一元二次方程与二次函数第一次月考试题
初三上-月测卷-《10月月考》教院附中2016-2017学年度（一元二次方程、二次函数、旋转圆）
初三上-⽉测卷-《10⽉⽉考》教院附中2016-2017学年度（⼀元⼆次⽅程、⼆次函数、旋转圆）教院附中2016-2017学年度第⼀学期初三数学⼗⽉⽉考试卷（测试范围：⼆次⽅程，⼆次函数，旋转，圆测试时间：120分钟满分：150分）姓名成绩⼀、选择题（每⼩题4分，共40分）1．将抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线表达式是（）A．y=2(x+1)2+3 B．y=2(x-1)2-3 C．y=2(x-1)2+3 D．y=2(x+1)2-32．在平⾯直⾓坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，则点M（m，n）在（）A．第⼀象限 B．第⼆象限C．第三象限D．第四象限3．下⾯的图案中，既是轴对称图形⼜是中⼼对称图形的是（）A．①B．②C．③D．④4．如果点（﹣2，﹣3）和（5，﹣3）都是抛物线y=ax2+bx+c上的点，那么抛物线的对称轴是（）A．x=3 B．x=﹣3 C．x=D．x=﹣5．若⼀元⼆次⽅程2x2﹣6x+3=0的两根为α、β，那么（α﹣β）2的值是（）A．15 B．﹣3C．3 D．以上答案都不对6．点P在⊙O内，OP=2，若⊙O的半径是3cm，则过点P的最短弦的长度为（）A．1 cm B．2 cm C． c D．2cm7．在平⾯直⾓坐标系中，以点（2，3）为圆⼼，2为半径的圆必定（）A．与x轴相离，与y轴相切B．与x轴，y轴都相离C．与x轴相切，与y轴相离D．与x轴，y轴都相切8．⼀个扇形的圆⼼⾓为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为（）A．6cm B．12cm C．2cm D．cm9．如图，△PQR是⊙O的内接正三⾓形，四边形ABCD是⊙O的内接正⽅形，BC∥QR，则∠AOQ=（）A．60°B．65°C．72°D．75°10．如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动⾄点B后，⽴即按原路返回．点P在运动过程中速度⼤⼩不变．则以点A为圆⼼，线段AP长为半径的圆的⾯积S与点P的运动时间t之间的函数图象⼤致为（）A． B．C．D．⼆、填空题（每⼩题4分，共28分）11.如图，圆锥底⾯半径为rcm，母线长为10cm，其侧⾯展开图是圆⼼⾓为216°的扇形，则r的值为12.已知四边形ABCD内接于⊙0，若∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠D=13.若正六边形的边长为6cm，则此正六边形的外接圆半径为cm．14.如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是15.如图，在平⾯直⾓坐标系中，⼀条圆弧经过正⽅形⽹格格点A，B，C，其中点B（4，4），则该圆弧所在圆的圆⼼坐标为．16.如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆⼼，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分⾯积是17.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，19.（3+2分）如图，在11×11的正⽅形⽹格中，每个⼩正⽅形的边长都为1，⽹格中有⼀个格点△ABC（即三⾓形的顶点都在格点上）．（1）作出△ABC绕点C顺时针⽅向旋转90°后得到的△A1B1C1；（2）在（1）的条件下直接写出点B旋转到B2所经过的路径的长．（结果保留π）20.（5分）如图，有⼀座⽯拱桥的桥拱是以O为圆⼼，OA为半径的⼀段圆弧．若∠AOB=120°，OA=4⽶，请求出⽯拱桥的⾼度．21.（6分）如图，P是⊙O外的⼀点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意⼀点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．（1）若PA=4，求△PED的周长；（2）若∠P=40°，求∠DOE的度数．22.（7分）如图，已知△ABC是等边三⾓形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC 于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．23.