分段函数专题(讲义)

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高中数学必修一(人教版)《3.1.2 第二课时分段函数》课件

题型一分段函数求值问题
【学透用活】
[典例 1]
已知函数 f(x)＝xx＋ 2＋12，x，x≤－－2<2x，<2， 2x－1，x≥2.
(1)求 f(－5)，f(－ 3)，ff－52的值； (2)若 f(a)＝3，求实数 a 的值； (3)若 f(x)>2x，求 x 的取值范围．
[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－ 3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
【课堂思维激活】一、综合性——强调融会贯通 1．下面是解“已知实数 a≠0，函数 f(x)＝2－x＋x－a，2ax，＜x1≥，1. 若 f(1－a)＝f(1＋
a)，求 a 的值”的过程：
解：由 f(1－a)＝f(1＋a)，得 2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，即 2－a＝－1－ 3a，∴a＝－32. 上述解题过程是否正确？请说明理由．
[解] 如图，过点 A，D 分别作 AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是 G，H.
因为四边形 ABCD 是等腰梯形，底角为 45°，AB＝ 2 2 cm，所以 BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm.又 BC＝7 cm，所以 AD＝GH＝3 cm.
①当点 F 在 BG 上，即 x∈[0,2]时，y＝12x2； ②当点 F 在 GH 上，即 x∈(2,5]时，y＝x＋x2－2×2＝2x－2；
(2)问：该企业选择哪家俱乐部比较合算？为什么？
解：(1)由题意得 f(x)＝6x，x∈[12,30]， g(x)＝920x，＋1520≤ ，x2≤ 0＜20x， ≤30. (2)①当 12≤x≤20 时，令 6x＝90，解得 x＝15. 即当 12≤x＜15 时，f(x)＜g(x)；当 x＝15 时，f(x)＝g(x)；当 15＜x≤20 时，f(x) ＞g(x)． ②当 20＜x≤30 时，f(x)＞g(x)．综上，当 12≤x＜15 时，选 A 俱乐部合算；当 x＝15 时，两家俱乐部一样合算；当 15＜x≤30 时，选 B 俱乐部合算．

