第五章S域分析,极点与零点

jω
0
h(t )
α
p1
σ
e
0
αt
t
1 H ( s) = S −α
h(t ) = e
αt
（2） 几种典型的极点分布 ） 几种典型的极点分布—— (d)一阶共轭极点在虚轴上 一阶共轭极点在虚轴上 一阶共轭极点在
p1
0
jω
jω1
σ
h(t)
0
p2
− jω 1
t
ω1 H (s) = 2 2 S + ω1
h(t ) = sin ω1t.u (t )
ατ
§5.2 由系统函数决定系统频 率特性
♦ 什么是系统频率响应？ 什么是系统频率响应？
不同频率的正弦激励下系统的稳态响应 一般为复数，可表示为下列两种形式： 一般为复数，可表示为下列两种形式：
H ( jω ) = R( jω ) + jI ( jω ) H ( jω ) = H ( jω ) e
E m H 0e = 2j
jϕ 0
Em H 0 j (ω 0t +ϕ 0 ) − j (ω 0t +ϕ 0 ) Rw ( s ) = e +e 2j
[
]
e(t) = Em sin 0t ω
幅度该变
r(t) = EmH0 sin( 0t +ϕ0 ) ω
相位偏移
H( jω0) = H0e
jϕ0
若 ω 0 换成 变量
U2 (s) R s H(s) = = = U1(s) R + 1 s + 1 sc RC
M
N
-1/RC
N j (ψ −θ ) H( jω) = e M
U2 U1
ω =0, N =0, M = 1RC NM =0
ω= , N=
1 RC
1 RC
,θ = 45 ,
0
ω=
900
1 RC
M=
ω
2
RC ,
N =1 M 2
0
− jω 1
α
p2
σ
0
t
ω1 H (s) = ( S − α ) 2 + ω 12
h(t) = sinω1t.u(t)
（3） 有二重极点分布 ） 有二重极点分布—— 在原点有二 (a)在原点有二重极点 在原点有二重极点
jω
h(t)
σ
0
t
1 H (s) = 2 S
h(t ) = t
（3） 有二重极点分布 ） 有二重极点分布—— 在负实轴上有 (b)在负实轴上有二重极点 在负实轴上有二重极点
450
ω = ∞,
N ≈ 1, ϕ − θ = 0 M
例： 求一阶低通滤波器的频率特性
+ R
+ U2
C
1 U2 Cs H (s) = = U1 R+
m
反变换
∏(s − p )
i i =1
j =1 n
h (t ) = L =
−1
n ki ∑ i =1 s − p i =
∑
n
i =1
k ie
pit
∑
n
i =1
hБайду номын сангаас (t )
总特性
第 i个极点决定
（2） 几种典型的极点分布 ） 几种典型的极点分布—— (a)一阶极点在原点 一阶极点在原点 一阶极点在
jω
p1
j ω1
0
h(t)
σ
0
−α
p2
− jω1
−αt
t
ω1 H (s) = 2 2 ( S + α ) + ω1
h(t ) = e sinω1t.u(t )
（2） 几种典型的极点分布 ） 几种典型的极点分布—— (g)共轭极点在右半平面 共轭极点在右半平面 共轭极点在 jω h(t) jω1 p1
jϕ ( jω )
e(t) = Em sinω0t
Emω 0 E (s) = 2 2 s + ω0
R (s) = E (s)H (s) k − jω 0 k jω 0 = + + s + jω 0 s − jω 0
∑
n
i =1
ki s − pi
由正弦激励的极点 决定的稳态响应
如系统是稳定的， 该项最后衰减为零
（7）求第一周期的稳态响应 ）
V 0 s 1 ( s ) = V 01 ( s ) − V 0 t ( s )
α (1 − e ) 1 − e 1 = + . αT s(s + α ) s+α 1− e
1− e −αt v0 s1 (t ) = [1 − .e ].u (t ) − −αT 1− e −α ( t −τ ) (1 − e ).u (t − τ )
jω
h(t)
σ
0
t
1 H ( s) = 2 (S + α )
h ( t ) = te
−αt
（3） 有二重极点分布 ） 有二重极点分布—— 上有二重极点 (c)在虚轴上有二重极点 在虚轴上有二
