【学案3】1.2直角三角形的性质和判定(Ⅱ)
直角三角形的判定与性质--学案
一、复习预习1、三角形的内角和是多少度。
2、什么是直角三角形？日常生活中有哪些物品与直角三角形有关？请举例说明。
3、等腰三角形有哪些性质？三角形按角的分类(1)锐角三角形—三个角都是锐角(2)直角三角形—有一个角是直角(3)钝角三角形—有一个角是钝角二、知识讲解考点/易错点1直角三角形判定定理：两个锐角互余的三角形是直角三角形。
考点/易错点2直角三角形斜边中线性质定理直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半。
性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图1，在Rt△BAC中，∠BAC=，D为BC的中点，则。
性质的拓展：如图1：因为D为BC中点，所以，所以AD=BD=DC=，所以∠1=∠2，∠3=∠4，因此∠ADB=2∠3=2∠4，∠ADC=2∠1=2∠2。
因而可得如下几个结论：①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍．考点/易错点2等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形。
1）具有等腰三角形的所有性质2）具有直角三角形的所有性质结论：等腰直角三角形的两个锐角都是45゜.考点/易错点3含30︒角的直角三角形：30︒的角是一个特殊的角，它具有一个特殊的性质，即“在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半．”这一性质在各类考试中经常出现，利用它的关键是设法构造出含有30︒角的直角三角形．三、例题精析【例题1】【题干】如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，若CD=4，则AB=【答案】8【解析】由性质可知：CD，所以AB=2CD=8．【例题2】【题干】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到D点，使，点E、F分别为边BC、AC的中点。
（1）求证：DF=BE；（2）过点A作AG∥BC，交DF于G。
求证：AG=DG【答案】（1）因为E为BC的中点，所以BE=。
1.2直角三角形的性质和判定(Ⅱ)-湘教版八年级数学下册教案
1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）-湘教版八年级数学下册教案直角三角形是初中数学中重要的概念，本文将从性质和判定两个方面进行介绍，帮助同学们更加深入理解直角三角形。
一、性质1. 直角三角形的定义直角三角形是指一个三角形中，有且仅有一个内角为直角的三角形。
2. 直角三角形的特点直角三角形有以下几个特点：•直角三角形的内角和为180度；•直角三角形的两条直角边相等；•直角三角形的斜边是直角边的平方和的平方根。
3. 直角三角形的勾股定理勾股定理是直角三角形中最著名的定理，它表明：在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
具体而言，设直角三角形三边分别为a、b、c（其中c为斜边），直角边为a和b，则有：a2+b2=c24. 直角三角形的中线定理在一个直角三角形中，过直角边的中点向斜边引一条垂线，则垂足与斜边分成的两条线段的长度满足：•直角边上的中线长度等于斜边长度的一半；•斜边上的中线长度等于直角边长度的一半。
二、判定1. 判定一个三角形是否为直角三角形判定一个三角形是否为直角三角形的方法有以下几种：•观察三角形的内角是否有一个为90度；•使用勾股定理，判断三条边是否满足勾股定理的条件；•如果长度已知，可以计算三条边的长度，判断是否满足勾股定理的条件。
2. 判定一个三角形中一个角是否为直角判定一个三角形中一个角是否为直角，常用的方法是使用三角函数。
三角函数即包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们在数学中有广泛的应用，在直角三角形中也有特别重要的作用。
通过使用三角函数，我们可以通过已知的两条边长和一个角度来求解诸如第三条边长、未知角度等问题。
结论直角三角形是初中数学中一个重要而基础的概念，同学们需要熟练掌握它们的性质和判定方法。
同时，在熟练掌握后，同学们可以通过它们解决许多实际问题。
第 2 课时 直角三角形的判定和性质--教案 2023—2024学年人教版数学八年级上册
