选修2-3：第一章 计数原理 单元测试题
高中数学(人教,选修2-3)第一章《计数原理》测试题B卷.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试题B卷考试时间：100分钟，满分：150分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）1．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是() A．9 B．14 C．15 D．212．将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为()3 4A．4 B．6 C.5 D.33．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A．12种B．18种C．24种D．36种4．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有() A．36种B．42种C．48种D．54种5．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A ．24B ．18C ．12D ．66. 如图，用四种不同颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点涂色，要求 每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的 涂色方法共有( )A ．288种B ．264种C ．240种D ．168种7．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有 ( )A ．10种B ．15种C ．20种D ．30种8.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一．每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 ( )A ．152B ．126C ．90D ．54 9．在⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 5的二项展开式中，x 的系数为( )A ．10B ．－10C ．40D ．－4010．(x ＋a x )(2x －1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40二、填空题（每小题6分, 共24分）11．将数字1,2,3,4,5按第一行2个数，第二行3个数的形式随机排列，设a i (i ＝1,2)表示第i 行中最小的数，则满足a 1>a 2的所有排列的个数是________．(用数字作答)12． 形如45132的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1,2,3,4,5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为________．13． 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同的排法种数是________．14.若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________. 三、解答题（共计76分）．15.（本题满分12分）方程x 2m ＋y 2n ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，其中m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么这样的椭圆有多少个？16.（本题满分12分）有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加) (1)每人恰好参加一项，每项人数不限； (2)每项限报一人，且每人至多参加一项； (3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．17.（本题满分12分）某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且宣传广告与公益广告不能连续播放，两个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？18．（本题满分12分）已知(a 2＋1)n 展开式中各项系数之和等于⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a 的值．19.（本题满分14分）从7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？(1)A ，B 必须当选； (2)A ，B 必不当选； (3)A ，B 不全当选； (4)至少有2名女生当选；(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．20.（本题满分14分）已知f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋2x )n (m ，n ∈N *)的展开式中x 的系数为11. (1)求x 2的系数取最小值时n 的值；(2)当x 2的系数取得最小值时，求f (x )展开式中x 的奇次幂项的系数之和．高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试题B卷答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）1. 【答案】B【解析】当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7(个)；当x≠2时，x＝y，点的个数为7×1＝7(个)，则共有14个点，故选B.2. 【答案】B【解析】如图所示，根据题意，1,2,9三个数字的位置是确定的，余下的数中，5只能在a，c位置，8只能在b，d位置，依(a，b，c，d)顺序，具体有(5,8,6,7)，(5,6,7,8)，(5,7,6,8)，(6,7,5,8)，(6,8,5,7)，(7,8,5,6)，合计6种.12a34bc d 93. 【答案】A【解析】先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A33种不同的排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A12种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有A33·A12·1＝12(种)不同的排列方法．4. 【答案】 B【解析】分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A44种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C13种排法，其他3个节目有A33种排法，故有C13A33种排法．依分类加法计数原理，知共有A44＋C13A33＝42(种)编排方案．5. 【答案】B【解析】根据所选偶数为0和2分类讨论求解．当选0时，先从1,3,5中选2个数字有C23种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C12种方法，剩余1个数字排在首位，共有C23C12＝6(种)方法；当选2时，先从1,3,5中选2个数字有C23种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C12种方法，其余2个数字全排列，共有C23C12A22＝12(种)方法．依分类加法计数原理知共有6＋12＝18(个)奇数．6. 【答案】 B【解析】分两类：第一类，涂三种颜色，先涂点A，D，E有A34种方法，再涂点B，C，F有2种方法，故有A 34×2＝48(种)方法； 第二类，涂四种颜色，先涂点A ，D ，E 有A 34种方法，再涂点B ，C ，F 有3C 13种方法，故共有A 34·3C 13＝216(种)方法．由分类加法计数原理，共有48＋216＝264(种)不同的涂法. 7. 【答案】C【解析】由题意知比赛场数至少为3场，至多为5场． 当为3场时，情况为甲或乙连赢3场，共2种．当为4场时，若甲赢，则前3场中甲赢2场，最后一场甲赢，共有C 23＝3(种)情况；同理，若乙赢也有3种情况．共有6种情况．当为5场时，前4场，甲、乙各赢2场，最后1场胜出的人赢，共有2C 24＝12(种)情况． 由上综合知，共有20种情况． 8. 【答案】B【解析】考虑特殊元素(位置)优先安排法．第一类：在丙、丁、戊中任选一位担任司机工作时有C 13C 24A 33＝108. 第二类：在丙、丁、戊中任选两位担任司机工作时，有C 23A 33＝18，∴不同安排方案的种数是108＋18＝126. 9. 【答案】 D【解析】因为T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r ⎝⎛⎭⎫－1x r＝C r 525－r x 10－2r(－1)r x －r ＝C r 525－r(－1)r x 10－3r，所以10－3r ＝1，所以r ＝3，所以x 的系数为C 3525－3(－1)3＝－40. 10. 【答案】 D【解析】令x ＝1得(1＋a )(2－1)5＝1＋a ＝2，所以a ＝1.因此(x ＋1x )(2x －1x )5展开式中的常数项即为(2x －1x )5展开式中1x 的系数与x 的系数的和．(2x －1x)5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·(－1)r ·x －r ＝C r 525－r x 5－2r·(－1)r . 令5－2r ＝1，得2r ＝4，即r ＝2，因此(2x －1x )5展开式中x 的系数为C 2525－2(－1)2＝80.令5－2r ＝－1，得2r ＝6，即r ＝3，因此(2x －1x )5展开式中1x 的系数为C 3525－3·(－1)3＝－40. 所以(x ＋1x )(2x －1x )5展开式中的常数项为80－40＝40.二、填空题（每小题6分, 共24分） 11. 【答案】72【解析】依题意数字1必在第二行，其余数字的位置不限，共有A24A33＝72个．12. 【答案】16【解析】由题意可得，十位和千位只能是4、5或者3、5.若十位和千位排4、5，则其他位置任意排1、2、3，则这样的数有A22A33＝12(个)；若十位和千位排5、3，这时4只能排在5的一边且不能和其他数字相邻，1、2在其余位置上任意排列，则这样的数有A22A22＝4(个)，综上，共有16个．13. 【答案】288【解析】记三名男生为甲、乙、丙，三名女生为a、b、c，先排男生，若甲在两端有4种排法，然后3位女生去插空，排法如ab甲丙c乙共有4A23A12A13种，若男生甲排在中间，有两种排法，然后女生去插空，排法如ab乙甲c丙共有2A23A24种排法．根据分类加法计数原理共有4A23A12A13＋2A23A24＝288(种)不同排法．14. 【答案】10【解析】将f(x)＝x5进行转化，利用二项式定理求解．f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，它的通项为T r＋1＝C r5(1＋x)5－r·(－1)r，T3＝C25(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a3＝10.三、解答题（共计76分）．15. 【解析】以m的值为标准分类，分为五类．第一类：m＝1时，使n>m，n有6种选择；2分第二类：m＝2时，使n>m，n有5种选择；4分第三类：m＝3时，使n>m，n有4种选择；6分第四类：m＝4时，使n>m，n有3种选择；8分第五类：m＝5时，使n>m，n有2种选择．10分∴共有6＋5＋4＋3＋2＝20种方法，即有20个符合题意的椭圆．12分16. 【解析】(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有选法36＝729(种)．4分(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120(种)．8分(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63＝216(种)．12分17. 【解析】用1、2、3、4、5、6表示广告的播放顺序，则完成这件事有三类方法． 第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2、4、6.分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．4分第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、4、6，分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．6分第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、3、6，同样分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．8分由分类加法计数原理得：6个广告不同的播放方式有36＋36＋36＝108种．12分18. 【解析】由⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5，得T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫165x 25－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝⎝⎛⎭⎫1655－r ·C r 5·x 20－5r 2.令T r ＋1为常数项，则20－5r ＝0， ∴r ＝4，∴常数项T 5＝C 45×165＝16. 6分又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和等于2n . 由题意得2n ＝16，∴n ＝4.由二项式系数的性质知，(a 2＋1)4展开式中二项式系数最大的项是中间项T 3，∴C 24a 4＝54，∴a ＝±3.12分19．【解析】(1)由于A ，B 必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可， ∴有C 310＝120(种)．2分(2)从除去的A ，B 两人的10人中选5人即可，∴有C 510＝252(种)．4分(3)全部选法有C 512种，A ，B 全当选有C 310种， 故A ，B 不全当选有C 512－C 310＝672种．6分(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行，∴有C 512－C 15·C 47－C 57＝596(种)．9分(5)分三步进行：第一步：选1男1女分别担任两个职务为C 17·C 15； 第二步：选2男1女补足5人有C 26·C 14种； 第三步：为这3人安排工作有A 33.由分步乘法计数原理共有:C 17·C 15·C 26·C 14·A 33＝12 600(种)．14分20. 【解析】(1)由已知C 1m ＋2C 1n ＝11，∴m ＋2n ＝11， x 2的系数为C 2m ＋22C 2n ＝(1)2m m -＋2n (n －1) ＝m 2－m 2＋(11－m )⎝⎛⎭⎫11－m 2－1＝⎝⎛⎭⎫m －2142＋35116. ∵m ∈N *，∴m ＝5时，x 2的系数取得最小值22，此时n ＝3. 7分(2)由(1)知，当x 2的系数取得最小值时，m ＝5，n ＝3， ∴f (x )＝(1＋x )5＋(1＋2x )3. 设这时f (x )的展开式为f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25＋33， 令x ＝－1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝－1， 两式相减得2(a 1＋a 3＋a 5)＝60，故展开式中x 的奇次幂项的系数之和为30.14分。
高中数学选修2-3人教A：第一章《计数原理》测试(1)(新人教A版选修2-3)