3.1.2 第2课时分段函数

第2课时分段函数学习目标1．会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质.3.能用分段函数解决生活中的一些简单问题．知识点一分段函数(1)定义：像y ＝⎩⎨⎧－x ，x <0，x ，x ≥0这样的函数称为分段函数．(2)实质：函数f (x )，x ∈A ，自变量x 在A 中□1不同的取值范围内，有着不同的□2对应关系．知识点二分段函数的性质(1)定义域：各段自变量取值范围的□3并集，注意各段自变量取值范围的□4交集为空集，这是由函数定义中的唯一性决定的．(2)值域：各段函数在相应区间上函数取值集合的□5并集． (3)图象：根据不同定义域上的解析式分别作出，再将它们组合在一起得到整个分段函数的图象．[微练1] (多选题)下列给出的函数是分段函数的是( ) A ．f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x <1B ．f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥4，x 2，x ≤4C ．f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1D ．f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5解析：AD B 中的函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥4，x 2，x ≤4中，当x ＝4时，有两个值与之对应，不满足函数的定义，不是分段函数；C 中的函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1中，当x ＝1时，有两个值与之对应，不满足函数的定义，不是分段函数；只有A 、D中的函数满足分段函数的定义，是分段函数．故选AD ．[微练2] 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1x ＋1，x <－1，x －1，x >1，则f (2)＝( )A ．0B ．13C ．1D ．2解析：C ∵2＞1，∴f (2)＝2－1＝1.题型一分段函数求值(范围)问题已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，2x ，－1<x <2，x 22，x ≥2.(1)求f (－3)，f (f (32))的值； (2)若f (a )＝2，求a 的值． [解] (1)因为－3<－1，所以f (－3)＝－3＋2＝－1. 因为－1<32<2，所以f (32)＝2×32＝3. 又3>2，所以f (f (32))＝f (3)＝92.(2)当a ≤－1时，由f (a )＝2，得a ＋2＝2，a ＝0，舍去；当－1<a <2时，由f (a )＝2，得2a ＝2，a ＝1；当a ≥2时，由f (a )＝2，得a 22＝2，a ＝2或a ＝－2(舍去)．综上所述，a 的值为1或2. [发散思维]若本例函数f (x )不变，求满足f (x )>2x 的x 的取值范围．解：当x ≤－1时，有x ＋2>2x .解得x <2，∴x ≤－1，当－1<x <2时，2x >2x ，x 无解，当x ≥2时，x 22>2x .解得x >4， ∴x >4，综上，x 的取值范围为(－∞，－1]∪(4，＋∞)．1．分段函数求函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间；(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值或不等式求范围的步骤(1)先将参数分情况代入解析式，列出方程(不等式)；(2)解方程(不等式)求参数的值(范围)，并检验是否符合参数的取值范围； (3)符合题意的所有值(范围的并集)即为所求．1．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，f （x ＋1），x ≤0，则f (－43)＋f (43)等于( )A ．－2B ．4C ．2D ．－4解析：B ∵f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，f （x ＋1），x ≤0，∴f (－43)＝f (－43＋1)＝f (－13)＝f (－13＋1)＝f (23)＝23×2＝43，f (43)＝2×43＝83， ∴f (－43)＋f (43)＝43＋83＝4.2．已知f (x )＝⎩⎨⎧1，x ≥0，0，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集为( )A ．[0，1]B ．[0，2]C ．(－∞，1]D ．(－∞，2]解析：C 当x ≥0时，x ×1＋x ≤2，解得0≤x ≤1；当x <0时，x ≤2，所以x <0.所以不等式xf (x )＋x ≤2的解集为(－∞，1]．故选C ．3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0，若f (α)＝9，则α＝________．解析：由题意得⎩⎨⎧α≤0，－α＝9或⎩⎨⎧α>0，α2＝9.∴α＝－9或α＝3. 答案：－9或3题型二分段函数的图象及应用角度1 分段函数的图象(1)(2023·许昌市高一六校联考)函数y ＝|x |x ＋x 的大致图象是( )(2)作出下列函数的图象： f (x )＝⎩⎨⎧－x －1，x ≤－1，x 2－x －2，－1<x ≤2，x －2，x >2.(1)[解析] 法一：易得函数y ＝|x |x ＋x 的定义域为{x |x ≠0}，排除A ，B ；当x ＝－1时，y ＝－2，选项D 中的图象不符合，排除D ．故选C ．法二：函数y ＝|x |x ＋x 的定义域为{x |x ≠0}，依据绝对值的概念可得y ＝⎩⎨⎧1＋x ，x >0，－1＋x ，x <0，易知选项C 对应的图象正确． [答案] C(2)[解] 画出一次函数y ＝－x －1的图象，取(－∞，－1]上的一段；画出二次函数y ＝x 2－x －2的图象，取(－1，2]上的一段；画出一次函数y ＝x －2的图象，取(2，＋∞)上的一段，如图所示．角度2 分段函数图象的应用(链接教材P 68例6)已知函数f (x )＝－x 2＋2，g (x )＝x ，令φ(x )＝min{f (x )，g (x )}(即f (x )和g (x )中的较小者)．(1)分别用图象法和解析式表示φ(x )； (2)求函数φ(x )的定义域，值域．[解] (1)在同一个坐标系中画出函数f (x )，g (x )的图象如图①.由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x )的定义，可得函数φ(x )的图象如图②.令－x 2＋2＝x ，得x ＝－2或x ＝1.结合图②，得出φ(x )的解析式为φ(x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2，x ≤－2，x ，－2<x <1，－x 2＋2，x ≥1.(2)由图②知，φ(x )的定义域为R ，φ(1)＝1， ∴φ(x )的值域为(－∞，1]．1．分段函数图象的画法作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．2．根据分段函数图象求解析式(1)首先从图象上看分段点及各段定义域．(2)其次看各段图象所代表的函数，用待定系数法求解析式，最后写成分段函数．4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x ≤0，x 2＋1，0<x ≤1，则函数f (x )的图象是( )答案：A5．已知函数f (x )的图象如图所示，求f (x )的解析式．解：当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，将(－1，0)，(0，1)代入解析式，则⎩⎨⎧－a ＋b ＝0，b ＝1.∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1.∴f (x )＝x ＋1. 当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx (k ≠0)，将(1，－1)代入，则k ＝－1.∴f (x )＝－x . 即f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x <0，－x ，0≤x ≤1.题型三分段函数在实际问题中的应用某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5 km 以内(含5 km)，票价2元；(2)5 km 以上，每增加5 km ，票价增加1元(不足5 km 的按5 km 计算)．如果某条线路的总里程为20 km ，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．[解] 设票价为y 元，里程为x km.由题意可知，自变量x 的取值范围是(0，20]．由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得到以下函数解析式：y ＝⎩⎨⎧2，0<x ≤5，3，5<x ≤10，4，10<x ≤15，5，15<x ≤20.函数图象如图．分段函数应用问题的两个关注点(1)应用情境日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等，都是最简单的分段函数．(2)注意问题求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”，一定要分得合理．6．(2022·滨州高一检测)某同学设想用“高个子系数k ”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160 cm 及其以下不算高个子，其高个子系数k 应为0；身高190 cm 及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k 应为1，请给出一个符合该同学想法、合理的成年男子高个子系数k 关于身高x (cm)的函数关系式________．解析：设身高为x cm ，k (x )＝ax ＋b (a ＞0)，x ∈[160，190]，由⎩⎨⎧160a ＋b ＝0，190a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝130，b ＝－163.k (x )＝130x －163.故k ＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 0<x ≤160，130（x －160）， 160<x <190，1， x ≥190.答案：k ＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 0<x ≤160，130（x －160）， 160<x <190，1， x ≥190特别提醒(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数，整体及各段符合函数的定义． (2)分段函数的定义域是各段自变量的并集，值域是各段值域的并集． (3)求解分段函数问题的原则是分段讨论．课时规范训练 A 基础巩固练1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x －2，x <2，f （x －1），x ≥2，则f (2)等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：A f (2)＝f (2－1)＝f (1)＝1－2＝－1.2．著名的Dirichlet 函数D (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则D (D (x ))等于( )A ．0B ．1C ．⎩⎨⎧1，x 为无理数，0，x 为有理数D ．⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数解析：B ∵D (x )∈{0，1}，∴D (x )为有理数， ∴D (D (x ))＝1.3．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )A B C D解析：B 根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A ，D ．然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C ．故选B ．4．设f (x )＝⎩⎨⎧－x －3（x ≤－1），x 2（－1<x <2），3x （x ≥2），若f (x )＝9，则x ＝()A ．－12B ．±3C ．－12或±3D ．－12或3解析：Df (x )＝⎩⎨⎧－x －3（x ≤－1），x 2（－1<x <2），3x （x ≥2），f (x )＝9，当x ≤－1时，－x －3＝9，解得x ＝－12；当－1<x <2时，x 2＝9，解得x ＝±3，不成立；当x ≥2时，3x ＝9，解得x ＝3，所以x ＝－12或x ＝3.故选D ．5.(多选题)函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋1，x >0，x ＋1，x ≤0B ．f (x )＝⎩⎨⎧－x －1，x >0，x ＋1，x ≤0C ．f (x )＝－|x |＋1D ．f (x )＝|x ＋1|解析：AC 由题中图象知当x ≤0时，f (x )＝x ＋1，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，故选AC ．6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ＋2，x <1，x 2－ax ，x ≥1，若f (f (0))＝a ，则实数a ＝________．解析：依题意知f (0)＝3×0＋2＝2，则f (f (0))＝f (2)＝22－2a ＝a ，得a ＝43. 答案：437．某市出租汽车收费标准如下：在3 km 以内(含3 km)路程按起步价9元收费，超过3 km 的路程按2.4元/km 收费．收费额(单位：元)关于路程(单位：km)的函数解析式为________．解析：设路程为x km 时，收费额为y 元，则由题意得：当x ≤3时，y ＝9；当x >3时，按2.4元/km 所收费用为2.4×(x －3)，那么有y ＝9＋2.4×(x －3)．于是，收费额关于路程的函数解析式为y ＝⎩⎨⎧9，0<x ≤3，9＋2.4×（x －3），x >3，即y ＝⎩⎨⎧9，0<x ≤3，2.4x ＋1.8，x >3.答案：y ＝⎩⎨⎧9，0<x ≤3，2.4x ＋1.8，x >38．函数f (x )的图象如图所示，求函数f (x )的解析式．解：当x <－1时，设f (x )＝ax ＋b ，则⎩⎨⎧－a ＋b ＝1，－2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，所以f (x )＝x ＋2；当－1≤x ≤2时，设f (x )＝kx 2，由4＝k ·22得k ＝1，所以f (x )＝x 2；当x >2时，设f (x )＝cx ＋d ，则⎩⎨⎧2c ＋d ＝4，3c ＋d ＝6，解得⎩⎨⎧c ＝2，d ＝0，所以f (x )＝2x ，所以f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x <－1，x 2，－1≤x ≤2，2x ，x >2.B 能力进阶练9．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝|x |sgn x 的图象大致是( )A B C D解析：C由题意知f (x )＝⎩⎨⎧x ，x >0，0，x ＝0，x ，x <0，则f (x )＝x ，则f (x )的图象为C 中图象所示．10．(多选题)已知函数f (x )的图象由如图所示的两条线段组成，则( )A ．f (f (1))＝3B ．f (2)>f (0)C ．f (x )＝－x ＋1＋2|x －1|，x ∈[0，4]D ．∃a >0，不等式f (x )≤a 的解集为[12，2]解析：AC 因为f (1)＝0，f (0)＝3，所以f (f (1))＝3，A 正确；f (0)＝3，0<f (2)<3，所以f (2)<f (0)，B 错误；由题图得，当x ∈[0，1]时，设解析式为y ＝k 1x ＋b 1(k 1≠0)，图象经过(1，0)，(0，3)，所以⎩⎨⎧k 1＋b 1＝0，b 1＝3，解得⎩⎨⎧k 1＝－3，b 1＝3，所以y ＝3－3x ； x ∈[1，4]时，设解析式为y ＝k 2x ＋b 2(k 2≠0)，图象经过(1，0)，(4，3)，所以⎩⎨⎧k 2＋b 2＝0，4k 2＋b 2＝3，解得⎩⎨⎧k 2＝1，b 2＝－1，所以解析式为y ＝x －1；即f (x )＝－x ＋1＋2|x －1|，x ∈[0，4]，C 正确；由C 得f (2)＝2－1＝1，f (12)＝3－32＝32，如图，所以不存在大于零的a ，使得不等式f (x )≤a 的解集为[12，2]，故D 错误．11．(多选题)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，关于函数f (x )的结论正确的是( )A ．f (x )的定义域为RB ．f (x )的值域为(－∞，4)C ．若f (x )＝3，则x 的值是 3D ．f (x )<1的解集为(－1，1)解析：BC 由题意知函数f (x )的定义域为(－∞，2)，故A 错误；当x ≤－1时，f (x )的取值范围是(－∞，1]．当－1<x <2时，f (x )的取值范围是[0，4)，因此f (x )的值域为(－∞，4)，故B 正确；当x ≤－1时，x ＋2＝3，解得x ＝1(舍去)，当－1<x <2时，x 2＝3，解得x ＝3或x ＝－3(舍去)，故C 正确；当x ≤－1时，x ＋2<1，解得x <－1，当－1<x <2时，x 2<1，解得－1<x <1，因此f (x )<1的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)，故D 错误．故选BC ．12．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f (1a )＝________．解析：若0<a <1，由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2(a ＋1－1)，所以a ＝14，所以f (1a )＝f (4)＝2×(4－1)＝6.若a ≥1，由f (a )＝f (a ＋1)得2(a －1)＝2(a ＋1－1)，无解．综上，f (1a )＝6.答案：613．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11：00到12：00他骑了多少千米？(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？解：(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．(2)10：30开始第一次休息，休息了半小时．(3)第一次休息时，离家17千米．(4)11：00至12：00他骑了13千米．(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形.。

