专题50：圆与圆的位置关系2021届新课改地区高三数学一轮专题复习(解析版)
第49讲 直线与圆的位置关系(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
Δ＜0 d＞r
Δ＝0 d＝r
Δ＞0 d＜r
(2)圆的切线方程的常用结论
①过圆 x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0x＋y0y＝r2；
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
③过圆 x2＋y2＝r2 外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0x＋y0y＝r2.
12＋（－1）2 选 C.
4、过点(2，3)与圆(x－1)2＋y2＝1 相切的直线的方程为________________．
【答案】 x＝2 或 4x－3y＋1＝0
【解析】 ①若切线的斜率存在时，设圆的切线方程为 y＝k(x－2)＋3，由圆心(1，0)到切线的距离为半径 1， 得 k＝4，所以切线方程为 4x－3y＋1＝0；②若切线的斜率不存在，则切线方程为 x＝2，符合题意，所以直
【解析】（2） 由 ax－y＋2－a＝0 得直线 l 恒过点 M(1，2)．又因为点 M(1，2)在圆 C 的内部，当 MC 与 l
垂直时，弦长最短，所以 kMC·kl＝－1，所以2－1×a＝－1，解得 a＝2 . 1－3
（3）由题意，得圆心 C(3，1)，半径 r＝3 且∠ACB＝90°，则圆心 C 到直线 l：ax－y＋2－a＝0 的距离为
3 线方程为 4x－3y＋1＝0 或 x＝2.
5、直线 l：3x－y－6＝0 与圆 x2＋y2－2x－4y＝0 相交于 A，B 两点，则 AB＝________．
【答案】 10
【解析】 由 x2＋y2－2x－4y＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1，2)，半径 r＝ 5，又圆
2-5 直线与圆、圆与圆的位置关系(精讲)(解析版)
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（精讲）考点一直线与圆的位置关系【例1】（1）（2021·遵义师范学院附属实验学校）圆22(3)(3)8x y-+-=与直线3460x y++=的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定（2）．（2021·全国高二专题练习）直线():120l kx y k k R-++=∈与圆22:5C x y+=的公共点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．1个或2个（3）（2021·黑龙江哈尔滨市）若过点()4,3A的直线l与曲线22231x y有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A．⎡⎣B．(C．33⎡-⎢⎣⎦D．,33⎛-⎝⎭（4）（2021·浙江高二期末）已知曲线y=与直线10kx y k-+-=有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．30,4⎛⎫⎪⎝⎭C．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】（1）C （2）D （3）C （4）A【解析】（1）圆心为()3,3，半径r =()3,3到直线3460x y ++=的距离为333462755d r ⨯+⨯+==>所以直线与圆相离故选：C（2）将直线l 的方程变形为()210k x y ++-=，由2010x y +=⎧⎨-=⎩，可得21x y =-⎧⎨=⎩，所以，直线l 过定点()2,1P -，()22215-+=，即点P 在圆C 上，因此，直线l 与圆C 相交或相切.故选：D.（3）由题意，易知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()34y k x -=-，即340kx y k -+-= 曲线22231x y 表示圆心()2,3，半径为1的圆，圆心()2,3到直线340kx y k -+-=的距离应小于等于半径1，1≤，即2k -≤，解得k ≤≤.故选：C. （4）曲线y =22(2)1(0)x y y -+=≥，则该曲线表示圆心为(2,0)，半径为1的圆的上半部分，直线10kx y k -+-=过定点(1,1)--，如图，当[)12,k k k ∈时，曲线与直线有两个不同的交点，1=，得34k =或0k =，所以234k =，1101112k --==--，所以实数k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：A ．【一隅三反】1．（2021·江苏南京市·高二期末）直线10x +=与圆()2211x y -+=的位置关系是（ ） A ．直线过圆心 B ．相切C ．相离D ．相交【答案】B【解析】圆()2211x y -+=的圆心为()1,0 ，半径1r =圆心()1,0到直线10x +=的距离1d r ===所以直线10x -+=与圆()2211x y -+=相切故选：B 2．（2021·四川成都市）若圆22()1(0)x a y a -+=>与直线3y x =只有一个公共点，则 a 的值为（ ） A ．1 BC ．2D．【答案】C【解析】因圆22()1(0)x a y a -+=>与直线3y x =只有一个公共点，则直线0x -=与圆22()1x a y -+=切线，圆心(,0)a 到该直线距离为半径1，1||2a =⇔=，而0a >，则有2a =，所以 a 的值为2.故选：C3．（2021·浙江高二期末）直线:1l y ax a =-+与圆224x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与a 的大小有关【答案】A【解析】直线l ：1=-+y ax a ，即()11y a x =-+恒过()1,1，而221124+=<，故()1,1点在圆内， 故直线与圆必然相交．故选：A ．4．（2021·全国高二专题练习）若直线0x y b +-=0y +=有公共点，则b 的取值范围是（ ） A．[- B．[C ．[1,1]-D．[【答案】B【解析】根据题意，y =，变形可得x 2+y 2＝1（0y ≤），为圆x 2+y 2＝1的下半部分，若直线x +y ﹣b ＝0与曲线y =有公共点，则当直线经过点A 时，直线x +y ﹣b ＝0与曲线y =有公共点此时b ＝1=1，解可得bb <0，则b =，则b的取值范围为[；故选：B ．5．（2021·河北保定市·高二期末）（多选）已知圆22:(1)(1)169C x y -+-=，直线:450,l kx y k k R --+=∈．则下列选项正确的是（ ）A ．直线l 恒过定点B ．直线l 与圆C 的位置可能相交、相切和相离 C ．直线l 被圆C 截得的最短弦长为12D ．直线l 被圆C 截得的最短弦长对应的k 值为34-【答案】AD【解析】由直线:450,l kx y k k R --+=∈得():54,l y k x k R -=-∈， 所以直线l 过定点()4,5，故A 选项正确；此时将点()4,5代入圆22:(1)(1)169C x y -+-=得22(41)(5125)169-+<-=，所以点()4,5在圆内，故直线l 与圆C 的位置是相交，故B 选项错误；当直线l 与过点()4,5和圆心的直线垂直时，直线l 被圆C截得的弦长最短，为24=，此时直线l 的斜率为1351441k -==---，故C 选项错误，D 选项正确.故选：AD 考点二 直线与圆的弦长【例2】（1）（2021·四川成都市）直线1y x =-被圆22220x y y ++-=截得的弦长为（ ） A ．1B ．2CD．（2）．（2021·浙江高二期末）已知直线:0l kx y k -+-=被圆224x y +=截得的弦长为点(),m n 是直线l 上的任意一点，则22m n +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】（1）B （2）A【解析】（1）圆的标准方程为()2213x y ++=，圆心为()0,1-，半径为r =所以圆心到直线的距离d ==2l ===，故选：B .（2）圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2r，圆心到直线的距离1d ==， 所以22m n +的最小值为21d =.故选：A 【一隅三反】1．（2021·安徽省泗县第一中学）直线40x y -+=被圆22(2)(2)2x y ++-=截得的弦长为（ ） AB．