2020-2021年长沙市一中高一上期中数学卷
2020-2021高一数学上期中试卷(附答案)(3)
解析：D 【解析】
由 x2 2x 8 >0 得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，
令 t= x2 2x 8 ，则 y=lnt，
∵x∈(−∞,−2)时,t= x2 2x 8 为减函数；
x∈(4,+∞)时,t= x2 2x 8 为增函数；
y=lnt 为增函数，
故函数 f(x)=ln( x2 2x 8 )的单调递增区间是(4,+∞)，
本题选择 B 选项.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】 由函数的解析式可得函数 f（x）＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1 的对称轴为 x＝2，此时，函数取 得最小值为 1，当 x＝0 或 x＝4 时，函数值等于 5，结合题意求得 m 的范围． 【详解】 ∵函数 f（x）＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1 的对称轴为 x＝2，此时，函数取得最小值为 1， 当 x＝0 或 x＝4 时，函数值等于 5． 且 f（x）＝x2﹣4x+5 在区间[0，m]上的最大值为 5，最小值为 1， ∴实数 m 的取值范围是[2，4]， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查二次函数的性质应用，利用函数图像解题是关键，属于中档题．
a
a
1 a 1. 2
故选：C
【点睛】
本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】 利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化. 【详解】
令 x 2 t ,则 t 2 ，所以 f t t 22 4t 2 5 t2 1,t 2,
则 f x 在[3, 0] 上的解析式为______．
20．己知函数 f x = ax b 的图象经过点(1,3),其反函数 f 1 x 的图象经过点(2.0),则
2020-2021长沙市高中必修一数学上期中试卷附答案
2020-2021长沙市高中必修一数学上期中试卷附答案一、选择题1．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．函数2y 34x x =--+的定义域为（ ）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 3．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．4．不等式()2log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．(]1,2C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦5．设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．4C ．6D ．86．若函数2()sin ln(14f x x ax x =⋅+的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．4D ．4±7．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<8．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-9．已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b +=（ ） A ．5 B ．5-C ．0D ．201910．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．11．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3xf x =，则()3log 54f =（ ）A ．32B ．23-C ．23D ．32-12．函数()2log ,0,2,0,x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x f x f x =-+的零点个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．6二、填空题13．已知函数241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩，则函数(())3f f x =的零点的个数是________.14．函数()22()log 23f x x x =+-的单调递减区间是______． 15．已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧≤=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________.16．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.17．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______．18．已知函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数，则a 取值范围是_________．19．定义在[3,3]-上的奇函数()f x ，已知当[0,3]x ∈时，()34()x x f x a a R =+⋅∈，则()f x 在[3,0]-上的解析式为______．20．已知312ab +=a b =__________. 三、解答题21．已知函数()()221+0g x ax ax b a =-+>在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.(1)求a 、b 的值； (2)设()()2g x f x x =-，若不等式()0f x k ->在x ∈(]2,5上恒成立，求实数k 的取值范围．22．已知函数()2(0,)af x x x a R x=+≠∈. （1）判断()f x 的奇偶性；（2）若()f x 在[)2,+∞是增函数，求实数a 的范围. 23．设全集U=R ，集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|2a≤x ＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A ，B∩(∁U A)；（2）若A∪B=A ，求实数a 的取值范围． 24．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >． （1）求()1f 的值；（2）解不等式()(3)2f x f x -+-≥-. 25．已知函数2()log (0,1)2axf x a a x-=>≠+. （Ⅰ）当a=3时，求函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数()f x 的定义域，并求函数2()()(24)4f x g x ax x a=--++的值域．（用a 表示）26．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |1≤x ≤5，x ∈Z}，C ＝{x |2<x <9，x ∈Z}．求 (1)A ∪(B ∩C )；(2)(∁U B )∪(∁U C )．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.2．C解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<< 故选C3．D解析：D 【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x x x x x<≥分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．4．C解析：C 【解析】 【分析】由()2223122-+=-+≥x x x 以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对a 讨论求解即可. 【详解】由()2log 231a x x -+≤-可得()21log 23log -+≤a ax x a， 当1a >时，由()2223122-+=-+≥x x x 可知2123-+≤x x a无实数解，故舍去； 当01a <<时，()2212312-+=-+≥x x x a在x ∈R 上恒成立，所以12a ≤，解得112a ≤<. 故选：C 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.5．C解析：C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．6．B解析：B 【解析】 【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到ax +=.【详解】()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()sin ln sin lnsin lnx ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅ax ∴+=恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =±本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.7．B解析：B 【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.8．C解析：C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−12⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.9．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数，即可求出a ，b ，从而得出f （x ）的解析式，进而求出f （a ）+f （b ）的值． 【详解】∵f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数； ∴0320b a a =⎧⎨-+=⎩；∴a ＝1，b ＝0； ∴f （x ）＝x 2+2；∴f （a ）+f （b ）＝f （1）+f （0）＝3+2＝5． 故选：A ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法．10．C解析：C 【解析】由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ． 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．11．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--，由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．A解析：A 【解析】 【分析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数． 【详解】 函数()()()2384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点即方程()23f x =和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2384g x f x f x =-+有5个零点,故选：A . 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．二、填空题13．4【解析】【分析】根据分段函数的解析式当时令则解得当时做出函数的图像即可求解【详解】当时令则解得当时令得作出函数的图像由图像可知与有两个交点与有一个交点则的零点的个数为4故答案为：4【点睛】本题考查解析：4 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式当0x ≤时，令()3f x =，则2413x x --+=，解得22x =-±0x >时，()31xf x =>，1x =，做出函数()f x ，1,22,22y y y ==-=--.【详解】Q 241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩，∴当0x ≤时，()()2241255f x x x x =--+=-++≤，令()3f x =，则2413x x --+=， 解得22x =-±1220,4223,-<-+<-<--当0x >时，()31xf x =>，令()3f x =得1x =，作出函数()f x ，1,22,22y y y ==-=--由图像可知，()f x 与1y =有两个交点，与22y =-+ 则(())3f f x =的零点的个数为4. 故答案为：4 【点睛】本题考查了分段函数的零点个数，考查了数形结合的思想，属于基础题.14．【解析】设（）因为是增函数要求原函数的递减区间只需求（）的递减区间由二次函数知故填解析：()-3∞-，【解析】设2log y t =，223t x x =+-，（0t >）因为2log y t =是增函数，要求原函数的递减区间，只需求223t x x =+-（0t >）的递减区间，由二次函数知(,3)x ∈-∞-，故填(,3)x ∈-∞-．15．【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示要满足存在实数b 使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根则解得故m 的取值范围是【考点】分段函数函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质函数解析：()3+∞，【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则24m m m -<，解得3m >，故m 的取值范围是(3,)+∞.【考点】分段函数，函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.16．6【解析】【分析】先求函数周期再根据周期以及偶函数性质化简再代入求值【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知是周期函数且所以【点睛】本题考查函数周期及其应用考查基本求解能力解析：6 【解析】 【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值. 【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+=()16f =-=.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.17．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没解析：{|2m m >或2}3m <- 【解析】 【分析】分类讨论m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围. 【详解】解：∵函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则函数2(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值，且y 取最值时，0y >.当0m =时，22y x =--，由于y 没有最值，故()f x 也没有最值，不满足题意.当0m >时，函数y 有最小值，没有最大值，()f x 有最大值，没有最小值.故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->， 求得 2m >；当0m <时，函数y 有最大值，没有最小值，()f x 有最小值，没有最大值. 故y 的最大值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->， 求得23m <-. 综上，m 的取值范围为{|2m m >或2}3m <-. 故答案为：{|2m m >或2}3m <-. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题. 18．；【解析】【分析】分为和两种情形分类讨论利用复合函数的单调性结合对数函数的性质求出取值范围【详解】∵函数（且）在上是减函数当时故本题即求在满足时函数的减区间∴求得当时由于是减函数故是增函数不满足题意 解析：(1,4)；【解析】【分析】分为1a >和01a <<两种情形分类讨论，利用复合函数的单调性，结合对数函数的性质求出a 取值范围．【详解】∵函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数，当1a >时，故本题即求4t ax =-在满足0t >时，函数t 的减区间，∴40a ->，求得14a <<，当01a <<时，由于4t ax =-是减函数，故()f x 是增函数，不满足题意，综上可得a 取值范围为(1,4)，故答案为：(1,4)．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数，理解“同增异减”以及注意函数的定义域是解题的关键，属于中档题．19．f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x 【解析】【分析】先根据计算再设代入函数利用函数的奇偶性得到答案【详解】定义在﹣33上的奇函数f （x ）已知当x∈03时f（x ）＝3x+a4x （a∈R）当x ＝0时f （0）＝0解得解析：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x【解析】【分析】先根据()00f =计算1a =-，再设30x ≤≤﹣ ，代入函数利用函数的奇偶性得到答案.【详解】定义在[﹣3，3]上的奇函数f （x ），已知当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x +a 4x （a ∈R ）， 当x ＝0时，f （0）＝0，解得1+a ＝0，所以a ＝﹣1．故当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x ﹣4x ．当﹣3≤x ≤0时，0≤﹣x ≤3，所以f （﹣x ）＝3﹣x ﹣4﹣x ，由于函数为奇函数，故f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x .故答案为：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式，属于常考题型.20．3【解析】【分析】首先化简所给的指数式然后结合题意求解其值即可【详解】由题意可得：【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则整体数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：3【解析】【分析】首先化简所给的指数式，然后结合题意求解其值即可.【详解】1321223333a b a b a a b +-+====.【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则，整体数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 三、解答题21．（1）1,0a b ==；（2）4k <.【解析】【分析】（1）函数()g x 的对称轴方程为1x =，开口向上，则在[]2,3上单调递增，则可根据最值列出方程，可解得,a b 的值.(2)由题意只需()min k f x <，则只需要求出()f x 在(]2,5上的最小值，然后运用基本不等式求最值即可.【详解】解：（1）()g x Q 开口方向向上，且对称轴方程为 1x =，()g x ∴在[]2,3上单调递增()()()()min max2441139614g x g a a b g x g a a b ⎧==-++=⎪∴⎨==-++=⎪⎩. 解得1a =且0b =.