概率分布函数的输运方程模型共21页
第九章概率模型
建模与求解 （s, S) 存贮策略
x s u 0 x s u 0, x u S
确定(s, S), 使目标函数——每周总费用的平均值最小
s ~ 订货下界， S ~ 订货上界
订货费c0, 购进价c1, 贮存费c2, 缺货费c3, 销售量 r
p=1-(1-1/m)n
D=m[1-(1-1/m)n]/n
模型解释
传送带效率(一周期内运走 产品数与生产总数之比）
D m [1 (1 1 )n ]
n
m
若(一周期运行的)挂钩数m远大于工作台数n, 则
D
m [1 (1 n
n m
n(n 1) 2m2 )]
1
n 1 2m
定义E=1-D (一周期内未运走产品数与生产总数之比）
第九章 概率模型
9.1 传送系统的效率 9.2 报童的诀窍 9.3 随机存贮策略 9.4 轧钢中的浪费 9.5 随机人口模型 9.6 航空公司的预订票策略
随机模型 确定性因素和随机性因素
随机因素可以忽略
随机因素影响可以简单 地以平均值的作用出现
确定性模型
随机因素影响必须考虑
随机性模型
概率模型 统计回归模型 马氏链模型
m P , P
P
m P , P
存在最佳的m使总的浪费最小 0
PP´´ l
P mm
x
建模 选择合适的目标函数
总浪费 =
切掉多余部分 的浪费
+
整根报废 的浪费
W
l
(
x
l) p(x)dx
l
概率统计分布模型概要
拟合优度检验的步骤
建立原假设H0
数据整理
分布形式
模型标定
2 选择适宜的统计量
2 确定统计量的临界值
i 1
g
fi 2 N Fi
显著性水平的确定；自由度DF的计算 DF g q 1 判断统计检验的结果
2 2 2 2 则接受； 则拒绝
离散型分布---- 2.二项分布
基本公式： P(k ) C k ( t ) k (1 t ) nk n n n 参数个数： p t , n
n
k k 递推公式： P(k ) Cn p (1 p) nk
数字特征： M np D np(1 p)
2 2 m m m s 参数估计: p n 2 p m s m
率分布模型，事先是不知道的，但可以假定其服
从某种分布，然后来检验其是否服从该分布。
检验就是将理论分布与实际分布作比较，进行数
据拟合，这就需要有一套评价拟合质量的方法。
2 在交通工程中，常用的是 检验法。
离散型分布---- 5.拟合优度检验
2检验所能解决的两类问题
某随机变量（车辆到达数）是否服从某种完全给定的概 率统计分布模型（模型及参数）。 某随机变量（车辆到达数）是否服从某种形式的概率统 计分布模型。给定了分布类型（如泊松分布），但没有 给出对应的参数值，而应自行通过样本数据去估计出该 分布的参数值。
离散型分布---- 1.泊松分布
(t ) k t 基本公式：P(k ) e k!
参数个数：在计数间隔内平均到达的车辆数 m t 递推公式： P(k 1) m P(k ) k 1
数字特征：均值 M t 方差
概率分布函数与随机变量的期望
概率分布函数与随机变量的期望概率分布函数（Probability Density Function，PDF）和随机变量的期望（Expectation）是概率论与数理统计中常见的概念，它们对于描述和分析随机变量的分布特征具有重要意义。
一、概率分布函数（Probability Density Function）概率分布函数是描述随机变量取各个取值的概率的函数。
在统计学中，常见的概率分布函数有几何分布、泊松分布、正态分布等。
以正态分布为例，它的概率分布函数可以表示为：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * exp(-(x-μ)²/(2σ²))其中，f(x)为随机变量X取值为x的概率密度，μ为均值，σ为标准差，exp()为指数函数。
二、随机变量的期望（Expectation）随机变量的期望是指随机变量在大量重复试验中取各个值的平均值。
可以用公式来表示，以离散型随机变量为例：E(X) = ∑(x * P(X = x))其中，E(X)表示随机变量X的期望，x表示随机变量X的取值，P(X = x)表示随机变量X取值为x的概率。
对于连续型随机变量，期望的计算需要对概率密度函数进行积分：E(X) = ∫(x * f(x) dx)其中，f(x)为随机变量X的概率密度函数。
三、应用示例假设某超市的销售额（单位：万元）服从正态分布，均值为50万元，标准差为10万元。
现在我们希望计算超市一天的销售额的期望是多少。
根据正态分布的概率密度函数公式，代入μ和σ的值，我们可以得到超市一天销售额的概率密度函数为：f(x) = (1 / (10 * √(2π))) * exp(-(x-50)²/(2*10²))然后，我们可以对概率密度函数进行积分，计算超市一天销售额的期望：E(X) = ∫(x * (1 / (10 * √(2π))) * exp(-(x-50)²/(2*10²)) dx)对于这个积分式，可以通过数值计算方法求解，比如数值积分等。
概率论随机变量的分布函数PPT课件
x
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三、分布函数的性质
1 单调不减 即 若 x1< x2，则F(x1) ≤F(x2)；
2.非负有界 0 F(x) 1, ( x ),且
3.右连续
lim F(x) F() 0,
x
lim F(x) F() 1
x
F(x+0)=F(x)
性质1--3是鉴别一个函数是否是某随机变量的 分布函数的充分必要条件.
