投资学 单因素模型
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3. 证券市场线只考虑了由风险市场组合的预 期收益率对证券或证券组合预期收益率的 影响，即把市场风险全部集中的体现在一 个因素里，而影响总体市场环境变化的宏 观因素很多。
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威廉.夏普（Sharpe）继马科维兹之后于1963年提出了
E (ri ) rf ( E (rM ) rf ) iM
E (ri ) i i E ( F )
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CAPM 可视为一个特殊的单因素模型或特殊的市场 模型，在那里的市场组合收益率 rM实质上就是一个 单因素。以市场组合的收益率的风险补偿来作为宏 观经济指数，于是有： ri－rf ＝αi ＋bi（rm－rf ）＋εi 或者Ri =αi+bi*Rm+εi （实际上这是证券i对市场组合收益的回归方程，其回 归直线就是证券i的特征线）
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二、市场模型(Market Model)
在实际应用过程中常用市场指数来作为影
响证券价格的单因素，此时的单因素模型 被称为市场模型。市场模型实际上是单因 素模型的一个特例。
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假设一种股票在某一特定时期内的收益率与同一时期市场
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双因素模型的主要特征
1. 跟单因素模型一样，一旦利用前面那些方程计算
出预期回报率、方差和协方差后，投资者便可以使 用最优化来导出弯曲的马氏有效集。继而，对于一 个给定的无风险利率，可以确定出切点组合，在此 基础上，投资者可以确定他的最佳组合。此时，计 算方差-协方差矩阵需要估计多少参数？ 2.分散化 对于一个充分分散化的组合，非因素风险将变得不 显著。 同单因素模型一样，在双因素模型中，一个组合对 某一因素的敏感性是对所含证券的敏感性的加权平 均，权数为投资于各证券的比例
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1.单因素模型的定义
单因素模型是描述证券收益率生成过程的一种模型，往往以指数
形式出现。
因素模型还给我们提供关于证券回报率生成过程的一种新视点
一元或者多元统计分析，以一个或者多个变量来解释证券的收益，
从而比仅仅以市场来解释证券的收益更准确。
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第一节 单因素模型与多因素模型 第二节 多因素模型
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第一节 单因素模型
为什么要引入因素模型？ 资本资产定价模型存在的问题： 1. 无法实际地计算有风险的市场组合 2. 一个资产组合选择规则的成功取决于所运用 数据的质量，即证券期望收益与协方差矩阵 的估计质量。如果证券人员要分析50种股票， 则需要进行的计算是什么？若n=100。需要估 计多少数据？
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2.资本资产定价模型与市场模型
在资本资产定价模型和市场模型中都有一个被称为 ß 值的
斜率，并且这两个模型或多或少地包含了市场，但是它们 之间却有明显的区别： （1） 资本资产定价模型是一个均衡模型，它描述证券的 价格如何确定；市场模型是一个因素模型。 （2） 资本资产定价模型是相对于整个市场组合而言的， 即相对于市场中所有证券的集合。而市场模型是相对于某个 市场指数而言，即基于市场中的一个样本。 （3）虽然从严格意义上讲，资本资产定价模型中的ß 值和 市场模型中的 b值是有区别的，但是在实际操作中，由于我 们不能确切知道市场组合的构成，所以一般用市场指数来代 替，因此我们可以用市场模型中测算的 b值来代替资本资产 定价模型中的ß 值。
αi 是宏观因素的增长值期望为零时该证券的预期收
益；
biF 系统性风险收益，即随整个市场运动变化不确定
性（非预期的）的收益，且变化的敏感度是bi；
εi是与国内生产总值无关因素的作用，是非系统性
风险收益，即只与单个证券相关的非预期事件形成的 非预期收益。是均值为零的随机变量。
