2016届中考数学一轮复习课件：第15课 二次函数与方程、不等式(新人教版)(北京专用)
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第15课时┃二次函数与方程、不等式
方法点析
求二次函数解析式的题目， 经常用到待定系数法，根据所给条件设出所求函数的解析 式，然后由条件求出解析式的系数．列方程或方程组是具体的方法，一般有几个待定系数 就需要有几个方程． (1)已知任意三点坐标选用一般式 y＝ax2＋bx＋c(如果已知与 y 轴的交点， 设函数解析 式时可先将 c 值直接代入，使三元方程组变为二元，从而简化运算)； (2)已知顶点坐标、对称轴或最值，常选用顶点式 y＝a(x－h)2＋k； (3)已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标，常选用交点(双根)式 y＝a(x－x1)(x－x2)．
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第15课时┃二次函数与方程、不等式
热考二
二次函数与方程、不等式的关系
例 2 [2014· 怀柔一模] 在平面直角坐标系 xOy 中， 二次 3 2 函数 y＝2x ＋bx＋c 的图象经过(－1，0)和( ，0)两点． 2 (1)求此二次函数的解析式； 3 (2)直接写出当－ <x<1 时，y 的取值范围． 2 (3)将一次函数 y＝(1－m)x＋2 的图象向下平移 m 个单 位长度后，与二次函数 y＝2x2＋bx＋c 的图象交点的横坐标 分别是 a 和 b，其中 a<2<b，试求 m 的取值范围．
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第15课时┃二次函数与方程、不等式
(2)已知函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值为 k，求自 变量 x 的值，就是解方程 ax2＋bx＋c＝k；反过来，解方程 ax2＋bx＋c＝k，就是令二次函数 y＝ax2＋bx＋c－k 的函数 值为 0，求自变量的值．
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第15课时┃二次函数与方程、不等式
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第15课时┃二次函数与方程、不等式
变式题（二 ）
[2014· 齐齐哈尔] 已知抛物线的顶点为 A(1，4)， 抛物线与 y 轴交于点 B(0，3)，求此抛物线的解析式．
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第15课时┃二次函数与方程、不等式
解：∵抛物线的顶点坐标为(1，4)， ∴设 y＝a(x－1)2＋4. 由于抛物线过点 B(0，3)， ∴3＝a(0－1)2＋4， 解得 a＝－1. ∴抛物线的解析式为 y＝－(x－1)2＋4， 即 y＝－x2＋2x＋3.
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第15课时┃二次函数与方程、不等式
[解析] 将关于 x 的一元二次方程 1－(x－a)(x－b)＝0 的解 m，n 看作是二次函数 y＝(x－a)· (x－b)的图象与直线 y＝1 的 交点的横坐标．观察图象，可直接得到结论．
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第15课时┃二次函数与方程、不等式
方法点析
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第15课时┃二次函数与方程、不等式
3 解：(1)由二次函数 y＝2x ＋bx＋c 的图象经过(－1，0) 和( ，0) 2 两点． 得错误!解得错误! ∴此二次函数的解析式为 y＝2x2－x－3. 3 (2)当 x＝－ 时，y＝3；当 x＝1 时，y＝－2. 2 1 25 又∵二次函数图象的顶点坐标是( ，－ )， 4 8 3 25 ∴当－ <x<1 时，y 的取值范围是－ <y<3. 2 8
第15课时 二次函数与方程、不等式
第15课时┃二次函数与方程、不等式
考 点 聚 焦
考点1 用待定系数法求二次函数的解析式
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第15课时┃二次函数与方程、不等式
考点2 二次函数与一元二次方程的关系
(1)抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴交点的横坐标 x1， x2 是一元二次方程______________ ax2＋bx＋c＝0 的根．
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第15课时┃二次函数与方程、不等式
解：(1)∵抛物线 y＝x2＋bx＋c 与 y 轴交于点 C(0，3)， ∴ c ＝ 3， ∴y＝x2＋bx＋3. 又∵抛物线 y＝x2＋bx＋c 与 x 轴交 于点 A(1，0)， ∴b＝－4， ∴y＝x2－4x＋3. (2)点 P 的坐标为(5，8)或(－1，8)．
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2
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第15课时┃二次函数与方程、不等式
(3)将一次函数 y＝(1－m)x＋2 的图象向下平移 m 个单位长度后的一次函数解析式为 y＝(1－m)x＋2－m， ∵y＝(1－m)x＋2－m 与二次函数 y＝2x2＋bx＋c 的图象交点的横坐标为 a 和 b， ∴2x2－x－3＝(1－m)x＋2－m，整理得 2x2＋(m－2)x＋m－5＝0. ∵a<2<b，∴a≠b. ∴Δ ＝(m－2)2－4×2×(m－5)＝(m－6)2＋8>0. ∴m≠1. ∵a<2<b， 当 x＝2 时，(1－m)x＋2－m>2x2－x－3， 1 把 x＝2 代入(1－m)x＋2－m>2x2－x－3，解得 m< . 3 1 ∴m 的取值范围为 m< 的全体实数． 3
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第15课时┃二次函数与方程、不等式
变式题（一 ）
[2014· 房山一模] 抛物线 y＝－x2＋bx＋c 经过 A(－1，0)，C(0，4)两点，求抛物线的解析式．
解：∵抛物线 y＝－x2＋bx＋c 经过 A(－1，0)，C(0，4) 两点， ∴错误! 解得错误! ∴此抛物线的解析式为 y＝－x2＋3x＋4.
