(课件)29[1].1几何问题的处理方法
合集下载
几何应用问题的处理方法
（ 如图 ５ ①所示 ） 由于金 星和地球 的运转 速度 不同 ， 以两者 的 ， 所 位置不断发生变化 ， 当金星 、 地球距离最近时 ， 此时 叫“ 下合 ” 当 ； 金星 、 地球距离最远时 ， 此时 叫“ 上合 ”在地 球上观察金星 的视 ； Ｄ Ｃ Ａ 线恰好与金星轨道相切时 ， 此时分别叫“ 大距 ” 西大距 ”已 东 和“ ．
点 拨 ： 用 比例 尺 计 算 时 应 注 意设 未 知数 ， 知 数 的 单 位要 应 未
与 题 中 已知 的 长 度 单 位 统 一．
Ｃ． ｍ ６ｃ
Ｄ． ｍ ８ｃ
分析 ： 从图 ４中的数据 和符号可知 ， 易拉罐进入圆水杯中的
部分是一 个等腰直角三角形 ， Ｐ到水 杯 Ｉ的水平面 的距 离等 点 ＝ Ｉ
表示 ） ．
例 ４ ２０ ０ ５年 １ ， ０月 继杨利伟之后 ， 航天员费俊龙 、 聂海胜 又遨游 了太空 ， 这大大激发了王红庭同学爱好天文学 的热情． 他 通过上 网查阅资料了解 到 ，金星和地球 的运行轨道可以近似地
看 做 是 以 太 阳 为 圆 心 的 同心 圆 ，且 这 两 个 同 心 圆 在 同一 平 面上
知 地 球 与 太 阳相 距 约 为 １（ 万 公 里 ）金 星 与太 阳相 距 约 为 １ ５千 ， Ｏ
解 ：如 果是在 晴朗的 白天测
量， 可借鉴一面小镜子测量．
（） １ 测量图案如图 ２所示．
（） ２测量步骤 ： 量 出 Ｃ ＝ ， ① Ａ口
图２
在 Ｇ处放一个小镜子 ； ②沿 Ａ Ｃ向后退 ， 直至能在小镜 中看到树
例 １ 为保 护环境 ， 市政府 计划在连接 Ａ、 Ｂ两居 民区 的公 路北侧 １０ ｍ的海边修建一座污水处 理厂 ， ５０ 设计 时要 求该污水
新教材高中数学第二章平面解析几何1坐标法课件新人教B版选择性必修第一册
如果点对应的①___________为(,
有序实数
)（即的坐标为(, 1 )，记作
(1 , 1 )，其中1 为的横坐标，1 为的纵坐标），且(2 , 2 )，则向量
(2 − 1 , 2 − 1 )
=②__________________，从而可以得到平面直角坐标系内两点之间的
ห้องสมุดไป่ตู้. 已知(, 6)，(−2, )，(2,3)，若点平分线段，则 + 等于
(
)A
A. 6
B. 1
C. 2
D. -2
2. 已知(1,2)，(, 6)，且|| = 5，则的值为( )
D
A. 4
D. -2或4
B. -4或2
C. -2
3. 已知△ 的顶点(2,3)，(−1,0)，(2,0)，则△ 的周长是(
2. 已知点(−3,4), (2, 3)，在轴上找一点，使|| = ||，求||的值.
[答案] 设点(, 0)，则有|| =
|| =
(−3 − )2 + (4 − 0)2 = 2 + 6 + 25，
(2 − )2 + ( 3 − 0)2 = 2 − 4 + 7.
