分段函数专题非常全面
分段函数知识点总结
分段函数知识点总结一、分段函数的定义分段函数是指在定义域上将函数分成若干段，每一段上使用不同的函数表达式来描述函数的行为。
它可以是由有限个函数组成的，也可以是由无限个函数组成的。
一般来说，分段函数的定义域可以被划分成有限个不相交的区域，每个区域内使用不同的函数表达式描述函数的行为。
例如，一个简单的分段函数可以是这样的：\[f(x) = \begin{cases}2x, & \text{ if } x < 0 \\x^2, & \text{ if } x \geq 0\end{cases}\]在这个例子中，定义域被分成两段：$x < 0$和$x \geq 0$，分别在这两个区域内使用不同的函数表达式来描述函数的行为。
二、分段函数的图像分段函数的图像通常是由多个部分组成的，每个部分对应于函数定义域中的一个区域。
因此，对于一个有限段的分段函数，其图像是由一些部分图像组成的；对于一个无限段的分段函数，则可能包含无限个部分图像。
以前面的例子$f(x) = \begin{cases}2x, & \text{ if } x < 0 \\x^2, & \text{ if } x \geq 0\end{cases}$为例，其图像可以通过分别画出$y = 2x$和$y = x^2$的图像来得到。
当然，我们也可以直接画出$f(x)$的图像，只需在$x = 0$处将两个部分对接起来即可。
对于无限段的分段函数，我们可能无法通过直接画出所有部分图像来得到完整的图像，但是我们可以通过分析函数表达式的性质来对函数的整体行为有所了解。
三、分段函数的性质分段函数可以具有各种不同的性质，这取决于定义域内不同区域上使用的函数表达式。
首先，在定义域的各个区域内，分段函数可以具有不同的函数性质。
在一个区域上，它可能是线性的；在另一个区域上，它可能是二次的，甚至是高次的多项式函数；在另一个区域上，它可能是指数函数、对数函数或者三角函数等。
第五讲 分段函数
1专题---分段函数及其应用一．知识清仓：1.定义：在函数的定义域中，对于自变量的不同取值范围，函数的对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.温馨提示：（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数.（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域也是各段值域的并集。
二．题型排雷：1. 画分段函数图象：函数在不同区间上的对应关系都是常见的基本初等函数关系，因此可利用基本函数图像分段作图，但切记每段函数自变量的取值范围。
典例精析：已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤--<=4,153,40,12,0,32x x x x x y（1）画出函数图象（2）写出函数定义域和值域（3）判断函数单调性变式探究：已知函数（1）画出的图象； （2）写出的单调区间．（3）求出函数的值域。
小结：分段函数在不同区间上的对应关系都是常见的基本初等函数关系,因此可利用基本函数图象分段作图,但切记每段函数自变量的取值范围；由图象即可确定函数的单调区间和值域。
2.分段函数求值（1）求某自变量对应的分段函数函数值；（2）求某函数值对应的自变量的值。
典例精析：已知函数()()x f x 2(x 1),f x 24(x 1).⎧+≤=⎨-⎩＞ 则f(-3)= ____________.变式探究：已知函数f(x)=(1)求f的值 (2)若f(a)=3,求a 的值2小结：（1）在分段函数求值时，必须明确自变量的取值范围，方可代入相应的函数解析式；（2）当知道函数值在求自变量的值时，必须代入每个解析式求出相应的自变量，但要检验自变量和函数的对应关系；3.分段函数解不等式当解分段函数所组成的不等式时，对每一个解析式解出的相应的自变量，必须在相应解析式的子集上。
典例精析：若f(x)= , 解不等式 f(x)>f(1)变式探究：（1）函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-),2)(1(log ),2(2231x x x e x 不等式f (x )＞2的解集为 .（2）已知函数f (x )= ,若f(2-)，则实数a 的取值范围是（ ） A.(-,1) B. (-1,2) C. (-2,1) D.(-)(1,+)小结：分段函数解不等式一般用代数法求解，但要注意分情况讨论，每种情况的结果在讨论的条件下要取交集，最后不等式的解集要取各种情况取值范围的并集。
七年级数学分段知识点概括
七年级数学分段知识点概括数学一直是学生们较为头疼的科目之一。
而在学习数学的过程中，分段函数是一个非常重要的知识点，可以为学生提供更为广泛的数学思想和应用。
下面我们将从以下几个方面概括七年级数学中的分段函数知识点。
一、分段函数的定义分段函数是指定义在多个子区间上的函数，通常采用函数符号来表示。
在每个子区间中分别定义函数的表达式，形成一个整体的函数。
例如，整个定义域为[-∞,+∞]，那么可以将函数分为以下三类：当x≤1时，f(x)=x+2；当1<x≤3时，f(x)=x^2+2；当x>3时，f(x)=x-2。
二、分段函数的图像分段函数的图像通常是由分段的部分连接而成的。
在定义域中的不同区间，连续地绘制相应的函数图像，连接成整体的图像。
以函数y=f(x)=|x-2|为例子，它可以被分成两部分：当x<2时，y=-(x-2)；当x>2时，y=x-2；在x=2的位置处，y=0。
因此，可以将y=f(x)的图像分成两条直线，它们连接在(2,0)处。
三、分段函数的性质分段函数具有以下几种常见的性质：1. 奇偶性如果一个分段函数在每个子区间上都满足奇偶性，则分段函数为奇函数或偶函数。