（8分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3，（1）求抛物线所对应的函数解析式；（2）求△ABD的⾯积；（3）将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．24.（12分）如图，直线y1=kx+2与x轴交于点A（m，0）（m＞4），与y轴交于点B，抛物线y2=ax2﹣4ax+c（a ＜0）经过A，B两点．P为线段AB上⼀点，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q．（1）当m=5时，①求抛物线的关系式；②设点P的横坐标为x，⽤含x的代数式表⽰PQ的长，并求当x为何值时，PQ=；（2）若PQ长的最⼤值为16，试讨论关于x的⼀元⼆次⽅程ax2﹣4ax﹣kx=h的解的个数与h的取值范围的关系．25.（12分）已知如图，在平⾯直⾓坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于A，B两点，OA=2，∠ABO=30°，P是直线AB 上⼀动点，⊙P的半径为1．（1）判断原点O与⊙P的位置关系，并说明理由；（2）当⊙P过点B时，求⊙P被y轴所截得的劣弧的长；（3）当⊙P与坐标轴相切时，求出切点的坐标．26.（12分）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m ⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ=3x．（1）⽤关于x的代数式表⽰BQ，DF．（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的⾯积等于90，求AP的长．（3）在点P的整个运动过程中，①当AP为何值时，矩形DEGF是正⽅形？②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦⼼距为1，求AP的长（直接写出答案）．院附中2016-2017学年度第⼀学期初三数学⼗⽉⽉考答案⼀、选择题：1.A2.A3.A4.C5.C6.D7.A8.A9.D 10.A⼆、填空题：11. 6 12. 90° 13. 6 14. 38 15. （2，0） 16. 8﹣π 17. +1三、解答题： 18.（1）1253,2x x ==（2）⽆解（3）125x x ==19.（1）△A 2B 2C 如图所⽰；（2）根据勾股定理，BC==，所以，点B 旋转到B 2所经过的路径的长==π．20.解：过点O 作OD ⊥AB 于点D ，交弧于点C ，∵∠AOB=120°，OD ⊥AB ，∴∠AOD=60°，在Rt △AOD 中，∠AOD=60°，∴∠OAD=30°，∴OD=2（⽶）．∴CD=OA ﹣OD=2（⽶）．答：⽯拱桥的⾼度是2⽶．21.解：（1）∵DA ，DC 都是圆O 的切线，∴DC=DA ，同理EC=EB ，PA=PB ，∴三⾓形PDE 的周长=PD +PE +DE=PD +DC +PE +BE=PA +PB=2PA=8，即三⾓形PDE 的周长是8；（2）∵∠P=40°，∴∠PDE +∠PED=140°，∴∠ADC +∠BEC=（180﹣∠PDE ）+（180﹣∠PED ）=360°﹣140°=220°，∵DA ，DC 是圆O 的切线，∴∠ODC=∠ODA=∠ADC ；同理：∠OEC=∠BEC ，∴∠ODC +∠OEC=（∠ADC +∠BEC ）=110°，∴∠DOE=180﹣（∠ODC +∠OEC ）=70°．22.（1）证明：如图1，连接OD ，∵△ABC 是等边三⾓形，∴∠B=∠C=60°．∵OB=OD ，∴∠ODB=∠B=60°．∵DE ⊥AC ，∴∠DEC=90°．∴∠EDC=30°．∴∠ODE=90°．∴DE ⊥OD 于点D ．∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线；（2）解：如图2，连接AD ，BF ，∵AB 为⊙O 直径，∴∠AFB=∠ADB=90°．∴AF ⊥BF ，AD ⊥BD ．∵△ABC 是等边三⾓形，∴，．∵∠EDC=30°，∴．∴FE=FC ﹣EC=1．23.解：（1）∵四边形OCEF 为矩形，OF=2，EF=3，∴点C的坐标为（0，3），点E的坐标为（2，3）．把x=0，y=3；x=2，y=3分别代⼊y=﹣x2+bx+c中，得，解得，∴抛物线所对应的函数解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为D（1，4），∴△ABD中AB边的⾼为4，令y=0，得﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，所以AB=3﹣（﹣1）=4，∴△ABD的⾯积=×4×4=8；（3）△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的直线上，由（2）可知OA=1，∴点A对应点G的坐标为（3，2），当x=3时，y=﹣32+2×3+3=0≠2，所以点G不在该抛物线上．