考点3 二次函数与一元二次不等式的关系
上
下
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第15课时┃二次函数与方程、不等式
京 考 探 究
考 情 分 析
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第15课时┃二次函数与方程、不等式
热 考 京 讲
热考一 确定二次函数解析式
例 1 [2014· 西城二模] 抛物线 y＝x2＋bx＋c(b， c 均为常数)与 x 轴 交于 A(1，0)，B 两点，与 y 轴交于点 C(0，3)． (1)求该抛物线的解析式； (2)若 P 是抛物线上一点，且点 P 到抛物线的对称轴的距离为 3， 请直接写出点 P 的坐标．
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第15课时┃二次函数与方程、不等式
变式题
[2014· 济宁] “如果二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图 象与 x 轴有两个公共点，那么一元二次方程 ax2＋bx＋ c＝0 有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的 规律，解决下面问题： 若 m，n(m<n)是关于 x 的方程 1－(x－a)(x－b)＝0 的两根，且 a<b，则 a，b，m，n 的大小关系是( A ) A．m<a<b<n B．a<m<n<b C．a<m<b<n D．m<a<n<b
数形结合思想——利用函数图象比较实数的大小 此题看上去是在解决方程根的问题， 而其内涵却是利用函数 图象解决实数的比较大小问题．设 y＝－(x－a)(x－b)，y 的图象 为开口向下的抛物线，其与 x 轴的交点的横坐标分别是 a，b.现 使 y＝－(x－a)(x－b)＋1，即使原 y 的图象向上移动一个单位长 度，此时图象与 x 轴的交点的横坐标分别是 m，n.从图中可以看 出 m<a<b<n.
二次函数与方程、不等式PPT教学课件
使不等式 x≤f(x)≤ x22+1对一切实数 x 都成立? 解: 假设存在常数 a, b, c, 使题中不等式对一切实数 x 都成立.
则由f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1, 0), 得 a-b+c=0. ① ∵ x≤f(x)≤ x22+1对一切实数 x 都成立, 当 x=1 时也成立, ∴ 1≤f(1)≤1, 即 f(1)=1, 得 a+b+c=1. ②
一、二次函数的解析式
1.一般式: y=ax2+bx+c(a≠0); 2.顶点式: y=a(x -m)2+n(其中(m, n)为抛物线的顶点坐标);
3.两根式: y=a(x -x1)(x -x2)(其中x1, x2为抛物线与 x 轴两交点 的横坐标);
注: 求二次函数的解析式, 一般都采用待定系数法. 做题时, 要根据题设条件, 合理地设出解析式.
{x | x<x1 或 x>x2}
{x | x≠- 2ba}
R
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x | x1<x<x2}
八、典型例题
1.已知二次函数 f(x) 满足 f(2)=-1, f(-1)=-1, 且 f(x) 的最大值 是 8, 试确定此二次函数的解析式.
解法一: 利用二次函数的一般式. 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则
解: f(x) 的图象是开口向上的抛物线, 其对称轴为直线 x=a-1.
(1)问题等价于“对于 x∈[-1, 1], 有 f(x)max>0.” 讨论如下: ①当 a-1≤0 即 a≤1 时, f(x)max=f(1)=-a2-2a+15. 由 -a2-2a+15>0 得: -5<a<3. ∵ a≤1, ∴ -5<a≤1. 注: 亦可 ②当 a-1>0 即 a>1 时, f(x)max=f(-1)=-a2+6a+7. 用补集法 由 -a2+6a+7>0 得: -1<a<7. ∵ a>1, ∴ 1<a<7. 求解. 综上所述, -5<a<7. 即实数 a 的取值范围是 (-5, 7).
【中考复习方案】(人教版)中考数学复习权威15二次函数的应用PPT课件
第15课时┃ 二次函数的应用
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考点一 二次函数的应用 二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，
这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问 题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最 节省方案等问题．
考点二 建立平面直角坐标系，用二次函数的图象
解决实际问题
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第15课时┃ 二次函数的应用
例2 [2013·盐城 ]水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一 种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现 原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．
(1)现在实际购进这种水果每千克多少元？ (2)王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量 y(千克)与销售单价x(元/千克)满足如图15－2所示的一次函数 关系． ①求y与x之间的函数关系式； ②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为 多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？(利润＝销售收 入－进货金额)
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图15－3
第15课时┃ 二次函数的应用
解：(1)依题意得：y＝1x(20－x)＝－1x2＋10x(0<x<20)，
坐标代入求得m的值，然后根据D，C关于原 点 对 称 求 出 D 点 坐 标 ， 然 后 根 据 S△BCD ＝ S△BOD＋S△BOC求出面积即可．
图15－1
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第15课时┃ 二次函数的应用
解：(1)∵AB＝8，由抛物线的性质可知 OB＝4，
∴B(4，0)，
把 B 点坐标代入解析式得 16a－4＝0，解得 a＝1. 4
建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相转 化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等 知识解决问题，求二次函数的解析式是解题关键．
二次函数与方程(不等式) 课件
③可以看做是抛物线y=x2 与直线y=-x+1交点坐标的横坐标；
④可以看做是抛物线y=x2-1 与直线y=x交点坐标的横坐标；
上述说法正确的是（ C ）
A.①②④ C. ① ③
B. ② ④ D. ① ④
y
6 5 4
3
2 1
-2 -1 0
1
2x
理解应用：
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如y 图所示, 根据图像回答下列问题：
抛物线y=ax²+bx+c与直线y=0的交点 转化 转化
一元二次方程ax²+bx+c=0的解
抛物线y=ax²+bx+c与直线y=k的交点 转化 转化
一元二次方程ax²+bx+c=k的解
抛物线y=ax²+bx+c与直线y=kx+n的交点 转化 转化
一元二次方ax²+bx+c=kx+n
结合
数
y
(X1,0)
(x1,kx1+n)E
变变变式式式：：：axaa2xx22bxbbxxccckxkxkx 00
O
(X2,0)
Bx
(x2,k) D 直线y=k
x
直线y=kx+n
F(x2,kx2+n) x
理解应用：
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如y 图所示, 根据图像回答下列问题：
（1）方程ax2+bx+c=0的解为 x1=1或x2=3；x （2）方程ax2+bx+c-2=0的解为 x1=x2=2
两个_不__相__等___实根 两个_相__等_____实根
人教版数学中考复习《二次函数的图象及性质》精品教学课件ppt优秀课件
A(x,y)
B(-x,y)
x
... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
1 1.5
2
...
