正弦定理-人教版高中数学新教材必修第二册课件
6.4.3正弦定理-山东省枣庄市第八中 学人教 版高中 数学新 教材必 修第二 册课件( 共23张 PPT)
2.在ABC 中 (1)已知 b 3,c1,B60,求a,和A，C;
(2)已a 知 23,b22,B4,5 求 A 。
（ 2 ） c 已 1 ,A 0 4 知 ,C 5 3 ,求 0 b ,S A.BC
解 ：b c , sin B sin C
B 1 8 ( A 0 C ) 1 8 ( 4 0 5 3 ) 0 1 ,05 bc s siC iB n n 1 ss0 i3 i1 n n 0 0 5 5 (62 )
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2 ，A＝45°， 求B和c。
变变式式解 12 解：： : sB在 求 在:ins 求解 is△ △BnBai 3nsB:和Ai0AAnB a和0sB或bcBBAisns。csCC1iiaib。Bnnan5b9中 中ss0AABi0ain0n0b(，， b舍ABss 2i已已a去inn b22AB知知) 4 4c2 aa22＝＝ 23 224222，3412b2322＝3， 12b＝2 ，2 A2 ＝，4A5＝°4，5°，
(3 ) 已 A 3 知 ,B 0 C 6,a 0 2 ,求 c .
解 : A30 ,BC60
BC150
C45
又 a c , sinA sinC
c
a sin C sin A
2sin 45 sin 30
2
2
6.4.3正弦定理-山东省枣庄市第八中 学人教 版高中 数学新 教材必 修第二 册课件( 共23张 PPT)
(3 )已 A 知 30 ,0 B C 60 ,0 a 2 ,求 c .
点拨：已知两角和任意一边，求其余两边和一角,
此时的解是唯一的.
6.4.3正弦定理-山东省枣庄市第八中 学人教 版高中 数学新 教材必 修第二 册课件( 共23张 PPT)
( 1 ) 已知 b 12 , A 30 0 , B 120 , 求 a ;
C 10B50 6 0c0 或正1弦2a0s0定 in C理 应34 用6二4 ：2 2 3 2 而可已求知 C其两它边7的5和0 或边其1和5中0 角一cs。i边nA（a对ssini角要nAC，注求意4223另3可一 能边26有4的两对2 角解8，） 8进33
2
1.在ABC中 (1)已知b12, A300,B120,求a; (2)已知 c10,A45,C30,求b,SABC .
BA C 90, C C ' c sin C sin C ' c
2R A c 2R
sin C
同理 a 2R, b 2R sin A sinB
a b c 2R sin A sinB sinC
B
a
O
C
b
C/
正弦定理:
abc sinA sinB sinC
（1）文字叙述 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等. （2）结构特点 和谐美、对称美. （3）方程的观点
B
此时有 siB nA cD ,siC nA bD
图1 D
C
所以AD=csinB=bsinC, 即
bc, sinB sinC
同理可得 a c ,
sinA sinC
即： a b c sinA sin B siC n
(3) 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 过点A作AD⊥BC，交BC延长线于D,
正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.
能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?
证法3: 向量法
利用向量的数量积，产生边的长 与内角的三角函数的关系来证明.
A
c
b
B
a DC
在钝角三角形中
设A 900
过点A作与AC垂直的单位向量 j,
则j与AB的夹角为 A90
B
j与CB的夹角为 90 C
j
具体证明过程
A
C
大家完成!
试一试：
例 1.在 AB 中 ， C 已c知 1,0 A45 ,C30 .
求B 和 角b.边
解： B 1 8 (A 0 C ) 1 05
∵
bc sinB sinC
bcsinB sinC
5 10sin105 sin30
65
219
Hale Waihona Puke 正弦定理应用一： 已知两角和任意一边，求其余两边和一角
学习目标：
1、理解并掌握正弦定理的内容 2、掌握正弦定理证明的方法 3、利用正弦定理会解简单的斜三角形
BC的长度与角A的
C3
大小有关吗?
三角形中角A与它的对 边BC的长度是否存在 定量关系?
C2 C1 C
A
B
想一想?
