利用判别式证明即可；（2）当1x =时，0y =，当0x =时，2y =−，即可得到定点坐标；（3）利用抛物线过两个定点，得到函数y 随x 增大而增大，代入解析式求出m 值即可． 【解答】解：（1）①当0m =时，函数解析式为22y x =−，此一次函数与x 轴有交点； ②当0m ≠时，函数解析式为2(2)2y mx m x =−−−，令0y =，则有2(2)20mx m x −−−=，△2222(2)4(2)44844(2)0m m m m m m m m =−−⨯−=−++=++=+…． ∴不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点．（2）222(2)222()22y mx m x mx mx x m x x x =−−−=−+−=−+−， 当1x =时，0y =， 当0x =时，2y =−，∴不论m 为何值，该函数的图象经过的定点坐标是(1,0)．(0,2)−故答案为：(1,0)，(0,2)−，（3）若0m =，函数22y x =−，y 随x 增大而增大，当2x =时，2y =，与题干条件符； 当0m ≠时，函数2(2)2y mx m x =−−−是二次函数，①当0m >时，抛物线过(1,0)，(0,2)−两点，当22x −……的范围中时，y 随x 的增大而增大， ∴当2x =时，2y =，即242(2)2m m =−−−，解得0m =（舍去）．②当0m <时，抛物线过(1,0)，(0,2)−两点，其增减性依旧是y 随x 的增大而增大和①相同．综上分析，0m =．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．16．（2024•柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，B 点的坐标为(3,0)，与y 轴交于点(0,3)C −，点D 为抛物线的顶点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求ABD ∆的面积【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点A 和点D 坐标，再根据||2D ABD AB y S ∆⋅=解析求解即可．【解答】解：（1）将(3,0)B ，(0,3)C −代入2y x bx c =++得0933b c c =++⎧⎨=−⎩，解得23b c =−⎧⎨=−⎩，∴二次函数的解析式为：223y x x =−−；（2）将223y x x =−−配方得顶点式2(1)4y x =−−， ∴顶点(1,4)D −，在223y x x =−−中，当2230y x x =−−=时， 解得1x =−或3x =， (1,0)A ∴−，4AB ∴=， ∴||44822D ABD AB y S ∆⋅⨯===． 【点评】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．17．（2024•安阳模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与抛物线21y x x =−+−的形状相同，且与x 轴交于点(1,0)−和(4,0)．直线2y kx =+分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，交抛物线2y ax bx c =++于点C ，D （点C 在点D 的左侧）． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线2y kx =+上方抛物线上的任意一点，当2k =时，求PCD ∆面积的最大值； （3）若抛物线2y ax bx c =++与线段AB 有公共点，结合函数图象请直接写出k 的取值范围．【分析】（1）根据题意直接求出二次函数解析式即可；（2）求出直线与抛物线的交点C ，D 坐标，过点P 作y 轴的平行线交CD 于点H ，交x 轴于点G ，设点P坐标为(m ，234)(12)m m m −++−<<，则点(,22)H m m +，求出PH ，由三角形的面积公式求出关于m 的函数解析式，再根据函数的性质求最值； （3）分0k >和0k <两种情况讨论即可．【解答】解：（1）抛物线2y ax bx c =++与抛物线21y x x =−+−的形状相同，1a ∴=−，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)−和(4,0)， ∴抛物线的解析式为2(1)(4)34y x x x x =−+−=−++；（2）当2k =时，联立方程组22234y x y x x =+⎧⎨=−++⎩，解得10x y =−⎧⎨=⎩或26x y =⎧⎨=⎩， (1,0)C ∴−，(2,6)D ，过点P 作y 轴的平行线交CD 于点H ，交x 轴于点G ，如图，设点P 坐标为(m ，234)(12)m m m −++−<<， ∴点(,22)H m m +，2234(22)2PH m m m m m ∴=−++−+=−++，221331273(2)()22228PCD S PH m m m ∆∴=⨯=−++=−−+， 302−<，12m −<<， ∴当12m =时，S 有最大值，最大值为278． PCD ∴∆面积的最大值为278； （3）令0x =，则2y =， ∴点B 坐标为(0,2)，令0y =，则20kx +=， 解得2x k=−，∴点A 坐标为2(k−，0)， 若抛物线2y ax bx c =++与线段AB 有公共点， 当0k >时，如图所示，则21k−<−， 解得02k <<； 当0k <时，如图所示：则24k−>， 解得102k −<<；综上所述，k 的取值范围为02k <<或102k −<<．