第1章《计数原理》一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数( )A ．40B ．74C ．84D ．200解析： 分三类：第一类，前5个题目的3个，后4个题目的3个，第二类，前5个题目的4个，后4个题目的2个，第三类，前5个题目的5个，后4个题目的1个，由分类加法计数原理得C53C43＋C54C42＋C55C41＝74.答案： B2．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A ．3项B ．4项C ．5项D ．6项解析： Tr ＋1＝C24r ⎝⎛⎭⎫x 1224－r ⎝⎛⎭⎫x －13r ＝C24rx12－56r ，所求x 的幂指数是整数的项必须满足56r 为整数且0≤r≤24，故r ＝0,6,12,18,24，所求项共有5项．答案： C3．某次文艺汇演，要将如果A、B() A．144种B．192种C．96种D．72种解析：第一步，将C、D、E、F全排，共有A44种排法，产生5个空，第二步，将A、B捆绑有2种方法，第三步，将A、B插入除2号空位和3号空位之外的空位，有C31种，所以一共有144种方法．答案： A4．若(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为() A．2 B．－1C．0 D．1解析：(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)＝(2＋3)4×(－2＋3)4＝1.答案： D5．用4种不同的颜色涂入图中的矩形A、B、C、D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同涂法有()A.72种B．48种C．24种D．12种解析：涂A共4种涂法，则B有3种涂法，C有2种涂法，D有3种涂法．∴共有4×3×2×3＝72种涂法．答案： A6．有两排座位，前排11个座位，后排10个座位．现安排2人就坐，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是()A．234 B．276C．350 D．363解析：采用间接法：因为前排中间的3个座位不能坐，所以共有A182＝306种不同的坐法，其中2人左右相邻的坐法有15×A22＝30种不同的坐法．∴不同排法的种数是306－30＝276种．答案： B7．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝()A．6 B．7C．8 D．9解析：注意到二项式(1＋3x)n的展开式的通项是Tr＋1＝Cnr1n－r·(3x)r＝Cnr·3r·xr，于是依题意有Cn5·35＝Cn6·36，即－－－－5！＝3×－－－－－6！(n≥6)，由此解得n ＝7.答案： B8．在(1＋x)n 的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则(1－x2)n 等于( )A ．0B ．pqC ．p2－q2D ．p2＋q2解析： 由于(1＋x)n 与(1－x)n 展开式中奇数项相同，偶数项互为相反数，因此(1－x)n ＝p －q ，所以(1－x2)n ＝(1－x)n(1＋x)n ＝(p ＋q)(p －q)＝p2－q2.答案： C9．直线l1∥l2，l1上有4个点，l2上有6个点，以这些点为端点连成线段，他们在l1与l2之间最多的交点个数是( )A ．24B ．45C ．80D ．90解析： 因为在直线l1和l2上分别取2个点构成四边形的个数为C42C62＝90，又因为每一个四边形的对角线有1个交点，故交点的个数最多为90个．答案： D10．若⎝⎛⎭⎫2x －1x n 展开式中含1x2项的系数与含1x4项的系数之比为－5，则n 等于( ) A ．4 B ．6C ．8D ．10解析： 展开式通项为Tk ＋1＝Cnk(2x)n －k ⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k2n －kCnk·xn －2k.选项A 中若n ＝4，k ＝4，则Tk ＋1＝(－1)k·24－kC4kx4－2k ，当4－2k ＝－2时，k ＝3，当4－2k ＝－4时，k ＝4，则T4＝(－1)3·24－3C43x －2＝－8x －2，T5＝(－1)420C44x －4＝x －4，此时系数比不是－5.选项B 中若n ＝6，则Tk ＋1＝(－1)k26－kC6kx6－2k ，当6－2k ＝－2时，k ＝4，当6－2k ＝－4时，k ＝5，则T5＝(－1)4·22C64x －2＝60x －2，T6＝(－1)521C65x －4＝－12x －4，此时系数比为－5，所以B 正确，同理可以验证C 、D 选项不正确．答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a ＞0)的展开式中x3的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a 的值是________．解析： ⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6展开式的通项为 Tr ＋1＝C6rx6－r ⎝⎛⎭⎪⎫－a x r ＝(－a)rC6rx6－3r 2 当r ＝2时，x3的系数A ＝(－a)2C62＝15a2，当r ＝4时，常数项B ＝(－a)4C64＝15a4，∵B ＝4A ，得15a4＝4×15a2，∵a ＞0，得a ＝2.答案： 212．在由数字0,1,2,3,4,5组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有________个．解析： 所有由0,1,2,3,4,5组成的4位数，共有A51·A53＝300个，末尾为0的有A53＝60个，末尾为5的有A41·A42＝48(个)．故满足题意的数共有300－60－48＝192(个)．答案： 19213．如图是由12个小正方形组成的3×4矩形网格，一质点沿网格线从点A 到点B 的不同路径之中，最短路径有________条．解析： 把质点沿网格线从点A 到点B 的最短路径分为七步，其中四步向右，三步向下，不同走法的区别在于哪三步向下，因此，本题的结论是：C73＝35.答案： 3514．(x ＋1)3＋(x －2)8＝a0＋a1(x －1)＋a2(x －1)2＋…＋a8(x －1)8则a6＝________.解析： ∵(x ＋1)3＋(x －2)8＝[(x －1)＋2]3＋[(x －1)－1]8∴a6(x －1)6＝C82(x －1)6(－1)2＝28(x －1)6∴a6＝28.答案： 28三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)某班有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会．(1)若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？(2)若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？解析： (1)选出1名代表，可以选男生，也可以选女生，因此完成“选1名代表”这件事分2类：第1类，从男生中选出1名代表，有28种不同方法；第2类，从女生中选出1名代表，有20种不同方法．根据分类加法计数原理，共有28＋20＝48种不同的选法．(2)完成“选出男、女生代表各1名”这件事，可以分2步完成：第1步，选1名男生代表，有28种不同方法；第2步，选1名女生代表，有20种不同方法．根据分步乘法计数原理，共有28×20＝560种不同的选法．16．(本小题满分12分)若⎝⎛⎭⎫x ＋13x2n 的第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14∶3，求展开式中的常数项．解析： 由题意有Cn4∶Cn2＝14∶3，解得n ＝10(n ＝－5舍去)Tr ＋1＝C10r(x)10－r ⎝⎛⎭⎫13x2r ＝C10rx 10－r 2⎝⎛⎭⎫13rx －2r ＝⎝⎛⎭⎫13rC10rx 10－r 2－2r ，令10－r 2－2r ＝0，∴r ＝2.∴常数项为⎝⎛⎭⎫132C102＝5. 17．(本小题满分12分)有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人．(1)如果每人得两本，有多少种不同的分法？(2)如果一个人得1本，一个人得2本，一个人得3本，有多少种不同的分法？(3)如果把这6本书分成三堆，每堆两本有多少种不同分法？解析： (1)假设甲先拿，则甲从6本不同的书中选取2本有C62＝15种方法，不论甲取走的是哪两本书，乙再去取书时只能有C42＝6种，此时剩下的两本书自然给丙，就只有C22＝1种方法，由分步乘法计数原理得一共有C62·C42·C22＝90种不同分法．(2)先假设甲得1本，乙得2本，丙得3本，则有C61C52C33种方法，一共有C61C52C33A33＝6×10×6＝360种不同分法．(3)把6本书分成三堆，每堆2本，与次序无关．所以一共有C62C42C22A33＝15种不同分法．18．(本小题满分14分)若(x2－3x ＋2)5＝a0＋a1x ＋a2x2＋…＋a10x10.(1)求a2；(2)求a1＋a2＋…＋a10；(3)求(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2.解析： (1)方法一：(x2－3x ＋2)5＝(x －1)5(x －2)5，(x －1)5展开式的通项公式为C5r·(－1)r·x5－r(0≤r≤5)；(x －2)5展开式的通项公式为C5s·(－2)s·x5－s(0≤s≤5)，所以(x2－3x ＋2)5展开式的通项公式为C5r·C5s·(－1)r ＋s·2s·x10－r －s ，令r ＋s ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3s ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝4s ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝5s ＝3. 所以展开式中x2的系数为C53C5525＋C54C5424＋C55C5323＝800，即a2＝800.方法二：(x2－3x ＋2)5的本质是5个x2－3x ＋2相乘，由多项式的乘法法则，产生含x2的项有两种可能：① 5个x2－3x ＋2中有一个取含x2的项，其他的取常数项，得到的系数是C51·24＝80； ② 5个x2－3x ＋2中有两个取x 的项，其他的取常数项，得到的系数是C52·(－3)2·23＝720， ∴展开式中含x2的项的系数是80＋720＝800，即a2＝800.(2)令f(x)＝(x2－3x ＋2)5＝a0＋a1x ＋a2x2＋…＋a10x10，a0＝f(0)＝25＝32，a0＋a1＋a2＋…＋a10＝f(1)＝0，∴a1＋a2＋…＋a10＝－32.(3)(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－…＋a10)＝f(1)·f(－1)＝0.。
人教版数学高二A版选修2-3单元测试第一章计数原理
第一章过关检测(时间90分钟,满分100分)一、选择题(每小题4分,共40分) 1.若A 3m ＝6C 4m ,则m 等于( )A.9B.8C.7D.62.男、女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种不同的选法,其中女生有( )A.2人或3人B.3人或4人C.3人D.4人3.若100件产品中有6件次品,现从中任取3件产品,至少有1件次品的不同取法的种数是( )A.C 16C 294B.C 16C 299C.C 3100－C 394D.C 3100－C 2944.从5位男教师和4名女教师中选出3位教师,派到3个班担任班主任(每班一位班主任),要求这三位班主任中男女教师都有,则不同的选派方案共有( ) A.210种 B.420种 C.630种 D.840种5.现有6个人分乘两辆不同的出租车,每辆车最多乘4人(不含司机),则不同的乘车方案的种数是( )A.50B.60C.70D.806.在10)3( x 的展开式中,x 6的系数为( )A.－27C 610B.27C 410C.－9C 610D.9C 4107.把1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字填入图中的表格,从上到下,从左到右,依次增大.当3、4固定在图中位置,余下的数的填法有( )A.6种B.12种C.18种D.24种8.把4个不同的小球全部放入3个不同的盒子里,使得每个盒子都不空的放法总数是( )A.C 13A 33B.C 34A 22C.C 24A 33D.C 14C 34C 229.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( ) A.10种 B.20种 C.36种 D.52种10.已知(1－3x)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9,则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|等于( ) A.29 B.49 C.39 D.1 二、填空题(每小题4分,共16分)11. 8次投篮中,投中3次,其中恰有2次连续命中的情形有______种.12.四名优等生保送到三所学校去,每所学校至少得一名,则不同的保送方案的总数是_______.13.某药品研究所研制了5种消炎药a 1,a 2,a 3,a 4,a 54种退烧药b 1,b 2,b 3,b 4,现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效实验,但又知a 1,a 2两种药必须同时使用,且a 3,b 4两种药不能同时使用,则不同的方案有_______种.14.若nx x )(13-+展开式中,第5项是常数,问中间项是第_______项.三、解答题(共44分)15.(10分)如右图,若灯不亮,则元件R 1,R 2,R 3断路的情况共有多少种?16.(10分)解关于n 的不等式:C 4n ＞C 6n .17.(12分)求84)21(xx +展开式中系数最大的项.18.(12分)“十一”国庆期间,公司从网络部抽4名人员、人事部抽3名人员(两个部门的主任都在内),从10月1号至7号,安排每人值班一天,分别回答下列问题: (1)两个部门的主任不能安排在1号和7号;(2)若各部门的人员安排不能连续(即同部门的人员相间安排); (3)若人事部因工作需要,他们的值班必须安排在连续三天; (4)网络部主任比人事部主任先值班.参考答案1解析:由m(m －1)(m －2)＝1234)3)(2)(1(6⨯⨯⨯---•m m m m ,解得m ＝7. 答案:C2解析:设女生有x 人,则30128=•-C C x x ,即302)7)(8(=•--x x x .解得x ＝2或3. 答案:A3 解析:不考虑限制条件,从100件产品中任取3件,有C 3100种取法,然后减去3件全是正品的取法C 394,故有C 3100－C 394种取法. 答案:C4解析:分两类:第一类2男1女,则不同的选派方案有C 25C 14A 33＝240种. 第二类1男2女,则不同的选派方案有C 15C 24A 33＝180种. 由分类加法计数原理得:共有240＋180＝420种不同的选派方案. 答案:B5解析:分三类:第一辆车乘2人,第二辆车乘4人,有C 26种乘法;第一、二辆车各乘3人,有C 36种乘法;第一辆车乘4人,第二辆车乘2人,有C 46种乘法,由分类加法计数原理,共有C 26＋C 36＋C 46＝50种. 答案:A6 解析:T5＝C410x10－4·(－3)4＝9·C410 x6.答案:D7解析:左上角格必须填1,右下角格必须填9,第二行最左端格必须填2,如图.A、B从余下的5,6,7,8四个数中任选两个,从左到右依次增大填入,有C24种.剩余的两个数由上到下,依次增大填入C、D即可.故共有C24＝6种不同的填法.答案:A8解析:选2个小球捆在一起看成1个元素,有C24种选法.把3个元素放入3个不同的盒中,有A33种放法.故共有C24·A33种不同的放法.答案:C9 解析:分两类:第一类2号盒内放2个球,有C24种放法(剩余的球放入1号盒内即可);第二类,2号盒内放3个小球,有C34种放法(剩余的球放入1号盒内即可).由分类加法计数原理,共有C24＋C34＝10种不同的放法.答案:A10解析:由展开式可知a1,a3,a5,a7,a9都小于0,a0,a2,a4,a6,a8都大于0,故|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＋a8－a9,只需令x＝－1即可得:(1＋3)9＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＋a8－a9＝49.答案:B11解析:将2次连续命中当作一个整体,和另一次命中插入另外5次不命中留下的6个空档里进行排列有A26种.答案:3012 解析:将其中两名学生视为一个元素,其余二名同学分别视为一个元素,然后将三个元素分配到三所学校,所以不同的保送方案的总数为C 24A 33＝36. 答案:3613解析:分3类:当取a 1,a 2时,再取退烧药有C 14种方案;取a 3时,取另一种消炎药的方法有C 12种,再取退烧药有C 13种,共有C 12C 13种方案;取a 4,a 5时,再取退烧药有C 14种方案.故共有C 14＋C 12C 13＋C 14＝14种不同的实验方案. 答案:1414解析:由通项公式可得第5项3164434414---+==n n n nxx xT C C,即n ＝16,所以中间项是第9项. 答案:915解:每个元件都有通或断两种可能,以m,n,p 表示元件的通断,m,n,p 可取值均为0(表示断),1(表示通),故所有可能情况为(m,n,p)的可能情况共有2×2×2＝8种.因为是串联电路,所以一断则断,只要排除全通的情况(m ＝1,n ＝1,p ＝1)即可,所以若灯不亮,则元件R 1,R 2,R 3断路的情况共有8－1＝7种. 16解:因为C 4n ＞C 6n ,所以⎪⎩⎪⎨⎧≥->-,6,)!6(!6!)!4(!4!n n n n n即⎩⎨⎧≥<--.6,01092n n n 所以6≤n ＜10. 又因为n ∈N *,所以满足不等式的n 的取值为{6,7,8,9}. 17 解:记第r 项系数为T r ,设第k 项系数最大,则有⎩⎨⎧≥≥+-.,11k k k k T T T T 又1182+--•=r r r C T ,那么有⎪⎩⎪⎨⎧•≥••≥•-+--+--+--,22,228118228118kk k k k k k k C C C C 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-•≥⨯-•-⨯-•-≥-•-,)!8(!!82)!9()!1(!8,2)!10()!2(!8)!9()!1(!8k k k k k k k k所以⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-.192,10211kk k k 解得3≤k≤4.所以系数最大的项为第3项257x 和第4项477x .18解:(1)第一步,在2号至6号五天中安排两名主任,有A 25种排法;第二步,剩下五人安排在剩下的五天有A 55种排法,故共有A 25·A 55＝2 400种排法.(2)两个部门的人员相间安排,先排4名网络部人员,有A 44种;然后在他们的三个空档中插入三名人事部人员,有A 33种,故共有A 44·A 33＝144种排法.(3)把人事部三个人看成一个人,再与网络部4人,有A 55种排法;人事部三个人的内部排列,有A 33种,故共有A 55·A 33＝720种排法.(4)不考虑任何限制的排法有A 77,两人中排谁先值班的可能性相同,故有52022177=A种排法.。
