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转子动力学课件第1次课
m I d Ω 4 − [ I d k11 − m k 22 ] Ω 2 − ( k11 k 22 − k12 k 21 ) = 0
1 k11 k 22 Ω = − + 2 m Id
2
I p = 2Id
k k − k12 k 21 1 k11 k 22 − + 11 22 4 m Id mId
eω 2 ( p 2 − ω 2 ) + (2ζ pω ) 2
cos(ω t − φ ) sin(ω t − φ )
dr =0 dω
ω cr
1 = p 1 − 2ζ
2
ω cr n cr = 60 2π
对于小阻尼情况: 对于小阻尼情况
ω cr = p
rm ax e ≈ 2ζ
φ ≈
π
2
1.3 刚性支承的单盘偏置转子的涡动
1.1 转子涡动的运动学分析
x = X cos(ωt + φx ) x = X [cos(ωt ) cos(φx ) − sin(ωt ) sin(φx )] y = Y sin(ωt + φ y ) y = Y [cos(ωt )sin(φ y ) + sin(ωt ) cos(φ y )] X a = X cos φx ; X s = X sin φx ; Ya = Y sin φ y ; Ys = −Y cos φ y ;
x = X a cos ωt − X s sin ωt ; y = Ya cos ωt − Ys sin ωt
1.2 Jeffcott转子的涡动分析 转子的涡动，抗弯刚度 轴中央有一刚性薄圆盘， 轴中央有一刚性薄圆盘，
厚度/直径 的盘为薄圆盘。 厚度 直径<0.1的盘为薄圆盘。 直径 的盘为薄圆盘
1 k11 k 22 Ω = − + 2 m Id
2
I p = 2Id
k k − k12 k 21 1 k11 k 22 − + 11 22 4 m Id mId
eω 2 ( p 2 − ω 2 ) + (2ζ pω ) 2
cos(ω t − φ ) sin(ω t − φ )
dr =0 dω
ω cr
1 = p 1 − 2ζ
2
ω cr n cr = 60 2π
对于小阻尼情况: 对于小阻尼情况
ω cr = p
rm ax e ≈ 2ζ
φ ≈
π
2
1.3 刚性支承的单盘偏置转子的涡动
1.1 转子涡动的运动学分析
x = X cos(ωt + φx ) x = X [cos(ωt ) cos(φx ) − sin(ωt ) sin(φx )] y = Y sin(ωt + φ y ) y = Y [cos(ωt )sin(φ y ) + sin(ωt ) cos(φ y )] X a = X cos φx ; X s = X sin φx ; Ya = Y sin φ y ; Ys = −Y cos φ y ;
x = X a cos ωt − X s sin ωt ; y = Ya cos ωt − Ys sin ωt
1.2 Jeffcott转子的涡动分析 转子的涡动，抗弯刚度 轴中央有一刚性薄圆盘， 轴中央有一刚性薄圆盘，
厚度/直径 的盘为薄圆盘。 厚度 直径<0.1的盘为薄圆盘。 直径 的盘为薄圆盘
1转子动力学基本概念
转动组合
每次分析可以在三种转动中选择二种 参考系的运动 相对运动 转动1＋转动2 ： 转动1是整体运动，转动2是陀螺自转 转动2＋转动3 ： 转动3是整体运动，转动2是陀螺自转 转动1＋转动3 ： 转动3是整体运动，转动1是陀螺自转
转动组合：转动1 和 转动2:
一个部件在整体坐标系中以角速度OMEGA转动，另外一个部件联接到这个部件， 并相对其以角速度CMOMEGA.转动
应力钢化
• 由于外力的作用，在结构内生成一个应力 场，这个应力场对应产生一个结构的应力 刚度矩阵，叠加到结构原来的刚度矩阵上， 增加了（或减小了）结构的刚度，这个现 象称之为应力钢化,在旋转结构旋转惯性力 的作用下，产生的应力钢化使频率提高
旋转软化＋应力钢化
在实际的结构中，旋转软化与应力钢化同时发生 vm54a. mac ppl.mac 生成下图 弹性板