y=x2
...
4 2.25
1 0.25 0
0.25
1
2.25
4
...
y= - x2 ... -4 -2.25 -1 -0.25 0
-0.25
-1
-2.25 -4
...
函数图象画法
注意：列表时自变量 取值要y均 匀 2和对称。
y x2
当当当当xx==xx--==2112时 时时 时，，，，yyyy====--41--14
当a>0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而
减小。
当a>0时，在对称轴的 右侧，y随着x的增大而
增大。
当当当当xx==xx--==2112时时时时，，，，yyyy====4114
当a<0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而
3
3
( 3,6)
( 3,6)
谢谢观看
Thank You!
这对对这对条称对这对称条称抛，称条称轴抛，物y轴抛，。轴物y线。轴物y就线轴关就线是关就于是关它于是y它于的轴y它的轴y的轴 对称轴。
对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点。
1、观察右图， 并完成填空。
2、练习2 3、想一想
4、练习4
二次函数y=ax2的性质 １、顶点坐标与对称轴 ２、位置与开口方向 ３、增减性与极值
4. 点的位置及其坐标特征: ①.各象限内的点: ②.各坐标轴上的点: ③.各象限角平分线上的点: ④.对称于坐标轴的两点: ⑤.对称于原点的两点:
y
Q(b,-b)
二次函数的复习课 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
直线x b 2a
直线 x=h
直线x x1 x2 2
顶点坐标
（ b , 4ac b2 ） (h , k)
2a 4a
y
增 a＞0 在对称轴左侧,y随x的增大而减小，在
减
对称轴右侧,y随x的增大而增大。 o
性 a＜0 在对称轴左侧,y随x的增大而增大，
x
在对称轴右侧,y随x的增大而减小。 y
最 值
a＞0 a＜0
当x= y最小值=
当x= y最大值=
b 时,
2a 4ac b2 b 4a
当 x=h 时, y最小值=k
2a 时4, ac b2 当x=h时，
y =k 新课-标海教量学4教a网学（资w源w欢w.迎xk下b最w载.大c！o值m）-
o
x
*
二次函数的图象及性质
1.根据图中的抛物线， 当x ＜2 时，y随x的增大而增大， 当x ＞2 时，y随x的增大而减小， 当x ＝2 时，y有最大值。 y
再 见
(1)y x2
(2) y x2 1 x
(3) y x x2 1 (4)y (x 1)2 x2
1. 自变量的最高次数是2。 2. 二次项的系数a≠0。 3. 二次函数解析式必须是整式
想一想 ： 函数 y (m 1)xm2m mx 1是二次函数，
则满足条件的m的值为 2 。
二次函数的图象及性质
那么下列判断正确的有①④ （填序号）
①abc>0 ②b2-4ac<0 ③2a+b>0 ④a+b+c<0
如图，矩形ABCD的两边长AB＝18cm，AD ＝4cm.点P、Q分别从A、B同时出发，P在边 AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动， Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速 运动，设运动时间为x秒，△PBQ的面积为 y(cm2)． (1)求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围； (2)求△PBQ的面积的最大值．
中考数学复习方案 第15课时 二次函数与方程、不等式课件
2012
二次函 数解析 式确定
二次函 数与一 元二次 方程
2013
2014你 来猜
二次函 数解析 式确定
二次函 数与一 元二次
方程
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第15讲┃ 二次函数与方程、不等式
热考精讲 热考一 确定二次函数解析式
例1 [ 2013·海淀二模] 已知：抛物线y＝ax2＋(a－2)x－2 过点A(3，4)，求抛物线的解析式．
∵A(3，0)在抛物线上，∴0＝a(3－1)2－2，
∴a＝12，∴解析式为 y＝12(x－1)2－2.
[注意] 如果题目中出现了一般式的形式，那么最后的结果 也必须转化为一般式．
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第15讲┃ 二次函数与方程、不等式
已知：抛物线与x轴交于A(－2，0)、B(4，0)，与y 轴交于C(0，4)，求抛物线解析式和顶点D的坐标．
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第15讲┃ 二次函数与方程、不等式
热考二 二次函数与方程、不等式的关系
例2 [ 2013·东城二模] 求证：抛物线y＝(m－1)x2＋(m－2)x －1总过x轴上的一个定点．
证 明 令 y＝0，得(m－1)x2＋(m－2)x－1＝0.