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年份
GDP增长率
通货膨胀率
A股票回报率
1 2 3 4 5 6
5.7% 6.4 7.9 7.0 5.1 2.9
1.1% 4.4 4.4 4.6 6.1 3.1
14.3% 19.2 23.4 15.6 9.2 13.0
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rt = 2.0282GDPt + 3.952+t
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2.单因素模型的一般形式 一般地，单因素模型认为有一个因素 F对证券收 益产生广泛影响，
r ~ i ai bi F i
从方程中我们可以看出，任何一个证券的收益由三部
分构成：
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二、多因素模型（Multi-factor models）
与单因素模型不同，当考虑多个因素对证券收益
率的影响时，则产生多因素模型，多因素模型更 加清晰明确解释了系统风险，从而有可能展示不 同的股票对不同的因素有不同的敏感性，这可能 会使精确性得以提高。作为多因素模型的一个例 子，我们考虑一个双因素模型，这意味着假设收 益率生成过程中包含有两个因素。 多因素模型的缺陷：并没有明确宏观因素具体是 哪些因素
单因素模型相对CAPM是为了解决两个问题，一是提供一种简化地
应用CAPM的方式；二是细分影响总体市场环境变化的宏观因素， 如国民收入、通胀率、利率、能源价格等具体带来风险的因素。
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以回归分析得出单指数或单一因素模型 假设先考虑经济增长对公司股票收益率影响，即只考虑GDP增长
指数（如标准普尔500指数）的收益率相联系，即如果行 情上扬，则很可能该股票价格会上升，市场行情下降，则 该股票很可能下跌。因此，可以用市场模型的方程表示这 一关系：
ri i bi rI i
式中：ri代表某一给定时期证券i的收益率 I代表市场指数 rI代表相同时期市场指数I的收益率 εi是随机误差项
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r t
r6 1 3 % e 6 3 .0 %
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例子：考虑股票A，有αA =2%，bA=1.2，这意味着 股票A的市场模型为：
rA 2% 1.2rI A
因此，如果市场指数回报率为10%，则证券A的回报率预 期为 14% （ =2%+1.2*10% ）。同样，如果市场预期的回 报率为-5%，则证券A的预期回报率为-4%。
r ~ i ai bi F i
上述方程中证券i的期望收益、方差、协方差分别为:
i2
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单因素模型中表示的系统风险与非系统风险
it
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例
假定股票A与B的指数模型由下列式子估计：
rA 1.0% 0.9rM eA rB 2.0% 1.1rM eB
注意：由于随机误差项的存在（表示证券回报率中没有被市 场模型所完全解释的部分），当市场指数上升 10% 或下降 5%时，证券A的回报率将不会准确地为14%或-4%。即，实 际回报率和所给定市场指数回报率之间的差额将归结于随机 误差项的影响。
三 资本资产定价模型与因素模型 的关系
1.资本资产定价模型与因素模型 资本资产定价模型实际上是一种特殊的单因素 模型，但资本资产定价模型是一个资产定价的均 衡模型，而因素模型却不是。例如，比较分别由 资本资产定价模型和因素模型得到的证券的预期 收益率：
M 20% eA 30% eB 10%
求每个股票的标准差和他们之间的协方差，若将A，B组成等
权重的组合，那么组合的非系统风险是多少？
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单因素模型的两个重要特征
1. 指数模型能够克服马柯维茨模型的庞大
计算量的困难。如果组合里有 n项资产，计 算组合的方差—协方差矩阵需要进行 n(n+1)/2个方差-协方差的测算，但现在只 需要测算n个bi和1个F就可以了。 2. 分散化。非因素风险会随着股票数目的 增加而逐渐被分散掉。