11．2.1三角形的内角第2课时直角三角形的性质和判定教学内容第2课时直角三角形的性质和判定课时1核心素养目标1.会用数学的眼光观察现实世界：通过实际生活中应用的例子，学生能够抽象问题中的数量关系，总结直角三角形的性质在实际生活中的意义.2.会用数学的思维思考现实世界：在对直角三角形的性质和判定定理的研究中，让学生发现直角三角形的性质和定理间的互逆关系，培养学生的观察和自主学习的能力.3.会用数学的语言表示现实世界：通过对直角三角形的性质和判定定理的学习，在经历猜想、验证、归纳的学习过程中，体会归纳的数学思想方法，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，感悟数据的意义与价值.知识目标1.掌握直角三角形的性质和判定定理.2.能够灵活应用直角三角形的性质和判定定理解决数学问题.教学重点探索并掌握直角三角形的性质和三角形的判定定理.教学难点运用直角三角形的性质和三角形的判定定理解决数学问题.教学准备课件.教学过程主要师生活动设计意图一、情境导入二、探究新知一、创设情境，导入新知教师叙述：观察下列视频，点C在射线BC上移动，移动过程中会形成不同类型(内角大小不同)的三角形ABC，请依次画出.师生活动：教师播放课件准备的视频，播放一遍后，让学生独立思考有没有觉得熟悉的三角形（教师提示：内角大小不同）；思考后可以再播放一遍，教师点同学回答问题，并总结答案.二、小组合作，探究概念和性质知识点一：三角形的内角和定理探究一：如图，在刚刚形成的直角△ABC中，∠C＝90°，两锐角的和等于多少?设计意图：导入环节设置的问题导入，让学生主动参与到学习中，带着问题去学习，激发学生的探索精神和学习兴趣，理解学习本节知识点的意义.设计意图：学生利用三角形内角和的知识解题，巩固旧知的同时增强学习新知的自信，培养学生的自主学习的习惯.师生活动：学生独立思考，教师分析解题思路，学生回答问题，教师板书并总结答案.答案：∠A + ∠B＝90°.总结：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.几何语言：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴∠A +∠B＝90°．（强调直角三角形的几何书写）典例精析：例1(1) 如图①，∠B＝∠C＝90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系?师生活动：教师帮助学生分析问题(利用直角三角形和对顶角的性质)，学生独立完成练习，请一名学生板书.(2)如图②，∠B＝∠D＝90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由.师生活动：学生独立完成练习，教师提问.例2 如图，∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？师生活动：教师帮助学生分析问题(分析：∠AEC＝∠BED→90°-∠AEC＝90°-∠BED→ ∠CAE＝∠DBE)，学生独立完成.结论：∠ACD = ∠A + ∠B.设计意图：运用习题巩固刚学习的直角三角形的性质，并锻炼学生应用性质解题的能力.设计意图：让学生自己寻找图形中有关系的角，一方面锻炼学生的观察力和归纳能力，同时让学生自己发现规律.设计意图：使学生认识题型，记忆提醒，学会举一反三，遇到类似典题可以简便计算.三、当堂练习，巩固所学练习 1.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD，BE相交于点F，∠A与∠BFC又有什么关系?为什么?师生活动：教师引导学生，分析解题思路，再交给学生独立完成习题.方法总结通过前面的例题，你能画出这些题型的基本图形吗?(1)(2)师生活动：学生独立思考，教师总结.总结：(1)∠A + ∠B＝∠C + ∠D→∠A＝∠D.(2)∠A + ∠B＝∠C + ∠D→∠A＝∠C知识点二：直角三角形的判定探究二有两个角互余的三角形是直角三角形吗?问题1 如图，在△ABC中，∠A +∠B＝90°，那么△ABC是直角三角形吗?师生活动：教师给出分析(利用三角形内角和及其推论、平角的定义等将这些角整体计算)，学生独立思考得出答案.三、当堂练习，巩固所学1.(黄石期中)具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( )A. ∠A + ∠B = ∠CB. ∠A = ∠B = ∠CC. ∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3D. ∠A = 2∠B = 3∠C设计意图：由浅入深，强化训练，锻炼学生的解题能力，并总结出这一类题型的解题思路.设计意图：通过习题，让学生自主探索得出结论.总结：直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.设计意图：考查学生对直角三角形判定定理的掌握.BACOA BCD2.如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB = 90°，CD⊥AB，则与∠1互余的角有( )A. ∠BB. ∠AC. ∠BCD和∠AD. ∠BCD3.