定理的猜想
在一个直角三角 A形BC中
a
sin A
c a
A
c
sin A
sin sin
此时也有
sinB
AD c
且 s（ in C） A bD siC n
仿(2)可得 a b c
sinA sinB sinC
B 由(1)(2)(3)知，结论成立．
A c
b
图2 C D
思考
求证:
a
b
＝
＝
c
＝ 2R
sin A sin B sin C
（2R为△ABC外接圆直径）
证明：作外接圆O, 法二：几何法 过B作直径BC/,连AC/,
b
B
c
C 1
c
b sin
B
c c c
c
sin C
c b
Ca
B
问题
（1）你有何结论?
a b c
sinA sinB sinC
（2）上述结论是否可推广到任意三角形?若成立，如何证明？
定理的证明
证法1:
(1) 若直角三角形,已证得结论成立.
A
(2)若三角形是锐角三角形, 如图1, c
b
过点A作AD⊥BC于D,
解： (1) a b , sin A sin B
a
b sin A sin B
12sin 300 sin 1200
4 3
6.4.3正弦定理-山东省枣庄市第八中 学人教 版高中 数学新 教材必 修第二 册课件( 共23张 PPT)
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1 SABC2bcsinA
15( 6 2)1s0i4n5 2
25 ( 3 1 )
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人教版高中数学必修2《正弦定理》PPT课件
2．正弦定理的常见变形：
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R 为△ABC 外接圆的半径)．
(2)sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR(R 为△ABC 外接圆的半径)．
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即 a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
题型一 已知两角及一边解三角形
【学透用活】
[典例 1] (1)在△ABC 中，c＝ 3，A＝75°，B＝60°，则 b 等于 ( )
32 A. 2
3 B.2 2
3
6
C.2
D. 2
(2)在△ABC 中，已知 BC＝12，A＝60°，B＝45°，则 AC＝_________.
[解析] (1)因为 A＝75°，B＝60°，
[方法技巧] 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角
三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等．利用正
弦定理判断三角形形状的方法如下：
(1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有：①a＝2Rsin A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C(R
为△ABC
＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状为
()
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
解析：由射影定理得 bcos C＋ccos B＝a，则 a＝asin A，于是 sin A＝ 1，即 A＝90°，所以△ABC 的形状为直角三角形．
答案：B
[应用二] 设△ABC 的内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c.已知 bcos
形，故选 D.
答案：D
人教版高中数学新教材必修第二册课件6.4.3 正弦定理1
正弦定理
讲
课
人
：
邢
启 强
9
学习新知
结构和谐、对称
正弦定理：sina
A
b sin B
c sin C
2R
体现了数学的 和谐美与对称美
探究1：正弦定理结构的最大特点是什么？
探究2：正弦定理里面包含了几个等式？
每个等式中有几个量？
a b,a c,c b sin A sin B sin A sin C sin C sin B 探究3：它可以解决三角形中那些类型的问题？
∴ abc sin A sin B sinC 5
学习新知
若C为钝角，过A点作AD垂直于BC交
BC的延长线于D，此时也有： A
sin B AD 即 AD c sin B
c
c
sin(1800 C) AD 即 AD b sin C b
b c sin B bsin C
DC a B
同样可得： a b c sin A sin B sinC
6.4.3正弦定理
学习新知
余弦定理：
三角形中任何一边的平方，等于其他两 边的平方和，减去这两边与其夹角的余 弦的积的两倍.
讲
课
人
：
邢
启 强
2
学习新知 余弦定理的推论：
讲
课
人
：
邢
启 强
3
学习新知
回忆一下直角三角形的边角关系?（C为直角）
a2 b2 c2 A B 90
A
sin A a sin B b sin C 1 c
解: (1)因为 cos 2C＝1－2sin2C＝－41，及 0<C<π，所以 sin C＝
10 4.