转动3：整体坐标系相对于用户定义轴的转动（输入命令CGOMGA、 DCGOMG、CGLOC ） CGOMGA, CGOMX, CGOMY, CGOMZ DCGOMG, DCGOX, DCGOY, DCGOZ CGLOC, XLOC, YLOC, ZLOC 在瞬态分析中OMEGA， DOMEGA， CMOMEGA， CMDOMEGA， CGOMGA， DCGOMG多支持用tabel定义的可变参数： %TABNAME_X%, %TABNAME_Y%, %TABNAME_Z%
B
D A
C 刚性柱
动力学方程
• 常规动力学方程
.. . M C K F.. . M u (G C )u (K K c )u F
旋转参考系－科里奥利力
如图，旋转圆盘角速度 ， 质点M在惯性坐标系中以匀速度 V向上运动，不受任何力的作用， 从M点运动到M1点，如果以圆 盘为参考系，观察M的运动，是 从M点运动到M2点，似乎受到 一个力Fc的作用，这个想象的 力就称之为科里奥利力。 在非惯性参考系中，如果加上 惯性力、科里奥利力就可把其 看作为惯性参考系进行质点运 动的计算 M1 V Fc M M2
转子动力学基本理论韩守木PPT课件
• 2.4.1 稳定性的基本概念
•
高速旋转机器的转轴支承在径向滑动轴承上，转子轴颈为油膜所包阁，当外载荷
W恒定并与油膜压力F1相平衡，转子轴颈中心将处于平衡位置Oj(c，0)(图2—15)。实际 上转轴在运转时不可能不受到扰动或冲击载荷(此时轴颈中心将偏离平衡位置Oj)
第16页/共38页
•
如果转轴受扰动后，轴颈中心随时间的增加而逐渐趋向平衡位置，则认为是稳定的。
Wk——转子的临界转速
由此可知，失稳转速比与轴承型式、承载系数和转 子相对挠度有关，若已知转子轴系的临界转速WK，就可 计算失稳转速Wst。 转子失稳表现为下列特点；
(1)振动频率为次同步或超同步； (2)自激振动的频率以转子本身的固有频率为主； (3)振幅可能发生突然急剧增加； (4)振幅的变化与转速或负第荷21页关/共系38页密切；
汽轮机的计算为例，对于单个转子，考虑支承弹性后，高压、中压、低压透平转子的临界
转速分别下降 了18%、16.3%和40%。。
第11页/共38页
表 2-1 支承条件 刚性支承 nc(min-1) 弹性支承
nc (min-1)
结构型式 单个转子 轴系
单个转子 轴系
30 万千瓦汽轮发电机组临界转速计算表
3c (3 ) 2
EI
FL4
• 三、影响临界转速的因素
• （一）转子温度沿轴向变化对临界转速的影响
• 在汽轮机中，尤其是高参数汽轮机中，沿转 子轴向的温度变化是很大的。温度的变化引起转
子材料弹性模量E沿转子轴向的变化。由式（2-
20）可以看到，转子的临界转速与转子材料的弹
性 模 量 的 平 方 根 成 正第比8页。/共3因8页此 ， 弹 性 模 量 E 的 下 降
转子动力学基本理论
5. 不平衡振动的初步分析
平衡转子前对振动（振幅和相位）进行初步分析 十分必要。 刚性转子的任一不平衡离心力均可分解为任选二 平面上的一对对称力及一对反对称力。同理,振动 也可分解为一对对称分振动及一对反对称分振动。 若在二支承转子两端测得A侧振动值为 A0 、B侧振
动值为B 0 。将二振动矢量移动交于一点0，再
1c 2
EI FL4
2 c (2 ) 2
EI FL4
3c (3 ) 2
EI FL4
转子的振形为：
S ( x)
n 1
2
2
n 2
AS
n
n
( x)
当转子按某一阶自振频率振动时，转子轴线上各点将在同一 个通过二端轴承中心联线的轴向平面（称为子午面）上，即 任一阶的主振型Sn(x)都是一根平面曲线。 虽然转子质心沿转轴的空间分布是未知的，但理论上可将任 意的转子质心空间分布分解为：
t
其中＝＋i
齐次方程解： y k1 e k 2 e 2 、为方程 x ax b 0的解。
t t
或y (k1 k 2 t ) et 方程特解： （ 1 ）不是方程的解，令 y (t ) Q(t ) e t （2）是方程的解，令 y (t ) tQ(t ) e t （3）是方程的重解，令 y (t ) t Q(t ) e t
F22 为 迭加 为 A ；迭加 F12 、 B 显而易见，作用在Ⅰ、Ⅱ平面上的 A 、B 两力与不平衡离心力 F1 、 F2 等效。
