导数与函数切线
导数的应用曲线的切线和法线问题
导数的应用曲线的切线和法线问题在微积分中，导数是一个重要的概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
除了用来求函数的极值和变化趋势外，导数还可以应用于曲线的切线和法线问题。
本文将探讨导数在曲线切线和法线问题上的应用。
一、曲线的切线问题对于给定的曲线，我们可以通过求取该曲线上某一点的导数来确定该点处的切线。
具体的步骤如下：1. 确定曲线上的某一点P(x₀, y₀)。
2. 求取该点的导数dy/dx。
3. 使用点斜式或一般式求取与该点所在切线平行的直线方程。
4. 得到切线的方程。
举例来说，如果我们有一个曲线的方程为y = 2x² + 3x - 4，那么可以依次进行如下步骤来求取曲线在某一点上的切线：1. 确定点P(x₀, y₀)的坐标，假设为P(2, 7)。
2. 求取该点的导数dy/dx，对于曲线y = 2x² + 3x - 4，求导得到dy/dx = 4x + 3。
3. 使用点斜式求取切线的方程，将点P的坐标和导数dy/dx的值代入点斜式方程y - y₀ = m(x - x₀)，得到y - 7 = (4(2) + 3)(x - 2)。
4. 化简方程，得到切线的方程y = 8x - 9。
通过这个例子可以看出，求取曲线切线的关键是求取点的导数，然后利用切线方程将导数与点的坐标结合，得到切线的方程。
二、曲线的法线问题曲线的法线是与该曲线在某一点处相切，垂直于切线的直线。
求取曲线的法线同样可以通过求取该点的导数来完成。
具体的步骤如下：1. 确定曲线上的某一点P(x₀, y₀)。
2. 求取该点的导数dy/dx，并计算其倒数k。
3. 求取法线的斜率nk = -1/k。
4. 使用点斜式求取法线方程。
5. 得到法线的方程。
和曲线的切线问题类似，求取曲线的法线也需要先求取点的导数，然后计算导数的倒数作为法线的斜率。
三、综合案例考虑一个具体的综合案例，假设我们有一个函数f(x) = x³ + 2x²- 3x + 1，我们希望求取该函数在 x = 2 处的切线和法线。
利用导数求切线方程
利用导数求切线方程1. 引言在微积分中，导数是一个重要的概念。
它描述了函数在给定点的变化率，可以用来解决许多实际问题。
其中一个应用就是求解切线方程。
切线是曲线上的一条直线，与曲线在给定点处相切。
求解切线方程可以帮助我们更好地理解曲线的性质和行为。
本文将介绍如何利用导数求解切线方程。
首先，我们将回顾导数的定义和性质。
然后，我们将详细介绍如何利用导数求解切线方程，并提供一些实例来帮助读者更好地理解。
2. 导数的定义和性质回顾在微积分中，导数描述了函数在给定点的变化率。
对于一个函数f(x)，它在x处的导数可以通过以下极限定义得到：f′(x)=limℎ→0f(x+ℎ)−f(x)ℎ其中，f′(x)表示函数f(x)在x处的导数。
导数具有一些重要的性质，这些性质在求解切线方程时非常有用。
下面是一些常见的导数性质：•常数函数的导数为0：f′(x)=0•幂函数的导数：(x n)′=nx n−1•和差法则：(f(x)±g(x))′=f′(x)±g′(x)•乘法法则：(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)•除法法则：(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g2(x)•复合函数的导数：(f(g(x)))′=f′(g(x))g′(x)这些性质将在后面的内容中被广泛应用。
3. 求解切线方程的步骤为了求解切线方程，我们需要知道曲线上的一个点以及该点处的斜率。
导数提供了一个方法来计算曲线在给定点处的斜率，因此我们可以利用导数来求解切线方程。
以下是求解切线方程的步骤：步骤 1：确定曲线上的一个点首先，我们需要确定曲线上的一个点。
这个点将成为切线方程的起点。
可以通过给定的问题或者观察曲线的图像来确定这个点。
步骤 2：计算导数在确定了起点之后，我们需要计算曲线在该点处的导数。
根据导数的定义和性质，我们可以得到导数的计算公式。
步骤 3：计算斜率利用导数求得的斜率可以用来确定切线的斜率。
高中数学公式大全导数与曲线的切线与法线的计算公式
高中数学公式大全导数与曲线的切线与法线的计算公式导数与曲线的切线与法线是高中数学中的重要内容，它们在解析几何、微积分等领域有着广泛的应用。