∴x＝－（2（m－m－2）1）± m2＝－2（（mm－－21））±m.
第15课时 二次函数与方程、 不等式
第15讲┃ 二次函数与方程、不等式
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考点1 用待定系数法求二次函数的解析式
方法
适用条件及求法
一般 式
顶点 式
若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为y＝ ax2＋bx＋c，将已知条件代入，求出a、b、c的值
若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值 (或最小值)，则设所求二次函数为y＝a(x－h)2＋k，将已 知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形 式
中考数学一轮复习讲义第15讲 二次函数
中考数学一轮复习讲义考点十五：二次函数聚焦考点☆温习理解一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。
如果没有交点，则不能这样表示。
三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当ab x 2-=时，ab ac y 442-=最值。
如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a b 2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a b 2-时，ab ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)PPT课件
面积问题
面积问题
在二次函数中，可以通过求函数与坐标轴的交点来计算图形的面积。例如，当函数与x轴交于两点时 ，可以计算这两点之间的面积；当函数与y轴交于一点时，可以计算这一点与原点之间的面积。这些 方法在解决实际问题时非常有用，例如在计算利润、产量等方面。
求解方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求出二次函数与x轴和y轴的交点坐标，然后根据这些坐标计算图形的面积。对于更复杂的问题，可能 需要使用积分或其他数学方法来求解。
05
综合练习与提高
基础练习题
巩固基础 覆盖全面 由浅入深
基础练习题主要针对二次函数的基本概念、性质和公 式进行设计，旨在帮助学生巩固基础知识，提高解题的 准确性和速度。
基础练习题应涵盖二次函数的各个方面，包括开口方 向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点等，确保学生 对二次函数有全面的了解。
题目难度应从易到难，逐步引导学生深入理解二次函 数，从简单的计算到复杂的综合题，逐步提高学生的解 题能力。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)ppt课 件
目录 Contents
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的解析式 • 二次函数的图像与性质 • 二次函数的实际应用 • 综合练习与提高
01
二次函数的基本概念
二次函数的定义
总结词
理解二次函数的定义是掌握其性 质和图像的基础。
详细描述
二次函数是形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a, b, c$是 常数，且$a neq 0$。这个定义表 明二次函数具有两个变量$x$和 $y$，并且$x$的最高次数为2。
03
二次函数的图像与性质
开口方向
总结词：根据二次项系数a的正负判断开口方向 a>0时，开口向上
中考数学一轮复习精品讲义二次函数人教新课标版
第二十六章 二次函数本章小结小结1 本章概述本章从实际问题的情境入手引出基本概念，引导学生自主探索变量之间的关系及其规律，认识二次函数及其图象的一些基本性质，学习怎样寻找所给问题中隐含的数量关系，掌握其基本的解决方法．本章的主要内容有两大部分：一部分是二次函数及其图象的基本性质，另一部分是二次函数模型．通过分析实例，尝试着解决实际问题，逐步提高分析问题、解决问题的能力．二次函数综合了初中所学的函数知识，它把一元二次方程、三角形等知识综合起来，是初中各种知识的总结．二次函数作为一类重要的数学模型，将在解决有关实际问题的过程中发挥重要的作用． 小结2 本章学习重难点【本章重点】 通过对实际问题情境的分析，确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数的图象，能从图象中认识二次函数的性质；会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．【本章难点】 会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题． 【学习本章应注意的问题】1．在学习本章的过程中，不要死记硬背，要运用观察、比较的方法及数形结合思想熟练地画出抛物线的草图，然后结合图象来研究二次函数的性质及不同图象之间的相互关系，由简单的二次函数y ＝ax 2(a ≠0)开始，总结、归纳其性质，然后逐步扩展，从y ＝ax 2＋k ，y ＝a (x －h )2一直到y ＝ax 2＋bx ＋c ，最后总结出一般规律，符合从特殊到一般、从易到难的认识规律，降低了学习难度．2．在研究抛物线的画法时，要特别注意抛物线的轴对称性，列表时，自变量x 的选取应以对称轴为界进行对称选取，要结合图象理解并掌握二次函数的主要特征．3．有关一元二次方程与一次函数的知识是学习二次函数内容的基础，通过观察、操作、思考、交流、探索，加深对教材的理解，在学习数学的过程中学会与他人交流，同时，在学习本章时，要深刻理解两种思想和两种方法，两种思想指的是函数思想和数形结合思想，两种方法指的是待定系数法和配方法，在学习过程中，对数学思想和方法要认真总结并积累经验小结3 中考透视近几年来，各地的中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特点的阅读理解题、开放性探索题和函数的应用题，尤其是全国各地中考试题中的压轴题，有三分之一以上是这一类题，试题考查的范围既有函数的基础知识、基本技能以及基本的数学方法，还越来越重视对学生灵活运用知识能力、探索能力和动手操作能力的考查，特别是二次函数与一元二次方程、三角形的面积、三角形边角关系、圆的切线以及圆的有关线段组成的综合题，主要考查综合运用数学思想和方法分析问题并解决问题的能力，同时也考查计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和创造能力.知识网络结构图二次函数的概念二次函数的图象开口方向对称轴顶点坐标增减性专题总结及应用二次函数 二次函数的性质 二次函数的应用 一元二次方程的近似解 一元二次不等式的解集 二次函数的最大(小)值 在实际问题中的应用一、知识性专题专题1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质【专题解读】 对二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质的考查一直是各地中考必考的重要知识点之一，一般以填空题、选择题为主，同时也是综合性解答题的基础，需牢固掌握．