整数(整除)性问题

整数（整除）性问题
【探究拓展】
探究1：（1）已知二项式)
1
n
x
，其中n ∈N ，且20123≤≤n ，在其二项展
开式中，若存在连续三项的二项式．．．系数成等差数列，问这样的n 共有多少个？
解：连续三项的二项式系数分别为1-k n C 、k n C 、1+k n C （11-≤≤n k ），由题意
112+-+=k n k n k n C C C ，依组合数的定义展开并整理得024)14(22=-++-k n k n ，故
2
9
8142,1+±+=
k k n ，则
2)12(98+=+m k 2
22-+=⇒m m k ，代入整理得
2)1(21-+=m n ，222-=m n ，1936442=Θ，2025452=，故n 的取值为2442-，
2432-，…，232-，共42个
（将所求参数求出，根据整数性质加以研究，尽量出现分式、根式等形式）
（2）已知)1
31
1(3
1+-
=n T n ，问是否存在正整数m ，n ，且1＜m ＜n ，使得
T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出m ，n 的值，若不存在，说明理由？ 解：∴31)1311(3
1<+-
=n T n 1
3+=
n n
n T ∴1
3,411+=
=m m
T T m ，31n n T n =+
∵n m T T T ,,1成等比数列．∴
1211341)13(
2<+=+n n m m ，所以⎪⎭
⎫
⎝⎛+∈2321,232-1m 又∵m 为正整数且2≥m ，∴2=m ，n ＝16，且1<m <n ，使得n m T T T ,,1成等比数列.
（3） 已知数列{}n a 是等差数列，12315a a a ++=，数列{}n b 是等比数列，
12327b b b =．
① 若1243,a b a b ==．求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
② 若112233,,a b a b a b +++是正整数且成等比数列，求3a 的最大值． （注：整数型问题一定要充分利用好条件中的整数进行求解） 解：（1）由题得225,3a b ==，所以123a b ==，从而等差数列{}n a 的公差2d =，所
以21n a n =+，从而349b a ==，所以13n n b -=．
（2）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n
b 的公比为q ，则1
5a
d
=-，
13
b q
=
，35a d =+，3
3b
q =.
因为112233,,a b a b a b +++成等比数列，所以2113322()()()64a b a b a b +⋅+=+=． 设1133a b m
a b n
+=⎧⎨
+=⎩，*,m n N ∈，64mn =，
则3553d m
q d q n ⎧
-+=⎪⎨⎪++=⎩
，整理得，2()5()800d m n d m n +-++-=.
解得d =
（舍去负根）.
（预设提问：如何利用好m,n 是正整数实现对本题的研究是本题的难点）
35a d =+Q ，∴要使得3a 最大，即需要
d 最大，即n m -及2(10)m n +-取最大
值.*
,m n N ∈Q ，64mn =，
∴当且仅当64n =且1m =时，n m -及2
(10)
m n +-取最大值.
从而最大的d =，
所以，最大的3
a
=
探究2：（2020年）（1）已知数列{}n a 的通项公式为2
12
n
n a
-=
，n S 是其前n
项的和，问是否存在正整数n m ,，使得1221
m
n m n S m S m +-<
-+成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对()n m ,；若不存在，请说明理由. 解：
12(1)124(1)1212n n n S -=
=--，由1221m n m n S m S m +-<-+，得114(1)221214(1)2
m n m n m m --<+--+1<
当4≥m 时，分母小于0恒成立，化简可知不等式不可能成立，又因为m 是正整数，故3,2,1=m 当1m =时，由()*得，2238n
<⨯<，
所以1n =；当2m =时，由()*得，22212n
<⨯<，
所以1n =或2；当3m =时，由()*得，2220n <<，所以2n =或3或4，
综上可知，存在符合条件的所有有序实数对
(,)
m n 为：
(1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3),(3,4)．
拓展1：已知等差数列}{n a 的公差d 不为0，等比数列}{n b 的公比q 为小于1
的正有理数，若2
11,d b d a ==，且
3
212
3
2221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于
________.
1
2
拓展2：m ∈N
，若函数()210f x x m =-+存在整数零点，则
m 的取
值集合为 ________.
解：当x ∈Z ，且x ≤10
时，Z ．若m =0，则x = -5为函数f (x )
的整数零点．
若m ≠0，则令f (x )=0，得m
N ．注意到-5≤x ≤10
∈N ，得x ∈{1，6，9，10}，此时m ∈{3，223
，14，30}．故m 的取值集合为{0，3，14，30}．
拓展3：函数2()2(3)2f x ax a x a =--+-中，a 为负整数，则使函数至少有一
个整数零点的所有的a 值的和为______________. -14
拓展4：设b a ,均为大于1的自然数，函数x b x g x b a x f cos )(),sin ()(+=+=，若存在实数m 使得)()(m g m f =，则_____=+b a . 2==b a
拓展5：已知函数
2()f x ax x =-,222*()(2)(,)g x x a x a Z b Z =-∈∈，
若存在0x ，使0()f x 为()f x 的最小值，0()g x 为()g x 的最大值，则此时数对
(,)a b 为
_________.
解：由2()f x ax x =-知243013b b b -+-≥⇒≤≤，又b Z ∈得
1,2,3b =；而()f x 的最小值时0x =
a
，又0()g x 为()g x 的最大值即
20x a =
所以
a
2a =得6a =243b b -+-得a =0或1，则此时数对(,)a b 为（1，2）
拓展6：各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d （d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列. 若
4188a a -=，则
q 的所有可能的值构成的集合为 .
{}58 37
， 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么?。