分段函数(共9张PPT)

（1）写出每户每月用水量不超过6米3和每户每月用水量超过6米3时，y与x之间的函数关系式，并判断它们是否为一次函数。
（2）已知某户5月份的用水量为米3，求该用户5月份的水费。
生活中的数学
【例 3】某医药研究所开发了一种新药，在实际验药时
发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含
药量y（微克）随时间x（时）的变化情况如图所示，当成年人按规定剂量服药后。
Y（元）跑步速度 y与时间 x的函数关系式是
例２、某供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费，月用电x（度）与相应电费y（元）之间的函数的图象如图所示。例1 小芳以200米/分的速度起跑后,先匀加速跑5分钟,每分提高速度20米/分,又匀速跑10分钟, 试写出这段时间里她的跑步速度y(米/分)随跑步时间 x(分)变化的函数关系式,并画出函数图象. （2）已知某户5月份的用水量为米3，求该用户5月份的水费。
例２、某供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费，月用电x（度）与相应电费y（元）之间的函数的图象如图所示。
解:依题意得 { 例1 小芳以200米/分的速度起跑后,先匀加速跑5分钟,每分提高速度20米/分,又匀速跑10分钟, 试写出这段时间里她的跑步速度y(米/分)随跑步时间
s=10+6(x-5) (5<x≤10) x(分)变化的函数关系式,并画出函数图象.
化情况如图所示，当成年人按规定剂量服药后。
1 例２、某供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费，月用电x（度）与相应电费y（元）之间的函数的图象如图所示。
（3）月用电量为260度时，应交电费多少元？
（2）当x≥100时求y与x之间的函数关系式； Y= x+20 ３．写出每一段的函数解析式 5 例1 小芳以200米/分的速度起跑后,先匀加速跑5分钟,每分提高速度20米/分,又匀速跑10分钟, 试写出这段时间里她的跑步速度y(米/分)随跑步时间