例1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图26－84所示，则下列结论：①a ＞0；②c ＞0；③b 2－4ac ＞0．其中正确的个数是 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个分析 ∵抛物线的开口向下，∴a ＜0；∵抛物线与y 轴交于正半铀，∴c ＞0;∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0．故②③正确．故选C ．【解题策略】 解此类题时，要注意观察图象的开口方向、与y 轴交点的位置以及与x 轴交点的个数．例2 若y ＝ax 2＋bx ＋c ，则由表格中的信息可知y 与x 之间的函数关系式是 ( )x -1 0 1 ax 2 1 ax 2+bx +c83A ．y ＝x 2－4x ＋3B ．y ＝x 2－3x ＋4C ．y ＝x 2－3x ＋3D ．y ＝x 2－4x ＋8分析 由表格中的信息可知，当x ＝1时，ax 2＝1，所以a ＝1．当x =－1时，ax 2＋bx ＋c ＝8，当x ＝0时，ax 2＋bx ＋c ＝3，所以c ＝3，所以1×(－1)2＋b ×(－1)＋3＝8，所以b ＝－4．故选A ．【解题策略】 本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，解决此题的突破口是x ＝1时，ax 2＝1，x ＝0时，ax 2＋bx ＋c ＝3和x ＝－1时，ax 2＋bx ＋c ＝8．例3 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的大致图象如图26－85所示，则函数y ＝ax ＋b 的图象不经过 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 分析 由图象可知a ＜0，2ba-＜0，则b ＜0，所以y ＝ax ＋b 的图象不经过第一象限．故选A ．【解题策略】 抛物线的开口方向决定了a 的符号，b 的符号由抛物线的开口方向和对称轴共同决定．例4 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (其中a ＞0，b ＞0，c ＜0)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧．其中正确的个数为 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个分析 由a ＞0，得抛物线开口向上，由2ba-＜0，得对称轴在y 轴左侧，由c ＜0可知抛物线与y 轴交于负半轴上，可得其大致图象如图26—86所示，因此顶点在第三象限，故①③正确．故选C.【解题策略】 此题考查了二次函数的开口方向、对称轴、顶点等性质，解题时运用了数形结合思想．例5 若A 113,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 25,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，C 31,4y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为二次函数y ＝x 2＋4x ＋5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 ( )A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2分析因为y＝x2＋4x＋5的图象的对称轴为直线x＝－2，所以x=134-与x＝－34的函数值相同，因为抛物线开口向上，所以当54-＜34-＜14时，y2＜y1＜y3．故选B．【解题策略】此题考查了抛物线的增减性和对称轴，讨论抛物线的增减性需在对称轴的同侧考虑，因此将x=134-的函数值转化为x＝－34的函数值．例6 在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋1与y＝－32(x－1)2的图象大致是(如图26—87所示) ( )分析直线y＝－x＋1与y轴交于正半轴，抛物线y＝－32(x－1)2的顶点为(1，0)，且开口向下．故选D．专题2 抛物线的平移规律【专题解读】当二次函数的二次项系数a相同时，图象的形状相同，即开口方向、大小相同，只是位置不同，所以它们之间可以进行平行移动，移动时，其一，把解析式y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式；其二，对称轴左、右变化，即沿x轴左、右平移，此时与k的值无关；顶点上、下变化，即沿y轴上、下平移，此时与h的值无关．其口诀是“左加右减，上加下减”．例7 把抛物线y＝－2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是 ( )A．y＝－2(x＋1)2 B．y＝－2(x－1)2C．y＝－2x2＋1 D．y＝－2x2－1分析原抛物线的顶点为(0，0)，向上平移一个单位后，顶点为(0，1)．故选C．【解题策略】解决此题时，可以用“左加右减，上加下减”的口诀来求解，也可以根据顶点坐标的变化来求解．例8 把抛物线y＝x2＋bx＋c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为y＝x2－3x ＋5，则 ( )A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21分析y＝x2－3x＋5变形为y＝232x⎛⎫-⎪⎝⎭＋5－94，即y＝232x⎛⎫-⎪⎝⎭＋114，将其向左平移3个单位，再向上平移2个单位，可得抛物线y＝2332x⎛⎫-+⎪⎝⎭＋114＋2，即y＝x2＋3x＋7，所以b＝3，c＝7．故选A．【解题策略】此题运用逆向思维解决了平移问题，即抛物线y＝x2＋bx＋c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到y＝x2－3x＋5，那么抛物线y＝x2－3x＋5则向左平移3个单位，再向上平移2个单位，可得到抛物线y ＝x 2＋bx ＋c ．专题3 抛物线的特殊位置与函数关系的应用【专题解读】若抛物线经过原点，则c ＝0，若抛物线的顶点坐标已知，则2ba-和244ac b a -的值也被确定等等，这些都体现了由抛物线的特殊位置可以确定系数a ，b ，c 以及与之有关的代数式的值．例9 如图26－88所示的抛物线是二次函数y ＝ax 2＋3ax ＋a 2－1的图象，则a 的值是 .分析 因为图象经过原点，所以当x ＝0时，y ＝0，所以a 2－1=0，a ＝±1，因为抛物线开口向下，所以a ＝－1.故填－1:专题4 求二次函数的最值【专题解读】 在自变量x 的取值范围内，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在顶点24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭处取得最值．当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向上，顶点最低，当x ＝2ba-时，y 有最小值为244ac b a -；当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，顶点最高，当x ＝2ba-时，y 有最大值为244ac b a -．