F11 、F12
如果转子上有多个不平衡离心力存在，亦可同样
转子动力学基本理论
EI 0
E2I 2 0 v 1 v AG EI w 2 w 0
T
0 v mgw ds E 2 I 2 w AG
将上式展开，并只保留一阶小量得：
T
对于刚体有质量偏心的情况，将质量偏心产生的离心力视作非保守的广义力。 刚体有偏心时，偏心质量所产生的离心力：
F m ( rc )
而
cos ) ( sin ) sin ) ( cos sin cos cos ( rc ) (
3． 根据实际情况，将转盘处理为旋转刚体，同时将轴承体也处理为刚体。 下面采用有限元方法，对系统进行离散化处理，选取轴段单元进行分析：
图 4
轴段单元
设 节 点 的 位 移 为 u v, w, , ， 其 中 有 关 系 式 ：
T
w EI w， x AG
4l 2 3l 0 0 l 2
2 cos sin ) sin 2 cos 2 sin cos 2 cos 2 ) 2 2 sin 2 2 sin cos e sin (
cos( ) e e sin( ) e 2 cos 2 cos cos( )
i j [ A(t )] k T T 其中 ( , , ) 、 (i , j , k ) 分别为坐标系 0 、 0 xyz 的单位坐标向量。方向余
弦阵 [ A(t )] 的 9 个元素之间有 6 个关系式，因此只有 3 个元素是独立的。
转子动力学基本理论(行稳教育)
(2) A0 、B0 之间夹角很大（≈180º），且振幅值相接近 （图3-13）。应加（或减）反对称平衡质量。
(3) A0 、B0 之间夹角接近90º，振幅值相差不大
基本课堂
39
（图3-14）。应在两侧加对称和反对称平衡质量。
❖
振动初步分析
基本课堂
40
❖ (4) A0 、 B0 之间夹角不大，但振幅相差很大（图 3-15）。在A端加平衡质量（动．静） (5) A0 、B0 之间夹角很大（≈180º），振幅相
❖
❖
基本课堂
23
❖
❖ （五）支承弹性对临界转速的影响
❖ 实际上轴承座、轴瓦中起支承和润滑作用的油膜都 不是绝对刚性的。以国产30万千瓦汽轮机的计算为例， 对于单个转子，考虑支承弹性后，高压、中压、低压透 平转子的临界转速分别下降 了18%、16.3%和40%。
基本课堂
24
变直径、均布质量转轴的临界转速
(x)
n
❖ 当转子按某一阶自振频率振动时，转子轴线上各点将在同一 个通过二端轴承中心联线的轴向平面（称为子午面）上，即 任一阶的主振型Sn(x)都是一根平面曲线。
❖ 虽然转子质心沿转轴的空间分布是未知的，但理论上可将任 意的转子质心空间分布分解为：
e B S (x)
ia( x)
(x)
nn
n1
基本课堂
取决于转子的材料、几何形状和结构型式。因此，
对一个具体的转子来说，临界转速的大小是一定
的。转子系统的刚性愈大，转子的临界转速愈大。
基本课堂
20
转子在各阶自振频率下振动时的振型（弹性曲线）
S1(x), S2(x), S3(x)……称为转子的各阶主振型。
Sn x
转子动力学基本理论
由此可见，已将 A
1 As Bs ( A B) 2
AD B D
、B
1 ( A B) 2
分解为大小相等，方向相同
的对称力 As 、Bs 及大小相等、方向相反的反对称 Bs 、 BD 与 A 、 AD 、 力 A 、BD 了。由于 As ， B 等效，即与不平衡离心力F 等效。如果在 F 1 、 2 即 ： Bs 的相反方向加一对同方向的对称平衡重 As 量（在Ⅰ、Ⅱ平面内)，在 AD 、 BD 的相反方向 加一对反方向的对称平衡重量（亦在Ⅰ、Ⅱ平面 内），就可使整个转子达到平衡。
2 l Fl m r w A B 1 L L g 。
这种由力偶矩引起的转子及 轴承的振动的不平衡叫做动不 平衡。
(三)动静混合不平衡 实际转子往往都是动静混合不平 衡。转子诸截面上的不平衡离心力 形成的偏心距不相等，质心也不在 旋转轴线上。转动时离心力合成成 为一个合力（主向量）和一个力偶 （主力矩），即构成一静不平衡力 和一动不平衡力偶。（图3-4）。