3e 3
x
x0
0 x0
x
(2)从而 F (x) f (t)dt
x 3e3tdt 1 e3x
0
x0
0
x0
即F
(
x)
1
e 3
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x0
0 x0
（3）PX 0.1
f (x)dx
0.1
3e3xdx e0.3
0.1
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例2: 连续型随机变量X的分布函数
F
(
x)
A B
其概率密度与分布函数分别用 (x),(x)表示.即
(x)
1
x2
e2
2
( x) 1
x t2
e 2 dt
2
(x)
(x)
1 2
-1 O 1 x
O
x
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例1 一袋中有6个球，其中2个标号为1，3个标号为 2，1个标号为3, 任取1个球，以X表示取出的球的 标号，求X的分布函数；并求 P｛2 ≤ X ≤3｝
解：由已知X的可能值为1, 2, 3．
P{X=1}= 2/6, P{X=2}=3/6, P{X=3}=1/6.
物流系统仿真课件第讲概率基础
随机变量的期望值和方差
随机变量的期望值：表示随机变量取值的平均数，计算公式为 E (X) = ∑XP (X) 。 方差：表示随机变量取值分散程度的量，计算公式为D(X)=E[(XE (X) ) ^ 2 ] = ∑X^ 2 P (X) - [ E (X) ] ^ 2 。
数学期望的性质：线性性质、非负性、可加性。
概率的取值范围
概率的取值范围是[0,1]，表示事件发生的可能性大小。
当概率值为0时，表示事件不可能发生。
当概率值为1时，表示事件一定发生。 概率值越接近0，事件发生的可能性越小；概率值越接近1，事件发生的可 能性越大。
概率的特性
概率的取值范 围在0到1之间
概率具有可加 性，即两个独 立事件的概率
方差的性质：非负性、可加性、与数学期望的关系。
随机过程与马尔可 夫链
随机过程的概念
随机过程定义：随机过程是随机变 量在时间或空间上的有序系列。
随机过程的概率分布：描述随机过 程中某一随机指标在各个时刻取值 的概率分布。
添加标题
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随机过程的分类：离散随机过程和 连续随机过程。
建立模型：根据问题建立数 学模型或计算机模型
确定问题：明确需要进行模 拟的问题和目标
模拟实验：根据模型进行模 拟实验，记录结果
分析结果：对模拟结果进行 分析和解释
决策应用：将模拟结果应用 于实际决策中
随机模拟的精度和收敛性
精度：蒙特卡洛方法的精度取决于样本数量和分布
收敛性：随着样本数量的增加，蒙特卡洛方法的收敛速度逐渐减缓
常见分布：正态分布、 均匀分布、指数分布
等。
添加标题
概率密度函数f(t)的 性质：非负性、规范
《概率统计模型》课件
在市场营销领域，回归分析可以用于预 测产品需求、销售量、市场份额等方面 。
通过回归分析，企业可以了解市场趋势 ，制定有针对性的营销策略，提高市场 竞争力。
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03
统计方法在医学领域的应用还包括疾病预测、诊断和治疗效果评估等 方面。
04
统计方法在医学领域的应用有助于提高医学研究的准确性和可靠性。
回归分析在市场预测中的应用
回归分析是一种常用的统计分析方法， 用于探索变量之间的关系，并对未来趋 势进行预测。
回归分析在市场预测中的应用有助于企 业做出科学合理的决策，提高市场占有 率和盈利能力。
详细描述
时间序列分析涉及对按时间顺序排列的数据 进行统计处理，以揭示其内在的规律和特性 。这种方法广泛应用于金融、气象、医学等 领域，用于预测未来趋势和进行决策分析。
06 案例研究
概率论在金融中的应用
概率论在金融领域中有着 广泛的应用，如风险评估 、投资组合优化、期权定 价等。
概率论在金融领域的应用 还包括信用评级、保险精 算、风险管理等方面。
描述随机变量取值的平均水平和分散程度。
常见的随机变量分布
二项分布、泊松分布、正态分布等。
02 统计推断
参数估计
参数估计的概念
参数估计是用样本信息来估计总体参 数的过程，是统计推断的重要内容之 一。
点估计
点估计是指用一个单一的数值来估计 总体参数，常用的方法有矩估计和极 大似然估计。
区间估计
区间估计是指用一个区间范围来估计 总体参数，常用的方法有置信区间和 预测区间。