例10 已知实数x ，y 满足x 2＋2x ＋4y ＝5，则x ＋2y 的最大值为 .分析 x 2＋2x ＋4y ＝5，4y ＝5－x 2－2x ，2y ＝12(5－x 2－2x )，x ＋2y ＝12(5－x 2－2x )＋x ，整理得x ＋2y ＝－12x 2＋52.当x ＝0时，x ＋2y 取得最大值，为52．故填52． 专题 5 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系【专题解读】 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间有着密切的联系，可以用函数的观点来理解方程的解和不等式的解集．已知函数值，求自变量的对应值，就是解方程，已知函数值的范围，求对应的自变量的取值范围，就是解不等式．例11 已知二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点(2，0)，(－1，6)． (1)求二次函数的解析式；(2)不用列表，画出函数的图象，观察图象，写出当y ＞0时x 的取值范围．分析 (1)列出关于a ，b 的方程组，求a ，b 的值即可．(2)观察图象求出y ＞0的解集．解：(1)由题意可知，当x ＝2时，y ＝0，当x ＝－1时，y ＝6，则420,6,a b a b +=⎧⎨-=⎩解得2,4.a b =⎧⎨=-⎩∴二次函数的解析式为y ＝2x 2－4x ．(2)图象如图26—89所示，由图象可知，当y ＞0时，x ＜0或x ＞2．【解题策略】 求二次函数的解析式，其实质就是先根据题意寻求方程组，并解方程组，从而使问题得到解决．二、规律方法专题专题6 二次函数解析式的求法【专题解读】 用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数的解析式一般需要三个独立的条件，根据不同的条件，选择不同的设法．(1)设一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．若已知条件是图象经过三个点，则可设所求的二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入，即可求出a，b，c的值．(2)设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，则可设所求的二次函数解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)，将第三点(m，n)的坐标(其中m，n为已知数)代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．(3)设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，则可设所求的二次函数解析式为y＝a(x－h)2＋k，将已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．(4)设对称点式：y＝a(x－x1)(x－x2)＋m(a≠0)．若已知二次函数图象上的对称点(x1，m)，(x2，m)，则可设所求的二次函数解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)＋m(a≠0)，将已知条件代入，求得待定系数a,m，最后将解析式化为一般式．例12 根据下列条件求函数解析式．(1)已知二次函数的图象经过点(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)，求这个二次函数的解析式；(2)已知抛物线的顶点为(－1，－3)，与y轴的交点为(0，－5)，求此抛物线的解析式；(3)已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(1，0)两点，且经过点M(0，1)，求此抛物线的解析式；(4)已知抛物线经过(－3，4)，(1，4)和(0，7)三点，求此抛物线的解析式．分析 (1)已知图象上任意三点的坐标，可选用一般式，从而得到关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，即可得到二次函数的解析式．(2)已知抛物线的顶点坐标，应选用顶点式．(3)由于A(－l，0)，B(1，0)是抛物线与x轴的两个交点，因此应选用交点式．(4)显然已知条件是抛物线经过三点，故可用一般式，但由于(－3，4)，(1，4)是抛物线上两个对称点，因此选用对称点式更简便．解：(1)设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c将(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)分别代入，得6,2,423,a b ca b ca b c-+=-⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩解得1,2,5.abc=⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴所求的二次函数的解析式为y＝x2＋2x－5．(2)∵抛物线的顶点为(－1，－3)，∴设其解析式为y＝a(x＋1)2－3，将点(0，－5)代入，得－5＝a－3，∴a＝－2，∴所求抛物线的解析式为y＝－2(x＋1)2－3．即y＝－2x2－4x－5．(3)∵点A(－1，0)，B(1，0)是抛物线与x轴的两个交点，∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－1)，将点M(0，1)代入，得1＝－a，∴a＝－1，∴所求抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－1)，即y=－x2＋1(4)∵抛物线经过(－3，4)，(1，4)两点，∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)＋4，将点(0，7)代入，得7＝a·3·(－1)＋4，∴a＝－1，∴所求抛物线的解析式为y＝－(x＋3)(x－1)＋4，即y＝－x2－2x＋7．【解题策略】 (1)求二次函数解析式的4种不同的设法是指根据不同的已知条件寻求最简的求解方法，它们之间是相互联系的，不是孤立的.(2)在选用不同的设法时，应具体问题具体分析，特别是当已知条件不是上述所列举的4种情形时，应灵活地运用不同的方法来求解，以达到事半功倍的效果．(3)求，函数解析式的问题，如果采用交点式、顶点式或对称点式，最后要将解析式化为一般形式．三、思想方法专题 专题7 数形结合思想【专题解读】 把问题的数量关系和空间形式结合起来考查，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题来讨论，也可以把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究．例13 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图26－90所示，则点A (a ，b )在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 分析 由图象开口方向向下可知a ＜0，由对称轴的位置可知x ＝2ba-＞0，所以b ＞0，故点A 在第二象限．