（2）()0f x k ->Q 在(]2,5x ∈上恒成立所以只需()min k f x <.有（1）知()()2211112222242222x x f x x x x x x x x -+==+=-++≥-⋅+=---- 当且仅当122x x -=-，即3x =时等号成立. 4k ∴<.【点睛】本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的位置关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，属于中档题. 22．（1）当时，为偶函数，当时，既不是奇函数，也不是偶函数,；（2）(16]-∞，. 【解析】 【分析】【详解】（1）当时，，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞U ，，，，为偶函数． 当时，2()(00)a f x x a x x =+≠≠，， 取，得(1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，， (1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，函数既不是奇函数，也不是偶函数．（2）设122x x ≤<， ，要使函数在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须恒成立． 121204x x x x -<>Q ，，即恒成立．又，．的取值范围是(16]-∞，． 23．（1）B ∩A =[1，4），B ∩(∁U A )= [-4,1)∪[4,5)；（2）1[,)2+∞ .【解析】【分析】(1)利用补集的定义求出A 的补集,然后根据交集的定义求解即可直接求解即可；(2 )分类讨论B 是否是空集，列出不等式组求解即可.【详解】（1）∵A ={x |1≤x ＜4}，∴∁U A ={x |x ＜1或x ≥4}，∵B ={x |2a ≤x ＜3-a }，∴a =-2时，B ={-4≤x ＜5}，所以B ∩A =[1，4），B ∩(∁U A )={x |-4≤x ＜1或4≤x ＜5}=[-4,1)∪[4,5).（2）A ∪B =A ⇔B ⊆A ，①B =∅时，则有2a ≥3-a ，∴a ≥1,②B ≠∅时，则有，∴,综上所述，所求a 的取值范围为. 【点睛】本题主要考查集合的交集、集合的补集以及空集的应用，属于简答题.要解答本题，首先必须熟练应用数学的转化与划归思想及分类讨论思想，将并集问题转化为子集问题，其次分类讨论进行解答，解答集合子集过程中，一定要注意空集的讨论，这是同学们在解题过程中容易疏忽的地方，一定不等掉以轻心.24．（1）()10f = （2）{|10}x x -≤<．【解析】【分析】（1）根据()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，即可得出()1f 的值；（2）由0x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，根据()f x 的单调性，结合函数的定义域，列出不等式解出x 的范围即可.【详解】（1）令1x y ==，则()()()111f f f =+，()10f =.（2）解法一：由x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，且030x x ->⎧⎨->⎩，即0x <. ∵()()()f xy f x f y =+，(),0,x y ∈+∞且112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()()32f x f x -+-≥-可化为()()1322f x f x f ⎛⎫-+-≥- ⎪⎝⎭，即()()113022f x f f x f ⎛⎫⎛⎫-++-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()()()331112222x x x x f f f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔-+≥⇔-⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则03122x x x <⎧⎪⎨--⋅≤⎪⎩，解得10x -≤<. ∴不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为{|10}x x -≤<．【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.25．（Ⅰ）max ()1f x =，min ()1f x =-；（Ⅱ）()f x 的定义域为(2,2)-，()g x 的值域为(4(1),4(1))a a -+-．【解析】【分析】【详解】试题分析：（Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值，令()22x u x x-=+，变形得到该函数的单调性，求出其值域，再由()()log a f x u x =为增函数，从而求得函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数()f x 的定义域，由对数函数的真数大于0求出函数()f x 的定义域，求函数()g x 的值域，函数()f x 的定义域，即()g x 的定义域，把()f x 的解析式代入()g x 后整理，化为关于x 的二次函数，对a 分类讨论，由二次函数的单调性求最值，从而得函数()g x 的值域．试题解析：（Ⅰ）令24122x u x x -==-++，显然u 在[1,1]x ∈-上单调递减，故u ∈1[,3]3，故3log [1,1]y u =∈-，即当[1,1]x ∈-时，max ()1f x =，（在3u =即1x =-时取得） min ()1f x =-，（在13u =即1x =时取得） (II)由20()2x f x x->⇒+的定义域为(2,2)-，由题易得：2()2,(2,2)g x ax x x =-+∈-， 因为0,1a a >≠，故()g x 的开口向下，且对称轴10x a =>，于是： 1o 当1(0,2)a ∈即1(,1)(1,)2a ∈+∞U 时，()g x 的值域为（11((2),()](4(1),]g g a a a-=-+；2o当12a≥即1(0,]2a∈时，()g x的值域为((2),(2))(4(1),4(1))g g a a-=-+-考点：复合函数的单调性；函数的值域．26．（1）A∪(B∩C)＝{1,2,3,4,5}．（2）(∁U B)∪(∁U C)＝{1,2,6,7,8}．【解析】试题分析：（1）先求集合A,B,C；再求B∩C，最后求A∪(B∩C)（2）先求∁U B，∁U C；再求(∁U B)∪(∁U C)．试题解析：解：(1)依题意有：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，C＝{3,4,5,6,7,8}，∴B∩C＝{3,4,5}，故有A∪(B∩C)＝{1,2}∪{3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．(2)由∁U B＝{6,7,8}，∁U C＝{1,2}；故有(∁U B)∪(∁U C)＝{6,7,8}∪{1,2}＝{1,2,6,7,8}．。
湖南省长沙一中2021 2021学年高一上学期期中数学试题
湖南省长沙一中2021 2021学年高一上学期期中数学试题湖南省长沙一中2021-2021学年高一上学期期中数学试题2022-2022学年，湖南长沙第一中学，高中，第一中学数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.集合M={1,0,1}，n={x|x22x=0}，则m∩n=（）a．{1，0，1}b．{0，1}c．{1}d．{0}2.已知功能，则f[f（2）]=（）a、 0b.1c.2d.33．下列函数中，在区间（0，1）上是增函数的是（）a．y=|x|b．y=3xc、 y=d.y=x2+44.以下函数为偶数函数（a.y=XB.y=2x2）c．y=xd．y=x2十、∈[0，1]5．函数f（x）=2x22x的单调递增区间是（）a．（∞，1]b．[1，+∞）c．（∞，2]d．[2，+∞）6.以下一组不正确的指数和对数公式是（）a.e0=1与ln1=0；b、八,=2与log82=c、 Log39=2和9=3D。
Log33=1和31=37.函数y=loga（x+2）+1的图像交点（）A.（1,2）B.（2,1）C.（2,1）d.（1,1）8．三个数a=0.72，b=log20.7，c=20.7它们之间的大小关系是（）A.A<C<B.B.A<B<CC。
B<a<CD。
B<C<a9．函数f（x）=log3x+x3零点所在大致区间是（）a．（1，2）b．（2，3）c．（3，4）d．（4，5）10.当a>1时，函数y=a在同一坐标系中xy=logax的图像(）a．b．c．d。
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11．函数f（x）=12.当x∈ （1,2），函数f（x）=3的取值范围为13．函数f（x）=是一个偶数函数，定义字段是[A1，2A]，然后是a+B=x+log3（x+2）的域是14．函数f（x）在（1，1）上是奇函数，且在区间（1，1）上是增函数，f（1t）+f （t）＜0，则t的取值范围是．15.计算机的成本不断下降。
湖南省长沙一中2020_2021学年高一数学上学期第一次阶段性检测试题
湖南省长沙一中2020-2021学年高一数学上学期第一次阶段性检测试题时间：120分钟 分值：150分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知全集U =R ，201x A x x ⎧+⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则U A =( ) A.{}21x x -<< B.{}21x x x ≤-≥或 C.{}21x x x ≤->或 D.{}21x x -<≤2.函数()f x =+的定义域为( )A.[)3,1-B.[]3,1-C.[)3,-+∞D.(),1-∞ 3.下列函数为偶函数，且在()0,+∞单调递增的是( ) A.1y x = B.2y x x =+ C.22y x =- D.2y x =- 4.命题“x ∀∈R ，321x x +≤”的否定是( )A.x ∀∈R ，321x x +>B.x ∀∈R ，321x x +≥C.x ∃∈R ，321x x +>D.x ∃∈R ，321x x +≥5.若P =+Q =+()0a ≥，则P 、Q 的大小关系为( )A.P Q >B.P Q =C.P Q <D.由a 的取值确定6.函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数，若()21f =-，则满足()111f x -≤-≤的x 的取值范围为( )A.[]2,2-B.[]1,3-C.[]1,3D.[]1,1-7.已知()2x ϕ=()()2231x f x x ϕ=-，则32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( ) A.15- B.15 C.13- D.138.已知a ，b 都是正数，且3ab a b ++=，则2a b +的最小值为( )A.2-B.3-C.2D.3+二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.)9.已知集合{}24P x x ==，N 为自然数集，则下列表示正确的是( )A.2P ∈B.{}2,2P =-C.{}P ∅⊆D.P N10.下列函数的最小值为4的有( ) A.224y x x =+ B.92y x x =+- C.2y = D.()1111y x x x =++>- 11.以下选项中，是0a <，0b <的一个必要条件的为( )A.0a b ->B.1a b <-C.0a b +<D.21a b +<12.设[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是( )A.x ∀∈R ，[][]22x x =B.,x y ∀∈R ，若[][]x y =，则1x y ->-C.x ∀∈R ，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦D.不等式[][]2230x x --≥的解集为{}02x x x <≥或 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.已知函数()21,12,1x f x x x x <=+≥⎪⎩，则()()0f f =________. 14.已知集合{}220A x x x =--=，{}1B x ax ==，若AB B =，则实数的所有可能的取值组成的集合为________. 15.用{}min ,,a b c 表示a 、b 、c 三个数中的最小值，则()()1241,4,0min f x x x x x ⎧⎫++>⎨⎬⎩⎭=的最大值为________. 16.高二某班共有60人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有15人.这三门课程均选的有10人，三门中任选两门课程的均至少有16人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有________人.四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分10分)。
2020-2021高一数学上期中试卷(带答案)
lg 25 lg 32
1 ，则 2x 5z ，故选
D.
点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的
x, y, z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其
是换底公式以及 0 与 1 的对数表示.
7．C
解析：C 【解析】 x⩽1 时,f(x)=−(x−1)2+1⩽1，
，则
a,
b,
c
的大小关系是
A． a b c
B． a c b
C． b a c
D． b c a
12．函数 f (x) x( x 1) 在[m, n] 上的最小值为 1 ，最大值为 2，则 n m 的最大值为 4
（）
A． 5 2
B． 5 2 22
C． 3 2
D．2
二、填空题
13．幂函数 y=xα,当 α 取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设 点 A(1,0),B(0,1),连接 AB,线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y=xα,y=xβ 的图像三等分,即有 BM=MN=NA,那么,αβ 等于_____.
25．某厂生产某产品的年固定成本为 250 万元，每生产 千件，需另投入成本 （万
元），若年产量不足 千件， 的图象是如图的抛物线，此时
的解集为
，且 的最小值是 ，若年产量不小于 千件，
，每千件商品售价为 50 万元，通过市场分析，该厂生产的商
品能全部售完.
（1）写出年利润 （万元）关于年产量 （千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
f3 (x) x ， f4 (x) log2 (x 1) ，有以下结论：
2020-2021长沙市高三数学上期中第一次模拟试题(附答案)
2020-2021长沙市高三数学上期中第一次模拟试题(附答案)一、选择题1．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则2018S =（ ） A ．2018B ．2018-C ．4036-D ．40362．若不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]0,1C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U3．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49B ．91C ．98D ．1824．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．165．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ） A ．5B ．25CD．6．已知：0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2- B ．(][),42,-∞-+∞U C ．()2,4-D ．(][),24,-∞-⋃+∞7．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2B ．92 C ．143D ．59．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足21,,n n n S S S ++成等差数列，则3a等于( ) A ．12B ．12-C ．14D ．14-10．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( ) A ．9B ．27C ．54D ．8111．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}na 为等差数列，则9=a ( ) A ．12B ．54C ．45D ．45-12．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<二、填空题13．已知数列111112123123n+++++++L L L ，，，，，，则其前n 项的和等于______． 14．已知数列{}n a 满足11a =，111n na a +=-+，*n N ∈，则2019a =__________． 15．已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为________．16．定义11222n n n a a a H n-+++=L 为数列{}n a 的均值,已知数列{}n b 的均值12n n H +=,记数列{}n b kn -的前n 项和是n S ,若5n S S ≤对于任意的正整数n 恒成立,则实数k 的取值范围是________．17．数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为_____．18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++等于______. 19．已知数列{}n a的通项n a =15项的和等于_______.20．已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为__________．三、解答题21．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{nS n}的前10项和． 22．已知函数()3sin cos f x x x =-. （1）求函数()f x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域； （2）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若78663f A f B ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求a b 的取值范围． 23．已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,2cos (cos cos )0.a b c C a C c A b ++=， （1）求角C 的大小；（2）若2,23,b c ==，求ABC ∆的面积.24．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，24S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13,n n n n b T a a +=是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m .25．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1． （1）求角A 的大小； （2）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．26．