率对风险补偿的影响
历史数据库
年
1 2 3 4 5 6
GDP增长率 （% ）
5.7 6.4 7.9 7.0 5.1 2.9
证券收益率 （%）
14.3 19.2 23.4 15.6 9.2 13.0
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这一关系也可用下面的图形表示
ri · · ·
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双因素模型在t时期的方程式为：
rit ai bi1F1t bi 2F2t it
F1和F2是两个对证券回报率具有普遍影响的因素， bi1和bi2分别是证券i对两个因素的敏感性。同单因素 模型一样，εit是随机误差项，ai是当两个因素都取 值为0时证券i的预期回报率。 在双因素模型中，我们需要为每种证券估计4个参数： αi, bi1, bi2以及随机误差的标准差εit。对每个因 素，需要估计两个参数：因素的预期值以及因素的 方差。此外还要估计两个因素的协方差cov(F1, F2)。
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因素模型
因素模型杨长汉1证券资产价格的决定因素是多种多样的，西方学者在研究中采取了多种多样的方法去探讨证券价格的决定因素。
最主要的两种模型就是单因素模型和多因素模型。
一、单因素模型(Single-Index Model)夏普(William Sharp)于1963年建立了单因素模型2。
单因素模型是指证劵价格的影响因素只有一个，而如果有两个或两个以上的因素，则称为多因素模型。
单因素模型的基本思想是：当市场指数上升时，市场中大部分证券资产的价格就会上涨；相反，当市场指数下降时，市场中大部分证券资产的价格就会下降。
单因素模型中有以下两个基本假设条件：第一，证券的风险分为系统性风险和非系统性风险，而这里所讲的因素仅指系统性风险。
第二，一个证券的非系统性风险与其他证券的非系统性风险之间的相关系数为零，两种证券之间的相关性仅取决于共同的市场因素。
在单因素模型中，主要有两个基本因素会造成证券收益率的波动：一是宏观经济环境因素，比如GDP 增长率、利率、通货膨胀率等，这些因素的变化会引起证券市场中所有证券收益率的变化，相对于市场中的系统性风险；二是微观因素的影响，如公司的财务状况、公司的经营状况以及突发事件等，这些因素的变化只会引起个别证券收益率的变化，相当于市场中的非系统性风险，可以通过多样化的投资组合进行分散。
我们以股票的收益率和股价指数的收益率为例，可以得到如下单因素模型公式： it it i mt it r A R βξ=++这一公式揭示了股票的收益率与市场指数收益率之间的关系。
其中，it r 为t 时期证券i 的收益率，mt R 为t 时期市场指数的收益率，i β为斜率，表明股票收益率波动对市场指数波动的反应程度，代表两者的相关关系，it A 是截距项，反映市场指数为零时股票收益率的大1 文章出处：《中国企业年金投资运营研究》 杨长汉 著杨长汉，笔名杨老金。
师从著名金融证券学者贺强教授，中央财经大学MBA 教育中心教师、金融学博士。
投资学讲义 第三讲 资本资产定价模型、单因素模型、套利定价理论
二、理想资本市场假定〔CAPM模型的基本配置〕 〔1〕投资者的理性是"风险厌恶".
〔2〕资本市场为完全竞争,即无人操纵,或无人 影响价格.
〔3〕任意有限多个资产的收益率向量服从多 元正态分布.
〔4〕投资者可以依无风险利率无限制地获得 信贷.
〔5〕纯资产交换市场,无新资产入场,且交易量 为任意实数,即完全分割.
ei：资产 i的扰动。设，
ri rf i i rM rf ei
ei之间相互独立 ei与，rM相互独立。
改写为
Ri i iRM ei
进而，对于任意一 产个 组资 合 P，有
RP P PRM eP,
n
并且，RP wiRi i1 于是，
RP
n i1
1 n
Ri
n i1
1 n
i
i RM
ei
E (rP ) P F eP ,
推导过程<II>
D(rP)D(PF)D(eP)2cov PF,eP
n
P 2D(F) wi2D(ei) i1
非套利均衡的判定〔某个组合〕
m
设rP wiri
i1
ri EriiFei,i1,2,,n.
n
rP wiri E(rP)PFeP, i1
m
有套利机会： wi 0且 P 0 i 1
Q
11.4 套利定价与资本资产定价模 型
1.有限行为与全体行为. 2.绝大多数资产与全体资产.