【高考调研】高中数学(人教a版)选修2-3：第一章-计数原理+单元测试题x
【高考调研】高中数学(人教a版)选修2-3：第一章-计数原理+单元测试题x第一章综合测试题一、选择题1．设东、西、南、北四面通往山顶的路各有?2、3、3、4?条路，只从一面上山，而从任意一面下山的走法最多，应( )A．从东边上山C．从南边上山B．从西边上山D．从北边上山2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为?y＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有( )A．7?个B．8?个?C．9?个D．10?个3．5?名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以“去”或“不去”，则第二天可能出现的不同情况的种数为( )2A．C5 B．25C．52 D．A2524．6?个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐?4?人，则不同的乘车方法数为( )A．40 B．50 C．60 D．705．在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施?6?个程序，其中程序 A?只能出现在第一步或最后一步，程序?B?和?C?实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有( )A．24?种B．48?种C．96?种D．144?种6．有甲、乙、丙三项任务，甲需?2?人承担，乙、丙各需?1?人承担，从?10?人中选派?4?人承担这三项任务，不同的选法有( )A．2?520 B．2?025 C．1?260 D．5?0408?10．已知?x－x展开式中常数项为?1120，其中实数8?10．已知?x－x展开式中常数项为?1120，其中实数?a?是常数，则展在第?3?道上，货车?B?不能停在第?1?道上，则?5?列火车的停车方法共有 ( )A．78?种B．72?种C．120?种D．96?种8．已知(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若?a0＋a1＋a2＋…＋an ＝16，则自然数?n?等于( )A．6 B．5 C．4 D．39．6?个人排队，其中甲、乙、丙?3?人两两不相邻的排法有( )A．30?种B．144?种?C．5?种D．4?种? a?? ?开式中各项系数的和是( )A．28?B．38?C．1?或?38 D．1?或?2811．有?A、B、C、D、E、F?共?6?个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个，若卡车甲不能运?A?箱，卡车乙不能运B?箱，此外无其他任何限制；要把这?6?个集装箱分配给这?3?台卡车运送，则不同的分配方案的种数为( )A．168 B．84 C．56 D．4212．从?2?名女教师和?5?名男教师中选出三位教师参加?20xx?年高考某考场的监考工作．要求一女教师在室内流动监考，另外两位教师固定在室内监考，问不同的安排方案种数为( )A．30 B．180?C．630 D．1?08013．已知(x＋2)n?的展开式中共有?5?项，则?n＝________，展开式中的常数项为________．(用数字作答)14．5?个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法有____种．15．已知(x＋1)6(ax－1)2?的展开式中含?x3?项的系数是?20，则?a?的值等于________．16．用数字?2,3?组成四位数，且数字?2,3?至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)17．某书店有?11?种杂志，2?元?1?本的?8?种，1?元?1?本的?3?种，小张用10?元钱买杂志(每种至多买一本，10?元钱刚好用完)，求不同的买法有多少种(用数字作答)．18．4?个相同的红球和?6?个相同的白球放入袋中，现从袋中取出?4?个球；若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法？9(12?分)从?1?到?6?的六个数字中取两个偶数和两个奇数组成没有重复数字的四位数．试问：(1)能组成多少个不同的四位数？(2)四位数中，两个偶数排在一起的有几个？(3)两个偶数不相邻的四位数有几个？(所有结果均用数值表示)20?已知(1＋2?x)n?的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数5的?2?倍，而且是它的后一项系数的6，试求展开式中二项式系数最大的项．21?某单位有三个科室，为实现减负增效，每科室抽调2?人，去参加再就业培训，培训后这?6?人中有?2?人返回原单位，但不回到原科室工作，且每科室至多安排?1?人，问共有多少种不同的安排方法．22．10?件不同厂生产的同类产品：(1)在商品评选会上，有?2?件商品不能参加评选，要选出?4?件商品，并排定选出的?4?件商品的名次，有多少种不同的选法？(2)若要选?6?件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？1,D2,由题意，问题的关键在于确定函数定义域的个数：第一步，先确定函数值?1?的原象：因为?y＝x2，当?y＝1?时，x＝1?或?x＝－1，为此有三种情况：即{1}，{－1}，{1，－1}；第二步，确定函数值?4?的原象，因为?y＝4?时，x＝2?或?x＝－2，为此也有三种情况：{2}，{－2}，{2，－2}．由分步计数原理，得到：3×3＝9?个．选?C.3,B,4B44 22 85C?当?A?出现在第一步时，再排?A，B，C?以外的三个程序，有?A33种，A?与?A，B44 22 8成?4?个可以排列程序?B、C?的空档，此时共有?A33A1A2种排法；当?A?出现在最后一步时的排法与此相同，故共有?2A33A1A2＝96?种编排方法．6A?先从?10?人中选出?2?人承担甲任务有?C10种选法，再从剩下的?8?人中选出2?人分别承担乙、丙任务，有?A28种选法，由分步乘法计数原理共有?C10A2＝2?520?种不同的选法．故选?A.7不考虑不能停靠的车道，5?辆车共有?5！＝120?种停法．A?停在?3?道上的停法：4！＝24(种)；B?种停在?1?道上的停法：4！＝24(种)；A、B?分别停在?3?道、1?道上的停法：3！＝6(种)．故符合题意的停法：120－24－24＋6＝78(种)．故选?A.令?x＝1，得?2n＝16，则?n＝4.故选?C.4分两步完成：第一步，其余?3?人排列有?A33种排法；第二步，从?4?个可插空档中任选?3?个给甲、乙、丙?3?人4站有?A34种插法．由分步乘法计数原理可知，一共有?A3A3＝144?种．B r 810,CTr＋1＝(－a)rC8x8－2r，令?8－2r＝0 r＝4.∴T5＝C4(－a)4＝1?120，∴a＝±2.当?a＝2?时，和为?1；当?ar 8时，和为?38.4 4 4 311,D 分两类：①甲运?B?箱，有?C1·?C2·?C2种；②甲不运?B?箱，有?C2·?C4 4 4 34 4 4 3∴不同的分配方案共有?C1·?C2·?C2＋C2·?C2·?C24 4 4 3,A?分两类进行：第一类，在两名女教师中选出一名，从?5?名男教师中选出两名，且该女教师只能在室2 5 5内流动监考，有?C1·?C2种选法；第二类，选两名女教师和一名男教师有?C2·2 5 55 2 2 5 5 2教师中选一名作为室内流动监考人员，即有?C2·?C1·?C1共?10?种选法，∴共有?C1·?C2＋C2·?5 2 2 5 5 2A13.4 16 ∵展开式共有?5?项，∴n＝4，常数项为?C4424＝16.414. 甲、乙两人之间至少有一人，就是甲、乙两人不相邻，则有?A3·?A2＝72(种)．15. 0?或?5 16,14?因4为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是?2?或?3?的情况不合题意，所以适合题意的四位数有?24－2＝14?个．17.解析分两类：第一类，买?5?本?2?元的有?C58?种；第二类，买?4?本?2?元的和?2?本?1?元的有?C48×C23种．故共有?C58＋C48×C23＝266?种不同的买法种数．18.解析依题意知，取出有?4?个球中至少有?2?个红球，可分三类：①取出的全是红球有?C44种方法；②20.解析? 由题意知展开式中第?k＋1?项系数是第?k?项系数的?2?倍，是第?k＋2?项系数的，6 4 6取出的?4?个球中有20.解析? 由题意知展开式中第?k＋1?项系数是第?k?项系数的?2?倍，是第?k＋2?项系数的，6 4 64 6 4 6理，共有?C4＋C3·?C1＋C2·?C4 6 4 6319.解析(1)四位数共有?C23C2A4＝216?个．333 3(2)上述四位数中，偶数排在一起的有?C23C2A3A2＝10833 3(3)两个偶数不相邻的四位数有?C23C2A2A2＝108?个．56∴Ckn2k＝6Ckn＋1·?2k＋ ∴?Ckn2k＝6Ckn＋1·?2k＋1， ? k k5解得?n＝7.∴展开式中二项式系数最大两项是：37T4＝C37(2?x)3＝280x2与?T5＝C4(2?x)4＝560x2.721. 6?人中有?2?人返回原单位，可分两类：2(1)2?人来自同科室：C13C1＝6?种；23 2 2 3 2 2(2)2?人来自不同科室：C2C1C1，然后?2?人分别回到科室，但不回原科室有?3?种方法，故有?3 2 2 3 2 236?种．由分类计数原理共有?6＋36＝42?种方法22.解析(1)10?件商品，除去不能参加评选的?2?件商品，剩下?8?件，从中选出?4?件进行排列，有?A48＝1?680(或8C4·?A4)(种)．8(2)分步完成．先将获金质奖章的两件商品布置在?6?个位置中的两个位置上，有?A26种方法，再从剩下的8 6 8 88?件商品中选出?4?件，布置在剩下的?4?个位置上，有?A4种方法，共有?A2·?A4＝50?400(或?C4·?8 6 8 8。
高中数学选修2-3 第一章 计数原理 章末检测题 附答案解析
高中数学选修2-3第一章计数原理章末检测题（满分150分，时间120分钟）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从n 个人中选出2个，分别从事两项不同的工作，若选派方案的种数为72，则n 的值为()A ．6B ．8C ．9D ．122．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A ．3×3!B ．3×(3！)3C ．(3！)4D ．9!3．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A ．85B ．56C ．49D ．284．从集合{0,1,2}到集合{1,2,3,4}的不同映射的个数是()A ．81B ．64C ．24D ．125．(2012·重庆卷)82x x 的展开式中常数项为()A.3516B.358C.354D ．1056．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为()A ．2B ．－1C ．0D ．17．某次文艺汇演，要将A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个不同节目编排成节目单，如下表：序号123456节目如果A 、B 两个节目相邻且都不排在3号位置，那么节目单上不同的排序方式有()A ．144种B ．192种C ．96种D ．72种8．(x ＋1)4(x －1)5的展开式中x 4的系数为()A ．－40B ．10C ．40D ．459．已知集合A ＝{5}，B ＝{1,2}，C ＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()A ．33B ．34C ．35D ．3610.如图，要给①，②，③，④四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方法种数为()A ．320B ．160C ．96D ．6011．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有()A ．240种B ．360种C ．480种D ．720种12．绍兴臭豆腐闻名全国，一外地学者来绍兴旅游，买了两串臭豆腐，每串3颗(如图)．规定：每串臭豆腐只能自左向右一颗一颗地吃，且两串可以自由交替吃．请问：该学者将这两串臭豆腐吃完，不同的吃法有()A ．6种B ．12种C ．20种D ．40种二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请把正确的答案填写在题中的横线上)13.84x x 展开式中含x 的整数次幂的项的系数之和为___________________．(用数字作答)14．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有________种．15．已知(1＋x )6(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 11x 11，那么a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝________.16．如图是由12个小正方形组成的3×4矩形网格，一质点沿网格线从点A 到点B 的不同路径之中，最短路径有________条．三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)有0,1,2,3,4,5共六个数字．(1)能组成多少个没有重复数字的四位偶数；(2)能组成多少个没有重复数字且为5的倍数的五位数．18．(本小题满分12分)已知3241nx x 展开式中的倒数第三项的系数为45，求：(1)含x 3的项；(2)系数最大的项．19．(本小题满分12分)(1)一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法？(2)一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐法？20．(本小题满分12分)设a ＞0，若(1＋ax 12)n 的展开式中含x 2项的系数等于含x 项的系数的9倍，且展开式中第3项等于135x ，那么a 等于多少？21．(本小题满分13分)带有编号1、2、3、4、5的五个球．(1)全部投入4个不同的盒子里；(2)放进不同的4个盒子里，每盒一个；(3)将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)；(4)全部投入4个不同的盒子里，没有空盒；各有多少种不同的放法？22．(本小题满分13分)杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．如图是一个11阶杨辉三角：(1)求第20行中从左到右的第4个数；(2)若第n行中从左到右第14与第15个数的比为23，求n的值；(3)求n阶(包括0阶)杨辉三角的所有数的和．参考答案一、选择题1.【解析】∵A2n＝72，∴n＝9.【答案】C2.【解析】把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．【答案】C3.【解析】分两类计算，C22C17＋C12C27＝49，故选C.【答案】C4.【解析】利用可重复的排列求幂法可得答案为43＝64(个)．【答案】B5.【解析】T r＋1＝C r8(x)8－r2rx＝12rC r8x4－r2－r2＝12rC r8x4－r，令4－r＝0，则r＝4，∴常数项为T5＝124C48＝116×70＝358.【答案】B6.【解析】(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)＝(2＋3)4×(－2＋3)4＝1.【答案】D7.【解析】第一步，将C、D、E、F全排，共有A44种排法，产生5个空，第二步，将A、B捆绑有2种方法，第三步，将A、B插入除2号空位和3号空位之外的空位，有C13种，所以一共有144种方法．【答案】A8.【解析】(x＋1)4(x－1)5＝(x－1)5(x2＋4x x＋6x＋4x＋1)，则x4的系数为C35×(－1)3＋C25×6＋C15×(－1)＝45.【答案】D9.【解析】①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12A33＝12个；②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12A33＋A33＝18个；③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13＝3个．故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33，故选A.【答案】A10.【解析】不同的涂色方法种数为5×4×4×4＝320种．【答案】A11.【解析】利用分步计数原理求解．第一步先排甲，共有A 14种不同的排法；第二步再排其他人，共有A 55种不同的排法，因此不同的演讲次序共有A 14·A 55＝480(种)．【答案】C12.【解析】方法一(树形图)：如图所示，先吃A 的情况，共有10种，如果先吃D ，情况相同，所以不同的吃法有20种．方法二：依题意，本题属定序问题，所以有A 66A 33·A 33＝20种．【答案】C 二、填空题13.