最新人教版九年级数学上册24.1.3弧、弦、圆心角
求证：AB＝CD．
C B O D A
想一想
4.如图,在△ABC中,∠A=70°, ⊙O截△ABC的三条边所得的 弦长相等,求∠BOC的度数. F
解析：因为三条弦相等，所 以 三条弦心距相等。即OB、 OC、OA为角平分线
B A
E
O N C
∠BOC=125°
D
证明:连结OD、OE,分别交AB、 AC于F、G ⌒ ⌒
A C B
●O
①∠AOB=∠A′O′B′
┏ A′ C′
⌒ ⌒ B′ ②AB=A′B′ ③AB=A′B′ ④ OC=OC′
①∠AOB=∠A′O′B′ 两个圆心角相等 ⌒ ⌒ ②AB=A′B′ 两条弧相等 ③AB=A′B′ 两条弦相等 ④ OD=O′D′ 两条弦心距相等 这四组关系 分别轮换，其它 关系是否成立?
A
E
Hale Waihona Puke O·BD FC
OE OF , 理由如下： 证明： OE AB , OF CD
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F， OE与OF相等吗？为什么？ E B 解： A
O·
D
F 1 1 AE AB , CF CD C 2 2 又 AB＝CD AE＝CF 又 OA＝OC Rt AOE Rt COF OE OF .
如图，⊙O与⊙O1是等圆，∠AOB =∠A1OB1，请问上述结论还成立吗？为什么 ?
B B1 A1
· O
A
· O1
∵ ∠AOB=∠A1OB1
∴AB=A1B1 ，AB=A1B1 .
⌒ ⌒
知识要点
弧、弦、圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
回顾旧知
① CD是直径,
垂径定理及逆定理
② CD⊥AB, ③ AM=BM, ⑤ AD = BD.
• 如图,在下列五个条件中:
⌒ ⌒ ④AC = BC,
C
A B
⌒
⌒
M└
●O
只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论.
D
回顾旧知
弦
连接圆上任意两点的线段叫做弦．
E
C O
D
A
F
B
圆弧（弧）
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． A
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等， 所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等．
③AB=A′B′
弧、弦、圆心角关系定理的推论
④ OD=O′D′ ①∠AOB=∠A′O′B′ ⌒ ⌒ ②AB=A′B′ ③AB=A′B′ 在同圆或等圆中，相等的弦心距所对的圆心角相 等，所对的弧相等，所对的弦相等．
在同圆或等圆中， 有一组关系相等，那 么所对应的其它各组 关系均分别相等．
归纳 同圆或等圆的“四量关系”定理： (1)圆心角； (2)圆心角所对的弧； 知一得三 (3)圆心角所对的弦; (4)圆心角所对弦的弦心距. B’ C’ A 其中有一组量相等， A ’ C 其他三组量也相等 B O
下面的说法正确吗?为什么?
如图,因为 AOB AOB，
根据圆心角、弧、弦、 弦心距的关系定理可知：
重点难点：
• 教学重点 理解掌握弧、弦、圆心角的关系 • 教学难点 弧、弦、圆心角关系的运用
圆心角：我们把顶点在圆心的角
叫做圆心角.
A
O·
∠AOB为圆心角 圆心角∠AOB所对
B
的弦为AB，所对的弧
⌒ 为AB。
判别下列各图中的角是不是圆心角，并说
明理由。
①
②
③
④
如果把圆心角等分成360份,则
每一份的圆心角是1º .同时整个圆也被 分成了360份. 则每一份这样的弧叫做1º 的弧.
D、E分别为AB、 AC的中点 ∠DFM=900= ∠EGN OD=OE ∠D= ∠E
⌒ ⌒ 5.如图, D、E分别是AB、AC中点, DE交AB于M,交AC于N. A 求证:AM=AN E N
D
M
F
B
G
O
C
∠DMB= ∠ENC ∠DMB= ∠AMN ∠ENC = ∠ANM ∠AMN=∠ANM AM=AN
， AOB COD ． AB CD （1）如果AB=CD，那么___________ _________________ ，那么____________ AOB COD （2）如果 _____________ ． AB CD AB=CD ，
，_________ （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________ AB=CD． AB CD
B
D
⌒ AD=50°
C
A
弦心距
圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的距离）．
O·
┓
A B C
O·
A
C
B
探究
在⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′，将 ∠AOB旋转一定角度，使OA和OA′重合．
A′
B′ · O
B B′ A
A′
B · O
A
你能发现 哪些等量关系?