C．D．【答案】B【解析】圆22(2)(2)2x y ++-=的圆心()2,2-到直线40x y -+=的距离为：0d ==．即圆心过直线40x y -+=直线被圆22(2)(2)2x y ++-=截得的弦长等于圆的直径：．故选：B ． 2．（2021·浙江高二期末）已知过点()1,3P 的直线l 被圆()2224x y -+=截得的弦长为l 的方程是（ ） A ．43130x y +-= B ．34150x y +-=C ．34150x y +-=或1x =D ．43130x y +-=或1x =【答案】D【解析】圆()2224x y -+=的圆心为点()2,0，半径为2r，圆心到直线l 的距离为1d ==.①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1x =，此时圆心到直线l 的距离为1，合乎题意； ②若直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为()31y k x -=-，即30kx y k -+-=， 圆心到直线l的距离为1d ===，解得43k =-.此时直线l 的方程为43130x y +-=.综上所述，直线l 的方程为43130x y +-=或1x =. 故选：D.3．（2021·贵溪市实验中学高二期末）直线y kx =被圆222x y +=截得的弦长为（ ）A ．B ．2C D ．与k 的取值有关【答案】A【解析】由于圆222x y +=的圆心在直线y kx =上，所以截得弦为圆222x y +=，故截得的弦长为故选：A4．（2021·天水市第一中学高二期中）已知直线0x ay a +-=和圆220x y x +-=的交点为A ，B ，且1AB =，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．1C ．12D ．1-【答案】C【解析】由220x y x +-=得2211()24x y -+=，即圆心1(,0)2，半径12r =，因为12AB r ==，所以直线0x ay a +-=过圆心，即102a -=，解得12a =，故选：C5．（2021·全国高二课时练习）若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．2x －y －5＝0【答案】A【解析】圆(x －1)2＋y 2＝25的圆心为M (1，0)． 因为直线MP 与AB 垂直，所以k AB ＝－1MPk ＝－10(1)12---＝1.又因为直线AB 过点P (2，－1)，所以直线AB 方程为y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0.故选：A6．（2021·辽宁辽阳市·高二期末）已知圆22:4850C x y x y +-+-=，直线:20l mx y m --=. （1）证明：直线l 与圆C 相交.（2）设l 与圆C 交于,M N 两点，若MN =，求直线l 的倾斜角及其方程. 【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.【解析】（1）证明：直线:2()0l m x y --=过定点()2,0，因为224250-⨯-<，所以点()2,0在圆C 的内部，故直线l 与圆C 相交. （2）圆C 的标准方程为()2225()42x y -++=，则圆C 的圆心坐标为4(2,)C -，半径为5，且圆心C 到直线l 的距离d ==因为MN==d ==，得3m =±当3m=时﹐直线l 的方程为)2y x =-，倾斜角为6π当m =l 的方程为)23y x =--，倾斜角为56π 考点三 圆上的点到直线距离【例3】（1）（2021·福建三明市·高二期末）圆()2222x y -+=上动点到直线20x y ++=的距离的最小值为（ ） AB ．C．D ．（2）（2021·四川巴中市·（文））圆22(1)(1)4xy ++-=上到直线:0l x y ++=的距离为1的点共有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】（1）A （2）C【解析】（1）∵圆()2222x y -+=，∴圆心()2,0，半径r =∴圆心到直线的距离d ==，∴圆()2222x y -+=上的点到 直线20xy ++=的距离最小值为=，故选：A.（2）由题知，圆心(1,1)-到直线:0l x y ++=12=<，则直线l 与圆相交，由圆的半径为2知，圆上到直线的距离为1的点有3个.故选：C 【一隅三反】1．（2021·六安市裕安区新安中学）已知半径为2的圆经过点(1,0)，其圆心到直线34120x y -+=的距离的最小值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】半径为2的圆经过点(1,0)，设圆心坐标为(,)a b ，则圆的方程为22(1)(0)4a b -+-=所以该圆的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆故圆心到直线34120x y -+=的距离的最小值为点(1,0)152215=-=故选：B2．（2021·全国高二课时练习）已知点M 是直线3420x y +-=上的动点，点N 为圆22(1)(1)1x y +++=上的动点，则||MN 的最小值为 A ．45B ．1C ．95D ．135【答案】A【解析】MN 的最小值为3424155N l d r -----=-=,选A. 3．（2021·全国高二专题练习）在圆()2224x y -+=上有且仅有两个点到直线340x y a ++=的距离为1，则a 的取值范围为__________． 【答案】()()21,111,9---【解析】由圆的方程知其圆心为()2,0，半径2r，设圆心到直线340x y a ++=的距离为d ，则65ad +=； 圆上有且仅有两个点到直线340x y a ++=的距离为1，则12rd r <<+， 即6135a+<<，解得：2111a -<<-或19a -<<， a ∴的取值范围为()()21,111,9---.故答案为：()()21,111,9---.考点四 圆与圆的位置关系【例4】（1）（2021·浙江高二期末）圆221:(1)1C x y -+=与圆222:(4)(4)17C x y -+-=的位置关系为（ ） A ．内切B ．相切C ．相交D ．外离（2）（2021·北京高二期末）已知圆1O 的方程为22()()4x a y b -+-=，圆2O 的方程为22(1)1x y b +-+=，其中,a b ∈R ．那么这两个圆的位置关系不可能为（ ） A ．外离B ．外切C ．内含D ．内切【答案】（1）C （2）C【解析】圆()221:11C x y -+=的圆心为1(1,0)C ，半径11r =，圆()()222:4417C x y -+-=的圆心为2(4,4)C ，半径2r =所以211212151r r C C r r -=<==<+= C （2）由两圆的标准方程可得()1,O a b ，12r =，()20,1O b -，21r =；则12121O O r r =≥=-，所以两圆不可能内含.故选：C.【一隅三反】1．（2021·全国高二专题练习）圆2220x y x +-=与圆22(1)(2)9x y -++=的位置关系为（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离【答案】A【解析】圆221:20C x y x +-=，即22(1)1x y -+=，表示以1(1,0)C 为圆心，半径等于1的圆.圆222:(1)(2)9C x y -++=，表示以2(1,2)C -为圆心，半径等于3的圆.∴两圆的圆心距|20|2d =--=，231=-，故两个圆相内切.故选：A.2．（2021·江西上高二中高二其他模拟（文））已知圆()221:210C x y x my m R +-++=∈关于直线210x y ++=对称，圆2C 的标准方程是()()222316x y ++-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含【答案】B【解析】22210x y x my +-++=即222124mm x y ，圆心1,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为圆1C 关于直线210x y ++=对称，所以圆心1,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭在直线210x y ++=上， 即12102m ⎛⎫+⨯-+= ⎪⎝⎭，解得2m =，()()22111x y -++=，圆心()1,1-，半径为1， ()()222316x y ++-=，圆心()2,3-，半径为4，5，因为圆心间距离等于两圆半径之和，所以圆1C 与圆2C 的位置关系是相切， 故选：B.3．