【解析】∵384418841rrr r r r T Cx C xx --+==，当r ＝0,4,8时为含x 的整数次幂的项，所以展开式中含x 的整数次幂的项的系数之和为C 08＋C 48＋C 88＝72.【答案】7214.【解析】满足题设的取法分三类：①四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数中任取4个，有C 45＝5(种)；②两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数中任取2个，有C 25·C 24＝60(种)；③四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种．所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种)．【答案】6615.【解析】令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－64；∴a 1＋a 2＋…＋a 11＝－65.【答案】－6516.【解析】把质点沿网格线从点A 到点B 的最短路径分为七步，其中四步向右，三步向下，不同走法的区别在于哪三步向下，因此，本题的结论是：C 37＝35.【答案】35三、解答题17.【解析】(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类，0在个位时有A 35个；第二类，2在个位时有A 14A 24个；第三类，4在个位时有A 14A 24个．由分类加法计数原理知，共有四位偶数A 35＋A 14A 24＋A 14A 24＝156个．(2)五位数中5的倍数可分为两类：第一类，个位上的数字是0的五位数有A 45个，第二类，个位上的数字是5的五位数有A 14A 34个．故满足条件的五位数有A 45＋A 14A 34＝216(个)．18.【解析】(1)由题设知C n －2n ＝45，即C 2n ＝45，∴n ＝10.则21011130341211010r r r r r r T C x x C x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令11r －3012＝3，得r ＝6，含x 3的项为T 7＝C 610x 3＝C 410x 3＝210x 3.(2)系数最大的项为中间项，即T 6＝C 510x55－3012＝252x 2512.19.【解析】(1)先将3人(用×表示)与4张空椅子(用□表示)排列如图(×□□×□□×)，这时共占据了7张椅子，还有2张空椅子，一是分开插入，如图中箭头所示(↓×□↓□×□↓□×↓)，从4个空当中选2个插入，有C 24种插法；二是2张同时插入，有C 14种插法，再考虑3人可交换有A 33种方法．所以，共有A 33(C 24＋C 14)＝60(种)．(2)可先让4人坐在4个位置上，有A 44种排法，再让2个“元素”(一个是两个作为一个整体的空位，另一个是单独的空位)插入4个人形成的5个“空当”之间，有A 25种插法，所以所求的坐法为A 44·A 25＝480(种)．20.【解析】T r ＋1＝C r n (ax 12)r ＝C r n a r x r 2，∴4422229135nnn C a C a C a x x⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴()()()()()22123914!211352n n n n n n a n n a ⎧----=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，即()()()22231081270n n a n n a ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，∴(n －2)(n －3)n (n －1)＝25.∴3n 2－23n ＋30＝0.解得n ＝53(舍去)或n ＝6，a2＝27030＝9，又a＞0，∴a＝3.21.【解析】(1)由分步计数原理知，五个球全部投入4个不同的盒子里共有45种放法．(2)由排列数公式知，五个不同的球放进不同的4个盒子里(每盒一个)共有A45种放法．(3)将其中的4个球投入一个盒子里共有C45C14种放法．(4)全部投入4个不同的盒子里(没有空盒)共有C25A44种不同的放法．22.【解析】(1)C320＝1140.(2)C13nC14n＝23⇒14n－13＝23，解得n＝34.(3)1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1.。
(必考题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试(包含答案解析)
一、选择题1．西大附中为了增强学生对传统文化的继承和发扬，组织了一场类似《诗词大会》的PK 赛，A 、B 两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK ，除第三局胜者得2分外，其余各胜者均得1分，每局的负者得0分．假设每局比赛A 队选手获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率为（ ） A ．2027B ．5281C ．1627D ．792．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ．5108B ．113C ．17D ．7103．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) A ．85B ．65C ．45D ．254．连续投掷2粒大小相同，质地均匀的骰子3次，则恰有2次点数之和不小于10的概率为（ ） A ．112B ．572C ．115D ．52165．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为0.4，乙每次投篮命中的概率为0.6，而且不受其他次投篮结果的影响.设投篮的轮数为X ，若甲先投，则()P X k =等于（ ） A ．10.60.4k -⨯B ．10.240.76k -⨯C ．10.40.6k -⨯D ．10.760.24k -⨯6．已知随机变量X 服从正态分布()100,4N ，若()1040.1359P m X <<=，则m 等于 （ ）[附：()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=] A ．100B ．101C ．102D ．D ．1037．随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝2，则D (2X －3)＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58．已知在5件产品中混有2件次品，现需要通过逐一检测直至查出2件次品为止，每检测一件产品的费用是10元，则所需检测费的均值为（ ）A ．32元B ．34元C ．35元D ．36元9．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055 ，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19 . 现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ） A ．67B ．335C ．1135D ．0.1910．口袋中装有大小、轻重都无差别的5个红球和4个白球，每一次从袋中摸出2个球，若颜色不同，则为中奖每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，则3次摸球恰有1次中奖的概率为（ ）． A ．80243B ．100243C ．80729D ．10072911．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落A 袋中的概率为（ ）．A ．18B ．14C ．38D ．3412．甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布()()221122,,,N N μδμδ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．甲类水果的平均质量10.4kg μ=B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D ．乙类水果的质量服从正态分布的参数2 1.99δ=二、填空题13．若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的6个小球，其中红球有2个，白球有4个，每次取两个，取后放回，连续取三次，设随机变量ξ表示取出后都是白球的次数，则()E ξ=______ ．14．已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，若(3)0.0442P ξ>=，则(13)P ξ≤≤=________．15．（理）设随机变量ξ的概率分布律如下表所示：x0 1 2()P x ξ= abc其中a ，b ，c 成等差数列，若随机变量ξ的均值为43，则ξ的方差为__________． 16．如图所示，旋转一次的圆盘，指针落在圆盘中3分处的概率为a ，落在圆盘中2分处的概率为b ，落在圆盘中0分处的概率为c ，（,,(0,1)a b c ∈），已知旋转一次圆盘得分的数学期望为1分，则213a b+的最小值为________.17．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3:1的比分获胜的概率为______． 18．中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布()210000,10N ，且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为______台.19．已知随机变量X ～B (10，0.2)，Y ＝2X ＋3，则EY 的值为____________. 20．已知随机变量2~(1,)N ξσ，且(1)0.1P ξ≤-=，(23)0.15P ξ≤≤=，则(02)P ξ≤≤=_______.三、解答题21．设甲、乙两位同学上学期间，每天7:10之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（1）用X 表示甲同学上学期间的每周五天中7:10之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7:10之前到校的天数比乙同学在7:10之前到校的天数恰好多3天”为事件M ，求事件M 发生的概率. 22．某射手每次射击击中目标的概率均为23，且各次射击的结果互不影响． （1）假设这名射手射击3次，求至少2次击中目标的概率；（2）假设这名射手射击3次，每次击中目标得10分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中目标，而另外1次未击中目标，则额外加5分；若3次全部击中，则额外加10分．用随机变量ζ表示射手射击3次后的总得分，求ζ的分布列和数学期望． 23．某大型电器企业，为了解组装车间职工的生活情况，从中随机抽取了100名职工进行测试，得到频数分布表如下：（1）现从参与测试的日组装个数少于175的职工中任意选取3人，求至少有1人日组装个数少于165的概率；（2）由频数分布表可以认为，此次测试得到的日组装个数Z 服从正态分布(),169N μ，μ近似为这100人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.（i ）若组装车间有20000名职工，求日组装个数超过198的职工人数；（ii ）为鼓励职工提高技能，企业决定对日组装个数超过185的职工日工资增加50元，若在组装车间所有职工中任意选取3人，求这三人增加的日工资总额的期望.附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9973P X μσμσ-<<+=.24．在湖北新冠疫情严重期间，我市响应国家号召，召集医务志愿者组成医疗队驰援湖北.某医院有2名女医生，3名男医生，3名女护士，1名男护士报名参加，医院计划从医生和护士中各选2名参加医疗队.（1）求选出的4名志愿全是女性的选派方法数；（2）记X 为选出的4名选手中男性的人数，求X 的概率分布和数学期望.25．某单位选派甲､乙､丙三人组队参加知识竞赛，甲､乙､丙三人在同时回答一道问题时，已知甲答对的概率是34，甲､丙两人都答错的概率是112，乙､丙两人都答对的概率是14，规定每队只要有一人答对此题则该队答对此题．（1）求该单位代表队答对此题的概率；（2）此次竞赛规定每队都要回答10道必答题，每道题答对得20分，答错得10-分．若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其他题没有影响，求该单位代表队必答题得分的均值(精确到1分)．26．推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节．为了解居民对垃圾分类的了解程度某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如表：（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试试估计其得分不低于60分的概率：（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，现从这10人中随机抽取3人作为环保宣传队长，设3人中男性队长的人数为ξ，求ξ的分布列和期望．附：22(),() ()()()()n ad bcK n a b c da b c d a c b d-==+++++++．临界值表：【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的情况有3种：A 全胜；A 三胜一负、A 第三局胜，另外三局一胜两负.利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的情况有3种：A 全胜；A 三胜一负、A 第三局胜，另外三局一胜两负.所以，比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率为43232432212122033333327P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅+⋅⋅=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查概率的求解，考查独立重复试验概率的求解，考查计算能力，属于中等题.2．B解析：B 【分析】根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】3311166617()216A P AB C C C +==，11155561116691()1216C C C P B C C C =-=()()()72161|2169113P AB P A B P B ∴==⨯= 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.3．B解析：B 【分析】由题意知，3~(5,)3X B m +，由3533EX m =⨯=+，知3~(5,)5X B ，由此能求出()D X ．【详解】由题意知，3~(5,)3X B m +， 3533EX m ∴=⨯=+，解得2m =， 3~(5,)5X B ∴，336()5(1)555D X ∴=⨯⨯-=．故选：B ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．4．B解析：B 【分析】基本事件总数n ＝6×6＝36，利用列举法求出出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有6个，由此能求出一次出现向上的点数之和不小于10的概率，再结合独立重复试验的概率公式求解即可． 【详解】连续投掷2粒大小相同，质地均匀的骰子1次， 基本事件总数n ＝6×6＝36，出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共有6个， ∴每次投掷，两骰子点数之和不小于10的概率为16， 又投掷3次，相当于3次独立重复试验，故恰有两次点数之和不小于10的概率为2231556672C ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题考查独立重复试验的概率的求法，考查古典概型概率计算公式、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5．B解析：B 【分析】由题意知甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，甲投篮的次数为X ，甲先投，则X k =表示甲第k 次甲投中篮球，而乙前1k -次没有投中，甲前1k -次也没有投中或者甲第k 次未投中，而乙第k 次投中篮球，根据公式写出结果． 【详解】甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响，∴本题是一个相互独立事件同时发生的概率，每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，甲投篮的次数为X ，甲先投，则X k =表示甲第k 次投中篮球，而甲与乙前1k -次没有投中，或者甲第k 次未投中，而乙第k 次投中篮球． 根据相互独立事件同时发生的概率得到甲第k 次投中的概率：1110.40.60.40.240.4k k k ---⨯⨯=⨯；第k 次甲不中的情况应是10.40.60.6k k -⨯⨯，故总的情况是1110.240.40.240.60.60.240.76k k k ---⨯+⨯⨯=⨯． 