1 n
n
i
i1
1n
n i1
i
RM
1 n
n i1
ei
组合的贝塔系数： 组合的固定收益： 组合的随机干扰： 组合的方差：
P
单因素模型操作方法有哪些
单因素模型操作方法有哪些
单因素模型是一种用于预测和解释金融资产收益率的模型，它认为资产收益率的变动可以由一个主要因素来解释。
以下是单因素模型的一些操作方法：
1. 回归分析：使用回归分析来研究资产收益率和主要因素之间的关系。
通过回归分析得到的系数可以用来预测资产收益率的变动。
2. 因子选择：选择一个能够最好解释资产收益率变动的主要因素。
这需要综合考虑经济理论、历史数据和实证研究结果等因素来确定。
3. 数据收集和整理：收集和整理资产收益率和主要因素的历史数据。
这些数据是构建单因素模型的基础。
4. 数据分析：对收集到的数据进行统计分析，包括计算因素的平均值、方差、相关系数等统计指标。
这些统计指标可以用来评估因素对资产收益率的影响程度。
5. 参数估计：使用回归方法来估计因子与资产收益率之间的关系。
通常使用最小二乘法来估计回归方程的参数。
6. 模型评估：评估单因素模型的拟合程度和预测能力。
常用的评估指标包括R 平方、均方误差等。
7. 模型应用：根据单因素模型对资产收益率的预测，进行投资组合的优化和风险管理等决策。
总结起来，单因素模型的操作方法主要包括回归分析、因子选择、数据收集和整理、数据分析、参数估计、模型评估和模型应用等。
第四章因素模型
投资学第5章
练习二
假设股票的市场收益遵从单指数结构。一个 投资基金分析了250只股票，希望从中找出 均方有效组合。它需要计算（ ）个期望收 益估计值的，以及（ ）个对宏观经济因素 的敏感性系数的估计值。
投资学第5章
练习三
考虑单指数模型，某只股票的阿尔法值为0%， 市场指数的收益为12%，无风险收益率为5%， 尽管没有个别风险影响股票表现，这只股票 的收益仍超出无风险收益率7%。则该股票的 β值是多少？
其中，i 1,..., n; j 1,..., m
E[ei ] 0, cov(ei , f j ) 0 cov(ei , ek ) 0, i k
投资学第5章
三、因素选择
主要考虑对证券收益有较强解释能力的宏 观经济因素及那些与投资者关系密切的因 素
两个典型的多因素模型
线性回归后可算出 ai 5.8%, bi1 2.2, bi2 0.7，
用第六年的实际数据代入，可算出公司的预期收益 是10%，则企业非系统性因子所产生的影响是３％。
投资学第5章
二、多因素模型：一般化的描述
收益率与 m种因素的的线性关系：
m
ri a bij f j ei j 1
CAPM非常直观地表达了风险收益的特征关系，是一 种理论上相当完美的模型，但实际应用中存在困难
Ross在1976年建立的APT理论，从另一角度探讨了 资产定价问题
最优投资组合理论+市场均衡=CAPM； 因素模型+无套利=APT
投资学第5章
三、APT模型的逻辑起点― 因素模型
因素模型：是一种假设证券回报率是与不同的因 素或指标的运动有关的经济模型，又称指数模型
投资学第5章
练习二
假设股票的市场收益遵从单指数结构。一个 投资基金分析了250只股票，希望从中找出 均方有效组合。它需要计算（ ）个期望收 益估计值的，以及（ ）个对宏观经济因素 的敏感性系数的估计值。
投资学第5章
练习三
考虑单指数模型，某只股票的阿尔法值为0%， 市场指数的收益为12%，无风险收益率为5%， 尽管没有个别风险影响股票表现，这只股票 的收益仍超出无风险收益率7%。则该股票的 β值是多少？
其中，i 1,..., n; j 1,..., m
E[ei ] 0, cov(ei , f j ) 0 cov(ei , ek ) 0, i k
投资学第5章
三、因素选择
主要考虑对证券收益有较强解释能力的宏 观经济因素及那些与投资者关系密切的因 素
两个典型的多因素模型
线性回归后可算出 ai 5.8%, bi1 2.2, bi2 0.7，
用第六年的实际数据代入，可算出公司的预期收益 是10%，则企业非系统性因子所产生的影响是３％。
投资学第5章
二、多因素模型：一般化的描述
收益率与 m种因素的的线性关系：
m
ri a bij f j ei j 1
CAPM非常直观地表达了风险收益的特征关系，是一 种理论上相当完美的模型，但实际应用中存在困难