24.解：（1）①∵m=5，∴点A的坐标为（5，0），把A（5，0）代⼊y1=kx+2得5k+2=0，解得k=﹣，∴直线解析式为y1=﹣x+2，当x=0时，y1=2，∴点B的坐标为（0，2）．将A（5，0），B（0，2）代⼊，得，解得，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+x+2；②设点P的坐标为（x ，﹣x+2），则Q（x ，﹣x2+x+2），∴PQ=﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，⽽PQ=，∴﹣x2+2x=，解得：x1=1，x2=4，∴当x=1或x=4时，PQ=；（2）设P（x，kx+2），则Q（x，ax2﹣4ax+2），PQ的长⽤l表⽰，∴l=ax2﹣4ax+2﹣（kx+2）=ax2﹣（4a+k）x，∵PQ长的最⼤值为16，如图，当h=16时，⼀元⼆次⽅程ax2﹣4ax﹣kx=h有两个相等的实数解；当h＞16时，⼀元⼆次⽅程ax2﹣4ax﹣kx=h没有实数解；当0＜h＜16时，⼀元⼆次⽅程ax2﹣4ax﹣kx=h有两个解．25.解：（1）原点O在⊙P外．理由：∵∠OBA=30°，OA=2∴点A（2，0），点B（0，﹣2），∴直线AB为y=x﹣2如图1，过点O作OH⊥AB于点H，在Rt△OBH中，OH=，∵＞1，∴原点O在⊙P外；（2）如图2，当⊙P过点B时，点P在y轴右侧时，∵PB=PC，∴∠PCB=∠OBA=30°，∴⊙P被y轴所截的劣弧所对的圆⼼⾓为：180°﹣30°﹣30°=120°，∴弧长为：=；同理：当⊙P过点B时，点P在y 轴左侧时，弧长同样为：；∴当⊙P过点B时，⊙P被y 轴所截得的劣弧的长为：；（3）如图3，当⊙P与x轴相切时，且位于x轴下⽅时，设切点为D，在PD⊥x轴，∴PD∥y轴，∴∠APD=∠ABO=30°，∴在Rt△DAP中，AD=DP?tan∠DPA=1×tan30°=，∴OD=OA﹣AD=2﹣，∴此时点D的坐标为：（2﹣，0）；当⊙P与x轴相切时，且位于x轴上⽅时，根据对称性可以求得此时切点的坐标为：（2+，0）；综上可得：当⊙P与x轴相切时，切点的坐标为：（2﹣，0）或（2+，0）．26.解：（1）在Rt△ABQ中，∵AQ：AB=3：4，AQ=3x，∴AB=4x，∴BQ=5x，∵OD⊥m，m⊥l，∴OD∥l，∵OB=OQ，∴=2x，∴CD=2x，∴FD==3x；（2）∵AP=AQ=3x，PC=4，∴CQ=6x+4，作OM⊥AQ于点M（如图1），∴OM∥AB，∵⊙O是△ABQ的外接圆，∠BAQ=90°，∴点O是BQ的中点，∴QM=AM=x ∴OD=MC=，∴OE=BQ=，∴ED=2x+4，S矩形DEGF=DF?DE=3x（2x+4）=90，解得：x1=﹣5（舍去），x2=3，∴AP=3x=9；（3）①若矩形DEGF是正⽅形，则ED=DF，I．点P在A点的右侧时（如图1）∴2x+4=3x，解得：x=4，∴AP=3x=12；II．点P在A点的左侧时，当点C在Q右侧，0＜x ＜时（如图2），∵ED=4﹣7x，DF=3x，∴4﹣7x=3x，解得：x=，∴AP=；当≤x ＜时（如图3），∵ED=4﹣7x，DF=3x，∴4﹣7x=3x，解得：x=（舍去），当点C在Q的左侧时，即x ≥（如图4），DE=7x﹣4，DF=3x，∴7x﹣4=3x，解得：x=1，∴AP=3，综上所述：当AP为12或或3时，矩形DEGF是正⽅形；②连接NQ，由点O到BN的弦⼼距为l，得NQ=2，当点N在AB的左侧时（如图5），过点B作BM⊥EG于点M，∵GM=x，BM=x，∴∠GBM=45°，∴BM∥AQ，∴AI=AB=4x，∴IQ=x，∴NQ==2，∴x=2，∴AP=6；当点N在AB的右侧时（如图6），过点B作BJ⊥GE于点J，∵GJ=x，BJ=4x，∴tan∠GBJ=，∴AI=16x，∴QI=19x，∴NQ==2，∴x=，∴AP=，综上所述：AP的长为6或．。
二次函数与一元二次方程练习题(含答案)
二次函数与一元二次方程一、选择题1．如图2－128所示的是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，则一次函数y=ax －b 的图象不经过 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，若a 与c 异号，则其图象与x 轴的交点个数为 ( )A ．2个B ．1个C ．0个D ．不能确定 3．根据下列表格的对应值：x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax 2＋bx ＋c－0.06－0.020.030.09判断方程 ax 2＋bx ＋c=0(a ≠0，a ，b ，c 为常数)的一个解x 的取值范围是 ( )A ．