2. 周期性在每个子区间中，函数可能存在周期性。
3. 连续性在每个子区间中，函数可能存在连续性。
4. 密闭性在每个子区间中，函数可能存在没有空缺的密闭性。
五、分段函数的应用分段函数在实际应用中具有广泛的应用。
它可以应用于投资收益率、车辆行驶里程和多种无线查询等方面。
举个例子，现在已知水果店的桔子价格：当购买5个或更少的桔子时，每个桔子的价格为2元；当购买6~9个桔子时，每个桔子的价格为1.5元；当购买10个或更多的桔子时，每个桔子的价格为1元。
因此，可以得出以下的分段函数：当x≤5时，y=2x；当5<x≤9时，y=1.5x+2.5；当x>9时，y=x-4。
通过分段函数，可以方便地计算出购买不同数量桔子的价格。
分段函数专题(含答案)
分段函数专题一．选择题（共7小题）1．下列关于分段函数的描述正确的是（）①分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，因此分几段就是几个函数；②f(x)=|x|是一个分段函数；③f(x)=|x﹣2|不是分段函数；④分段函数的定义域都是R；⑤分段函数的值域都为R；⑥f(x)={x,x≥0−x,x<0，则f(1)=−1．A．①②⑥B．①④C．②D．③④⑤2．设f(x)={2e x−1,x<2log3(x2−1),x≥2，则f(f(2))的值为（）A．0B．1C．2D．33．已知函数f(x)={|log x|,0<x≤10−12x+6,x>10，若a,b,c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）4．已知f(x)={x+2,x≤−1x2,−1<x<22x,x≥2，若f(x)=3，则x的值是（）A．1 B．1或32C．1，32或±√3D．√35．函数f(x)={x2+bx+c,x≤02,x>0，若f(−4)=f(0)，f(−2)=−2，则关于x的方程f(x)=x的解的个数为（）A．1B．2C．3D．46．已知函数f(x)={(a−2)x−1,x≤1log a x,x>1，若f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（2，3]D．（2，+∞）7．已知函数f(x)={x2+1,x≤0−2x,x>0使函数值为5的x的值是（）A．﹣2B．2或﹣C．2或﹣2D．2或﹣2或﹣二．填空题（共2小题）8．已知函数f (x )={ax 2+2x +1,−2<x ≤0ax −3,x >0有3个零点，则实数a 的取值范围是 ．9．已知函数f (x )={x +4,x <0x −4,x >0，则f [f (−3)]的值为 ． 三．解答题（共6小题）10．已知函数f (x )=−x 2+|x|．（1）用分段函数的形式表示该函数并画出函数的图象；（2）求函数的单调区间；（3）求函数的最大值．11．如图，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线x =t （t >0）左侧的图形的面积为f (t )．试求函数f (t )的解析式，并画出函数y = f (t )的图象．12．已知函数f(x)={x+2,x≤−1x2,−1<x<22x,x≥2（1）在坐标系中作出函数的图象；（2）若f(a)=12，求a的取值集合．13．已知函数f(x)=2x−1，g(x)={x2,x≥0−1,x<0求f[g(x)]和g[f(x)]的解析式．14．设函数f(x)={x2+bx+c,−4≤x<0−x+3,0≤x≤4，且f(−4)=f(0)，f(−2)=−1．（1）求函数f(x)的解析式；（2）画出函数f(x)的图象，并写出函数f(x)的定义域、值域．15．已知函数f(x)=−x2+2ax+3,xϵ[−2,4]（1）求函数f(x)的最大值关于a的解析式y=g(a)（2）画出y=g(a)的草图，并求函数y=g(a)的最小值．分段函数专题答案一．选择题（共7小题）1．下列关于分段函数的描述正确的是（ ）①分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，因此分几段就是几个函数；②f (x )=|x |是一个分段函数；③f (x )=|x ﹣2|不是分段函数；④分段函数的定义域都是R ；⑤分段函数的值域都为R ；⑥f (x )={x,x ≥0−x,x <0，则f (1)=−1． A ．①②⑥ B ．①④ C ．② D ．③④⑤【答案】①分段函数在每段定义域内都是一个独立的函数，但这几段组合在一起是一个函数，故错误；②f (x )=|x |={x,x ≥0−x,x <0是一个分段函数，正确； ③f (x )=|x −2|={x −2,x ≥22−x,x <2是一个分段函数，错误； ④分段函数的定义域不都是R ，错误；⑤分段函数的值域不都为R ，错误；⑥f (x )={x,x ≥0−x,x <0，则f (1)=−1，错误． 故正确的命题为：②，故选：C2．设f (x )={2e x−1,x <2log 3(x 2−1),x ≥2，则f(f (2))的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】f(f (2))=f [log 3(22−1)]=f (1)=2e 1−1=2，故选C ．3．已知函数f (x )={|log x |,0<x ≤10−12x +6,x >10，若a,b,c 互不相等，且f (a )=f (b )=f (c )，则abc 的取值范围是（ ）A ．（1，10）B ．（5，6）C ．（10，12）D ．（20，24）【答案】作出函数f (x )的图象如图，不妨设a <b <c ，则−log a =log b =−12c +6∈(0,1)ab =1，0<−12c +6<1则abc =c ∈(10，12)．故选C ．4．