整数的整除性与同余(教案)
第二次课-- 整除与同余
最大公因子定理
定理1 设a，b是两个不全为零的整数，则存 在两个整数u，v，使 (a，b)= ua+vb．
第一章 整除与同余
证明 设Z是全体整数集合，构造如下一个集合： S = {xa+ybx，yZ}． S中的元素显然大于等于0． 设d是S中的最小正整数，设 d = ua+vb． 现在我们证明da且db．做带余除法： a = qd+r，0 r d． 于是 r = a – qd = a – q(ua+vb) = (1–qu)a – qvb． 这说明r也可表示为a，b的组合，则rS． 由于d是S中的最小者，所以r = 0．故da．同理db． 设c是a，b的任意公因子，由ca和cb得cua+vb．故 d是a，b的最大公因子，证毕．
第一章 整除与同余
互素
定义3：设a，b是两个不全为0的整数，如果(a，b) = 1，则称a，b互素． 推论：a，b互素的充分必要条件是：存在u，v，使 ua+vb = 1． 证明 必要条件是定理1的特例，只需证充分条件． 如果存在u，v，使 ua+vb = 1． 则由(a，b)(ua+vb)，得(a，b)1， 所以(a，b) = 1．
例8 a = 2，b = 3．它们的公倍数集合为 {0，6，12，18，…}． 而[2，3] = 6．
第一章 整除与同余
最小公倍数与最大公约数关系
定理1.1.2 1）设d是a，b的任意公倍数，则 [a，b] d． ab 2） a，b a，b） ，特别地，如果(a，b) = 1， （ [a，b] = |ab|．
第一章 整除与同余
Eratosthenes筛法
定理1.2.3 设a是任意大于1的整数，则a的除1外最小正因子q 是一素数，并且当a是一合数时，
小学数学教案学习除法的整除与余数
小学数学教案学习除法的整除与余数小学数学教案：学习除法的整除与余数【教学目标】1. 熟练掌握整除和余数的概念；2. 学会使用除法进行计算，并正确理解计算结果的含义；3. 能够运用所学知识解决实际问题。
【教学准备】黑板、白板、教具卡片、小白板、彩色粉笔、计算器。
【教学过程】一、导入老师用彩色粉笔写出一个算式“20 ÷ 4 = ?”，并强调除法是一种运算方法，用来平均分配或分组。
请学生思考并回答这个算式的含义和结果。
二、概念解释1. 整除：当一个数能够被另一个数整除时，我们就称前面的数为后面的数的倍数，并且没有余数。
2. 余数：当一个数不能被另一个数整除时，我们进行除法运算时得到的剩余数就是余数。
三、例题讲解1. 老师设计一个例题：“36 ÷ 6 = ?”，请学生思考并回答这个算式的含义和结果。
然后进行解答，解释36被6整除得到的商为6，没有余数。
2. 老师设计另一个例题：“27 ÷ 5 = ?”，请学生思考并回答这个算式的含义和结果。
然后进行解答，解释27被5整除得到的商为5，余数为2。
强调余数表示无法完全平均分配或分组的数量。
四、巩固练习老师分发教具卡片，每张卡片上有一个除法算式。
学生们需要根据算式计算商和余数，并在小白板上写出算式和结果。
然后轮流回答问题，并解释自己的答案。
五、拓展应用老师提供一些实际问题，引导学生运用所学知识解决问题。
例如：“班级里有27个学生，老师要将他们平均分成5个小组，每个小组应该有多少人？是否能够完全平均分配？如果不能，会有多余的人分在哪个小组？”学生们用除法算出每组应有的人数为5人，余数为2人，最后一个小组多余2人。
【教学总结】老师对本节课的内容进行总结，强调整除的概念、余数的含义以及学生们的学习成果。
提醒学生在日常生活中多运用除法进行计算，加深对整除和余数的理解。
【课后作业】完成课堂练习题，巩固所学知识。
同时，观察生活中的分配和分组情况，并尝试用除法进行计算和分析。
高中数学数字整除问题教案
高中数学数字整除问题教案
教学目标：
1. 掌握整除的概念和判定方法。
2. 训练学生分析问题并运用整除性质进行解题。
3. 提高学生数学推理和逻辑思维能力。
教学重点：
1. 整除的定义和性质。
2. 数学问题中的整除运用。
教学难点：
1. 理解和掌握整除的应用。