本文将为大家介绍导数的基本概念，并给出计算曲线切线与法线的相关公式。
一、导数的定义与计算导数是函数的重要属性之一，它可以描述函数在某一点附近的变化率。
一个函数f(x)在某一点x=a处的导数，记作f'(a)，可以通过以下定义和计算公式得到。
定义：设函数y=f(x)在点x=a处有定义，则函数在x=a处的导数f'(a)定义为：f'(a) = lim（h→0）[f(a+h) - f(a)] / h这个公式的意义是，随着自变量x在点a处逐渐向左右两边靠拢，取极限可以得到函数在该点的导数。
对于常见的初等函数，我们可以通过一些基本的导数公式来计算导数。
下面是一些常用的导数计算公式：1. 常数函数的导数：f(x) = c, 其中c为常数，导数为f'(x) = 02. 幂函数的导数：f(x) = x^n, 其中n为正整数，导数为f'(x) = nx^(n-1)3. 指数函数的导数：f(x) = e^x, 导数为f'(x) = e^x4. 对数函数的导数：f(x) = loga(x), 导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a)), 其中a为底数以上只是一些常见函数的导数计算公式，复杂函数的导数计算可能需要利用多项式运算、链式法则、求导法则等方法。
我们在后续的内容中将会介绍一些更加复杂的导数计算方法。
二、曲线的切线公式曲线的切线是指曲线上一点处与曲线切于一点的直线。
切线的斜率等于曲线在该点处的导数，这个性质可以用以下公式表示：设曲线方程为y=f(x)，P(x0, y0)是曲线上一点，则曲线在点P处的切线方程为：y - y0 = f'(x0)(x - x0)其中f'(x0)表示曲线在点P处的导数。
这个公式的意义是，如果我们知道了曲线上一点的坐标以及该点处的导数值，就可以直接写出曲线在该点处的切线方程。
高一数学导数与曲线的切线与法线
高一数学导数与曲线的切线与法线导数是微积分中的一个重要概念，它反映了函数在某一点的变化率。
在数学中，导数的应用领域非常广泛，其中之一就是用导数来求曲线的切线与法线。
本文将介绍高一数学导数与曲线的切线与法线的概念及计算方法。
一、导数的概念导数是函数在某一点的变化率，用极限表示。
若函数f(x)在点x=a处可导，则f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的导数。
导数可以理解为函数图像上某一点处的切线斜率。
二、切线的概念在曲线上取一点P，过点P且与曲线仅有一个公共点的直线，称为切线。
切线的斜率等于曲线在该点的导数。
三、法线的概念在曲线上取一点P，过点P且与切线垂直的直线，称为法线。
法线的斜率等于切线的斜率的相反数。
四、求曲线的切线与法线的步骤1. 确定曲线上一点的坐标，记为（a，f(a)）。
2. 求出函数f(x)在点x=a处的导数，记为f'(a)。
3. 利用导数f'(a)求出切线的斜率k。
4. 根据切线的斜率k和已知点（a，f(a)）求出切线的方程。
5. 切线的方程即为所求。
五、示例假设有函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，我们来求曲线y = f(x)在点x = 2处的切线和法线。
解：1. 确定曲线上一点的坐标，此处是x = 2，代入函数f(x)得到y = f(2) = 2(2)^2 + 3(2) + 1 = 15。
2. 求导数f'(x) = 4x + 3，将x = 2代入得到f'(2) = 4(2) + 3 = 11。
3. 切线的斜率k = f'(2) = 11。
4. 根据切线的斜率k和已知点（2，15）求出切线的方程。
切线方程为y - 15 = 11(x - 2)。
5. 同理，法线的斜率为切线斜率的相反数，即-1/11。
过点（2，15）的法线方程为y - 15 = (-1/11)(x - 2)。
六、结论通过求导数，我们可以求出曲线上任意一点处的切线与法线。
导数的应用曲线的切线与法线
导数的应用曲线的切线与法线导数是微积分中一个重要的概念，它在数学和物理学等领域有着广泛的应用。
本文将重点讨论导数的应用之一——曲线的切线与法线。
一、切线的定义与性质在数学中，对于曲线上的任意一点，我们可以通过求导数来确定该点处的切线。
切线是曲线在该点附近与曲线最为接近的一条直线。