6.4.3.2正弦定理(第一课时)-【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件
其中，R是△ABC的外接圆的半径
公式变形：a =_2_R_s_i_n_A_，b =__2_R_s_in_B__，c =_2_R_s_i_n_C__
“边角互化”
a
b
c
sin A _2__R_, sin B _2_R__, sin C _2_R__
拓展：任意△ABC中，a : b : c =__si_n_A__:_s_in_B__:_s_i_n_C__
c2 a2 2ab cos C b2 B
即 c2 a2 b2 2ab cos C
a
C
D
同理可得 a 2 b 2 c 2 2bc cos A, b 2 a 2 c 2 2ac cos B
探究：如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，边BC与AC的
夹角为C，试求AB边的长c.
正弦定理可解决的第二类问题：
知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它边和角
练习：
（1）在△ABC中，a=2，b= 6，A=45o，求角B.
60o或120o
（2）在△ABC中，a= 3，c=1，A=60o，解这个三角形.
C 30 , B 90 ,b 2
变题：在△ABC中，a=2，b= 6，A=135o，解这个三角形.
2R, b
2R 2R
sin C
sin A
sin B
等式 a b c 2R成立. sin A sin B sin C
正弦定理的推论：
a b c 2R sin A sin B sin C
其中，R是△ABC的外接圆的半径
公式变形：a =_2_R_s_i_n_A_，b =__2_R_s_in_B__，c =_2_R_s_i_n_C__
当Ｂ＝120°时 C=30°
公式变形：a =_2_R_s_i_n_A_，b =__2_R_s_in_B__，c =_2_R_s_i_n_C__
“边角互化”
a
b
c
sin A _2__R_, sin B _2_R__, sin C _2_R__
拓展：任意△ABC中，a : b : c =__si_n_A__:_s_in_B__:_s_i_n_C__
c2 a2 2ab cos C b2 B
即 c2 a2 b2 2ab cos C
a
C
D
同理可得 a 2 b 2 c 2 2bc cos A, b 2 a 2 c 2 2ac cos B
探究：如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，边BC与AC的
夹角为C，试求AB边的长c.
正弦定理可解决的第二类问题：
知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它边和角
练习：
（1）在△ABC中，a=2，b= 6，A=45o，求角B.
60o或120o
（2）在△ABC中，a= 3，c=1，A=60o，解这个三角形.
C 30 , B 90 ,b 2
变题：在△ABC中，a=2，b= 6，A=135o，解这个三角形.
2R, b
2R 2R
sin C
sin A
sin B
等式 a b c 2R成立. sin A sin B sin C
正弦定理的推论：
a b c 2R sin A sin B sin C
其中，R是△ABC的外接圆的半径
公式变形：a =_2_R_s_i_n_A_，b =__2_R_s_in_B__，c =_2_R_s_i_n_C__
当Ｂ＝120°时 C=30°
必修第二册6.4.2正弦定理课件(人教版)
a
b
c
因此，
.
sin A sin B sin C
A
m
C
探究新知
钝角三角形情形
如图，在钝角∆ABC中，过点A作 AC 与垂直的单位向量 j ，则
j 与 AB 的夹角为 A ， j与 CB 的夹角为 C .
2
2
a
b
c
仿照上述方法，同样可得
sin A sin B sin C
B
j
综上所述，可以得到如下定理
sin A
sin 60°
sin A
sin 60°
3.
练习
方法技巧：
已知两角及一边解三角形的策略
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理
求出第三个角，最后由正弦定理求第三边.
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦
定理求另外两边.
[注]若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非
第六章
平面向量及其应用
6.4.2 正弦定理
创设情境
如图，设A，B两点在河的两岸，测量者为了得到 A，B两点之间
的距离．测量者在B的同侧，在所在的河岸选定一个点C，测出BC的距
离是24 m， ∠B=45°，∠C=60°，求A，B两点间的距离．
A
B
C
探究新知
余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直
解：由三角形内角和定理得A=75°.
A
由正弦定理，得
BC sin C 24sin60
AB
sin75
b
c
因此，
.
sin A sin B sin C
A
m
C
探究新知
钝角三角形情形
如图，在钝角∆ABC中，过点A作 AC 与垂直的单位向量 j ，则
j 与 AB 的夹角为 A ， j与 CB 的夹角为 C .
2
2
a
b
c
仿照上述方法，同样可得
sin A sin B sin C
B
j
综上所述，可以得到如下定理
sin A
sin 60°
sin A
sin 60°
3.