Ross在1976年建立的APT理论，从另一角度探讨了 资产定价问题
最优投资组合理论+市场均衡=CAPM； 因素模型+无套利=APT
投资学第5章
三、APT模型的逻辑起点― 因素模型
因素模型：是一种假设证券回报率是与不同的因 素或指标的运动有关的经济模型，又称指数模型
投资学第5章
单因素模型与多因素模型
3-4
因素模型的产生
因素模型中的因素常以指数形式出现 （如GNP指数、股价指数、物价指数等）, 所以又称为指数模型。 单因素模型相对CAPM是为了解决两个问 题，一是提供一种简化地应用CAPM的方 式；二是细分影响总体市场环境变化的 宏观因素，如国民收入、通胀率、利率、 能源价格等具体带来风险的因素模型
3-1
因素模型
3-2
单因素（SIM）模型
单指数模型的估计 单指数模型的一般形式
单指数模型中的系统风险与非系统风险
3-3
因素模型的产生
因素模型由威廉.夏普在1963年提出.它 是是描述证券收益率生成过程的一种模 型，建立在证券关联性基础上。认为证 券间的关联性是由于某些共同因素的作 用所致，不同证券对这些共同的因素有 不同的敏感度。这些对所有证券的共同 因素就是系统性风险。因素模型正是抓 住了对这些系统影响对证券收益的影响， 并用一种线性关系来表示。
年
1 2 3 4 5 6
GDP增长率 （%）
5.7 6.4 7.9 7.0 5.1 2.9
证券收益率 （%）
14.3 19.2 23.4 15.6 9.2 13.0
3-7
单指数模型的估计 （图）
这一关系也可用下面的图形表示
3-8
单指数模型的估计 （表达式）
为了阐明图中所反映的数量关系，我们使用 一元回归分析的统计技术做一条直线来拟合 图中的点。那么，图中这条直线的回归方程 则为Ri=4%+2GDP
3-29
结论（β的关系） 虽然从严格意义上讲，资本资产定价模 型中的β 值和市场模型中的β 值是有区 别的，但是在实际操作中，由于我们不 能确切知道市场组合的构成，所以一般 用市场指数来代替，因此我们可以用市 场模型中测算的β 值来代替资本资产定 价模型中的β 值。
《投资学》第11讲 指数模型
令最大值
M
max
2 ei
则有 进一步
2 ep
1 n2
n i 1
2 ei
1 n2
n
M
i 1
M n
0
2 ep
M n
指数模型对风险分散化的分析
当n变得足够大时，
2 p
2 ep
小到可以忽略不计。
2 ep
p2
2 m
可分散风险 系统风险
n
随着投资组合中加入的证券数量的增加，非系统性风险越来越来分散，投
2 ei
2 m
E (m2 ) [ E (m)]2
2 ei
E (ei2 ) [ E (ei )]2
Cov(m, ei ) 0, E (m) 0, E (ei ) 0
总风险 = 系统性风险 + 公司特有风险
随堂练习：计算以下协方差:
Cov(im ei , jm e j )
7
单因素模型
注意 ：m 和 ei 相互独立， ei 和e j 之间也相互
独立，且 ei 的期望为0。
Cov(m, ei ) 0 Cov(ei , e j ) 0 E(ei ) 0, E(e j ) 0
思考：宏观经济冲击对每个公司收益率的 不确定性的影响是否可能一样？
单因素模型收益
E[(im ei )( jm e j )] E(im ei )E( jm e j )
E(i jm2 imej j mei eie j )
E(i jm2)
i
j
2 m
投资学：第8章 套利定价理论
16
实际上，我们在介绍单因素模型已经注意到，用市场收 益来概括的系统的或宏观的因素受多种因素影响，这些 因素包括：经济周期的不确定性、利率和通货膨胀等。 这些因素更加清晰明确地解释了系统风险，从而有可能 展示不同的股票对不同的因素有不同的敏感性。这也要 求建立多因素模型。 顾名思义，多因素模型就是假定证券的收益率是由多个 因素共同生成的。 单个证券的收益率生成过程用多因素模型可以表示为：
2 i
i2
2 F券i与证券j的协方差，仅仅来 自于一般因素F，因为εi和εj都是每个公司特有的，它们显然 不相关。所以，两种证券之间的协方差为：
ij
i
j
2 F
（8.4）
12