2. 运用整除性质解决复杂问题。
教学准备：
1. 教师准备相关教学资料和教学案例。
2. 学生准备好纸笔进行课堂练习。
教学过程：
一、导入：
教师通过引导学生回顾整除的定义和判定方法，提出本节课要讨论整除问题，并引入相关实际问题。
二、讲解：
1. 整除的定义和性质：通过案例或实例讲解整除的概念和性质，引导学生理解整除乘法法则和整除性质。
2. 数学问题中的整除运用：通过实际问题讲解如何运用整除性质解决问题。
三、练习：
教师出示一些数字整除问题，让学生进行思考和运用整除性质解题，并进行课堂讲解和订正。
四、作业：
布置相关数字整除问题作业，让学生巩固所学知识。
五、总结：
通过课堂讨论和总结，引导学生理解整除的重要性和应用，并巩固整个内容。
教学延伸：
教师可以结合实际生活中的整除问题，引导学生思考和解决，提高学生数学推理和应用能力。
“数的整除复习”教学设计共整数除法的教案设计4篇
数的整除复习教学设计共整数除法的教案设计4篇(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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新人教版二年级数学下册《整除与余数》教学设计
新人教版二年级数学下册《整除与余数》教学设计教学目标- 了解整数的概念及其性质- 掌握整数的整除与余数的概念- 能够运用整除与余数的概念进行简单的问题求解教学内容1. 整数的概念及其性质2. 整除与余数的概念3. 整除与余数的运算规律教学步骤1. 导入：通过实际生活中的例子引导学生了解整数的概念，并与自然数进行对比。
2. 讲解整数的性质：介绍整数的基本性质，例如整数相等、相加、相减的性质。
3. 引入整除与余数的概念：通过具体的例子，让学生了解整除和余数的概念，并掌握其定义。
4. 讲解整除与余数的运算规律：介绍整除与余数的运算规律，例如一个数除以另一个数可以整除的条件。
5. 练与巩固：通过练题，让学生运用所学知识解决简单的问题。
6. 总结与拓展：总结整个教学内容，引导学生思考更多与整除与余数相关的问题。
教学资源- 教材：新人教版二年级数学下册- 多媒体设备：投影仪、电脑、PPT等- 教学辅助工具：练题、教学素材等教学评估- 通过学生课堂练和小组合作活动的表现评估学生对整除与余数的掌握情况。
- 定期进行课堂测验，检验学生对整除与余数的应用能力。
教学延伸- 拓展整除与余数的概念，引导学生解决更复杂的问题。
- 鼓励学生应用整除与余数的概念，从生活实际中寻找更多的例子。
以上是新人教版二年级数学下册《整除与余数》教学设计的内容。
通过此教学设计，旨在帮助学生理解整除与余数的概念，并能够应用于解决简单的问题。
教学过程中应注重启发式教学，引导学生进行思考和探究，培养学生的数学思维能力。
大学整除与同余教案设计
教学目标：1. 理解整除与同余的概念，掌握整除与同余的基本性质。
2. 学会利用整除与同余的性质解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
教学重点：1. 整除与同余的概念及基本性质。
2. 应用整除与同余的性质解决实际问题。
教学难点：1. 理解整除与同余的性质，并能灵活运用。
2. 将实际问题转化为整除与同余问题。
教学用具：1. 多媒体课件2. 白板或黑板3. 练习题教学过程：一、导入1. 复习初中阶段学习的整除概念，引导学生回顾整除的定义和性质。
2. 提出问题：如何判断一个数能否被另一个数整除？3. 引入整除与同余的概念，激发学生的学习兴趣。
二、新课讲授1. 整除与同余的概念（1）整除：如果整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数，且没有余数，那么我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
（2）同余：如果整数a除以整数b（b≠0），除得的余数是整数c，那么我们就说a与b同余，记作a≡c（mod b）。