故选B ． 【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，是一个基础题，本题最大的障碍是理解X k =的意义，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式．6．C解析：C 【分析】 由()()0.1322259P X P X μσμσμσμσ-<<+--<<+=，再根据正态分布的对称性，即可求解. 【详解】由题意，知()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<<+=-<<+=， 则()()220.95440.682620.13592P X P X μσμσμσμσ-<<+--<<+-==，所以要使得()1040.1359P m X <<=，则102m =，故选C. 【点睛】本题主要考查了正态分布的应用，其中解答中熟记正态分布的对称性，以及概率的计算方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．C解析：C 【解析】1111632p =--=，111()0223623E X a a =⨯+⨯+⨯=⇒=∴222111()(02)(22)(32)1623D X =-⨯+-⨯+-⨯=∴2(23)2()4D X D X -==点晴：本题考查的是离散型随机变量的期望,方差和分布列中各个概率之间的关系.先根据概率之和为1，求出p 的值，再根据数学期望公式，求出a 的值，再根据方差公式求出D （X ），继而求出D （2X-3）．解决此类问题的关键是熟练掌握离散型随机变量的分布列与数学期望．8．C解析：C 【解析】 【分析】随机变量X 的可能取值为20,30,40，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X 的数学期望. 【详解】X 的可能取值为20,30,40，()222521202010A P X A ====；()311232323562323306010A C C A P X A +⋅⋅+⨯⨯====； ()()()1334012030110105P X P X P X ==-=-==--=，数学期望2030403510105EX =⨯+⨯+⨯=， 即需检测费的均值为35，故选C. 【点睛】本题主要考查组合的应用、古典概型概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先正确要理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.9．A解析：A 【解析】分析：首先设出题中的事件，然后由题意结合条件概率公式整理计算即可求得最终结果. 详解：设事件A 为48h 发病，事件B 为72h 发病， 由题意可知：()()0.055,0.19P A P B ==， 则()()0.945,0.81P A P B ==， 由条件概率公式可得：()()()()()0.816|0.9457P AB P B P B A P A P A ====. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查条件概率公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．A解析：A 【解析】每次摸球中奖的概率为114529C C 2059C 36==，由于是有放回地摸球，故3次摸球相当于3次独立重复实验，所以3次摸球恰有1次中奖的概率2135580C 199243P ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭． 故选A ．点睛:判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①是否为n 次独立重复试验，在每次试验中事件A 发生的概率是否均为p ；②随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，且()()1n kk kn p X k C p p -==-表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率．11．D解析：D 【解析】由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时，小球将落入A 袋，所以22123311113()C 1C 122224P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-+⋅⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选D ． 12．D解析：D由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg ，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg ，故A ，B ，C ，正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2，故D 不正确．故选D ．二、填空题13．【分析】计算出从袋中随机抽取两个球都是白球的概率可知然后利用二项分布的期望公式可计算出的值【详解】从袋中随机抽取两个球都是白球的概率为由题意可知由二项分布的期望公式得故答案为：【点睛】本题考查二项分解析：65【分析】计算出从袋中随机抽取两个球都是白球的概率p ，可知()3,B p ξ，然后利用二项分布的期望公式可计算出()E ξ的值. 【详解】从袋中随机抽取两个球都是白球的概率为242625C p C ==，由题意可知，23,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，由二项分布的期望公式得()26355E ξ=⨯=.故答案为：65. 【点睛】本题考查二项分布期望的计算，解题时要弄清随机变量满足的分布列类型，考查计算能力，属于中等题.14．4558【分析】随机变量服从正态分布根据对称性可求得的值再根据概率的基本性质可求得【详解】因为所以故所以故答案为：04558【点睛】本题考查了正态分布曲线的对称性属于基础题解析：4558 【分析】随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，(3)0.0442P ξ>=，根据对称性可求得(1)P ξ<-的值，再根据概率的基本性质，可求得(13)P ξ≤≤. 【详解】因为(3)0.0442P ξ>=， 所以(1)0.0442P ξ<-=，故(13)1(3)(1)0.9116P P P ξξξ-≤≤=->-<-=． 所以(13)0.4558P ξ≤≤=． 故答案为：0.4558.本题考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题.15．【分析】根据题意已知成等差数列随机变量的均值为列出方程组得由此能求出【详解】解：由随机变量的概率分布律得：①因为成等差数列所以②而随机变量的均值为则③联立①②③得所以故答案为：【点睛】本题考查方差的解析：59【分析】根据题意，已知a ，b ，c 成等差数列，随机变量ξ的均值为43，列出方程组，得16a =，13b =，12c =，由此能求出()D ξ． 【详解】解：由随机变量ξ的概率分布律得：1a b c ++=，① 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b a c =+，② 而随机变量ξ的均值为43，则 40123a b c ⨯+⨯+⨯=，③联立①②③，得16a =，13b =，12c =， 所以2224141415012363()(3329()))(D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=． 故答案为：59． 【点睛】本题考查方差的求法，以及离散型随机变量的分布列、等差数列的性质等基础知识.16．【分析】由数学期望可得再结合基本不等式求解即可【详解】解：由分布列知：又∴当且仅当即时取等号故答案为：【点睛】本题考查了数学期望的求法重点考查了基本不等式的应用属基础题解析：323. 【分析】由数学期望可得231b a +=，再结合基本不等式求解即可. 【详解】解：由分布列知：()1,2301a b c E x b a c ++==++⨯=， 又,(0,1)a b ∈∴212124202032()(32)64333333b a a b a b a b a b +=++=+++≥+=+=. 当且仅当4b aa b =，即11,48a b ==时取等号， 故答案为：323. 【点睛】本题考查了数学期望的求法，重点考查了基本不等式的应用，属基础题.17．【分析】前三局乙获胜一场计算得到概率【详解】根据题意知：前三局乙获胜一场故故答案为：【点睛】本题考查了概率的计算意在考查学生的理解应用能力 解析：827【分析】前三局，乙获胜一场，计算得到概率. 【详解】根据题意知：前三局，乙获胜一场，故3131283327p C ⎛⎫=⨯⨯=⎪⎝⎭ 故答案为：827【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的理解应用能力.18．375【分析】先求得元件和并联电路正常工作的概率乘以元件正常工作的概率由此求得部件正常工作超过小时的概率利用二项分布均值计算计算公式计算出台仪器中该部件的使用寿命超过小时的平均值【详解】由正态分布可解析：375 【分析】先求得元件1和2并联电路正常工作的概率，乘以元件3正常工作的概率，由此求得部件正常工作超过10000小时的概率.利用二项分布均值计算计算公式，计算出1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值. 【详解】由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为12，则部件正常工作超过10000小时的概率为21131228⎡⎤⎛⎫-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又1000台仪器的该部件工作服从二项分布，所以平均值为310003758⨯=台.故答案为：375 【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查二项分布的识别和二项分布期望的计算，属于基础题.19．7【解析】【分析】先根据二项分布得EX 再根据Y ＝2X ＋3得EY=2EX+3即得结果【详解】因为X ～B(1002)所以EX=10×02=2因此EY=2EX+3=7【点睛】本题考查二项分布期望公式考查基解析：7 【解析】 【分析】先根据二项分布得EX ，再根据Y ＝2X ＋3得 EY=2EX+3,即得结果. 【详解】因为X ～B (10，0.2)，，所以EX =10×0.2=2，因此EY=2EX+3=7. 【点睛】本题考查二项分布期望公式，考查基本求解能力.20．【解析】【分析】利用随机变量关于对称结合已知求出结果【详解】随机变量满足图象关于对称则故答案为【点睛】本题考查了正态分布由正态分布的对称性即可计算出结果 解析：0.5【解析】 【分析】利用随机变量()2~1N ξσ，，关于1x =对称，结合已知求出结果【详解】随机变量满足()2~1N ξσ，，∴图象关于1x =对称()10.1P ξ≤-=，()30.1P ξ∴≥=则()()()120.5?23?30.50.150.10.25P P P ξξξ≤≤=-≤≤-≥=--= ()020.5P ξ∴≤≤=故答案为0.5 【点睛】本题考查了正态分布，由正态分布的对称性即可计算出结果三、解答题21．（1）分布列见解析，10()3E X =；（2）802187. 【分析】（1）先根据已知条件分析出X 服从二项分布，再利用二项分布概率计算公式求出相应概率，即可求出其分布列与数学期望；（2）先分析出乙同学7:10之前到校的天数Y 也服从二项分布，再根据互斥事件与相互独立事件的概率计算公式求概率即可. 【详解】（1）因为甲同学上学期间的五天中到校情况相互独立，且每天7:10之前到校的概率为23， 所以2(5,)3XB ，从而5521()()()33k k kP X k C -==，0,1,2,3k =，所以，随机变量X 的分布列为：所以()533E X =⨯=； （2）设乙同学上学期间的五天中7:10之前到校的天数为Y ，则2(5,)3Y B ，且事件{}{}{}3,04,15,2M X Y X Y X Y =======，由题意知，事件{}{}{}3,0,4,1,5,2X Y X Y X Y ======之间互斥，且X 与Y 相互独立， 由（1）可得8018010324080()2432432432432432432187P M =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】该题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 22．（1）2027；（2）分布列见解析，2209E ζ=． 【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率；（2）由题意可知，随机变量ζ的可能取值有0、10、20、25、40，计算出随机变量ζ在不同取值下的概率，可得出随机变量ζ的分布列，由此可求得随机变量ζ的数学期望值. 【详解】（1）设X 为射手3次射击击中目标的总次数，则23,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭．故()()()23233322220223133327P X P X P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥==+==⋅⋅-+⋅=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，所求概率为2027；（2）由题意可知，ζ的所有可能取值为0、10、20、25、40，用()1,2,3i A i =表示事件“第i 次击中目标”，则()()31100327P P X ζ⎛⎫===== ⎪⎝⎭，()()2132221011339P P X C ζ⎛⎫====⋅⋅-= ⎪⎝⎭， ()()12321242033327P P A A A ζ===⨯⨯=，()()()82522027P P X P ζζ===-==， ()()328403=327P P X ζ⎛⎫==== ⎪⎝⎭．故ζ的分布列如下表所示：因此，随机变量的数学期望为1648822001020254027272727279E ζ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查利用独立重复试验的概率公式计算事件的概率，同时也考查了随机变量分布列与数学期望的求解，考查计算能力，属于中等题. 23．（1）149204（2）（i ）3173人（ii ）75 【分析】（1）利用对立事件公式结合古典概型求解（2）（i ）先求平均数185μ=，结合σ公式求得()10.68271980.158652P X ->==，再求人数；（ii ）先由正态分布得日组装个数为185以上的概率为0.5.设三人中日组装个数超过185个的人数为ξ，增加的日工资总额为η，得到ξ服从二项分布，由50ηξ=求得期望【详解】（1）设至少有1人日组装个数少于165为事件A ，则()3123181491204C P A C =-=，（2）1606170121803419030200102108185100X ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（个）又2169σ=，所以13σ=，所以185μ=，13σ=， 所以198μσ+=.（i ）()10.68271980.158652P X ->==， 所以日组装个数超过198个的人数为0.15865200003173⨯=（人）（ii ）由正态分布得，日组装个数为185以上的概率为0.5.设这三人中日组装个数超过185个的人数为ξ，这三人增加的日工资总额为η，则50ηξ=，且()~3,0.5B ξ，所以()30.5 1.5E ξ=⨯=，所以()()5075E E ηξ==. 【点睛】本题考查古典概型，考查正态分布的概率，考查二项分布，考查转化化归能力，其中确定人数与工资总额的函数关系是关键，是中档题 24．（1）3（2）详见解析 【分析】（1）选出的4名志愿全是女性，则从2名女医生选2人有22C 种选法，从3名女护士选2人有23C 选法，根据乘法原理可得答案.（2）由题意有X 的取值可能为0,1,2,3，再分别计算出X 取各个值的概率，列出分布列，求出期望即可. 【详解】解：（1）从2名女医生选2人有22C 种选法，从3名女护士选2人有23C 选法 则选出的4名志愿全是女性有22233C C ⋅=种不同的选法. 所以选出的4名志愿全是女性的选派方法数有3种， （2）X 的取值可能为0,1,2,3()222322541020C C P X C C ===，()11221132323122547120C C C C C C P X C C +===， ()22111133323122549220C C C C C C P X C C +===， ()21133122543320C C C P X C C ===，列表如下：∴()01232020202010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查组合问题和求概率分布列以及数学期望，求概率分布列先要弄清楚随机变量的取值情况，准确求出其对应的概率时关键，属于中档题. 25．（1）9196（2）184 【分析】（1）根据已知条件列方程组解得甲、乙、丙答对的概率，再根据对立事件的概率公式可求得结果；（2）记X 为该单位代表队必答题答对的道数，Y 为必答题的得分，则91~10,96X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30100Y X =-，根据二项分布的期望公式以及期望的性质可得结果.