C. 以点为直角顶点的直角三角形
D. 以点为直角顶点的直角三角形
D. 10
)C
6. 光线从点(−3,5)射到轴上，经x轴反射后经过点(2,10)，则光线从到
的距离为( )
C
A. 5 2
B. 2 5
C. 5 10
D. 10 5
[解析] 点(−3,5)关于x轴的对称点为′ (−3, −5)，则光线从到的距离即
|| =
[5 − (−1)]2 + [3 − (−1)]2 = 62 + 42 = 52 = 2 13，
有序实数
)（即的坐标为(, 1 )，记作
(1 , 1 )，其中1 为的横坐标，1 为的纵坐标），且(2 , 2 )，则向量
(2 − 1 , 2 − 1 )
=②__________________，从而可以得到平面直角坐标系内两点之间的
ห้องสมุดไป่ตู้. 已知(, 6)，(−2, )，(2,3)，若点平分线段，则 + 等于
(
)A
A. 6
B. 1
C. 2
D. -2
2. 已知(1,2)，(, 6)，且|| = 5，则的值为( )
D
A. 4
D. -2或4
B. -4或2
C. -2
3. 已知△ 的顶点(2,3)，(−1,0)，(2,0)，则△ 的周长是(
2. 已知点(−3,4), (2, 3)，在轴上找一点，使|| = ||，求||的值.
[答案] 设点(, 0)，则有|| =
|| =
(−3 − )2 + (4 − 0)2 = 2 + 6 + 25，
(2 − )2 + ( 3 − 0)2 = 2 − 4 + 7.
C. 以点为直角顶点的直角三角形
D. 以点为直角顶点的直角三角形
D. 10
)C
6. 光线从点(−3,5)射到轴上，经x轴反射后经过点(2,10)，则光线从到
的距离为( )
C
A. 5 2
B. 2 5
C. 5 10
D. 10 5
[解析] 点(−3,5)关于x轴的对称点为′ (−3, −5)，则光线从到的距离即
|| =
[5 − (−1)]2 + [3 − (−1)]2 = 62 + 42 = 52 = 2 13，
高中数学湘教版选择性必修第一册课件：用坐标方法解决几何问题
设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c),由两点间
距离公式得|AB|2=(b-0)2+(0-0)2=b2,
|AC|2=(0-0)2+(0-c)2=c2,
|BC|2=(b-0)2+(0-c)2=b2+c2,
所以|AB|2+|AC|2=|BC|2.
探究点二 构造圆的方程解题
【例2】 如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由一段圆弧和一个长方
角坐标系,证明:|AM|=
1
|BC|.
2
分析 根据题目所给几何图形的特征,建立平面直角坐标系,利用两点间的
距离公式证明.
证明 以Rt△ABC的直角边AB,AC所在直线为坐标轴建立如图所示的平面
直角坐标系.
设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c).
因为点M是BC的中点,
所以点 M 的坐标为
0+ +0
是(
)
A.x2+y2=4
B.x2-y2=4
C.x2+y2=4(x≠±2)
D.x2-y2=4(x≠±2)
答案 C
解析 设P(x,y).
由题可得|PM|2+|PN|2=|MN|2,
2
即( ( + 2) +
2 )2+(
2
(-2) + 2 )2=16,
整理得x2+y2=4.
因为M,N,P三点构成三角形,则x≠±2.所以直角顶点P的轨迹方程是
第2章
2.7 用坐标方法解决几何问题
内
容
索
引
01
重难探究•能力素养全提升
02
学以致用•随堂检测全达标
空间几何体切接球问题的处理方法
所 以 Ｖ球： ４ 竹Ｒ ３ ＿ ０ ＿
ｊ ｊ
例 ３ 求棱长为 ａ 的正 四面体 （ 侧棱长等于底 面边 长的正
三棱锥 ） 的内切球与外接球 的体积之 比． 解： 由正 四面体得对称性 可知 ， 内切球 心与外接球 心是 同
一
个点 ， 过侧棱及球心作轴截 面如右图示 ， 设 内切球半径为 ｒ ，