已知f (x )={x +2,x ≤−1x 2,−1<x <22x,x ≥2，若f (x )=3，则x 的值是（ ）A ．1B ．1或 32C ．1， 32或±√3D ．√3【答案】该分段函数的三段各自的值域为(−∞,1],[0,4),[4,+∞)，而3∈[0,4)，故所求的字母x 只能位于第二段．∴f (x )=x 2=3,x =±√3，而﹣1<x <2，∴x =√3故选D ．5．函数f (x )={x 2+bx +c,x ≤02,x >0，若f (−4)=f (0)，f (−2)=−2，则关于x 的方程f (x )=x 的解的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】由题知(−4)2+b (−4)+c =c,(−2)2+b (−2)+c =−2，解得b =4，c =2故f (x )={x 2+bx +c,x ≤02,x >0， 当x ≤0时，由f (x )=x 得x 2+4x +2=x ，解得x =−1，或x =−2，即x ≤0时，方程f (x )=x 有两个解．又当x >0时，有x =2适合，故方程f (x )=x 有三个解．故选C ．6．已知函数f (x )={(a −2)x −1,x ≤1log a x ,x >1，若f (x )在(﹣∞,+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（2，3]D ．（2，+∞）【答案】对数函数在x >1时是增函数，所以a >1，又f (x )=(a −2)x −1，x ≤1是增函数，∴a >2，并且x =1时(a −2)x −1≤0，即a −3≤0，所以2<a ≤3故选C7．已知函数f (x )={x 2+1,x ≤0−2x,x >0使函数值为5的x 的值是（ ） A ．﹣2 B ．2或﹣ C ．2或﹣2 D ．2或﹣2或﹣【答案】由题意，当x ≤0时，f (x )=x 2+1=5，得x =±2，又x ≤0，所以x =﹣2； 当x >0时，f (x )=−2x =5，得x =−52，舍去．故选A二．填空题（共2小题）8．已知函数f (x )={ax 2+2x +1,−2<x ≤0ax −3,x >0有3个零点，则实数a 的取值范围是 ．【答案】∵函数f (x )={ax 2+2x +1,−2<x ≤0ax −3,x >0有3个零点， ∴a >0 且y =x 2+2x +1在(﹣2，0)上有2个零点，∴{ a >0a (−2)2+2(−2)+1>02<1a <0∆=4−4a >0， 解得34<a <1，故答案为：(34,1)．9．已知函数f (x )={x +4,x <0x −4,x >0，则f [f (−3)]的值为 ．【答案】因为：f (x )={x +4,x <0x −4,x >0， ∴f (−3)=−3+4=1 f [f (−3)]=f (1)=1−4=−3．故答案为：−3．三．解答题（共6小题）10．已知函数f (x )=−x 2+|x|．（1）用分段函数的形式表示该函数并画出函数的图象；（2）求函数的单调区间；（3）求函数的最大值．【答案】【（1）∵f (x )=−x 2+|x |={−x 2−x,x <0−x 2+x,x ≥0 ∴函数f (x )的图象如下图所示：（2）由（1）中函数图象可得：函数f (x )的单调递增区间为：(−∞,−12]和[0,12]，函数f (x )的单调递减区间为：[−12,0]和[−12,+∞)．（3）（2）由（1）中函数图象可得：函数f (x )的最大值为14．11．如图，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线x =t （t >0）左侧的图形的面积为f (t )．试求函数f (t )的解析式，并画出函数y = f (t )的图象．【答案】（1）当0<t≤1时，如图，设直线x=t与△OAB分别交于C、D两点，则|OC|=t，又CDOC =BCOE=√3，∴|CD|=√3t，∴f(t)=12|0C|∙|CD|=12∙t∙√3t=√32t2（2）当1<t≤2时，如图，设直线x=t与△OAB分别交于M、N两点，则|AN|=2−t，又MNAN =BEAE=√3，∴MN=√3(2−t)∴f(t)=12∙2∙√3−12|AN|∙|MN|=√3−√32(2−t)2=−√32t2+2√3t−√3（3）当t>2时，f(t)=√3综上所述f(t)={√32t2,0<t≤1−√32t2+2√3t−√3,1<t≤2√3,t>212．已知函数f (x )={x +2,x ≤−1x 2,−1<x <22x,x ≥2（1）在坐标系中作出函数的图象；（2）若f (a )=12，求a 的取值集合．【答案】-（1）函数f (x )={x +2,x ≤−1x 2,−1<x <22x,x ≥2的图象如下图所示：（2）当a ≤−1时，f (a )=a +2=12，可得：a =−32；当−1<a <2时，f (a )=a 2=12，可得a =±√22； 当a ≥2时，f (a )=2a =12 ，可得：a =14（舍去）；综上所述，a 的取值构成集合为{−32,−√22} 13．已知函数f (x )=2x −1，g (x )={x 2,x ≥0−1,x <0求f[g (x )]和g[f (x )]的解析式． 【答案】当x ≥0时，g (x )=x 2，f [g (x )]=2x 2−1，当x ＜0时，g (x )=−1，f [g (x )]=−3，∴f [g (x )]={2x 2−1,x ≥0−3,x <0∵当2x−1≥0，即x≥12时，g[f(x)]=(2x−1)2，当2x−1＜0，即x<12时，g[f(x)]=−1，∴g[f(x)]={(2x−1)2,x≥12−1,x<1214．设函数f(x)={x2+bx+c,−4≤x<0−x+3,0≤x≤4，且f(−4)=f(0)，f(−2)=−1．