jω
h(t)
σ
0
t
2ω S H (s) = 2 2 2 (S + ω1 )
h (t ) = t sin ω 1t
e(t )
τ
e(t)
t
R
C
v0 (t )
T
（1）求e(t)的拉氏变换 ） 的拉氏变换
1 1 (1 − e ) −sτ −snT E (s) = (1 − e )∑ e = −sT s s (1 − e ) n=0
∞
− sτ
（2）求系统函数 ）求系统函数H(s)
H (s) = 1 Cs R+ 1 Cs
（3） 有二重极点分布 ） 有二重极点分布—— (d)在左半平面有二重共轭极点 在左半平面有二重共轭极点
jω
jω1
σ
h(t)
0
− jω 1
t
2ω ( S + α ) H (s) = [( S + α ) 2 + ω 12 ] 2
h(t ) = te sinω1t
−αt
jω
σ
一阶极点
jω
σ
二重极点
m
n
jω
jω − p1 = M 1e jθ1
p1
z1
jω − z1 = N1e
jϕ1
σ
例：已知 H ( s ) =
1 s + 2s + 2s + 1
3 2
试求当ω = 1
时的幅频和相位
1 H(s) = 1− j 3 1+ j 3 (s +1)(s − )(s − ) 2 2
M1
j1
θ1
M1 = 1.414
α=
jω
1 RC
=
α
s +α
−α
σ
（3）求系统完全响应的拉氏变换 V0 ( s ) ）
α (1 − e ) V 0 ( s ) = E ( s ). H ( s ) = − sT s ( s + α )(1 − e )
− sτ
暂态
稳态
（4）求暂态响应，它在整个过程中是一样的。
K1 V0t ( s) = s +α
与激励无关 ♦ 自由响应的幅度和相位与 自由响应的幅度和相位与H(s)和E(s)的零 和 的零 点有关， 点有关，即零点影响 K i , K k 系数 ♦ E(s)的极点决定了强迫响应的振荡频率， 的极点决定了强迫响应的振荡频率， 的极点决定了强迫响应的振荡频率 与H(s) 无关 ♦ 用H(s)只能研究零状态响应， H(s)中零 只能研究零状态响应， 中零 只能研究零状态响应 极点相消将使某固有频率丢失。 极点相消将使某固有频率丢失
域分析、 第五章 S域分析、极 点与零点
决定系统的时域响应 决定系统频率响应 决定系统稳定性
系统函数的定义
♦ 系统零状态下，响应的拉氏变换与激励 系统零状态下，
拉氏变换之比叫作系统函数，记作 拉氏变换之比叫作系统函数，记作H(s). 系统函数
R (s) H (s) = E (s)
♦ 可以是电压传输比、电流传输比、转移 可以是电压传输比、电流传输比、
Vos1 (t )
−α (T −τ )
− sτ
ατ
1
0
τ
t
（8）整个周期矩形信号的稳态响应
v0 s (t ) = ∑ v0 s1 (t − nT )[u (t − nT ) − u (t − ( n + 1)T )]
n =0
∞
稳态响应
完全响应
A
B
暂态响应
−B
1−e A= −αT 1−e
−ατ
1− e B= αT 1− e
（4） 零点的影响 ）
s+a H 1(s) = (s + a)2 + ω 2
零点移动 到原点
s H 2 (s) = (s + a)2 + ω 2
z0
z0
− at
h (t ) = e
cos ω t
a ω h(t) = e 1+ cos( t −ϕ) ω a −1 ϕ = tg (− )
激励E(s)的极点影响
♦ 激励 激励E(s)的极点也可能是复数 的极点也可能是复数 ♦ 增幅，在稳定系统的作 增幅，
用下稳下来，或与系统 用下稳下来， 某零点相抵消 ♦ 等幅，稳态 等幅，
♦ 衰减趋势，暂态 衰减趋势，
Re[ pk ] > 0 Re[ pk ] = 0 Re[ pk ] < 0
例：周期矩形脉冲输入下图电路，求其暂态和稳 周期矩形脉冲输入下图电路， 态响应。 态响应
固定常数
1 − eατ K1 = V0 ( s )( s + α ) s = −α = 1 − eαT
ατ
衰减因子
1− e −α t v 0 t (t ) = − .e αT 1− e
− sτ