3＜x ＜3.23B ．3．23＜x ＜3.24C ．3.24＜x ＜3.25D ．3.25＜x ＜3.26 4．函数cbx axy ++=2的图象如图l －2－30，那么关于x 的方程a x 2+b+c-3=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号实数根C ．有两个相等实数根D ．无实数根5．二次函数cbx ax y ++=2的图象如图l －2－31所示，则下列结论成立的是（ ）A ．a ＞0，bc ＞0，△＜0 B.a ＜0，bc ＞0，△＜0 C ．a ＞0，bc ＜0，△＜0 D.a ＜0，bc ＜0，△＞06．函数cbx ax y ++=2的图象如图 l －2－32所示，则下列结论错误的是（ ）A ．a ＞0B ．b 2－4ac ＞0C 、20ax bx c ++=的两根之和为负D 、20ax bx c ++=的两根之积为正7.不论m 为何实数，抛物线y=x 2－mx ＋m －2（ ） A ．在x 轴上方 B ．与x 轴只有一个交点 C ．与x 轴有两个交点 D ．在x 轴下方 二、填空题8．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的部分图象如图 2－129所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的解为 ．9．若抛物线y=kx 2－2x ＋l 与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是 ． 10．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与x 轴只有一个交 点，则这个交点的坐标是 .11．已知函数y=kx 2－7x —7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是 12．直线y=3x —3与抛物线y=x 2 －x+1的交点的个数是 . 三、解答题13.已知二次函数y=-x 2+4x-3,其图象与y 轴交于点B,与x 轴交于A, C 两点. 求△ABC 的周长和面积.14..在体育测试时,初三的一名高个子男生推铅球,已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图),若这个男生出手处A 点的坐标为(0,2),铅球路线的最高处B 点的坐标为B(6,5).(1)求这个二次函数的表达式;(2)该男生把铅球推出去多远?(精确到0.01米).B(6,5)A(0,2)14121086420246xCy15.如图,已知抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴的两个交点分别为A(x 1,0),B(x 2,0) , 且x 1+x 2=4,1213x x .(1)求抛物线的代数表达式; (2)设抛物线与y 轴交于C 点,求直线BC 的表达式; (3)求△ABC 的面积.16．如果一个二次函数的图象经过点A(6，10)，与x 轴交于B ，C 两点，点B ，C 的横坐标分别为x 1，x 2，且x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝5，求这个二次函数的解析式．17．已知关于x 的方程x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2＋2＝0有两个不相等的实数根，试判断直线y ＝(2m －3)x －4m ＋7能否经过点A(－2，4)，并说明理由．18．二次函数y=ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图2－130所示，根据图象解 答下列问题．(1)写出方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根； (2)写出不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集；(3)写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围；BxOCy A(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．19．