即一个均布质量的转轴具有无穷多个自振频率， 它在数值上和转子作横向振动的自振频率一样。按 照频率数值的大小排列，称为转子的各阶自振频率 。 由于临界转速现象是激振力频率和转子自振频率相 同时产生的共振现象。因此，转子的各阶自阶振频 率就是转子的各阶临界转速，记作 nc1 , nc 2 , nc3 。 转子具有无穷多阶临界转速。转子临界转速的大小， 取决于转子的材料、几何形状和结构型式。因此， 对一个具体的转子来说，临界转速的大小是一定 的。转子系统的刚性愈大，转子的临界转速愈大。
二、刚性转子的平衡原理
1．不平衡离心力的分解
图3-4三种不平衡
转子动力学第一章
2009-3-4
24
第四节
Jeffcott转子涡动分析
Jeffcott转子：垂直安装等截面对称转子、不计重力影响。 §1.4.2 Jeffcott转子运动微分方程 Jeffcott转子示意图（图1－10） 薄盘：h/D<0.1；偏心矩：e 定坐标系：oxyz；基点：o′ 设自转ω为常数，确定 o′的运动： x(t)、y(t) 或 r(t)、θ(t) 假设：扭转刚度无限大(不计扭振) 忽略轴向位移、刚性支承 轴的弯曲刚度为EJ E：弹性模量 J：截面惯性矩 运动状态及受力如图1－11
2009-3-4
31
ω=Ω，同步正涡动，或正协调进动； ω=－Ω，同步反涡动，或反协调进动； ω≠Ω，同方向，正涡动，或非协调正进动； ω≠Ω，反方向，反涡动，或非协调反进动。 当转子圆盘不在中间时，即使是无阻尼系统，其临界转速 ω≠p，主要是陀螺力矩影响。 例：已知：轴长l=57cm，直径d=1.5cm，轴材料弹性模量 E = 20.58 × 10 6 N / cm 2，圆盘厚度h=2cm，直径D=16cm,材 3 料密度 ρ = 7.8 × 10－3 kg / cm，不计阻尼。 求：1）临界转速ωcr 2）e=0.1cm，ω＝0.6ωcr；ω＝0.8ωcr时的动挠度r 及支反力幅值F。 ms = (π × 1.5 2 ) / 4 × 57 × 7.8 × 10－3 = 0.7856 kg 解：弹性轴质量： 2 －3 圆盘质量：mD = (π × 16 ) / 4 × 2 × 7.8 × 10 = 3.137kg
2009-3-4 2
令：
则
将运动方程作三角函数展开，则有 消去时间t，可得运动轨迹方程。 轨迹为一椭圆，半轴分别为a、b，半轴a与x轴夹角为α 如图1－2，半轴及夹角计算公式为
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a) b)
c)
❖ 等直径均布质量的转子，在二端刚性支承、无阻 尼的条件下，转子的自振频率 n c n 为
ncn
n2
2l2
EI / FS1
n 1,2,3
即一个均布质量的转轴具有无穷多个自振频率，
它在数值上和转子作横向振动的自振频率一样。按 照频率数值的大小排列，称为转子的各阶自振频率 。
由于临界转速现象是激振力频率和转子自振频率相 同时产生的共振现象。因此，转子的各阶自阶振频 率就是转子的各阶临界转速，记作 nc1,nc2,nc3 。 转子具有无穷多阶临界转速。转子临界转速的大小，
e BS (x) ia(x)
(x)
nn
n1
❖ 对于n阶质心分布BnSn(x) ，将只能激发同阶的振形， 而且主要在同阶临界转速区域激发。
❖ 任意一定转速下的转子振形为所有阶质心分布各自 激发的不同阶的振形在空间的合成。
❖ 影响临界转速的因素 ❖ （一）转子温度沿轴向变化对临界转速的影响 ❖ （二）转子结构型式对临界转速的影响 ❖ （三）叶轮回转力矩对临界转速的影响 ❖ （四）轴系的临界转速和联轴器对临界转速的影响
第一项很快衰减为
0；
第二项为：
（ （） ） 1
n
2
n
2 ＋ i2
n
e i t ;
其幅值及角度为：
A
（
n
）2
；
1
（
n
）2
2 ＋
4
2 n
2
tan(
)
2 1 （
n
n
）2
;
z A e i ( t－ )， z 为轴心位置 ;
结论1
❖ 由圆盘质量偏心的不平衡响应产生两种
❖ 单圆盘转子模型
最简单的转子模型是单圆盘转子。轴两端为简支，一 个圆盘固定在轴的中部(图1),A1CA2为静挠度曲线。
假设转轴以角
速度 自转，转
轴中心位置为（x， y）。原平衡位置为 原点。
.. .