2. 整除与同余的性质（1）性质1：如果a能被b整除，那么a与b同余。
（2）性质2：如果a≡c（mod b），那么a-b能被b整除。
（3）性质3：如果a≡c（mod b），那么a+b≡c+b（mod b）。
3. 应用整除与同余的性质解决实际问题（1）判断一个数能否被另一个数整除。
（2）求解同余方程。
（3）解决实际问题，如日期、时间、密码等。
三、课堂练习1. 填空题：判断下列各数能否被3整除。
2. 选择题：下列哪个数与8同余？3. 应用题：求2008年2月29日到2010年2月28日共经过了多少天？四、课堂小结1. 回顾整除与同余的概念、性质及应用。
2. 强调整除与同余在解决实际问题中的重要性。
五、课后作业1. 完成课后习题，巩固所学知识。
2. 查阅资料，了解整除与同余在其他领域的应用。
教学反思：本节课通过引入实际问题，引导学生理解整除与同余的概念，并掌握其基本性质。
在教学过程中，注重培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
整除数的教案
教学内容：整除数教学目标：通过本次课程的学习，学生将能够掌握整除数的概念和特征，并能够熟练应用整除数相关的知识进行数学计算。
教学重点：整除数的概念和特征，以及相关的应用知识。
教学难点：学生能够熟练应用整除数相关的知识进行数学计算。
教学准备：黑板、白板、笔、书籍、纸张、笔记本电脑、投影仪。
教学过程：第一步：导入教师对本节课的教学内容进行简单的介绍，引出整除数的概念和特征，并让学生列举一些整除数的例子。
第二步：讲解1.整除数的定义：对于两个正整数a和b,如果存在一个整数c,使得a=bc成立,c就是a的一个整除数，a就是b的倍数。
2.整除数的特征：整除数具有以下的特征：(1) 所有的自然数都是1的倍数，任何一个自然数都是1的整数倍。
(2) 所有的偶数都是2的整数倍。
(3) 一个数如果是3的整数倍，它的末位数字一定是0、3、6或9。
(4) 整数的各个位数字之和是9的倍数，该整数就是9的倍数。
3.整除数作为一种数学计算方法的应用：学生通过举例子练习如何用整除数进行数学计算，以此来加深对整除数的理解。
第三步：练习学生进行课本上的相关练习或者课堂练习，老师及时纠正错误并讲解。
第四步：拓展1.整除数和约数之间的关系。
2.整除数对数学计算的重要性。
3.利用整除数求最大公约数和最小公倍数的方法。
第五步：总结归纳对本节课的重点内容进行总结，让学生掌握整除数相关的知识，并能熟练应用于数学计算。
教学评价：通过本节课的学习，要求学生掌握整除数的概念和特征，并能够熟练应用整除数相关的知识进行数学计算。
在课堂上，学生能够积极参与讨论和课堂练习，并通过对例题的讲解和练习，有效地掌握了整除数相关的知识。
课后，老师可以布置一些相关作业，以检验学生的学习成果。
整数的整除性与同余(教案)
整数的整除性与同余（教案）教学内容 整除与同余教学目标 1 让学生初步学习整除与同余的概念及基本性质;2 能够简单的应用整除与同余的知识处理一些初等数论问题.教学过程一、整数的整除性1、整除的定义：对于两个整数a 、b （b ≠0），若存在一个整数m ，使得b m a ⋅=成立，则称b 整除a ，或a 被b 整除，记作b|a.2、整除的性质1）若b|a,则对于任意非0整数m 有bm|am;2) 若b|a ，c|b ，则c|a3) 若b|ac ，而（a ，b ）=1（（a ，b ）=1表示a 、b 互质，则b|c ；4) 若b|ac ，而b 为质数，则b|a ，或b|c ；5) 若c|a ，c|b ，则c|（ma+nb ），其中m 、n 为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和）6）连续整数之积的性质任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积，因此一定可被2整除；任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除例1 （1987年北京初二数学竞赛题）x ，y ，z 均为整数，若11｜（7x+2y-5z ），求证：11｜（3x-7y+12z ）。