（2021·全国高二（文））已知圆1C 的标准方程是()()224425x y -+-=，圆2C ：22430x y x my +-++=关于直线10x ++=对称，则圆1C 与圆2C 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含【答案】C【解析】由题意可得，圆()()221:4425C x y -+-=的圆心为()4,4，半径为5因为圆222:430C x y x my +-++=关于直线10x ++=对称，所以2102m-+=（），得m =所以圆()(222:24C x y -+=的圆心为(2,，半径为2，则两圆圆心距12C C =因为1252725C C -<<<=+，所以圆1C 与圆2C 的位置关系是相交， 故选：C .4．（2021·四川凉山彝族自治州·高二期末（文））已知圆221:1C x y +=和圆()()2222:20C x y r r +-=>，若圆1C 和2C 有公共点，则r 的取值范围是（ ） A ．(]0,1 B ．(]0,3C ．[]1,3D ．[)1,+∞【答案】C【解析】由题意可知，圆1C 的圆心为()10,0C ，半径为1，圆2C 的圆心为()20,2C ，半径为r ，所以，122C C =，由于两圆有公共点，则1211r C C r -≤≤+，即1210r r r ⎧-≤≤+⎨>⎩，解得13r ≤≤.故选：C.5．（2021·山东聊城市·高二期末）已知圆()()()221:80C x a y a a -+-=>与圆222:220C x y x y +--=没有公共点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,2 B ．()4,+∞C ．()()0,24,+∞D ．()()()0,10,24,⋃⋃+∞【答案】C【解析】圆1C 的圆心为()11,,C a a r =，圆2C 的圆心为()21,1C ，半径2r =圆心距12|1|d C C a ===-因为两圆没有公共点，所以两圆的位置关系为外离或者内含则12d r r >+或12d r r <-1|a ->1|a -<02a <<或4a >故选：C考点五 圆与圆相交弦【例5】（1）（2021·湖南湘潭市）已知圆221:40C x y +-=与圆222:44120C x y x y +-+-=相交于,A B两点，则两圆的公共弦AB =A ．B ．CD ．2（2）（2021·天津市南仓中学高二期末）已知圆221:4C x y +=和圆()222:2600C x y ay a ++-=>的公共弦长为2，则实数a 的值为（ ）A BC ．2D【答案】（1）A （2）A【解析】（1）圆221:40C x y +-=与圆222:44120C x y x y +-+-=相减得AB 所在的直线方程：20x y -+=.∵圆221:40C x y +-=的圆心()10,0C ，2r ，∴圆心()0,0到直线AB ：20x y -+=的距离d ==，则AB===．故选A（2）圆221:4C x y +=的圆心()10,0C ，半径12r =，圆222:260C x y ay ++-=即()2226x y a a ++=+，圆心()20,C a -，半径226r a ，圆1C 和圆2C 的公共弦方程为()2222264x y x y ay +-++-=，即1y a=， 圆心()10,0C 到1y a=的距离为1a ，因为公共弦长为2，所以222121a，解得3a=或3-，故选：A. 【一隅三反】1．（2021·辽宁高三其他模拟）圆O ：229x y +=与圆1O ：()()222316x y -+-=交于A 、B 两点，则AB =（ ）A ．6B ．5C ．13D ．13【答案】D【解析】圆O 的半径3r =，圆1O 的半径14r =，1OO = 故在1AOO中，22211111cos sin 2r OO r AOO AOO r OO +-∠===⇒∠=⋅，故1sin 2AB r AOO AB =∠=⇒=． 故选：D2．（2021·山东济南市·高二期末）（多选）已知圆221:1C x y +=和圆222:40C x y x +-=的公共点为A ，B ，则（ ）A ．12||2C C =B ．直线AB 的方程是14x =C ．12AC AC ⊥D ．||2AB =【答案】ABD【解析】圆1C 的圆心是()0,0，半径11r =，圆()222:24C x y -+=，圆心()2,0，22r =，122C C ∴=，故A 正确；两圆相减就是直线AB 的方程，两圆相减得1414x x =⇒=，故B 正确； 11AC =，22AC =，122C C =，2221212AC AC C C +≠，所以12AC AC ⊥不正确，故C 不正确；圆心()0,0到直线14x =的距离14d =，2AB ===，故D 正确. 故选：ABD3．（2021·全国高二课时练习）（多选）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（ ）A ．公共弦AB 所在直线方程为0x y -= B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为12+【答案】ABD【解析】对于A ，由圆221:20x y x O +-=与圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，两式作差可得440x y -=，即公共弦AB 所在直线方程为0x y -=，故A 正确；对于B ，圆221:20x y x O +-=的圆心为()1,0，1AB k =，则线段AB 中垂线斜率为1-，即线段AB 中垂线方程为：()011y x -=-⨯-，整理可得10x y +-=，故B 正确；对于C ，圆221:20x y x O +-=，圆心1O ()1,0到0x y -=的距离为d ==1r =所以AB ==，故C 不正确； 对于D ，P 为圆1O 上一动点，圆心1O ()1,0到0x y-=的距离为2d =，半径1r =，即P到直线AB 1+，故D 正确.故选：ABD考点六 切线及切线长【例6-1】（2021·浙江高二单元测试）由直线1y x =+上的点向圆()2231x y -+=作切线，则切线长的最小值为（ ） A．1 BC ．D ．3【答案】B【解析】切线长的最小值是当直线1y x =+上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d =圆的半径为1==B ．【例6-2】（1）（2021·全国）经过点M 的圆2210x y +=的切线方程是（ ）A ．100x -= B 2100y -+= C ．100x -+=D ．2100x +-=（2）（2021·重庆字水中学高二期末）（多选）过点(2,0)作圆222690x y x y +--+=的切线l ，则直线l 的方程为（ ）A ．3460x y +-=B ．4380x y +-=C ．20x -=D ．20x +=（3）（2021·全国）过点(2,2)-作圆224x y +=的切线，若切点为A 、B ，则直线AB 的方程是（ ） A ．20x y ++=B ．20x y -+=C ．20x y +-=D ．20x y --=【答案】（1）D （2）BC （3）B【解析】（1）222(6)10+=，M ∴在圆上，且2OM k =，∴过M 的切线斜率为1OMk -=∴过M 的切线方程为：2)y x =-，即2100x +-=.选:D .（2）22222690(1)(3)1x y x y x y +--+=∴-+-=圆心(1,3)到直线2x =距离等于1，所以直线l 的方程可以为2x = 当直线l 的斜率存在时，设:(2)l y k x =-441:(2)438033k l y x x y =∴=-∴=--∴+-=故选：BC（3）根据题意，设(2,2)P -，圆224x y +=的圆心为(0,0)O ，半径2r ，有||OP ==则2222||||||4PA PB OP r ==-=，则以P 为圆心，||PA 为半径为圆为22(2)(2)4x y ++-=，即224440x y x y ++-+=， 公共弦所在的直线即直线AB ，则222244440x y x y x y ⎧+=⎨++-+=⎩，变形可得20x y -+=； 即直线AB 的方程是20x y -+=；故选：B.【例6-3】（2021·四川眉山市·高二期末（文））圆221:1C x y +=与圆222:870C x y y +-+=公切线的条数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D【解析】221:1C x y +=的圆心坐标1(0,0)C ，半径为11r =；222:870C x y y +-+=化为标准方程为()222:49C x y +-=，所以圆心坐标2(0,4)C ，半径为23r =，则12124C C r r ==+，所以两个圆外切，所以公切线条数为3条.