☆经典分段函数专题

经典分段函数专题高考真题类型一：与周期有关类型二：与单调性有关类型三：奇偶性有关类型四：与零点和交点问题有关类型五;与求导和函数性质有关类型六：数形结合高考真题201011x的围是_____。

201111、（分类方程求解）已知实数，函数，若a的值为________201210．2的值为 ▲ ．201311．（分区间二次不等式求解）已定义的奇函数。

，的解集用区间表示为．【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)【解析】的图像，如下图所示。

函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x ＜0y ＝y ＝x 的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)。

201413. （周期函数+R 上且周期为3的函数,时,|212|)(2+-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值围是 ▲ . 【答案】1(0,)2【解析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象，可见1(0)2f =，当1x =时，1()2f x =极大，7(3)2f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =和图象与直线y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的应该是4个交点，则有1(0,)2a ∈．201513.（绝对值分类讨论+数形结合求根个数）已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为利用数形结合法将方程根的个数转化为对应函数零点个数，而函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数．这时函数图像是解题关键，不仅要研究其走势（单调性，极值点、渐近线等），而且要明确其变化速度快慢.201611.（方程求解）()f x 定义R 且周期为2的函数，在区[)1,1-(),10,2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中a ∈R ，若5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a 的值是 ． 【答案】25-； 【解析】由题意得511222f f a ⎛⎫⎛⎫-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，91211225210f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由5922f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得11210a -+=，则35a =， 则()()()325311155f a f f a ==-=-+=-+=-2017年14．设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1{n D x x n-==，*}n ∈N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ ． 【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况，在此围，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2q x p q p p=∈≥N ，且,p q 互质， 若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2n x m n m m =∈≥N ，且,m n 互质， 因此10n mq p=，则10()n m q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ， 因此lg x 不可能与每个周期x D ∈对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分， 且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点， 因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．【考点】函数与方程【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．类型一：与周期有关1.（拟周期分段函数）设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-<--=,2),2(21;2|,1|1)(x x f x x x f 则方程01)(=-x xf 的根的个数有 个。

62.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≤1，f (x －1)，x >1，g (x )＝kx ＋1，若方程f (x )－g (x )＝0有两个不同的实根，则实数k 的取值围是________.画出函数f (x )的大致图象如下：则考虑临界情况，可知当函数g (x )＝kx ＋1的图象过A (1，e)，B (2，e)时直线斜率k 1＝e －1，k 2＝e －12，并且当k ＝1时，直线y ＝x ＋1与曲线y ＝e x 相切于点(0,1)，则得到当函数f (x )与g (x )图象有两个交点时，实数k 的取值围是(e －12，1)∪(1，e －1].类型二：与单调性有关1.的取值围是 ．2.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ (a －3)x ＋5，x ≤1，2a x ，x >1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值围是________． 解析 由题意，得⎩⎨⎧ a －3<0，a >0，a －3＋5≥2a ，解得0<a ≤2.3.某驾驶员喝了m 升酒后，血液中的酒精含量f (x )(毫克/毫升)随时间x (小时)变化的规律近似满足表达式f (x )＝⎩⎨⎧ 5x －2，0≤x ≤1，35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x >1，《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不超过0.02毫克/毫升.此驾驶员至少要过______小时后才能开车.(不足1小时部分算1小时，结果精确到1小时)答案 4解析 因为0≤x ≤1，所以－2≤x －2≤－1， 所以5－2≤5x －2≤5－1，而5－2>0.02，又由x >1，得35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≤150，得⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≤130，所以x ≥4. 故至少要过4小时后才能开车. 4.5.类型三：奇偶性有关1.已知奇函数() ()y f x x R =∈在区间[0,3]上单调递减，在区间[3,)+∞上单调递增，且满足()04=-f ，则不等式()0<x xf 的解集是 .类型四：与零点和交点问题有关1.☆已知函数32sin ,1()925,1x x f x x x x a x <⎧=⎨-++⎩≥，若函数()f x 的图象与直线y x =有三 个不同的公共点，则实数a 的取值集合为 ．}16,20{-- 变为零点问题处理最合理2.已知函数()221,0,0x x f x x x x ->⎧=⎨+≤⎩，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值围是__________．3.已知函数)0(0,ln 0,2)(≤⎩⎨⎧>-≤+=k x x x k kx x f ，若函数1))((-=x f f y 有3个零点，则实数k 的取值围是 ．数形结合，先求出)(x f 的两个可能取值，再看其与两个函数图像的交点个数。