如图2－131所示，已知抛物线P：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F，G分别在线段BC，AC上，抛物线P上的部分点的横坐标对应的纵坐标如下.x …－3 －2 1 2 …y …－52－4 －520 …(1)求A，B，C三点的坐标；(2)若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系式，并指出m的取值范围；(3)当矩形DEFG的面积S最大时，连接DF并延长至点M，使FM＝k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围；(4)若点D的坐标为(1，0)，求矩形DEFG的面积．参考答案1．B[提示：a ＞0，－2ba＜0，∴b ＞0．] 2．A 3．C 4.C 5.D 6.D 7.C8．x 1＝－l ，x 2＝3[提示：由图象可知，抛物线的对称轴为x=l ，与x 轴的交点是(3，0)，根据对称性可知抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(－l ，0)，所以一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝3．故填x 1＝－l ，x 2＝3．]9．k ＜1，且k ≠0[提示：若抛物线与x 轴有两个交点，则(－2)2－4k ＞0．] 10．(－2ba，0) 11.略 12.113.令x=0,得y=-3,故B 点坐标为(0,-3). 解方程-x 2+4x-3=0,得x 1=1,x 2=3. 故A 、C 两点的坐标为(1,0),(3,0).所以AC=3-1=2,AB=221310+=,BC=223332+=, OB=│-3│=3. C △ABC =AB+BC+AC=21032++. S △ABC =12AC ·OB=12×2×3=3.14.(1)设y=a(x-6)2+5,则由A(0,2),得2=a(0-6)2+5,得a=112-. 故y=112-(x-6)2+5. (2)由 112-(x-6)2+5=0,得x 1=26215,6215x +=-.结合图象可知:C 点坐标为(6215+ 故OC=6215+13.75(米)即该男生把铅球推出约13.75米15..(1)解方程组1212413x xxx+=⎧⎪⎨=⎪⎩, 得x1=1,x2=3故2210330b cb c⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩,解这个方程组,得b=4,c=-3.所以,该抛物线的代数表达式为y=-x2+4x-3.(2)设直线BC的表达式为y=kx+m.由(1)得,当x=0时,y=-3,故C点坐标为(0,-3).所以330mk m=-⎧⎨+=⎩, 解得13km=⎧⎨=-⎩∴直线BC的代数表达式为y=x-3 (3)由于AB=3-1=2,OC=│-3│=3.故S△ABC =12AB·OC=12×2×3=3.16．解：设函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将A(6，10)代入，得10＝36a＋6b＋c①，当y＝0时，ax2＋bx＋c=0，又x1＋x2＝－ba=6②，x1x2＝ca＝5③，由①②③解得a=2，b＝－12，c＝10．所以解析式为y＝2x2－12x＋10．17．解：该直线不经过点A．理由如下：∵方程x2＋(2m＋1)x＋m2＋2＝0有两个不相等的实数根，∴△=(2m＋1)2－4(m2＋2)=4m－7＞0，∴2m－72＞0，∴2m－3＞0．又由4m－7＞0，得－4m＋7＜0，∴直线y=(2m－3)x－4m＋7经过第一、三、四象限，而A(－2，4)在第二象限，∴该直线不经过点A.18．解：(1)由二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可知，抛物线与x轴交于(1，0)，B(3，0)两点，即x＝1或x＝3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根．(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集，即是求y＞0的解集，由图象可知l＜x ＜3．(3)因为a＜0，故在对称轴的右侧y随x的增大而减小，即当x＞2时，y随x的增大而减小．(4)由图可知，22,242,43,baac baca⎧-=⎪⎪-⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩解得2,8,6.abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩代入方程得－2x2＋8x－6－k＝O．又因为方程有两个不相等的实数根，所以△＞0，即82－4×(－2)×(－6－k)＞0，解得k＜2．19．解法l：(1)任取x，y的三组值代入y=ax2＋bx＋c(a≠0)，求出解析式为y＝12x2＋x－4．