切线的性质如下：1. 切线与曲线在相交点处有相同的斜率；2. 切线与曲线在相交点处有相同的切点。
这意味着，通过求导可以得到曲线在某一点处的斜率，从而确定该点处的切线方程。
二、切线的求解方法求解曲线的切线可以遵循以下步骤：1. 确定曲线上的一点，设其坐标为(x0, y0)；2. 求解该点处的导数，即求解曲线的导函数，记为f'(x)；3. 将点(x0, y0)代入导数f'(x)中，得到导数在该点的值，即斜率k；4. 利用点斜式或一般式等形式构建切线方程。
f'(x) = 2x，然后将点(2, 4)代入导数中，得到斜率k = 2*2 = 4。
最后，可以利用点斜式得到切线方程y - 4 = 4(x - 2)，进一步化简为y = 4x - 4。
三、法线的定义与性质与切线相应的是法线，它在曲线上的某一点处与切线垂直。
法线的斜率是切线斜率的相反数。
法线的性质如下：1. 法线与曲线在相交点处垂直；2. 法线与切线在相交点处的斜率乘积等于-1。
因此，通过求解切线斜率的相反数，可以确定曲线在某一点处的法线方程。
四、法线的求解方法计算曲线的法线可以按照以下步骤进行：1. 找到曲线上的一点，坐标为(x0, y0)；2. 求曲线在该点处的导数，记为f'(x)；3. 计算导数在该点的斜率，即切线的斜率k = f'(x0)；4. 计算法线的斜率，即切线斜率的相反数，记为k' = -(1/k)；5. 代入点斜式或一般式等形式，构建法线方程。
f'(x) = 2x，然后将点(2, 4)代入导数中，得到切线斜率k = 4。
高中数学选修2-2《导数与切线方程》
●教材分析：导数这块知识点在高考中地位较为重要，从近几年的高考试题来看，利用导数来研究函数的单调性和极值已成为炙手可热的考点，既有小题也有解答题，小题主要考察利用导数研究函数的单调性、极值、求切线方程、最值，解答题主要考察导数与函数单调性，及相关内容的综合渗透。
●学情分析：前面几节课已经复习了函数的定义域、值域、单调性最值等关于函数的一些基本内容。
在接下来学习的导数与切线方程，导数与单调性，导数与极值，导数与最值中，导数作为一种工具，只要将导数的几何意义说明清楚，学习其它关系就轻松多了。
●教学目标：1、明确导数的几何意义2、能利用导数求函数在某点与过某点的切线方程●教学重难点：1、导数的几何意义2、求函数在某点与过某点的切线方程●教学过程：二、平均变化率与瞬时变化率平均变化率=xy ∆∆=0101)()(x x x f x f --=x x f x x f ∆-∆+)()(00（函数y=)(x f 从0x 到1x 的平均变化率）ox 1xx∆)(1x fxy0x瞬时变化率=xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000（函数y=)(x f 在0x x =处的瞬时变化率）就称瞬时变化率为函数y )(x f 在0x x =处的导数，记为')(0x f 或0'x x y =思考b ：')(x f 与')(0x f 有什么区别：')(x f 是一个关于x 的函数')(0x f 是函数')(x f 当自变量x 取0x 是的函数值 三、导数的几何意函数y=)(x f 从0x 到1x 的平均变化率1212)()(x x x f x f --=1212x x y y --几何意义c ：过点）（)(,11x f x 与）（)(,22x f x 的直线的斜率函数y=)(x f 在0x x =处的导数（瞬时变化率）：')1(x f几何意义b ：过点）（)(,11x f x 的切线的斜率（1x 是切点的横坐标）四、求切线方程（1）求过曲线上点的切线方程例1、已知曲线方程为y ＝x 2，求曲线在点A (2,4)处的切线方程。
导数与切线方程
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数 的基本方法是:
(1)求函数的增量y f ( x0 x) f ( x0 );
(2)求平均变化率y f ( x0x) f ( x0 ) ;
x
x
(3)取极限，得导数f
(
x0
)
lim
x0
y x
.
注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负
. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.