故选：D.【例6-4】（2021·全国高二课时练习）已知P （x ，y ）是直线kx +y +3=0（k >0）上一动点，PA ，PB 是圆C ：2x +2y -2y =0的两条切线，.A 、B 是切点，若四边形PACB k 的值为（ ）A BC ．D ．【答案】A【解析】圆22:20C x y y +-=的圆心(0,1)，半径是1r =，由圆的性质知：2PBC PACB S S ∆=四边形，四边形PACBPBC S ∆∴的最小值1(2rd d =是切线长）d ∴=最小值所以|PC|2=，所以20,k k k ∴=>∴=故选：A ．【一隅三反】1．（2021·全国高二课时练习）P 是直线x +y -2=0上的一动点，过点P 向圆22:(2)(8)4C x y ++-=引切线，则切线长的最小值为（ ）A ．B ．C ．2D ．2【答案】C【解析】∵圆22:(2)(8)4C x y ++-=，∴圆心(2,8)C -，半径2r .由题意可知，点P 到圆22:(2)(8)4C x y ++-=的切线长最小时，CP 垂直于直线20x y +-=.∵圆心到直线的距离d ==2=.故选：C.2．（2021·西安市铁一中学高二期末（理））由直线2y x =+上的点向圆22(4)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为A B C ．D 【答案】B【解析】圆心(4,2)A -,半径1r = ，圆心到直线的距离d ==则切线长的最小值=3．（2021·安徽马鞍山市·马鞍山二中高二期末（文））若从坐标原点O 向圆22:12270C x y x +-+=作两条切线，切点分别为A ，B ，则线段AB 的长为（ ）A ．32B ．3CD ．【答案】D【解析】圆C 标准方程是22(6)9x y -+=，圆心为(6,0)C ，半径为3r =，所以,A B 关于OC 对称，即关于x 轴对称，而OA CA ⊥，6,3OC CA ==，所以OA =，所以2AB ==．故选：D ． 4．（2021·重庆市南坪中学校高二月考）过坐标原点O 作圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4的两条切线，切点为A ，B ．直线AB 被圆截得弦AB 的长度为（ ）A B C ．13D ．13【答案】B【解析】如图所示,易得OC =故213OB BC AB OC ⋅===.故选：B5．（2021·浙江高二期末）过点()2,1作圆224x y +=的切线，切线的方程为（ ） A ．34100x y +-=B ．3420x y --=C ．2x =或3420x y --=D ．2x =或34100x y +-=【答案】D 【解析】圆224x y +=的圆心为()0,0，半径2r ，过点()2,1作圆224x y +=的切线，当直线的斜率不存在时，直线方程为2x =，满足条件，当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为()12y k x -=-，即210kx y k --+=，则2d ==，解得34k =-，故切线方程为34100x y +-=， 综上可得切线方程为34100x y +-=或2x =故选：D6．（2021·全国高二课时练习）经过点()2,1M -作圆225x y +=的切线，则切线的方程为 A ．250x y --=B 50y ++=C 5y +=D ．250x y ++=【答案】A 【解析】因为点()2,1M -在圆225x y +=上，所以1k 2OM =-，因此切线斜率为2，故切线方程为()y 12x 2+=-，整理得2x y 50.--=7．（2021·安徽池州市·高二期末（理））若圆221:2440C x y x y +---=，圆222:61020C x y x y +---=，则1C ，2C 的公切线条数为（ ）A ．1B ．2 C．3 D ．4【答案】B【解析】依题意，圆()()221:129C x y -+-=，圆心为()1,2，半径为3； 圆()()222:3536C x y -+-=，圆心为()3,5，半径为6；因为()123,9C C ==，故圆1C ，2C 相交，有2条公切线，故选：B.8．（2021·六安市裕安区新安中学高二开学考试（理））若圆22(1)(3)4x y -+-=与圆22(2)(1)5x y a +++=+有且仅有三条公切线，则a =（ ） A ．-4B ．-1C ．4D ．11【答案】C 【解析】圆22(1)(3)4x y -+-=的圆心为()1,3，半径为2， 圆22(2)(1)5x y a +++=+的圆心为()2,1--()5a >-，两圆有且仅有三条公切线，∴两圆外切，2=4a =.故选：C. 9．（2021·四川眉山市·仁寿一中高二开学考试（文））已知点(,)P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，,A B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（ ）A ．2BC ．D ．4 【答案】A【解析】圆22:20C x y y ++=即22(y 1)1x ++=,表示以C (0,-1)为圆心，以1为半径的圆． 由于四边形PACB 面积等于122PA ACPA ⨯⨯⨯=，而PA =故当PC 最小时，四边形PACB 面积最小.又PC 的最小值等于圆心C 到直线240x y -+=的距离d ,而d ==故四边形PACB 2=，故选A.考点七 实际生活运用【例7】（2021·上海高二专题练习）如图，某海面上有O 、A 、B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东45︒方向距O岛B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处.以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C 经过O 、A 、B 三点.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，正沿着北偏东45︒行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？【答案】（1）2220600x y x y +--=（2）该船有触礁的危险【解析】（1）如图所示，(40,40)A 、(20,0)B ，设过O 、A 、B 三点的圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，得：222040404040020200F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩，解得20D =-，60E =-，0F =，故所以圆C 的方程为2220600x y x y +--=，圆心为(10,30)C，半径r =（2）该船初始位置为点D，则(20,D --，且该船航线所在直线l 的斜率为1，故该船航行方向为直线l：200x y -+-=，由于圆心C 到直线l的距离d ==<，故该船有触礁的危险.【一隅三反】1．（2021·重庆巴蜀中学高一期中）如图，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】以圆拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的圆心位于y 轴负半轴上，设该圆的圆心为()0,a -，0a >，则该圆的方程为()222x y a a ++=，记水面下降前与圆的两交点为A ，B ；记水面下降1米后与圆的两交点为C ，D ； 由题意可得，()10,4A --，则()()222104a a -+-+=，解得292a =， 所以圆的方程为222292922x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 水面位下降1米后，可知C 点纵坐标为5y =-， 所以2222929522x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2120x =，则此时的桥在水面的跨度为2CD x ===米.故选：C.2．（2021·上海高二专题练习）有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离，A 地的运费是B 地运费的2倍﹐已知A ､B 两地相距6千米，顾客购物的唯一标准是总费用较低.