假设检验的步骤
概率统计方法建模PPT课件
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5.5 随机状态转移模型
状态与状态转移 ➢随机变量Xn：第n年的状态 状态概率 ai (n)
Xn
1, 2,
第n年健康 第n年疾病
ai (n) P(Xn i), i 1, 2, n 0,1,
➢今年处于状态i, 来年处于状态j的概率 pi:j 转移概率
存贮策略是周末库存量为零时订购3架 周末的库存量可 能是0, 1, 2, 3，周初的库存量可能是1, 2, 3。 用马氏链描述不同需求导致的周初库存状态的变化。 动态过程中每周销售量不同，失去销售机会（需求超过 库存）的概率不同。
可按稳态情况（时间充分长以后）计算失去销售机会的 概率和每周的平均销售量。
马氏链的两个重要类型
设状态i是非吸收状态，j是吸收状态，则首达概率f ij (n) 实际上是i经n次转移被j吸收的概率。而
fij = fij (1) + fij(2) + … + fij(n) + …
则是从非吸收状态i出发终将被吸收状态j吸收的概率。 记 F={f ij} 则 F=MR
例如，可以算出前面第二种情况中
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5. 6 马尔可夫链的应用模型
模型求解 ➢ 估计这种策略下每周的平均销售量
第n周平均售量Rn
需求不超过存 量,销售需求
需求超过存量, 销售存量
3i
Rn [ jP(Dn j, Sn i) iP(Dn i, Sn i)] i1 j 1 3i [ jP(Dn j Sn i) iP(Dn i Sn i)]P(Sn i) i1 j 1
p23 p33
P(Dn k) e1 / k ! (k 0,1, 2 )
概率论-常见的概率分布模型
概率论-常见的概率分布模型常见的概率分布模型离散概率分布函数 离散概率分布也称为概率质量函数（probability mass function），离散概率分布的例⼦有 伯努利分布（Bernoulli distribution） ⼆项分布（binomial distribution） 泊松分布（Poisson distribution） ⼏何分布（geometric distribution）等连续概率分布函数 连续概率分布也称为概率密度函数（probability density function），它们是具有连续取值（例如⼀条实线上的值）的函数，连续概率分布的例⼦有 正态分布（normal distribution） 指数分布（exponential distribution） β分布（beta distribution）等联合分布函数 给定⼀个随机变量(X,Y)，称定义域为整个平⾯的⼆元实值函数F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)−∞≥x,y≤∞该⼆元实值函数为随机变量(X,Y)的分布函数，也可以称为是(X,Y)的联合分布函数。
按照联合分布函数的定义，F(x,y)=P((X,Y)∈D xy)，其中D xy如下图所⽰Processing math: 100%多项分布（Multinomial Distribution ）多项分布简介 多项分布是⼆项分布的推⼴，他们的区别是⼆项分布的结果只有0和1两种，多项式的结果可以有多个值。
多项分布的典型例⼦是掷骰⼦，6个点对应6个不同的数，每个点的概率都为16 与⼆项分布类似，多项分布来⾃于(p 1+p 2+⋯+p k )n 多项式的展开多项分布公式解析 以掷骰⼦为例，掷骰⼦的时候掷1−6的概率都为16，记作p 1−p 6，可以发现p 1+p 2+p 3+p 4+p 5+p 6=1，现在把p 1+p 2+p 3+p 4+p 5+p 6记作做⼀次抽样各种事件发⽣的概率和，即可得(p 1+p 2+p 3+p 4+p 5+p 6)n =1n 为n 次抽样所有事件相互组合对应的概率和，之后使⽤多项式展开(注：使⽤多项式定理展开，由于多项式定理不在本节提及范围内，不多赘述)，如果它不是掷骰⼦，⽽是⼀个有n 种可能的问题，会得到⼀个多项式展开的公式P (X 1=x 1,…,X k =x k )=n !x 1!⋯x k !(p x 1⋯p x k )when ∑k i =1x i =n0otherwise这个多项式表⽰X 1出现x 1次，X 2出现x 2次，…，X k 出现x k 次的出现概率，这样就得到了上述所⽰的多项分布的多项展开式公式。