mxcxkxm2cost()
.. .
mycykym2sin(t)
令 z x iy
..
z
2
n
.
齐次方程解：
y k1et k 2 et 、 为方程 x 2 ax b 0的解。
或 y (k1 k 2 t) et 方程特解：
（ 1） 不是方程的解，令
y(t) Q (t) e t
（ 2） 是方程的解，令 y ( t ) tQ (t ) e t
（ 3） 是方程的重解，令
y(t) t2 Q (t) e t
取决于转子的材料、几何形状和结构型式。因此，
对一个具体的转子来说，临界转速的大小是一定
的。转子系统的刚性愈大，转子的临界转速愈大。
转子在各阶自振频率下振动时的振型（弹性曲线） S1(x), S2(x), S3(x)……称为转子的各阶主振型。
SnxAnsinKnxAnsinnlx
n1,2,3
它的一、二、三阶的主振型和主振型函数如下图所 示。从图中可以看到：第n阶主振型具有n-1个节点。在 节点二侧的质点，在振动时彼此相位相反
Q (t )与 (t )同为 m 次多项式
对于
..
.
y a y b p (t ) iq (t )
可分别求
..
.
y a y b p(t)
..
.
y a y b q(t)
若 u (t )、 v(t )为上述二方程的特解
则特解为 y u (t ) iv (t )
有阻尼带质量偏心单圆盘转子振动特性
运动，一是圆盘以角速度绕自己轴心
的自转，一是轴心以角速度绕圆盘的
静挠曲线的涡动。 ❖若无阻尼（ ＝0），当 n时，振幅趋
于无限大。由于实际中存在阻尼，此时 振幅会达到一个有限的峰值。
结论2
< n = n
> n
》 n
结论2
❖ 转轴的涡动频率与质量偏心引起的激振力频 率相同，即和转动频率相同；
❖ 涡动振幅的相位和激振力的相位差在＜ 时，涡动向量滞后激振力向量0~90，当 >
n
❖
n 时》， 为n ，90相~1位80差。为180，即质心位与原点
与轴心之间。
❖ 与没有阻尼的相比，有阻尼的情况下，临界 转速下转子的振幅将随阻尼增加而减少。同 时，随阻尼的增大，临界转速的数字将有所 增加，但增加量很小。
z
2 n
z
2
e i t
其中
2 n
k
m ;
c 2m n,
称为阻尼比
;
方程的解为：
z
A et
B
e t
n2＋ 2i
2 n
e i t
2
、 ＝－ n 2 1 n 一般 0 1；
z K e n t sin( 1 2 n t )
2＋
n
2 i
2 n
2 e i t ;
❖ ❖
❖
❖ （五）支承弹性对临界转速的影响
❖ 实际上轴承座、轴瓦中起支承和润滑作用的油膜都 不是绝对刚性的。以国产30万千瓦汽轮机的计算为例， 对于单个转子，考虑支承弹性后，高压、中压、低压透 平转子的临界转速分别下降 了18%、16.3%和40%。
1c 2
EI
FL4
2c (2)2
EI
FL4
3c (3)2
EI
FL4
❖ 转子的振形为：
AS S(x)n 1n 2 22
n
(x)
n
❖ 当转子按某一阶自振频率振动时，转子轴线上各点将在同一 个通过二端轴承中心联线的轴向平面（称为子午面）上，即 任一阶的主振型Sn(x)都是一根平面曲线。
❖ 虽然转子质心沿转轴的空间分布是未知的，但理论上可将任 意的转子质心空间分布分解为：
❖ 临界转速时，振幅滞后于激振力90。
❖ 临界转速就是转子系统的偏心质量在转动过 程中形成的激振力与转子系统发生共振时的 转速。
结论3
❖ 在一定转速下，由于原点、轴心、质量偏心 的相对位置保持不变，使得转子上朝外的点 在转动一周中始终朝外，形成所谓的“弓形 回转”。这时转子的变形形状在转动过程中 保持不变，转子不承受交变
转子动力学基本理论
基础数学知识
.