练习
方法技巧：
已知两角及一边解三角形的策略
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理
求出第三个角，最后由正弦定理求第三边.
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦
定理求另外两边.
[注]若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非
第六章
平面向量及其应用
6.4.2 正弦定理
创设情境
如图，设A，B两点在河的两岸，测量者为了得到 A，B两点之间
的距离．测量者在B的同侧，在所在的河岸选定一个点C，测出BC的距
离是24 m， ∠B=45°，∠C=60°，求A，B两点间的距离．
A
B
C
探究新知
余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直
解：由三角形内角和定理得A=75°.
A
由正弦定理，得
BC sin C 24sin60
AB
sin75
新教材人教版高中数学必修第二册 6.4.3 第2课时 正弦定理 教学课件
②作高法证明正弦定理.
③向量法证明正弦定理
重要数学思想： 数形结合、分类讨论.
第十四页，共十五页。
课后思考
已知三角形两边和其中一边所对 的角时，三角形的解的个数如何判别？
第十五页，共十五页。
第七页，共十五页。
建构数学
正弦定理： a b c sin A sin B sinC
探究4：正弦定理里面包含了几个等式？ 探究5： 每个等式中有几个量？ 知三求一
a b,a c,c b sin A sin B sin A sin C sin C sin B
归纳使用正弦定理解三角形的条件:
（1）已知两角及任一边，求其他两边和一角
道,现要测的两山之间B、C两点的距离,如何求 得B、C两点的距离?
.C
现在岸边选定1公里的基线AB,并在A点处测得 ∠A=600，在C点测得∠C=450,如何求得B.C两点 的距离?
.A .B
第二页，共十五页。
建立数学模型
C
如图在 ABC中，已知
A=600,C=450，AB=1000米
450
求BC的长度？
∴ bc
B
a DC
sin B sin C
同理： a b sin A sin B
∴
ab sin A sin B
c sinC
第五页，共十五页。
建构数学
当C为钝角时，过A点作AD垂直于BC交BC的延长线于
点D
sin B AD c
即 AD csin B
A
sin(1800 C) AD
b
c
b
即 AD b sin C
当A＝150°时 C 180 450 150 0 所以C无解
所以 A 30 C 105 c 8 2 6 第十二页，共十五页。
数学人教A版必修第二册6.4.3.2正弦定理课件
探究：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角，
已知三边直接解三角形的公式。如果已知两角和一边，是
否也有相应的直接解三角形的公式呢？
在直角三角形ABC中，由锐角三角函数，
再根据正弦函数的定义，
a = sinA, c
b = sinB, c
A c
b
a
ab
=
= c. sinC = 1 C
B
sinA sinB
j
则 j AC j CB j AB，
A
B C
| j || AC | cos90 | j || CB | cos(90 C) | j || AB | cos(90 A).
∴ asinC=c sinA.
ac sin A sin C
同理，过点C作与 CB
垂直的单位向量
j，Βιβλιοθήκη 得c b. sin C sin B
cos A cos B c
tan C，所以A＝B＝C，即△ABC为等边三角形．
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－ －sinB sin C.
①求A.
②若 2a＋b＝2c，求sin C．
解析：①由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin B sin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝b 得cos A＝b2+2cb2c−a2＝12.