一差、二比、三极限
1、平均变化率
一般的，函数 f (x) 在区间上 [x1，x 2 ]的平均变化率为
y f (x2 ) f (x1)
x
x2 x1
y=f(x)
②割线的斜率
y
f(x2)
B
k y f (x2 ) f (x1)
x
x2 x1
f(x1) O
f(x2)-f(x1)=△y
A x2-x1=△xx
x1
x2
1、一平般均的，变函化数率 在区间上
为
f (x)
[x1，x
2]
②割线的斜率
y f (x2 ) f (x1)
x
x2 x1
y
f(x2)
k y f (x2 ) f (x1)
x
x2 x1
f(x1)
O
的平均变化率
y=f(x)
B
f(x2)-f(x1)=△y
A x2-x1=△xx
x1
x2
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 2.导数的概念
导数与切线方程
1、一平般均的，变函化数率
为
f (x)
导数与函数的切线及函数零点问题
广东实验学校2020届高三理科数学寒假作业----导数专题函数的切线及函数零点问题1.已知函数f (x)＝a x＋b x(a＞0，b＞0，a≠1，b≠1).(1)设a＝2，b＝12.①求方程f (x)＝2的根；②若对任意x∈R，不等式f (2x)≥mf (x)－6恒成立，求实数m的最大值；(2)若0＜a＜1，b＞1，函数g(x)＝f (x)－2有且只有1个零点，求ab的值.考点整合1.求曲线y＝f (x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程.(2)已知切线的斜率为k，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k ＝f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程.(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程.2.三次函数的零点分布三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x→∞时，函数值也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且x1＜x2的函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零点分布情况如下：3.(1)研究函数零点问题或方程根问题的思路和方法研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底还是研究函数的图象，如单调性、值域、与x轴的交点等，其常用解法如下：①转化为形如f (x1)·f (x2)＜0的不等式：若y＝f (x)满足f (a)f (b)＜0，则f (x)在(a，b)内至少有一个零点；②转化为求函数的值域：零点及两函数的交点问题即是方程g(x)＝0有解问题，将方程分离参数后(a＝f (x))转化为求y＝f (x)的值域问题；③数形结合：将问题转化为y＝f (x)与y＝g(x)的交点问题，利用函数图象位置关系解决问题.(2)研究两条曲线的交点个数的基本方法①数形结合法，通过画出两个函数图象，研究图象交点个数得出答案.②函数与方程法，通过构造函数，研究函数零点的个数得出两曲线交点的个数.2.已知函数f (x)＝2x3－3x.①求f (x)在区间[－2，1]上的最大值；②若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f (x)相切，求t的取值范围.探究提高解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标，解题时先不要管其他条件，先使用曲线上点的横坐标表达切线方程，再考虑该切线与其他条件的关系，如本题第(2)问中的切线过点(1，t).3. 已知函数f (x)＝x3－x.(1)设M(λ0，f (λ0))是函数f (x)图象上的一点，求图象在点M处的切线方程；(2)证明：过点N(2，1)可以作曲线f (x)＝x3－x的三条切线.热点二利用导数解决与函数零点(或方程的根)有关的问题[命题角度1]讨论函数零点的个数4.(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x)＝x3＋ax＋14，g(x)＝－ln x.(1)当a为何值时，x轴为曲线y＝f (x)的切线；(2)用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h(x)＝min{f (x)，g(x)}(x>0)，讨论h(x)零点的个数.探究提高对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题求解的通法是：(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；(2)求导数，得单调区间和极值点；(3)画出函数草图；(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解.[命题角度2]根据函数零点求参数范围5.(2017·徐州考前信息卷)已知函数f (x)＝x ln x，g(x)＝－x2＋ax－2(e为自然对数的底数，a∈R).(1)判断曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线与曲线y＝g(x)的公共点个数；(2)当x∈\f(1e)，e)时，若函数y＝f (x)－g(x)有两个零点，求a的取值范围.