【详解】（1）记甲､乙､丙分别答对此题为事件A ，B ，C ， 由已知，得3()4P A =，1[1()][1()]12P A P C --=， 2()3P C ∴=．又13()(),()48P B P C P B =∴=． ∴该单位代表队答对此题的概率为：332911[1()][1()][1()]111148396P P A P B P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=--⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（2）记X 为该单位代表队必答题答对的道数，Y 为必答题的得分，则91~10,96X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，91455()109648E X ∴=⨯=． 而()20101030100Y X X X =-⨯-=-，4551475()30()10030100184488E Y E X ∴=-=⨯-=≈． 【点睛】本题考查了对立事件的概率公式和独立事件的乘法公式，考查了二项分布的期望，属于中档题. 26．（1）35p =；（2）列联表见解析，有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关；（3）分布列见解析，()95E ξ= 【分析】（1）直接根据频率分布表得到答案.（2）根据频率分布表得到列联表，计算2 5.542 3.841K ≈>得到答案. （3）ξ的可能取值为0,1,2,3，计算概率得到分布列，计算数学期望得到答案. 【详解】（1）根据频率分布表：24021010050310005p +++==.（2）根据频率分布表得到列联表：故()221000250270150330 5.542 3.841400600580420K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关.90人，女性有60人， 故抽取男性901069060⨯=+人，抽取女性601049060⨯=+人，故ξ的可能取值为0,1,2,3，()343101030C p C ξ===；()21463103110C C p C ξ⋅===；()1246310122C C p C ξ⋅===；()36310631C p C ξ===.故分布列为：故()01233010265ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=E . 【点睛】本题考查了概率的计算，独立性检验，分布列和数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.。
数学选修2-3第一章计数原理习题集（附答案解析）
第 1 页 共15 页 选修2-3 第一章章节习题集1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一、课时过关·能力提升1.某校举办了一次教师演讲比赛,参赛的语文老师有20人,数学老师有8人,英语老师有4人,从中评选出一个冠军,则可能的结果种数为( ) A.12B.28C.32D.640解析:由分类加法计数原理得,冠军可能的结果种数为4+8+20=32. 答案:C2.如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( ) A .60B .48C .36D .24解析:长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6=36个,另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2=12个,共36+12=48个,故选B . 答案:B3.某人有3个不同的电子邮箱,他要发5封电子邮件,不同发送方法的种数为( )A.8B.15C.35D.53 解析:每封电子邮件都有3种不同的发送方法,共有35种不同的发送方法. 答案:C4.已知直线方程Ax+By=0,若从0,1,2,3,5,7这6个数字中每次取两个不同的数作为A ,B 的值,则可表示出的不同直线的条数为( ) A.19B.20C.21D.22解析:当A 或B 中有一个为零时,则可表示出2条不同的直线;当AB ≠0时,A 有5种选法,B 有4种选法,则可表示出5×4=20条不同的直线.由分类加法计数原理知,共可表示出20+2=22条不同的直线. 答案:D5.五名护士上班前将外衣放在护士站,下班后回护士站取外衣,由于灯光暗淡,只有两人拿到了自己的外衣,另外三人拿到别人外衣的情况有( ) A.60种B.40种C.20种D.10种解析:设五名护士分别为A,B,C,D,E.其中两人拿到自己的外衣,可能是AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE 共10 种情况,假设A,B 两人拿到自己的外衣,则C,D,E 三人不能拿到自己的外衣,则只有C 取D,D 取E,E 取C,或C 取E,D 取C,E 取D 两种情况.故根据分步乘法计数原理,应有10×10×2=202=20种情况. 答案:C6.将4位老师分配到3个学校去任教,共有分配方案( ) A .81种B .12种C .7种D .256种解析:每位老师都有3种分配方案,分四步完成,故共有3×3×3×3=81种. 答案:A7.从6名志愿者中选4人分别从事翻译、人分别从事翻译、导游、导游、导游、导购、导购、导购、保洁四项不同的工作保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有( ) A .280种 B .240种 C .180种D .96种解析:由于甲、乙不能从事翻译工作,因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人,有4种选法.后面三项工作的选法有5×4×3种,因此共有4×5×4×3=240种,故选B 答案:B8.用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的四位数,比3 542大的四位数的个数是( ) A .360B .240C .120D .60解析:因为3 542是能排出的四位数中千位为3的最大的数,所以比3 542大的四位数的千位只能是4或5,所以共有2×5×4×3=120个比3 542大的四位数. 答案:C9.圆周上有2n 个等分点(n 大于2),任取3点可得一个三角形,恰为直角三角形的个数为 .解析:先在圆周上找一点,因为有2n 个等分点,所以应有n 条直径,不经过该点的直径应有(n-1)条,这(n-1)条直径都可以与该点形成直角三角形,一个点可以形成(n-1)个直角三角形,而这样的点有2n 个,所以一共有2n (n-1)个符合题意的直角三角形. 答案:2n (n-1)10.如图所示,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网络联系,连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点A 向结点B 传递信息,信息可以分开沿不同路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为 .解析:由题图可知,从A 到B 有4种不同的传递路线,各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下分别为3,4,6,6,由分类加法计数原理得,单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19. 答案:1911.三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被传给甲,则共有种不同的传递方法.解析:分两类:第一类,若甲先传给乙,则有:甲→乙→甲→乙→甲,甲→乙→甲→丙→甲,甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法;同理,第二类,甲先传给丙,也有3种不同的传法.共有6种不同的传递方法. 答案:612.如图,一只蚂蚁沿着长方体的棱,从顶点A 爬到相对顶点C 1,求其中经过3条棱的路线共有多少条?解:从总体上看有三类方法:分别经过AB,AD,AA1从局部上看每一类又需分两步完成,故第一类:经过AB,有m1=1×2=2条;第二类:经过AD,有m2=1×2=2条;第三类:经过AA1,有m3=1×2=2条.根据分类加法计数原理,从顶点A到顶点C1经过3条棱的路线共有N=2+2+2=6条.13.用n种不同颜色的彩色粉笔写黑板报,板报设计如图所示,要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔.当n=6时,该板报有多少种书写方案?解:第一步选英语角用的彩色粉笔,有6种不同的选法;第二步选语文学苑用的彩色粉笔,不能与英语角用的颜色相同,有5种不同的选法;第三步选理综视界用的彩色粉笔,与英语角和语文学苑用的颜色都不能相同,有4种不同的选法;第四步选数学天地用的彩色粉笔,只需与理综视界的颜色不同即可,有5种不同的选法.共有6×5×4×5=600种不同的书写方案.14.用0,1,0,1,……,9这十个数字,可以组成多少个满足下列条件的数?(1)三位整数;(2)无重复数字的三位整数;(3)小于500的无重复数字的三位整数;(4)小于100的无重复数字的自然数.解:由于0不能放到首位,可以单独考虑.(1)百位上有9种选择,十位和个位各有10种选法由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是9×10×10=900.(2)由于数字不可重复,可知百位数字有9种选择,十位数字也有9种选择,但个位数字仅有8种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是9×9×8=648.(3)百位数字只有4种选择,十位数字有9种选择,个位数字有8种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是4×9×8=288.(4)小于100的自然数可以分为一位和两位自然数两类.一位自然数:10个.两位自然数:十位数字有9种选择,个位数字也有9种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的两位数的个数是9×9=81.由分类加法计数原理知,适合题意的自然数的个数是10+81=91.1.2 排列与组合1.2.1 排列一、课时过关·能力提升1.从集合{3,5,7,9,11}中任取两个元素,①相加可得多少个不同的和?②相除可得多少个不同的商?③作为椭圆=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程?④作为双曲线=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程?上面四个问题属于排列问题的是( )A.①②③④B.②④C.②③D.①④解析:∵加法满足交换律,∴①不是排列问题;∵除法不满足交换律,如,∴②是排列问题;若方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则必有a>b,a,b的大小一定;在双曲线=1中不管a>b还是a<b,方程均表示焦点在x轴上的双曲线,且是不同的双曲线.故③不是排列问题,④是排列问题.答案:B2.某年级一天有6节课,需要安排6门课程,则该年级一天的课程表的排法有( )A.66种B.36种C.种D.12种解析:本题相当于对6个元素进行全排列,故有种排法.答案:C3.设m∈N*,则乘积m(m+1)(m+2)2)……(m+20)可表示为 ( )A. B. C. D.解析:由排列数公式,=(m+20)(m+19)(m+18)…(m+1)m.答案:D4.某会议室共有8个座位,现有3人就座,若要求每人左右均有空位,则不同的坐法有( )A.12种B.16种C.24种D.32种解析:将三个人插入五个空位中间的四个空当中,有=24种坐法.答案:C5.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )A.8B.24C.48D.120解析:个位数字有种排法,十位、百位、千位有种排法,从而共=48个不同的四位偶数答案:C6.要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单,如果舞蹈节目不排在开头,并且任意两个舞蹈节目不排在一起,则不同的排法种数是( )A. B. C. D.解析:第一步先排5个独唱节目共种;第二步排舞蹈,不相邻则用插空法,且保证不放到开头,从剩下5个空中选3个插空共有种,故一共有种.答案:C7.5名男生与2名女生排成一排照相,若男生甲必须站在中间,2名女生必须相邻,则符合条件的排法共有( )A.48种B.192种C.240种D.288种解析:(用排除法)将2名女生看作1人,与4名男生一起排队,有种排法,而女生可互换位置,所以共有种排法,男生甲插入中间位置,只有一种插法;而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有种,这时男生甲若插入中间位置不符合题意,故符合题意的排列总数为=192.答案:B8.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从2,3,4,5,6,9这六个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有 ( )A.120个B.80个C.40个D.20个解析:由题意知可按十位数字的取值进行分类:第一类,十位数字取9,有个;第二类,十位数字取6,有个;第三类,十位数字取5,有个;第四类,十位数字取4,有个.所以一共有=40个.答案:C9.张先生和王先生两对夫妇各带1名小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两名小孩一定要排在一起,则这6人的入园排法共有 .解析:分三步完成:第1步,将两位爸爸排在两端,有种排法;第2步,将两名小孩看作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置,有种排法;第3步,两个小孩之间还有种排法.因此,这6人的入园排法共有=24种.答案:24种10.某校在高二年级开设选修课,其中数学选修班开了4个,选课结束后,有四名选修英语的同学甲、乙、丙、丁要求改修数学,为照顾各班平衡,数学选修班每班只接收1名改修数学的同学.那么甲不在(1)班,乙不在(2)班的分配方法有 .解析:先分甲,第一类,当甲在(2)班时,分配乙、丙、丁有种方法.第二类,当甲不在(2)班时,则甲有种分法,再分乙有种分法,分配丙、丁有种分法.因此,总共有=14种分法.答案:14种11.用1,2,3,4,5,6,7排成无重复数字的七位数,按下述要求各有多少个?(1)偶数不相邻;(2)偶数一定在奇数位上;(3)1和2之间恰好夹有一个奇数,没有偶数.解:(1)用插空法,共有=1 440个.(2)先把偶数排在奇数位上有种排法,再排奇数有种排法共有=576个.(3)1和2排列有种方法,在1和2之间放一个奇数有种方法,把1,2和相应奇数看成整体再和其余4个数进行排列有种排法,故共有=720个.12.一条铁路线上原有n个车站,为适应客运需要,新增加了m个车站(m>1),客运车票增加了62种,则原有多少个车站?现在有多少个车站?解:∵原有n个车站,∴原有客运车票种.又现有(n+m)个车站,∴现有客运车票种.由题设知:=62,∴(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62,∴2mn+m2-m=62,∴n=(m-1)>0,∴(m-1),∴62>m(m-1),即m2-m-62<0.又∵m>1,∴1<m<,∴1<m≤8.当m=2时,n=15.当m=3,4,5,6,7,8时,n均不为整数.∴n=15,m=2.∴原有车站15个,现有车站17个.1.2.2 组合一、课时过关·能力提升1.某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有( )A.45种B.56种C.90种D.120种解析:用排除法,不同的选法种数为=45.答案:A2.氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一,某肽链由7种不同的氨基酸构成,若只改变其中3种氨基酸的位置,其他4种不变,则不同的改变方法的种数为 ( )A.210B.126C.70D.35解析:从7种中取出3种有=35种取法,比如选出a,b,c种,再都改变位置有b,c,a和c,a,b两种,故不同的改变方法有2×35=70种.答案:C3.有15盏灯,要求关掉6盏,且相邻的灯不能全关掉,两端的灯不能关掉,则不同的关灯方法有( )A.28种B.84种C.180种D.360种解析:将9盏灯排成一排,关掉的6盏灯插入9盏亮灯的中间8个空隙中的6个空隙中,有=28种方法.答案:A4.某科技小组有6名学生,现从中选出3人去参加展览,至少有1名女生入选的不同选法有16种,则该小组中的女生人数为( )A.2B.3C.4D.5解析:设男生有x人,则女生有(6-x)人.依题意得=16,即x(x-1)(x-2)+16×6=6×5×4.解得x=4,故女生有2人.答案:A5.中小学校车安全引起社会的关注,为了彻底消除校车安全隐患,某市购进了50台完全相同的校车,准备发放给10所学校,每所学校至少2台,则不同的发放方案种数为( )A. B.C. D.解析:首先每个学校配送一台,这个没有顺序和情况之分,剩下40台;将剩下的40台像排队一样排列好,则这40台校车之间有39个空,对这39个空进行插空,比如说用9面小旗隔开,就可以隔成10部分.所以是在39个空中选9个空进行插空.故不同的方案种数为.答案:D6.已知一组曲线y=ax3+bx+1,其中a为2,4,6,8中的任意一个,b为1,3,5,7中的任意一个.