（1）求函数f(x)的解析式；（2）画出函数f(x)的图象，并写出函数f(x)的定义域、值域．【答案】（1）∵f(−4)=f(0)，f(−2)=−1，∴16−4b+c=3，4−2b+c=−1，解得：b=4，c=3，∴f(x)={x2+4x+3,−4≤x<0−x+3,0≤x≤4，（2）函数的定义域为[−4，4]，当x<0时，y=x2+4x+3=（x+2）2﹣1由x<0可得，y≥﹣1当x≥0时，y=−x+3≤3∴﹣1≤y≤3∴函数的值域为[−1,3]．其图象如图所示15．已知函数f(x)=−x2+2ax+3,xϵ[−2,4]（1）求函数f(x)的最大值关于a的解析式y=g(a)（2）画出y=g(a)的草图，并求函数y=g(a)的最小值．【答案】（1）函数f(x)的对称轴为x=a，①当a<−2时，∵函数f(x)在[−2,4]上单调递减，∴y=g(a)=f(−2)=−4a−1，②当﹣2≤a≤4时，y=g(a)=f(a)=a2+3，③当a＞4时，∵函数f(x)在[−2,4]上单调递增，∴y=g(a)=f(4)=8a−13，综上有y=g(a)={−4a−1,a<−2a2+3,−2<a≤4 8a−13,a>4，（2）作出y=g(a)的草图如右，观察知当a=1时y=g(a)有最小值4．。
微专题18分段函数10种常考题型总结(解析版)-人教A版2019必修第一册高一数学习题
微专题18 分段函数10种常考题型总结题型1 分段函数求函数值题型2 已知函数值求参数题型3 解分段函数不等式题型4 分段函数的图象题型5 分段函数的单调性题型6 分段函数的奇偶性题型7 分段函数的值域或最值题型8 分段函数与零点问题题型9 max/min 型分段函数题型10 新定义题一、分段函数1、分段函数的定义函数y x =与函数,0,0x x y x x ³ì=í-<î是同一函数，但在表达方式上有所区别，前者在定义域内有一个表达式，而后者的定义域被分成两部分，而在不同的部分有不同的解析式．在函数的定义域内，对于自变量x 在不同取值范围内，函数有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数．2、对分段函数的理解（1）分段函数是一个函数而不是几个函数。
处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪一个范围，从而选择相应的对应关系；（2）分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，各段定义域的交集是空集；（3）分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集．3、分段函数常见的几种类型（1）取整函数：()[]f x x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）．（2）1,()(1)1,x x f x x -ì=-=íî为正奇数为非负偶数．（3）含绝对值符号的函数．如2,2()|2|(2),2x x f x x x x +³-ì=+=í-+<-î．（4）自定义函数．如21,1(),122,2x x f x x x x x x--£-ìï=--<£íï->î二、有关分段函数的求解问题1、分段函数的表达式因其特点可以分解成两个或两个以上的不同表达式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或线段，而分段函数的值域，也就是各部分的函数值集合的并集，最好的求解方法是“图象法”。
分段函数知识点总结整理
分段函数知识点总结整理分段函数是一种函数表达式，其定义域被分为几个部分，在每个部分，函数的表达式都是不同的。
分段函数在实际问题中有着广泛的应用，而对于学习者而言，掌握分段函数的知识是非常重要的。
本文将通过总结和整理分段函数的知识点，帮助读者更好地理解和掌握这一部分的数学知识。
1.分段函数的基本概念分段函数是由若干个部分组成的函数，每个部分都有自己的定义域和函数表达式。
通常来说，一般形式的分段函数可以表示为：\[ f(x) = \begin{cases} f_1(x), & a_1 \leq x < b_1 \\ f_2(x), & a_2 \leq x < b_2 \\ \vdots \\f_n(x), & a_n \leq x < b_n \\ \end{cases} \]其中，\[ f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x) \] 分别为不同的函数表达式，\[ a_1, b_1, a_2, b_2,\cdots, a_n, b_n \] 分别为定义域的分割点。
在每个分段区间，函数的表达式可能不同，也可能相同。
2. 分段函数的图像分段函数的图像通常是由若干个部分的图像组成的。
在每个分段区间内，函数的图像可能是一条直线、一个曲线或者其他形式。
需要注意的是，不同分段区间之间可能存在间断点，这些间断点通常需要特别关注。
3. 分段函数的定义域和值域在讨论分段函数的定义域和值域时，需要分别对每个函数表达式的定义域和值域进行分析。
需要注意的是，整个分段函数的定义域和值域需要考虑到每个部分的定义域和值域的并集或交集。
4. 分段函数的性质分段函数的性质通常是由其各个部分的函数表达式决定的。
当各个函数表达式的性质不同的时候，在整体上，分段函数可能具有一些特殊的性质。
例如，分段函数可能是一个单调递增的函数、单调递减的函数或者是非单调的函数。
5. 分段函数的应用分段函数在实际问题中有着广泛的应用。
函数专题：分段函数的6种常见考法-【题型分类归纳】
函数专题：分段函数的6种常见考法一、分段函数的概念若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数.【注意】分段函数是一个函数而不是几个函数二、分段函数问题解题思路1、分段求解时解决分段函数问题的基本原则；当求()0f x 的值时，要先判断0x 属于定义域中的“哪段”，然后再代入相应的解析式求解。