探究提高研究方程的根(或函数零点)的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根(函数零点)的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用.6. (2017·南通调研节选)已知函数f (x)＝ax2－x－ln x，a∈R.(1)当a＝38时，求函数f (x)的最小值；(2)若－1≤a≤0，证明：函数f (x)有且只有一个零点..1.求曲线的切线方程的方法是利用切线方程的公式y－y0＝f ′(x0)(x－x0)，它的难点在于分清“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异.突破这个难点的关键是理解这两种切线的不同之处在哪里，在过点P(x0，y0)的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P(x0，y0)处的切线，必以点P为切点，则此时切线的方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0).2.我们借助于导数探究函数的零点，不同的问题，比如方程的解、直线与函数图象的交点、两函数图象交点问题都可以转化为函数零点问题.3.对于存在一个极大值和一个极小值的函数，其图象与x轴交点的个数，除了受两个极值大小的制约外，还受函数在两个极值点外部函数值的变化的制约，在解题时要注意通过数形结合找到正确的条件.4.求函数零点或两函数的交点问题，综合了函数、方程、不等式等多方面知识，可以全面地考察学生对函数性质、函数图象等知识的综合应用能力，同时考察学生的变形、转化能力.因此在高考压轴题中占有比较重要的地位.7..(2017·泰州质检)已知函数f (x)＝2ln x－x2＋ax(a∈R).(1)当a＝2时，求f (x)的图象在x＝1处的切线方程；(2)若函数g(x)＝f (x)－ax＋m在\f(1e)，e)上有两个零点，求实数m的取值范围.8.已知函数f (x)＝x2－a ln x－1，函数F(x)＝x)－1\r(x)＋1.(1)如果函数f (x)的图象上的每一点处的切线斜率都是正数，求实数a的取值范围；(2)当a＝2时，你认为函数y＝f（x）x－1的图象与y＝F(x)的图象有多少个公共点？请证明你的结论.9..(2017·山东卷)已知函数f (x)＝13x3－12ax2，a∈R.(1)当a＝2时，求曲线y＝f (x)在点(3，f (3))处的切线方程；(2)设函数g(x)＝f (x)＋(x－a)cos x－sin x，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.导数专题答案1.解(1)①由已知可得2x＋\a\vs4\al\co1(\f(12))x＝2，即2x＋12x＝2.∴(2x)2－2·2x＋1＝0，解得2x＝1，∴x＝0.②f (x)＝2x＋\a\vs4\al\co1(\f(12))x＝2x＋2－x，令t＝2x＋2－x，则t≥2.又f (2x)＝22x＋2－2x＝t2－2，故f (2x)≥mf (x)－6可化为t2－2≥mt－6，即m≤t＋4t，又t≥2，t＋4t≥24t)＝4(当且仅当t＝2时等号成立)，∴m≤\a\vs4\al\co1(t＋\f(4t))min＝4，即m的最大值为4.(2)∵0＜a＜1，b＞1，∴ln a＜0，ln b＞0.g(x)＝f (x)－2＝a x＋b x－2，g′(x)＝a x ln a＋b x ln b且g′(x)为单调递增，值域为R的函数.∴g′(x)一定存在唯一的变号零点，∴g(x)为先减后增且有唯一极值点.由题意g(x)有且仅有一个零点，则g(x)的极值一定为0，而g(0)＝a0＋b0－2＝0，故极值点为0.∴g′(0)＝0，即ln a＋ln b＝0，∴ab＝1.2.解①由f (x)＝2x3－3x得f ′(x)＝6x2－3.令f ′(x)＝0，得x＝－2)2或x＝2)2.因为f (－2)＝－10，f \a\vs4\al\co1(－\f(\r(2)2))＝2，f \a\vs4\al\co1(\f(\r(2)2))＝－2，f (1)＝－1，所以f (x)在区间[－2，1]上的最大值为f \a\vs4\al\co1(－\f(\r(2)2))＝2.②设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f (x)相切于点(x0，y0)，则y0＝2x30－3x0，且切线斜率为k＝6x20－3，所以切线方程为y－y0＝(6x20－3)(x－x0)，因为t－y0＝(6x20－3)(1－x0).整理得4x30－6x20＋t＋3＝0，设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f (x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”. g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)，当x变化时，g(x)与g′(x)的变化情况如下：所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值.当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，此时g(x)在区间(－∞，1)和[1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点.当g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1时，此时g(x)在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点.