建立适当的平面直角坐标系（1）求A 、B 两地的售货区域的分界线的方程﹔（2）画出分界线的方程表示的曲线的示意图，并指出在方程的曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地.【答案】（1）()22516x y -+=；（2）答案见解析.【解析】（1）以线段AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xOy ，则点()3,0A 、()3,0B -，设每单位距离B 的运费为a 元，设售货区域内一点为(),P x y ，若在两地的购货费用相同，则2=()22516x y -+=， 故在A 、B 两地的售货区域的分界线的方程为()22516x y -+=；（2）由（1）可知，A 、B 两地的售货区域的分界线是以点()5,0为圆心，以4为半径的圆，所以，在圆()22516x y -+=上的居民从A 、B 两地购货的总费用相同.由2>()22516x y -+>， 所以，在圆()22516x y -+=外的居民从B 地购货便宜；由2<()22516x y -+<，所以，在圆()22516x y -+=内的居民从A 地购货便宜.考点八 综合运用【例8】（2021·全国高二课时练习）已知圆C 的圆心坐标为C （3，0），且该圆经过点A （0，4）．（1）求圆C 的标准方程；（2）若点B 也在圆C 上，且弦AB 长为8，求直线AB 的方程；（3）直线l 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之积为2，求证：直线l 过一个定点，并求出该定点坐标．（4）直线l 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之和为0，求证：直线l 的斜率是定值，并求出该定值．【答案】（1）（x ﹣3）2+y 2＝25；（2）x ＝0或7x +24y ﹣96＝0；（3）证明见解析，（﹣6，﹣12）；（4）证明见解析，34-. 【解析】（1）圆以(3,0)为圆心，||5AB =为半径，所以圆的标准方程为()22325x y -+=.（2）①k 不存在时，直线l 的方程为：0x =，||8AB ==，满足题意；②k 存在时，设直线l 的方程为：4y kx =+，3d ==3,724d k ==∴=-， 所以直线l 的方程为：724960x y +-=，综上所述，直线l 的方程为0x =或724960x y +-=.（3）设直线MN ：y kx t =+，()11,M x kx t +，()22,N x kx t +，1212442AM AN kx t kx t k k x x +-+-⋅=⋅= ()()()()2212122440k x x k t x x t ⇒-+-++-=①联立方程()()()22222126160325y kx t k x kt x t x y =+⎧⎪⇒++-+-=⎨-+=⎪⎩， 所以()122261kt x x k --+=+，2122161t x x k-=+代入① 得()()()()()()2222216426410k t kt k kt t k --+--++-+=， 化简得26t k =+，所以直线l 的方程为：26t y x t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以过定点()6,12--. （4）设直线AM ：y ＝kx +4，联立方程()()()222241680325y kx k x k x x y =+⎧⎪⇒+--=⎨-+=⎪⎩， 所以M 点的坐标为22268464,11k k k k k ⎛⎫--++ ⎪++⎝⎭， 同理N 点的坐标为22268464,11k k k k k ⎛⎫+--+ ⎪++⎝⎭． 所以34M N MN M N y y k x x -==--， 故直线l 的斜率是定值，且为34-． 【一隅三反】 1．（2021·全国高二课时练习）已知圆()()22:1225C x y -+-=和直线()():211740l m x m y m +++--=.（1）证明：不论 m 为何实数，直线l 都与圆 C 相交于两点；（2）求直线被圆 C 截得的最短弦长并求此时直线l 的方程；（3）已知点(,)P x y 在圆C 上，求22x y +的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）250x y --=（3）30+【解析】（1）由()():211740l m x m y m +++--=得(27)40x y m x y +-++-=，由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得31x y =⎧⎨=⎩，即直线l 经过定点(3,1)， 因为22(31)(12)25-+-<，所以点(3,1)在圆()()22:1225C x y -+-=内，所以不论 m 为何实数，直线l 都与圆 C 相交于两点.（2）由()()22:1225C x y -+-=可知，圆心(1,2)C ，半径为5，设(3,1)M ，设圆心C 到直线l 的距离为d ，则||d CM≤==，当且仅当CM l ⊥时，圆心C 到直线l 的距离为d 最大，此时直线被圆 C截得的弦长最短，最短弦长为==，因为211132CM k -==--，所以直线l 的斜率为2， 所以直线l 的方程为12(3)y x -=-，即250x y --=.（3）设坐标原点为O ，则||OC =，所以max ||||55OP OC =+=，所以2222||x y OP +==的最大值为25)30=+2（2021·浙江高二单元测试）已知圆22(3)(4)16x y -+-=，直线1:0l kx y k --=，且直线1l 与圆交于不同的两点,P Q ，定点A 的坐标为(1,0).（1）求实数k 的取值范围；（2）若,P Q 两点的中点为M ，直线1l 与直线2:240l x y ++=的交点为N ，求证：||||AM AN ⋅为定值.【答案】（1）4(,)(0,)3-∞-⋃+∞（2）10【解析】（1）因为圆22(3)(4)16x y -+-=与直线1l 与交于不同的两点，4<，即2340k k +>，解得43k <-或0k > （2）由0{240kx y k x y --=++=可得245()2121k k N k k --++， 由220{(3)(4)16kx y k x y --=-+-=可得2222(1)(286)890k x k k x k k +-+++++= 设P Q ，两点横坐标分别为12x x ，，则21222861k k x x k+++=+ 得22224342()11k k k k M k k +++++，所以AM AN ⋅=10== 3．（2021·内蒙古包头市·高二期末（文））已知圆O ：228x y +=，()1,2M -是圆O 内一点，()4,0P 是圆O 外一点．（1）AB 是圆O 中过点M 最长的弦，CD 是圆O 中过点M 最短的弦，求四边形ACBD 的面积；（2）过点P 作直线l 交圆于E 、F 两点，求OEF 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．【答案】（1）；（2）4，)4y x =-. 【解析】（1）过M 最长的弦为直径，最短的弦为垂直于OM 的弦，圆的半径R =OM =所以AB =CD ==所以1122ABCD S AB CD =⨯⨯=⨯=四边形（2）OE OF ==1sin 2OEF S OE OF EOF =⨯⨯⨯∠△， 当90EOF ∠=︒时，OEF 面积的最大值为4，此时，O 到l 的距离为2，4OP =所以l 的倾斜角为30或150︒，则l 的斜率为±l 的方程为)43y x =±-．。
2025高考数学一轮复习-2.3-圆与圆的位置关系【课件】
(1)2 或－5 [C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意知 |C1C2|＝5，(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得 m＝2 或 m＝－5.]
(2)[解] 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝16， 由圆与直线 y＝0 相切、半径为 4， 则圆心 C 的坐标为 C1(a，4)或 C2(a，－4). 已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝9 的圆心 A 的坐标为(2，1)，半径为 3. 由两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7 或|CA|＝4－3＝1.