2、有关分段函数的不等式问题，要先按照分段函数的“分段”进行分类讨论，从而将问题转化为简单的不等式组来解。
3、已知分段函数，求参数值，往往要对含参数的自变量属于“哪段”进行分类讨论，然后再代入相应的解析式，列出方程求解，当出现()()f f a 的形式时，应从内往外依次求值。
4、求解分段函数参数的取值范围问题时，一般将参数当成已知，画出分段函数图象，根据函数图象列出满足要求的不等式（组）。
题型一 求分段函数值【例1】已知函数()2,222,2xx x f x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，则()1f =（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】C【解析】当2x ≤时，()22x f x =+，()11224f ∴=+=，故选：C.【变式1-1】若()()231log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()()016f f +=_________.【答案】5【解析】因函数()()231log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，所以()()020163log 16145f f +=+=+=.【变式1-2】若函数()2321,3,log ,3,x x f x x x ⎧+<=⎨⎩则()()2f f =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C【解析】因为()222219f =⨯+=，所以()()()329log 92f f f ===，故选：C.【变式1-3】已知函数()()21log 21,02,0,x x x f x x +⎧+>=⎨≤⎩，则()()2f f -=______.【答案】1【解析】由题意可得()11222f --==，所以()()21log 2122f f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭==-.题型二 根据分段函数值求参数【例2】已知函数()2,0,2,0.x x a x f x x ⎧+≤=⎨>⎩若()14f f ⎡⎤-=⎣⎦，且1a >-，则=a （ ） A ．12- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】C【解析】由题意知，2(1)(1)1f a a -=-+=+，又1a >-，所以10a +>，所以1[(1)](1)24af f f a +-=+==，解得1a =，故选：C【变式2-1】设函数21,1()2,1x a x x f x x -⎧+<=⎨≥⎩，若1124f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则=a _____________. 【答案】134【解析】因为21,1()2,1x a x x f x x -⎧+<=⎨≥⎩，所以21151224f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1124f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得5144f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以54124a -=，52422a --=， 所以524a -=-，得134a =，【变式2-2】设函数2,1(),1x a x f x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，若()()29f f -=，则实数a 的值为___________. 【答案】5【解析】()22f -=，()()()2249f f f a -==+=，解得：5a =.【变式2-3】（多选）已知()12,0,ln ,0,x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，若()()1f f a =，则实数a 的值可以为（ ）A ．1e 2- B ．12 C ．1 D ．e e 【答案】ACD【解析】因为()12,0,ln ,0,x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，()()1f f a =，所以当0a ≤时，()12>0f a a =-，所以()()()()12ln 121f f a f a a =-=-=， 所以12e a -=，解得1e 02a -=<，所以1e2a -=满足； 当01a <≤时，()ln 0f a a =≤，所以()()()ln 12ln 1f f a f a a ==-=， 所以ln 0a =，解得1a =，满足题意；当>1a 时，()ln >0f a a =，所以()()()()ln ln ln 1f f a f a a ===， 所以ln e a =，解得e e a =，满足题意； 故选：ACD.题型三 根据分段函数的单调性求参数【例3】若函数()()22212311x ax x f x a x x ⎧--+>⎪=⎨-+≤⎪⎩，，是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．213⎛⎤⎥⎝⎦，B ．215⎡⎫-⎪⎢⎣⎭， C ．23⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， D ．223⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【答案】D【解析】由题意得，1a -≤ 解得1a ≥-；230-<a ，解得23a >；当1x =时122231--+≤-+a a ，解得2a ≤. 综上得实数a 的取值范围为223a <≤.故选：D.【变式3-1】已知函数()()2,0112,0x x f x x x a x a x ⎧≤⎪=-⎨⎪--++>⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,0-B ．[]1,0-C ．()1,-+∞D ．[)1,-+∞ 【答案】B【解析】当0x ≤时，()1111x f x x x ==+--单调递减， ()f x 在R 上递减， 102a +∴-≤且()20010201a a ≥--+⨯+-， 解得10a -≤≤，故选：B .【变式3-2】已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围为（ ）A ．(),2-∞-B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．(],2-∞ D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】对任意的()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，()f x ∴在R 上单调递减，()22011222a a -<⎧⎪∴⎨⎛⎫-≥- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：138a ≤，即实数a 的取值范围为13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：B.【变式3-3】已知(6)4,1()log ,1a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩在区间-∞+∞（，）上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,6)B ．6[,6)5C ．6[1,]5D ．(1,)+∞ 【答案】B【解析】()f x 在-∞+∞（，）上为单调递增函数；601(6)14log 1a a a a a ->⎧⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩，解得665a ≤<；∴实数a 的取值范围为6[,6)5．故选：B ．【变式3-4】若2210()(1)(1)20axax x f x a a x ⎧+≥=≠⎨-⋅<⎩，在定义域(,)-∞+∞上是单调函数，则a 的取值范围_______. 【答案】((,21,2⎤-∞⎦.【解析】()f x 在定义域(,)-∞+∞上是单调函数，①函数的单调性是增函数时，可得当0x =时，()20121a -⋅≤即，211a -≤解之得22a -≤0x ≥时，21y ax =+是增函数，0a ∴>0x <时 2(1)2ax a -⋅是增函数，210a ∴->，得1a <-或1a >，综上实数a 的取值范围是12a <≤②函数的单调性是减函数时，可得当0x =时， ()20121a -⋅≥即211a -≥，解之得2a ≤2a ≥0x ≥时，21y ax =+是减函数，0a ∴<又0x <时， 2(1)2axa -⋅减函数，210a ∴->，得1a <-或1a >综上：实数a 的取值范围是2a ≤- 综上所述：a 的取值范围为((,21,2⎤-∞-⎦。
经典分段函数专题
经典分段函数专题高考真题类型一：与期有关 类型二：与单调性有关 类型三：奇偶性有关类型四：与零点和交点问题有关 类型五;与求导和函数性质有关 类型六：数形结合咼考真题2010IlX 已知函数心）』"+ 1'心°,则满足不等式/（1-X 2）>∕（2x ）的X 的围是1, XVo【解析】考查分段函数的单调性。
卩一XnXW （-1返-1） l-x 2>020112x + a,x < 1右√(l -α) = ∕(l + d), -x-2a,x≥ 1则a 的值为201210 .（程组求解）设/⑴是定义在R 上且期为2的函数，在区间上,UX +1» -1 ≤ .¥ < 0 >bx + 2八. 其中e beR •若/,0 ⅛ Λ ⅛ 1 > x + 1【解析】因为T = 2、所以/(-1) = /(1),求得2a+b = O.1 31 1由 =T = 2得/£)=于(一三，解得3" + ” = —2.IK （分类程求解）已知实数a≠0,函数/（x ）=/U) = 则a + 3b 的值为▲a = 2b = -4所以 a + 3b = -∖0. 2013H ・(分区间二次不等式求解)已知/(X)是定义在R 上的奇函数。
当x>0时,fw = x 2-4x,则不等式/(x) > X 的解集用区间表示为 __________________ -【答案】(-5, 0) U (5, + 8)【解析】做出f(x) = x 2-4x (x>0)的图像 如下图所示。
由于/(X)是定义在R 上的奇 函数,利用奇函数图像关于原点对称做出x< 0的图像n 不等式/(x) > X,表示函数y= /(X) 的图像在y=x 的上，观察图像易得：解集为(-5, 0) u(5, +8)。