已知数列{}n a 的前n 项和()2*,,n S pn qn p q n =+∈∈R N ，且143,24.a S ==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：由题意首先求得10091a =，然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.详解：由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：120171009201710092201720172017201722a a aS a +=⨯=⨯==，则10091a =，据此可得：()12018201710091010201810091009440362a a S a a +=⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．D解析：D 【解析】 【分析】要确定不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围． 【详解】不等式组0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…表示的平面区域如图中阴影部分所示．由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，由022y x y =⎧⎨+=⎩得()10B ,． 若原不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭U 故选：D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．3．B解析：B 【解析】∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．4．A解析：A 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =，利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即：2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.5．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得c =．由余弦定理可得：5b ===． 6．A解析：A 【解析】 【分析】若222x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y +的最小值,进而求解即可. 【详解】由题,因为211x y+=,0x >,0y >,所以()2142224448x y x y x y y x ⎛⎫++=+++≥+=+=⎪⎝⎭,当且仅当4x y y x =,即4x =,2y =时等号成立,因为222x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<, 故选:A 【点睛】本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.7．D解析：D 【解析】 【分析】由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案． 【详解】由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅， 结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅， 所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=， 所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=o ， 所以三角形是等腰或直角三角形． 故选D ． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．8．B解析：B 【解析】 【分析】由1x y +=得(1)2x y ++=，再将代数式(1)x y ++与141x y++相乘，利用基本不等式可求出141x y++的最小值． 【详解】1x y +=Q ，所以，(1)2x y ++=，则1414412()[(1)]()559111x y x y x y x y y x ++=+++=++=+++…， 所以，14912x y ++…， 当且仅当4111x y y x x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，因此，141x y ++的最小值为92， 故选B ． 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．9．C解析：C 【解析】试题分析：由21,,n n n S S S ++成等差数列可得，212n n n n S S S S +++-=-，即122n n n a a a ++++=-，也就是2112n n a a ++=-，所以等比数列{}n a 的公比12q =-，从而2231111()24a a q ==⨯-=，故选C.考点：1.等差数列的定义；2.等比数列的通项公式及其前n 项和.10．B解析：B【解析】 【分析】根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，由22a 为13a 和3a 的等差中项，可得21322a 3a a ⨯=+，利用等比数列的通项公式代入化简为2q 4q 30-+=，解得q ，又21a a 2-=，即()1a q 12-=，q 1≠，分析可得1a 、q 的值，可得数列{}n a 的通项公式，将n 4=代入计算可得答案． 【详解】解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，若22a 为13a 和3a 的等差中项，则有21322a 3a a ⨯=+，变形可得21114a q 3a a q =+，即2q 4q 30-+=，解得q 1=或3；又21a a 2-=，即()1a q 12-=，则q 3=，1a 1=，则n 1n a 3-=，则有34a 327==；故选：B ． 【点睛】本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．11．C解析：C 【解析】 【分析】由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 【详解】依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}na 为等差数列，所以7311111273738--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以945=a ，故选C ． 【点睛】本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础12．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.二、填空题13．【解析】【分析】由题意可知此数列为将代入根据数列特点将通项公式化简利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项以1为公差的等差数列的前n 项和由公式可得：所以数列通项解析：21nn + 【解析】 【分析】由题意可知此数列为1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，将n S 代入，根据数列特点，将通项公式化简，利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和. 【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项，以1为公差的等差数列的前n 项和，由公式可得：()12n n n S +=，所以数列通项：()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 求和得：122111nn n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查数列通项公式与数列求和，当通项公式为分式且分母为之差为常数时，可利用裂项相消的方法求和，裂项时注意式子的恒等，有时要乘上系数.14．-2【解析】【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性进而得到结果【详解】根据题干表达式得到可以得数列具有周期性周期为3故得到故得到故答案为：-2【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项一般方法是解析：-2 【解析】 【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性，进而得到结果. 【详解】根据题干表达式得到2341231111,2, 1.1211a a a a a a =-=-=-=-=-=+++ 5674551111,2, 1.1211a a a a a a =-=-=-=-=-=+++ 可以得数列具有周期性，周期为3，故得到20193673.÷= 故得到2019 2.a =- 故答案为：-2. 【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项，一般方法是求出数列通项，对于数列通项不容易求的题目，可以列出数列的一些项，得到数列的周期或者一些其它规律，进而得到数列中的项.15．【解析】【分析】待定系数得到得到【详解】因为满足所以即得到所以而故是以为首项为公比的等比数列所以故故答案为：【点睛】本题考查由递推关系求数列通项待定系数法构造新数列求通项属于中档题 解析：1231n -⋅-【解析】 【分析】待定系数得到()13n n a a λλ++=+，得到λ 【详解】因为{}n a 满足132n n a a +=+， 所以()13n n a a λλ++=+， 即132n n a a λ+=+，得到1λ=， 所以()1131n n a a ++=+， 而112a +=，故{}1n a +是以2为首项，3为公比的等比数列，所以1123n n a -+=⋅，故1231n n a -=⋅-.故答案为：1231n -⋅-. 【点睛】本题考查由递推关系求数列通项，待定系数法构造新数列求通项，属于中档题.16．【解析】【分析】因为从而求出可得数列为等差数列记数列为从而将对任意的恒成立化为即可求得答案【详解】故则对也成立则数列为等差数列记数列为故对任意的恒成立可化为:；即解得故答案为:【点睛】本题考查了根据解析：712[,]35【解析】【分析】因为1112222n n n b b b n -+++⋯+=⋅,2121()2212n nn b b b n --++⋯+=-⋅,从而求出2(1)n b n =+,可得数列{}n b kn -为等差数列,记数列{}n b kn -为{}n c ,从而将5n S S ≤对任意的*(N )n n ∈恒成立化为50c ≥,60c ≤,即可求得答案. 【详解】Q 1112222n n n n b b b H n-++++==L ,∴ 1112222n n n b b b n -++++=⋅L ,故2121()(22212)n nn b b n b n --⋅++=-≥+L ,∴112212()n n n n b n n -+=⋅--⋅1()2n n =+⋅,则2(1)n b n =+,对1b 也成立,∴2(1)n b n =+,则()22n b kn k n -=-+,∴数列{}n b kn -为等差数列,记数列{}n b kn -为{}n c .故5n S S ≤对任意的*N ()n n ∈恒成立,可化为:50c ≥,60c ≤；即5(2)206(2)20k k -+≥⎧⎨-+≤⎩,解得,71235k ≤≤,故答案为:712[,]35． 【点睛】本题考查了根据递推公式求数列通项公式和数列的单调性,掌握判断数列前n 项和最大值的方法是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.17．1830【解析】【分析】由题意可得…变形可得…利用数列的结构特征求出的前60项和【详解】解：∴…∴…从第一项开始依次取2个相邻奇数项的和都等于2从第二项开始依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项以1解析：1830 【解析】 【分析】由题意可得211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，…，504997a a -=，变形可得312a a +=，428a a +=，752a a +=，8624a a +=，972a a +=，121040a a +=，13152a a +=，161456a a +=，…，利用数列的结构特征，求出{}n a 的前60项和． 【详解】解：1(1)n n a ++-Q 21n a n =-，∴211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，…，504997a a -=，∴312a a +=，428a a +=，752a a +=，8624a a +=，9112a a +=，121040a a +=，13112a a +=，161456a a +=，…，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，{}n a 的前60项和为1514152(15816)18302⨯⨯+⨯+⨯=， 故答案为：1830． 【点睛】本题主要考查递推公式的应用，考查利用构造等差数列求数列的前n 项和，属于中档题．18．【解析】【分析】根据等差数列的前项和转化为关于和的数量关系来求解【详解】等差数列的前项和为则有解得故答案为【点睛】本题考查了等差数列前项和的公式运用在解答此类题目时可以将其转换为关于和的数量关系来求解析：【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和转化为关于1a 和d 的数量关系来求解 【详解】Q 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，39S =，636S =，则有()()31613313926616362S a d S a d ⎧⨯-=+=⎪⎪⎨⨯-⎪=+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩78911116783213121245a a a a d a d a d a d ∴++=+++++=+=⨯+⨯=故答案为45 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和的公式运用，在解答此类题目时可以将其转换为关于1a 和d 的数量关系来求解，也可以用等差数列和的性质来求解，较为基础。
湖南省长沙市第一中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题
湖南省长沙市第一中学【最新】高一上学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{|21,}A x x k k ==+∈Z ，则（ ）A ．3A ⊆B ．3A ∈C ．3A ∉D ．3 A 2．下列函数既是偶函数又有零点的是（ ）A ．21y x =+B ．||2x y =C ．2y x x =+D ．1lg ||y x =+ 3．已知函数()f x ，()g x 由下列表格给出，则()3f g =⎡⎤⎣⎦（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()4x f x m =+，则12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭( ) A ．1 B ．2-C ．1-D ．32- 5．函数()f x 与()x g x a =互为反函数，且()g x 过点()2,4-，则()()12f f +=( )A ．1-B ．0C ．1D ．146．根据表格中的数据，可以断定方程e 20x x --=的一个根所在的区间是( )A ．(1,0.5)-B ．()1,0-C ．()1,2D ．()2,37．如图，在直三棱柱111ABC A B C -(侧棱1AA 垂直于底面ABC 中，D 为11A B 的中点，12AB BC BB ===，AC =BD 与AC 所成的角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．我们处在一个有声的世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)．对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算： 010lg I I η=⋅(其中I 0是人耳能听到的声音的最低声波强度)．设η1＝70 dB 的声音强度为I 1，η2＝60 dB 的声音强度为I 2，则I 1是I 2的（ ）A ．76倍B ．10倍C ．7106倍D ．7ln 6倍 9．下列不等式中不成立的是（ ）A ．0.50.556<B ．22log 3log 5<C ．0.23log 0.83-<D ．0.30.40.10.1< 10．若三棱锥P ABC -中，PA PB ⊥，PB PC ⊥，PC PA ⊥，且1PA =，2PB =，3PC =，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．72πB ．14πC ．28πD ．56π11．已知函数2,1()1,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若1x ∃、2R x ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则a 的取值范围是（ ）．A ．2a >B ．2a <C ．22a -<<D ．2a <-或2a >12．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]2.32=，[]1.82-=-，方程113x ⎡+-⎤=⎣⎦的解集为A ，集合{}22211150B x x kx k =-+-<，且A B R =，则实数k 的取值范围是（ ）A ．6446,,5335⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦B ．6422,,5335⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．6422,,5335⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D ．6422,,5335⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦二、填空题 13．已知幂函数()f x 经过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()9f =__________.14．不等式()12log 11x ->-的解集为__________.15．碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”.碳14的“半衰期”是5730年，即碳14大约每经过5730年就衰变为原来的一半.科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14.动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变.死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14就按其确定的规律衰变.经探测，一块鸟化石中碳14的残留量约为原始含量的375%..设这只鸟是距探测时t 年前死亡的，则t 满足的等式为__________.16．已知，若定义域为[]0,1的函数()f x 同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②()11f =；③当10x ≥，20x ≥，121x x +≤时，()()()1212f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为Z 函数.以下说法：（1）若函数()f x 为Z 函数，则()00f =；（2）函数()[]()210,1x g x x =-∈是一个Z 函数；（3）若函数()f x 为Z 函数，则函数在区间[]0,1上单调递增；（4）若函数()f x 、()g x 均为Z 函数，则函数()()mf x ng x +（0m >，0n >，且1m n +=）必为Z 函数，正确的有__________（填写序号）.