.
y a y by f ( t )
f (t) (t) et
f ( t ) ( t ) e t sin( t )
f ( t ) ( t ) e t cos( t )
( t ) 为 m 次多项式
统一为：
f (t) (t) et
其中 ＝ ＋ i
应力。（忽略静挠度）
结论4
❖ 在一定的转速下，振幅与激振力的幅值成正 比，振幅向量滞后与激振力的相位角不变。 这就是刚性转子加平衡的理论依据。
等直径、均布质量转轴的临界转速
由于透平转子相当长，直径又相当大。因此，用一个集 中质量来代替转子的质量并不能反映分布质量对临界转速的 影响。为此，我们需要研究等直径转子的临界转速问题。
c)
❖ 等直径均布质量的转子，在二端刚性支承、无阻 尼的条件下，转子的自振频率 n c n 为
ncn
n2
2l2
EI / FS1
n 1,2,3
即一个均布质量的转轴具有无穷多个自振频率，
它在数值上和转子作横向振动的自振频率一样。按 照频率数值的大小排列，称为转子的各阶自振频率 。
由于临界转速现象是激振力频率和转子自振频率相 同时产生的共振现象。因此，转子的各阶自阶振频 率就是转子的各阶临界转速，记作 nc1,nc2,nc3 。 转子具有无穷多阶临界转速。转子临界转速的大小，
e BS (x) ia(x)
(x)
nn
n1
❖ 对于n阶质心分布BnSn(x) ，将只能激发同阶的振形， 而且主要在同阶临界转速区域激发。
❖ 任意一定转速下的转子振形为所有阶质心分布各自 激发的不同阶的振形在空间的合成。
❖ 影响临界转速的因素 ❖ （一）转子温度沿轴向变化对临界转速的影响 ❖ （二）转子结构型式对临界转速的影响 ❖ （三）叶轮回转力矩对临界转速的影响 ❖ （四）轴系的临界转速和联轴器对临界转速的影响
第一项很快衰减为
0；
第二项为：
（ （） ） 1
n
2
n
2 ＋ i2
n
e i t ;
其幅值及角度为：
A
（
n
）2
；
1
（
n
）2
2 ＋
4
2 n
2
tan(
)
2 1 （
n
n
）2
;
z A e i ( t－ )， z 为轴心位置 ;
结论1
❖ 由圆盘质量偏心的不平衡响应产生两种
❖ 单圆盘转子模型
最简单的转子模型是单圆盘转子。轴两端为简支，一 个圆盘固定在轴的中部(图1),A1CA2为静挠度曲线。
假设转轴以角
速度 自转，转
轴中心位置为（x， y）。原平衡位置为 原点。
.. .
mxcxkxm2cost()
.. .
mycykym2sin(t)
令 z x iy
..
z
2
n
.