解 ：因 为 Ｐ Ａ 上面 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ， 所 以 面 Ｐ Ａ Ｄ上面 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ交 于 Ａ Ｄ， 而Ａ Ｄ Ｊ ＿ Ｃ Ｄ， 则 Ｐ
锥 中， 出现三条侧棱两两垂直 ， 以这三条侧棱 为边可构造一个 长方体 ， 如图示 ， 此 三棱锥 的外接球与长方体 的外 接球 是 同一 个球 ， 因而 ２ Ｒ ： Ｘ ／ — Ａ Ｂ ２ ＋ Ａ Ｃ — ２ ＋ Ａ Ｄ ２ 一 ＝ 、 ／ 即 Ｖ球＝ 、 ／ 竹．
Ｃ
２ Ｒ ： ｃ Ｄ ： ２ 、 ／ 丁， 所以 Ｖ球： ４ Ｘ ／ ３ － 盯．
球 心， ２ Ｒ ＝ Ｐ Ｃ ＝ ａ ， 则Ｒ ＝ 争， 所 以 Ｖ 球 ＝ ４ １ ｒ Ｒ ＝ 詈ａ ３ ．
二、 作截 面
蜘 Ｂ ∞ ～ ， 咖
Ａ Ｂ
例 ６ 已知 三 棱 锥 Ｐ — Ａ Ｂ Ｃ ， Ｐ Ａ ＝ Ｂ Ｃ ＝ ２ ｖ３ ４， Ｐ Ｂ ＝ Ａ Ｃ ＝ １ ０ ， Ｐ Ｃ ＝ Ａ Ｂ ＝ ２ 、 求该三棱锥 的体积及外接球 的体积．
例 ５ 已知球 Ｏ的面上有 四点 ， Ａ、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ， Ｄ Ａ上面 Ａ Ｂ Ｃ，
Ｃ Ｄ上面 Ｐ Ａ Ｄ， Ｃ Ｄ上Ｐ Ｄ ．同理 Ｃ Ｂ上Ｐ Ｂ ， 取
Ｐ ｃ中点 为 ０ ， 在 直角 三 角形 Ｐ Ａ Ｃ ， 直角
三角形 Ｐ Ｂ Ｃ ，直角三 角形 Ｐ Ｄ Ｃ， 有 Ａ Ｏ Ｐ ＝ Ｏ Ｃ ＝ Ｏ Ｂ ＝ Ｏ Ｄ ＝ Ｏ Ａ， 即 Ｏ点为外接球的 Ｂ
ｊ ｊ
例 ３ 求棱长为 ａ 的正 四面体 （ 侧棱长等于底 面边 长的正
三棱锥 ） 的内切球与外接球 的体积之 比． 解： 由正 四面体得对称性 可知 ， 内切球 心与外接球 心是 同
一
个点 ， 过侧棱及球心作轴截 面如右图示 ， 设 内切球半径为 ｒ ，
解 ：因 为 Ｐ Ａ 上面 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ， 所 以 面 Ｐ Ａ Ｄ上面 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ交 于 Ａ Ｄ， 而Ａ Ｄ Ｊ ＿ Ｃ Ｄ， 则 Ｐ
锥 中， 出现三条侧棱两两垂直 ， 以这三条侧棱 为边可构造一个 长方体 ， 如图示 ， 此 三棱锥 的外接球与长方体 的外 接球 是 同一 个球 ， 因而 ２ Ｒ ： Ｘ ／ — Ａ Ｂ ２ ＋ Ａ Ｃ — ２ ＋ Ａ Ｄ ２ 一 ＝ 、 ／ 即 Ｖ球＝ 、 ／ 竹．
Ｃ
２ Ｒ ： ｃ Ｄ ： ２ 、 ／ 丁， 所以 Ｖ球： ４ Ｘ ／ ３ － 盯．
球 心， ２ Ｒ ＝ Ｐ Ｃ ＝ ａ ， 则Ｒ ＝ 争， 所 以 Ｖ 球 ＝ ４ １ ｒ Ｒ ＝ 詈ａ ３ ．
二、 作截 面
蜘 Ｂ ∞ ～ ， 咖
Ａ Ｂ
例 ６ 已知 三 棱 锥 Ｐ — Ａ Ｂ Ｃ ， Ｐ Ａ ＝ Ｂ Ｃ ＝ ２ ｖ３ ４， Ｐ Ｂ ＝ Ａ Ｃ ＝ １ ０ ， Ｐ Ｃ ＝ Ａ Ｂ ＝ ２ 、 求该三棱锥 的体积及外接球 的体积．
例 ５ 已知球 Ｏ的面上有 四点 ， Ａ、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ， Ｄ Ａ上面 Ａ Ｂ Ｃ，
Ｃ Ｄ上面 Ｐ Ａ Ｄ， Ｃ Ｄ上Ｐ Ｄ ．同理 Ｃ Ｂ上Ｐ Ｂ ， 取
Ｐ ｃ中点 为 ０ ， 在 直角 三 角形 Ｐ Ａ Ｃ ， 直角
三角形 Ｐ Ｂ Ｃ ，直角三 角形 Ｐ Ｄ Ｃ， 有 Ａ Ｏ Ｐ ＝ Ｏ Ｃ ＝ Ｏ Ｂ ＝ Ｏ Ｄ ＝ Ｏ Ａ， 即 Ｏ点为外接球的 Ｂ
5.3.1.几何问题+++课件2024—-2025学年北师大版数学七年级上册
堂
小 设养鸡场的长为x m,则宽为(x-5)m,
结 与
由题意,得x+2(x-5)=35,
检 解这个方程,得x=15.