现从这些曲线中任取两条,它们在x=1处的切线相互平行的组数为 ( )A.9B.10C.12D.14解析:y'=ax2+b,曲线在x=1处切线的斜率k=a+b.切线相互平行,则需它们的斜率相等,因此按照在x=1处切线的斜率的可能取值可分为五类完成.第一类:a+b=5,则a=2,b=3;a=4,b=1.故可构成2条曲线,有组.第二类:a+b=7,则a=2,b=5;a=4,b=3;a=6,b=1.可构成三条曲线,有组.第三类:a+b=9,则a=2,b=7;a=4,b=5;a=6,b=3;a=8,b=1.可构成四条曲线,有组.第四类:a+b=11,则a=4,b=7;a=6,b=5;a=8,b=3.可构成3条曲线,有组.第五类:a+b=13,则a=6,b=7;a=8,b=5.可构成2条曲线,有组.故共有=14组相互平行的切线.答案:D7.5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子中至少有一个球,若甲球必须放入A盒,则不同的放法种数是 ( )A.120B.72C.60D.36解析:将甲球放入A盒后分两类,一类是除甲球外,A盒还放其他球,共=24种放法,另一类是A盒中只有甲球,则其他4个球放入另外三个盒中,有=36种放法.故总的放法有24+36=60种.答案:C8.从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人,则不同的安排方案共有 .(用数字作答)解析:第一步安排周六有种方法,第二步安排周日有种方法,故不同的安排方案共有=140种.答案:140种9.用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 .(用数字作答)解析:分两种情况:第一类:个位、十位和百位上各有一个偶数,有=90个.第二类:个位、十位和百位上共有两个奇数一个偶数,有=234个,共有90+234=324个.答案:324个10.某餐厅供应盒饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同品种的菜.现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上的不同选择,则餐厅至少还需准备 种不同的素菜(结果用数值表示)解析:在5种不同的荤菜中选出2种的选择方式的种数是=10.若选择方式至少为200种,设素菜为x种, 则有≥200,即≥20,化简得x(x-1)≥40,解得x≥7.所以,至少应准备7种素菜.答案:711.在如图所示的四棱锥中,顶点为P,从其他的顶点和各棱中点中取3个,使它们和点P在同一平面内,不同的取法种数为 .解析:满足要求的点的取法可分为三类:第一类,在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点,有4种取法;第二类,在两个对角面上除点P外任取3点,有2种取法;第三类,过点P的侧棱中,每一条上的三点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面,有4种取法.因此,满足题意的不同取法共有4+2+4=56种.答案:5612.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,求与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数.解:与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类:第一类,与信息0110恰有两个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选2个位置相同,其他2个不同有=6个信息.第二类,与信息0110恰有一个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选1个位置相同,其他3个不同有=4个信息.第三类,与信息0110没有一个对应位置上的数字相同,即4个位置中对应数字都不同,有=1个信息 由分类加法计数原理知,与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6+4+1=11.13.在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各1名,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法(1)有3名内科医生和2名外科医生;(2)既有内科医生,又有外科医生;(3)至少有1名主任参加;(4)既有主任,又有外科医生.解:(1)先选内科医生有种选法,再选外科医生有种选法,故选派方法的种数为=120.(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,易得出选派方法的种数为=246.若从反面考虑,则选派方法的种数为=246.(3)分两类:一是选1名主任有种方法;二是选2名主任有种方法,故至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.若从反面考虑:至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.(4)若选外科主任,则其余可任选,有种选法.若不选外科主任,则必选内科主任,且剩余的四人不能全选内科医生,有种选法.故有选派方法的种数为=1911.3 二项式定理1.3.1 二项式定理一、课时过关·能力提升1.的展开式中倒数第3项的系数是( )A.·2B.·26C.·25D.·22解析:的展开式中倒数第3项为二项展开式中的第6项,而T6=·(2x)2··22·x-8.该项的系数为·22.答案:D2.的展开式中的常数项为-220,则a的值为 ( )A.1B.-1C.2D.-2解析:T k+1=·a k.∵T k+1为常数项,∴-k=0,∴k=3.∴·a3=-220,∴a=-1.答案:B3.对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值是( )A.3B.6C.9D.21解析:由已知x3=[2+(x-2)]3=·23+·22·(x-2)+·2·2·((x-2)2+(x-2)3.所以a2=·2=6.答案:B4.的展开式中含x3项的二项式系数为( )A.-10B.10C.-5D.5解析:T k+1=·x 5-k=(-1)k·x5-2k,令5-2k=3,则k=1故x3项的二项式系数为=5答案:D5.若(1+)5=a+b(a,b为有理数),则a+b等于 ( )A.45B.55C.70D.80解析:由二项式定理,得(1+)5=1+·()2+·()3+·()4+·()5=1+5+20+20+20+4=41+29,即a=41,b=29,故a+b=70.答案:C6.(1-)6(1+)4的展开式中x的系数是( )A.-4B.-3C.3D.4解析:方法一:(1-)6的展开式的通项为(-)m,(1+)4的展开式的通项为)n,其中m=0,1,2,…,6;n=0,1,2,3,4.令=1,得m+n=2,于是(1-)6(1+)4的展开式中x的系数等于·(-1)0··(-1)1··(-1)2·=-3.方法二:(1-)6(1+)4=[(1-)(1+)]4(1-)2=(1-x)4(1-2+x).于是(1-)6(1+)4的展开式中x的系数为·1+·(-1)1·1=-3.答案:B7.若x>0,设的展开式中的第3项为M,第4项为N,则M+N的最小值为 .解析:由T3=x,T4=,则M+N=≥2.当且仅当,即x=时,等号成立答案:8.二项式的展开式中,常数项的值为 .答案:0,1,2,……,n)的部分图象如图,则a= .9.已知(ax+1)n=a n x n+a n-1x n-1+…+a2x2+a1x+a0(x∈N*),点A i(i,a i)(i=0,1,2,解析:由展开式得T k+1=(ax)n-k=a n-k·x n-k,由题图可知a1=3,a2=4,即a=3,且a2=4,化简得na=3,且=4,解得a=.答案:10.求证:32n+3-24n+37能被64整除.证明:32n+3-24n+37=3×9n+1-24n+37=3(8+1)n+1-24n+37=3(·8n+1+·8n+…+·8+1)-24n+37=3×64(·8n-1 +·8n-2+…+)+24-24n+40=64×3(·8n-1+·8n-2+…+)+64.显然上式是64的倍数,故原式可被64整除11.(1)求(1+x)2(1-x)5的展开式中x3的系数;(2)已知展开式的前三项系数的和为129,这个展开式中是否含有常数项?一次项?如果没有,请说明理由;如果有,请求出来.解:(1)(1+x)2的通项为T r+1=·x r,(1-x)5的通项为T k+1=(-1)k·x k,其中r∈{0,1,2},k∈{0,1,2,3,4,5},令k+r=3,则有k=1,r=2;k=2,r=1;k=3,r=0.故x3的系数为-=5.(2)展开式的通项为T k+1=(x)n-k·=·2k·(k=0,1,2,…,n),由题意,得20+2+22=129所以1+2n+2n(n-1)=129,则n2=64,即n=8.故T k+1=·2k·(k=0,1,2,…,8),若展开式存在常数项,则=0,解之,得k=∉Z,所以展开式中没有常数项若展开式中存在一次项,则=1,即72-11k=6,所以k=6.所以展开式中存在一次项,它是第7项,T7=26x=1 792x.1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质一、课时过关·能力提升1.如果的展开式中各项系数之和为128,则展开式中含的项是( )A. B.C. D.解析:由的展开式中各项系数之和为128可得2n =128,n=7.其通项T k+1=(3x )7-k =(-1)k ·37-k,令7-=-3,解得k=6,此时T 7=.答案:C 2.的展开式中第8项是常数项,则展开式中系数最大的项是( )A.第8项B.第9项C.第8项、第9项D.第11项、第12项 解析:展开式中的第8项为)n-7为常数,即=0,解得n=21.故展开式中系数最大的项为第11项、第12项.答案:D 3.若(x+3y )n展开式的系数和等于(7a+b )10展开式中的二项式系数之和,则n 的值为( ) A.5B.8C.10D.15解析:(7a+b )10展开式的二项式系数之和为210,令x=1,y=1,则由题意知,4n =210,解得n=5.答案:A4.已知+2+22+…+2n =729,则的值等于( )A.64B.32C.63D.31解析:由已知(1+2)n =3n=729,解得n=6.则=32.答案:B5.(1+x )n(3-x )的展开式中各项系数的和为1 024,则n 的值为( ) A .8B .9C .10D .11解析:由题意知(1+1)n (3-1)=1 024,即2n+1=1 024,故n=9. 答案:B6.若(1-2x )2 015=a 0+a 1x+…+a 2 015x2 015(x ∈R ),则+…+的值为( ) A.2 B.0C.-1D.-2 解析:令x=0,则a 0=1,令x=,则a 0++…+=0,故+…+=-1.答案:C7.(x+1)9按x 的升幂排列二项式系数最大的项是( ) A .第4项和第5项 B .第5项 C .第5项和第6项 D .第6项解析:展开式中共有10项,由二项式系数的性质可知,展开式的中间两项的二项式系数最大,即第5项和第6项的二项式系数最大. 答案:C8.在(a-b )10的二项展开式中,系数最小的项是 .解析:在(a-b )10的二项展开式中,奇数项的系数为正,偶数项的系数为负,且偶数项系数的绝对值为对应的二项式系数,因为展开式中第6项的二项式系数最大,所以系数最小的项为T 6=a 5(-b )5=-252a 5b 5.答案:-252a 5b 59.设(x-1)21=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 21x 21,则a 10+a 11= . 解析:∵(x-1)21的展开式的通项为T k+1=x 21-k (-1)k ,∴a 10+a 11=(-1)11+(-1)10=-=-=0.答案:0 10.若(2x+)4=a 0+a 1x+…+a 4x 4,则(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2的值为 .解析:令x=1,得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4=(2+)4,令x=-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+a 4=(-2+)4,(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2=(a 0+a 1+a 2+a 3+a 4)·)·((a 0-a 1+a 2-a 3+a 4)=(2+)4(-2+)4=1. 答案:111.若(2x-3y )10=a 0x 10+a 1x 9y+a 2x 8y 2+…+a 10y 10,求:(1)各项系数之和;(2)奇数项系数的和与偶数项系数的和.解:(1)各项系数之和即为a 0+a 1+a 2+…+a 10,可用“赋值法”求解.令x=y=1,得a 0+a 1+a 2+…+a 10=(2-3)10=(-1)10=1.(2)奇数项系数的和为a 0+a 2+a 4+…+a 10,偶数项系数的和为a 1+a 3+a 5+…+a 9. 由(1)知a 0+a 1+a 2+…+a 10=1,①令x=1,y=-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 10=510,②①+②得,2(a 0+a 2+…+a 10)=1+510,则奇数项系数的和为;①-②得,2(a 1+a 3+…+a 9))=11-5510,则偶数项系数的和为12.已知(+3x 2)n 展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项.解:令x=1得展开式各项系数和为(1+3)n =4n展开式二项式系数和为+…+=2n ,由题意有4n -2n=992.即(2n )2-2n -992=0,(2n -32)(2n+31)=0,解得n=5.(1)因为n=5,所以展开式共6项,其中二项式系数最大的项为第3项、第4项,它们是T 3=)3·(3x 2)2=90x 6, T 4=)2(3x 2)3=270.(2)设展开式中第k+1项的系数最大.由T k+1=)5-k ·(3x 2)k =3k,得⇒⇒≤k≤.因为k∈Z,所以k=4,所以展开式中第5项系数最大.T5=34=405.13.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11阶杨辉三角:(1)求第20行中从左到右的第4个数;(2)在第2斜列中,前5个数依次为1,3,6,10,15;第3斜列中,第5个数为35.显然,1+3+6+10+15=35.事实上,一般的有这样的结论:第m斜列中(从右上到左下)前k个数之和,一定等于第m+1斜列中第k个数.试用含有m,k(m,k∈N*)的数字公式表示上述结论,并给予证明.解:(1)=1 140(2)+…+,证明如下:左边=+…++…+=…==右边.。
人教A版选修2-3第一章计数原理本章练测(人教A版选修2-3).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧 *整理制作第一章计数原理本章练测建议用时实际用时满分实际得分120 分钟150 分一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共60分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．将3个不同的小球放入 4 个盒子中，则不同的放法种数为（）A．81 B ．64 C．12D．142．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）A．140种B. 84 种C.70种D. 35 种3．5个人排成一排 , 其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数为（）A．A33 B ． 4A33C．A55 A 32A 33 D ．A22A33 A 12A 13A 334．a,b, c, d, e共 5 个人，从中选 1 名组长 1 名副组长，但 a 不能当副组长，不同的选法总数是（）A. 20 B ． 16 C ．10 D ． 65．现有男、女学生共8 人，从男生中选 2 人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有 90 种不同方案，那么男、女生人数分别是（）A．男生2人，女生 6 人B ．男生3 人，女生 5 人C．男生5 人，女生 3 人D．男生6人，女生2人6．x 8 1的展开式中的常数项是（）2 3 xA. 7 B ．7 C ．28 D．287．(1 2x) 5 (2 x) 的展开式中x 3 的项的系数是（）A. 120 B ．120 C． 100 D．100n28．x 展开式中只有第六项的二项式系数 x2最大 , 则展开式中的常数项是（）A．180 B ．90 C ．45 D ．3609．从字母a, b, c, d, e, f中选出 4 个数字排成一列，其中一定要选出 a 和b ，并且必须相邻（ a 在b的前面），共有排列方法（）种 .A. 36B. 72C. 90D. 144 10．从不同号码的 5 双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为（）A．120 B ． 240C．280 D ． 6011．把( 3i x)10 根据二项式定理展开，展开式的第 8 项的系数是（）C．360 3i D ． 360 3i12．2x 1 2 n 的展开式中，x2 224，的系数是2x则 1 的系数是（）2xA. 14B. 28C. 56D. 112二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）13．