如图，在△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D、E，∠AFD＝158°，求∠EDF的度数.设计意图：考查学生对直角三角形的性质的掌握.设计意图：考查学生对直角三角形的性质和直角三角形判定定理的掌握.板书设计直角三角形的性质和判定直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.几何语言：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴∠A +∠B＝90°．课后小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图。
直角三角形的性质与判定教案
直角三角形的性质与判定教案直角三角形是指其中一个内角为90°的三角形。
在本教案中，我们将学习直角三角形的性质与判定方法。
通过本教案，我们将了解到直角三角形的特点以及如何利用这些特点进行判定。
一、直角三角形的性质1. 边长关系：在直角三角形中，直角边是相对于直角的两条边。
我们可以使用勾股定理来描述直角三角形的边长关系。
根据勾股定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
即，设直角三角形的直角边分别为a和b，斜边为c，那么有a² + b²= c²。
2. 角度关系：在直角三角形中，直角为90°，而其余两个角的和为90°。
即，设直角三角形的一个角为α，另一个角为β，那么有α + β = 90°。
二、直角三角形的判定方法根据直角三角形的性质，我们可以通过以下方法来判定一个三角形是否为直角三角形：1. 根据边长关系判定：若一个三角形的三条边满足勾股定理中的等式关系，即a² + b² = c²或c² = a² + b²，则该三角形是直角三角形。
例如，若一个三角形的边长为3、4、5，则满足3² + 4² = 5²，因此该三角形是直角三角形。
2. 根据角度关系判定：若一个三角形的一个角为90°，则该三角形是直角三角形。
例如，若一个三角形的一个角为90°，另一个角度为45°，则这个三角形是直角三角形，因为90° + 45° = 135°。
3. 综合判定：在某些情况下，我们可以综合使用边长关系和角度关系来判定直角三角形。
例如，若一个三角形的两条边长为5和12，并且夹角为90°，则这个三角形是直角三角形。
因为5² + 12² = 13²，同时夹角为90°。
1.2直角三角形的性质和判定(Ⅱ)
《勾股定理》预学案设计： 审核：八年级数学备课组 班 组 姓名： 完成时间： 分钟 效果自评： 学习目标：（1）经历勾股定理的探究过程．了解关于勾股定理的文化历史背景，通过对我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感．（2）能用勾股定理解决一些简单问题．自主探究：（20~30分钟）通过自学教材P9~11面的内容，可结合课外学习资料，完成以下探究内容：探究一：勾股定理●定理内容：直角三角形两直角a ,b 的平方和，等于 。
●几何符号语言表述：做一做，感受课题1、作一个直角三角形，使它的两条直角边长分别 作图区：为3厘米和4厘米，如图，并量出它的斜边的长度。
（学生动手画，并交流）2、分别以所画的直角三角形三边为边在三角形的外部 作图区：作正方形，那么这个正方形的面积有什么关系呢？（学生讨论，同伴交流结果）。
3、是否所有的直角三角形都有这个性质呢？即任意Rt △ABC ，∠C=90°，BC=a,AC=b,AB=c ，有222c b a =+是否成立？●反思：这个定理成立的条件是什么？ 公式中字母的位置有可能发生变化吗？探究二：勾股定理的基本应用例1（思考题）一棵树在一次强烈的地震中断裂，树顶落在离树根16m 处，研究人员要查看断痕，需要从树底开始爬12米至断痕外，你能算出这棵古树的高度吗？例2，李大妈开垦了一块荒地，（如图所示）AC为30米，AB=40米，BD为120米，她想在荒地上种植花草，请你帮她算一下她能种植多大面积的花草？分析：整个图形由两个直角三角形组成的，其中Rt△ABC已知两直角边，面积易求。
Rt△CBD只需求得BC长即可求面积，在Rt△ABC中，利用勾股定理便可求得BC。
自学反思（你的困惑、疑难、发现或收获）。
北师大版八年级下册数学《1.2 第1课时 直角三角形的性质与判定》教案
北师大版八年级下册数学《1.2 第1课时直角三角形的性质与判定》教案一. 教材分析北师大版八年级下册数学第1.2节《直角三角形的性质与判定》是初中的重要知识点。
本节课主要让学生掌握直角三角形的性质和判定方法，为后续学习几何知识打下基础。
教材通过引入直角三角形的性质和判定，引导学生探究和发现数学规律，培养学生的逻辑思维能力。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了三角形的性质和判定，对三角形的基本概念有了一定的了解。