测
因为15>14,所以他设计的长边不符合实际情况.
谢 谢 观 看！
D.5π×(42)2·x=π×52×7
课 2.如图5-3-1,一个长方形养鸡场的一条长边靠墙,墙长14 m,
堂
小 其他三边用竹篱笆围成,现有长35 m的竹篱笆,小林的设计
结
与 方案是长比宽多5 m,你认为他设计的长边是否符合实际情
检 测
况?通过计算说明理由.
图5-3-1
课 解:他设计的长边不符合实际情况,理由如下:
用 宽各为多少米?
解:设此时长方形的宽为x m,则它的长为(x+1.4)m.
根据题意,得2(x+1.4)+2x=10.
解这个方程,得x=1.8.1.8+1.4=3.2.
此时长方形的长为3.2 m,宽为1.8 m.
探 究
(2)如果该长方形的长比宽多0.8 m,那么此时长方形的长、
与 宽各为多少米?此时的长方形与(1)中的长方形相比,面积有
正方形的边长为2.5 m,正方形的面积为2.5×2.5=6.25(m2),
正方形的面积比(2)中长方形的面积增大6.25-6.09=0.16(m2).
探 善 归纳 究 (1)等周长变形指的是形状变化,周长不变,等量关系是变化前
与
应 的周长=变化后的周长. 用 (2)周长一定的长方形,长和宽的差值越小,长方形的面积越大;
12
π(62.6)2×12
新包装
6 2
x
π(62)2×x
探 究
小 设养鸡场的长为x m,则宽为(x-5)m,
结 与
由题意,得x+2(x-5)=35,
检 解这个方程,得x=15.
测
因为15>14,所以他设计的长边不符合实际情况.
谢 谢 观 看！
D.5π×(42)2·x=π×52×7
课 2.如图5-3-1,一个长方形养鸡场的一条长边靠墙,墙长14 m,
堂
小 其他三边用竹篱笆围成,现有长35 m的竹篱笆,小林的设计
结
与 方案是长比宽多5 m,你认为他设计的长边是否符合实际情
检 测
况?通过计算说明理由.
图5-3-1
课 解:他设计的长边不符合实际情况,理由如下:
用 宽各为多少米?
解:设此时长方形的宽为x m,则它的长为(x+1.4)m.
根据题意,得2(x+1.4)+2x=10.
解这个方程,得x=1.8.1.8+1.4=3.2.
此时长方形的长为3.2 m,宽为1.8 m.
探 究
(2)如果该长方形的长比宽多0.8 m,那么此时长方形的长、
与 宽各为多少米?此时的长方形与(1)中的长方形相比,面积有
正方形的边长为2.5 m,正方形的面积为2.5×2.5=6.25(m2),
正方形的面积比(2)中长方形的面积增大6.25-6.09=0.16(m2).