分段函数完整ppt课件

2. 分段函数的定义域是各个部分定义域的并集，值域也是各个部分值域的并集。
.
例6 某市公交车的票价按下列规则制定：（1）5公里以内（含5公里），票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增
加1元（不足5公里的按5公里计算）。如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价y与里程x之间的函数解析式，并画出函数的图象。
确定自变量的数值属于哪个区间段，然后选取相应的对应法则来求函数值.
（2）解决此类问题应自内向外依次求值.
.
2x+3, x＜－1, 已知函数f (x)= x2, －1≤x＜1,
x－1, x≥1 .
当f (x)=－7时,求x 。
解：若x＜－1 , 2x+3 ＜1，
与f (x)=－7相符，
由2x+3 =－7得x=－5
x
.
已知函数f (x)= 求(1)求f(－2);
2x+3, x＜－1, x2, －1≤x＜1, x－1, x≥1 .
(2) 求 f{f[f(－2)]} 。
.
解： ( 1 )f( 2 ) 2 ( 2 ) 3 1
（2） f{f[f(－2)]} = f{f[-1]}
= f{1} =0
小结：（1）求分段函数的函数值时，一般先
.
解：设票价为y，里程为x，则根据题意，自变量x的取值范围是（0，20] 由公交车票价的规定，可得到以下函数解析式：
2, 0<x ≤ 5 3, 5< x ≤ 10 y= 4, 10<x ≤ 15 5, 15<x ≤ 20
.
根据函数解析式，可画出函数图象，如下图
y
5
○
4
○
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第3讲分段函数与绝对值函数课时讲义