当| 50－k－1|＝5，即 50－k＝6，即 k＝14 时，两圆内切．当 | 50－k－1|＜5＜1＋ 50－k，
即 14＜k＜34 时，两圆相交． 当 50－k＋1＜5， 即 34＜k＜50 时，两圆外离．
[跟进训练] 1．已知圆 C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆 C2：x2＋y2－4ax －2y＋4a2＝0(a＞0).试求 a 为何值时，两圆 C1，C2 的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．
为(0，2)，半径长 r2＝2；1＝r2－r1<|O1O2|＝ 5<r1＋r2＝3，即两圆相
交．]
3.已知两圆 x2＋y2＝10 和(x－1)2＋(y－3)2＝10 相交于 A，B 两点，则直线 AB 的方程是________．
x＋3y－5＝0 [由两圆方程消去二次项得 10－2x＋1－6y＋9＝ 10，
(4)若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2．
() ()
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
系为(
2.圆 O1：x2＋y2－2x＝0 和圆 O2：x2＋y2－4y＝0 的位置关 )
A．相离
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第八章 平面解析几何第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
2
圆 C1:x +y
+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0)与
2
2
C2:x +y +D2x+E2y+F2=0
( + -4F2>0)相交时:
(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程;
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦;
(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R)表示过两圆
3
相交
|r1-r2|<d<r1+r2
2
内切
d=|r1-r2|
1
内含
d<|r1-r2|
0
1.圆的切线方程常用结论
(1) 过 圆 x2+y2=r2(r>0) 上 一 点 P(x0,y0) 的 圆 的 切 线 方 程 为
x0x+y0y=r2.
(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直
C2:x2+y2-10x-12y+45=0.
(1)求证:圆C1和圆C2相交;
2
2
(1)证明:因为 C1:(x-1) +(y-3) =11,
圆心 C1(1,3),半径 r1= ;
2
2
C2:(x-5) +(y-6) =16,
圆心 C2(5,6),半径 r2=4.
所以|C1C2|= (-) + (-) =5,
圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(
2021届山东高考数学一轮创新：第8章 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
d＝|2＋2×1＋－41－3|＝355，所以弦长为 2 r2－d2＝2
22－3
5
52＝
2 55 5.
解析
2
PART TWO
经典题型冲关
题型一 直线与圆的位置关系的判断
1.直线 kx－y＋2－k＝0 与圆 x2＋y2－2x－8＝0 的位置关系为( )
A.相交或相切或相离
B．相交或相切
C.相交
D．相切
答案
2.小题热身
(1)直线 x－y＋1＝0 与圆 x2＋y2＝1 的位置关系为( )
A.相切
B．相交但直线不过圆心
C.直线过圆心
D．相离
解析
圆心(0,0)到直线
x－y＋1＝0
的距离
d＝
1＝ 2
22，而
0<
22<1.故
选 B.
解析 答案
(2)已知直线 l：y＝k(x＋ 3)和圆 C：x2＋(y－1)2＝1，若直线 l 与圆 C
为 3.
圆心到直线 kx－y＋2－k＝0 的距离为|k＋1＋2－k2k|＝ 1＋2 k2<2，所以直线
与圆相交．
解法三：由 kx－y＋2－k＝0 得 y＝kx＋2－k，
代入 x2＋y2－2x－8＝0，得
x2＋(kx＋2－k)2－2x－8＝0，
整理得(1＋k2)x2－(2k2－4k＋2)x＋k2－4k－4＝0，
解析 由xx22＋ ＋yy22－ －44＝x＋04，y－12＝0， 得 4x－4y＋8＝0， 即 x－y＋2＝0.
解析
(4)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x＋2y－3＝0 被圆___．
解析 圆心为(2，－1)，半径 r＝2.圆心到直线的距离
直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
≤ + ，解得−
≤≤
.
−−
+
=
+
≤ ，即
考点二 直线与圆位置关系的应用
角度1 圆的切线问题（链接高考）
例2 (2023·新课标Ⅰ卷)过点 , − 与圆 + − − = 相切的两条直
（2）过圆 + = 外一点 , 作圆的两条切线，则两切点所在
直线方程为 + = .
2.圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
（2）两个圆系方程
①过直线 + + = 与圆 + + + + = 交点的圆系方
（其中不含圆 ，所以注意检验 是否满足题意，以防丢解）.
1.若经过点 −, − 的直线与圆 + = 相切，则该直线在轴上的截
距为(
A.
)
√
C.−
B.5
解析：选C.因为 −
+ −
D.−
= ，所以点在圆上，
所以切线方程为− − = ,令 = 得 =
+ − − = 相交.
方法三：圆的方程可化为 −
+ = ,
所以圆的圆心为 , ，半径为3.
圆心到直线 − + − = 的距离为
+−
+
=
+
≤ < ,所以直线与圆相交.故选C.
高考数学一轮总复习课件：圆与圆的位置关系
【解析】 设圆心到直线l：mx＋y＋3m－ 3 ＝0的距离为d，
则弦长|AB|＝2
12－d2 ＝2
3
，得d＝3，即
|3m－ 3| m2＋1
＝3，解得m＝
－ 33，则直线l：x－ 3y＋6＝0，数形结合可得|CD|＝co|sA3B0°| ＝4.
(3)【多选题】已知直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交
因为kMN＝65－ －31＝34，所以两圆的公切线的斜率是－43. 设切线方程为y＝－43x＋b，则有43×143＋23＋－1b＝ 11. 解得b＝133±5 311. 容易验证，当b＝133＋5 311时，直线与后一圆相交，舍去． 故所求公切线方程y＝－43x＋133－5 311， 即4x＋3y＋5 11－13＝0.
状元笔记
在研究弦长及弦中点问题时，可设弦AB两端点的坐标分别 为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)若OA⊥OB(O为原点)，则可转化为x1x2＋y1y2＝0，再结 合根与系数的关系，代入方程简化运算过程，这在解决垂直关 系问题中是常用的．
(2)若弦AB的中点为(x0，y0)，圆的方程为x2＋y2＝r2， xx1222＋ ＋yy1222＝ ＝rr22， ，∴k＝yx22－ －yx11＝－xy22＋ ＋xy11＝－xy00.
2＋P→C·(C→B＋C→A)＋C→B·C→A＝|P→C|2－1＝(x－1)2＋(x＋1)2－1＝2x2
＋1，所以P→A·P→B的最小值为1，故选D.