201413.(期函数+数形结合求围)已知f(x)是定义在R 上且期为3的函数,当x∈[03) 时,f(x) =∣Λ-2-2x + l∣.g 函数y = f(x)-a 在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数H 的取值围是一 ▲. 【答案】(Om【解析】作出函数/U)=Λ∙2-2Λ + 1,X ∈[0,3)的图象，可见/(0) = 1 当x = l 时，1 7/(x)IK C /(3) = -.程f(x)-cι = °在x∈[-3,4]±有 10个零点，即函数y = fW 和图象与直线)=0在[-3,4]上有10个交点，由于函数/⑴的期为3,因此直线y = d 与 函数/(X)= Λ-2-2Λ + i,x∈[0,3)的应该是4个交点，则有6∕∈(0 i)2a + b = 03cZ 一2'解得2015 13.(绝对值分类讨论+数形结合求根个数)已知函数/(A)=IliixI,0,0 <x≤ 1亠S8W = ∖l , ZlI n 1.则程I/W+ ^(x) 1=1实根的个数为 12 _41—2,牙 > 1【答案】4【解析】由题意得：求函数r=/(A-)⅛τ=l-^∙)交点个数以及函数J- =∕(X) ⅛ι∙= -l-g(χ)交点个数之和, L0<x<L因⅜j'=l-5(χ)=7-r s x≥2 ,所以函顼尸/(工)与JyL-g(x)有两个交点，又X l-Ll <x< 2-LO<r<ly = -l-g(x> 5-Λ∖X≥2,所以函y = ∕(x)⅛τ=-l-^(x)W两个交点，因此共有4个交点.v a -3.1 < X<2【芳点定位】函数与方程【名师点暗】一些对数型方程不能直接求出其零点，常通过平移、对称变换转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法将程根的个数转化为对应函数零点个数，而函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数•这时函数图像是解题关键，不仅要研究其走势(单调性，极值点、渐近线等)，而且要明确其变化速度快慢.201611.(程求解)设f(*)是定义在R上且期为2的函数，在区间[71)上X + a,一ISXV(Xf(x)≈∖ 2V f上-1 O≤Λ<L5[Ij1则f(5a)的值是 ______________其中aeR.若/[-∣j = /【答案】；{ s∖ (9∖ 1 1 3*⅛2Γ⅛Γ^^2+" = iδ1则八夕3 2则/(56∕) = ∕(3) = ∕(-l) = -l + ^ = -l + - = -j2017 年r~ X^D14 •设/(X)是定义在R上且期为1的函数，在区间[OJ) ±l f(x) = [ 9 n其中集合X, X e D,D = {x∣x = -, n∈N*}t则程 /(X)-Igx = 0 的解的个数是▲ n【答案】8【解析】由于/(X)∈[0,1),则需考虑l≤x<10的情况，在此围，x∈Qfiχ∈D⅛, ⅛A∙=-√Λ<7∈N∖∕^≥2I且"4互质，P若IgXeQ l则由IgXe(0,1),可设lgx = -5m,n∈N∖∕n≥2l且加』互质, In因此IO-=^l则IO n=(V l此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg"Q, P P因此IgX不可能与每个期XeD对应的部分相等,只需考虑IgX与每个期X^D的部分的交点,画岀函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个期X^D的部分，且X = I处(Ig牙)'="=丄丁 <],则在x = l附近仅有一个交点,XlnIO InIO因此程/U)-IgX = O的解的个数为8・【考点】函数与程【名师点睛】对于程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值.结合函数的单调性、草图确定其中参数围・从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、期性等・由题意得彳弓个。
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分段函数的性质与应用
分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的围是否在发生变化。
即“分段函数——分段看”
一、基础知识：
1、分段函数的定义域与值域——各段的并集
2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。
3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图
4、分段函数分析要注意的几个问题
（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。
否
么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。
再比如
中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。
（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值部的符号讨论，将其转化为分段函数。
例
5、遇到分段函数要时刻盯住变量的围，并根据变量的围选择合适的解析式代入，若变量的围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论
6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。
二、典型例题
例1
例2
_________
正数进行靠拢。
由此可得：
小炼有话说：含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）比如在本题
1的自变量，函数值差1，其作用在于自
例3
( )
答案：B
例4：
________
里的式子小于0时，代入上段解析式，当括号里的式子大于0
时，代入下段解析式。