证明∵4(3x -7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)而 11｜11(3x-2y+3z),且 11｜(7x+2y-5z),∴ 11｜4(3x-7y+12z)又 (11,4)=1 ∴ 11｜(3x-7y+12z)例2（1980年加拿大竞赛题）设72｜b 679a 试求a,b 的值。
解：∵72=8×9，且（8，9）=1，∴只需讨论8、9都整除b 679a 时a,b 的值。
若8｜b 679a ，则8｜b 79，由除法可得ｂ＝２若9｜b 679a ，则9｜（a+6+7+9+2），得a=3例3（1956年北京竞赛题）证明：1n 21n 23n 23-++对任何整数n 都为整数，且用3除时余2。
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整数的整除性与同余（教案）
教学内容 整除与同余
教学目标 1 让学生初步学习整除与同余的概念及基本性质;
2 能够简单的应用整除与同余的知识处理一些初等数论问题.
教学过程
一、整数的整除性
1、整除的定义：
对于两个整数a 、b （b ≠0），若存在一个整数m ，使得b m a ⋅=成立，则称b 整除a ，或a 被b 整除，记作b|a.
2、整除的性质
1）若b|a,则对于任意非0整数m 有bm|am;
2) 若b|a ，c|b ，则c|a
3) 若b|ac ，而（a ，b ）=1（（a ，b ）=1表示a 、b 互质，则b|c ；
4) 若b|ac ，而b 为质数，则b|a ，或b|c ；
5) 若c|a ，c|b ，则c|（ma+nb ），其中m 、n 为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和）
6）连续整数之积的性质
任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积，因此一定可被2整除；任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除
例1 （1987年北京初二数学竞赛题）x ，y ，z 均为整数，若11｜（7x+2y-5z ），求证：11｜（3x-7y+12z ）。
证明∵4(3x -7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)
而 11｜11(3x-2y+3z),且 11｜(7x+2y-5z),∴ 11｜4(3x-7y+12z)又 (11,4)=1 ∴ 11｜(3x-7y+12z)
例2（1980年加拿大竞赛题）设72｜b 679a 试求a,b 的值。
解：∵72=8×9，且（8，9）=1，∴只需讨论8、9都整除b 679a 时a,b 的值。
若8｜b 679a ，则8｜b 79，由除法可得ｂ＝２若9｜b 679a ，则9｜（a+6+7+9+2），得a=3
例3（1956年北京竞赛题）证明：1n 2
1n 23n 23-++对任何整数n 都为整数，且用3除时余2。
证明：)1n 2)(1n (n 2
1n 21n 23n 23++=++ ∵)1n (n +为连续二整数的积,必可被2整除.∴)1n (n 2
1+对任何整数n 均为整数, ∴1n 2
1n 23n 23-++为整数,即原式为整数.
又∵8)2n 2)(1n 2(n 28)1n 2)(1n (n 42)1n 2)(1n (n ++=++=++;
2n 、2n+1、2n+2为三个连续整数，其积必是3的倍数，而2与3互质，
∴是能被3整除的整数. 故1n 2
1n 23n 23-++被3除时余2. 例4 一整数a 若不能被2和3整除，则a 2+23必能被24整除.
证明 ∵a 2+23=（a 2-1）+24，只需证a 2-1可以被24整除即可.
∵2|/ .∴a 为奇数.设a=2k+1(k 为整数),则a 2-1=(2k+1)2-1=4k 2+4k=4k(k+1).