授人以渔
题型一 圆与圆的位置关系
例1 已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋ m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？ (2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？ (3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的 长．
高三数学圆与圆的位置关系试题答案及解析
高三数学圆与圆的位置关系试题答案及解析1.在平面直角坐标xoy中，设圆M的半径为1，圆心在直线上,若圆M上不存在点N，使,其中A（0，3），则圆心M横坐标的取值范围 .【答案】【解析】设，由得：化简得：，表示为以为圆心，2为半径的圆，由题意得圆B与圆无交点，即或，解得圆心M横坐标的取值范围为：【考点】动点轨迹，圆与圆位置关系2.设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________．【答案】3【解析】∵l与圆相交所得弦的长为2，＝，∴m2＋n2＝≥2|mn|，∴|mn|≤.l与x轴交点A(，0)，与y轴交点B(0，)，∴S＝·|△AOB |||＝·≥×6＝3.3.已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B.【考点】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力. 4.已知圆C的方程为，若以直线上任意一点为圆心，以l为半径的圆与圆C没有公共点，则k的整数值是（）A．l B．0C．1D．2【答案】【解析】由题意知，直线过定点，圆与圆相离.圆心到直线大于，所以，，解得，故的整数值为，选．【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离公式.5.圆：与圆：的公共弦长等于.【答案】【解析】将的方程化为标准方程得：.将两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为：.圆心到弦的距离为，所以弦长.【考点】两圆的位置关系及弦长.6.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x＝5上．圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为r1＝13；圆弧C2过点A(29，0)．(1)求圆弧C2所在圆的方程；(2)曲线C上是否存在点P，满足PA＝PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；(3)已知直线l：x－my－14＝0与曲线C交于E、F两点，当EF＝33时，求坐标原点O到直线l 的距离．【答案】（1）x2＋y2－28x－29＝0.（2）P不存在（3）【解析】(1)由题意得，圆弧C1所在圆的方程为x2＋y2＝169.令x＝5，解得M(5，12)，N(5，－12)，又C2过点A(29，0)，设圆弧C2所在圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则，解得所以圆弧C2所在圆的方程为x2＋y2－28x－29＝0.(2)假设存在这样的点P(x，y)，则由PA＝PO，得(x－29)2＋y2＝30(x2＋y2)，即x2＋y2＋2x－29＝0.由解得x＝－70(舍去)；由解得x＝0(舍去)．所以这样的点P不存在．(3)因为圆弧C1、C2所在圆的半径分别为r1＝13，r2＝15，因为EF>2r1，EF>2r2，所以E、F两点分别在两个圆弧上．设点O到直线l的距离为d，因为直线l恒过圆弧C2所在圆的圆心(14，0)，所以EF＝15＋，即＝18，解得d2＝，所以点O到直线l的距离为.7.已知圆C1：x2＋y2－2y＝0，圆C2：x2＋(y＋1)2＝4的圆心分别为C1，C2，P为一个动点，且直线PC1，PC2的斜率之积为－.(1)求动点P的轨迹M的方程；(2)是否存在过点A(2，0)的直线l与轨迹M交于不同的两点C，D，使得|C1C|＝|C1D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）＋y2＝1(x≠0)（2）不存在【解析】(1)两圆的圆心坐标分别为C1(0，1)，和C2(0，－1)，设动点P的坐标为(x，y)，则直线PC1，PC2的斜率分别为(x≠0)和 (x≠0)．由已知条件得＝－(x≠0)，即＋y2＝1(x≠0)．所以动点P的轨迹M的方程为＋y2＝1(x≠0)．(2)假设存在满足条件的直线l，易知点A(2，0)在椭圆M的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆M无交点，此时不符合题意，所以直线l斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝k(x－2)．联立方程组得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－2＝0，①依题意Δ＝－8(2k2－1)>0，解得－<k<.当－<k<时，设交点分别为C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD的中点为N(x，y)，则x1＋x2＝，则x＝＝，所以y0＝k(x－2)＝k＝.要使|C1C|＝|C1D|，必须C1N⊥l，即k·kC1N＝－1，所以k·＝－1，即k2－k＋＝0，因为Δ1＝1－4×＝－1<0，∴k2－k＋＝0无解，所以不存在直线，使得|C1C|＝|C1D|，综上所述，不存在直线l，使得|C1C|＝|C1D|.8.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ax－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝________.【答案】1【解析】x2＋y2＋2ax－6＝0(a>0)可知圆心为(－a,0)，半径为，两圆公共弦所在方程为(x2＋y2＋2ax－6)－(x2＋y2)＝－4，即x＝，所以有2－2＝2解得a＝1或－1(舍去)．9.设集合，，若存在实数，使得，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】首先集合实际上是圆上的点的集合，即表示两个圆，说明这两个圆相交或相切（有公共点），由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径这和2，即，整理成关于的不等式：，据题意此不等式有实解，因此其判别式不大于零，即，解得．【考点】两圆位置关系及不等式有解问题．10.若点和点到直线的距离依次为和，则这样的直线有（）A．条B．条C．条D．条【答案】C【解析】以点为圆心，以为半径长的圆的方程为，以点为圆心，且以为半径的圆的方程为，则直线为两圆的公切线，，即圆与圆外切，因此两圆的公切线有条，即直线有三条，故选C.【考点】1.两圆的位置关系；2.两圆的公切线11.圆与圆的位置关系为( )A.内切B.相交C.外切 D相离【答案】B【解析】两圆圆心间的距离，两圆半径的差为和为，因为，故两圆相交，选B.【考点】圆与圆的位置关系.12.若直线y＝kx与圆－4x＋3＝0的两个交点关于直线x＋y＋b＝0对称，则（）A．k＝1，b＝－2B．k＝1，b＝2C．k＝－1，b＝2D．k＝－1，b＝－2【答案】A【解析】：若直线与圆的两个交点关于直线对称，则直线与直线垂直,故斜率互为负倒数,可知,而过弦的中点,且与弦垂直的直线必过圆心,而圆心的坐标为,代入直线得,.【考点】直线与圆的位置关系，考查学生数形结合能力.13.两圆和的位置关系是（）A．相交B．外切C．内切D．外离【答案】C【解析】圆的圆心为，半径；圆的方程可以变形为，其圆心为，半径．圆心距，所以圆内切于圆．【考点】平面内两圆的位置关系．14.已知圆，直线．（Ⅰ）若与相切，求的值；（Ⅱ）是否存在值，使得与相交于两点，且（其中为坐标原点），若存在，求出，若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）m=9±2【解析】(Ⅰ)由圆方程配方得(x+1)2+(y－3)2=9，圆心为C(－1，3)，半径为 r = 3， 2分若l与C相切，则得=3，∴(3m－4)2=9(1+m2)，∴m =． 5分(Ⅱ)假设存在m满足题意。
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第50讲：圆与圆的位置关系一、课程标准1、能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系2、能用圆与圆的关系方解决一些简单的数学问题与实际问题.二、基础知识回顾圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2＞0).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解三、自主热身、归纳总结1、圆C1：x2＋y2＋2x＝0，圆C2：x2＋y2＋4y＝0，则两圆的位置关系是()A. 内含B. 相交C. 外切D. 外离【答案】B【解析】圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，圆C2：x2＋(y＋2)2＝22，∴C1C2＝5，且2－1＜5＜2＋1，∴两圆相交．故选B.2、圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为()A. 2B. 2 2C. 3D. 23【答案】B【解析】由⎩⎨⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，∴所求弦长为2 2.故选B . 3、已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A . 内含B . 相交C . 外切D . 外离 【答案】B 【解析】圆M ：x 2＋(y －a)2＝a 2(a>0)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫||a 22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2，由||2－1<()0－12＋()2－12<2＋1得两圆相交．故选B .4、知圆C 与圆x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A(0，－6)，则圆C 的标准方程为____．【答案】(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18【解析】 设圆C 方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r>0)，则由题意得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝r 2，()a ＋52＋()b ＋52＝()r±522，a 2＋()b ＋62＝r2解之得圆C 方程为(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18.5、半径为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为_ _ 【答案】(x±4)2＋(y －6)2＝36．【解析】 由题意知，圆心可设为(a ，6)，半径r ＝6，∴()a －02＋()6－32＝6－1，∴a ＝±4，∴所求圆的方程为(x±4)2＋(y －6)2＝36.6、（河北省石家庄二中2019届期末）已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝________. 【答案】2或－5【解析】圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，则C 1(m ，－2)，r 1＝3，C 2(－1，m )，r 2＝2.当圆C 1与圆C 2相外切时，显然有|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即m ＋12＋m ＋22＝5，整理得m 2＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2.四、例题选讲考点一、圆与圆的位置关系例1、已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.(1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．【解析】 两圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，圆心分别为M (1,3)，N (5,6)，半径分别为11和61－m .(1)22(51)(63)-+-＝11＋61－m ，解得m ＝25＋1011. (2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心距5，故只有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011.(3)当m ＝45时，4－11＜|MN |＝5＜11＋4，两圆相交，其两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，即4x ＋3y －23＝0.所以公共弦长为2224133232112743⎛⎫⨯+⨯--= ⎪+⎝⎭变式1、分别求当实数k 为何值时，两圆C 1：x 2＋y 2＋4x －6y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －14y ＋k ＝0相交和相切．【解析】 将两圆的一般方程化为标准方程，得C 1：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1，C 2：(x －1)2＋(y －7)2＝50－k ，则圆C 1的圆心为C 1(－2，3)，半径r 1＝1；圆C 2的圆心为C 2(1，7)，半径r 2＝50－k ，k<50.从而|C 1C 2|＝（－2－1）2＋（3－7）2＝5. 当|50－k －1|<5<50－k ＋1，即4<50－k<6，即14<k<34时，两圆相交．当1＋50－k ＝5，即k ＝34时，两圆外切； 当|50－k －1|＝5，即k ＝14时，两圆内切． ∴当k ＝14或k ＝34时，两圆相切．方法总结：(1)判断两圆的位置关系多用几何法，即用两圆圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．(2)求两圆公共弦长的方法是在其中一圆中，由弦心距d ，半弦长l2，半径r 所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．考点二 圆与圆的综合问题例2、已知圆C 1：(x －a)2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b)2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab 的最大值为________．【答案】 94【解析】 由圆C 1与圆C 2相外切，可得（a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝2＋1＝3， 即(a ＋b)2＝9，根据基本不等式可知ab≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立．故ab的最大值为94.变式1、已知圆C 1：(x －a)2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b)2＋(y ＋2)2＝1相内切， 则 a 2＋b 2的最小值为__________．【答案】 12【解析】 由圆C 1与圆C 2内切，得（a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝1，即(a ＋b)2＝1.又由基本不等式a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，可知a 2＋b 2≥（a ＋b ）22＝12，当且仅当a＝b 时等号成立，故a 2＋b 2的最小值为12.变式2、已知圆C 1：(x －a)2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b)2＋(y ＋2)2＝1相交”，则公共弦所在的直线方程为______________________． 【答案】 (2a ＋2b)x ＋3＋b 2－a 2＝0【解析】 由题意将圆C 1，圆C 2的方程都化为一般方程，得圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2＝0①，圆C 2：x 2＋y 2＋2bx ＋4y ＋b 2＋3＝0②， 由②－①得(2a ＋2b)x ＋3＋b 2－a 2＝0，即所求公共弦所在直线方程为(2a ＋2b)x ＋3＋b 2－a 2＝0.变式3、已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A. 3B. 8C. 4D. 9 【答案】D【解析】 由题设中可知两圆相内切，其中C 1(－2a ，0)，r 1＝2；C 2(0，b )，r 2＝1，故|C 1C 2|＝a 2＋4b 2，由题设可知a 2＋4b 2＝2－1，即a 2＋4b 2＝1，则1a 2＋1b 2＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2(a 2＋4b 2)＝5＋4b 2a 2＋a 2b 2≥5＋4＝9.当且仅当a 2＝2b 2时等号成立．故选D.变式4、 已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，则|PA →＋PB →|的取值范围为____． 【答案】[]7，13【解析】 设AB 的中点为E ，则其轨迹为x 2＋y 2＝14，|PA →＋PB →|＝2||PE →，由||PE →∈⎣⎡⎦⎤72，132，∴|PA →＋PB →|∈[]7，13.变式5、 求圆心在直线x ＋y ＝0上，且过两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0交点的圆的方程．【解析】 (方法1)(利用圆心到两交点的距离相等求圆心)将两圆的方程联立得方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解这个方程组求得两圆的交点坐标A(－4，0)，B(0，2)． 因所求圆心在直线x ＋y ＝0上，故设所求圆心坐标为(x ，－x)，则它到上面的两上交点(－4，0)和(0，2)的距离相等，故有()－4－x 2＋()0＋x 2＝x 2＋()2＋x 2，即4x ＝－12，∴x ＝－3，y ＝－x ＝3，从而圆心坐标是(－3，3)．又r ＝()－4＋32＋32＝10，故所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝10.(方法2)(利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程)同方法1求得两交点坐标A(－4，0)，B(0，2)，弦AB 的垂直平分线方程为2x ＋y ＋3＝0，它与直线x ＋y ＝0交点(－3，3)就是圆心，又半径r ＝10，故所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝10.(方法3)(用待定系数法求圆的方程)同方法1求得两交点坐标为A(－4，0)，B(0，2)．设所求圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，∵两点在此圆上，且圆心在x ＋y ＝0上，∴得方程组⎩⎨⎧()－4－a 2＋b 2＝r 2，a 2＋()3－b 2＝r 2，a ＋b ＝0，解之得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3，r ＝10，故所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝10.(方法4)设所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＋λ(x 2＋y 2＋2x ＋2y －8)＝0(λ≠－1)， 即x 2＋y 2－2()1－λ1＋λx ＋2()5＋λ1＋λy －8()3＋λ1＋λ＝0.可知圆心坐标为(1－λ1＋λ，－5＋λ1＋λ)． ∵圆心在直线x ＋y ＝0上，∴1－λ1＋λ－5＋λ1＋λ＝0，解得λ＝－2.将λ＝－2代入所设方程并化简，求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －6y ＋8＝0.方法总结：圆与圆的综合题目涉及到参数的问题，解题思路就是通过圆与圆的位置关系，寻求参数之间的关系，然后转化为函数的思想进行解决。