探 善 归纳 究 (1)等周长变形指的是形状变化,周长不变,等量关系是变化前
与
应 的周长=变化后的周长. 用 (2)周长一定的长方形,长和宽的差值越小,长方形的面积越大;
12
π(62.6)2×12
新包装
6 2
x
π(62)2×x
探 究
平面几何中的向量方法PPT演示文稿(1)
又因为 ER与EB
共线，
D E R F T B C
1 所以设ER mEB m(a b ) 2
因为 AR AE ER
1 1 所以 r b m (a b ) A 2 2
1 1 因此n(a b ) b m(a b ) 2 2
D E A R
F T
C
即( n m )a ( n
你能总结一下利用向量法解决平面几何问题 的基本思路吗？
用向量方法解决平面几何问题的 “三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关 系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
例2 如图， ABCD中，点E、F分别 是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别 与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
D F T C
猜想： AR=RT=TC
A
E
R
B
AB a , AD b , AR r , 解：设
AC 则 ab
由于 AR 与AC 共线，故设r n(a b ), n R
平面几何中的向量方法
向量概念和运算，都有明确的物理背 景和几何背景。当向量与平面坐标系结合 以后，向量的运算就可以完全转化为“代 数”的计算，这就为我们解决物理问题和 几何研究带来极大的方便。 由于向量的线性运算和数量积运算具 有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质， 如平移、全等、相似、长度、夹角都可以 由向量的线性运算及数量积表示出来，因 此，利用向量方法可以解决平面几何中的 一些问题。
2024-2025学年高中数学选择性必修第一册(湘教版)配套课件第2章-2.7用坐标方法解决几何问题
第二步：进行有关的代数运算；
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
高中数学
选择性必修第一册
湖南教育版
即时训练
在△ 中，是边上任意一点（与，不重合），且 2 ＝
求证：△ 为等腰三角形.
设（0，），（, 0），（，0），（，0）.
证明两边相等.
第2章
2.7
用坐标方法解决
湖南教育版
学习目标
1.理解坐标法的概念.
2.通过对曲线形状和轨迹方程的探索,进一步体会坐标法在解决几何问题中的优越性.
核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理
高中数学
选择性必修第一册
湖南教育版
新知学习
坐标法
平面解析几何的基本思想方法就是在平面直角坐标系中，把点用坐标表示，将直线与圆等曲线用方程表示，
||＝|2 − 1|
(2, 2)
x
高中数学
选择性必修第一册
湖南教育版
思考：你能利用(1, 1)， (2, 2)构造直角三角形，再用勾股定理推导两点间的距离公式吗？
与向量法比较，你有什么体会？
y
(3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2
(1, 1)
(2, 1)
| |＝ |2 − 1 |
| |＝ | 2 − 1 |
| |＝
2 − 1
2
+ 2 − 1
2
(2, 2)
x
高中数学
例
选择性必修第一册
湖南教育版
证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
证明：如图,以顶点为坐标原点，边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则有(0,0).
设(, 0), (, ),由平行四边形的性质，得( + , ).
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
高中数学
选择性必修第一册
湖南教育版
即时训练
在△ 中，是边上任意一点（与，不重合），且 2 ＝
求证：△ 为等腰三角形.
设（0，），（, 0），（，0），（，0）.
证明两边相等.
第2章
2.7
用坐标方法解决
湖南教育版
学习目标
1.理解坐标法的概念.
2.通过对曲线形状和轨迹方程的探索,进一步体会坐标法在解决几何问题中的优越性.
核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理
高中数学
选择性必修第一册
湖南教育版
新知学习
坐标法
平面解析几何的基本思想方法就是在平面直角坐标系中，把点用坐标表示，将直线与圆等曲线用方程表示，
||＝|2 − 1|
(2, 2)
x
高中数学
选择性必修第一册
湖南教育版
思考：你能利用(1, 1)， (2, 2)构造直角三角形，再用勾股定理推导两点间的距离公式吗？
与向量法比较，你有什么体会？
y
(3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2
(1, 1)
(2, 1)
| |＝ |2 − 1 |
| |＝ | 2 − 1 |
| |＝
2 − 1
2
+ 2 − 1
2
(2, 2)
x
高中数学
例
选择性必修第一册
湖南教育版
证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
证明：如图,以顶点为坐标原点，边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则有(0,0).