三、解答题17．若函数2x y =+的定义域为集合A ，集合21log ,,42B y y x x ⎧⎫⎡⎤==∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭. （1）求A R ，A B ； （2）若集合{}24x m C x -=≥，且C ()A B ，求实数m 的取值范围. 18．如图所示的圆锥SO 中，母线长为4，且其侧面积为8π.（1）求该圆锥的体积；（2）若AB 为底面直径，点P 为SA 的中点，求圆锥面上P 点到B 点的最短距离. 19．如图，正方形1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为1A B ，AC 的中点.（1）证明：//EF 平面11AC D ；（2）求三棱锥11F A C D -的体积.20．牧场中羊群的最大蓄养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增长量y （只）和实际蓄养量x （只）与空闲（空闲率=-最大畜养量实际畜养量最大畜养量）的乘积成正比，比例系数为()0k k >. （1）写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）求羊群年增长量的最大值；（3）当羊群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围.21．已知二次函数()2224f x x mx m =+++. （1）若函数()f x 有两个零点，且一个小于1，一个大于4，求实数m 的取值范围； （2）若关于x 的方程()240x f +=有实数解，求实数m 的取值范围. 22．已知函数()21a f x x x=+-（a 为常数）. （1）当1a =-时，判断()f x 在()0,∞+的单调性，并说明理由；（2）若存在x ∈R ，使不等式()20x f >成立，求a 的取值范围；f x零点的个数. （3）讨论()参考答案1．B【分析】根据元素与集合的关系以及表示方法即可求解.【详解】由21,x k k =+∈Z ，可得x 表示的是奇数，所以3A ∈，故选：B【点睛】本题考查了元素与集合之间的关系以及表示方法，属于基础题.2．D【分析】利用函数的奇偶性定义以及函数的零点定义即可求解.【详解】对于A ，函数21y x =+为偶函数，令210y x =+=，方程无解，故函数无零点，A 不选； 对于B ，函数||2x y =为偶函数，令||20x y ==，方程无解，故函数无零点，B 不选； 对于C ，函数2y x x =+为非奇非偶函数，C 不选；对于D ，函数1lg ||y x =+为偶函数，令1lg ||0y x =+=，解得110x =±，故函数有零点，D 符合题意；故选：D【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及函数的零点，需掌握函数奇偶性定义和零点定义，属于基础题. 3．A【分析】根据上表的对应关系，可得()32g =，进而求解[(3)](2)f g f =，即可得到答案.【详解】解：由题意，根据上表的对应关系，可得()32g =，所以[(3)](2)4f g f ==，故选：A.4．C【分析】由题意可得()00f =，进而求出1m =-，再利用函数为奇函数可得1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入解析式即可求解【详解】由函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()4x f x m =+， 则()00f =，即040m +=，解得1m =-，所以()41xf x =- 又1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1214112f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以112⎛⎫-=- ⎪⎝⎭f ， 故选：C【点睛】 本题考查了奇函数的性质，利用函数的奇偶性求函数值，解题的关键是求出参数值，属于基础题.5．A【分析】利用反函数的定义以及性质求出()f x 的解析式，代入即可求解.【详解】由题意可得()log a f x x =，又()g x 过点()2,4-，则()4,2-在()f x 上，即2log 4a -=，解得12a =，所以()12log f x x =，所以()()1122log 1l 1og 20121f f +=+=-=-， 故选：A【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的关系以及反函数的性质，属于基础题.6．C【分析】利用零点存在性定理即可判断.【详解】令()2xf x e x =--， 由表中数据可得()1 2.7230.280f =-=-<，()27.394 3.390f =-=>，所以()()120f f ⋅<，故函数零点所在的区间为()1,2.故选：C【点睛】本题考查了零点存在性定理的应用，需熟记定理的内容，属于基础题.7．C【分析】取11B C 的中点E ，连接,DE BE ，得BDE ∠或其补角为所求，在DEB ∆中求解角即可.【详解】如图，取11B C 的中点E ，连接,DE BE ，则11DE AC AC ， 故BDE ∠或其补角为所求异面直线BD 与AC 所成的角，又BD BE ==DE所以DEB ∆为等边三角形，所以60DEB ∠=，故选：C【点睛】本题考查了求异面直线所成角的大小，解题的关键是找到与异面直线所成角的大小相等的两角，属于基础题.8．B【分析】根据对数运算解出12,I I ，再由12II 得出答案.【详解】 由题意，令17010lg I I =，则有I 1＝I 0×107.同理得I 2＝I 0×106，所以12II ＝10.故选：B【点睛】本题主要考查了对数函数模型的应用，属于基础题.9．D【分析】利用指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质，即可判断.【详解】对于A ，0.5y x =为增函数，0.50.556∴<，故A 正确；对于B ，2log y x =为增函数，22log 3log 5∴<，故B 正确；对于C ，33log 0.8log 10<=，0.230->，0.23log 0.83-∴< ，故C正确； 对于D ，0.1x y =为减函数，则0.30.40.10.1>，故D 不正确；故选：D【点睛】本题考查了指数函数、对数函数、幂函数的性质，属于基础题.10．B【分析】将棱锥补成长方体，根据长方体的外接球的求解方法法得到结果. 【详解】根据题意得到棱锥的三条侧棱两两垂直，可以以三条侧棱为长方体的楞，该三棱锥补成长方体，两者的外接球是同一个，外接球的球心是长方体的体对角线的中点处．设球的半径为 R ，则()2222227123242R R R ++==⇒= 表面积为2414.S R ππ== 故答案为B. 【点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球. 11．B 【解析】 【分析】对a 的范围分类讨论，当2a <时，函数()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递增，在,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，即可判断：1x ∃、2R x ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立. 当2a ≥时，函数()f x 在R 上单调递增，即可判断：一定不存在1x 、2R x ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立，问题得解. 【详解】 当2a <时，12a <，函数()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递增，在,12a ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，则：1x ∃、2R x ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立. 当2a ≥时，12a≥，函数()f x 在(),1-∞上递增，在()1,+∞也递增，又21111a a -+⨯=⨯-， 所以函数()f x 在R 上单调递增，此时一定不存在1x 、2R x ∈，12x x ≠，使得12()()f x f x =成立. 故选：B 【点睛】本题主要考查了分类思想及转化思想，还考查了函数单调性的判断，属于难题。
湖南省长沙市第一中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题
长沙市第一中学2021-2022学年度高一第一学期期中考试数学时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合{}2=P x x x <，则（）A.1P -∈B.0P∉ C.[]0,1P⊆ D.{}0,1P ⊂≠2.函数()122xxf x =+在定义域R 上是（）A.增函数B.减函数C.奇函数D.偶函数3.已知集合{}1S x ax ==是集合{}210T x x =-=的子集，则符合条件的实数a 的值共（）A.1个B.2个C.3个D.无数个4.“12x >”是“12x <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.函数()f x x =-）A.(],0-∞ B.[)0,+∞ C.(],1-∞ D.[)1,+∞6.已知,,a b R a b ∈>，则下列不等式不恒成立的是（）A .a b +> B.0a b -> C.22a b > D.11a b<7.设0.10.10.20.2,0.1,0.1a b c ---===，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A.a b c<< B.a c b<< C.c a b<< D.c b a<<8.设函数()y f x =的定义域为R ，对于任一给定的正数p ，定义函数()()()(),,p f x f x p f x p f x p⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则称()p f x 为()f x 的“p 界函数”．若函数()221f x x x =--，则下列结论：①()222f =；②()2f x 的值域为[]22-,；③()2f x 在[]1,1-上单调递减；④函数()21y f x =+为偶函数．其中正确的结论共有（）A .4个B.3个C.2个D.1个二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.下列各组函数中，()f x 与()g x 是同一函数的是（）A.()()2,f x g x ==B.()()12,2xxf xg x -⎛⎫== ⎪⎝⎭C.()()f x g x == D.()()3,9xxf xg x ==10.下列函数中既是奇函数且在()0,1x ∈上递增的函数是（）A.()1f x x x=+B.()1f x x x=-C.()11f x x x =+--D.()1,01,0x x f x x x +>⎧=⎨-<⎩11.下列命题中正确的是（）A.已知集合,M P 满足命题“1212,,0x M x P x x ∀∈∃∈-=”为真命题，则M P ⊆B.已知集合,M P 满足命题“221212,,0x M x P x x ∀∈∃∈-=”为真命题，则M P⊆C.已知集合M 满足命题“2,2x M x x ∃∈-<”为真命题，则{}12M x x ⊆-<<D.已知集合M 满足命题“,11x M x ∃∈-≥”为假命题，则{}02M x x ⊆<<12.如果对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在函数()f x 的定义域内，就有()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长，则称()f x 为“三角形型函数”．则下列函数中为“三角形型函数”的是（）A.()()1,0,2f x x x =∈+∞ B.()()12,0,f x x x =∈+∞C.()()2,0,xf x x =∈+∞ D.()()1,0,1f x x x x =+∈+∞+三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数()xf x a-=（其中0,1a a >≠）在R 上递增，则a 的取值范围是__________．14.设函数()20,0x f x x x <=≥⎪⎩，则使得()1f a =的a 的值为__________．15.函数()f x =A ，若3A ∈，则a 的取值范围是__________．16.已知()2,01,0x a x f x x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩（1）若1a =，则()f x 的最小值为__________；（2）若存在两个不同的实数12,x x 使得()()120f x f x ==，则实数a 的取值范围是__________．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.已知集合()()12212,,4x A x B f x f x x x A -⎧⎫⎧=<<==∈⎨⎨⎬⎩⎩⎭．（1）求集合,A B ；（2）求()()R RA B痧．18.从偶函数的定义出发，证明函数()y f x =是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称.19.已知函数()231x f x a =--是奇函数．（1）求实数a 的值，并说明理由；（2）求函数()f x 的值域．20.新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供x （[]0,10x ∈）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，A 公司在收到政府x （万元）补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫=⋅-⎪+⎝⎭（万件），其中k 为工厂工人的复工率（[]0.5,1k ∈），A 公司生产t 万件防护服还需投入成本20950x t ++（万元）．（1）将A 公司生产防护服的利润y （万元）表示为补贴x （万元）的函数（政府补贴x 万元计入公司收入）；（2）当复工率0.8k =时，政府补贴多少万元才能使A 公司的防护服利润达到最大？并求出最大值．21.已知二次函数()2f x ax bx =+满足()22f =．（1）设0,0a b >>，求12a a b++的最小值；（2）若对[]()0,2,21x f x x ∀∈≤+恒成立，求实数a 的取值范围．22.已知函数()1x f x x =-．（1）讨论函数()f x 的奇偶性和单调性，并说明理由；（2）若函数()f x 与()2g x k x =⋅的图象有四个不同的公共点，求实数k 的取值范围．长沙市第一中学2021-2022学年度高一第一学期期中考试数学时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合{}2=P x x x <，则（）A.1P-∈ B.0P∉ C.[]0,1P⊆ D.{}0,1P ⊂≠【答案】B 【解析】【分析】解不等式确定集合P ，然后根据集合的定义和包含关系判断．【详解】由已知{}2={|01}P x x x x x <=<<，因此只有0P ∉正确．故选：B ．2.函数()122xxf x =+在定义域R 上是（）A.增函数B.减函数C.奇函数D.偶函数【答案】D 【解析】【分析】根据奇偶性的定义，复合函数的单调性判断．【详解】11()22()22xxx x f x f x ---=+=+=，函数为偶函数，1()22x xf x =+是由函数1(0)y u u u=+>与函数2x u =复合所得，其中2x u =是R 上的增函数，且(0,)u ∈+∞，0x <时，01u <<，0x >时，1u >，但1y u u=+在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以()f x 在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增，排除AB ．故选：D ．3.已知集合{}1S x ax ==是集合{}210T x x =-=的子集，则符合条件的实数a 的值共（）A.1个B.2个C.3个D.无数个【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得{}1,1T =-，结合S T ⊆,则分类讨论当S =∅，{}1S =，{}1S =-三种情况，分别求出a 的值，即可得出结果.【详解】解：由题可知，集合{}1S x ax ==，集合{}{}2101,1T x x =-==-，S T ⊆ ,则当S =∅时，可知0a =显然成立；当{}1S =时，可得1a =，符合题意；当{}1S =-时，可得1a =-，符合题意；故满足条件的实数a 的值共3个.故选：C.4.“12x >”是“12x <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】12x >时12x <成立，12x <时如112x =-<，则1x =-12<，因此只能是充分不必要条件，故选：A ．5.函数()f x x =-）A.(],0-∞ B.[)0,+∞ C.(],1-∞ D.[)1,+∞【答案】C 【解析】【分析】根据题意10x -≥，利用换元法，令t =，得出0t ≥，21x t =-，则将原式转化为关于t 的二次函数，再根据二次函数的图象与性质，即可求出()f x 的最值，即可得出答案.【详解】解：由题可得10x -≥，令t =0t ≥，21x t =-，所以()22151,024f x t t t x t ⎛⎫==--=-++≥ ⎪⎝⎭，当0t =时，()f x 取得最大值为1，没有最小值，所以函数()f x x =-(],1-∞.故选：C.6.已知,,a b R a b ∈>，则下列不等式不恒成立的是（）A.0a b +>B.0a b ->C.22a b > D.11a b<【答案】D 【解析】【分析】根据题意可知0a >，在讨论b 的正负，一一判断即可.【详解】由题意可知，0a >.因0a b >≥，所以22a b >，即22a b >，故C 正确；当0b ≥时，a b >，此时0a b +>与0a b ->都成立，而当0b <时，a b >-，此时0a b +>与0a b ->也都成立，因此AB 正确；当0b <时，因0a >，所以11a b>，故D 错.故选：D.7.设0.10.10.20.2,0.1,0.1a b c ---===，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A.a b c<< B.a c b<< C.c a b<< D.c b a<<【答案】A 【解析】【分析】结合函数的单调性确定正确选项.【详解】函数0.1y x -=在()0,∞+上递减，所以a b <.函数0.1x y =在R 上递减，所以b c <.所以a b c <<.故选：A8.设函数()y f x =的定义域为R ，对于任一给定的正数p ，定义函数()()()(),,p f x f x p f x p f x p⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则称()p f x 为()f x 的“p 界函数”．若函数()221f x x x =--，则下列结论：①()222f =；②()2f x 的值域为[]22-,；③()2f x 在[]1,1-上单调递减；④函数()21y f x =+为偶函数．其中正确的结论共有（）A .4个B.3个C.2个D.1个【答案】B 【解析】【分析】根据题意，表示出函数()2f x 的解析式，再结合图像性质一一判断即可.【详解】由2212x x --≤，解得13x -≤≤，因此()2221,132,12,3x x x f x x x ⎧---≤≤⎪=<-⎨⎪>⎩.对于①，()22222211f =-⨯-=-，故①错；对于②，当13x -≤≤时，22212x x -≤--≤，结合()2f x 的解析式可知，()2f x 的值域为[]22-,，故②正确；对于③，当11x -≤≤时，()()2221f x f x x x ==--，结合图像性质可知，()2f x 在[]1,1-上单调递减，故③正确；对于④，()222,2212,22,2x x y f x x x ⎧--≤≤⎪=+=<-⎨⎪>⎩，结合图像可知函数()21y f x =+为偶函数，故④正确.