优化建模练习题解答
数学建模培训-最优化方法练习题
练习1、求解下列线性规划问题。
（1）()131********max 43112.22233332436400,1,2,3,4i f x x x s tx x x x x x x x x x i =--++-=+=-+=≥= （2）()123123123max 23.2222320,1,2i f x x x x s tx x x x x x x i =---+≤-+-≤-≥=（3）()1231212312max 564.22553415100,1,2,3i f x x x x s tx x x x x x x x i =+++≤++≤+≤≥=（4）12312312312123min 33..25231612,,0x x x s t x x x x x x x x x x x -++-+≤-+≤+≤≥ （5）1212312412515max 2..506221,,0x x s t x x x x x x x x x x x +++=-++=++=≥ （6）()123412341234max 30354045..34647043658001,2,3,4i x x x x s t x x x x x x x x x i ++++++≤+++≤≥=2、建立线性规划模型，求解下列问题。
（1）某工厂生产甲、乙两种产品。
已知生产甲种产品t 1需耗A 种矿石t 10、B 种矿石t 5、煤t 4；生产乙种产品t 1需耗A 种矿石t 4、B 种矿石t 4、煤t 9。
每t 1甲种产品的利润是600元，每t 1乙种产品的利润是1000元。
工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过t 300、B 种矿石不超过t 200、煤不超过t 360。
甲、乙两种产品应各生产多少，能使利润总额达到最大？（2）设有A 1，A 2两个香蕉基地，产量分别为60吨和80吨，联合供应B 1，B 2，B 3三个销地的销售量经预测分别为50吨、50吨和40吨。
数学建模路线优化问题
选路的优化模型摘要:本题是一个有深刻背景的NPC问题，文章分析了分组回路的拓扑结构，并构造了多个模型，从多个侧面对具体问题进行求解。
最短树结构模型给出了局部寻优的准则算法模型体现了由简到繁，确保较优的思想而三个层次分明的表述模型证明了这一类问题共有的性质。
在此基础上我们的结果也是比较令人满意的。
如对第一题给出了总长为599.9，单项长为216的分组，第二题给出了至少分四组的证明。
最后，我们还谈到了模型的优缺点及推广思想。
一、问题描述“水大无情，人命关天”为考察灾情，县领导决定派人及早将各乡（镇），村巡视一遍。
巡视路线为从县政府所在地出发，走遍各乡（镇），村又回到县政府所在地的路线。
1.若分三组巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。
2.假定巡视人员在各乡（镇）停留时间为T=2小时，在各村停留时间为t =1 小时，汽车行驶速度为V=35公里/时，要在24小时内巡视完，至少分成几组；给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。
3.上述关于T，t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多少？给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。
4.巡视组数已定（如三组）要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变时最佳路线的影响（图见附录）。
二、问题假设1、乡（镇）村只考察一次，多次经过时只计算一次停留时间。
2、非本县村不限制通过。
3、汽车的行驶速度始终一致。
三、符号说明符号表示意义Ti 第i 人走的回路Ti=vv i(i) v2(i)v n(i) Ti=00表示第i人在0点没移动Vi Ti的点集Si Ti的长度Hi(v) 在V上定义的特殊函数仅当V被第i 人走过且停留时Hi(v)=1,否则为0四、模型建立在这一节里，我们将提出若干个模型及其特点分析，不涉及对题目的求解。
最简树结构模型在这个模型中我们依靠利用最短树的特殊结构所给出的准则，进行局部寻优，在一个不大的图里，我们较易得到较优解。
优化建模练习题解答
例1（任务分配问题）某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。
假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。
问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使加工费用最低？解：设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为321,,x x x ，在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为654,,x x x 。