设(, 0), (, ),由平行四边形的性质，得( + , ).
初三下册数学知识点：几何问题的处理方法知识点
初三下册数学知识点：几何问题的处理方法知识点学习可以这样来看，它是一个潜移默化、厚积薄发的进程。
查字典数学网编辑了几何效果的处置方法知识点，希望对您有所协助!一、情境导入请同窗们按以下步骤画△ABC.1.恣意画线段BC;2.以B、CB=∠C，角的两边交于点A. 这个△ABC是一个什么三角形?怎样知道△ABCAD对折的方法，失掉AB=AC，这实践上就是我ABC沿AD对折时，AB与AC二、探求归结1.求证：假设一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.：如图，在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC.剖析要证明AB=AC，可设法结构两个全等三角形，使AB，AC区分是这两个全等三角形的对应边，因此可画∠BAC的平分线AD.等腰三角形的判定定理：假设一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.(简写成〝等角对等边〞说明(1)还可经过画中线AD或BC边上的高AD得全等三角形.(2)推理方式：由于在△ABC中，∠B=∠C.()所以AB=AC.(等角对等边)2(2)等腰三角形的〝三线：△AC.求证：∠B=∠C.剖析仍可经过画∠BAC的平分线AD来结构全等三角形.等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等.(简称为〝等边对等角〞 )推理方式：由于△ABC中，AB=AC.()所以∠B=∠C.(等边对等角)说明(1)也可作中线AD或BC边上的高线AD;(2)由△BAD≌△CAD，可进一步推得BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，因此AD也是中线，是BC边上的高线. 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合.(简写成〝等腰三角形的三线合一〞 ) 在半透明纸上画∠AOB及角平分线OC，点P是OC上恣意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足区分为点D和点E.沿着射线OC对折，发现PD 和PE完全重合，即PD=PE，由此，我们失掉了角平分线的性质.请同窗们来表达这一性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等.我们如今可以用逻辑推理的方法去证明这一性质.1.同窗们按上述性质画出图形，写出、求证，教员及时补充.：OC是∠AOB平分线，点P是OC上恣意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，点D求证：PD=PE.剖析只需去证明PD、PE 角平分线性质定理：2. ：如图，QDD、E为垂足，QD=QE.求证：点Q在∠AOB的平分线上.剖析要证点Q在∠AOB的平分线上，即QO是∠AOB的平分线，画射线OQ，只需证∠AOQ=∠BOQ，应用H.L.证明△DOQ≌△EOQ，得∠AOQ=∠BOQ.角平分线判定定理：到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上.前面我们曾经用逻辑推理的方法证明了很多定理，如等腰三角形的性质与判定定理、角平分线的性质与判定定理、线段的垂直平分线的性质与判定定理等，这些定理都是命题.再如：〝两直线平行，内错角相等〞;〝内错角相等，两直线平行〞也是命题.观察这些命题的题设与结论，你发现了什么?1.命题〝两直线平行，内错角相等〞的题设是_______，结论是_______;命题〝内错角相等，两直线平行〞的题设是_______，结论是_______.在两个命题中，假设第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.假设把其中一个命题叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题.所为逆命题，反之也可以.2.是真命题，但它的逆命题〝相等的角是对顶角〞是一个假命题.几何效果的处置方法知识点就到这儿了，体会每篇文章的不同，摘取自己想要的，友谊提示，了解最重要哦!!!。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如图. ∠1是△ABC的一个外角, ∠1与图 中的其它角有什么关系? A 能证明你的结论吗?
2
∠1+∠4=1800 ;∠1>∠2;∠1>∠3; 3 4 1 B C ∠1=∠2+∠3. 证明:∵∠2+∠3+∠4=1800(三角形内角和定理),
∠1+∠4=1800(平角的意义), ∴∠1= ∠2+∠3.(等量代换). ∴ ∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分).
c
小兔：两直线平行，同位角相等。 小熊：两直线平行，内错角相等。
1 2 4 3 b
证明： ∵ a // b
a
(已知)
∴ ∠1= ∠3
（两直线平行，同位角相等）
又∵ ∠1= ∠2 （对顶角相等） ∴ ∠2= ∠3 （等量代换）
平行线的性质
E A C
3 4
2 1
B D
如图AB//CD, 内错角∠２ 与∠３ 大小有什么关系？
逻辑推理的方法是研究数学的一个 重要的基本方法.