当g(0)＞0且g(1)＜0，即－3＜t＜－1时，因为g(－1)＝t－7＜0，g(2)＝t＋11＞0，所以g(x)分别在区间[－1，0)，[0，1)和[1，2)上恰有1个零点，由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点.综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f (x)相切时，t的取值范围是(－3，－1).3.解因为f ′(x)＝3x2－1.所以曲线f (x)＝x3－x在点M(λ0，f (λ0))处的切线的斜率为k＝f ′(λ0)＝3λ20－1. 所以切线方程为y－(λ30－λ0)＝(3λ20－1)(x－λ0)，即y＝(3λ20－1)x－2λ30.(2)证明由(1)知曲线f (x)＝x3－x在点(λ，f (λ))处的切线的方程为y＝(3λ2－1)x －2λ3.若切线过点N(2，1)，则1＝2(3λ2－1)－2λ3，即2λ3－6λ2＋3＝0.过点N可作曲线f (x)的三条切线等价于方程2λ3－6λ2＋3＝0有三个不同的解. 设g(λ)＝2λ3－6λ2＋3，则g′(λ)＝6λ2－12λ＝6λ(λ－2).当λ变化时，g′(λ)，g(λ)的变化情况如下表：因为g(λ)在R上只有一个极大值3和一个极小值－5，所以过点N可以作曲线f (x)＝x3－x的三条切线.4.解(1)设曲线y＝f (x)与x轴相切于点(x0，0)，则f (x0)＝0，f ′(x0)＝0.即3020x＋ax0＋\f(143x＋a＝0，解得x0＝12，a＝－34.因此，当a＝－34时，x轴为曲线y＝f (x)的切线.(2)当x∈(1，＋∞)时，g(x)＝－ln x<0，从而h(x)＝min{f (x)，g(x)}≤g(x)<0，故h(x)在(1，＋∞)上无零点.当x＝1时，若a≥－54，则f (1)＝a＋54≥0，h(1)＝min{f (1)，g(1)}＝g(1)＝0，故x＝1是h(x)的零点；若a<－54，则f (1)<0，h(1)＝min{f (1)，g(1)}＝f (1)<0，故x＝1不是h(x)的零点. 当x∈(0，1)时，g(x)＝－ln x>0.所以只需考虑f (x)在(0，1)的零点个数.(ⅰ)若a≤－3或a≥0，则f ′(x)＝3x2＋a在(0，1)上无零点，故f (x)在(0，1)上单调.而f (0)＝14，f (1)＝a＋54，所以当a≤－3时，f (x)在(0，1)内有一个零点；当a≥0时，f (x)在(0，1)上没有零点.(ⅱ)若－3<a<0，则f (x)在\a\vs4\al\co1(0，\r(－\f(a3)))上单调递减，在\a\vs4\al\co1(\r(－\f(a3))，1)上单调递增，故在(0，1)中，当x＝a3)时，f (x)取得最小值，最小值为f \a\vs4\al\co1(\r(－\f(a3)))＝2a3a3)＋14.①若f \a\vs4\al\co1(\r(－\f(a3)))>0，即－34<a<0，f (x)在(0，1)无零点；②若f \a\vs4\al\co1(\r(－\f(a3)))＝0，即a＝－34，则f (x)在(0，1)有唯一零点；③若f \a\vs4\al\co1(\r(－\f(a3)))<0，即－3<a<－34，由于f (0)＝14，f (1)＝a＋54，所以当－54<a<－34时，f (x)在(0，1)有两个零点；当－3<a≤－54时，f (x)在(0，1)有一个零点.综上，当a>－34或a<－54时，h(x)有一个零点；当a＝－34或a＝－54时，h(x)有两个零点；当－54<a<－34时，h(x)有三个零点.5.解(1)f ′(x)＝ln x＋1，所以切线斜率k＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，∴曲线在点(1，0)处的切线方程为y＝x－1.由y＝－x2＋ax－2，y＝x－1)⇒x2＋(1－a)x＋1＝0.由Δ＝(1－a)2－4＝a2－2a－3＝(a＋1)(a－3)可知：当Δ＞0时，即a＜－1或a＞3时，有两个公共点；当Δ＝0时，即a＝－1或a＝3时，有一个公共点；当Δ＜0时，即－1＜a＜3时，没有公共点.(2)y＝f (x)－g(x)＝x2－ax＋2＋x ln x，由y＝0，得a＝x＋2x＋ln x.令h(x)＝x＋2x＋ln x，则h′(x)＝（x－1）（x＋2）x2.当x∈\f(1e)，e)时，由h′(x)＝0，得x＝1.所以h(x)在\f(1e)，1)上单调递减，在[1，e]上单调递增，因此h(x)min＝h(1)＝3.由h\a\vs4\al\co1(\f(1e))＝1e＋2e－1，h(e)＝e＋2e＋1，比较可知h\a\vs4\al\co1(\f(1e))＞h(e)，所以，结合函数图象可得，当3＜a≤e＋2e＋1时，函数y＝f (x)－g(x)有两个零点.6.(1)解当a＝38时，f (x)＝38x2－x－ln x.所以f ′(x)＝34x－1－1x＝（3x＋2）（x－2）4x(x>0).令f ′(x)＝0，得x＝2，当x∈(0，2)时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f (x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增.所以当x＝2时，f (x)有最小值f (2)＝－12－ln 2.(2)证明由f (x)＝ax2－x－ln x得f′(x)＝2ax－1－1x＝2ax2－x－1x，x>0.所以当a≤0时，f′(x)＝2ax2－x－1x<0，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减，所以当a≤0时，函数f (x)在(0，＋∞)上最多有一个零点.