在50 件产品中有4 件是次品，从中任意抽了 5 件，至少有3 件是次品的抽法共有______________ 种（用数字作答） .14．4名男生， 4 名女生排成一排，女生不排两端，则有种不同排法 .15．由0,1,3,5,7,9这六个数字可组成_____个没有重复数字的六位奇数 .16 ．在( x 3) 10的展开式中， x6 的系数是.三、解答题（本大题共 6 小题，共74 分）17．（ 12 分）判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果 .（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组有10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选 2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（ 3）有2,3,5,711,13,17,19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它们的积，可以得到多少个不同的18．（ 12 分）6个人坐在一排10 个座位上,问：(1) 空位不相邻的坐法有多少种?(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种?(3) 4 个空位至多有2个相邻的坐法有多少种 ?19．（ 12 分）有6个球 , 其中3个黑球 , 红、白、蓝球各 1个，现从中取出4个球排成一列，共有多少种不同的排法？n20．（12 分）已知 x 21 展开式中的二项式系数x的和比 (3a2b )7 展开式中的二项式系数的和n大 128 , 求 x 2 1展开式中的系数最大的项 x和系数最小的项 .22．（ 14 分）21．（ 12 分）（1）在 的展开式中，若第 已知 (23x )50 a 0 a 1 x a 2 x 2a 50 x 50 ,其中3 项与第 6 项系数相等，且 n 等于多少？a 0 , a 1, a 2 , , a 50 是 常 数 , 计 算( a 0a 2 a 4a 50 )2 (a 1 a 3 a 5 a 49 )2 .1 n（ 2）若 x x的展开式奇数项的二项式系 x 3数之和为 128 ，求展开式中二项式系数最大的项.第一章计数原理本章练测答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题13 ．14 ．15 ．16 ．三、解答题17.18.19.20.21.22.第一章 计数原理本章练测答案一、选择题1． B 解析：每个小球都有4 种可能的放法，所以共有 4 4 4 64 种放法 .2．C 解析：抽出的 3 台电视机中甲型 1 台乙型 2 台的取法有种；甲型 2 台乙型 1 台的取法有种 .根据分类加法计数原理可得总的取法有+ =40+30=70( 种 ).3． C解析：不考虑限制条件有种排法，若甲、乙两人都站中间有种排法，所以符合题意的排法有种 .4． B 解析：不考虑限制条件有A 52 种选法，若 a 当副组长有 A 14 种选法，故 A 52 A 1416 为所求 .5． B解析：设男学生有 x 人，则女学生有（ 8 x ）人，则 C x 2 C 81x A 3390,即 x( x 1)(8 x) 30 2 3 5, 所以 x 3 ，.6． A 解析： T ( x )8 ( 1)r ( 1 )81 ( 1)r ( 1 ) 8 r C rx 4C r r( 1 )r rC rx 8 r 3r8 3 r .r 182 3x282 8令 8 4 r 0,r 6,T 7( 1)6( 1 )8 6C 867.327． B解析： (1 2x)5 (2 x) 2(1 2 x) 5 x(1 2x )52C 53( 2 x)3 xC 52( 2 x)2(4C 52 16C 53 )x 3120x 3.8． A解析：只有第六项的二项式系数最大，则n 10 ，r10 r2 rrr5 5r，令52.2T C( x) (x 2 ) 2 C x5 2 r 0,r34C 10180r 1 10102,T9． A解析：从 c,d , e, f 中选 2 个，有 C 42 种方法，把 a, b 看成一个整体， 3 个元素全排列，有 A 33种方法，共计 C 42 A 33 36 种排法 .10．A解析：先从 5 双鞋中任取 1 双，有 C 15 种方法， 再从 8 只鞋中任取 2 只，有 C 82 种取法，但需要排除4种成双的情况，所以有 C 82 4 种取法，则共计 C 51 (C 824) 120 种取法 .11． D 解析： T 8 C 107 ( 3i)3 ( x) 7 360 3ix 7 ，系数为 360 3i . 12． A解析： TC r(2 x)2n r (1)r 22 n 2 r C r x 2n 2r ，令 2n 2r 2, rn 1,r 12n2x 2n则 22 C n1224,C n 156, n 4 ，再令8 2 r2, 得 r T C 85 x 2 14 .2 n2 n5, 6 4 x 2二、填空题13．4 1863 件次品包括有3 件次品或有 43 241解析：至少有 件次品，故抽法共有 C 4 C 46 C 4C 46 4 186（种） .14． 8640 解析：先排女生有种排法，再排男生有种排法，共有种排法 .15． 480解析： 0 既不能排首位，也不能排在末尾，即有种排法，其余的数字有种排法，共有种排法 .r 10 r r，令 10 r 6,r 4,T5 9C104 x6 1890 x6 .16．1890解析：T r 1C10x ( 3)三、解答题17．解：（ 1）①是排列问题，共通了 A 112 110 封信；②是组合问题，共握手C112 55 次.（ 2）①是排列问题，共有 A 102 90 种选法；②是组合问题，共有C102 45 种选法.（ 3）①是排列问题，共有 A 82 56 个商；②是组合问题，共有C82 28个积. 18．解：6个人排有A66种坐法 , 6人排好后包括两端共有7 个“间隔”可以插入空位.(1) 空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中,有C74 35 种插法，故空位不相邻的坐法有 A 66C74 25200 种.(2) 将相邻的 3 个空位当作一个元素,另一空位当作另一个元素,往 7 个“间隔”里插，有A 72种插法,故 4 个空位中只有 3 个相邻的坐法有 A 66A 72 30240 种.(3) 4 个空位至多有 2个相邻的情况有三类：① 4个空位各不相邻有C74 种坐法 ;② 4个空位 2个相邻，另有2个不相邻有C17C62 种坐法 ;③ 4个空位分两组,每组都有 2个相邻,有C72种坐法.综上所述 , 应有 A 66(C74 C71C62 C 72) 115920 种坐法.19．解：分三类：若取1个黑球，和另三个球，排 4 个位置，有 4 24 种排法；A 4若取2个黑球，从另三个球中选 2个排4个位置，2 个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有2 236 种排法；C3A 4若取3个黑球，从另三个球中选 1个排4个位置，3 个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有C31 A 41 12 种排法；所以有24 36 12 72 种排法.81 )r ( 1)r C8r x16 3r . 当r 4时，项的系数20．解：由 2n 27 128, 得 n 8 ，x2 1 的通项 T r 1 C8r( x2 )8 r (x x最大，即 T5 70 x4为展开式中的系数最大的项；当 r 3或5 时，项的系数最小，即T4756 x 为展开式中的系数最小的项.56 x , T621．解：（ 1）由已知得C2n C5n n7.马鸣风萧萧系数最大的项是 T4 1 C84 ( x x )4 ( 1) 4 70 x4 3 x2 .3 x22．解：设f ( x) (2 3x) 50，令 x 1，得 a0 a1 a 2a50 (2 3) 50,令 x 1 ，得 a050 a1 a2 a50 (2 3) ,( a0 a2 a4 a50 )2 (a1 a3 a5 a49)2(a0 a a a )(a a a2a ) (2 3) 50(2 3)50 1.1 2 50 0 1 50。
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选修2-3 第一章计数原理一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路，只从一面上山，而从任意一面下山的走法最多，应()A．从东边上山B．从西边上山C．从南边上山D．从北边上山2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有()A．7个B．8个C．9个D．10个3．5名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以“去”或“不去”，则第二天可能出现的不同情况的种数为()A．C25B．25 C．52D．A25 4．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为()A．40 B．50 C．60 D．70 5．在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有()A．24种B．48种C．96种D．144种6．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有()A．2 520 B．2 025 C．1 260 D．5 040 7．有5列火车停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有()A．78种B．72种C．120种D．96种8．已知(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，若a0＋a1＋a2＋…＋a n＝16，则自然数n等于() A．6 B．5 C．4 D．3 9．6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有()10．已知⎝⎛⎭⎫x －a x 8展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( ) A ．28 B ．38 C ．1或38 D ．1或2811．有A 、B 、C 、D 、E 、F 共6个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个，若卡车甲不能运A 箱，卡车乙不能运B 箱，此外无其他任何限制；要把这6个集装箱分配给这3台卡车运送，则不同的分配方案的种数为( )A ．168B ．84C ．56D ．4212．从2名女教师和5名男教师中选出三位教师参加2014年高考某考场的监考工作．要求一女教师在室内流动监考，另外两位教师固定在室内监考，问不同的安排方案种数为( )A ．30B ．180C ．630D ．1 080二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知(x ＋2)n 的展开式中共有5项，则n ＝________，展开式中的常数项为________．(用数字作答) 14．5个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法有________种．15．已知(x ＋1)6(ax －1)2的展开式中含x 3项的系数是20，则a 的值等于________．16．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，求不同的买法有多少种(用数字作答)．18．(12分)4个相同的红球和6个相同的白球放入袋中，现从袋中取出4个球；若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法？19．(12分)从1到6的六个数字中取两个偶数和两个奇数组成没有重复数字的四位数．试问：(1)能组成多少个不同的四位数？(2)四位数中，两个偶数排在一起的有几个？(3)两个偶数不相邻的四位数有几个？(所有结果均用数值表示)20．(12分)已知(1＋2x )n 的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的56，试求展开式中二项式系数最大的项．21．(12分)某单位有三个科室，为实现减负增效，每科室抽调2人，去参加再就业培训，培训后这6人中有2人返回原单位，但不回到原科室工作，且每科室至多安排1人，问共有多少种不同的安排方法？22．(12分)10件不同厂生产的同类产品：(1)在商品评选会上，有2件商品不能参加评选，要选出4件商品，并排定选出的4件商品的名次，有多少种不同的选法？(2)若要选6件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？选修2-3 第一章计数原理（答案）1.答案 D2.答案 C 解析由题意，问题的关键在于确定函数定义域的个数：第一步，先确定函数值1的原象：因为y＝x2，当y＝1时，x＝1或x＝－1，为此有三种情况：即{1}，{－1}，{1，－1}；第二步，确定函数值4的原象，因为y＝4时，x＝2或x＝－2，为此也有三种情况：{2}，{－2}，{2，－2}．由分步计数原理，得到：3×3＝9个．选C.3.答案 B4.答案 B5.答案 C 解析当A出现在第一步时，再排A，B，C以外的三个程序，有A33种，A与A，B，C 以外的三个程序生成4个可以排列程序B、C的空档，此时共有A33A14A22种排法；当A出现在最后一步时的排法与此相同，故共有2A33A14A22＝96种编排方法．6.答案 A 解析先从10人中选出2人承担甲任务有C210种选法，再从剩下的8人中选出2人分别承担乙、丙任务，有A28种选法，由分步乘法计数原理共有C210A28＝2 520种不同的选法．故选A.7.答案 A 解析不考虑不能停靠的车道，5辆车共有5！＝120种停法．A停在3道上的停法：4！＝24(种)；B种停在1道上的停法：4！＝24(种)；A、B分别停在3道、1道上的停法：3！＝6(种)．故符合题意的停法：120－24－24＋6＝78(种)．故选A.8答案 C 解析令x＝1，得2n＝16，则n＝4.故选C.9.答案 B 解析分两步完成：第一步，其余3人排列有A33种排法；第二步，从4个可插空档中任选3个给甲、乙、丙3人站有A34种插法．由分步乘法计数原理可知，一共有A33A34＝144种．10.答案 C 解析T r＋1＝(－a)r C r8x8－2r，令8－2r＝0⇒r＝4.∴T5＝C48(－a)4＝1 120，∴a＝±2.当a＝2时，和为1；当a＝－2时，和为38.11.答案 D 解析分两类：①甲运B箱，有C14·C24·C22种；②甲不运B箱，有C24·C23·C22.∴不同的分配方案共有C14·C24·C22＋C24·C23·C22＝42种．故选D.12.答案 A 解析分两类进行：第一类，在两名女教师中选出一名，从5名男教师中选出两名，且该女教师只能在室内流动监考，有C12·C25种选法；第二类，选两名女教师和一名男教师有C22·C15种选法，且再从选中的两名女教师中选一名作为室内流动监考人员，即有C 22·C 15·C 12共10种选法，∴共有C 12·C 25＋C 22·C 15·C 12＝30种，故选A.13.答案 4 16 解析 ∵展开式共有5项，∴n ＝4，常数项为C 4424＝16.14.答案 72 解析 甲、乙两人之间至少有一人，就是甲、乙两人不相邻，则有A 33·A 24＝72(种)． 15.答案 0或516.答案 14 解析 因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以适合题意的四位数有24－2＝14个．17.解析 分两类：第一类，买5本2元的有C58种；第二类，买4本2元的和2本1元的有C48×C23种．故共有C58＋C48×C23＝266种不同的买法种数．18．解析 依题意知，取出有4个球中至少有2个红球，可分三类：①取出的全是红球有C 44种方法；②取出的4个球中有3个红球的取法有C 34C 16；③取出的4个球中有2个红球的取法有C 24C 26种，由分类计数原理，共有C 44＋C 34·C 16＋C 24·C 26＝115(种)．19.解析 (1)四位数共有C 23C 23A 44＝216个．(2)上述四位数中，偶数排在一起的有C 23C 23A 33A 22＝108个．(3)两个偶数不相邻的四位数有C 23C 23A 22A 23＝108个．20.解析 由题意知展开式中第k ＋1项系数是第k 项系数的2倍，是第k ＋2项系数的56， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C k n 2k ＝2C k －1n ·2k －1，C k n 2k ＝56C k ＋1n ·2k ＋1，解得n ＝7. ∴展开式中二项式系数最大两项是：T 4＝C 37(2x )3＝280x 32与T 5＝C 47(2x )4＝560x 2. 21.解析 6人中有2人返回原单位，可分两类：(1)2人来自同科室：C 13C 12＝6种；(2)2人来自不同科室：C 23C 12C 12，然后2人分别回到科室，但不回原科室有3种方法，故有C 23C 12C 12·3＝36种．由分类计数原理共有6＋36＝42种方法．22．解析 (1)10件商品，除去不能参加评选的2件商品，剩下8件，从中选出4件进行排列，有A 48＝1 680(或C48·A44)(种)．(2)分步完成．先将获金质奖章的两件商品布置在6个位置中的两个位置上，有A26种方法，再从剩下的8件商品中选出4件，布置在剩下的4个位置上，有A48种方法，共有A26·A48＝50 400(或C48·A66)(种)．。