建立以下线性规划模型：6543218121110913m in x x x x x x z +++++=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤++≤++=+=+=+6,,2,1,09003.12.15.08001.14.0500600400..654321635241 i x x x x x x x x x x x x x t s i例2 某厂每日8小时的产量不低于1800件。
为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员。
一级检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15件/小时，正确率95%，计时工资3元/小时。
检验员每错检一次，工厂要损失2元。
为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？ 解： 设需要一级和二级检验员的人数分别为21,x x 人,则应付检验员的工资为：因检验员错检而造成的损失为：故目标函数为：约束条件为：线性规划模型：212124323848x x x x +=⨯⨯+⨯⨯21211282)%5158%2258(x x x x +=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯2121213640)128()2432(m in x x x x x x z +=+++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤⨯⨯≤⨯⨯≥⨯⨯+⨯⨯0,0180015818002581800158258212121x x x x x x 213640m in x x z +=例3 投资问题某单位有一批资金用于四个工程项目的投资，用于各工程项目时所得到得净收益（投入资金的百分比）如下表所示：由于某种原因，决定用于项目A 的投资不大于其它各项投资之和；而用于项目B 和C 的投资要大于项目D 的投资。
13.建模作业_优化问题
《数学建模》课程作业题一13第五章优化模型•优化问题1、已知某工厂计划生产I, 11,111三种产品，各产品需要在A, B,C 设备上 加工，有模型得建立及求解：设生产I, 11,111产品xl, x2,x3件z 为所获得得利润。
于就是数学模型如下:利用mail a b 求解（附录一）得到最优值Z =1 3 5、2667（千元）, 生产方案如下表.生产I, I I, III 产品分别为2 3 , 23,7利润最大为125、2667千元.（2）若为了增加产量，可租用别得工厂设备B,每月可租用60台，租金1、8万 元，租用B 设备就是否划算？ 模型得建立及求解：租用别得工厂设备B 以后模型为：利用matlab 求解（附录二）得到最优值Z 二129（千元）， 生产方案如下表。
生产I, II, IH 产品分别为31, 28, 0利润最大为129千元.（3）若另有俩种新产品IV 、V,其中新产品IV 需用设备A 为12台时，B 为 5台时,C 为10台时,单位产品盈利2、1千元;新产品V 需用设备A 为4台时，B 为4台时，C 为12台时，单位产品盈利1、87千元，如A,B, C 得设备台时不 增加,这两种新产品投产在经济上就是否划算？ 模型得建立及求解：添加两个新产品IV 、V 后，IV 、V 对应得产品数分别为x4,x5,建立模型如下: 利用ma t lab 求解（附录三）得到最优值Z =136、96 2 5 （千元），生产方案如下告产I, II, III, IV, V产品分别为27, 16, 0, 0, 14利润最大为136、962 5千兀。
（4）对产品工艺重新进行设计，改进结构、改进后生产每件产品I需用设备A为9台时，设备B为12台时，设备C为4台时，单位盈利4、5千元,这时对原计划有何影响？模型得建立及求解：改进结构后，建立得模型如下：利用mat la b求解（附录四）得到最优值Z二1 53、1 618 （千元），生产方案如下表.生产I,II, III产品分别为23, 2 5, 0利润最大为153、1618千元。
数学建模的船队运输最优化问题
天，第5型船每个航次需增加减载时间4天。假设各型船的年度闲置费用均为购船
当时船价的3%。假设各型船年度营运时间为350天。
查阅相关资料，补充必要计算数据，参考教材中数学模型，以追求2012年船
队总费用支出最小为目标，制订该船队的年度货运航线配船计划。求2012年完成
各条航线预测运量的最佳航线配船方案及相应的船队总费用支出额。
现有船型技术参数及数量船型编号载重吨数量艘净吨位万元船速kn燃料油消耗170001060008000131823000158000110001352432000201104615000139261507016000133118766200001444023452220001353621表2航线参数航线编号挂靠港口运量万吨航线编号挂靠港口运量万吨秦皇岛宁波1000天津广州500秦皇岛广州800青岛宁波542天津宁波700连云港广州600表3港口装卸效率秦皇岛港天津港青岛港连云港宁波港广州港最大装船效率850080008000300080008300最大卸船效率660060006000300060006300注
a62 A62 a63 A63 a64 A64