齐次方程解：
y k1et k 2 et 、 为方程 x 2 ax b 0的解。
或 y (k1 k 2 t) et 方程特解：
（ 1） 不是方程的解，令
y(t) Q (t) e t
（ 2） 是方程的解，令 y ( t ) tQ (t ) e t
（ 3） 是方程的重解，令
y(t) t2 Q (t) e t
取决于转子的材料、几何形状和结构型式。因此，
对一个具体的转子来说，临界转速的大小是一定
的。转子系统的刚性愈大，转子的临界转速愈大。
转子在各阶自振频率下振动时的振型（弹性曲线） S1(x), S2(x), S3(x)……称为转子的各阶主振型。
SnxAnsinKnxAnsinnlx
n1,2,3
它的一、二、三阶的主振型和主振型函数如下图所 示。从图中可以看到：第n阶主振型具有n-1个节点。在 节点二侧的质点，在振动时彼此相位相反
Q (t )与 (t )同为 m 次多项式
对于
..
.
y a y b p (t ) iq (t )
可分别求
..
.
y a y b p(t)
..
.
y a y b q(t)
若 u (t )、 v(t )为上述二方程的特解
则特解为 y u (t ) iv (t )
有阻尼带质量偏心单圆盘转子振动特性
运动，一是圆盘以角速度绕自己轴心
的自转，一是轴心以角速度绕圆盘的
静挠曲线的涡动。 ❖若无阻尼（ ＝0），当 n时，振幅趋
于无限大。由于实际中存在阻尼，此时 振幅会达到一个有限的峰值。
结论2
< n = n
> n
》 n
结论2
❖ 转轴的涡动频率与质量偏心引起的激振力频 率相同，即和转动频率相同；
❖ 涡动振幅的相位和激振力的相位差在＜ 时，涡动向量滞后激振力向量0~90，当 >
n
❖
n 时》， 为n ，90相~1位80差。为180，即质心位与原点
与轴心之间。
❖ 与没有阻尼的相比，有阻尼的情况下，临界 转速下转子的振幅将随阻尼增加而减少。同 时，随阻尼的增大，临界转速的数字将有所 增加，但增加量很小。
z
2 n
z
2
e i t
其中
2 n
k
m ;
c 2m n,
称为阻尼比
;
方程的解为：
z
A et
B
e t
n2＋ 2i
2 n
e i t
2
、 ＝－ n 2 1 n 一般 0 1；
z K e n t sin( 1 2 n t )
2＋
n
2 i
2 n
2 e i t ;
❖ ❖
❖
❖ （五）支承弹性对临界转速的影响
❖ 实际上轴承座、轴瓦中起支承和润滑作用的油膜都 不是绝对刚性的。以国产30万千瓦汽轮机的计算为例， 对于单个转子，考虑支承弹性后，高压、中压、低压透 平转子的临界转速分别下降 了18%、16.3%和40%。
1c 2
EI
FL4
2c (2)2
EI
FL4
3c (3)2
EI
FL4
❖ 转子的振形为：
AS S(x)n 1n 2 22
n
(x)
n
❖ 当转子按某一阶自振频率振动时，转子轴线上各点将在同一 个通过二端轴承中心联线的轴向平面（称为子午面）上，即 任一阶的主振型Sn(x)都是一根平面曲线。
❖ 虽然转子质心沿转轴的空间分布是未知的，但理论上可将任 意的转子质心空间分布分解为：
❖ 临界转速时，振幅滞后于激振力90。
❖ 临界转速就是转子系统的偏心质量在转动过 程中形成的激振力与转子系统发生共振时的 转速。
结论3
❖ 在一定转速下，由于原点、轴心、质量偏心 的相对位置保持不变，使得转子上朝外的点 在转动一周中始终朝外，形成所谓的“弓形 回转”。这时转子的变形形状在转动过程中 保持不变，转子不承受交变
转子动力学基本理论
基础数学知识
.
.
y a y by f ( t )
f (t) (t) et
f ( t ) ( t ) e t sin( t )
f ( t ) ( t ) e t cos( t )
( t ) 为 m 次多项式
统一为：
f (t) (t) et
其中 ＝ ＋ i
应力。（忽略静挠度）
结论4
❖ 在一定的转速下，振幅与激振力的幅值成正 比，振幅向量滞后与激振力的相位角不变。 这就是刚性转子加平衡的理论依据。
等直径、均布质量转轴的临界转速
由于透平转子相当长，直径又相当大。因此，用一个集 中质量来代替转子的质量并不能反映分布质量对临界转速的 影响。为此，我们需要研究等直径转子的临界转速问题。