(5) 求第一个周期引起的响应的拉氏变换V01(t)
α (1 − e ) V01(s) = H (s).E1 (s) = s(s + α )
极点影响小结： 极点影响小结：
♦ 极点落在左半平面 h(t) 逞衰减趋 极点落在左半平面—
势 ♦ 极点落在右半平面 极点落在右半平面— h(t)逞增长趋 逞增长趋 势 ♦ 极点落在虚轴上只有一阶极点 极点落在虚轴上只有一阶极点— h(t) 等幅振荡， 等幅振荡，不能有重极点 ♦ 极点落在原点 极点落在原点— h(t)等于 u(t) 等于
jω
0
h(t )
σ
p1
t
1 H (s) = S
h (t ) = u (t )
（2） 几种典型的极点分布 ） 几种典型的极点分布—— (b)一阶极点在负实轴 一阶极点在负实轴 一阶极点在
−α
p1
jω
0
h(t )
e −αt
σ
t
1 H (s) = S +α
h (t ) = e
−αt
（2） 几种典型的极点分布 ） 几种典型的极点分布—— (c)一阶极点在正实轴 一阶极点在正实轴 一阶极点在
−at
2
ω
（4） 零点的影响 ）
♦ 零点的分布只影响时域函数的幅度
和相移， 和相移，不影响振荡频率
幅度多了 一个因子
h(t ) = e
−at
− at
cosωt
2
a ω h(t) = e 1+ cos( t −ϕ) ω a −1 ϕ = tg (− )
多了相移
ω
结论
♦ H(s)的极点决定了自由响应的振荡频率， 的极点决定了自由响应的振荡频率， 的极点决定了自由响应的振荡频率
H ( jω 0 ) = H 0 e
jϕ 0
H ( − jω 0 ) = H 0 e
s = − jω 0
− jϕ 0
k − jω 0 = ( s + j ω ) R ( s )
E m H 0 e − jϕ 0 = −2j
k jω 0 = ( s − j ω ) R ( s )
稳态响应 有关的
s = jω 0
ω
H( jω) = H( jω) e
系统频率 特性
jϕ( jω)
幅频特性
相位特性
用几何法求系统频率特性
H ( jω ) = k ∏ ( jω − z j )
m
∏
i =1
j =1 n
( jω − p i )
j(∑ ψ i −∑ θ l ) N1N 2 ⋯ N m l =1 = k e i =1 M 1M 2 ⋯ M n
（2） 几种典型的极点分布 ） 几种典型的极点分布—— (e)共轭极点在虚轴上，原点有一零点 共轭极点在虚轴上 共轭极点在虚轴上，原点有一零点
jω
p1
0
jω1
σ
h(t)
0
p2
− jω 1
t
S H (s) = 2 2 S + ω1
h(t ) = cos ω1t.u (t )
（2） 几种典型的极点分布 ） 几种典型的极点分布—— (f)共轭极点在左半平面 共轭极点在左半平面 共轭极点在
θ = 450
M2
j1
1 1 H ( j1) = = M1M 2 M 3 2
θ 2 M 2 = 0.517 θ2 = 150
M3
θ3
j1
θ ( j1) = −(450 + 150 + 750 ) = 1350
M 3 = 1.932 θ 3 = 750
§5.3 一阶系统和二阶非谐振系统的 S平面分析 平面分析 已知该系统的H(s)的极零点在 平面 的极零点在S平面 ♦ 已知该系统的 的极零点在 的分布， 的分布，确定该系统的幅频特性和 相频特性的渐近线
阻抗、转移导纳、 阻抗、转移导纳、策动点阻抗或导纳
系统函数的极零点分布
jω
H ( s) =
k ∏ (s − z j )
m
p1
p0
p2
z1
z0
∏ (s − p )
i =1 i
j =1 n
σ
z2
§5.1 由系统函数的极零点分布决定
时域特性 （1）时域特性 ）时域特性——h(t) Ki与零点分布有关
H (s) = k ∏ (s − z j )
（1）一阶系统 ）
s − z1 H ( s) = K s − p1 s H ( s) = K s − p1
♦ 一零点，一在实轴的 一零点，
极点
♦ 一在原点的零点，一 一在原点的零点，
在实轴的极点
♦ 只有无穷远处的零点
k H (s) = s − p1
一在实轴的极点
例：求一高阶系统的频率特性
+ U1 — C R + U2 —