令y＝0，得x1＝－4，x2＝2；令x＝0，得y=－4，∴A，B，C三点的坐标分别为A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4)．解法2：(1)由抛物线P过点(1，－52)，(－3，－52)可知，抛物线P的对称轴为x＝－1．又∵抛物线P过(2，0)，(－2，－4)，则由抛物线的对称性可知，点A，B，C的坐标分别为A(2，0)，B(－4，0)，C(0，－4)． (2)由题意，知AD DG AO OC=，而AO=2，OC=4，AD=2－m，故DG=4－2m．又BE EFBO OC=，EF=DG，得BE=4－2m，∴DE＝3m，∴S矩形DEFG ＝DG·DE＝(4－2m)·3m=12m－6m2(0＜m＜2)． (3)∵S矩形DEFG=12m－6m2(0＜m＜2)，∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6．当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，－2)，F(－2，－2)，E(－2，0)．设直线DF的解析式为y＝kx＋b，易知k＝23，b＝－23.∴y=23x－23.又抛物线P的解析式为y＝12x2＋x－4．令23x－23=12x2＋x－4，解得x161-±.如图2－132所示，设射线DF与抛物线P相交于点N，则N161--．过N作x轴的垂线交x轴于H，得1612561339FN HEDF DE-----+===.∵点M不在抛物线P上，即点M不与N重合，此时k的取值范围是k561-+且k＞0． (4)由(3)知S矩形DEFG＝6．。
二次函数与一元二次方程练习测试题
二次函数与一元二次方程练习题1、抛物线2283y x x =--与x 轴有 个交点，因为其判别式24b ac -= 0，相应二次方程23280x x -+=的根的情况为．答案：0 92-< 没有实数根．2、函数22y mx x m =+-（m 是常数）的图像与x 轴的交点个数为（）Ａ、0个Ｂ、1个Ｃ、2个Ｄ、1个或2个答案：Ｃ3、关于二次函数2y ax bx c =++的图像有下列命题：①当0c =时，函数的图像经过原点；②当0c >，且函数的图像开口向下时，方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是244ac b a-；④当0b =时，函数的图像关于y 轴对称．其中正确命题的个数是（）Ａ、1个 Ｂ、2个 Ｃ、3个 Ｄ、4个答案：Ｃ4、关于x 的方程25mx mx m ++=有两个相等的实数根，则相应二次函数25y mx mx m =++-与x 轴必然相交于点，此时m = ．答案：一 45、抛物线2(21)6y x m x m =---与x 轴交于两点1(0)x ，和2(0)x ，，若121249x x x x =++，要使抛物线经过原点，应将它向右平移 个单位．答案：4或96、关于x 的二次函数22(81)8y mx m x m =+++的图像与x 轴有交点，则m 的范围是（ ）Ａ、116m <-Ｂ、116m -≥且0m ≠ Ｃ、116m =- Ｄ、116m >-且0m ≠答案：Ｂ7、已知抛物线21()3y x h k =--+的顶点在抛物线2y x =上，且抛物线在x 轴上截得的线段长是h 和k 的值．答案：21()3y x h k =--+，顶点()h k ，在2y x =上，2h k ∴=，22221122()3333y x h h x hx h ∴=--+=-++．又它与x 轴两交点的距离为12x x a∴-==== 求得2h =±，4k =，即2h =，4k =或2h =-，4k =．8、已知函数22y x mx m =-+-．（1）求证：不论m 为何实数，此二次函数的图像与x 轴都有两个不同交点；（2）若函数y 有最小值54-，求函数表达式．答案：（1）222()4(2)48(2)4m m m m m ∆=---=-+=-+，不论m 为何值时，都有0∆>， 此时二次函数图像与x 轴有两个不同交点．（2）2244(2)5444ac b m m a ---==-，2430m m -+=，1m ∴=或3m =， 所求函数式为21y x x =--或231y x x =-+．9、下图是二次函数2y ax bx c =++的图像，与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于A 点． （1）根据图像确定a ，b ，c 的符号，并说明理由；（2）如果A 点的坐标为(03)-，，45ABC ∠=，60ACB ∠=，求这个二次函数的函数表达式．答案：（1）抛物线开口向上，0a >0a >， 0b ∴>；图像与y 轴交点在x 轴下方，c ∴0．（2）(03)A -，，3OA =，45ABC ∠=，60ACB ∠，3OB ，3tan 60OAOC ==(30)B ∴-，，C ．