C′ B′
A′ B C · O A
练习
＝ DE , ∠COD=35° CD 2已知：AB是⊙O 的直径，BC
求：∠AOE 的度数． E
D
C
CD DE 解： BC
BOC=COD=DOE=35
B
A
· O
AOE 180 3 35 75
3.已知：AB、CD为⊙O的两条弦， AD BC
AB
半圆 O B
轴对称 圆是 ___________ 图形
O
将⊙O沿任何一条直径所在的直线对折， 重合 ． 两部分图形________
圆是
轴对称
___________ 中心对称
图形
O
将⊙O 绕圆心 O 顺时针旋转180°，这两 重合 ． 个图形________
学习目标：
1、发现圆的旋转不变性。 2、了解圆心角的概念，学会辨别圆心角。 3、发现圆心角、弦、弧之间的相等关系，并初步学 会用它们解决有关问题。
6. 已知圆内接△ABC中， AB=AC，圆心O到BC的距离为3cm, 圆半径为7cm,求腰长AB.
A B O C O A C
D
B
D
AB=2√35
AB=2√14
7. 如图 ,A 是半圆上一个 三等分点 ,B 是 ⌒ AN的中点,P是直径MN上一个动点, ⊙O 的半径为1,求PA+PB的最小值.
A B M O
这样,1º 的圆心角对着1º 的弧, 1º 的弧对着1º 的圆心角.
n°弧
n°
1°
1°弧
n º 的圆心角对着nº 的弧,
n º 的弧对着nº 的圆心角.
性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
小结
做一做
1.如图,在△ABC中,∠ACB=900, ∠B=250 ,以C为圆心,CA为半径 ⌒ 的圆交AB于D,求AD的度数.
O
⌒ ⌒
AB AB
A
A
B
B
例题
，∠ACB=60°， 已知：在⊙O中， AB＝AC
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．
⌒ ⌒ 证明： ∵AB=AC ∴AB=AC．
A
又∠ACB=60°， ∴AB=BC=CA．
B
O·
C
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．
随堂练习
1． AB、CD是⊙O的两条弦．
弧、弦、圆心角关系定理的推论
⌒ ⌒ ②AB=A′B′ ①∠AOB=∠A′O′B′ ③AB=A′B′
④ OD=O′D′
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等， 所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
弧、弦、圆心角关系定理的推论
①∠AOB=∠A′O′B′ ⌒ ⌒ ②AB=A′B′ ④ OD=O′D′
分析
根据旋转的性质，∠AOB＝∠A′OB′，OA与OA′ 重合，OB与OB′重合． 而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′， ∴点 A与 A′重合，B与B′重合．
AB与 A ' B ' 重合，AB与A′B′重合 ∴ AB A ' B ', AB A ' B ' OC=OC′ 再根据△AOB≌△A′O′B′，
P
N B′
PA+PB 的最小值是 √2
课堂小结
1． 圆心角
顶点在圆心的角．
A O·
B
2． 弦心距
圆心到弦的距离（即圆 心到弦的垂线段的距离）． O·
┓
A
C
B
3． 弧、弦、圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
A C B
●O
┏ A′ C′
B′
C B O D A
想一想
4.如图,在△ABC中,∠A=70°, ⊙O截△ABC的三条边所得的 弦长相等,求∠BOC的度数. F
解析：因为三条弦相等，所 以 三条弦心距相等。即OB、 OC、OA为角平分线
B A
E
O N C
∠BOC=125°
D
证明:连结OD、OE,分别交AB、 AC于F、G ⌒ ⌒
A C B
●O
①∠AOB=∠A′O′B′
┏ A′ C′
⌒ ⌒ B′ ②AB=A′B′ ③AB=A′B′ ④ OC=OC′
①∠AOB=∠A′O′B′ 两个圆心角相等 ⌒ ⌒ ②AB=A′B′ 两条弧相等 ③AB=A′B′ 两条弦相等 ④ OD=O′D′ 两条弦心距相等 这四组关系 分别轮换，其它 关系是否成立?
A
E
Hale Waihona Puke O·BD FC
OE OF , 理由如下： 证明： OE AB , OF CD
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F， OE与OF相等吗？为什么？ E B 解： A
O·
D
F 1 1 AE AB , CF CD C 2 2 又 AB＝CD AE＝CF 又 OA＝OC Rt AOE Rt COF OE OF .
如图，⊙O与⊙O1是等圆，∠AOB =∠A1OB1，请问上述结论还成立吗？为什么 ?
B B1 A1
· O
A
· O1
∵ ∠AOB=∠A1OB1
∴AB=A1B1 ，AB=A1B1 .
⌒ ⌒
知识要点
弧、弦、圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
回顾旧知
① CD是直径,
垂径定理及逆定理
② CD⊥AB, ③ AM=BM, ⑤ AD = BD.
• 如图,在下列五个条件中:
⌒ ⌒ ④AC = BC,
C
A B
⌒
⌒
M└
●O
只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论.