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识，关键是对这些知识的掌握和运用．18．（2024•西湖区校级模拟）已知21()y ax a b x b =+++和22()(y bx a b x a a b =+++≠且0)ab ≠是同一直角坐标系中的两条抛物线．（1）当1a =，3b =−时，求抛物线21()y ax a b x b =+++的顶点坐标； （2）判断这两条抛物线与x 轴的交点的总个数，并说明理由；（3）如果对于抛物线21()y ax a b x b =+++上的任意一点(,)P m n 均有22n a b +…．当20y …时，求自变量x 的取值范围．【分析】（1）把a ，b 的值代入配方找顶点即可解题；（2）分别令10y =，20y =，解方程求出方程的解，然后根据条件确定交点的个数即可解题；（3）现根据题意得到0a <，且24()224ab a b a b a−+=+，然后得到30b a =−>，借助图象求出不等式的解集即可．【解答】解：（1）当1a =，3b =−时，2221()23(1)4y ax a b x b x x x =+++=−−=−−， ∴顶点坐标为(1,4)−；（2）3个，理由为：令10y =，则2()0ax a b x b +++=， 即()(1)0ax b x ++=， 解得：1bx a=−，21x =−， 令20y =，则2()0bx a b x a +++=， 即()(1)0bx a x ++=， 解得：1ax b=−，21x =−， 又a b ≠且0ab ≠，∴两条抛物线与x 轴的交点总个数为3个；（3）抛物线21()y ax a b x b =+++上的任意一点(,)P m n 均有22n a b +…，0a ∴<，且24()224ab a b a b a−+=+，整理得：30b a =−>，∴22()y bx a b x a =+++的开口向上，且抛物线与x 轴交点的横坐标为113x =，21x =−， 如图所示，借助图象可知当13x …或1x −…时，20y …．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握配方法求顶点坐标，二次函数和一元二次方程的关系是解题的关键．19．（2024•三元区一模）抛物线23y ax bx =++与x 轴相交于点(1,0)A ，(3,0)B ，与y 轴正半轴相交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 是抛物线上不同的两点． ①当1x ，2x 满足什么数量关系时，12y y =； ②若12122()x x x x +=−，求12y y −的最小值． 【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）①若12y y =，则M 、N 关于抛物线对称轴对称，即可求解；②22121122121212(43)(43)()()4()y y x x x x x x x x x x −=−+−−+=+−+−，而12122()x x x x +=−，得到12y y −的函数表达式，进而求解．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：12()()y a x x x x =−−， 即2(1)(3)(43)y a x x a x x =−−=−+， 即33a =， 解得：1a =，故抛物线的表达式为：243y x x =−+；（2）如图，。
第11讲二次函数y=ax^2bxc的图像与性质(7种题型)(原卷版)
第11讲二次函数y=a 2x +bx+c 的图像与性质（7种题型）【知识梳理】二、二次函数2y ax bx c =++的图像二次函数2y ax bx c =++的图像称为抛物线2y ax bx c =++，这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式．任意一个二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且0a ≠）都可以运用配方法，把它的解析式化为()2y a x m k =++的形式．对2y ax bx c =++配方得：22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭． 由此可知：抛物线2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是（2ba-，244ac b a-）． 当0a >时，抛物线2y ax bx c =++开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴（即直线2bx a=-）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的； 当0a <时，抛物线2y ax bx c =++开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴（即直线2bx a=-）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的． 【考点剖析】题型1：二次函数平移例1.将抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）向下平移3个单位，再向左平移4个单位 得到抛物线2245y x x =--+，则原抛物线的顶点坐标是____________．