因为当－1≤a≤0时，f (1)＝a－1<0，f \a\vs4\al\co1(\f(1e))＝e2－e＋ae2>0，所以当－1≤a≤0时，函数f (x)在(0，＋∞)上有零点.综上，当－1≤a≤0时，函数f (x)有且只有一个零点7.解(1)当a＝2时，f (x)＝2ln x－x2＋2x，f′(x)＝2x－2x＋2，切点坐标为(1，1)，切线的斜率k＝f ′(1)＝2，则切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.(2)g(x)＝2ln x－x2＋m，则g′(x)＝2x－2x＝－2（x＋1）（x－1）x.因为x∈\f(1e)，e)，所以当g′(x)＝0时，x＝1.当1e＜x＜1时，g′(x)＞0，此时函数单调递增；当1＜x＜e时，g′(x)＜0，此时函数单调递减.故g(x)在x＝1处取得极大值g(1)＝m－1.又g\a\vs4\al\co1(\f(1e))＝m－2－1e2，g(e)＝m＋2－e2，g(e)－g\a\vs4\al\co1(\f(1e))＝4－e2＋1e2＜0，则g(e)＜g\a\vs4\al\co1(\f(1e))，所以g(x)在\f(1e)，e)上的最小值是g(e).g(x)在\f(1e)，e)上有两个零点的条件是g（1）＝m－1＞0，\rc\1e2)≤0，解得1＜m≤2＋1e2，所以实数m的取值范围是\a\vs4\al\co1(1，2＋\f(1e2)).8.解(1)∵f (x)＝x2－a ln x－1的定义域为(0，＋∞)，函数f (x)的图象上的每一点处的切线斜率都是正数，∴f ′(x)＝2x－ax＞0在(0，＋∞)上恒成立.∴a＜2x2在(0，＋∞)上恒成立，∵y＝2x2＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴a≤0.∴所求的a的取值范围为(－∞，0].(2)当a＝2时，函数y＝f（x）x－1的图象与y＝F(x)的图象没有公共点.证明如下：当a＝2时，y＝f（x）x－1＝x2－2ln x－1x－1，它的定义域为{x|x＞0且x≠1}，F(x)的定义域为[0，＋∞).当x＞0且x≠1时，由f（x）x－1＝F(x)得x2－2ln x－x＋2x－2＝0.设h(x)＝x2－2ln x－x＋2x－2，则h′(x)＝2x－2x－1＋1\r(x)＝x)－1）（2x\r(x)＋2x＋\r(x)＋2）x.∴当0＜x＜1时，h′(x)＜0，此时，h(x)单调递减；当x＞1时，h′(x)＞0，此时，h(x)单调递增.∴当x＞0且x≠1时，h(x)＞h(1)＝0，即h(x)＝0无实数根.∴当a＝2，x＞0且x≠1时，f（x）x－1＝F(x)无实数根.∴当a＝2时，函数y＝f（x）x－1的图象与y＝F(x)的图象没有公共点.9.解(1)由题意f ′(x)＝x2－ax，所以当a＝2时，f (3)＝0，f ′(x)＝x2－2x，所以f ′(3)＝3，因此曲线y＝f (x)在点(3，f (3))处的切线方程是y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.(2)因为g(x)＝f (x)＋(x－a)cos x－sin x，所以g′(x)＝f ′(x)＋cos x－(x－a)sin x－cos x＝x(x－a)－(x－a)sin x＝(x－a)(x－sin x)，令h(x)＝x－sin x，则h′(x)＝1－cos x≥0，所以h(x)在R上单调递增.因为h(0)＝0，所以，当x>0时，h(x)>0；当x<0时，h(x)<0.①当a<0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，当x∈(－∞，a)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(a，0)时，x－a>0，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增.所以，当x＝a时，g(x)取到极大值，极大值是g(a)＝－16a3－sin a，当x＝0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)＝－a.②当a＝0时，g′(x)＝x(x－sin x)，当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，g(x)单调递增；所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值.③当a>0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，当x∈(－∞，0)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(0，a)时，x－a<0，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增.所以，当x＝0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)＝－a；当x＝a时g(x)取到极小值，极小值是g(a)＝－16a3－sin a.综上所述：当a<0时，函数g(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递增，在(a，0)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(a)＝－16a3－sin a，极小值是g(0)＝－a；当a＝0时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；当a>0时，函数g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)＝－a，极小值是g(a)＝－16a3－sin a.。