如果我们有：n个αi的估计，n个敏感度βi的估计，n个公 司特有方差σ2εi的估计，1个（一般）宏观经济因素的期 望值的估计，1个宏观经济因素的方差σF2的估计，那么 公式(8.2)、(8.3)和(8.4)就表明这些（3n＋2）个估计值 将为我们的单因素模型准备好输入的数据。
我们进一步还假定，除了这个通常的影响外，证券收 益剩下的不确定性是公司特有的，也就是说，证券之 间的相关性除了通常的经济因素外没有其他来源了。
公司的特有事件可能包括新的发明、关键雇员去世， 以及其他一些只影响单一企业命运而未能以一个可测 度的方式影响整个经济的因素。
在这些假设下，单个证券的收益率生成过程可以表示 为：
从经济上来讲，与单因素模型假设更为相关的问题是，用基 于单因素模型假定所估计的方差组成的证券组合方差是否与 用直接来自于每组股票估计的方差所组成的证券组合方差有 较大的差异？
15
8.2 多因素模型
单因素模型假定证券的收益只受一个经济因素的影响， 证券之间的协方差由该因素决定，这种假定有一定适用 性。
实际上，我们在介绍单因素模型已经注意到，用市场收 益来概括的系统的或宏观的因素受多种因素影响，这些 因素包括：经济周期的不确定性、利率和通货膨胀等。 这些因素更加清晰明确地解释了系统风险，从而有可能 展示不同的股票对不同的因素有不同的敏感性。这也要 求建立多因素模型。 顾名思义，多因素模型就是假定证券的收益率是由多个 因素共同生成的。 单个证券的收益率生成过程用多因素模型可以表示为：
2 i
i2
2 F券i与证券j的协方差，仅仅来 自于一般因素F，因为εi和εj都是每个公司特有的，它们显然 不相关。所以，两种证券之间的协方差为：
ij
i
j
2 F
（8.4）
12
如果我们有：n个αi的估计，n个敏感度βi的估计，n个公 司特有方差σ2εi的估计，1个（一般）宏观经济因素的期 望值的估计，1个宏观经济因素的方差σF2的估计，那么 公式(8.2)、(8.3)和(8.4)就表明这些（3n＋2）个估计值 将为我们的单因素模型准备好输入的数据。
我们进一步还假定，除了这个通常的影响外，证券收 益剩下的不确定性是公司特有的，也就是说，证券之 间的相关性除了通常的经济因素外没有其他来源了。
公司的特有事件可能包括新的发明、关键雇员去世， 以及其他一些只影响单一企业命运而未能以一个可测 度的方式影响整个经济的因素。
在这些假设下，单个证券的收益率生成过程可以表示 为：
从经济上来讲，与单因素模型假设更为相关的问题是，用基 于单因素模型假定所估计的方差组成的证券组合方差是否与 用直接来自于每组股票估计的方差所组成的证券组合方差有 较大的差异？
15
8.2 多因素模型
单因素模型假定证券的收益只受一个经济因素的影响， 证券之间的协方差由该因素决定，这种假定有一定适用 性。
11—2因素模型
（7c）
4
2、当每个证券都与一个共同的因素相关时，由这些证券构成的投资组 合的收益为： R p Wi Ri Wi (ai bi F i )
i 1 i 1 n n
= W i ai ( Wi bi ) F Wi i
i 1 i 1 i 1
n
n
n
= a p bp F p
10
第11章—2 因素模型
市场模型认为股票的收益率由市场组合这个惟一 的因素决定。 推而广之，我们可认为风险证券的收益率由经济 中某一因素来决定，这一因素不一定是市场组合。
（一）单因素模型 （二）多因素模型
2
一、单因素模型
单因素模型认为收益形成过程只包含惟一的因子。
1、模型 假设：
Ri ai bi F i
2 bij 2 ( Fj ) 2 ( i ) 2 i j 1 m
（13a） （13b）
7
特别：当m=2时，双因素模型
模型： Ri ai bi1F1 bi 2 F2 i 有关的计算公式：
E( Ri ) ai bi1E( F1 ) bi 2 E( F2 )
3 、 A 、 B 股 票 的 因 素 模 型 估 计 结 果 如 下 ： E ( RA ) 0.015 0.8E ( Rm ) A ， E( RB ) 0.02 0.5E( Rm ) B ，如果 ( Rm ) 0.20 ， ( A ) 0.2 ， ( B ) 0.11 ，则 A 股票的标准差是（ A、 0.0656 ） B、 0.0676 C、 0.2561 D、 0.2600
2 2 2 2 i b 证券 的风险为： i i F i
单因素模型公式