第3讲分段函数与绝对值函数1. 分段函数和绝对值函数是高考的重点考查内容，主要考查分类讨论思想及基本初等函数的性质，关键弄清楚为什么要分类，需要分几类，如何分，做到不重不漏．2. 涉及的题型主要有：一是明确在各个分段上的函数解析式，然后对各个分段进行讨论；二是结合函数图象，将函数分成几个部分，然后寻求解题方法．1. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x>1，－x －2，x ≤1，则f(f(2))＝________．答案：－52解析：f(2)＝12，则f(f(2))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－52. 2. (2017·盐城模考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ＋1－2，x ≤1，2x －1，x ＞1.若f(0)＝3，则f(a)＝ ________．答案：9解析：因为f(0)＝3，所以a －2＝3，即a ＝5，所以f(a)＝f(5)＝9. 3. (2018·启东中学)已知函数f(x)＝x|x|，若f(x 0)＝4，则x 0＝________．解析：当x ≥0时，f(x)＝x 2，f(x 0)＝4，即x 20＝4，解得x 0＝2.当x<0时，f(x)＝－x 2，f(x 0)＝4，即－x 20＝4，无解，所以x 0＝2.4. (2018·苏锡常镇调研一)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a －e x ，x <1，x ＋4x，x ≥1(e 是自然对数的底)．若函数y＝f (x )的最小值是4，则实数a 的取值范围是________．答案：[e ＋4，＋∞)解析：在x ≥1时，f (x )min ＝f (2)＝4.所以当x <1时，a －e x ≥4恒成立．转化为a ≥e x ＋4对x <1时恒成立．因为e x ＋4在(－∞，1)上的值域为(4，e ＋4)，所以a ≥e ＋4., 一) 绝对值函数的图象与性质, 1) 已知函数f(x)＝x|x －2|. (1) 写出f(x)的单调区间； (2) 解不等式f(x)<3；(3) 设a>0，求f(x)在[0，a]上的最大值．解：(1) f(x)＝x|x －2|＝ ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＝（x －1）2－1，x ≥2，－x 2＋2x ＝－（x －1）2＋1，x ＜2，所以f(x)的单调增区间是(－∞，1]和[2，＋∞)，单调减区间是[1，2]．(2) 因为x|x －2|<3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x 2－2x －3＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x<2，x 2－2x ＋3>0，解得2≤x ＜3或x ＜2，所以不等式f(x)<3的解集为{x|x<3}．(3) ① 当0＜a ＜1时，f(x)是[0，a]上的增函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(2－a)；② 当1≤a ≤2时，f(x)在[0，1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1；③ 当a ＞2时，令f(a)－f(1)＝a(a －2)－1＝a 2－2a －1>0，解得a>1＋ 2. (ⅰ) 当2<a ≤1＋2时，此时f(a)≤f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1； (ⅱ) 当a>1＋2时，此时f(a)>f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(a －2)．综上，当0<a ＜1时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(2－a)；当1≤a ≤1＋2时，f(x)在[0，a]上的最大值是1；当a>1＋2时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(a －2)．点评：对于绝对值函数可以转化为与它等价的分段函数，然后结合函数的单调区间和图象，对于每一段上的函数进行研究，得出相应的结论，最终将各段得出的结论进行综合，就可以得到问题的解．若函数f(x)＝x 2－a|x －1|在[0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围．解：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋a ，x ∈[1，＋∞），x 2＋ax －a ，x ∈（－∞，1），x ∈[1，＋∞)时，f(x)＝x 2－ax ＋a ＝⎝⎛⎭⎫x －a 22＋a －a 24，x ∈(－∞，1)时，f(x)＝x 2＋ax －a ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22－a －a 24.① 当a2>1，即a>2时，f(x)在⎣⎡⎭⎫1，a 2上单调递减，在 ⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞上单调递增，不合题意；② 当0≤a2≤1，即0≤a ≤2时，符合题意；③ 当a2<0，即a<0时，不符合题意．综上，实数a 的取值范围是[0，2]．, 二) 分段函数的图象与性质, 2) 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x>0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x<0是奇函数．(1) 求实数m 的值；(2) 若函数f(x)在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1) 设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x 2－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．于是当x<0时，f(x)＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2) 要使f(x)在[－1，a －2]上单调递增，结合f(x)的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3]．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．(1) 求f(x)的解析式；(2) 画出f(x)的图象．解：(1) 因为f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ·（－2）＋b ＝3，a ·（－1）＋b ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0.(2) 画出f(x)的图象，如图所示．, 三) 与绝对值函数有关的恒成立问题, 3) 已知函数f(x)＝x|x －a|＋2x.求所有的实数a ，使得对任意x ∈[1，2]时，函数f(x)的图象恒在函数g(x)＝2x ＋1图象的下方．解：由题意得对任意的实数x ∈[1，2]，f(x)<g(x)恒成立，即x ||x －a <1，当x ∈[1，2]时恒成立，即|x －a|<1x ，－1x <x －a<1x ，x －1x <a<x ＋1x，故只要x －1x <a 且a<x ＋1x 在x ∈[1，2]上恒成立即可，在x ∈[1，2]时，只要x －1x 的最大值小于a 且x ＋1x的最小值大于a 即可，而当x ∈[1，2]时，⎝⎛⎭⎫x －1x ′＝1＋1x 2>0，x －1x 为增函数，⎝⎛⎭⎫x －1x max ＝32；当x ∈[1，2]时，⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1－1x 2>0，x ＋1x 为增函数，⎝⎛⎭⎫x ＋1x min ＝2，所以32<a <2.设常数a ∈R ，函数f (x )＝(a －x )|x |.(1) 若a ＝1，求f (x )的单调区间；(2) 若f (x )是奇函数，且关于x 的不等式mx 2＋m >f (f (x ))对所有的x ∈[－2，2]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1) 当a ＝1时，f (x )＝(1－x )|x |＝ ⎩⎪⎨⎪⎧（1－x ）x ，x ≥0，（x －1）x ，x <0，当x ≥0时，f (x )＝(1－x )x ＝－(x －12)2＋14，所以f (x )在[0，12]上是增函数，在(12，＋∞)上是减函数；当x <0时，f (x )＝(x －1)x ＝(x －12)2－14，所以f (x )在(－∞，0)上是减函数．综上所述，f (x )的单调增区间为[0，12]，单调减区间为(－∞，0)，(12，＋∞)．(2) 因为f (x )是奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，即a ＋1＝－(a －1)，解得a ＝0，所以f (x )＝－x |x |，f (f (x ))＝x 3|x |.所以mx 2＋m >f (f (x ))＝x 3|x |，即m >x 3|x |x 2＋1对所有的x ∈[－2，2]恒成立．又x ∈[－2，2]，所以x 2＋1∈[1，5]，所以x 3|x |x 2＋1≤x 4x 2＋1＝x 4－1＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1－2≤165.所以实数m 的取值范围是(165，＋∞)．, 四) 与绝对值函数有关的最值问题, 4) 已知函数f(x)＝ (23)|x|－a .(1) 求f(x)的单调区间；(2) 若f(x)的最大值等于94，求a 的值．解：(1) 令t ＝|x|－a ，则f(x)＝ ⎝⎛⎭⎫23t ，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝(23)t 是单调递减的，因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)．(2) 由于f(x)的最大值是94，且94＝ ⎝⎛⎭⎫23－2，所以g(x)＝|x|－a 应该有最小值－2，即g(0)＝－2，从而a ＝2.(2018·沈阳一模)已知函数f(x)＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________．答案： 9解析：f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3x （0<x <1），log 3x （x ≥1），所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0<m <n 且f (m )＝f (n )，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，n >1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，n >1，mn ＝1，所以0<m 2<m <1，则f (x )在[m 2，1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)>f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以nm＝9.1. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a－1|)>f (－2)，则a 的取值范围是 ________．答案：(12，32)解析：由f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )在区间(－∞，0)上单调递增，得f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)，所以2|a －1|<2，即|a －1|<12，所以12<a <32.2. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．答案：(3，＋∞)解析：画出函数f (x )的图象如图所示，由图可知，当方程f (x )＝b 有三个不同的根时，有4m －m 2<m ，解得m >3或m <0(舍去)．3. 设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f (－52)＝f (92)，则f (5a )＝________．答案：－25解析：由题意得f (－52)＝f (－12)＝－12＋a ，f (92)＝f (12)＝⎪⎪⎪⎪25－12＝110，所以－12＋a ＝110，则a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.4. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（2－x ），x <1，2x ，x ≥1，则f (－2)＋f (log 23)的值是__________．答案：5解析：f (－2)＋f (log 23)＝log 2[2－(－2)]＋2log 23＝log 222＋3＝5. 5. (2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x ＋4)＝f(x)(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝ ⎩⎨⎧cos πx2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2＜x ≤0，则f (f (15))的值为________．答案：22解析：因为f (x ＋4)＝f (x )，所以函数的周期为4，所以f (15)＝f (－1)＝ ⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12，所以f (f (15))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝cos π4＝22.(本题模拟高考评分标准，满分16分) 已知a ∈R ，函数f (x )＝x 2－2ax ＋5.(1) 若a ＞1，且函数f (x )的定义域和值域均为[1，a ]，求实数a 的值；(2) 若不等式x |f (x )－x 2|≤1对x ∈⎣⎡⎦⎤13，12恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1) 因为f (x )＝x 2－2ax ＋5的图象的对称轴为直线x ＝a (a ＞1)，所以f (x )在[1，a ]上为减函数，(2分) 所以f (x )的值域为[f (a )，f (1)]．(4分) 而已知值域为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝a 2－2a 2＋5＝1，f （1）＝1－2a ＋5＝a ，(6分)解得a ＝2.(8分)(2) 由x |f (x )－x 2|≤1，得－12x 2＋52x ≤a ≤12x 2＋52x(*)．令1x ＝t ，t ∈[2，3]，则(*)可化为－12t 2＋52t ≤a ≤12t 2＋52t .(10分)记g (t )＝－12t 2＋52t ＝－12(t －52)2＋258，则g (t )max ＝g (52)＝258，所以a ≥258；(12分)记h (t )＝12t 2＋52t ＝12(t ＋52)2－258，则h (t )min ＝h (2)＝7，所以a ≤7.(14分)综上所述，258≤a ≤7.所以实数a 的取值范围是[258，7]．(16分)1. 若函数f(x)＝x 2＋a|x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案：[－4，0]解析：f(x)＝x 2＋a|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a ，x ≥2，x 2－ax ＋2a ，0<x ＜2，要使f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则⎩⎨⎧－a2≤2，a2≤0，解得－4≤a ≤0.所以实数a 的取值范围是[－4，0]．2. 已知函数f(x)＝|2x －a|＋|2x ＋3|，g(x)＝|x －1|＋2. (1) 解不等式|g(x)|＜5；(2) 若对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．解：(1) 由||x －1|＋2|＜5，得－5＜|x －1|＋2＜5. 所以－7＜|x －1|＜3，得不等式的解集为(－2，4)． (2) 因为对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}．又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2，所以|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5，所以实数a 的取值范围是(－∞，－5]∪[－1，＋∞)．3. 设函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪1－1x (x>0)． (1) 作出函数f(x)的图象；(2) 当0<a<b ，且f(a)＝f(b)时，求1a ＋1b的值；(3) 若方程f(x)＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．解：(1) 函数f(x)的图象如图所示．(2) ∵ f(x)＝⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎨⎧1x －1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈（1，＋∞），故f(x)在(0，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．由0<a<b 且f(a)＝f(b)，得0<a<1<b ，且1a －1＝1－1b ，∴ 1a ＋1b＝2. (3) 由函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，函数f(x)的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点，即方程f(x)＝m 有两个不相等的正根．故m 的取值范围是(0，1)．请使用“课后训练·第3讲”活页练习，及时查漏补缺！。