但直角三角形的性质和判定较为抽象，需要学生在原有知识的基础上，进一步理解和掌握。
此外，学生需要具备一定的观察、分析和推理能力，才能更好地学习本节课的内容。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握直角三角形的性质和判定方法。
2.过程与方法：培养学生观察、分析、推理的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。
四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质和判定方法。
2.教学难点：直角三角形的判定方法的灵活运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入直角三角形的性质和判定，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生观察、分析、推理，培养学生的逻辑思维能力。
3.小组讨论法：分组讨论，培养学生的团队协作精神。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和图片，用于导入和呈现。
2.准备直角三角形的相关题目，用于操练和巩固。
3.准备PPT，用于展示和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入直角三角形的性质和判定，引导学生关注数学与实际生活的联系。
2.呈现（10分钟）展示直角三角形的性质和判定方法，让学生初步了解本节课的学习内容。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，分析直角三角形的性质和判定，引导学生运用所学知识解决问题。
4.巩固（10分钟）出示相关题目，让学生独立解答，巩固对直角三角形性质和判定的理解。
5.拓展（10分钟）引导学生运用直角三角形的性质和判定解决实际问题，提高学生的应用能力。
直角三角形的性质和判定(Ⅱ)优质课教案
直角三角形的性质和判定（Ⅱ）【课时安排】2课时【第一课时】【教学目标】一、知识与技能使学生掌握勾股定理，培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
二、过程与方法了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
三、情感、态度与价值观介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
【教学重难点】1．重点：勾股定理的内容及证明。
2．难点：勾股定理的证明。
【教学过程】一、新课引入已知树高6米，在树梢上有一猫头鹰，猫头鹰从树梢斜飞落地抓老鼠，落点与树根相距8米，那么猫头鹰至少飞过多少米？二、探究定理（一）画一画：让学生动手画一个直角边长为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5．（二）做一做1．如图，以这个直角三角形的三边为边作三个正方形，探究这三个正方形的面积之间有什么关系。
正方形P Q R面积91625思考：（1）这三个正方形的面积分别为多少？你是怎么求的？（2）这三个正方形的面积之间满足一个什么等式？（3）正方形的面积等于边长的平方，那么它们的面积用边长代入得到一个什么等式？（4）我们前面说过：在直角三角形中，我们把较短的直角边叫勾，较长的直角边叫股，斜边叫弦，那么勾股弦之间满足一个什么等式？2．再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。
这个三角形的三边也满足勾2+股2=弦2吗？（三）议一议对于任意的直角三角形也有这个性质吗？（四）猜一猜直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
即在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c，有a2＋b2=c2过渡语：猜想的结论是否正确须经过严格论证。
八年级数学下册 第1章 直角三角形 1.2 直角三角形的性质和判定(第2课时)教案 (新版)湘教版