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5x
题型一:根据图形求值
2 .已 知 函 数 f(x )的 图 象 在 点 M 2 ,f(2 )处 的 切 线
7 方 程 是 x 2 y 4 0 ,则 f(2 )f2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
线 方 程 为 __2_x___ 2y30
7.过 点 (1, 0)作 曲 线 y x 2的 切 线 ， 则 切 线 方 程
为 ___y____0_或 __y4x4
题型三:求参数的取值或取值范围
8 .已 知 直 线 y k x 1与 曲 线 y x 3 a x b 相 切 于
点 (1, 3), 则 实 数 b的 值 为 _ _ _3 _ _ _ _ _ _ _
y f ( x )的 图 象 在 点 P (1, f (1))处 的 切 线 的 倾 斜 角
为
4
,则
a
_ _ _4_ _ _ _ _
题型三:求参数的取值或取值范围
11.已知.函数f (x) x3 ax2 b(a,bR)图象上 任意一点处的切线的斜率都小于1,则实数a的
取值范围是______3__,__3
4: 已知函数f (x)=ax2+1（a>0），g(x)=x3+bx, 若曲线y=f (x)与曲线y=g(x)在它们的交点（1，c）
处具有公共切线，求a、b的值；
1．曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为 ________． 解析：y′＝ex＋x·ex＋2，y′|x＝0＝3， ∴切线方程为y－1＝3(x－0)， ∴y＝3x＋1，即3x－y＋1＝0. 答案：3x－y＋1＝0
是 ____x___y__ 0
5.设 曲 线 f ( x ) 3 x ln( x 1)在 点 P处 的 切 线 方 程
为 y 2 x, 则 P的 坐 标 为 __0__, 0_____
6.函 数 f ( x ) 1 x 2 ln(2x 1)在 点 (1, f (1))处 的 切 2
2 . 若 曲 线 y f ( x ) 在 点 ( x 0 , y 0 ) 切 线 , 为 y k x b
(1)切点 (x0,y0)在曲线上 y0 f (x0) (2)切点 (x0, y0)在切线上y0 kx0 b
(3)切线的k斜 f'(率 x0) k f x0
知识点：
3 .关 于 过 点 P (x 0,y 0)的 切 线 问 题 :要 分 清 是 "在 点 型 "还 是 "过 点 型 "
3如 图.y f (x)是 可 导 函 数 ， 直 线 l是 曲 线 y f (x)在 x 4
y
5
4,5
处的切线，令g(x) f (x) , 3
3 则 g (4) _______
x
o
4
16
2
l
y f (x)
x
题型二:求切点或切线方程
4.曲 线 y x 3 x 2 1在 点 P (1, 1)处 的 切 线 方 程
9 .设 曲 线 f ( x ) a x ln ( x 1) 在 点 (0 , 0 )处 的 切 线
方 程 为 y 2 x , 则 实 数 a的 值 为 _ _ _ _ _3 _ _ _ _
1 0 .已 知 .函 数 f ( x ) x 3 a x 4 ( a R ), 若 函 数
12.函数f (x) ln x ax存在与直线2x y 0平
行的切线则实数a的取值范围是__(____,_2_)_
例题与练习：
1．若曲线f(x)＝x4－x在点P处的切线平行于直
线3x－y＝0，则点P的坐标为________．
2．曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方
程为________． 3．若曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切 线，则实数a的取值范围为________．
在 点 型
题 意 明 确 某 点 P(x0,y0)是 切 点 ,具 体 文 字 表 示 为 : "在 P处 的 切 线 "或 "P为 切 点 "
过点型
即P(x0, y0)点不明示为切点,则P可以为切点 也可以不为切点，若点P不在曲线上，则P 不是切点
题型一:根据图形求值
1 .如 图 函 数 y g (x )的 图 象 在 点 P 处 的 切 线 方 程 是
2．若曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切 线，则实数a的取值范围为________．
解析：f′(x)＝2ax＋1x，∵f(x)存在垂直 于 y 轴的切线， ∴f′(x)＝0 有解，即 2ax＋1x＝0 有解， ∴a＝－21x2， ∴a∈(－∞，0)． 答案：(－∞，0)
3．若曲线f(x)＝x4－x在点P处的切线平行于直线 3x－y＝0，则点P的坐标为________． 解析：∵f′(x)＝4x3－1，由题意4x3－1＝3， ∴x＝1，故切点P(1,0)． 答案：(1,0)
导数的 几何意义
例题与练习：
练习:利用函数公式求函数导数
(1). f (x) 3x ln(x 1)
(2). f ( x) 1 x2 ln(2x 1) 2
3. f (x) x3 ax2 b
知识点： 1.函数在一(x点 0, y0)处的导f数 '(x0), 就是函数在该点线 处斜 的率 切