专题68 分段函数在生活实际中的应用(原卷版)-中考数学解题大招复习讲义

例题精讲【例1】．某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完、该公司对第一批产品A 上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图（1）中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图（2）中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系．（1）写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式；（2）写出每件产品A的销售利润z与上市时间t的关系式；（3）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？变式训练【变1-1】．某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是y＝，销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示．（1）第15天的日销售量为件；（2）0＜x≤30时，求日销售额的最大值；（3）在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？【变1-2】．某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召，决定成立草莓产销合作社，负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红．经市场调研发现，草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的关系如图所示（0≤x≤100）．已知草莓的产销投入总成本p（万元）与产量x（吨）之间满足p＝x+1．（1）直接写出草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式；（2）求该合作社所获利润w（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式；（3）为提高农民种植草莓的积极性，合作社决定按0.3万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户，为确保合作社所获利润w′（万元）不低于55万元，产量至少要达到多少吨？【例2】．心理学家通过实验发现：初中学生听讲的注意力随时间变化，讲课开始时，学生注意力逐渐增强，中间有一段平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间表t （分钟）变化的函数图象如下．当0≤t≤10时，图象是抛物线的一部分，当10≤t≤20时和20≤t≤40时，图象是线段．（1）当0≤t≤10时，求注意力指标数y与时间t的函数关系式；（2）一道数学探究题需要讲解24分钟，问老师能否经过恰当安排，使学生在探究这道题时，注意力指标数不低于45？请通过计算说明．变式训练【变2-1】．网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg．当每日销售量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元，设板栗公司销售该板栗的日获利为w（元）．（1）请求出日获利w与销售单价x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？（3）当w≥40000元时，网络平台将向板栗公司收取a元/kg（a＜4）的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a的值．【变2-2】．东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg ，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p （元/kg ）与时间t （天）之间的函数关系式为p＝，且其日销售量y （kg ）与时间t （天）的关系如表：时间t（天）136102040…日销售量y（kg ）1181141081008040…（1）已知y 与t 之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？（3）在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n 元利润（n ＜9）给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大，求n 的取值范围．1．为了节约水资源，自来水公司按分段收费标准收费，如图所示反映的是每月收取水费y （元）与用水量x （吨）之间的函数关系．按照分段收费标准，小颖家三、四月份分别交水费29元和19.8元，则四月份比三月份节约用水（）A ．2吨B ．2.5吨C ．3吨D ．3.5吨2．某市为鼓励市民节约使用燃气，对燃气进行分段收费，每月使用11立方米以内（包括11立方米）每立方米收费2元，超过部分按每立方米2.4元收取．如果某户使用9立方米燃气，需要燃气费为元；如果某户的燃气使用量是x立方米（x超过11），那么燃气费用y与x的函数关系式是．3．某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价2元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价3.5元收费．小明家2月份用水20吨，交水费49元；3月份用水18吨，交水费42元．（1）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数关系式；（2）小明家5月份用水30吨，则他家应交水费多少元？4．某市近期公布的居民用天然气阶梯价格听证会方案如下：×360+2.78×（400﹣360）＝1022（元）（1）若小明家2019年使用天然气300立方米，则需缴纳天然气费为元（直接写出结果）；（2）若小红家2019年使用天然气560立方米，则小红家2019年需缴纳的天然气费为多少元？5．在一段长为1000的笔直道路AB上，甲、乙两名运动员均从A点出发进行往返跑训练．已知乙比甲先出发30秒钟，甲距A点的距离y（米）与其出发的时间x（分钟）的函数图象如图所示，乙的速度是150米/分钟，且当乙到达B点后立即按原速返回．（1）当x为何值时，两人第一次相遇？（2）当两人第二次相遇时，求甲的总路程．6．“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg，如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子的价格打8折．（Ⅰ）根据题意，填写下表：购买种子的数量/kg 1.52 3.54…付款金额/元7.5101618…（Ⅱ）设购买种子数量为xkg，付款金额为y元，求y关于x的函数解析式；（Ⅲ）若小张一次购买该种子花费了30元，求他购买种子的数量．7．电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图所示），根据图象解下列问题：（1）分别写出当0≤x≤100和x＞100时，y与x的函数关系式；（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；（3）若该用户某月用电60度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费125元时，则该用户该月用了多少度电？8．某商品的进价为每件40元，售价每件不低于50元且不高于80元．售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．如果每件商品的售价每降价1元，则每个月多卖1件，设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？9．一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．两车行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象解决以下问题．（1）甲，乙两地的距离为km；慢车的速度为km/h．（2）求CD段的函数解析式．（不用写自变量的取值范围）（3）求当x为多少时，两车之间的距离为500km，请通过计算求出x的值．10．某水产市场经营一种海产品，其日销售量y（kg）与销售单价x（元/千克）的函数关系如图所示．（1）分别求出当20≤x≤30，30＜x≤35时，y与x之间的函数关系式．（2）当单价为32元/千克时，日销售量是多少？（3）当日销售量为80kg时，单价是多少？11．“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离y（km）与出发时间t（h）之间的函数关系式如图1中线段AB所示．在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离x（km）与出发时间t（h）之间的函数关系式如图2中折线段CD﹣DE ﹣EF所示．（1）小丽和小明骑车的速度各是多少？（2）求点E的坐标，并解释点E的实际意义．12．为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市对居民用水实行阶梯水价．居民家庭每月用水量划分为三个阶梯，一、二、三级阶梯用水的单价之比等于1：1.5：2．如图折线表示实行阶梯水价后每月水费y（元）与用水量x（m3）之间的函数关系．其中线段AB 表示第二级阶梯时y与x之间的函数关系．（1）写出点B的实际意义；（2）求线段AB所在直线的表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）某户5月份按照阶梯水价应缴水费108元，其相应用水量为多少立方米？13．如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数．下表是测得的指距与身高的一组数据：指距d（cm）20212223身高h（cm）160169178187（1）求出h与d之间的函数关系式；（不要求写出自变量d的取值范围）（2）某人身高为196cm，一般情况下他的指距应是多少？14．某市推出电脑上网包月制，每月收取费用y（元）与上网时间x（小时）的函数关系如图所示，其中BA是线段，且BA∥x轴，AC是射线．（1）当x≥30，求y与x之间的函数关系式；（2）若小王4月份上网20小时，他应付多少元的上网费用？（3）若小王5月份上网费用为98元，则他在该月份的上网时间是多少．15．为提高校园绿化率，美化校园，某示范高中准备购买一批樟树和樱花树，一共100棵，其中樟树不少于10棵．园林部门称樟树成活率为70%，樱花树的成活率为90%，学校要求这批树的成活率不低于80%．樟树的单价y1和购买数量x的函数关系以及樱花树的单价y2和购买数量x的函数关系如图所示．（1）写出y1关于x的函数关系式；（2）请你帮学校作个预算，购买这批树最少需要多少钱？16．A，B两地相距300km，甲、乙两车同时从A地出发驶向B地，甲车到达B地后立即返回．如图是两车离A地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象．（1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（2）若两车行驶5h相遇，求乙车的速度．17．受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”，某水果经销商主动从该种植专业户购进甲、乙两种水果进行销售．水果种植专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按2元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．（1）直接写出当0≤x≤500和x＞500时，y与x之间的函数关系式．（2）若经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共1200千克，且甲种水果不少于400千克，但又不超过乙种水果的两倍．问经销商要确保完成收购计划，至少准备多少资金？18．某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克，接着逐步衰减，10小时血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y微克随时间x小时主变化如图所示，当成人按规定剂是服药后，（1）分别求出x＜2和x＞2时y与x的函数关系式，（2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长？19．甲骑电瓶车，乙骑自行车从西山漾公园丝绸小镇门口出发沿同一路线匀速前往太湖龙之梦乐园，设乙行驶的时间为x（h），甲、乙两人距出发点的路程s甲、s乙关于x的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图②所示，请你解决以下问题：（1）甲的速度km/h，乙的速度是km/h；（2）对比图①、图②可知：a＝，b＝；（3）乙出发多少时间，甲、乙两人路程差为7.5km？20．某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米．甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校．已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米．设甲步行的时间为x（分），图1中线段OA和折线B﹣C﹣D分别表示甲、乙离开小区的路程y（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象（不完整）．根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：（1）甲步行的速度，乙出发时甲离小区的距离；（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；（3）在图2中，求出当25≤x≤30时s关于x的函数关系式．。