设二次函数式为(3)(x x +-， 把(03)-，代入上式，得a =∴所求函数式为23)(1)3y x x x x =+=+-． 10、已知抛物线222m y x mx =-+与抛物线2234m y x mx =+-在直角坐标系中的位置如图所示，其中一条与x 轴交于A ，B 两点．（1）试判断哪条抛物线经过A ，B 两点，并说明理由； （2）若A ，B 两点到原点的距离AO ，OB 满足条件1123OB OA -=，求经过A ，B 两点的这条抛物线的函数式．答案：（1）抛物线不过原点，0m ≠，令2x mx -+2202m m =-<，222m y x mx =-+∴与x 轴无交点，∴，B 两点．Ｂ（2）设1(0)A x ，，2(0)B x ，，1x ，2x 是方程22304x mx m +-=的两根12x x m +=-，21234x x m =-，A 在原点左边，B 在原点右边，则1AO x =-，2OB x =．123OB OA 1-=．211123x x ∴+=，121223x x x x +=，22334m m -=-，得2m =，∴所求函数式为223y x x =+-． 11、已知二次函数2224y x mx m =-+．（1）求证：当0m ≠时，二次函数的图像与x 轴有两个不同交点；（2）若这个函数的图像与x 轴交点为A ，B，顶点为C ，且△ABC 的面积为，求此二次函数的函数表达式．答案：（1）22222(4)421688m m m m m ∆=--⨯⨯=-=．0m ≠，280m ∴>，∴这个抛物线与x 轴有两个不同交点．（2）设1(0)A x ，，212(0)()B x x x >，，则1x ，2x 是方程22240x mx m -+=两根， 122x x m +=，2122m x x=，21AB x x =-====，C 点纵坐标22224816442c ac b m m y m a --===-⨯， ∴△ABC 中AB 边上的高22h m m =-=．21124222ABCSAB h m m ===，2m =，2m =±， 2284y x x ∴=++或2284y x x =-+．12、如图所示，函数2(2)(5)y k xk =--+-0x =．答案：13、已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于C 12)x x <两点，顶点M 的纵坐标为4-，若1x ，2x 是方程22(1)x m x --+2210=． （1）求A ，B 两点坐标；（2（3）在抛物线上是否存在着点P ，使△PAB 出P 点坐标；若不存在，请说明理由． 答案：（1）由122(1)x x m +=-，2127x x m =-，22222121212()24(1)2(7)10x x x x x x m m +=+-=---=，得2m =，11x ∴=-，23x =，(10)A -，，(30)B ，．（2）抛物线过A ，B 两点，其对称轴为1x =，顶点纵坐标为4-，∴抛物线为2(1)4y a x =--．把1x =-，0y =代入得1a =，∴抛物线函数式为223y x x =--，其中(03)C -，． （3）存在着P 点．(10)A -，，(03)C -，，(14)M -，，(30)B ，，∴9ACMB S =四形，18ABPS =，即1182P y AB =．4AB =，9P y ∴=．把9y =代入抛物线方程得11x =21x =(1P ∴-或(1P +．14、二次函数269y x x =-+-的图像与x 轴的交点坐标为 ．答案：（3，0） 15、二次函数25106y x x =-+的图像与x 轴有 个交点．答案：0 16、对于二次函数2135y x x =++，当12x =时，y = ．答案：1132017、如图是二次函数2246y x x =--的图像，那么方程22460x x --=的两根之和 0． 答案：>18、求下列函数的图像与x 轴的交点坐标，并作草图验证．（1）25166y x x =-+； （2）2336y x x =+-．答案：（1）（13，0），（12，0），图略 （2）（119、一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，且214x x +=，点(38)A -，在抛物线2y ax bx c =++上，求点A 关于抛物线的对称轴对称的点的坐标．答案：（1，8-）20、若二次函数2y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为（ ）Ａ、a c + Ｂ、a c - Ｃ、c - Ｄ、c 答案：Ｄ21、下列二次函数中有一个函数的图像与x 轴有两个不同的交点，这个函数是（ ）答案：ＤＡ、2y x =Ｂ、24y x =+Ｃ、2325y x x =-+ Ｄ、2351y x x =+-22、二次函数256y x x =-+与x 轴的交点坐标是（ ）答案：AＡ、（2，0）（3，0） Ｂ、（2-，0）（3-，0） Ｃ、（0，2）（0，3） Ｄ、（0，2-）（0，3-）23、试说明一元二次方程2441x x -+=的根与二次函数244y x x =-+的图像的关系，并把方程的根在图象上表示出来．