解析：∵ a
sin
A＝sinc
C，∴sin
C＝c
sin a
A＝
6
sin 2
45°＝
23，
∵0°<C<180°，∴C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，B＝75°，b＝cssininCB＝ 6sisnin607°5°＝ 3＋1；
新教材人教版高中数学必修第二册 6-4-3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例 教学课件
第九页，共十五页。
数学应用
例2、如图所示，某海岛上一观察哨A上午
11时测得一轮船在海岛北偏东 600 的C处，
12时20分测得船在海岛北偏西 600 的B处，
12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛 5km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进 问船的速度多大？ 如果轮船始终匀速直线前
解：轮船从C到B用时80分钟， 从B到E用时20分钟， 而船始 终匀速前进 BC 4EB，设 EB x ，则
构建三角形
第十四页，共十五页。
变式训练
如图所示，甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方向航行，乙 船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于 A1 处时，乙船位于甲船的 南偏西 75°方向的 B1 处，此时两船相距 20 海里．当甲船航行 20 分钟 到达 A2 处时，乙船航行到甲船的南偏西 60°方向的 B2 处，此时两船 相距 10 2海里．问乙船每小时航行多少海里？
复习回顾
正弦定理
abc sin A sin B sin C
应用： 1.已知两角及任一边，求其他两边和一角
2.已知两边和其中一边所对的角，求另一边所 对的角 （从而进一步求出其他的边和角）
第三页，共十五页。
建构3.有数关学概念
（1）．仰角和俯角 与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹
角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线 下方时叫俯角．(如图所示)
坡面与水平面的夹角 (如图所示) ．
（5）坡比 坡面的铅直高度与水平宽度之比，即 i＝hl ＝tan α(i 为坡
比，α 为坡角)．
第五页，共十五页。
数学应用
例 1.如图，设 A、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在 所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，∠ACB＝45°， ∠CAB＝105°后，就可以计算出 A、B 两点的距离为_____m.
数学应用
例2、如图所示，某海岛上一观察哨A上午
11时测得一轮船在海岛北偏东 600 的C处，
12时20分测得船在海岛北偏西 600 的B处，
12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛 5km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进 问船的速度多大？ 如果轮船始终匀速直线前
解：轮船从C到B用时80分钟， 从B到E用时20分钟， 而船始 终匀速前进 BC 4EB，设 EB x ，则
构建三角形
第十四页，共十五页。
变式训练
如图所示，甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方向航行，乙 船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于 A1 处时，乙船位于甲船的 南偏西 75°方向的 B1 处，此时两船相距 20 海里．当甲船航行 20 分钟 到达 A2 处时，乙船航行到甲船的南偏西 60°方向的 B2 处，此时两船 相距 10 2海里．问乙船每小时航行多少海里？
复习回顾
正弦定理
abc sin A sin B sin C
应用： 1.已知两角及任一边，求其他两边和一角
2.已知两边和其中一边所对的角，求另一边所 对的角 （从而进一步求出其他的边和角）
第三页，共十五页。
建构3.有数关学概念
（1）．仰角和俯角 与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹
角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线 下方时叫俯角．(如图所示)
坡面与水平面的夹角 (如图所示) ．
（5）坡比 坡面的铅直高度与水平宽度之比，即 i＝hl ＝tan α(i 为坡
比，α 为坡角)．
第五页，共十五页。
数学应用
例 1.如图，设 A、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在 所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，∠ACB＝45°， ∠CAB＝105°后，就可以计算出 A、B 两点的距离为_____m.
正弦定理-人教版高中数学新教材必修第二册上课用PPT
2
正弦定理-人教版高中数学新教材必修 第二册 优秀课 件
1.在ABC中 (1)已知b12, A300,B120,求a; (2)已知 c10,A45,C30,求b,SABC . (3 )已 A 知 30 ,0 B C 60 ,0 a 2 ,求 c .
点拨：已知两角和任意一边，求其余两边和一角,
a
b
＝
＝
c
＝ 2R
sin A sin B sin C
（2R为△ABC外接圆直径）
正弦定理-人教版高中数学新教材必修 第二册 优秀课 件
正弦定理-人教版高中数学新教材必修 第二册 优秀课 件
证明：作外接圆O,
法二：几何法
过B作直径BC/,连AC/,
BA C 90, C C ' c sin C sin C ' c
（1）文字叙述 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等. （2）结构特点 和谐美、对称美. （3）方程的观点
正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.
能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?
正弦定理-人教版高中数学新教材必修 第二册 优秀课 件
正弦定理-人教版高中数学新教材必修 第二册 优秀课 件
学习目标：
1、理解并掌握正弦定理的内容 2、掌握正弦定理证明的方法 3、利用正弦定理会解简单的斜三角形
BC的长度与角A的
C3
大小有关吗?
三角形中角A与它的对 边BC的长度是否存在 定量关系?
C2 C1 C
A
B
想一想?
定理的猜想
在一个直角三角 A形BC中
a
sin A
c a
A
c
sin A
sin sin
人教版高中数学必修2《正弦定理》PPT课件
sin C=2(R 为△ABC 外接圆的半径);②sin = , sin = , sin = .