分段函数ppt课件

(1)分段函数求函数值的方法 ①确定要求值的自变量属于哪一段区间； ②代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现 f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． (2)已知函数值求字母取值的步骤 ①先对字母的取值范围分类讨论； ②然后代入到不同的解析式中； ③通过解方程求出字母的值； ④检验所求的值是否在所讨论的区间内．
第三章函数的概念与性质
本部分内容讲解结束
栏目导引
栏目导引
第三章函数的概念与性质
已知函数 f(x)＝|x|－2 x＋1(－2<x≤2)． (1)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数； (2)在坐标系中画出该函数的图象，并写出函数的值域．解：(1)①当 0≤x≤2 时，f(x)＝x－2 x＋1＝1. ②当－2<x<0 时，f(x)＝－x2－x＋1＝－x＋1. 故 f(x)＝1－，x0＋≤1x，≤－2，2<x<0.
当 x>0 时，－2x<0，不合题意．
故 x＝－2.
栏目导引
3．函数 y＝x＋|xx|的图象是( )
第三章函数的概念与性质
解析：选 C.对于 y＝x＋|xx|，当 x>0 时，y＝x＋1；当 x<0 时，y ＝x－1.即 y＝xx＋－11，，xx><00，，故其图象应为 C.
栏目导引
4．已知函数 f(x)＝x22x－，4x，>20.≤x≤2， (1)求 f(2)，f(f(2))的值； (2)若 f(x0)＝8，求 x0 的值．
栏目导引
第三章函数的概念与性质
1．已知函数 f(x)＝xf（－x2－，1x）<2，，x≥2，则 f(2)＝(
)
A．－1
B．0

(完整)2.15 分段函数专题讲义

高三总复习—-分段函数专题分段函数的定义:分段函数;对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。

它是一个函数，而不是几个函数：分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。

知识点梳理一、定义：分段函数是指自变量在不同范围内，有不同对应法则的函数. 二、注意：1、分段函数是一个函数，而不是几个函数;2、分段函数的定义域是自变量各段取值的并集；3、分段函数的值域是各段函数值的并集。

4、解决分段函数的方法:先分后合三、涉及的内容及相应的常用方法：1、求解析式：利用分段中递推关系，如平移、周期、对称关系,已知其中一段的解析式，得到整个定义域的解析式；2、求值、解不等式：注意只有自变量在相应的区间段才可以代入对应的解析式。