∵k、k+1为二个连续整数，故k （k+1）必能被2整除，∴8|4k（k+1），即8|（a 2-1）. 又∵（a-1），a ，（a+1）为三个连续整数，其积必被3整除，即3|a （a-1）（a+1）=a （a 2-1），∵3|/ a ，∴3|（a 2-1）.3与8互质, ∴24|(a 2-1),即a 2+23能被24整除.
二、同余及其性质
1、同余的概念
同余定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为:a ≡b （modm ）. （*）上式可读作：a 同余于b ，模m.
同余式（*）意味着（我们假设a ≥b ）：a-b=mk ，k 是整数，即m ｜（a-b ）.
补充定义：若m （a-b ），就说a 、b 对模m 不同余，用式子表示是：a b （modm ）
2、同余的性质
同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质（其中a 、b 、c 、d 是整数，而m 是自然数）
性质1：a ≡a （mod m ），（反身性） 这个性质很显然.因为a-a=0=m ·0。
性质2：若a ≡b （mod m ），那么b ≡a （mod m ），（对称性）。
性质3：若a ≡b （mod m ），b ≡c （mod m ），那么a ≡c （mod m ），（传递性）。
性质4：若a ≡b （mod m ），c ≡d （mod m ），那么a ±c ≡b ±d （mod m ），（可加减性）。
性质5：若a ≡b （mod m ），c ≡d （mod m ），那么ac ≡bd （mod m ）（可乘性）。
性质6：若a ≡b （mod m ），那么a n ≡b n （mod m ），（其中n 为自然数）。
性质7：若ac ≡bc （mod m ），（c ，m ）=1，那么a ≡b （mod m ），（记号（c ，m ）表示c 与m 的最大公约数）。
注意同余式性质7的条件（c ，m ）＝1，否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。
例1 判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？
解：∵288-214=74=37×2，∴288≡214（mod37），∵74-20=54，而3754，∴7420（mod37）。
例2 求14389除以7的余数。
分析 同余的性质能使“大数化小”，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余意义下变小，然后从低次幂入手，重复平方，找找有什么规律。
解：∵143≡3（mod7） ∴14389≡389（mod 7）
∵89＝64+16+8+1 而32≡2（mod 7）， 34≡4（mod7）， 38≡16≡2（mod 7）， 316≡4（mod 7）， 332≡16≡2（mod 7）， 364≡4（mod 7）。
∵389≡364·316·38·3≡4×4×2×3≡5（mod 7）， ∴14389≡5（mod 7）。
答：14389除以7的余数是5。
例3 证明方程2x 2-5y 2=7无整数解.
证明 ∵2x 2=5y 2+7，显然y 为奇数.
① 若x 为偶数，则1)1n (n 4)1n 2(y ),8(mod 0x 2222++=+=≡
∴)8(mod 47y 5),8(mod 1y 22≡+≡=
∵方程两边对同一整数8的余数不等，∴x 不能为偶数.
② 若x 为奇数，则)8(mod 07y 5),4(mod 2x 222≡+≡而∴x 不能为奇数.因则原方程无整数解.
说明:用整数的整除性来判定方程有无整数解,是我们解答这类问题的常用方法.
例4 求证31980+41981能被5整除.
证明 ∵)5(mod 1,4)5(mod 13),5(mod 232-≡-≡-≡
∴)5(mod )1(4),5(mod )1(93198119819909901980-≡-≡=
∴)5(mod 0)1()1(43198199019811980≡-+-≡+
∴5|1981198043+
点评：证明整除问题常用同余的知识，当然二项式定理也是常用知识.
三、课后作业
1、一个五位数358a a 能被3整除，它的末三位数字组成的数58a 能被7整除，•求这个五位数．
2、证明对于任何整数0≥k ,153261616+++++k k k 能被7整除
3、能否把1，2，……，1980这1980个数分成四组，令每组数之和为4321S S S S ，，，，
且满足；＝，＝，，＝101010342312S S S S S S ---。