D
回顾旧知
弦
连接圆上任意两点的线段叫做弦．
E
C O
D
A
F
B
圆弧（弧）
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． A
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等， 所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等．
③AB=A′B′
弧、弦、圆心角关系定理的推论
④ OD=O′D′ ①∠AOB=∠A′O′B′ ⌒ ⌒ ②AB=A′B′ ③AB=A′B′ 在同圆或等圆中，相等的弦心距所对的圆心角相 等，所对的弧相等，所对的弦相等．
在同圆或等圆中， 有一组关系相等，那 么所对应的其它各组 关系均分别相等．
归纳 同圆或等圆的“四量关系”定理： (1)圆心角； (2)圆心角所对的弧； 知一得三 (3)圆心角所对的弦; (4)圆心角所对弦的弦心距. B’ C’ A 其中有一组量相等， A ’ C 其他三组量也相等 B O
下面的说法正确吗?为什么?
如图,因为 AOB AOB，
根据圆心角、弧、弦、 弦心距的关系定理可知：
重点难点：
• 教学重点 理解掌握弧、弦、圆心角的关系 • 教学难点 弧、弦、圆心角关系的运用
圆心角：我们把顶点在圆心的角
叫做圆心角.
A
O·
∠AOB为圆心角 圆心角∠AOB所对
B
的弦为AB，所对的弧
⌒ 为AB。
判别下列各图中的角是不是圆心角，并说
明理由。
①
②
③
④
如果把圆心角等分成360份,则
每一份的圆心角是1º .同时整个圆也被 分成了360份. 则每一份这样的弧叫做1º 的弧.
D、E分别为AB、 AC的中点 ∠DFM=900= ∠EGN OD=OE ∠D= ∠E
⌒ ⌒ 5.如图, D、E分别是AB、AC中点, DE交AB于M,交AC于N. A 求证:AM=AN E N
D
M
F
B
G
O
C
∠DMB= ∠ENC ∠DMB= ∠AMN ∠ENC = ∠ANM ∠AMN=∠ANM AM=AN
， AOB COD ． AB CD （1）如果AB=CD，那么___________ _________________ ，那么____________ AOB COD （2）如果 _____________ ． AB CD AB=CD ，
，_________ （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________ AB=CD． AB CD
B
D
⌒ AD=50°
C
A
弦心距
圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的距离）．
O·
┓
A B C
O·
A
C
B
探究
在⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′，将 ∠AOB旋转一定角度，使OA和OA′重合．
A′
B′ · O
B B′ A
A′
B · O
A
你能发现 哪些等量关系?
C′ B′
A′ B C · O A
练习
＝ DE , ∠COD=35° CD 2已知：AB是⊙O 的直径，BC
求：∠AOE 的度数． E
D
C
CD DE 解： BC
BOC=COD=DOE=35
B
A
· O
AOE 180 3 35 75
3.已知：AB、CD为⊙O的两条弦， AD BC
AB
半圆 O B
轴对称 圆是 ___________ 图形
O
将⊙O沿任何一条直径所在的直线对折， 重合 ． 两部分图形________
圆是
轴对称
___________ 中心对称
图形
O
将⊙O 绕圆心 O 顺时针旋转180°，这两 重合 ． 个图形________
学习目标：
1、发现圆的旋转不变性。 2、了解圆心角的概念，学会辨别圆心角。 3、发现圆心角、弦、弧之间的相等关系，并初步学 会用它们解决有关问题。
6. 已知圆内接△ABC中， AB=AC，圆心O到BC的距离为3cm, 圆半径为7cm,求腰长AB.
A B O C O A C
D
B
D
AB=2√35
AB=2√14
7. 如图 ,A 是半圆上一个 三等分点 ,B 是 ⌒ AN的中点,P是直径MN上一个动点, ⊙O 的半径为1,求PA+PB的最小值.
A B M O
这样,1º 的圆心角对着1º 的弧, 1º 的弧对着1º 的圆心角.
n°弧
n°
1°
1°弧
n º 的圆心角对着nº 的弧,
n º 的弧对着nº 的圆心角.
性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
小结
做一做
1.如图,在△ABC中,∠ACB=900, ∠B=250 ,以C为圆心,CA为半径 ⌒ 的圆交AB于D,求AD的度数.
O
⌒ ⌒
AB AB
A
A
B
B
例题
，∠ACB=60°， 已知：在⊙O中， AB＝AC
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．
⌒ ⌒ 证明： ∵AB=AC ∴AB=AC．
A
又∠ACB=60°， ∴AB=BC=CA．
B
O·
C
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．
随堂练习
1． AB、CD是⊙O的两条弦．
弧、弦、圆心角关系定理的推论
⌒ ⌒ ②AB=A′B′ ①∠AOB=∠A′O′B′ ③AB=A′B′
④ OD=O′D′
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等， 所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
弧、弦、圆心角关系定理的推论
①∠AOB=∠A′O′B′ ⌒ ⌒ ②AB=A′B′ ④ OD=O′D′
分析
根据旋转的性质，∠AOB＝∠A′OB′，OA与OA′ 重合，OB与OB′重合． 而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′， ∴点 A与 A′重合，B与B′重合．
AB与 A ' B ' 重合，AB与A′B′重合 ∴ AB A ' B ', AB A ' B ' OC=OC′ 再根据△AOB≌△A′O′B′，
P
N B′
PA+PB 的最小值是 √2
课堂小结
1． 圆心角
顶点在圆心的角．
A O·
B
2． 弦心距
圆心到弦的距离（即圆 心到弦的垂线段的距离）． O·
┓
A
C
B
3． 弧、弦、圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
A C B
●O
┏ A′ C′
B′
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人教版九年级数学上24.1.3-弧、弦、圆心角
.
O
B
F
2021/5/27
D
48
2.如图，⊙O中两条相等的弦AB、
CD分别延长到E、F，使BE= DF。
求证：EF的垂直平分线必经过点O。
BE M A
2021/5/27
O C
N DF
49
随堂训练
3．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且
∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m，
假设拖拉机行驶时，周围100m内会受到噪音的
求证：A⌒C=B⌒D
Ｄ
Ａ
Ｍo ●
Ｂ
Ｎ
Ｃ
2021/5/27
41
8.如图，CD是⊙O的弦,A⌒C=⌒BD,OA、OB 分别交CD于E、F. 求证：△OEF是等腰三角形.
O
12
两种方法: 垂径定理
C
E A
FD B
2021/5/27
42
9.如图，已知点O是∠EPF 的平分线上一点，P 点在圆外，以O为圆心的圆与∠EPF 的两边分 别相交于A、B和C、D。求证：AB=CD
影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶
时，学校是否会受到噪音影响？试说明理由，
如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那
么学校受影响的时间为多少秒？
N
2021/5/27
30
P
A
M
Q
50
4、如图，在⊙O中，弧AB=弧BC=弧
CD，且OB，OC分别交AC，BD于点 E、F，求证 ：OE=OF
变式思考： 如题中连接AD，BC，那 么一定有AD//BC吗？请 证明你的结论。
2021/5/27
51
知识探究
? 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧
人教版数学九年级上册24.1.3《弧、弦、圆心角》说课稿
人教版数学九年级上册24.1.3《弧、弦、圆心角》说课稿一. 教材分析人教版数学九年级上册24.1.3《弧、弦、圆心角》是圆的一部分的基础知识，通过本节课的学习，学生能够理解弧、弦、圆心角的定义，掌握它们之间的关系，并能够应用它们解决一些简单的几何问题。
教材从生活实例引入弧、弦、圆心角的概念，通过观察、操作、推理等过程，引导学生探索它们之间的关系，培养学生的几何思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对图形的认识和操作能力较强。
但是，对于弧、弦、圆心角这些概念的理解和运用还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，我将以学生为主体，注重启发式教学，引导学生通过观察、操作、推理等活动，自主探索弧、弦、圆心角之间的关系，提高学生的几何思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解弧、弦、圆心角的定义，掌握它们之间的关系，并能够应用它们解决一些简单的几何问题。
2.过程与方法：学生通过观察、操作、推理等过程，探索弧、弦、圆心角之间的关系，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观：学生通过对弧、弦、圆心角的学习，增强对数学的兴趣和信心，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.重点：学生能够理解弧、弦、圆心角的定义，掌握它们之间的关系。
2.难点：学生能够通过观察、操作、推理等过程，探索弧、弦、圆心角之间的关系，并能够应用它们解决一些简单的几何问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：我将以学生为主体，采用启发式教学方法，引导学生通过观察、操作、推理等活动，自主探索弧、弦、圆心角之间的关系。
2.教学手段：我将利用多媒体课件和实物模型等教学手段，帮助学生直观地理解弧、弦、圆心角的概念，并提供丰富的练习题，让学生在实践中巩固知识。
六. 说教学过程1.引入新课：通过生活实例引入弧、弦、圆心角的概念，激发学生的学习兴趣。
2.讲解与演示：讲解弧、弦、圆心角的定义，并通过多媒体课件和实物模型进行演示，帮助学生直观地理解它们的概念。
九年级数学上册(人教版)24.1.3弧、弦、圆心角教学设计
2.教学过程：
（1）学生观察弓箭图片，思考并回答问题。
（2）教师总结：弓箭的形状类似于圆的一部分，这就是我们今天要学习的弧、弦、圆心角。
（二）讲授新知，500字
1.教学活动设计：
在讲授新知环节，我将通过讲解、举例、演示等方法，让学生掌握弧、弦、圆心角的概念及其相互关系。
2.教学过程：
（1）教师讲解弧、弦、圆心角的概念，并通过黑板演示相关图形。
为了巩固本节课所学内容，确保学生对弧、弦、圆心角的概念、性质及相互关系有更深入的理解，特此布置以下作业：
1.基础巩固题：
（1）请学生完成课本24.1.3节的练习题1、2、3，以巩固弧、弦、圆心角的基本概念。
（2）从生活实例中找出至少3个与弧、弦、圆心角相关的现象，并简要说明它们之间的关系。
2.能力提升题：
（2）学生跟随教师思路，理解并掌握相关概念。
（3）教师通过实例讲解弧、弦、圆心角的相互关系，如圆周角定理等。
（三）学生小组讨论，500字
1.教学活动设计：
在此环节，我将组织学生进行小组讨论，旨在培养学生的合作精神和解决问题的能力。
2.教学过程：
（1）教师提出讨论主题，如：“如何证明圆周角定理？”
（2）学生分组讨论，共同探究解决问题的方法。
（二）过程与方法
1.通过观察、操作、猜想、验证等教学活动，引导学生自主探究弧、弦、圆心角的性质，培养他们的观察力和逻辑思维能力。
2.运用生活中的实例，让学生感受数学知识在实际问题中的应用，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力。
3.采用小组合作、讨论交流等形式，培养学生的团队协作能力和语言表达能力。
（3）各小组汇报讨论成果，教师给予点评和指导。
（四）课堂练习，500字
（1）学生观察弓箭图片，思考并回答问题。
（2）教师总结：弓箭的形状类似于圆的一部分，这就是我们今天要学习的弧、弦、圆心角。
（二）讲授新知，500字
1.教学活动设计：
在讲授新知环节，我将通过讲解、举例、演示等方法，让学生掌握弧、弦、圆心角的概念及其相互关系。
2.教学过程：
（1）教师讲解弧、弦、圆心角的概念，并通过黑板演示相关图形。
为了巩固本节课所学内容，确保学生对弧、弦、圆心角的概念、性质及相互关系有更深入的理解，特此布置以下作业：
1.基础巩固题：
（1）请学生完成课本24.1.3节的练习题1、2、3，以巩固弧、弦、圆心角的基本概念。
（2）从生活实例中找出至少3个与弧、弦、圆心角相关的现象，并简要说明它们之间的关系。
2.能力提升题：
（2）学生跟随教师思路，理解并掌握相关概念。
（3）教师通过实例讲解弧、弦、圆心角的相互关系，如圆周角定理等。
（三）学生小组讨论，500字
1.教学活动设计：
在此环节，我将组织学生进行小组讨论，旨在培养学生的合作精神和解决问题的能力。
2.教学过程：
（1）教师提出讨论主题，如：“如何证明圆周角定理？”
（2）学生分组讨论，共同探究解决问题的方法。
（二）过程与方法
1.通过观察、操作、猜想、验证等教学活动，引导学生自主探究弧、弦、圆心角的性质，培养他们的观察力和逻辑思维能力。
2.运用生活中的实例，让学生感受数学知识在实际问题中的应用，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力。
3.采用小组合作、讨论交流等形式，培养学生的团队协作能力和语言表达能力。
（3）各小组汇报讨论成果，教师给予点评和指导。
（四）课堂练习，500字
人教版九年级数学上册教学设计：24.1.3弧、弦、圆心角
4.树立正确的价值观，明白学习数学不仅仅是为了应对考试，更是为了培养自己的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。
总字数：1012字。
二、学情分析
在九年级的学生中，大部分学生已经具备了一定的几何知识基础，对圆的基本概念和性质有了初步的了解。在此基础上，他们对弧、弦、圆心角等概念的学习将更加深入。然而，由于几何知识抽象性较强，学生在理解上可能会存在一定困难。因此，在教学过程中，教师需要关注以下几个方面：
-适当引入竞赛题目，激发学生的学习兴趣，提高他们的挑战性。
6.反思与评价，促进自我成长：
-鼓励学生在课后进行反思，总结自己在学习过程中的优点和不足，形成个性化的学习策略；
-教师对学生的学习过程和成果进行评价，给予积极的反馈，帮助学生建立自信心。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用生活实例：在课堂上展示一个圆形的时钟，引导学生观察时钟上的时针和分针。提问：“你们注意到时钟上的时针和分针在运动过程中形成了什么形状吗？”通过这个问题，让学生发现弧和圆心角的存在。
3.学生在合作学习中的参与度。在教学过程中，教师应鼓励学生积极参与小组讨论和合作学习，培养学生的团队协作能力。同时，关注学生在合作学习中的角色扮演，引导他们学会倾听、表达和沟通，提高学习效果。
4.学生在解决实际问题中的运用能力。将所学知识应用于解决实际问题，是检验学生掌握程度的重要方式。教师应设计贴近生活的实例，引导学生运用所学知识解决问题，提高学生的知识运用能力。
（五）总结归纳
1.教师引导学生总结本节课所学的内容，包括弧、弦、圆心角的概念、性质和关系。
2.学生分享自己的学习心得，交流在解决问题过程中遇到的困难和解决办法。
3.教师总结：强调本节课的重点知识，指出学生在学习过程中容易出现的问题，提醒学生注意。
总字数：1012字。
二、学情分析
在九年级的学生中，大部分学生已经具备了一定的几何知识基础，对圆的基本概念和性质有了初步的了解。在此基础上，他们对弧、弦、圆心角等概念的学习将更加深入。然而，由于几何知识抽象性较强，学生在理解上可能会存在一定困难。因此，在教学过程中，教师需要关注以下几个方面：
-适当引入竞赛题目，激发学生的学习兴趣，提高他们的挑战性。
6.反思与评价，促进自我成长：
-鼓励学生在课后进行反思，总结自己在学习过程中的优点和不足，形成个性化的学习策略；
-教师对学生的学习过程和成果进行评价，给予积极的反馈，帮助学生建立自信心。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用生活实例：在课堂上展示一个圆形的时钟，引导学生观察时钟上的时针和分针。提问：“你们注意到时钟上的时针和分针在运动过程中形成了什么形状吗？”通过这个问题，让学生发现弧和圆心角的存在。
3.学生在合作学习中的参与度。在教学过程中，教师应鼓励学生积极参与小组讨论和合作学习，培养学生的团队协作能力。同时，关注学生在合作学习中的角色扮演，引导他们学会倾听、表达和沟通，提高学习效果。
4.学生在解决实际问题中的运用能力。将所学知识应用于解决实际问题，是检验学生掌握程度的重要方式。教师应设计贴近生活的实例，引导学生运用所学知识解决问题，提高学生的知识运用能力。
（五）总结归纳
1.教师引导学生总结本节课所学的内容，包括弧、弦、圆心角的概念、性质和关系。
2.学生分享自己的学习心得，交流在解决问题过程中遇到的困难和解决办法。
3.教师总结：强调本节课的重点知识，指出学生在学习过程中容易出现的问题，提醒学生注意。
人教版九年级数学上册24.1.3弧、弦、圆心角课件
的顺 的位序位置排置列关顺 关过，系序系点若，排，O列并并A作D，说说=O若明明BEC理理A，D由由=根A..BB据C于题，点意根E补据，全题交图意形补DC，全于探图点究形，AFB探, ，究 AB ，
C（D2的）位当置A关B 、系，CD并位说于明圆理心由O. 的异侧时，
连C交接D 的AOB位A于，置点关OB系G，，，并OC说，明理OD由..
D
F
C
∵ AD=BC ，
12
O
A
E
B
∴ 1 2 .
G
∴ 1 2，
解： AB交交∥∵AACBBDA于于D. =点点BGGC ，，，
证明：∵∵∵ ∴连OAA接E1DD==OBBAACC2B，，，，，OB ， OC ， OD ，
过点 O∴∴∴ ∵作O11E3OEA224BA，，，B，于点 E ，交交DDCC于于点点FF，, 交 AB 于点 G .
12
3 O4 E
G
B
∴
∴∴ ∴3DDDFFF4OOO，≌≌ CCCFFFOOO
， ， 90
，
已知 AB 是 O 的弦， C ， D 是 O 上位于弦 AB
例3 已知 AB 是 O 的弦， C ， D 是 O 上位于弦 AB
顺同 顺序侧序排的排两列同 列个，侧，点若的若，两AADD且个==点ABBCC，，，，且B根根，A据据，C题题，B意意，D作作四C图图，点，，在D探探圆四究究上点按在AABB逆圆，，时上CC针按DD逆时针
的顺 的CD位序位的置排置位列关顺 关C置D，系序系D关的若，排，3 系位列并并A，置D，说说4 =并关C若明明B说系C理理A明，，D由由=理根并..B由据说C∴∵题 .明，A意理根1B+补由据为全题 .2+图意O形∴ ∵ ∴补C的O，全直D探图113径+++究形1, 8，224A0++B探.，究CC3OOADDB，41,18800，,
人教版数学九年级上册《24.1.3弧、弦、圆心角》说课稿1
人教版数学九年级上册《24.1.3弧、弦、圆心角》说课稿1一. 教材分析人教版数学九年级上册《24.1.3弧、弦、圆心角》这一节主要介绍了圆的基本概念，包括弧、弦、圆心角的关系。
这部分内容是整个圆的知识体系的基础，对于学生理解和掌握圆的相关知识具有重要意义。
教材通过生动的实例和丰富的练习，引导学生探索和发现弧、弦、圆心角之间的关系，培养学生观察、思考、归纳的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对图形的认识和理解有一定的基础。
但是，对于圆的相关概念和性质，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会注重引导学生从实际问题中抽象出圆的性质，并通过实例让学生感受和理解弧、弦、圆心角之间的关系。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握弧、弦、圆心角的概念，能够运用这些概念解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、归纳等过程，培养学生发现和探索几何规律的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和克服困难的意志。
四. 说教学重难点1.重点：弧、弦、圆心角的概念及其关系。
2.难点：如何引导学生从实际问题中抽象出圆的性质，并运用这些性质解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中出发，通过观察、思考、归纳等过程，发现和掌握弧、弦、圆心角之间的关系。
2.教学手段：利用多媒体课件，展示实例和几何图形的动态变化，帮助学生更好地理解和掌握弧、弦、圆心角的概念。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一个实际问题，引导学生思考和探索圆的相关性质。
2.新课导入：介绍弧、弦、圆心角的概念，并通过实例让学生感受和理解它们之间的关系。
3.知识讲解：通过多媒体课件，展示弧、弦、圆心角的动态变化，引导学生观察和思考，从而发现和归纳出它们之间的关系。
4.练习与讨论：设计一些练习题，让学生运用所学的知识解决实际问题，同时引导学生进行分组讨论，分享解题方法和经验。
九年级数学人教版(上册)24.1.3 弧、弦、圆心角
易错点 对弧、弦、圆心角的关系理解有误致错 9．如图，在⊙O 中，A︵C＝2A︵B，试判断 AC 与 2AB 的大小关系， 并说明理由． 解：∵在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等， ∴当A︵C＝2A︵B时，AC＝2AB.
以上解答是否正确？若不正确，请改正．
解：不正确，2AB＞AC.
理由：连接 BC， ∵A︵C＝2A︵B， ∴A︵B＝B︵C. ∴AB＝BC. ∵在△ABC 中，AB＋BC＞AC，
∴△OAD 是等边三角形． ∴OA＝AD. 同理可证△OBD 是等边三角形． ∴OB＝BD. ∴AD＝BD＝OA＝OB. ∴四边形 OADB 是菱形．
13．如图，MN 是⊙O 的直径，点 A 是半圆上一个三等分点， 点 B 是A︵N的中点，点 B′是点 B 关于 MN 的对称点，⊙O 的半径为 1， 则 AB′的长为 2 ．
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质 24.1.3 弧、弦、圆心角
知识点 1 圆心角的概念及其计算 1．下图中∠ACB 是圆心角的是( B )
2．如图，已知 AB 为⊙O 的直径，点 D 为半圆周上的一点，且 A︵D所对圆心角的度数是B︵D所对圆心角度数的 2 倍，则圆心角∠BOD ＝ 60° ．
33
E，OD⊥AC，垂足为 F，AC＝BD，则弦 BD 的长为 2 ．
12．如图，在⊙O 中，A︵B＝A︵C，∠ACB＝60°.
(1)求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. 证明：∵A︵B＝A︵C， ∴AB＝AC. 又∵∠ACB＝60°， ∴△ABC 是等边三角形． ∴AB＝BC＝AC. ∴∠AOB＝∠AOC＝∠BOC.
(2)若 D 是A︵B的中点，求证：四边形 OADB 是菱形． 证明：∵∠AOB＋∠AOC＋∠BOC＝360°， ∴∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝120°. 连接 OD，交 AB 于点 M. ∵D 是A︵B的中点， ∴A︵D＝B︵D.
人教版九年级数学上册第24章 圆3 弧、弦、圆心角
化的数学思想解决问题.
天圆地方是我国古人朴素的世界观，圆很早就被运用于中国传统
建筑的设计之中.可以说，没有圆就没有中式设计，比如北京天坛
的圜丘坛就是典型的圆形建筑，还有中式园林中的“洞门”.
上节课我们学习了圆是轴对称图形，你还能观察出圆的什么性质
呢？
开火车，以小组为单位循环接龙.
1.我们熟悉的既是轴对称图形，又是中心对称图形的有哪些？
【题型三】利用弧、弦、圆心角证明
= ,
⊥ 于点D,CE⊥
例5:如题图,在⊙O中,
OB于点E,求证:AD=BE.
证明：如答图，连接OC.
= ,
∴ ∠ = ∠.
∵
∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ODC=∠OEC=90° .
又∵CO=CO,∴△COD≌△COE,∴OD=OE.
（分别相等）
你能用文字语言归纳你得到的结论吗？
（在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心
角相等，所对的弦相等）
4.在同圆或等圆中，画任意两条等弦，它们所对的圆心角、所对的弧
有什么关系?
（分别相等）
自主探究
你能用文字语言归纳你得到的结论吗？
（在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆
（圆的旋转不变性；圆心角的定义；圆心角、弧、弦之间的
关系）
2.我们研究圆心角、弧、弦之间的关系，大前提是什么?
（在同圆或等圆中）
3.你掌握了哪些数学思想方法？
（分类讨论、转化）
【教材习题】完成课本85页练习1,2题.
【作业本作业】完成 对应练习.
