人教版数学高二选修2-1练习 1.4 全称量词与存在量词

§1.4全称量词与存在量词
【课时目标】 1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.会判定全称命题和特称命题的真假.3.能正确的对含有一个量词的命题进行否定.4.知道全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
1．全称量词和全称命题
(1)短语“__________”“__________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“______”表示，常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．
(2)含有____________的命题，叫做全称命题．
(3)全称命题：“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为____________．2．存在量词和特称命题
(1)短语“__________”“____________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“______”表示，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．
(2)含有____________的命题，叫做特称命题．
(3)特称命题：“存在M中的元素x0，有p(x0)成立”，可用符号简记为________________________．
3．含有一个量词的命题的否定
(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：________________；
(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：________________.
4．命题的否定与否命题
命题的否定只否定______，否命题既否定________，又否定________．
一、选择题
1．下列语句不是全称命题的是()
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．高二(一)班绝大多数同学是团员
D．每一个向量都有大小
2．下列命题是特称命题的是()
A．偶函数的图象关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在实数大于等于3
3．下列是全称命题且是真命题的是()
A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈Q，x2∈Q
C．∃x0∈Z，x20>1 D．∀x，y∈R，x2＋y2>0
4．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是()
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x0，使x20>0
C．任一无理数的平方必是无理数
D．存在一个负数x0，使1
x0>2
5．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则() A．綈p：∃x0∈R，sin x0≥1
B．綈p：∀x∈R，sin x≥1
C．綈p：∃x0∈R，sin x0>1
D．綈p：∀x∈R，sin x>1
6．“存在整数m0，n0，使得m20＝n20＋2 011”的否定是()
A．任意整数m，n，使得m2＝n2＋2 011
B．存在整数m0，n0，使得m20≠n20＋2 011
C．任意整数m，n，使得m2≠n2＋2 011
D．以上都不对
二、填空题
7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为________________．
8．写出命题：“对任意实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0有实根”的否定为：________________________________________________________________________. 9．下列四个命题：
①∀x∈R，x2＋2x＋3>0；
②若命题“p∧q”为真命题，则命题p、q都是真命题；
③若p是綈q的充分而不必要条件，则綈p是q的必要而不充分条件．
其中真命题的序号为________．(将符合条件的命题序号全填上)
三、解答题
10．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．
(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，a x>0.
(2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tan x1<tan x2.
(3)∃T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|.
(4)∃x0∈R，使x20＋1<0.
11．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)有些质数是奇数；
(2)所有二次函数的图象都开口向上；
(3)∃x0∈Q，x20＝5；
(4)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根．
12．给出两个命题：
命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，
命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．
分别求出符合下列条件的实数a的范围．
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．
【能力提升】
13．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．
14．已知綈p：∃x∈R，sin x＋cos x≤m为真命题，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0为真命题，求实数m的取值范围．
1．判定一个命题是全称命题还是特称命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词，要注意的是有些全称命题中并不含有全称量词，这时我们就要根据命题所涉及的意义去判断．
2．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立；但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．
3．全称命题和特称命题的否定，其模式是固定的，即相应的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词．具有性质p变为具有性质綈p.全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
§1.4全称量词与存在量词
知识梳理
1．(1)所有的任意一个∀(2)全称量词(3)∀x∈M，p(x)
2．(1)存在一个至少有一个∃(2)存在量词(3)∃x0∈M，p(x0)
3．(1)∃x0∈M，綈p(x0)(2)∀x∈M，綈p(x)
4．结论结论条件
作业设计
1．C[“高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是特称命题．]
2．D[“存在”是存在量词．]
3．B[A、B、D中命题均为全称命题，但A、D中命题是假命题．]
4．B
5．C[全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．]
6．C[特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．]
7．∃x0<0，使(1＋x0)(1－9x0)>0
8．存在实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0没有实根
9．①②③
10．解(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．
(1)∵a x>0 (a>0，a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．
(2)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，
但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．
(3)y＝|sin x|是周期函数，π就是它的一个周期，
∴命题(3)是真命题．
(4)对任意x0∈R，x20＋1>0，∴命题(4)是假命题．
11．解(1)“有些质数是奇数”是特称命题，其否定为“所有质数都不是奇数”，假命
题．
(2)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称命题，其否定为“有些二次函数的图象不是开口向上”，真命题．
(3)“∃x 0∈Q ，x 20＝5”是特称命题，其否定为“∀x ∈Q ，x 2≠5”，真命题．
(4)“不论m 取何实数，方程x 2＋2x －m ＝0都有实数根”是全称命题，其否定为“存在实数m ，使得方程x 2＋2x －m ＝0没有实数根”，真命题．
12．解 甲命题为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2<0，
即a >13
或a <－1. 乙命题为真时，2a 2－a >1，即a >1或a <－12
. (1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，
∴a 的取值范围是{a |a <－12或a >13
}． (2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：
甲真乙假时，13<a ≤1，甲假乙真时，－1≤a <－12
， ∴甲、乙中有且只有一个真命题时a 的取值范围为
{a |13<a ≤1或－1≤a <－12
}． 13．存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤3
解析 全称命题的否定是特称命题，全称量词“任何”改为存在量词“存在”，并把结论否定．
14．解 由綈p 为真，即p ：∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 为假命题，由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π4 ∈[－2，2]，
又sin x ＋cos x >m 不恒成立，∴m ≥－ 2.
又对∀x ∈R ，q 为真，即不等式x 2＋mx ＋1>0恒成立，
∴Δ＝m 2－4<0，即－2<m <2，
故m 的取值范围是－2≤m <2.。