a65 A65
a66 A66
小写字母代表船数 大写代表船次
各种船往返一次所用的时间
D=2+M/p+M/q+2S/V/24 M：载重量 p：装货率 q：卸货率
S：航线长度 V：船速 2：港口为停靠时间 24：一天 24 小时
1
2
3
4
5
6
秦皇岛-宁 波
11.372
船型编号 载重(吨) 数量(艘)
表1 现有船型技术参数及数量
燃料油消耗 柴油消耗率 船员定编
净吨位 船价 (万元) 船速(kn)
lingo优化模型例题
lingo优化模型例题
以下是一道优化模型的例题，题目如下：
某公司的成本函数为 C(x) = 100x + 2000/x + 5000，其中 x 为产量。
该公司希望通过调整产量来最小化成本。
问该公司应该生产多少数量的产品才能使成本最低？
解题步骤如下：
1. 定义变量：设 x 为产量。
2. 建立目标函数：成本函数 C(x) = 100x + 2000/x + 5000。
3. 建立约束条件：无约束条件。
4. 建立优化模型：采用最小化模型。
minimize C(x)
subject to x > 0
5. 编写LINGO代码：
SETS:
N /x/;
ENDSETS
VARIABLES:
X;
ENDVARIABLES
OBJECTIVE:
MIN = 100*X + 2000/X + 5000;
END
END
6. 运行LINGO代码，得到最优解 X 的值即为该公司应该生产的产量。
注意：由于该模型只有一个变量和一个目标函数，并且无约束条件，所以优化问题比较简单，可以直接使用LINGO编写代码求解。
对于更复杂的优化模型，可能需要添加更多的变量、约束条件和目标函数，并使用适当的算法进行求解。
数学建模与优化模型考核试卷
B.约束条件是非线性的
C.决策变量x和y之间是线性关系
D.决策变量x和y之间是非线性关系
5.以下哪个数学工具常用于求解优化问题？()
A. MATLAB
B. Excel
C. SPSS
D. Photoshop
6.在非线性规划模型中，若目标函数为“f(x, y) = x^2 + y^2”，则该模型属于以下哪种类型？()
标准答案
一、单项选择题
1. D
2. C
3. D
4. A
5. A
6. A
7. A
8. B
9. D
10. A
11. D
12. A
13. B
14. A
15. D
16. A
17. D
18. D
19. C
20. C
二、多选题
1. ABCD
2. ABCD
3. ABCD
4. ABC
5. ABC
6. ABC
7. AD
16.以下哪些情况下，非线性规划问题可能存在多个最优解？()
A.目标函数为凸函数
B.目标函数为凹函数
C.约束条件为凸集
D.约束条件为凹集
17.在数学建模中，以下哪些方法可以用于模型验证？()
A.残差分析
B.灵敏度分析
C.拟合优度检验
D.回归分析
18.以下哪些软件工具可以用于统计分析？()
A. MATLAB
A.模型建立
B.模型求解
C.模型分析
D.数据可视化
19.在数学建模过程中，以下哪个步骤是模型建立阶段的内容？()
A.提出问题
B.分析问题
C.求解模型
数学建模作业---优化模型
P104页，复习题题目：考虑以下“食谱问题"：某学校为学生提供营养套餐，希望以最小的费用来满足学生对基本营养的需求按照营养学家的建设，一个人一天要对蛋白质，维生素A和钙的需求如下：50g蛋白质、4000IU维生素A和1000mg的钙，我们只考虑以不食物构成的食谱：苹果，香蕉，胡萝卜，枣汁和鸡蛋，其营养含量见下表。
制定食谱，确定每种食物的用量，以最小费用满足营养学家建议的营养需求，并考虑：（1）对维生素A的需求增加一个单位时是否需要改变食谱？成本增加多少？如果对蛋白质的需求增加1g呢？如果对钙的需求增加1mg呢？（2）胡萝卜的价格增加Ⅰ角时，是否需要改变食谱？成本增加多少？问题分析：（1）此优化问题的目标是使花费最小.（2）所做的决策是选择各种食物的用量，即用多少苹果，香蕉，胡萝卜，枣汁，鸡蛋来制定食谱。
（3）决策所受限制条件：最少应摄入的蛋白质、维生素和钙的含量（4）设置决策变量：用x1表示苹果的个数、x2表示香蕉的个数、x3表示胡萝卜的个数、x4表示枣汁的杯数量、x5表示鸡蛋的个数（5）x1个苹果花费10·x1角x2个香蕉花费15·x2角x3个胡萝卜花费5·x3角x4杯枣汁花费60·x4角x5个鸡蛋花费8·x5角目标函数为总花费金额：z=10·x1+15·x2+5·x3+60·x4+8·x5 (角)（6）约束条件为：最少摄入蛋白质的含量：0.3x1+1.2x2+0.7x3+3.5x4+5.5x5≥50最少摄入维生素A的含量：73x1+96x2+20253x3+890x4+279x5≥4000最少摄入钙的含量：10x1+15x2+5x3+60x4+8x5≥1000非负约束：x 1,x 2,x 3,x 4,x 5≥0优化模型：minz =10x 1+15x 2+5x 3+60x 4+8x 5s.t. 0.3x 1+1.2x 2+0.7x 3+3.5x 4+5.5x 5≥5073x 1+96x 2+20253x 3+890x 4+279x 5≥4000 9.6x 1+7x 2+19x 3+57x 4+22x 5≥1000 x 1,x 2,x 3,x 4,x 5≥0由线性规划模型的定义，容易得到线性规划的性质：1. 