不能确定时常需要分情况讨论;3、单调性：各段单调(如递增）+连接处不等关系.(如()()()12,(,],[,)f x x a f x f x x a ∈-∞⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩在R 上是增函数，则()()()()1212(,)[,)f x a f x a f a f a ⎧-∞↑⎪⎪+∞↑⎨⎪≤⎪⎩①在上②在上③)；4、奇偶性：分段讨论，各段均符合相同的定义中的恒等式,才有奇偶性,否则为非奇非偶函数；A5、图像性质或变换等：作图、赋值等,注意变量的范围限制；6、最值：求各段的最值或者上下界再进行比较；7、图像：分类讨论，如零点分段法得到各段解析式再作图；例题讲解：题型一、分段函数的图像。

1.作出函数()1y x x =+的图象2. 函数ln |1|xy e x =--的图象大致是（）题型二、分段函数的奇偶性 1、判断函数(1)(0),()(1)(0).x x x f x x x x -<⎧=⎨+>⎩的奇偶性2、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当20,()2 3.x f x x x >=-+时求f （x ）的解析式。

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分段函数专题（讲义）
题型一：分段函数的求值
1、（辽宁理）设,0.(),0.
x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________ 2、设函数,,,,)2()2(22)(2>≤+=⎪⎩⎪⎨⎧x x x x x f 则f （－4）＝________，又已知f （x 0）＝8，则x 0=
3、已知,
,,,,)0()0()0(10)(>=<=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+x x x x x f π
则f ｛f ［f （－1）］｝的值是（） A ．π＋1 B ．0 C ．1 D ．π
4、已知函数,,
,,,
,)2()21()1(22)(2≥<<--≤+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧x x x x x x x f 若f （a ）＝3，则a ＝_______ 5、（2006山东）设1232(2),()(1)(2).log x x f x x e x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则[(2)]f f =
6、设222(1),()1(1).1x x f x x x
⎧--≤⎪=⎨>⎪+⎩ 则1[()]2f f = ( ） 7、已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ， x ＞0 x ＋1，x ≤0
，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于题型二、递推式求值
1、已知sin (0),()(1)1(0).
x x f x f x x π<⎧=⎨-->⎩则1111()()66f f -+的值为 2、定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=
，则f （33）的值为（）
A ． ﹣1
B ． ﹣2
C ． 1
D ． 2 3．给出函数f （x ）=
则f （log 23）等于（） A ． ﹣
B ．
C ．
D ．
4、设函数
，则f （5）= ____
题型三、分段函数的单调性 1、已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩
是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（A ）(0,1) （B ）1
(0,)3 （C ）11[,)73 （D ）1
[,1)7
2、若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a x (x >1)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫4－a 2x ＋2(x ≤1)是R 上的单调递增．．
函数，则实数a 的取值范围为 3、下列区间中，函数()f x =ln(2)x ∣
-∣在其上为增函数的是（A ）（-,1∞] （B ）41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）)30,2⎡⎢⎣ （D ）[)1,2
4、已知函数⎩⎨⎧+∞∈-∞∈--=)
,1[(log ]1,(()1)(5.0()(x x
x x a x f a 在区间（+∞∞-,）内是减函数，则a 的取值范围是 A （0，1）B （0，0.5 ） C （ 5.0,∞-） D （0，1）
5、写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间
题型四、解不等式问题
1、设函数2(1).(1)()4 1.(1)
x x f x x x ⎧+<⎪=⎨--≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围是__________
2已知1(0)()1(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩
，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是________ 3、（山东理）设f(x)= 1232,2,log (1),2,
x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩ 则不等式f(x)>2的解集为 4、若函数f(x)=212
log ,0,log (),0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩,若f(a)>f(-a),则实数a 的取值范围是 5、设函数⎩
⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是 6、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0012)(21
x x
x x f x ，若1)(0>x f 则x 0的取值范围是
7、设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0
,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（）
8、设f (x)=1()0x x ⎧⎨⎩为有理数(为无理数)
，使所有x 均满足x ·f (x)≤g (x)的函数g(x)是（）
A ．g (x)=sinx
B ．g (x)=x
C ．g (x)=x 2
D ．g (x)=|x| 题型五：方程根的问题
1、已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1
,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为 2、已知函数
若a ，b ，c 互不相等，且f （a ）=f （b ）=f （c ），则abc 的取值范围是（）
A ．（1，10）
B ．（5，6）
C ．（10，12）
D ．（20，24） 3、函数
的零点个数为（） A ． 3
B ． 2
C ． 1
D ． 0 4、函数
的图象和函数g （x ）=log 2x 的图象的交点个数是（） A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1
5、设函数812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1()4f x =的x 的值为
6、直线1y =与曲线2
y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 7、已知函数f(x)= 22111x x x ax x ⎧+<⎪⎨+≥⎪⎩，，若f （f （0））=4a ，则实数a 等于
8、.已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩
，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实
数k 的取值范围是________.
9、设⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=1
11)(2x x x x x f ，若a x f =)(有且仅有一个实数解，则实数a 的取值范围是 10、设定义为R 的函数lg 1,1,()0,
0.x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩则关于x 的方程2()()0f x bf x c ++= 有7个不同的实数解的充要条件是（）
A. 0b <且0c >
B. 0b >且0c <
C. 0b <且0c =
D. 0b ≥且0c = 题型六：解析式
1、（10山东4）设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x +2x+b(b 为常数)，则f(-1)=
(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3
2、已知f(x)是奇函数．当x ＞0时．f(x)＝2x ＋lg(1＋x)．则x ＜0时，f(x)=
3、已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(∞+∈x 时，=)(x f .
4、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当20,()2 3.x f x x x >=
-+时求f(x)的解析式.
题型七：值域问题
1、求函数y ＝｜x ＋1｜＋｜x －2｜的值域．
2、已知函数f （x ）的解析式为
求函数f （x ）的最大值．
3、设函数()22g x x =-()x ∈R ，()()()()()4,,,,
g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩则()f x 的值域是（）．
Ａ．()9,01,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦ Ｂ．[)0,+∞，
Ｃ．9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ Ｄ．()9,02,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦。