模式识别统计决策理论
模式识别的基本理论与方法
模式识别的基本理论与方法模式识别是人工智能和计算机科学领域中的一个重要分支，也是现代科学技术中广泛应用的一种技术手段。
它涉及到从大量的数据中自动识别出某种模式的过程，其应用领域非常广泛，如人脸识别、指纹识别、语音识别等领域。
一、模式识别的基本理论模式是事物或现象中简单重复的部分或整体，模式识别是通过对数据进行分类、聚类等方式分析、发现事物或现象中的规律性，并将其应用于实际生产和科学研究中。
模式识别的基本理论主要包括数据分析、统计学、人工神经网络及算法模型等。
1. 数据分析数据分析是模式识别的一个重要组成部分，它是指通过对数据进行收集、分析、处理和应用，从中发现有用的信息以及可用于决策或预测的模型。
数据分析可以采用统计学、机器学习、人工神经网络等方法，无论采用何种方法，数据分析的目的都是找到数据表达的规律和模式。
2. 统计学统计学是模式识别所使用的数学工具之一，主要通过收集和分析数据来提供决策支持和预测结果。
统计学的主要应用领域包括控制过程、质量控制、风险评估和数据挖掘等。
3. 人工神经网络人工神经网络是一种基于人类大脑神经结构的人工智能技术，它通过对输入的数据进行处理、学习，将数据转换为信号输出，以此模拟人脑的神经网络功能。
人工神经网络可以应用于图像识别、音频识别等领域。
4. 算法模型算法模型是模式识别的基本理论之一，它是指在进行数据分析和处理的时候所采用的算法模型。
常用的算法模型包括决策树、支持向量机、神经网络等。
二、模式识别的方法模式识别的方法主要包括监督学习、无监督学习和半监督学习。
1. 监督学习监督学习是指在训练模型时，数据集中已知了对应的标签或类别信息。
监督学习的主要步骤是将已知数据输入到模型中进行训练，训练好的模型之后可以将未知的数据进行分类或预测处理。
监督学习包括分类和回归两种类型。
2. 无监督学习无监督学习是指在训练模型时，数据集中没有对应的标签或类别信息。
无监督学习的主要步骤是将数据输入到模型中进行训练，训练好的模型之后可以从数据中提取出特定的模式、结构或规律。
模式识别的基本理论
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基于最大后验概率的贝叶斯决策
▪ 例：癌细胞的识别
– 假设每个要识别的细胞已作过预处理，并抽取出 了d个特征描述量，用一个d维的特征向量X表示，
– 识别的目的是要依据该X向量将细胞划分为正常 细胞或者异常细胞。
– 这里我们用ω1表示是正常细胞，而ω2则属于异常 细
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▪ 具体规则如下：
▪ ▪
若：P(i | X
对于多类：
)
max j 1,2
P(
j
| X)
则：
X ▪
若：P(i
|
X
)
max
j 1,...,c
P( j
| X)
则：
i
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最大后验概率决策的其他形式
先验概率，后验概率，概率密度函数之间关系
P( X ,i ) p( X | i )P(i ) P(i | X ) p( X )
第2章 模式识别的基本理论与方法
1
主要内容
▪ 1、贝叶斯决策理论。 ▪ 主要讲授两种常用的决策规则：贝叶斯准则和最小风险准
则；两类及多类决策，分类器的设计、分类器的错误率计算。 ▪ 2、非参数判别分类方法。 ▪ 包括线性判别函数及线性分类器的设计、非线性判别函
数、分段线性判别函数、局部训练法等。 ▪ 3、近邻法。 ▪ 包括近邻法及其改进算法(剪辑近邻、压缩近邻法)。 ▪ 4、特征选择与提取方法。 ▪ 概述特征提取与选择的基本概念、常用判据、基于欧氏
的两类别决策(Neyman-pearson准则) 4. 最小最大决策
6
2.2.1 基于最小错误率的贝叶斯决策
▪ 分类识别中为什么会有错分类？
– 当某一特征向量值X只为某一类物体所特有，即
模式识别
1、模式识别主要由四部分组成：数据获取、预处理、特征提取和选择、分类决策。
2、预处理的目的就是去除噪声，加强有用的信息。
3、特征提取和选择是为了有效地实现分类识别，对原始数据进行变换，得到最能反映分类本质的特征。
4、分类决策就是在特征空间中用统计方法把被识别的对象归为某一类。
5、统计决策理论是处理模式分类问题的基本问题之一，它对模式分析和分类器的设计有着实际的指导意义。
6、几种常用的决策规则：（1）基于最小错误率的贝叶斯决策（尽量减少分类的错误）（2）基于最小风险的贝叶斯决策（考虑各种错误造成的不同损失）（3）在限定一类错误率条件下是另一类错误率为最小的两类别决策（限制其中某一类错误率不得大于某个常数而是另一类错误率尽可能小）（4）最小最大决策（5）序贯分类法（先用一部分特征来分类，逐步加入特征以减少分类损失）（6）分类器（基于上面的四种决策规则对观察向量x进行分类是分类器设计的主要问题）7、对观察样本进行分类是模式识别的目的之一。
8、在分类器设计出来以后总是以错误率的大小，通常来衡量其性能的优劣。
9、再利用样本集设计分类器的过程中，利用样本集估计错误率是个不错的选择。
10、对于错误率的估计问题可分为两种情况：（1）对于已设计好的分类器，利用样本来估计错误率。
（2）对于为设计好的分类器，需将样本空间分成两部分，即分为设计集和检验集，分别用以设计分类器和估计错误率。
线性判别函数1、在实际问题中，我们往往不去恢复类条件概率密度，而是利用样本集直接设计分类器。
即首先给定某个判别函数类，然后利用样本集确定出判别函数类中的未知参数。
2、将分类器设计问题转化为求准则函数极值的问题，这样就可以利用最优化技术解决模式识别问题。
3、决策树，又称多级分类器，是模式识别中进行分类的一种有效方法，对于多类或多峰分布问题，该方法尤为方便。
利用数分类器可以把一个复杂的多类别分类问题转化为若干个简单的分类问题来解决。
它不是企图用一种算法、一个决策规则去把多个类别一次分开，而是采用分级的形式，是分类问题逐步得到解决。
模式识别
1、什么叫模式？什么叫模式识别？
模式主要有两重含义，一是代表事物（个体或一组事物）的模板或原型，二是表征事物特点的特征或性状的组合。
识别就是把对象分门别类地认出来。
识别就是再认知的过程。
模式识别就是对模式的区分和认识，把对象根据其特征归到若干类别中适当的一类。
2、模式识别的主要方法？
模板匹配：首先对每个类别建立一个或多个模版
输入样本和数据库中每个类别的模版进行比较，求相关或距离
根据相关性或距离大小进行决策
优点：直接、简单
缺点：适应性差
形变模版
统计方法：根据训练样本，建立决策边界(decision boundary)
统计决策理论——根据每一类总体的概率分布决定决策边界
判别式分析方法——给出带参数的决策边界，根据某种准则，由训练样本决定“最
优”的参数
句法方法：许多复杂的模式可以分解为简单的子模式，这些子模式组成所谓“基元”
每个模式都可以由基元根据一定的关系来组成
基元可以认为是语言中的词语，每个模式都可以认为是一个句子，关系可以认
为是语法
模式的相似性由句子的相似性来决定
优点：适合结构性强的模式
缺点：抗噪声能力差，计算复杂度高
神经网络：进行大规模并行计算的数学模型
具有学习、推广、自适应、容错、分布表达和计算的能力
优点：可以有效的解决一些复杂的非线性问题
缺点：缺少有效的学习理论
3、监督模式识别与非监督模式识别的区别？。
(最新整理)贝叶斯决策理论与统计判决方法
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例：统计模式识别
19名男女同学进行体检，测量了身高和体重，但事后发现 其中有4人忘记填写性别，试问（在最小错误的条件下） 这4人是男是女？体检数值如下：
2021/7/26
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例：统计模式识别
• 待识别的模式：性别（男或女） • 测量的特征：身高和体重 • 训练样本：15名已知性别的样本特征 • 目标：希望借助于训练样本的特征建立判别函数（即数学模型）
2021/7/26
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例：鱼的分类
分类判决的代价： • 错判的代价和具体应用有关。 • 究竟是鲈鱼混进鲑鱼罐头好，还是鲑鱼混进鲈鱼罐头好？
– 鲑鱼混入鲈鱼罐头：损失利润 – 鲈鱼混入鲑鱼罐头：丢掉客户 • 决策和“总体代价”相关联。做决策就是使得所付出的 代价最小。
2021/7/26
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例：鱼的分类
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基于最小错误率的贝叶斯决策
一般说来，c类不同的物体应该具有各不相同的属性，在d维特征空间， 各自有不同的分布。当某一特征向量值X只为某一类物体所特有，即
对其作出决策是容易的，也不会出什么差错。问题在于出现模棱两可的 情况。此时，任何决策都存在判错的可能性。这里讨论的是使错误率为 最小的决策方法，称为基于最小错误率的贝叶斯决策理论。
2021/7/26
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基于最小错误率的贝叶斯决策
最小错误率是在统计的意义上说的，请注意其含义。
在这里要弄清楚条件概率这个概念。P(*|#)是条件概率的通用符号，在 “|”后边出现的#为条件，之前的*为某个事件，即在某条件#下出现某 个事件*的概率。P(ωK|X)是表示在X出现条件下，样本为ωK类的概 率。
2021/7/26
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“概率论”有关概念复习
S
统计模式识别简介
监督参数统计法
• KNN法（ K最近邻法） • Fisher判别分析法
K最近邻法
• KNN法，也称K最近邻法，是模式识别的标准算法之一。 • 其基本原理是先将已经分好类别的训练样本点“记入” 多维空间中，然后将待分类的未知样本也记入空间。考 察未知样本的K个近邻，若近邻中某一类样本最多，则 可以将未知样本也判为该类。在多维空间中，各点间的 距离通常规定为欧几里得空间距离。KNN法的好处是它 对数据结构没有特定的要求，只要用每个未知点的近邻 属性类来判别就行了；KNN法也不需要训练过程。KNN 法的一个缺点就是它没有对训练点作信息压缩，因此每 判断一个新的未知点都要将所有对已知点的距离全部算 一遍，计算工作量较大。一种简化的算法称为类重心法， 即将训练中每类样本点的重心求出，然后判别未知样本 点与各类的重心的距离；未知样本与哪一类重心距离最 近，
最小风险贝叶斯判别准则
• • 在实际工作中，有时仅考虑错误率最小是 不够的。要引入比错误率更广泛的概念— 风险、损失。 • 如果在采取每一决策时，其条件风险都最 小，则对所有的x作决策时，其平均（期望 风险）也最小。称为最小风险的贝叶斯决 策。
• 在决策理论中，称所采取的决定为决策或 行动。每个决策或行动都会带来一定的损 失。该损失用λ表示，它是与本该属于wi但 采取的决策为αj所造成的损失有关。由此定 义损失函数为λ（αj| wi）=λij(i,j=1,2, …,R)。 对样本X属于wi,有贝叶斯公式已知后验概率 为P(wi|X)
• 假使在特征空间中规定某种距离度量，从直观 上看，两点之间的距离越小，它们所对应的模 式就越相似。在理想的情况下，不同类的两个 模式之间的距离要大于同一类的两个模式之间 的距离，同一类的两点间连接线上各点所对应 的模式应属于同一类。一个畸变不大的模式所 对应的点应紧邻没有畸变时该模式所对应的点。 在这些条件下，可以准确地把特征空间划分为 同各个类别相对应的区域。在不满足上述条件 时，可以对每个特征向量估计其属于某一类的 概率，而把有最大概率值的那一类作为该点所 属的类别。
第3章 Bayes决策理论
第3章 Bayes决策理论
“概率论”有关概念复习
Bayes公式：设实验E的样本空间为S，A为E的事件，
第3章 Bayes决策理论
B1,B2,…,Bn为S的一个划分，且P(A)>0，P(Bi)>0，
(i=1,2,…,n)，则:
P( Bi | A) P( A | Bi ) P( Bi )
n
P( A | B
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第3章 Bayes决策理论
平均错误概率
P(e)
P (e x ) p ( x ) d x
从式可知，如果对每次观察到的特征值 x ， P(e x) 是 尽可能小的话，则上式的积分必定是尽可能小的。这就 证实了最小错误率的Bayes决策法则。下面从理论上给 予证明。以两类模式为例。
解法1：
利用Bayes公式
第3章 Bayes决策理论
p ( x 10 | 1 ) P(1 ) P(1 | x 10) p ( x 10) p ( x 10 | 1 ) P(1 ) p ( x 10 | 1 ) P(1 ) p( x 10 | 2 ) P(2 ) 0.05 1/ 3 0.048 0.05 1/ 3 0.50 2 / 3
解法2：
写成似然比形式
第3章 Bayes决策理论
p ( x 10 | 1 ) 0.05 l12 （x 10） 0.1 p ( x 10 | 2 ) 0.50 P (2 ) 2 / 3 判决阀值12 2 P (1 ) 1/ 3 l12 （x 10） 12 , x 2 , 即是鲑鱼。
若 P(i x) P( j x) ， j i ，则判
若 P(i x) 若 若
统计模式识别
分类器
01
Fisher分 类器
02
线性鉴别函 数LDA
03
SVM
04
K-means
06
Adboosti ng
05
Boosting
Fisher分类器
Fisher线性判别分析的基本思想：通过寻找一个投影方向（线性变换，线性组合）将高维问题降低到一维 问题来解决，并且要求变换后的一维数据具有如下性质：同类样本尽可能聚集在一起，不同类的样本尽可能地远。
指纹识别是最成熟的一项生物信息识别技术。目前，各种类型的指纹识别系统已在公安、海关、公司门禁、 PC机设锁等多种场合得到应用，成为展现图像识别技术实用价值的标志。指纹识别系统既有应用于公司、家庭或 个人计算机的嵌入式系统一指纹锁，也有用于刑侦、护照通关、络身份认证等领域的大型系统。嵌入式系统存储 的指纹(特征)数较少(一般在100枚以内)，可用简单的算法实现高精度识别，所要解决的主要问题是如何用简单、 小巧、廉价的设备实现指纹的正确采集和识别。大型系统往往需要储存上百万的指纹，因此如何提高指纹的比对 速度便成为关键。为了能够进行快速处理，需要对指纹进行很好的组织和采用高速算法。
K-means
K-means分类器K-Means算法是以距离作为相似度的评价指标，用样本点到类别中心的误差平方和作为聚类 好坏的评价指标，通过迭代的方法使总体分类的误差平方和函数达到最小的聚类方法。
（1）从 n个数据对象任意选择 k个对象作为初始聚类中心； （2）循环（3）到（4）直到每个聚类不再发生变化为止 （3）根据每个聚类对象的均值（中心对象），计算每个对象与这些中心对象的距离；并根据最小距离重新 对相应对象进行划分； （4）重新计算每个（有变化）聚类的均值（中心对象）
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• 以细胞识别为例：
• 细胞切片的显微图像经过一定的预处理后， 抽取出d个特征。每一细胞可用一个d维的特 征向量x表示。希望根据x的值分到正常类ω1 或异常类ω2中去。
• 假定可以得到Pr[ω1]、Pr[ω2] （Pr [ω1]+ Pr [ω2]=1） ,和p(x|ω1)、p(x|ω2) 。
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• 下面证明上述基于最小错误率的贝叶斯规则
是错误率最小的。
• 证明：错误率是对所有x的平均错误率Pr[e]
Pre
Pr
e
x
pxd
x
• 两类时的条件错误概率为：
Pr e x
Pr
ω1
x
Pr ω2 x
当 Pr ω2 x Pr ω1 x 当 Pr ω1 x Pr ω2 x
6
• 如果观察到一个样本 xˆ xˆ1，xˆ 2，，xˆdT ，
那么把 xˆ 分到哪一类去才是合理的呢？
• 这是这一章要解决的问题。
最小错误率
• 下面先介绍基于
的贝叶斯
决策。
和最小风险
7
一. 最小错误率贝叶斯决策
• 在模式分类问题中，人们希望尽量减小 分类的错误。
• 不可能不犯错误，因为样本是随机的… • 我们希望所使用的分类规则，能使错误
∴ 应把x归为ω1类，不是完全正确，但错误 率最小。
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例2：假定一维测量（特征）值y的类条件密
度函数为：
p y ω1
1
y4 2
e2
2
p y ω2
1
y10 2
e2
2
而且Pr[ω1]= Pr[ω2]。画出两类的概率密度
曲线并求分类规则。
解：
15
似然比检验
y4 2
ω1
l y e 2 y10 2
Pr
ω2
x
ω2 • 后面要证明这个决策规则是错误率最小的。
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• 上面的贝叶斯决策规则还可以表示成以下几 种形式：
x ω 1) 若 Pr ωi x max Pr ωj x ，则
i
j 1,2
2) 若 Prωip x ωi max Pr ωjp x ωj ，则 j 1,2 x ωi
5
2.2 几种常用的决策方法
2.2.1 贝叶斯决策 • 问题：假定要识别的物理对象x有d个特征，
x所1，有x的2，特…征，向x量d，构记成作了x=d[维x1特，征x2空，间…。，假xd]定T， 这2，些…待，识c，别并的且对每象个来类自别c个出类现别的，先ω验i，概i=率1， Pc已[ω知i]和。类条件概率密度p(x|ωi) ，i=1，2，…，ห้องสมุดไป่ตู้
• 令t是两类的分界面，当x是一维时，即x轴
上的一点。
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Pre
t
Pr ω2 x pxd x
Pr
ω1 x
pxd
x
t
t
p x ω2 Pr ω2 d x p x ω1 Pr ω1 d x
1
e2
ω2
上式两边取对数，再乘以－2，有
ω1
y 4 2
y 10 2
0
ω2
ω1
∴
y
7
ω2
• 原因是Pr[ω1]= Pr[ω2]，且分布形式相同，又对称， 只是均值有区别 分界点在两均值的中点
y=7，可以由 py ω1 Prω1 py ω2 P确rω定2 。
• py ωi Pr ωi ，i 1，2 构成一个判别函数。
第二章 统计决策理论
1
这一章要讨论：
• 最小错误率贝叶斯决策 • 最小风险贝叶斯决策 • Neyman－Pearson决策（在限定一类错误
率的条件下，使另一类错误率最小的两 类决策问题） • 最小最大决策 • 序贯决策（Sequential Decision）
2
关于统计学的一个笑话：
有一个从没带过小孩的统计学家，因为妻
子出门勉强答应照看三个年幼好动的孩
子。妻子回家时，他交出一张纸条，写 的是：
“擦眼泪11次；系鞋带15次；给每个孩子 吹玩具气球各5次,累计15次；每个气球的 平均寿命10秒钟；警告孩子不要横穿马
路26次；孩子坚持要穿马路26次；我还 要再过这样的星期六0次”。
• 统计学真的这样呆板吗？仅仅收集数据，
4
2.1 引言
• 统计理论要解决的是从数据中做出一些 推断、它为解决随机观测事件的决策过 程 提供了理论基础。
• PR中的分类问题是根据识别对象特征的 观测值，将其分到相应的类别中去。
• 而统计决策理论是模式分类的主要理论 和工具之一。
• 下面我们介绍几种最常用、也是最基本 的统计决策方法。这些方法是以后各种 模式分类方法的基础。
• 利用贝叶斯公式： px ωi Pr ωi Pr ωi x 2 px ωiPrωi i 1 10
• 得到的Pr[ωi|x] 称为状态（正常、异常）
的后验概率。上述的贝叶斯公式，通过观测 到的x，把先验概率转换为后验概率。
• 这时，基于错误率最小的贝叶斯决策规则为：
ω1
Pr ω1 x
整理分析，累加平均…
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• 统计学以数据为研究内容，但仅仅收集 数据，决不构成统计学研究的全部。
• 统计学是面对不确定情况寻求决策、制 定方法的一门科学
• 人力、财力、时间等的限制，只有部分 或少量数据，要推断所有数据的的特征
• 不同于叙述统计，要推断统计 • 抽样、试验设计、估计、假设检验、回
归分析…..等推断方法
胞，其观测值为x，从类条件概率密度曲线上
查出，p(x|ω1)=0.2，p(x|ω2)=0.4。
解：利用贝叶斯公式（2），有
Prω1p x ω1 0.9 0.2 0.18
Prω2p x ω2 0.1 0.4 0.04
∴
Pr ω1 x 0.18 0.818
0.18 0.04
Pr ω2 x 1 0.818 0.182
• 如果只有先验概率，那么合理的选择是把x
分到Pr[ω1]、Pr[ω2]大的一类中去。一般 由于Pr[ω1]>Pr[ω2]，这样就把所有的细胞
分到了正常的一类。失去了意义。
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• 如果有细胞的观测信息，那么可以改进决策 的方法。为了简单起见，假定x是一维的特
征（如胞核的总光强度）。p(x|ω1)和 p(x|ω2)已知：
12
3) 若
lx
px ω1 px ω2
Prω2 ，则 Prω1
ω1 x
ω2
似然比 似然函数 阈值 是假设检验
4) 取 lx 的负对数，有
hx
lnlx
lnpx
ω1
lnpx
ω2
ln
Prω1 Prω2
ω1
则: x
ω2
13
例1：某一地区的统计资料，Pr[ω1]=0.9（正 常），Pr[ω2]=0.1（异常），有一待识别细