题型2：二次函数一般式转化为顶点式例2.用配方法把下列函数解析式化为()2y a x m k =++的形式． （1）24y x x =+； （2）2368y x x =-+-．【变式1】()()2121y x x =-++化成()2y a x m k =++的形式为（ ）A ．23252416y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭B ．2317248y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C ．2317248y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭D ．2317248y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭题型3：二次函数开口方向、顶点坐标、对称轴及函数的最值例3．通过配方，确定抛物线2246y x x =-++的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．【变式1】二次函数2y ax bx c =++图像上部分点的坐标满足下表：则该函数图像的顶点坐标为____________．【变式2】二次函数2252y x x =-+的对称轴为__________，顶点坐标为__________；二次函数25222y x x =-+的对称轴为__________，顶点坐标为__________． 【变式3】二次函数()21145m y m x x m +=-+-的图像的对称轴为直线（ ）A ．x = 1B ．x =1-C ．x = 2D ．x =2-【变式4】对于二次函数2288y x x =-+-：（1）求出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ （2）求出此抛物线与x 、y 轴的交点坐标； （3）当x 取何值时，y 随着x 的增大而减小．【变式5】已知抛物线2y x mx n =-+-的对称轴为3x =-，且过点（0，4），求m 、n 的 值．【变式6】已知一次函数2y x c =-+与二次函数24y ax bx =+-的图像都过点A （1，1-）， 二次函数的对称轴是直线x =1-，请求出一次函数和二次函数的解析式．题型4：利用各项系数符号判断二次函数图象例4.已知二次函数2y ax bx c =++，若0a <，0b <，0c >，那么它的图像大致是 （ ）【变式】二次函数2y ax bx c =++中，0a >，0b <，0c =，则其图像的顶点在第____ 象限． 题型5：二次函数与一次函数综合A ．B ．C ．D ．xyxyxyxy例5.在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠） 的图像可能是（ ）题型6：求二次函数解析式例 6.已知一次函数2y x c =-+与二次函数24y ax bx =+-的图像都过点A （1，1-）， 二次函数的对称轴是直线x =1-，请求出一次函数和二次函数的解析式．题型7：与二次函数有关动态问题例7.将抛物线244y x x =-+沿y 轴向下平移后，所得抛物线与x 轴交于点A 、B ， 顶点为C ．如果ABC ∆是等腰直角三角形，求顶点C 的坐标．【过关检测】一、单选题1．（2020·上海市曹杨二中附属江桥实验中学九年级期中）如果二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如A ．B ．C ．D ．xyxyxyx y图所示，那么（ ）A ．a 0,b 0,c 0<>>B ．0,0,0a b c >>>C ．0,0,0a b c ><<D ．0,0,0a b c >><2．（2020·上海市静安区实验中学九年级期中）如果将抛物线y ＝x 2向上平移1个单位，那么所得抛物线对应的函数关系式是（ ） A ．y ＝x 2+1B ．y ＝x 2﹣1C ．y ＝（x +1）2D ．y ＝（x ﹣1）23．（2021·上海九年级一模）关于抛物线2y x x ，下列说法中，正确的是（ ）A ．经过坐标原点B ．顶点是坐标原点C ．有最高点D ．对称轴是直线1x =4．（2021·上海九年级一模）抛物线243y x x =-+-不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．（2021·上海九年级一模）已知点A(1，2)、B(2，3)、C(2，1)，那么抛物线21y ax bx =++可以经过的点是（ ） A ．点A 、B 、CB ．点A 、BC ．点A 、CD ．点B 、C6．（2021·上海九年级一模）将抛物线22(1)3y x =+-平移后与抛物线22y x =重合，那么平移的方法可以是（ ）A ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位B ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位D ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位7．（2021·上海九年级一模）如图所示是二次函数()20y ax bx c a =++≠图像的一部分，那么下列说法中不正确的是（ ）．A ．0ac <B ．抛物线的对称轴为直线1x =C ．0a b c -+=D ．