【实践性作业】请画出两个大小不同的圆，在两个圆中分别找
= ,
∵
∵ = , ∴ ∠ = ∠,
人教版九年级数学上册24.1.3 弧、弦、圆心角
同圆或等圆中， 两个圆心角、两 条弧、两条弦中 有一组量相等， 它们所对应的其 余各组量也相 等．（P83）
思考
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件 “在同圆或等圆中”去掉？为什么？
三、定理
请利用右图用数学语言叙 述一下我们刚学的三条定理。
1、 在 o中，AOB AOB， ' B ', AB AB。 AB A
收获与体会
同圆或等圆中，两个 圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等，它们所 对应的其余各组量也相 等．
八、作业
1、教材87－88页
第2，3, 11题 2、完成练习册相关部分作业。
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？ 为什么？
解 ： OE OF ,理 由 如 下 ： OE AB,OF CD AE 1 2 AB,CF 1 2 CD
A E B
O
·
F
D
又 AB＝ CD AE＝ CF 又 OA＝ OC R tAOE RtCOF OE OF .
弦BE∥OA,求证：AC=AE
C
⌒ ⌒
O A
E
B
七、思考
如图，已知AB、CD为 O 的两条弦，
D B C .求证:AB＝CD. A
C B O D A
证明： BC， AD BD= BC BD， AD 即 CD， AB AB=CD
一、概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
A O · B
A D O
B
练一练：找出右上图
中的圆心角。
圆心角有：
人教版数学九年级上册第24章圆24.1.3弧、弦、圆心角优秀教学案例
在教学过程中，我将以实际生活中的实例引入，激发学生的学习兴趣，接着通过引导学生观察和操作几何模型，让学生直观地理解和掌握弧、弦、圆心角的概念。同时，我将利用多媒体课件和教具，以动态的方式展示弧、弦、圆心角的变化关系，帮助学生建立起直观的几何形象。
在课堂练习环节，我将设计一系列具有层次性的题目，让学生在解答问题的过程中巩固所学知识，并通过小组合作交流，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。最后，我将进行课堂总结，强调本节课的重点和难点，为学生后续的学习打下坚实的基础。
3.学生通过自主学习、合作学习和探究学习，培养自学能力、合作能力和创新意识。
4.学生通过运用弧、弦、圆心角的知识解决实际问题，提高应用能力和实践能力。
（三）情感态度与价值观
1.学生能够积极参与课堂学习，对数学产生兴趣，树立自信心。
2.学生能够体验到数学学习的乐趣，养成积极思考、善于动手的良好学习习惯。
2.问题情境：设计一些与圆的弧、弦、圆心角相关的问题，如“自行车轮的周长是多少？”、“如何测量圆的直径？”等，激发学生的思考和探究欲望。
3.操作情境：利用多媒体课件和教具，展示圆的弧、弦、圆心角的动态变化，让学生直观地感受和理解它们之间的关系。
4.实践情境：让学生亲自动手进行实验和操作，如测量和绘制圆的弧、弦、圆心角，增强学生的实践能力和体验。
（五）作业小结
3.举例说明弧、弦、圆心角在实际问题中的应用：通过实际问题的引入，讲解如何运用弧、弦、圆心角的知识解决问题，引导学生运用和巩固。
（三）学生小组讨论
1.设计小组讨论任务，让学生分组讨论和探究弧、弦、圆心角的关系和应用。
2.引导学生通过观察、操作和思考，发现弧、弦、圆心角之间的联系，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
在课堂练习环节，我将设计一系列具有层次性的题目，让学生在解答问题的过程中巩固所学知识，并通过小组合作交流，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。最后，我将进行课堂总结，强调本节课的重点和难点，为学生后续的学习打下坚实的基础。
3.学生通过自主学习、合作学习和探究学习，培养自学能力、合作能力和创新意识。
4.学生通过运用弧、弦、圆心角的知识解决实际问题，提高应用能力和实践能力。
（三）情感态度与价值观
1.学生能够积极参与课堂学习，对数学产生兴趣，树立自信心。
2.学生能够体验到数学学习的乐趣，养成积极思考、善于动手的良好学习习惯。
2.问题情境：设计一些与圆的弧、弦、圆心角相关的问题，如“自行车轮的周长是多少？”、“如何测量圆的直径？”等，激发学生的思考和探究欲望。
3.操作情境：利用多媒体课件和教具，展示圆的弧、弦、圆心角的动态变化，让学生直观地感受和理解它们之间的关系。
4.实践情境：让学生亲自动手进行实验和操作，如测量和绘制圆的弧、弦、圆心角，增强学生的实践能力和体验。
（五）作业小结
3.举例说明弧、弦、圆心角在实际问题中的应用：通过实际问题的引入，讲解如何运用弧、弦、圆心角的知识解决问题，引导学生运用和巩固。
（三）学生小组讨论
1.设计小组讨论任务，让学生分组讨论和探究弧、弦、圆心角的关系和应用。
2.引导学生通过观察、操作和思考，发现弧、弦、圆心角之间的联系，培养学生的合作意识和解决问题的能力。