直角三角形的性质和判定教学目标1．知识与技能：掌握勾股定理；学会利用勾股定理进行计算、证明与作图，了解有关勾股定理的历史，在定理的证明中培养学生的拼图能力2. 过程与方法：通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；3.情感态度与价值观：通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育重点难点1、重点：勾股定理及其应用2、难点：：通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育教学策略观察、比较、合作、交流、探索教学活动课前、课中反思1、新课背景知识复习（1）三角形的三边关系（2）问题：直角三角形的三边关系，除了满足一般关系外，还有另外的特殊关系吗？2、定理的获得让学生用文字语言将上述问题表述出来．勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方强调说明：（1）勾――最短的边、股――较长的直角边、弦――斜边（2）学生根据上述学习，提出自己的问题（待定）3、定理的证明方法方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形.方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图2所示的正方形, 通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形以上证明方法都由学生先分组讨论获得，教师只做指导.最后总结说明1、定理的应用例题1、已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝900，AB＝5cm，BC ＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5，BC＝3，由勾股定理有∴又∠2＝∠C∴CD的长是2.4cm例题2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝900，D是BC上任一点，求证：BD2+CD2=2AD2证法一：过点A作AE⊥BC于E则在Rt△ADE中，DE2+AE2=AD2又∵AB＝AC，∠BAC＝900∵BD2+CD2=(BE-DE)2+(CE+DE)2=BE2+CE2+2DE2=2AE2+2DE2=2AD2∴即BD2+CD2=2AD2证法二：过点D作DE⊥AB于E， DF⊥AC于F 则DE∥AC，DF∥AB又∵AB＝AC，∠BAC＝900∴EB＝ED，FD＝FC＝AE在Rt△EB D和Rt△FDC中BD2=BE2+DE2 ,CD2=FD2+FC2在Rt△AED中，DE2+AE2=AD2∴BD2+CD2=2AD25、课堂小结：（1）勾股定理的内容（2）勾股定理的作用已知直角三角形的两边求第三边已知直角三角形的一边，求另两边的关系6、作业布置课后反思。
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1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ）
主备 审核
班级____________姓名___________
学习目标
1 会推导勾股定理的逆定理；
2 会用勾股定理的逆定理判断三角形是否是直角三角形。
学习重点：勾股定理的逆定理推导和应用 学习难点：勾股定理的逆定理应用 学习过程 一 温固知新 1、什么叫勾股定理？
2、怎样判断一个三角形是直角三角形？
3、 一次一队建筑工人上班时只带了一根皮尺，忘记带直角工具了，但是需要需要作一个直角，怎么办呢？有人提出这样作：
在皮尺的3米处，7米处12米处打好结，并用木桩固定然后围成一个三角形，就可以得到一个直角了，你认为它这个方法对吗？
二 合作交流（自主学习）
1 、已知：△ABC 中，AB=c ，BC=a,AC=b ，且222c a b =+， 求证：∠C=90°
分析：直接证明很困难，但可以作一个直角三角形使它的两条直角边分别等于a,b,如果作出的这个直角三角形的斜边等于C ，那么这个三角形就与已知三角形全等，已知三角形也就是直角三角形了。
交流讨论：作出的三角形斜边是否等于c?
归纳：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、尝试应用
1已知△ABC 的三边是下列各值，那么它们是直角三角形吗？ （1） a=8,b=15,c=17 , (2) a =10,b=24,c=25 ， （3）a=10,b=6,c=8 （4）7911
,,222
a b c ===
C
A c
b 3米
米
12米b '
B A '
已知三边判断三角形是不是直角三角形的方法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 四、 应用提高
1 、如图，在△ABC 中，已知AB=5,CD=15,AC=17,你能求出DB 的长吗？
2 、 某地有A 、B 、C 三个村庄，建立了直角坐标系后，它们的坐标分别为：A(1,0),B(4,0)C(1,4),现在要建立一所希望小学，要求学校到三村的距离相等，你能在图中根据这一要求确立学校的地址吗？
3、如图，AD ⊥CD ， ＡＢ＝１３，ＢＣ＝１２，ＣＤ＝４，ＡＤ＝３， 若∠C ＡＢ＝５５°，求∠B 的大小．
4、如图，四边形ＡＢＣD 中，ＡＢ＝ＢＣ＝２， C D ＝３， ＤＡ＝１， 且∠B ＝９０°，求∠D ＡＢ的度数．
D
C
B
A
y
x
C B
A。