故选：B.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.下列各组函数中，()f x 与()g x 是同一函数的是（）A.()()2,f x g x ==B.()()12,2xx f x g x -⎛⎫== ⎪⎝⎭C.()()f x g x == D.()()3,9xxf xg x ==【答案】BC【解析】【分析】确定函数的定义域与对应法则是否相同即可得．【详解】A 中()f x 定义域是[0,)+∞，()g x 的定义域是R ，不是同一函数；B 中1()22xxf x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，与()g x 定义域、对应法则都相同，是同一函数；C 中两个函数定义域都是[1,)+∞，且()f x ==，与()g x 的对应法则相同，是同一函数；D 中两个函数的对应法则不相同，不是同一函数．故选：BC ．10.下列函数中既是奇函数且在()0,1x ∈上递增的函数是（）A.()1f x x x=+B.()1f x x x=-C.()11f x x x =+-- D.()1,01,0x x f x x x +>⎧=⎨-<⎩【答案】BCD 【解析】【分析】根据奇偶性定义判断奇偶性，化简函数式后，根据函数的表达式判断单调性．【详解】A ．1()()f x x f x x-=--=-，是奇函数，由对勾函数性质知其在(0,1)上递减，B ．1()()f x x f x x-=-+=-，是奇函数，y x =是R 上的增函数，1y x =在(0,)+∞上是减函数，因此1()f x x x=-在(0,)+∞上递增，B 正确；C ．()1111()f x x x x x f x -=-+---=--+=-，是奇函数，(0,1)x ∈时，()1(1)2f x x x x =+--=，是增函数，C 正确；D ．0x >时，()1f x x =+是增函数，又0x >时，0x -<，()1()f x x f x -=--=-，0x <时，()1(1)()f x x x f x -=-+=--=-，所以()f x 是奇函数，D 正确．故选：BCD ．11.下列命题中正确的是（）A.已知集合,M P 满足命题“1212,,0x M x P x x ∀∈∃∈-=”为真命题，则M P ⊆B.已知集合,M P 满足命题“221212,,0x M x P x x ∀∈∃∈-=”为真命题，则M P⊆C.已知集合M 满足命题“2,2x M x x ∃∈-<”为真命题，则{}12M x x ⊆-<<D.已知集合M 满足命题“,11x M x ∃∈-≥”为假命题，则{}02M x x ⊆<<【答案】AD 【解析】【分析】结合命题的真假性对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】A ，“1212,,0x M x P x x ∀∈∃∈-=”为真命题，21x x =,则M P ⊆，A 正确.B ，“()()2212121212,,0x M x P x x x x x x ∀∈∃∈-=+-=”为真命题，21x x =或21x x =-，所以,M P 不一定有包含关系，B 错误.C ，“2,2x M x x ∃∈-<”为真命题，()()22210,12x x x x x --=-+<-<<，如RM =符合，所以C 错误.D ，“,11x M x ∃∈-≥”为假命题，“,11x M x ∀∈-<”为真命题，111x -<-<，02x <<，则{}02M x x ⊆<<，D 正确.故选：AD12.如果对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在函数()f x 的定义域内，就有()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长，则称()f x 为“三角形型函数”．则下列函数中为“三角形型函数”的是（）A.()()1,0,2f x x x =∈+∞ B.()()12,0,f x x x =∈+∞C.()()2,0,xf x x =∈+∞ D.()()1,0,1f x x x x =+∈+∞+【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意，要使()f x 为“三角形型函数”，只需满足两边之和大于第三边，结合函数单调性与不等式的性质，一一判断即可.【详解】根据题意，设0a b c <≤≤，且a b c +>.对于选项A ，易知()12f x x =在()0,∞+上单调递增，因此()()()22a b cf a f b f c ++=>=，故()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长，故A 正确；对于选项B ，易知()12f x x =在()0,∞+上单调递增，因此()()f a f b +=，()f c =，因2a b c =++，所以()()()f a f b f c +>，故()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长，故B 正确；对于选项C ，当2a b ==，3c =时，()()()8f a f b f c +==，因此不满足题意，故C 错；对于选项D ，()1111f x x x =++-+，结合对勾函数易知()f x 在()0,∞+上单调递增，因()()()111111f a f b a b c f c a b c +=+++>+=+++，所以()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长，故D 正确.故选：ABD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数()xf x a -=（其中0,1a a >≠）在R 上递增，则a 的取值范围是__________．【答案】(0,1)【解析】【分析】根据指数函数的单调性求解．【详解】1()xxf x aa -⎛⎫== ⎪⎝⎭是增函数，则11a >，01a <<．故答案为：(0,1)．14.设函数()20,0x f x x x <=≥⎪⎩，则使得()1f a =的a 的值为__________．【答案】1【解析】【分析】根据分段函数定义分类讨论可得．【详解】0a <时，()1f a ==，0a =舍去，0a ≥时，2()1f a a ==，1a =，故答案为：1．15.函数()f x =A ，若3A ∈，则a 的取值范围是__________．【答案】1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】对a 进行分类讨论，结合函数定义域求得a 的取值范围.【详解】当0a =时，()(),0f x x =∈-∞，()3,0∉-∞，所以0a =不符合题意.所以0a ≠.由于3A ∈，所以()()3160310,,660a a a a a ⎧-+≥-≥⎨++≠⎩解得6a <-或13a ≥.()()12010,220ax x a ax x a x a ⎧-+≥-≥⎨++≠⎩①，当6a <-时，①解得1x a ≤或2ax >-，6,32aa ->->，3A ∉，所以6a <-不符合题意.当13a ≥时，①解得2a x <-或1x a≥，(]10,3a∈，3A ∈，符合题意.综上所述，a 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭16.已知()2,01,0x a x f x x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩（1）若1a =，则()f x 的最小值为__________；（2）若存在两个不同的实数12,x x 使得()()120f x f x ==，则实数a 的取值范围是__________．【答案】①.1-②.()0,∞+【解析】【分析】（1）1a =时，结合指数函数、绝对值的知识求得()f x 的最小值.（2）对a 进行分类讨论，结合“存在两个不同的实数12,x x 使得()()120f x f x ==”求得a 的取值范围.【详解】（1）1a =时，()21,011,0xx f x x x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩，()()0,20,1,211,0x x x <∈-∈-，0x ≥，11,10,111x x x -≥--≥--≥-，所以()f x 的最小值为1-.（2）()2,01,0x a x f x x a x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩，0x <，021,21x x a a a <<-<-<-，10,1x a x a --==+或1x a =-.若0a ≤，则20x a ->，而10x a =-<，()f x 至多只有1个零点，不符合题意.当01a <<时，()f x 在区间(),0-∞上，()220,log ,0xa x a -==∈-∞，()10,11,2x a x a =-<=+∈，符合题意.当1a =时，()211,0x-∈-，()()00,20f f ==，符合题意.当1a >时，210x a a -<-<，10,12x a x a =->=+>，符合题意.综上所述，a 的取值范围是()0,∞+.故答案为：1-；()0,∞+四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.已知集合()()12212,,4x A x B f x f x x x A -⎧⎫⎧=<<==∈⎨⎨⎬⎩⎩⎭．（1）求集合,A B ；（2）求()()R RA B痧．【答案】（1）1=,42A ⎛⎫⎪⎝⎭，2,22B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭;（2）[)2,2⎛∞+∞ ⎝⎦ -，.【解析】【分析】(1)直接解指数型不等式即可得出集合A ，由A 的结果可求出幂函数()12f x x =的值域，从而得出集合B ；(2)根据补集的运算分别求出A R ð和B R ð，再由并集的运算即可求出()()R RA B痧的结果.【小问1详解】解：由题可知，32222112=222=,442x xA x x ---⎧⎫⎧⎛⎫=<<<<⎨⎨⎬ ⎪⎩⎝⎭⎩⎭，()()12,B f x f x x x A ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，可知当1,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，得12,22x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，即(),22f x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以,22B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.【小问2详解】解：由（1）得1=,42A ⎛⎫⎪⎝⎭，,22B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则[)1=4,2R A ⎛⎤∞+∞ ⎥⎝⎦ -，ð，[)=2,2R B ⎛∞+∞ ⎝⎦ -，ð,所以()()[)=2,2R R A B ⎛∞+∞ ⎝⎦ -，痧.18.从偶函数的定义出发，证明函数()y f x =是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称.【答案】证明见详解.【解析】【分析】根据()f x 是偶函数的定义，从充分性和必要性两个方面进行推导即可.【详解】不妨设()f x 的定义域为D ，先证，若函数()y f x =是偶函数，则它的图象关于y 轴对称.因为()f x 是偶函数，即()()f x f x =-对任意的x D ∈恒成立，任取()f x 上的一点为()(),x f x ，因为()()f x f x =-，故点()(),x f x -均在()f x 的图象上，又该两点关于y 轴对称，且x 具有任意性，即对函数()f x 上的任意一点，其关于y 轴对称的点也一定在()f x 上，即()f x 的图象关于y 轴对称，即证；再证：若()f x 的图象关于y 轴对称，则()f x 是偶函数.因为()f x 的图象关于y 轴对称，故对图象上的任意一点()(),x f x ，其关于y 轴的对称点()(),x f x -一定也在()f x 上.故点()(),x f x -满足()f x 的解析式，也即()()f x f x -=，又因为x 具有任意性，故()()f x f x -=对任意的x D ∈恒成立.也即()f x 是偶函数.即证.综上所述：函数()y f x =是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称.【点睛】本题考查充要条件的证明，涉及函数奇偶性，属综合基础题.19.已知函数()231x f x a =--是奇函数．（1）求实数a 的值，并说明理由；（2）求函数()f x 的值域．【答案】（1）a =1-，理由见解析．（2）(,1)(1,)-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义求解；（2）利用指数函数性质和不等式性质求解．【小问1详解】由题意22232()()222031313131x x x x x f x f x a a a a -⨯-+=-+-=+=+=----，1a =-，【小问2详解】由（1）2()131x f x =---2113x=-+-，30x >且31x ≠，031x <<时，0131x <-<，2213x>-，所以()1f x >，31x >时，130x -<．2013x<-，所以()1f x <-，综上，()f x 的值域是(,1)(1,)-∞-+∞ ．20.新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供x （[]0,10x ∈）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服，A 公司在收到政府x （万元）补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫=⋅-⎪+⎝⎭（万件），其中k 为工厂工人的复工率（[]0.5,1k ∈），A 公司生产t 万件防护服还需投入成本20950x t ++（万元）．（1）将A 公司生产防护服的利润y （万元）表示为补贴x （万元）的函数（政府补贴x 万元计入公司收入）；（2）当复工率0.8k =时，政府补贴多少万元才能使A 公司的防护服利润达到最大？并求出最大值．【答案】（1）3601808204ky k x x =---+，[]0,10x ∈，[]0.5,1k ∈（2）当复工率0.8k =时，政府补贴2万元才能使A 公司的防护服利润达到最大值60万元【解析】【分析】(1)根据题意得()8020950y x t x t =+-+-，代入1264t k x ⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭化简即可；(2)根据题意，代入0.8k =，再结合均值不等式即可求解.【小问1详解】由题意得()802095030820y x t x t t x =+-+-=--1236030682018082044k k x k x x x ⎛⎫=---=--- ⎪++⎝⎭，即3601808204ky k x x =---+，[]0,10x ∈，[]0.5,1k ∈.【小问2详解】由0.8k =，得288288144820812444y x x x x =---=--+++，因()28828888432248326444x x x x +=++-≥⨯-=++，当且仅当2x =时取等号，所以6412460y ≤-+=.故当复工率0.8k =时，政府补贴2万元才能使A 公司的防护服利润达到最大值60万元.21.已知二次函数()2f x ax bx =+满足()22f =．（1）设0,0a b >>，求12a a b++的最小值；（2）若对[]()0,2,21x f x x ∀∈≤+恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）3；（2）2,2⎡⎫+-+∞⎪⎢⎪⎣⎭.【解析】【分析】（1）根据题意可得()1a a b ++=，利用整体代换，从而可得()121223a b a a a b a a b a a b a a b+⎛⎫+=+⋅++=++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭，再利用基本不等式求最值，即可得出结果；（2）由题得出12b a =-，从而得()()212f x ax a x =+-，结合条件可知()221a x x x -≤+对[]0,2x ∀∈恒成立，分类讨论0a ≥和0a <两种情况，可知当0a ≥时，易知满足题意；当0a <时，可知当0x =或2x =时，()2201a x x x -=≤+恒成立，再通过分离参数法将问题转化为212x a x x +≥-在()0,2上恒成立，令()212x g x x x +=-，()0,2x ∈，化简运算得出()()()13141g x x x =++-+，利用基本不等式求出3141x x ++-+的最小值，从而得出()g x 的最大值，从而得出a 的范围；最后综合即可得出结果.【小问1详解】解：已知二次函数()2f x ax bx =+满足()22f =，得422a b +=，则21a b +=，即()1a a b ++=，又因为0,0a b >>，()121223a b a a a b a a b a a b a a b+⎛⎫∴+=+⋅++=++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭33+=≥+，即123a a b +≥++，当且仅当2a b a a a b+=+时，取等号，得12a a b++的最小值为3.【小问2详解】解：已知二次函数()2f x ax bx =+满足()22f =，得422a b +=，所以12b a =-，则()()212f x ax a x =+-，又因为对[]()0,2,21x f x x ∀∈≤+恒成立，则()()21221f x ax a x x =+-≤+，即()221a x x x -≤+对[]0,2x ∀∈恒成立，又因为当[]0,2x ∈时，()()2220x x x x -=-≤，10x +>，可知当0a ≥时，()221a x x x -≤+在[]0,2x ∈恒成立，符合题意；当0a <时，可知当0x =或2x =时，()2201a x x x -=≤+恒成立，则212x a x x+≥-在()0,2上恒成立，令()212x g x x x+=-，()0,2x ∈，则()()()()()222211112214114431413x x x x g x x x x x x x x x x ++++====-++--+-+++-++()()()()()()2111331413141411x x x x x x x +===+-+++-+++-++，02x << ，113x ∴<+<，则31441x x ++-≥-+，当且仅当311x x +=+时，即()11,3x +=时，取等号，此时3141x x ++-+的最小值为4，则()max 22g x +==-，所以22a ≥+-，又0a <，解得：202a +-≤<，综上得：实数a的取值范围为2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎪⎣⎭.22.已知函数()1xf x x =-．（1）讨论函数()f x 的奇偶性和单调性，并说明理由；（2）若函数()f x 与()2g x k x =⋅的图象有四个不同的公共点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）()f x 为奇函数，减区间是(,1)-∞-，(1,1)-，(1,)+∞；（2）(,4)(4,)-∞-⋃+∞【解析】【分析】（1）先确定奇偶性，然后通过分类讨论0x ≥的单调性，利用奇偶性得出单调性；（）结合函数图象得出结论．【小问1详解】10x -≠，1x ≠±，函数定义域是{|1}x x ≠±，()()11x xf x f x x x --==-=----，函数是奇函数，0x ≥时，111()1111x x f x x x x -+===+---，[0,1)x ∈时，在[0,1)和(1,)+∞上函数递减，又()f x 是奇函数，所以()f x 在(,1)-∞-和(1,0]-上也是递减，即()f x 在(,1)-∞-同，(1,1)-，(1,)+∞上都是递减函数．【小问2详解】2()g x kx =是偶函数，首先原点是它们图象的一个交点，作出函数图象，()f x 是奇函数，由图象知在(,1)-∞-和(1,)+∞上两个图象总共有且只有一个交点：0k >时在(1,)+∞上有一个交点，在(,1)-∞-上无交点，0k <时，在(,1)-∞-上有一个交点，在(1,)+∞上无交点，因此由题意，在(1,1)-上两个函数图象除原点外还有两个交点．即21xkx x =-在(1,1)-上除0外还有两个不等实根，0x ≠，1(1)x x k=-，0x >时，22111(1)(24x x x x x k =-=-=--，所以1104k -<<，4k <-，0x <时，22111(1)(24x x x x x k =--=--=-++，所以1104k <<，4k >，综上k 的取值范围是(,4)(4,)-∞-⋃+∞．。