故要对
（1
（2
例5
___________
思路：本题如果通过分类讨论将不等式变为具体不等式求解，则难点有二：一是要顾及
小炼有话说：含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段，通过对
(比如例3，例4）。
另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图像的特点解不等式（比如例5）。
例6
A
答案：C
小炼有话说：
（1
（2
不易作图的分段函数，在判断奇偶性时就需要用定义法了，下面以本题为例说说定义法如何
例7
的值域是_______________
，分别求出每段最值，再取并集即可
例8
的取值围是_________
思路：若()f x 在(),-∞
+∞单调增，则在R 上任取12x x <，均有()()12f x f x <，在任取中就包含12,x x 均在同一段取值的情况，所以可得要想在R 上单调增，起码每一段的解析式也应当是单调递增的，由此可得：20
1a a ->⎧⎨
>⎩
，但仅仅满足这个条件是不够的。
还有一
种取值可能为12,x x 不在同一段取值，若也满足12x x <，均有()()12f x f x <，通过作图可发现需要左边函数的最大值不大于右边函数的最小值。
代入1x =，有左段≤右端，即
21log 103a a a --≤=⇒≤
综上所述可得：(]2,3a ∈ 答案：(]2,3
例9：已知()[)[]
2 1.1,01,0,1x x f x x x +∈-⎧⎪=⎨+∈⎪⎩，则下列选项错误的是（ ）
A. ①是()1f x -的图像
B. ②是()f x -的图像
C. ③是()f
x 的图像 D. ④是()f x 的图像
思路：考虑先作出()f x 的图像（如右图所示），再按照选项进行验证即可：A. ()1f x -为()f x 向右平移一个单位，①正确；B. ()f x -为()f x 关于y 轴对称的图像，②
正确；C. ()f
x 为()f x 正半轴图像不变，负半轴作与()f x 正半轴关于y 轴对称的图像，
③正确；D. ()f x 的图像为()f x 在x 轴上方的图像不变，下方图像沿x 轴对称翻折。
而
()f x 图像均在x 轴上方，所以()f x 应与()f x 图像相同。
④错误
答案：D
例10：函数()31,1
2sin ,12
x x f x x x π
⎧+>⎪
=⎨≤⎪⎩ ，则下列结论正确的是（ ） A. 函数()f x 在[)1,+∞上为增函数 B. 函数()f x 的最小正周期为4 C. 函数()f x 是奇函数 D. 函数()f x 无最小值
思路：可观察到()f x 的图像易于作出，所以考虑先作图，再看由图像能否判断各个选项，如图所示可得：BC 选项错误，D 选项()f x 存在最小值()12f -=-，所以D 错误，A 选项是正确的 答案：A
小炼有话说：（1）本题利用数形结合是最为简便的方法，一方面是因为()f x 本身便于作图，另一方面四个选项在图上也有具体的含义。
（2）分段函数作图过程中，尤其在函数图象断开时，一定要注意端点处属于哪个解析式。
本题中1x =-就属于2sin
2
y x π
=部分，所以才存在最小值。
三、近年模拟题题目精选
1、已知函数()()
⎪⎩
⎪⎨⎧<+≥-+=,1,1lg ,
1,32x x x x a
x x f 若()()31-=f f ，则=a ______
2、已知⎩⎨⎧≤<-≤=)
0(,sin 2),
0(,)(2πx x x x x f ，若3)]([0=x f f ，则=0x __________.
3、（2016，中学期中）函数⎩
⎨⎧>≤+=,0,,
0,4)(2x x x x x f ,若]1)([)]([+>a f f a f f ，则实数a
的取值围为（ ）
A ．]0,1(-
B ．]0,1[-
C ．]4,5(--
D ．]4,5[--
4、已知()2
21
,01,0x x x f x x x
-+⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，则()1f x >-的解集为______________
5、（2015，）设函数()()()2,1
42,1
x
a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩
①若1a =，则()f x 的最小值为________
②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值围是__________
6、（2015，）若函数()()6,2
0,13log ,2
a x x f x a a x x -+≤⎧=>≠⎨+>⎩的值域是[)4,+∞，则实数a 的
取值围是___________
7、（2015，新课标II ）设函数()()211log 2,1
2,1
x x x f x x -+-<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()()22log 12f f -+=
（ ）
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12
8、（2015，）设函数()31,12,1
x
x x f x x -<⎧=⎨
≥⎩，则满足()()()
2
f a f
f a =的a 的取值围是（ ）
A. 2,13⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ B. []0,1 C. 2
,3⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
D. [)1,+∞
9
）
10
____________
11
）。