延伸探究本例中,将条件改为“在△ABC中,若(a-acos B)sin B=(b-ccos C)
sin A”,判断△ABC的形状.
解 因为(a-acos B)sin B=(b-ccos C)sin A,所以asin B-acos Bsin B=bsin A-ccos
Csin A,而由正弦定理可知asin B=bsin A,所以acos Bsin B=ccos Csin A,
即sin Acos Bsin B=sin Ccos Csin A,
所以cos Bsin B=sin Ccos C,即sin 2B=sin 2C,
所以2B=2C或2B+2C=180°,即B=C或B+C=90°,故△ABC是等腰三角形或
所以 C>B,所以 B=30°,所以 A=180°-120°-30°=30°,所以△ABC 的面积
1
1
S=2AB·AC·sin A=2×2 3×2sin 30°= 3.
素养形成
对三角形解的个数的探究
已知三角形的两角和任意一边,求其他的边和角,此时有唯一解,即当三角
形的两角和任意一边确定时,三角形被唯一确定.
sin 5sin60° 5 3
解 由正弦定理,得 sin A=
=
=
>1,则角 A 不存在,所以该三
2
4在△ABC中,若(a-ccos B)sin B=(b-ccos A)sin A,判断△ABC的形状.
分析
解 (方法一)∵(a-ccos B)sin B=(b-ccos A)sin A,
c
,
C
延伸探究本例中,将条件改为“在△ABC中,若(a-acos B)sin B=(b-ccos C)
sin A”,判断△ABC的形状.
解 因为(a-acos B)sin B=(b-ccos C)sin A,所以asin B-acos Bsin B=bsin A-ccos
Csin A,而由正弦定理可知asin B=bsin A,所以acos Bsin B=ccos Csin A,
即sin Acos Bsin B=sin Ccos Csin A,
所以cos Bsin B=sin Ccos C,即sin 2B=sin 2C,
所以2B=2C或2B+2C=180°,即B=C或B+C=90°,故△ABC是等腰三角形或
所以 C>B,所以 B=30°,所以 A=180°-120°-30°=30°,所以△ABC 的面积
1
1
S=2AB·AC·sin A=2×2 3×2sin 30°= 3.
素养形成
对三角形解的个数的探究
已知三角形的两角和任意一边,求其他的边和角,此时有唯一解,即当三角
形的两角和任意一边确定时,三角形被唯一确定.
sin 5sin60° 5 3
解 由正弦定理,得 sin A=
=
=
>1,则角 A 不存在,所以该三
2
4在△ABC中,若(a-ccos B)sin B=(b-ccos A)sin A,判断△ABC的形状.
分析
解 (方法一)∵(a-ccos B)sin B=(b-ccos A)sin A,
c
,
C
人教A版高中数学必修第二册《正弦定理》名师课件
,
2
与的夹角为
2
=
=
− .仿照上述方法,同样可得
探究新知
正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
=
=
思考1：利用正弦定理解三角形,至少已知几个元素？
思考2：正弦定理可以解决哪类解三角问题？
1.已知三角形的任意两个角与一边;
典例讲授
例5、在△ABC中,角, , 所对的边分别为, , .
2
2
2
2
求证：(1) cos2A − cos2B = − ; (2)
2 −2
2
=
sin(A−B)
sinC
.
证明
（1）左边= 2 1 − 2sin2 A − 2 1 − 2sin2 B = 2 − 2 − 2(b2 sin2 A −2 sin2 B).
由
=
, 得 bsinA = sinB , ∴ 2 sin2 A − 2 sin2 B = 0
sinA sinB
∴ 左边 = 2 − 2 = 右边
∴ 2 cos2A − 2 cos2B = 2 − 2
典例讲授
例5、在△ABC中,角, , 所对的边分别为, , .
典例讲授
例4、在△ABC中,: : = 2: 3: 10,则cosC =________.
解析
设角, , 的对边分别为, , ,
∵ : : = 2: 3: 10,
∴ : : = 2: 3: 10.
设 = 2, = 3, = 10, > 0,