点()12,y -和()22,y 在拋物线上，则12y y >二、填空题8．（2021·上海九年级二模）如果抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 在对称轴左侧呈上升趋势，那么a 的取值范围是_____．9．（2021·上海九年级一模）函数2245y x x =+-的图象与y 轴的交点的坐标为_________．10．（2021·上海九年级一模）如果二次函数221y mx x m =++-的图像经过点()1,2P ，那么 m 的值为_______________________．11．（2020·上海民办华二浦东实验学校九年级期中）抛物线24y x x =+的最低点坐标是__________．12．（2021·上海九年级一模）二次函数223y x x =-图像的开口方向是____．13．（2021·上海九年级一模）如果抛物线l 经过点()2,0A -和()5,0B ，那么该抛物线的对称轴是直线________．三、解答题14．（2020·上海）已知抛物线2246y x x =--．（1）请用配方法求出顶点的坐标；（2）如果该抛物线沿x 轴向左平移()0m m >个单位后经过原点，求m 的值．15．（2020·上海市曹杨二中附属江桥实验中学九年级期中）用配方法把二次函数y=12x 2–4x+5化为y=a(x+m)2+k 的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．16．（2021·上海九年级一模）将二次函数223y x x =++的图像向右平移3个单位，求所得图像的函数解析式：请结合以上两个函数图像，指出当自变量x 在什么取值范围内时，上述两个函数中恰好其中一个的函数图像是上升的，而另一个的函数图像是下降的．17．（2021·上海九年级一模）已知抛物线223y x x m =++-的顶点在第二象限，求m 的取值范围．18．（2021·上海九年级一模）用配方法把二次函数2365y x x =-+化为2()y a x m k =++的形式，并指出这个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标．19．（2020·上海）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝2x2﹣12x+10的图象与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左边），与y轴相交于点C，求△ABC的面积．。
九上数学每日一练：二次函数y=ax^2+bx+c的性质练习题及答案_2020年解答题版
九上数学每日一练：二次函数y=ax^2+bx+c 的性质练习题及答案_2020年解答题版答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析2020年九上数学：函数_二次函数_二次函数y=ax^2+bx+c 的性质练习题1.(2019秀洲.九上期末) 已知二次函数y=x +3x+m 的图象与x 轴交于点A （﹣4，0）．（1） 求m 的值；（2） 求该函数图象与坐标轴其余交点的坐标．考点： 二次函数y=ax^2+bx+c 的性质;二次函数图象与坐标轴的交点问题;2.(2019秀洲.九上期末) 抛物线y ＝ax +2ax+c 与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 右边），且，求点A 、B 的坐标．考点： 二次函数y=ax^2+bx+c 的性质;3.(2019铁西.九上期末) 小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y （只）与销售单价x （元）之间的关系式为y ＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？考点： 二次函数y=ax^2+bx+c的性质;根据实际问题列二次函数关系式;4.(2019闵行.九上期末) 已知在平面直角坐标系xOy 中，二次函数 的图像经过点A （1，0）、B （0，-5）、C （2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对称轴．考点： 二次函数y=ax^2+bx+c的性质;待定系数法求二次函数解析式;5.(2019如皋.九上期末) 复习课中，教师给出关于x 的函数（k是实数）.教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上.学生思考后，黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：①存在函数，其图像经过（1,0）点；②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；③当 时，不是y 随x 的增大而增大就是y 随x 的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数；教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由，最后简单写出解决问题时所用的数学方法.考点： 二次函数y=ax^2+bx+c 的性质;二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数图象上点的坐标特征;2020年九上数学：函数_二次函数_二次函数y=ax^2+bx+c 的性质练习题答案1.答案：2.答案：223.答案：4.答案：5.答案：。