故选B ．【解题策略】 解决此题的关键是观察图象的开口方向以及对称轴的位置． 专题8 分类讨论思想【专题解读】 分类讨论是对问题的条件逐一进行讨论，从而求得满足题意的结果．例14 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A (0，3)，与x 轴交于B (1，0)，C (5，0)两点． (1)求此抛物线的解析式；(2)若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；(3)若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上某点(设为点E )，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F )，最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径最短的点E ，F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．分析 (1)用待定系数法求a ，b ，c 的值．(2)用分类讨论法求直线CD 的解析式．(3)根据轴对称解决最短路径问题.解：(1)根据题意，得c =3，所以30,25530,a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得3,518.5a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以抛物线的解析式为y ＝35x 2－185x ＋3．(2)依题意可知，OA 的三等分点分别为(0，1)，(0，2)， 设直线CD 的解析式为y ＝k x ＋b ，当点D 的坐标为(0，1)时，直线CD 的解析式为y ＝－15x ＋1，当点D 的坐标为(0，2)时，直线CD 的解析式为y ＝－25x ＋2． (3)由题意可知M 30,2⎛⎫⎪⎝⎭，如甲26－91所示，点M 关于x 轴的对称点为M ′30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，点A 关于抛物线对称轴x ＝3的对称点为A ′(6，3)，连接A ′M ′，根据轴对称性及两点间线段最短可知，A ′M ′的长就是点P 运动的最短总路径的长．所以A ′M ′与x 轴的交点为所求的E 点，与直线x ＝3的交点为所求的F 点． 可求得直线A ′M ，的解析式为y ＝34x －32． 所以E 点坐标为(2，0)，F 点坐标为33,4⎛⎫⎪⎝⎭，由勾股定理可求出A ′M ′＝152． 所以点P 运动的最短总路径(ME ＋EF ＋FA )的长为152． 【解题策略】 (2)中点D 的位置不确定，需要分类讨论，体现了分类讨论的数学思想．(3)中的关键是利用轴对称性找到E ，F 两点的位置，从而求出其坐标，进而解决问题．专题9 方程思想【专题解读】 求抛物线与坐标轴的交点坐标时，可转化为二次函数y ＝0或x ＝0，通过解方程解决交点的坐标问题．求抛物线与x 轴的交点个数问题也可以转化为求一元二次方程根的情况．例15 抛物线y ＝x 2－2x ＋1与x 轴交点的个数是 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个分析 可设x 2－2x ＋1＝0，Δ＝(－2)2－4×1×1＝0，可得抛物线y ＝x 2－2x ＋1与x 轴只有一个交点．故选B ．【解题策略】 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点的个数可由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝o(a ≠0)的根的个数来确定．专题10 建模思想【专题解读】 根据实际问题中的数量关系建立二次函数关系式，再用二次函教的性质来解决实际问题． 例16 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若以每箱50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． (1)求平均每天的销售量y (箱)与销售价x (元／箱)之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润W (元)与销售价x (元／箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润?最大利润是多少?分析 (1)原来每箱售价50元，价格每提高1元，平均每天少销售3箱，若提高(x －50)元，则平均每天少销售3(x －50)箱，所以提价后每天销售[90－3(x －50)]箱，即y ＝90－3(x －50).(2)每天的销售利润可用(x －40)[90－3(x －50)]来表示．(3)建立W 和x 之间的二次函数关系式，利用二次函数的最值求利润的最值． 解：(1)y ＝90－3(x －50)，即y ＝－3x ＋240．(2)W ＝(x －40)(－3x ＋240)＝－3x 2＋360x －9600，(3)∵a ＝－3＜0，∴当x ＝2ba-＝60时，W 有最大值， 又∵当x ＜60时，y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝55时，W 取得最大值为1125元，即每箱苹果的销售价为55元时，可获得1125元的最大利润．【解题策略】 求实际问题的最值时，可通过建立二次函数关系式，根据二次函数的最值来求解． 例17 某公司经销某品牌运动鞋，年销售量为10万双，每双鞋按250元销售，可获利25％，设每双鞋的成本价为a 元． (1)试求a 的值；(2)为了扩大销售量，公司决定拿出一定量的资金做广告，根据市场调查，若每年投入广告费为x(万元)，则产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y与x之间的关系如图26—92所示，可近似看作是抛物线的一部分．①根据图象提供的信息，求y与x之间的函数关系式；②求年利润S(万元)与广告费x(万元)之间的函数关系式，并计算广告费x(万元)在什么范围内时，公司获得的年利润S(万元)随广告费的增多而增多．(注：年利润S＝年销售总额－成本费－广告费) 解：(1)由题意得a(1＋25％)＝250，解得a＝200(元)．(2)①依题意可设y与x之间的函数关系式为y＝ax2＋bx＋1，则421 1.36,1641 1.64,a ba b++=⎧⎨++=⎩，解得0.01,0.2,ab=-⎧⎨=⎩∴y＝－0.01x2＋0.2x＋1．②S＝(－0.01x2＋0.2x＋1)×10×250－10×200－x,即S＝－25x2＋499x＋500，整理得S=－25(x－9.98)2＋2990.01．∴当0≤x≤9．98时，公司获得的年利润随广告费的增多而增多．例18 某宾馆有客房100间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房会全部住满．当每间客房每天的定价每增加10元时，就会有5间客房空闲．