比例性 每个决策变量的对目标函数的“贡献”与该决策变量的取值成正比；每个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”，与该决策变量的取值成正比.2. 可加性 各个决策变量对目标函数的“贡献”，与其他决策变量的取值无关；各个决策变量对每个约束条件右端项的“贡献”，与其他决策变量的取值无关.3. 连续性 每个决策变量的取值是连续的. 考察本题，实际上隐含下面的假设 ：1.购买苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋每个（杯）的花费是与各自的用量无关的常数；苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋每个（杯）所包含的蛋白质、维生素、钙的含量是与各自的用量无关的常数.（线性规划性质1—比例性）2.购买苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋每个（杯）的花费是与它们相互间用量无关的常数；苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋每个（杯）所包含的蛋白质、维生素A 、钙的含量是与它们相互间的用量无关的常数. （线性规划性质2—可加性）3. 购买苹果、香蕉、胡萝卜、枣汁、鸡蛋的数量都是实数. (线性规划性质3—连续性) 模型求解：（决策变量是5维的，不适用图解法求解模型）软件求解：线性规划模型：min z=10x1+15x2+5x3+60x4+8x5s.t. 0.3x1+1.2x2+0.7x3+3.5x4+5.5x5≥5073x1+96x2+20253x3+890x4+279x5≥40009.6x1+7x2+19x3+57x4+22x5≥1000x1,x2,x3,x4,x5≥0模型全局最优解：(Global optimal solution)x1=0x2=0x3=49.38272x4=0x5=2.805836z的最优值为269.3603角用LINGO 软件求解，得到如下输出：结果分析：1. 3个约束条件的右端项可视为3种资源：蛋白质含量、维生素A 含量、钙含量.LINGO 的输出项Row Slack or Surplus ，给出了3种资源在最优解下的剩余.2.目标函数可视为“支出（成本）”，紧约束的“资源”增加1单位时，“支出”的增加由LINGO 的输出项 Dual Price 给出。
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例1（任务分配问题）某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。
假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。
问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使加工费用最低？
解：设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为321,,x x x ，在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为654,,x x x 。
建立以下线性规划模型：
6543218121110913m in x x x x x x z +++++=
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤++≤++=+=+=+6
,,2,1,09003.12.15.08001.14.0500600
400
..6543216352
41 i x x x x x x x x x x x x x t s i
例2 某厂每日8小时的产量不低于1800件。
为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的
检验员。
一级检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15件/小时，正确率95%，计时工资3元/小时。
检验员每错检一次，工厂要损失2元。
为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？ 解： 设需要一级和二级检验员的人数分别为21,x x 人,则应付检验员的工资为：
因检验员错检而造成的损失为：
故目标函数为：
约束条件为：
线性规划模型：
212124323848x x x x +=⨯⨯+⨯⨯2
1211282)%5158%2258(x x x x +=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯2121213640)128()2432(m in x x x x x x z +=+++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤⨯⨯≤⨯⨯≥⨯⨯+⨯⨯0,0180015818002581800