• 逻辑推理需要依据,我们试图用最少的几条基本 事实作为逻辑推理的,最原始的依据,因此在第 19章中,给出了如下的公理: (1)一条直线截两条平行直线所得的同位角相等. (2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相 等，那么这两条直线平行。 (3)如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其 夹边，或三边）分别对应相等，那么这两个三角 形全等。 (4)全等腰三角形的对应边、对应角分别相等。
做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人 的等腰三角形可以不一样，如图，把纸片 对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为 AD.你能发现什么现象吗？
A
A
B
D
C
B
D
C
想一想：
可以发现折叠的两个部分是互相重合的，所以 等腰三角形是一个轴对称图形，折痕AD的在的直线 就是它的对称轴。 由于AB与AC重合，因此点B与点C重合，这样 线段BD与CD也重合。所以∠B＝ ∠C。 等腰三角形两个底角相等，简写成“等边对等角” 这种合情推理的方法是研究几何图形属性的 一种基本方法。同时也学习了用逻辑推理的方法 去探索一些几何图形所具有的属性。
A 2
4 1 C
D
• 有了“三角形的三个内角和等 于180°”这条定理后，你能证 明直角三角形的两个锐角之间 所具有的数量关系吗？
例2 已知:如图,在△ABC中,AD平分外角 ∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.
证明:∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角的和), ∠B=∠C (已知), E 1 ∴∠C= ∠EAC(等式性质). 2 A D ∵ AD平分 ∠EAC(已知). 1 ∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义). 2
回忆1
你还记得吗？
等式、不等式的有关性质以及选等 量代换也是推理的依据。也将“经过两 点有且只有一条直线”以及“经过直线 外一点有且只有一条直线与已知直线平 行”（平行公理）作为添加辅助线的依 据。 有了上述推理依据。我们就能用逻辑推理 的方法证明本教材中出现地的所有的几何图 形的属性。
平行线的性质
∴∠1=∠2，(等量代换) ∴a∥b (同位角相等,两直线平行)
c
2 3
a
b
1
平行线的判定方法2：
两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.
内错角相等，两直线平行。
想一想:
仿照上例,如果∠1+∠4=180°,那么a∥b吗?
（已知） 解： ∵∠1+∠4=180°
c
2
4
（平角的定义） 又∵∠2+∠4=180°
分析:设法利用外角把这五个角“凑” 到一个三角形中,运用三角形内角和定 理来求解. B H A
2 1F
E
解:∵∠1是△BDF的一个外角(外角的意义), ∴ ∠1=∠B+∠D(三角形的一个外 C D 角等于和它不相邻的两个内角的和). 又∵ ∠2是△EHC的一个外角(外角的意义), ∴ ∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和). 又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理). ∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =180°(等式性质).
E
A
· ·
D
1 ∴∠DAE= ∠EAC(角平分线的定义). 2 ∴∠DAE=∠B(等量代换). B
∴ a∥b(同位角相等,两直线平行).
C
例2 已知:如图,在△ABC中,AD平分外角 ∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.
证明:由证法1可得:
E
∠DAC=∠C (已证), ∵ ∠BAC+∠B+∠C =1800 (三角形内角和定理). ∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =1800 (等量代换). ∴ a∥b(同旁内角互补,两直线平行).