2020-2021长沙市高中必修一数学上期中一模试题(及答案)
2020-2021长沙市高中必修一数学上期中一模试题(及答案)一、选择题1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U IA ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}2．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 3．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，， D ．{}1012-，，， 4．设log 3a π=，0.32b =，21log 3c =，则（ ） A ．a c b >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>5．函数()sin lg f x x x =-的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞ D ．(,1)(1,)-∞-+∞U7．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．8．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）9．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -= B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-10．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭ B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,311．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．012．函数2xy x =⋅的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．14．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．15．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数0.5()log (43)g x x =-的定义域是__________．16．某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P 与店面经营天数x 的关系是P(x)=21300,0300245000,300x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≥⎩则总利润最大时店面经营天数是___.17．如果函数221xx y a a =+-（0a >，且1a ≠）在[]1,1-上的最大值是14，那么a 的值为__________.18．若幂函数()af x x =的图象经过点1(3)9，，则2a -=__________.19．某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有__________人．20．已知实数0a ≠，函数2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩若()()11f a f a -=+，则a 的值为___________． 三、解答题21．已知满足(1)求的取值范围； (2)求函数的值域．22．已知函数()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数．（1）求实数m 的值；（2）若函数()f x 在区间[]1,2a --上单调递增，求实数a 的取值范围.23．已知定义域为R 的函数()221x x af x -+=+是奇函数．()1求实数a 的值；()2判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义加以证明．24．2019年，随着中国第一款5G 手机投入市场，5G 技术已经进入高速发展阶段.已知某5G 手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机()010x x ≤≤万台，其总成本为()G x ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 万元满足()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩（1）将利润()f x 表示为产量x 万台的函数；（2）当产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？ 25．已知函数()2(0,)af x x x a R x=+≠∈. （1）判断()f x 的奇偶性；（2）若()f x 在[)2,+∞是增函数，求实数a 的范围.26．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >． （1）求()1f 的值；（2）解不等式()(3)2f x f x -+-≥-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2．D解析：D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内3．B解析：B 【解析】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-. 考点：集合的运算4．C解析：C 【解析】 【分析】先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解. 【详解】 由题得21log 3c =2log 10<=，a>0,b>0. 0.30log 3log 1,22 1.a b πππ====所以b a c >>.故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比.5．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】如图所示：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，共有3个交点. 当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点. 故选：D .【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.6．A解析：A 【解析】 【分析】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|， 即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜ 所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ． 【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．7．C解析：C 【解析】 由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ． 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．8．B解析：B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．9．B解析：B 【解析】 【分析】根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；对于A 选项， ()10010099992f -=⨯与函数图象不一致；B 选项符合函数图象特征.故选：B 【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.10．B解析：B 【解析】 【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增， ()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．11．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点,22⎛ ⎝⎭，22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B I 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.12．A解析：A 【解析】 【分析】先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A. 【详解】因为2xy x =⋅为奇函数，所以舍去C,D; 因为0x >时0y >,所以舍去B ，选A. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．二、填空题13．1120【解析】【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式结合y ＝30＞25代入可得某人在此商场购物总金额减去折扣可得答案【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式y∵y＝解析：1120【解析】 【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合y ＝30＞25，代入可得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案． 【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，y ()()006000.0560060011000.11100251100x x x x x ⎧≤⎪=-≤⎨⎪-+⎩，＜，＜，＞ ∵y ＝30＞25 ∴x ＞1100∴0.1（x ﹣1100）+25＝30 解得，x ＝1150， 1150﹣30＝1120，故此人购物实际所付金额为1120元． 【点睛】本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．14．-7【解析】分析：首先利用题的条件将其代入解析式得到从而得到从而求得得到答案详解：根据题意有可得所以故答案是点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小来确定有关参数值的问题在求解的过程中需解析：-7 【解析】分析：首先利用题的条件()31f =，将其代入解析式，得到()()2391f log a =+=，从而得到92a +=，从而求得7a =-，得到答案.详解：根据题意有()()2391f log a =+=，可得92a +=，所以7a =-，故答案是7-. 点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.15．【解析】首先要使有意义则其次∴解得综上点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为ab 则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))解析：3,14⎛⎫⎪⎝⎭【解析】首先要使(2)f x 有意义，则2[0,2]x ∈， 其次0.5log 430x ->，∴022 0431xx≤≤⎧⎨<-<⎩，解得0131 4xx≤≤⎧⎪⎨<<⎪⎩，综上3,14x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．16．200【解析】【分析】根据题意列出总利润L(x)的分段函数然后在各个部分算出最大值比较大小就能确定函数的最大值进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数【详解】设总利润为L(x)则L(x)=则L(x)解析：200【解析】【分析】根据题意，列出总利润L(x)的分段函数，然后在各个部分算出最大值，比较大小，就能确定函数的最大值，进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数.【详解】设总利润为L(x),则L(x)=2120010000,0300 210035000,300x x xx x⎧-+-≤<⎪⎨⎪-+≥⎩则L(x)=21(200)10000,0300 210035000,300x xx x⎧--+≤<⎪⎨⎪-+≥⎩当0≤x<300时,L(x)max=10000,当x≥300时,L(x)max=5000,所以总利润最大时店面经营天数是200.【点睛】本题主要考查分段函数的实际应用，准确的写出各个部分的函数关系式是解决本题的关键. 17．3或【解析】【分析】令换元后函数转化为二次函数由二次函数的性质求得最大值后可得但是要先分类讨论分和求出的取值范围【详解】设则对称轴方程为若则∴当时解得或（舍去）若则∴当时解得或（舍去）答案：3或【点解析：3或1 3【解析】 【分析】令x t a =，换元后函数转化为二次函数，由二次函数的性质求得最大值后可得a ．但是要先分类讨论，分1a >和01a <<求出t 的取值范围． 【详解】设0x t a =>，则221y t t =+-，对称轴方程为1t =-. 若1,[1,1]a x >∈-，则1,xt a a a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，∴当t a =时，2max 2114y a a =+-=，解得3a =或5a =-（舍去）.若01a <<，[1,1]x ∈-，则1,xt a a a⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦∴当1t a =时，2max 112114y a a ⎛⎫=+⨯-= ⎪⎝⎭解得13a =或15a =-（舍去）答案：3或13【点睛】本题考查指数型复合函数的最值，本题函数类型的解题方法是用换元法把函数转化为二次函数求解．注意分类讨论．18．【解析】由题意有：则： 解析：14【解析】 由题意有：13,29aa =∴=-， 则：()22124a--=-=. 19．8【解析】【分析】画出表示参加数学物理化学竞赛小组集合的图结合图形进行分析求解即可【详解】由条件知每名同学至多参加两个小组故不可能出现一名同学同时参加数学物理化学竞赛小组设参加数学物理化学竞赛小组的解析：8 【解析】 【分析】画出表示参加数学、物理、化学竞赛小组集合的Venn 图，结合图形进行分析求解即可． 【详解】由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学竞赛小组，设参加数学、物理、化学竞赛小组的人数构成的集合分别为A ，B ，C ， 则()0card A B C ⋂⋂=，()6card A B ⋂=，()4card B C ⋂=， 由公式()card A B C ⋃⋃()()()()()()card A card B card C card A B card A C card B C =++-⋂-⋂-⋂知()3626151364card A C =++---⋂，故()8card A C ⋂=即同时参加数学和化学小组的有8人， 故答案为8．【点睛】本小题主要考查Venn 图表达集合的关系及运算、Venn 图的应用、集合中元素的个数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．20．【解析】【分析】分两种情况讨论分别利用分段函数的解析式求解方程从而可得结果【详解】因为所以当时解得：舍去；当时解得符合题意故答案为【点睛】本题主要考查分段函数的解析式属于中档题对于分段函数解析式的考解析：34a =-【解析】 【分析】分0a >，0a <两种情况讨论，分别利用分段函数的解析式求解方程()()11f a f a -=+，从而可得结果.【详解】因为2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩所以，当0a >时，()()2(1)(11)21a f a f a a a a -+=-+=⇒--+，解得：3,2a =-舍去；当0a <时，()()2(1)(11)21a f a f a a a a ++=--=⇒--+，解得34a =-，符合题意，故答案为34-. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.三、解答题21．(1) (2)【解析】试题分析（1）先将不等式化成底相同的指数，再根据指数函数单调性解不等式（2）令，则函数转化为关于 的二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值，得到值域. 试题解析： 解：(1) 因为由于指数函数在上单调递增(2) 由（1）得令，则，其中因为函数开口向上，且对称轴为函数在上单调递增的最大值为，最小值为函数的值域为. 22．（1）2；（2）(]1,3. 【解析】 【分析】（1）设0x <，可得0x ->，求出()f x -的表达式，利用奇函数的定义可得出函数()y f x =在0x <时的解析式，由此可求出实数m 的值；（2）作出函数()y f x =的图象，可得出函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-，于是可得出[][]1,21,1a --⊆-，进而得出关于实数a 的不等式组，解出即可. 【详解】（1）()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩Q 为奇函数，当0x <时，0x ->，则()()()2222f x x x x x -=--+⨯-=--， 则()()22f x f x x x =--=+，2m ∴=；（2）由（1）可得()222,00,02,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩，作出函数()y f x =如下图所示：由图象可知，函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-，由题意可得[][]1,21,1a --⊆-，则121a -<-≤，解得13a <?. 因此，实数a 的取值范围是(]1,3. 【点睛】本题考查奇函数解析式的求解，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查运算求解能力，属于中等题.23．（1）1；（2）减函数，证明见解析 【解析】 【分析】（1）奇函数在0x =处有定义时，()00f =，由此确定出a 的值，注意检验是否为奇函数；（2）先判断函数单调性，然后根据函数单调性的定义法完成单调性证明即可. 【详解】()1根据题意，函数()221x x af x -+=+是定义域为R 奇函数，则()0020021af -+==+，解可得1a =，当1a =时，()()12121212x xx xf x f x -----=-==-++，为奇函数，符合题意； 故1a =；()2由()1的结论，()12121221x x xf x -==-++，在R 上为减函数； 证明：设12x x <，则()()()()()2212121222112221212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 又由12x x <，则()21220x x->，()1210x+>，()2210x+>， 则()()120f x f x ->， 则函数()f x 在R 上为减函数． 【点睛】本题考查函数奇偶性单调性的综合应用，难度一般.(1)定义法证明函数单调性的步骤：假设、作差、变形、判号、下结论；(2)当奇函数在0x =处有定义时，一定有()00f =.24．