158258212121x x x x x x 2
13640m in x x z +=
例3 投资问题
某单位有一批资金用于四个工程项目的投资，用于各工程项目时所得到得净收益（投入资金的百分比）如下表所示：
由于某种原因，决定用于项目A 的投资不大于其它各项投资之和；而用于项目B 和C 的投资要大于项目D 的投资。
试确定使该单位收益最大的投资分配方案。
解：用4321,,,x x x x 分别代表用于项目A 、B 、C 和D 的投资百分数，由于各项目的投资百分数之和必须等于100%，所以14321=+++x x x x ，
据题意，可以建立下面的数学模型：
432112.008.01.015.0m ax x x x x z +++=
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥=+++>+++≤,
01 ..43214
324321i x x x x x x x x x x x x t s
例4 裁料问题
在某建筑工程施工中需要制作10000套钢筋，每套钢筋由2.9m 、2.1m 和1.5m 三种不同长度的钢筋各一根组成，它们的直径和材质相同。
目前在市场上采购到的同类钢筋的长度每根均为7.4m ，问应购进多少根7.4m 长的钢筋才能满足工程的需要？
解：首先分析共有多少种不同的套裁方法，该问题的可能材料方案如表所示。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤≥+0,015945
35 ..212121x x x x x x t s
设以i x (i =1,2,…,8)表示按第i 种裁料方案下料的原材料数量，则可得该问题的数学模型 为：
87654321m in
x x x x x x x x z +++++++=
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥>+++++>++++>+++整数
,01000043231000023210000
2 ..8764317
65324321i x x x x x x x x x x x x x x x x t s
例5 工作人员计划安排问题
某昼夜服务的公共交通系统每天各时间段（每4小时为一个时间段）所需的值班人数如表 所示，这些值班人员在某一时段开始上班后要连续工作8个小时（包括轮流用膳时间），问该公交系统至少需要多少名工作人员才能满足值班的需要？
解：设i x (i =1,2,…,6)为第i 个时段开始上班的人员数，据题意建立下面的数学模型：
654321m in
x x x x x x z +++++=
⎪
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎪
⎨⎧=+=+=+=+=+=+为整数
i x x x x x x x x x x x x x t s 3020
50607060 ..655
4
43322116
例6 厂址选择问题
考虑A 、B 、C 三地，每地都出产一定数量的原料，也消耗一定数量的产品（见表9-15）。
已知制成每吨产品需3吨原料，各地之间的距离为：A-B ：150km ，A-C ：100km ，B-C ：200km 。
假定每万吨原料运输1km 的运价是5000元，每万吨产品运输1km 的运价是6000元。
由于地区条件的差异，在不同地点设厂的生产费用也不同。
问究竟在哪些地方设厂，规模多大，才能使总费用最小？另外，由于其它条件限制，在B 处建厂的规模（生产的产品数量）不能超过5万吨。
解：令ij ij i,j =1,2,3（分别对应A 、B 、C 三地）。
根据题意，可以建立问题的数学模型（其中目标函数包括原材料运输费、产品运输费和生产费）：
32
312221121132312321131222016012021024015010050100755075min y y y y y y x x x x x x z +++++++++++=
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=++≤+≤--+++≤--+++≤--+++13
75243316
332033 ..3222123121112221
231332313231321222212321
312112111312y y y y y y y y x x y y x x x x y y x x x x y y x x t s
例7 生产计划的最优化问题
某工厂生产A 和B 两种产品，它们需要经过三种设备的加工，其工时如表9-16所示。
设备一、二和三每天可使用的时间分别不超过12、10和8小时。
产品A 和B 的利润随市场的需求有所波动，如果预测未来某个时期内A 和B 的利润分别为4和3千元/吨，问在那个时期内，每天应安排产品A 、B 各多少吨，才能使工厂获利最大？
解：设每天应安排生产产品A 和B 分别为1x 吨和2x 吨，由题意建立下面的数学模型：
2134m ax
x x z +=
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≤+≤+≤+,
082410331243 ..212
121i x x x x x x x t s。