单因素模型公式
单因素模型是一种用于解释和预测资产收益率的模型，它假设资产的收益率受到单个因素的影响。
在单因素模型中，资产的收益率可以通过以下公式表示：
R_i = α_i + β_i * F + ε_i
其中：
•R_i 是资产 i 的预期收益率；
•α_i 是资产 i 的超额收益率，表示资产的独立影响；
•β_i 是资产 i 对因素 F
的敏感度，衡量资产与因素之间的关系；
• F
是影响资产收益率的因素，可以是市场指数、利率、汇率等
；
•ε_i 是资产 i
的特殊或误差项，表示未被模型中考虑的其他因素的影响。
单因素模型基于资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model, CAPM），它假设资产的收益率与市场整体收益率之间存在线性关系，并且资产的风险可以通过β_i来度量。
需要注意的是，单因素模型是对资产收益率的简化解释，实际情况可能涉及多个因素和复杂的关系。
因此，在实际应用中，可能会使用多因素模型或其他更复杂的模型来更准确地解释资产收益率的变化。
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投资组合理论及应用 第二版 第四章 简化的投资组合选择模型
单指数模型-市场模型
• 模型的提出 • 指标估计
单指数模型与风险分散 单指数模型的参数估计 多指数模型
一、单指数模型的提出 -单因素模型： 收益表达式 期望收益率 方差 协方差
注意假设条件！
ri =E(ri )+ ßi m+ e i ßi = 公司的敏感系数 m = 宏观1
N
a P
1 N
ai
i 1
N
eP
1 N
ei
i 1
2 p
P2
2 M
2 (eP )
•风险分散程度
R2
=
i
2
2 m
2 i
cov(Ri ,
2 m
Rm
)
2
2 m 2 i
im i m
2 m
2
2 m
2 i
2 im
已知市场指数方差为0.4，计算下面两种资 产构成的组合的方差。
的实际马科维茨方差是多少？ Cov(Ra,Rb)= 0.02 Cov(Ra,Rc)= 0.035 Cov(Rc,Rb)=0.035
估计历史贝塔值
• 最小二乘法：推导
贝塔值的预测能力
证券特征线方程
收益表达式： 期望收益率和方差： 两指数模型
假设有两种股票A、B，两种股票收益率对市场股 价指数收益率（其方差为5%）、通货膨胀率（其 方差为3%）的敏感程度b系数和残差如下表所示：
股票
b1
b2
残差
A
0.8
1.2
0.04
B
1.2
0.4
0.05
假设投资者以0.6:0.4的比例将资金投资于这两种股 票上，那么该组合的方差是多少？
单指数模型的收益和风险 投资组合的系统性风险与非系统性风险 单指数模型的特征线方程 两指数模型的收益和风险
• 模型的提出 • 指标估计
单指数模型与风险分散 单指数模型的参数估计 多指数模型
一、单指数模型的提出 -单因素模型： 收益表达式 期望收益率 方差 协方差
注意假设条件！
ri =E(ri )+ ßi m+ e i ßi = 公司的敏感系数 m = 宏观1
N
a P
1 N
ai
i 1
N
eP
1 N
ei
i 1
2 p
P2
2 M
2 (eP )
•风险分散程度
R2
=
i
2
2 m
2 i
cov(Ri ,
2 m
Rm
)
2
2 m 2 i
im i m
2 m
2
2 m
2 i
2 im
已知市场指数方差为0.4，计算下面两种资 产构成的组合的方差。
的实际马科维茨方差是多少？ Cov(Ra,Rb)= 0.02 Cov(Ra,Rc)= 0.035 Cov(Rc,Rb)=0.035
估计历史贝塔值
• 最小二乘法：推导
贝塔值的预测能力
证券特征线方程
收益表达式： 期望收益率和方差： 两指数模型
假设有两种股票A、B，两种股票收益率对市场股 价指数收益率（其方差为5%）、通货膨胀率（其 方差为3%）的敏感程度b系数和残差如下表所示：
股票
b1
b2
残差
A
0.8
1.2
0.04
B
1.2
0.4
0.05
假设投资者以0.6:0.4的比例将资金投资于这两种股 票上，那么该组合的方差是多少？
单指数模型的收益和风险 投资组合的系统性风险与非系统性风险 单指数模型的特征线方程 两指数模型的收益和风险