(1) ()24003200800,05,10004600,510.x x x f x x x ⎧-+-≤≤=⎨-<≤⎩ (2) 当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元. 【解析】 【分析】（1）先求得总成本函数()G x ，然后用()()()f x R x G x =-求得利润()f x 的函数表达式.（2）用二次函数的最值的求法，一次函数最值的求法，求得当产量x 为何值时，公司所获利润最大，且求得最大利润. 【详解】（1）由题意得()8001000G x x =+.因为()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩所以()()()24003200800,05,10004600,510.x x x f x R x G x x x ⎧-+-≤≤=-=⎨-<≤⎩（2）由（1）可得，当05x ≤≤时，()()240045600f x x =--+. 所以当4x =时，()max 5600f x =（万元）当510x <≤时，()10004600f x x =-，()f x 单调递增， 所以()()105400f x f ≤=（万元）.综上，当4x =时，()max 5600f x =（万元）.所以当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元. 【点睛】本小题主要考查分段函数模型在实际生活中的运用，考查二次函数、一次函数最值有关问题的求解，属于基础题. 25．（1）当时，为偶函数，当时，既不是奇函数，也不是偶函数,；（2）(16]-∞，.【解析】 【分析】 【详解】 （1）当时，，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞U ，，，，为偶函数．当时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，， 取，得(1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，，(1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，函数既不是奇函数，也不是偶函数．（2）设122x x ≤<，，要使函数在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须恒成立．121204x x x x -<>Q，，即恒成立． 又，．的取值范围是(16]-∞，． 26．（1）()10f = （2）{|10}x x -≤<． 【解析】 【分析】（1）根据()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，即可得出()1f 的值；（2）由0x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，根据()f x 的单调性，结合函数的定义域，列出不等式解出x 的范围即可. 【详解】（1）令1x y ==，则()()()111f f f =+，()10f =.（2）解法一：由x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，且30x x ->⎧⎨->⎩，即0x <. ∵()()()f xy f x f y =+，(),0,x y ∈+∞且112f ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴()()32f x f x -+-≥-可化为()()1322f x f x f ⎛⎫-+-≥-⎪⎝⎭，即()()113022f x f f x f ⎛⎫⎛⎫-++-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()()()331112222x x x x f f f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔-+≥⇔-⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则03122x x x <⎧⎪⎨--⋅≤⎪⎩，解得10x -≤<.∴不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为{|10}x x -≤<． 【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.。
2020-2021学年湖南长沙高三上数学期中试卷
2020-2021学年湖南长沙高三上数学期中试卷一、选择题1. 已知R是实数集，M={x|2x<1}，N={y|y=√x−1}，则∁R(N∩M)=( )A.(1,2)B.[0,2]C.⌀D.(−∞,2]2. 如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，z2，则|z1−z2|=( )A.√2B.2√2C.2D.83. 若l，m是两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m // α”是“m⊥l”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 历史上，最伟大的数学家一直都热衷于寻找质数的“分布规律”，法国数学家马林•梅森就是研究质数的数学家中成就很高的一位，正因为他的卓越贡献，现在人们将形如“2p−1（p是质数）”的质数称为梅森数，迄今为止共发现了51个梅森数，前4个梅森数分别是22−1=3，23−1=7，25−1=31，27−1=127，3，7是1位数，31是2位数，127是3位数．已知第10个梅森数为289−1，则第10个梅森数的位数为（参考数据：lg2≈0.301）( )A.25B.29C.27D.285. 为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题，填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派1名教师的不同分派方法种数为( )A.150B.180C.200D.2806. 已知定义在R上的偶函数f(x)，对任意x∈R，都有f(2−x)=f(x+2)，且当x∈[−2, 0]时，f(x)=2−x−1，若在a>1时，关于x的方程f(x)−loga(x+2)=0恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是( ) A.(1, 2) B.(223, 2)C.(−∞, 223)∪(2, +∞) D.(2, +∞)7. 已知O为△ABC的外心，OA→+2OB→+√6OC→=0→，则∠ACB的正弦值为( )A.√64B.14C.12D.388. l是经过双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)焦点F且与实轴垂直的直线，A，B是双曲线C的两个顶点，若在l上存在一点P，使∠APB=45∘，则双曲线离心率的最大值为( )A.√2B.√3C.2D.3二、多选题下列命题正确的是( )A.若随机变量X∼B(100,p)，且E(X)=20，则D(12X+1)=5B.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件C.一只袋内装有m个白球，n−m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出ξ个白球，P(ξ=2)等于(n−m)A m2A n3D.由一组样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，⋯，(x n,y n)得到回归直线方程y=bx+a，那么直线y=bx+a至少经过(x1,y1)，(x2,y2)，⋯，(x n,y n)中的一个点若非零实数a，b满足a<b，则下列不等式不一定成立的是( )A.ab<1 B.ba+ab≥2 C.1ab2<1a2bD.a2+a<b2+b如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连结B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是( )A.存在某个位置，使得CN⊥ABB.翻折过程中，CN的长是定值C.若AB=BM，则AM⊥B1DD.若AB=BM=1，当三棱锥B1−AMD的体积最大时，三棱锥B1−AMD的外接球的表面积是4π已知曲线C n:x2−2nx+y2=0(n=1,2,⋯)，从点P(−1,0)向曲线C n引斜率为k n(k n>0)的切线l n，切点为P n(x n,y n)．则下列结论正确的是( )A.数列{x n}的通项为x n=nn+1B.数列{y n}的通项为y n=n√2n+1n+1C.当n>3时，x1⋅x3⋅x5⋯x2n−1>√1−x1+x nD.√1−x1+x n <√2sin x ny n三、填空题若(2+x)17=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+⋯+a17(1+x)17，则a0+a1+a2+a3+⋯+a16=________.已知抛物线C：y2=4x与圆E：(x−1)2+y2=9相交于A，B两点，点M为劣弧AB̂上不同于A，B的一个动点，平行于x轴的直线MN交抛物线于点N，则△MNE的周长的取值范围为________.既要金山银山，又要绿水青山，说明了既要发展经济，又要保护环境，两者兼得，社会才能又快又好的发展．现某风景区在践行这一理念下，计划在如图所示的以AB为直径的半圆形山林中设计一条休闲小道AC（C 与A，B不重合），A，B相距400米，在紧邻休闲小道AC的两侧及圆弧CB̂上进行绿化，设∠BAC=θ，则绿化带的总长度f(θ)的最大值约为________米．（参考数据：√3≈1.7，π≈3）定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，f(0)=0．若对任意x∈R，都有f′(x)−f(x)>1，则使得f(x)+1e x>1成立的x取值范围为________.四、解答题在①2sin2C−B2+2cos2C+B2+2cos C cos B=1，②2tan Btan A+tan B=bc，③√3b=a(sin C+√3cos C)三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足a=√13，b=3，________，求△ABC的面积．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状的这一阶段称为潜伏期．各种传染疾病的潜伏期不同，数小时，数天、甚至数月不等．某市疾病预防控制中心统计了该市200名传染病患者的相关信息，得到如下表格：(1)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，根据上表数据将如下列联表补充完整，并根据列联表判断是否有99%的把握认为该传染病的潜伏期与患者年龄有关．(2)将200名患者的潜伏期超过6天的频率视为该市每名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研究，该市疾病预防控制中心随机调查了该地区30名患者，其中潜伏期超过6天的人数为X，求随机变量X的期望和方差．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.已知，如图四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60∘，AB=PA=2，PA⊥平面ABCD．E，M分别是BC，PD中点.点F在棱PC上移动．(1)证明：无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ；(2)当直线AF 与平面PCD 所成的角最大时，确定点F 的位置．已知数列{a n }的首项a 1=2，前n 项和为S n ，且数列{Sn n}是以12为公差的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =2n a n ，n ∈N ∗，数列{b n }的前n 项和为T n .①求证：数列{Tnn }为等比数列，②若存在整数m,n (m >n >1)，使得T m T n=m (S m +λ)n (S n +λ)．其中λ为常数，且λ≥−2，求λ的所有可能值．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为√22，过F 2的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点．若△F 1PQ 的周长为8. (1)求椭圆C 的方程；(2)动直线l:y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ．点N 是M 关于O 的对称点，⊙N 的半径为|NO|．设D 为AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值．已知函数f (x )=1+ln (1+x )x，g (x )=mx+1(m ∈R ).(1)判断函数f (x )在(0,+∞)上的单调性；(2)若f (x )>g (x )在(0,+∞)上恒成立，求整数m 的最大值．(3)求证：(1+1×2)(1+2×3)⋯ [1+n (n +1)]>e 2n−3（其中e 为自然对数的底数）．参考答案与试题解析2020-2021学年湖南长沙高三上数学期中试卷一、选择题1.【答案】D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】解：∵M={x|2x<1}={x|x<0或x>2}，N={y|y=√x−1={y|y≥0}，即M=(−∞,0)∪(2,+∞)，N=[0,+∞)，∁R(N∩M)=(−∞,2].故选D．2.【答案】B【考点】复数的模复数代数形式的加减运算【解析】由图形可得：A点表示的复数为i，B点表示的复数为2−i，利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：由图形可得：A点表示的复数为i，B点表示的复数为2−i，∴|z1−z2|=|i−(2−i)|=|−2+2i|=2√2.故选B.3.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断两条直线垂直的判定【解析】由l⊥α，“m // α”⇒m⊥l．反之不成立，可能m⊂α．即可判断出关系．【解答】解：由l⊥α，m // α⇒m⊥l．反之不成立，可能m⊂α．因此“m // α”是“m⊥l”的充分不必要条件．故选A.4. 【答案】C【考点】对数的运算性质函数模型的选择与应用【解析】根据题意，利用常用对数估算即可．【解答】解：lg(289−1)≈89lg2≈26.789，故289−1≈1026.789，故第10个梅森数的位数为27.故选C.5.【答案】A【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3，分别计算两种情况下的情况数目，相加可得答案．【解答】解：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3．若是1，1，3，则有C53×A33=60种，若是1，2，2，则有C52C32A22×A33=90种，所以共有150种不同的方法．故选A.6.【答案】B【考点】根的存在性及根的个数判断【解析】由已知中可以得到函数f(x)的图象关于直线x=2对称，结合函数是偶函数，及x∈[−2, 0]时的解析式，可画出函数的图象，将方程f(x)−logax+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f(x)的与函数y=logax+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．【解答】解：依题意函数f(x)的图象关于y轴及直线x=2对称，所以f(x)的周期为4.作出x∈[−2,0)时f(x)的图象，由f(x)的奇偶性和周期性作出f(x)的图象，关于x 的方程f (x )−log a (x +2)=0恰有三个不同的实数根， 可转化为函数f (x )与y =log a (x +2)的图象有三个不同的交点.由数形结合可知{log a (2+2)<3,log a (6+2)>3,解得223<a <2.故选B ． 7.【答案】 A【考点】 三角形五心二倍角的正弦公式 向量的加法及其几何意义 【解析】 无【解答】解：设外接圆的半径为R ，OA →+2OB →+√6OC →=0→， OA →+2OB →=−√6OC →，(OA →+2OB →)2=(−√6OC →)2， R 2+4R 2+4OA →⋅OB →=6R 2，即4OA →⋅OB →=R 2， 即cos ∠AOB =14，∴ sin 2∠ACB =1−cos ∠AOB2=38，∴ sin ∠ACB =√64． 故选A ． 8. 【答案】 A【考点】基本不等式 双曲线的离心率【解析】 无【解答】解：设点P (c,m )（不妨设m >0），则有tan (∠PBF −∠PAF )=tan ∠PBF−tan ∠PAF 1+tan ∠PBF⋅tan ∠PAF=m c−a −m c+a1+m 2c 2−a2=2am m 2+b 2=1 ,即2a m+b 2m=1有解．即m +b 2m =2a 有解， 又m +b 2m≥2b ，所以2a ≥2b ． 故1<e ≤√2． 故选A ． 二、多选题【答案】 B,C【考点】古典概型及其概率计算公式 相互独立事件的概率乘法公式 离散型随机变量及其分布列两点分布二项分布超几何分布的期望与方差 求解线性回归方程【解析】本题考查离散型随机变量的期望与方差，相互独立事件的概率，线性回归方程. 【解答】解：对于A ，由E (X )=20，得100p =20⇒p =15， D (X )=100×15×45=16，所以D (12X +1)=14D (X )=4，故A 选项错误； 对于B ，各事件彼此互斥，P A =0.2与P B∪C∪D =0.8， 故B 选项正确；对于C ，取出两个白球，则前两个白球有A m 2种选法， 第三次是黑球，故第三次拿球可按顺序排列，即A n 3， ∴ p(ξ=2)=(n−m )A m2A n3，故C 选项正确；对于D ，直线必定经过(x ¯,y ¯)，不一定经过(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，⋯(x n ,y n )中的一点,故D 选项错误. 故选BC . 【答案】 A,B,D【考点】不等式的基本性质 【解析】本题考查利用比较法判断不等式，基本不等式、不等式的性质，属于基础题. 根据性质逐项验证，即可可求出结果. 【解答】解：当a <b <0时，ab ≥1，故A 错误；当ab <0时，b a+ab≥2不成立，故B 错误；因为1ab2−1a 2b=a−b (ab )2<0，则1ab2<1a 2b一定成立，故C 正确；因为a 2+a −b 2−b =(a −b )(a +b +1)符号不定，故a 2+a <b 2+b 不一定成立，故D 错误. 故选ABD. 【答案】 B,D【考点】直线与平面垂直的判定 球的表面积和体积柱体、锥体、台体的体积计算【解析】对于A ：取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ，则NE // AB 1，NF // MB 1，由CN ⊥AB 1，得EN ⊥NF ，若EN ⊥CN ，且三线NE ，NF ，NC 共面共点，不可能；对于B:∠NEC ＝∠MAB 1（定值），NE =12AB 1（定值），AM ＝EC （定值），由余弦定理可得NC 是定值；对于C ：取AM 中点O ，连接B 1O ，DO ，由题意得AM ⊥面ODB 1，即可得OD ⊥AM ，从而AD ＝MD ，由题意不成立；对于D ：当平面B 1AM ⊥平面AMD 时，三棱锥B 1−AMD 的体积最大，由题意得AD 中点H 就是三棱锥B 1−AMD 的外接球的球心，球半径为1，表面积是4π． 【解答】解：对于A ：如图，取AD 中点E ，连接EC 交MD 于F ，连接NE ，NF ，则NE // AB 1，NF // MB 1，如果CN ⊥AB 1，可得到EN ⊥NC ，又EN ⊥FN ，且三线EN ，FN ，NC 共面共点，不成立，故A 错误； 对于B ：由图可得∠NEC =∠MAB 1（定值）， NE =12AB 1（定值），AM =EC （定值），由余弦定理可得NC 2=NE 2+EC 2−2NE ⋅EC ⋅cos ∠NEC ， 所以NC 是定值，故B 正确；对于C ：如图，取AM 的中点O ，连接B 1O ，DO ，由题意得AM ⊥面ODB 1，即可得OD ⊥AM ，则AD =MD ，显然AB =BM 不成立，故C 错误；对于D ：当平面B 1AM ⊥平面AMD 时，三棱锥B 1−AMD 的体积最大， 此时AD 的中点即为三棱锥B 1−AMD 的外接球的球心， 由题意知，球半径为1，则表面积为4π，故D 正确． 