(注：宾馆客房是以整间出租的)(1)若某天每间客房的定价增加了20元，则这天宾馆客房收入是元；(2)设某天每间客房的定价增加了x元，这天宾馆客房收入y元，则y与x的函数关系式是；(3)在(2)中，如果某天宾馆客房收入y＝17600元，试求这天每间客房的价格是多少元．分析本题是用二次函数解决有关利润最大的问题，由浅入深地设置了三个问题．解：(1)18000(2)y=12-x2＋10x＋18000(3)当y＝17600时，－12x2＋10x＋400=0，即x2－20x－800＝0．解得x＝－20(舍去)或x＝40．180＋40＝220，所以这天每间客房的价格是220元．例19 （09·泰安）如图26－93(1)所示，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y＝3-x＋m与x轴交于点E．(1)求点E的坐标；(2)求过A，O，E三点的抛物线的解析式．解：(1)如图26－93(2)所示，过A作AF⊥x轴于F，则OF=OA cos 60°=1，AF=OF tan 60°=3，∴点A(1，3)．代入直线解析式，得3-×1＋m＝3，∴m＝43，∴y=3-x＋43.当y=0时，3-x＋43=0，解得x＝4，∴点E(4，0)．(2)设过A，O，E三点的抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，∵抛物线过原点，∴c＝0，∴3,1640,a ba b⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得3,43.ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的解析式为y＝3-x2＋43x.例20 如图26－94所示，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，点A的坐标是(－1，2)．(1)求点B的坐标；(2)求过点A，O，B的抛物线的表达式．解：(1)如图26－95所示，过点A作AF⊥x轴，垂足为点F，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，则AF＝2，OF＝1．∵OA⊥OB，∴∠AOF＋∠BOE＝90°．又∵∠BOE＋∠OBE＝90°，∴∠AOF＝∠OBE．∴Rt△AFO∽Rt△OEB．∴BE OE OBOF AF OA==＝2∴BE＝2，OE＝4．∴B(4，2)．(2)设过点A(－1，2)，B(4，2)，O(0，0)的抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c．则2,1642,0.a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得1,23,20.abc⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴所求抛物线的表达式为y＝12x2－32x.例21如图26－96所示，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(1，0)，B(0，2)两点，顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式．解：(1)已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(1，0)，B(0，2)两点，∴01,200,b cc=++⎧⎨=++⎩解得3,2,bc=-⎧⎨=⎩∴所求抛物线的解析式为y＝x2－3x＋2．(2)∵A(1，0)，B(0，2)，∴OA＝1，OB＝2，可得旋转后C点的坐标为(3，1)．当x＝3时，由y=x2－3x＋2得y＝2，可知抛物线y＝x2－3x＋2过点(3，2)．∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C∴平移后的抛物线的解析式为y＝x2－3x＋1．例22 如图26－97所示，抛物线y＝ax2＋bx－4a经过A(－1，0)，C(0，4)两点，与x 轴交于另一点B．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点D(m，m＋1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标．解：(1)∵抛物线y=ax2＋bx－4a经过A(－1，0)，C(0，4)两点，∴40,4 4.a b aa--=⎧⎨-=⎩解得1,3. ab=-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4．(2)如图26－98所示，点D(m，m＋1)在抛物线上，∴m＋1＝－m2＋3m＋4，即m2－2m－3＝0，∴m＝－1或m＝3．∵点D在第一象限，∴点D的坐标为(3，4)．由(1)得B点的坐标为(4，0)，∴OC=OB，∴∠CBA＝45°．设点D关于直线BC的对称点为点E．∵C(0，4)，∴CD∥AB，且CD＝3，∴∠ECB＝∠DCB＝45°，∴E点在y轴上，且CE＝CD＝3．∴OE＝1，∴E(0，1)．即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0，1)．2011中考真题精选一、选择题1.（2011内蒙古呼和浩特，8，3）已知一元二次方程x2+bx-3=0的一根为-3，在二次函数y=x2+bx-3的图象上点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，一元二次方程解的意义．关键是求二次函数解析式，根据二次函数的对称轴，开口方向判断函数值的大小．2.（2011黑龙江牡丹江，18，3分）抛物线y=ax2+bx﹣3过点（2，4），则代数式8a+4b+1的值为（）A、﹣2B、2C、15D、﹣15考点：二次函数图象上点的坐标特征；代数式求值。
中考数学总复习基础知识梳理第3单元函数及其图象3.6二次函数与一元二次方程及应用课件
2.当b2-4ac=0，抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点，即方程 ax2+bx+c=0有两个相等的实数根.
3.当b2-4ac＜0，抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有交点，即方程
2
2
由题意，得
2x
3a
2
1 2
a
80, a
20
1 2
x.
（2）
yABBC源自3 2ax
3 2
20
1 2
x x,
即, y 3 x2 30x0＜x＜40.
4
y 3 x2 30x 3 x 202 300.
4
4
当x 20时，y有最大值，最大值是300平方米.
【解析】（1）由矩形AEFD的面积是矩形BCFE的面 积的2倍，求出AE，BE的关系，利用总长80列出x与 AE的关系式，用x表示出AE，进而表示出AB，BC， 从而得出y与x关系，并求出范围，（2）对（1）所求出的二次函数
解：（1）设AEA EAD=a，2B由E题 BC意, A，D得 BC,
BE 1 a, AB 3 a.
第三单元 函数及其 图象
第15课时 二次函数与一元二次方程及应用
考纲考点
1.会根据实际问题构建二次函数模型； 2.了解二次函数与一元二次方程之间的关系； 3.用二次函数的图象估计一元二次方程的近似根.
江西省中考近几年都没有单独考查二次函数与一元二次方程的关系 以及二次函数的应用，预测2018年江西中考单独考查本课时内容的 概率不大.