)0,231(-- 4.=则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a 的取值围是 [，） ． 解：∵方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根，∴y=f （x ）与y=ax 有2个交点，又∵a 表示直线y=ax 的斜率，∴y ′=， 设切点为（x 0，y 0），k=， ∴切线方程为y ﹣y 0=（x ﹣x 0）， 而切线过原点，∴y 0=1，x 0=e ，k=， ∴直线l 1的斜率为， 又∵直线l 2与y=x+1平行， ∴直线l 2的斜率为，∴实数a 的取值围是[，） 故答案为：[，）．6.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ ||log 4x ，0<x ≤4－12x ＋3，x >4，若a <b <c 且f ()a ＝f ()b ＝f ()c ，则(ab ＋1)c 的取值围是______.作出函数f (x )＝⎩⎨⎧ ||log 4x ，0<x ≤4，－12x ＋3，x >4的图象，如图所示.∵a <b <c 时，f (a )＝f (b )＝f (c )，∴－log 4a ＝log 4b ，即log 4a ＋log 4b ＝0，则log 4ab ＝0， ∴14<a <1<b <4<c <6，且ab ＝1， ∴16＝24<()ab ＋1c ＝2c <26＝64， 即()ab ＋1c 的取值围是()16，64.7.（☆）已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为______.当x >2时，g (x )＝x －1，f (x )＝(x －2)2； 当0≤x ≤2时，g (x )＝3－x ，f (x )＝2－x ； 当x <0时，g (x )＝3－x 2，f (x )＝2＋x .由于函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数就是方程f (x )－g (x )＝0的根的个数.当x >2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2－5x ＋5＝0，其根为x ＝5＋52或x ＝5－52(舍去)；当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x ＝3－x ，无解；当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2＋x －1＝0，其根为x ＝－1－52或x ＝－1＋52(舍去).所以函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为2.8.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x >a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值围是____________.押题依据 利用函数零点个数可以得到函数图象的交点个数，进而确定参数围，较好地体现了数形结合思想. 答案 [－1,2)解析 g (x )＝f (x )－2x ＝⎩⎨⎧－x ＋2，x >a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a ，要使函数g (x )恰有三个不同的零点，只需g (x )＝0恰有三个不同的实数根，所以⎩⎨⎧ x >a ，－x ＋2＝0或⎩⎨⎧x ≤a ，x 2＋3x ＋2＝0，所以g (x )＝0的三个不同的实数根为x ＝2(x >a )，x ＝－1(x ≤a )，x ＝－2(x ≤a ). 再借助数轴，可得－1≤a <2.9.若函数f (x )＝x 2＋2a |x |＋4a 2－3的零点有且只有一个，则实数a ＝________.答案32解析 令|x |＝t ，原函数的零点有且只有一个，即方程t 2＋2at ＋4a 2－3＝0只有一个0根或一个0根、一个负根，∴4a 2－3＝0，解得a ＝32或－32，经检验，a ＝32满足题意.类型五;与求导和函数性质有关1.已知函数()312,02,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，当(],m x ∈-∞时，()f x 的取值围为[)16,-+∞，则实数m 的取值围是____________．【答案】[]2,8-类型六：数形结合1.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值围是____________.方法一 由题意作出y ＝f (x )的图象如图.显然当a >1或－1<a <0时，满足f (a )>f (－a ). 方法二 对a 分类讨论：当a >0时，∵log 2a >12log a ，∴a >1.当a <0时，∵12log ()a ->log 2(－a )，∴0<－a <1，∴－1<a <0.2.（☆）已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋(4a －3)x ＋3a ，x <0，log a(x ＋1)＋1，x ≥0 (a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值围是____________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫34解析 由y ＝log a (x ＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得0<a <1.又由f (x )在R 上单调递减，则⎩⎨⎧02＋(4a －3)·0＋3a ≥f (0)＝1，3－4a2≥0，⇒13≤a ≤34. 如图所示，在同一坐标系中作出函数y ＝|f (x )|和y ＝2－x 的图象.由图象可知，在[0，＋∞)上，|f (x )|＝2－x 有且仅有一个解.故在(－∞，0)上，|f (x )|＝2－x 同样有且仅有一个解.当3a >2，即a >23时，由x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x (其中x <0)，得x 2＋(4a －2)x ＋3a －2＝0(其中x <0)，则Δ＝(4a －2)2－4(3a －2)＝0，解得a ＝34或a ＝1(舍去)；当1≤3a ≤2，即13≤a ≤23时，由图象可知，符合条件.综上所述，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫34.3.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值围是________. 答案 (3，＋∞)解析 如图，当x ≤m 时，f (x )＝|x |；当x >m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ，在(m ，＋∞)为增函数，若存在实数b ，使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 2－2m ·m ＋4m <|m |.∵m >0，∴m 2－3m >0，解得m >3.4已知定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎨⎧1|x －1| (x ≠1)，1 (x ＝1)，若关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有3个不同的实根x 1，x 2，x 3，则x 21＋x 22＋x 23＝________.答案 5 怪异题解析 作出f (x )的图象，如图所示.由图象知，只有当f (x )＝1时有3个不同的实根；∵关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有3个不同的实根x 1，x 2，x 3， ∴必有f (x )＝1，从而x 1＝1，x 2＝2，x 3＝0，故可得x 21＋x 22＋x 23＝5.5.已知定义在R 上的函数f (x )满足：①图象关于(1,0)点对称；②f (－1＋x )＝f (－1－x )；③当x ∈[－1,1]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[－1，0]，cos π2x ，x ∈(0，1]，则函数y ＝f (x )－(12)|x |在区间[－3,3]上的零点的个数为________.解析 因为f (－1＋x )＝f (－1－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，又函数f (x )的图象关于点(1,0)对称，如图所示，画出f (x )以及g (x )＝(12)|x |在[－3,3]上的图象，由图可知，两函数图象的交点个数为5，所以函数y ＝f (x )－(12)|x |在区间[－3,3]上的零点的个数为5.6.（考验作图）已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0，若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值围为______. 答案 (1,2)解析 分别作出函数y ＝f (x )与y ＝a |x |的图象，由图知，当a <0时，函数y ＝f (x )与y ＝a |x |无交点；当a＝0时，函数y＝f(x)与y＝a|x|有三个交点，故a>0.当x>0，a≥2时，函数y＝f(x)与y＝a|x|有一个交点；当x>0,0<a<2时，函数y＝f(x)与y＝a|x|有两个交点；当x<0时，若y＝－ax与y＝－x2－5x－4(－4<x<－1)相切，则由Δ＝0得a＝1或a＝9(舍).因此当x<0，a>1时，函数y＝f(x)与y＝a|x|有两个交点；当x<0，a＝1时，函数y＝f(x)与y＝a|x|有三个交点；当x<0,0<a<1时，函数y＝f(x)与y＝a|x|有四个交点.所以当且仅当1<a<2时，函数y＝f(x)与y＝a|x|恰有4个零点.7.（☆）8.。