故选BD . 【答案】 A,B,D 【考点】数列与不等式的综合 【解析】【解答】解：设直线l n :y =k n (x +1)，联立x 2−2nx +y 2=0，得(1+k n 2)x 2+(2k n 2−2n)x +k n 2=0， 则由Δ=0得k n =√2n+1，所以可得x n =nn+1，y n =n √2n+1n+1，选项AB 正确；因为√1−xn 1+x n=√12n+1，x 1⋅x 3⋅x 5⋯x 2n−1=12×34×⋯2n−12n<√13×35×⋯×2n−12n+1=√12n+1，选项C 错误．因为x n y n=√12n+1=√1−x n 1+x n，令f(x)=x −√2sin x ，f ′(x)=1−√2cos x ，可得 f (x )在(0，π4)上递减，可知x ＜√2sin x 在(0,π4)上恒成立． 又√12n+1≤√13<π4，选项D 正确． 故选ABD .三、填空题 【答案】 217−1【考点】二项展开式的特定项与特定系数【解析】无【解答】解：由题意，由(2+x)17=[1+(1+x)]17，T17+1=(1+x)17，∴a17=1，令x=0，则217=a0+a1+a2+⋯+a17，所以a0+a1+a2+a3+⋯+a16=217−1．故答案为：217−1．【答案】(6,8)【考点】圆锥曲线的综合问题抛物线的性质【解析】（1）根据题目所给信息结合抛物线的性质进行求解即可.【解答】解：已知抛物线C：y2=4x的准线l：x=−1，焦点为C(1,0)，由抛物线的定义可得|NC|=x N+1，圆E：(x−1)2+y2=9的圆心为(1,0)，半径为3，可得△MNE的周长为|NC|+|MN|+|CM|=x N+1+(x M−x N)+3=4+x M，而抛物线与圆的交点的横坐标为2，即x M∈(2,4)，此时4+x M∈(6,8)，故△MNE的周长的取值范围为(6,8).故答案为：(6,8).【答案】880【考点】解三角形的实际应用在实际问题中建立三角函数模型利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：如图所示，设圆心为O，连接OC，BC，因为点C在半圆上，所以AC⊥CB，所以|AC|=|AB|cosθ=400cosθ，弧CB̂的长为200×2θ=400θ，所以绿化带的总长度为f(θ)=800cosθ+400θ，θ∈(0,π2)．所以f′(θ)=−800sinθ+400 .令f′(θ)=0，得sinθ=12，所以θ=π6．当θ∈(0,π6)时，f′(θ)>0，f(θ)单调递增；当θ∈(π6,π2)时，f′(θ)<0，f(θ)单调递减；所以当θ=π6时，f(θ)取得极大值，也是最大值，所以f(π6)=800cosπ6+400×π6=400√3+200π3≈680+200=880 .故答案为：880 .【答案】(0,+∞)【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究不等式恒成立问题【解析】无【解答】解：构造函数g(x)=f(x)+1e，g(0)=1．∵对任意x∈R，都有f′(x)−f(x)−1>0，g′(x)=f′(x)e x−(f(x)+1)e xe2x=f′(x)−f(x)−1e x>0，∴函数g(x)在R上单调递增，由f(x)+1e=g(x)>1=g(0)，∴x>0，∴x的取值范围为(0,+∞)．故答案为：(0,+∞)．四、解答题【答案】解：选①因为2sin2C−B2+2cos2C+B2+2cos C cos B=1，所以1−cos(C−B)+1+cos(C+B)+2cos C cos B=2+2cos(C+B)=2−2cos A=1，所以cos A=12，因为A为三角形的内角，∴ A =π3，又∵ a =√13，b =3，∴ 由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bc cos A ， 可得：13=9+c 2−2×3×c ×12，可得：c 2−3c −4=0，解得c =4，或−1（舍去）， ∴ S △ABC =12bc sin A =12×3×4×√32=3√3．【考点】 余弦定理 正弦定理 【解析】 无【解答】解：选①因为2sin 2C−B 2+2cos 2C+B 2+2cos C cos B =1，所以1−cos (C −B )+1+cos (C +B )+2cos C cos B =2+2cos (C +B )=2−2cos A =1，所以cos A =12， 因为A 为三角形的内角， ∴ A =π3，又∵ a =√13，b =3，∴ 由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bc cos A ， 可得：13=9+c 2−2×3×c ×12，可得：c 2−3c −4=0，解得c =4，或−1（舍去）， ∴ S △ABC =12bc sin A =12×3×4×√32=3√3．【答案】解：(1)由题意得列联表由上表可得K 2=200(75×55−25×45)2120×80×100×100=18.75>6.635，所以有99%的把握认为该传染病的潜伏期与患者年龄有关． (2)由题意可知，一名患者潜伏期超过6天的概率为P =80200=25， 随机变量服从X ∼B (30,25)，∴ E (X )=30×25=12.D (X )=30×25×(1−25)=365．答：随机变量X 的期望和方差分别为12与365． 【考点】独立性检验离散型随机变量的期望与方差 【解析】【解答】解：(1)由题意得列联表由上表可得K 2=200(75×55−25×45)2120×80×100×100=18.75>6.635，所以有99%的把握认为该传染病的潜伏期与患者年龄有关． (2)由题意可知，一名患者潜伏期超过6天的概率为P =80200=25，随机变量服从X ∼B (30,25)， ∴ E (X )=30×25=12. D (X )=30×25×(1−25)=365．答：随机变量X 的期望和方差分别为12与365．【答案】(1)证明：连接AC ，∵ 底面ABCD 为菱形， ∠ABC =60∘，∴ △ABC 为正三角形， ∵ E 是BC 的中点， ∴ AE ⊥BC ， 又AD//BC ， ∴ AE ⊥AD ，∵ PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴ PA ⊥AE ，∵ PA ∩AD =A ，PA ，AD ⊂平面PAD ， ∴ AE ⊥平面PAD ，∵ AE ⊂平面AEF ，∴ 平面AEF ⊥平面PAD .(2)由(1)知，AE ，AD ，AP 两两垂直，故以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(√3,−1,0)，C(√3,1,0)，D(0,2,0)， P(0,0,2)，M(0,1,1），E(√3,0,0)，∴ PC →=(√3,1,−2)，PD →=(0,2,−2)，AP →=(0,0，2)．设PF →=λPC →=(√3λ,λ,−2λ)，则AF →=AP →+PF →=(√3λ,λ,2−2λ). 设平面PCD 的法向量为m →=(x 1,y 1,z 1) 则{m →⋅PC →=√3x 1+y 1−2z 1=0，m →⋅PD →=2y 1−2z 1=0，令z 1=√3，则x 1=1，y 1=√3， ∴ m →=(1,√3,√3)．设直线AF 与平面PCD 所成的角为θ， 则 sin θ=|cos <AF →,m →>=|AF →⋅m →|AF →|⋅|m →||=|√3λ√3λ√3√3λ[(√3λ)2+λ2+(2−2λ)2]×√7|=√3√7×2√2(λ−12)2+12.当λ=12时，sin θ最大，此时F 为PC 的中点． 【考点】平面与平面垂直的判定用空间向量求直线与平面的夹角 【解析】【解答】(1)证明：连接AC ，∵ 底面ABCD 为菱形， ∠ABC =60∘，∴ △ABC 为正三角形， ∵ E 是BC 的中点， ∴ AE ⊥BC ， 又AD//BC ， ∴ AE ⊥AD ，∵ PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴ PA ⊥AE ，∵ PA ∩AD =A ，PA ，AD ⊂平面PAD ， ∴ AE ⊥平面PAD ， ∵ AE ⊂平面AEF ，∴ 平面AEF ⊥平面PAD .(2)由(1)知，AE ，AD ，AP 两两垂直，故以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(√3,−1,0)，C(√3,1,0)，D(0,2,0)， P(0,0,2)，M(0,1,1），E(√3,0,0)，∴ PC →=(√3,1,−2)，PD →=(0,2,−2)，AP →=(0,0，2)．设PF →=λPC →=(√3λ,λ,−2λ)，则AF →=AP →+PF →=(√3λ,λ,2−2λ). 设平面PCD 的法向量为m →=(x 1,y 1,z 1) 则{m →⋅PC →=√3x 1+y 1−2z 1=0，m →⋅PD →=2y 1−2z 1=0，令z 1=√3，则x 1=1，y 1=√3， ∴ m →=(1,√3,√3)．设直线AF 与平面PCD 所成的角为θ， 则 sin θ=|cos <AF →,m →>=|AF →⋅m →|AF →|⋅|m →||=|√3λ√3λ√3√3λ[(√3λ)2+λ2+(2−2λ)2]×√7|=√3√7×2√2(λ−12)2+12.当λ=12时，sin θ最大，此时F 为PC 的中点．【答案】解：(1)∵ a 1=2，∴ S 11=2，∴ S nn =2+12(n −1)=12n +32，即S n =12n 2+32n ，当n ≥2时，S n−1=12(n −1)2+32(n −1)=12n 2+12n −1． ∴ a n =S n −S n−1=n +1(n ≥2)．当n =1时，a 1=2符合上式，∴ a n =n +1(n ∈N ∗)． (2)①∵ a n =n +1(n ∈N ∗)，∴ b n =2n (n +1)． ∴ T n =2×2+22×3+23×4+...+2n ×(n +1)， 则2T n =2×22+23×3+24×4+...+2n+1×(n +1)， 两式相减，可整理得T n =n ⋅2n+1．∴T n n=2n+1=4×2n−1，∴ 数列{Tnn }是以4为首项，2为公比的等比数列．②由①可知，T n =n ⋅2n+1，且由(1)知S n =12n 2+32n ，代入Tm T n=m(S m +λ)n(S n+λ)， 可得 m⋅2m+1n⋅2n+1=m(12m 2+32m+λ)m(12n 2+32n+λ)，整理得2m2n =m 2+3m+2λn 2+3n+2λ， 即n 2+3n+2λ2n =m 2+3m+2λ2m，设c n =n 2+3n+2λ2n，则c m =c n ，则c n+1−c n =(n+1)2+3(n+1)+2λ2n+1−n 2+3n+2λ2n=−n 2−n−2λ+42n+1.∵ λ≥−2，∴ 当n ≥3时，c n+1−c n =−n 2−n−2λ+42n+1<0，即c n+1<c n ，∵ m >n >1，且c 2−c 4=λ+52−λ+148=3λ+68≥0.∴ c 2>c n (n ≥5)，∴ c 2=c 4或c 2=c 3，即n =2，m =4或3．当n =2，m =4时，λ=−2，当n =2，m =3时，λ=−1． 故λ的所有可能值为−1，−2． 【考点】等差数列的通项公式 等差数列的前n 项和等比数列数列与不等式的综合【解析】【解答】解：(1)∵ a 1=2，∴ S 11=2，∴ S nn =2+12(n −1)=12n +32，即S n =12n 2+32n ，当n ≥2时，S n−1=12(n −1)2+32(n −1)=12n 2+12n −1．∴ a n =S n −S n−1=n +1(n ≥2)．当n =1时，a 1=2符合上式，∴ a n =n +1(n ∈N ∗)． (2)①∵ a n =n +1(n ∈N ∗)，∴ b n =2n (n +1)． ∴ T n =2×2+22×3+23×4+...+2n ×(n +1)， 则2T n =2×22+23×3+24×4+...+2n+1×(n +1)，两式相减，可整理得T n =n ⋅2n+1．∴ Tnn =2n+1=4×2n−1， ∴ 数列{Tn n }是以4为首项，2为公比的等比数列．②由①可知，T n =n ⋅2n+1，且由(1)知S n =12n 2+32n ，代入Tm T n=m(S m +λ)n(S n +λ)，可得m⋅2m+1n⋅2=m(12m 2+32m+λ)m(12n 2+32n+λ)，整理得2m2n =m 2+3m+2λn 2+3n+2λ， 即n 2+3n+2λ2n=m 2+3m+2λ2m，设c n =n 2+3n+2λ2n，则c m =c n ，则c n+1−c n =(n+1)2+3(n+1)+2λ2n+1−n 2+3n+2λ2n=−n 2−n−2λ+42n+1.∵ λ≥−2，∴ 当n ≥3时，c n+1−c n =−n 2−n−2λ+42n+1<0，即c n+1<c n ，∵ m >n >1，且c 2−c 4=λ+52−λ+148=3λ+68≥0.∴ c 2>c n (n ≥5)，∴ c 2=c 4或c 2=c 3，即n =2，m =4或3． 当n =2，m =4时，λ=−2，当n =2，m =3时，λ=−1． 故λ的所有可能值为−1，−2．【答案】解：(1)由椭圆的定义可知，△F 1PQ 的周长为4a ， ∴ 4a =8，a =2， 又离心率为√22，∴ c =√2，b 2=a 2−c 2=4−2=2，因此椭圆方程为x 24+y 22=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立方程{y =kx +m ，x 2+2y 2=4，得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−4=0， 由Δ>0，得m 2<4k 2+2，(∗) 且x 1+x 2=−4km 2k +1，因此y 1+y 2=2m2k +1，所以D (−2km 2k +1,m2k +1)，又 N (0,−m )，所以|ND|2=(−2km2k 2+1)2+(m2k 2+1+m)2， 整理得：|ND|2=4m 2(1+3k 2+k 4)(2k 2+1)2，因为|NF|=|m|，所以|ND|2|NF|=4(k 4+3k 2+1)(2k +1)=1+8k 2+3(2k +1)．令t =8k 2+3，t ≥3，故2k 2+1=t+14，所以|ND|2|NF|2=1+16t (1+t)2=1+16t+1t+2，令y =t +1t ，所以y ′=1−1t 2．当t ≥3时，y ′>0，从而y =t +1t 在[3,+∞)上单调递增， 因此t +1t ≥103，等号当且仅当t =3时成立，此时k =0，所以|ND|2|NF|2≤1+3=4，由(∗)得−√2<m <√2且m ≠0，故|NF||ND|≥12，设∠EDF =2θ，则sin θ=|NF||ND|≥12，所以θ的最小值为π6 . 从而∠EDF 的最小值为π3，此时直线l 的斜率为0．综上所述；当k =0，m ∈(−√2,0)∪(0,√2)时，∠EDF 取得最小值为π3． 【考点】椭圆的离心率 椭圆的标准方程直线与椭圆结合的最值问题【解析】【解答】解：(1)由椭圆的定义可知，△F 1PQ 的周长为4a ， ∴ 4a =8，a =2， 又离心率为√22，∴ c =√2，b 2=a 2−c 2=4−2=2，因此椭圆方程为x 24+y 22=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立方程{y =kx +m ，x 2+2y 2=4，得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−4=0， 由Δ>0，得m 2<4k 2+2，(∗) 且x 1+x 2=−4km 2k 2+1，因此y 1+y 2=2m2k 2+1，所以D (−2km2k 2+1,m2k 2+1)，又 N (0,−m )，所以|ND|2=(−2km2k 2+1)2+(m2k 2+1+m)2，整理得：|ND|2=4m 2(1+3k 2+k 4)(2k 2+1)2，因为|NF|=|m|，所以|ND|2|NF|2=4(k 4+3k 2+1)(2k 2+1)2=1+8k 2+3(2k 2+1)2．令t =8k 2+3，t ≥3，故2k 2+1=t+14，所以|ND|2|NF|2=1+16t(1+t)2=1+16t+1t+2，令y =t +1t ，所以y ′=1−1t 2．当t ≥3时，y ′>0，从而y =t +1t 在[3,+∞)上单调递增，因此t +1t ≥103，等号当且仅当t =3时成立，此时k =0，所以|ND|2|NF|2≤1+3=4， 由(∗)得−√2<m <√2且m ≠0，故|NF||ND|≥12，设∠EDF =2θ，则sin θ=|NF||ND|≥12，所以θ的最小值为π6 . 从而∠EDF 的最小值为π3，此时直线l 的斜率为0．综上所述；当k =0，m ∈(−√2,0)∪(0,√2)时，∠EDF 取得最小值为π3． 【答案】解：(1)因为f(x)=1+ln (1+x)x(x >0)，所以f ′(x)=−11+x−ln (1+x)x ，(x >0)．又因为x >0，所以11+x >0，ln (1+x)>0， 所以f ′(x )<0，即函数f(x)在(0,+∞)上为减函数． (2)由f (x )>g (x )在(0,+∞)上恒成立， 即m <x+1+(x+1)ln (x+1)x在(0,+∞)上恒成立， 即m <(x+1+(x+1)ln (x+1)x)min，设ℎ(x )=x+1+(x+1)ln (x+1)x ，所以ℎ′(x)=x−1−ln (x+1)x (x >0)，令g(x)=x −1−ln (x +1)， 则g ′(x)=1−1x+1=x x+1>0，所以g(x)在(0,+∞)为增函数，又g(2)=1−ln 3<0，g(3)=2−2ln 2>0，即存在唯一的实数根a ，满足g(a)=0，且a ∈(2,3)，a −1−ln (a +1)=0， 当x >a 时，g(x)>0，ℎ′(x)>0，当0<x <a 时，g(x)<0，ℎ′<0， 即函数ℎ(x)在(0,a)上为减函数，在(a,+∞)上为增函数， 则ℎ(x)min =ℎ(a)=a+1+(a+1)ln (a+1)a=a +1∈(3,4)，故整数m 的最大值为3 . (3)由(2)知，ln (x +1)>2x−1x+1=2−3x+1(x >0)，令x =n (n +1)， 则ln [1+n(n +1)]>2−3n(n+1)+1>2−3n(n+1)=2−3(1n −1n+1) ，ln (1+1×2)+ln (1+2×3)+⋯+ln [1+n (n +1)]>2−3(1−12)+2−3(12−13)+⋯+2−3(1n −1n+1)=2n −3(1−1n+1)>2n −3. 故(1+1×2)(1+2×3)⋯ [1+n (n +1)]>e 2n−3. 【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究不等式恒成立问题 对数及其运算 【解析】【解答】解：(1)因为f(x)=1+ln (1+x)x(x >0)，所以f ′(x)=−11+x−ln (1+x)x 2，(x >0)．又因为x >0，所以11+x >0，ln (1+x)>0， 所以f ′(x )<0，即函数f(x)在(0,+∞)上为减函数． (2)由f (x )>g (x )在(0,+∞)上恒成立， 即m <x+1+(x+1)ln (x+1)x在(0,+∞)上恒成立， 即m <(x+1+(x+1)ln (x+1)x)min，设ℎ(x )=x+1+(x+1)ln (x+1)x ，所以ℎ′(x)=x−1−ln (x+1)x 2(x >0)，令g(x)=x −1−ln (x +1)，则g ′(x)=1−1x+1=xx+1>0，所以g(x)在(0,+∞)为增函数，又g(2)=1−ln 3<0，g(3)=2−2ln 2>0，即存在唯一的实数根a ，满足g(a)=0，且a ∈(2,3)，a −1−ln (a +1)=0， 当x >a 时，g(x)>0，ℎ′(x)>0，当0<x <a 时，g(x)<0，ℎ′<0， 即函数ℎ(x)在(0,a)上为减函数，在(a,+∞)上为增函数， 则ℎ(x)min =ℎ(a)=a+1+(a+1)ln (a+1)a=a +1∈(3,4)，故整数m 的最大值为3 . (3)由(2)知，ln (x +1)>2x−1x+1=2−3x+1(x >0)，令x =n (n +1)， 则ln [1+n(n +1)]>2−3n(n+1)+1>2−3n(n+1)=2−3(1n −1n+1) ，ln (1+1×2)+ln (1+2×3)+⋯+ln [1+n (n +1)]>2−3(1−12)+2−3(12−13)+⋯+2−3(1n −1n+1)=2n −3(1−1n+1)>2n −3. 故(1+1×2)(1+2×3)⋯ [1+n (n +1)]>e 2n−3.。