D
C
例1
已知：在△ABC中，AB＝AC， ∠B＝80°，求 ∠C和∠A的度数。 解：∵AB＝AC（已知）， ∴ ∠C＝ ∠B＝ 80°（等边对等角） ∵ ∠A ＋∠B＋ ∠C＝180 °（三角形内角和等于180 ° ） ∴∠A＝180°－ ∠B－ ∠C（等式的性质） ＝180 ° －80 ° －80 ° ＝20 °。 用逻辑推理的方法去探索一些几何图形所具有 的属性这种合情推理的方法是研究问题的 又一种基本方法。
F
关于同旁内角， 呵呵，看我小 猴的！
同学们，请你们帮忙证 明我的结论吧！呵呵
小兔：两直线平行，同位角相等。
c
小熊：两直线平行，内错角相等。 小猴：两直线平行，同旁内角互补。 证明： ∵ a // b ( 已 知 )
1 a
∴ ∠2= ∠3
2 4 3 b
（两直线平行，内错角相等）
又∵ ∠3 + ∠4 = 180 °
讨论 n边形的内角和为:(n-2)×180°
A1 A5
A2 A3
A4
课堂感悟
谈一谈你对于证明, 有了哪些新的认识. 作业：练习1－3； 习题1
《几何问题的处理方法》
29.1 几何问题的处理方法
逻辑推理是研究数学的一个重要的 基本方法。几何学的研究充分运用了这 一方法。
这就是中国明代伟大的科学家徐 光启与他翻译的《几何原本》。
地球是运动的 缺乏依据,无法证明
哥白尼
知识回顾
探索几何图形性质的 常用的两种方法?
• （1）通过看一看、画一画、比一 比、量一量、算一算、想一想、猜 一猜得出结论，并在实验、操作中 对结论作出解释的方法； • （2）用逻辑推理的方法。
a
∴∠1=∠2（同角的补角相等） ∴a//b （同位角相等，两直线平行）
1
b
平行线的判定方法3：
两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
同旁内角互补，两直线平行。
感受证明 求证：三角形的内角和为180°
已知：△ABC 求证：A+B +C=180°
B A
由此我们知道，逻 辑推理是最终确认几何 图形属性的重要方法。
C
联想 >> 三角形的一个外角等于和 它不相邻的两个内角和 >> 直角三角形的两锐角互余 >> ｎ边形的内角和等于
（ｎ－2）×180°。
例 求证：三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角和 • 已知：如图，∠CBD是△ABC的一外角。 • 求证：∠CBD=∠A+∠C
证明:∵∠A+∠ABC+∠C=1800(三角形
• 等腰三角形是轴对称图形 • ∠B=∠C 等腰三角形两个底角相等 简写成“等边对等角” • ∠BAD=∠CAD，AD为顶角平分线 简称“三线合一” • ∠ADB=∠ADC ，AD为底边上的高线 • BD=CD，AD为底边上的中线 等腰三角形的顶角 平分线、底边上的 中线、底边上的高 互相重合
A
B
1 B
F
∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于 任何一个和 它不相邻的内角). ∴ ∠1>∠2(不等式的性质).
例4：已知:如图所示,在△ABC中,外角
∠DCA=100°,∠A=45°. 求:∠B和∠ACB的大小.
解:∵ ∠DCA是△ABC的一个外角(已知),
A
∠DCA=100°(已知),
E A C
3 4
2 1
B D
如图AB//CD, 同位角∠1 与∠2大小 有什么关系？其他同位角大小也有 这样的关系吗？
F
关于同位角， 哈哈，看我小 兔的！
平行线的性质
A
c
1 B
C 2
结论： 如果两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等
D
简 两直线平行 记：
同位角相等
如图 若AB//CD 则 ∠1 = ∠2
C
内角和定理),
∠A＋ ∠C＝1800－ ∠ABC（等式的性质） ∠ABC+∠CBD=1800(平角的定义), A
∴ ∠CBD＝∠A＋∠C (等量代换). ∴∠CBD=1800－∠ABC.(等量性质).
B
D
图29.1.3
>> 由于这里所证明为正确的命题也经常需要用来作为判断其他 命题真假的依据，因此我们把这一真命题也作为定理。
（邻补角的定义）
∴ ∠2 + ∠4 = 180 °
平行线的性质
E A C
3 4
2 1
B D
如图AB//CD, 同旁内角∠２ 与∠４ 大小有什么关系？结论：两条平源自直线被第三 条直线所截，同旁内角互补
若AB//CD
则∠2 + ∠4 = 180 °
F