答案：一元二次方程2441x x -+=的根是二次函数244y x x =-+与直线1y =的交点的横坐标，图略．24、利用二次函数图象求一元二次方程的近似根．210x x +-=答案：1 1.6x ≈-，20.6x ≈25、利用二次函数图象求一元二次方程的近似根．24834x x --=-答案：1 1.9x ≈，20.1x ≈26、函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的一元二次方程230ax bx c ++-=的根的情况是（）Ａ、有两个不相等的实数根 Ｂ、有两个异号的实数根 Ｃ、有两个相等的实数根 Ｄ、没有实数根答案：Ｃ27、利用二次函数的图象求一元二次方程的近似值．答案：15.5x ≈，20.5x ≈-28、抛物线2321y x x =-+-的图象与坐标轴交点的个数是（）答案：ＡＡ、没有交点 Ｂ、只有一个交点Ｃ、有且只有两个交点 Ｄ、有且只有三个交点29、已知二次函数212y x bx c =-++，关于x 的一元二次方程2102x bx c -++=的两个实根是1-和5-，则这个二次函数的解析式为 答案：215322y x x =---30、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标(1 3.2)--，及部分图象（如图４所示），由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是1 1.3x =和2x = ．答案： 3.3-y。
一元二次方程与二次函数测试题
一元二次方程与二次函数测试题1一．选择题（共10小题）1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．（x+1）2=2（x+1）B．C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣12．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0的一个根是0，则m的值为（）A．1 B．1或﹣1 C．﹣1 D．0.53．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）A．B．C．D．4．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可变形为（）A．（x+2）2=9 B．（x﹣2）2=9 C．（x+2）2=1 D．（x﹣2）2=15．一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞2 B．k＜2 C．k＜2且k≠1 D．k＞2且k≠16．函数y=﹣x2+1的图象大致为（）A．B．C． D．7．已知二次函数y=x2﹣4x+a，下列说法错误的是（）A．当x＜1时，y随x的增大而减小B．若图象与x轴有交点，则a≤4C．当a=3时，不等式x2﹣4x+a＞0的解集是1＜x＜3D．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，﹣2），则a=﹣38．已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y=﹣2x2﹣8x+m上的点，则（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1 9．如图，Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（）A．B．C．D．10．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（）A．7m B．8m C．9m D．10m二．填空题（共10小题）11．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1=0的一个根是0，则实数a的值为．12．2x2﹣x﹣1=0的二次项系数是，一次项系数是，常数项是．13．已知α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是．14．一元二次方程x2+3﹣2x=0的解是．15．抛物线y=﹣x2﹣2x+m，若其顶点在x轴上，则m=．16．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（5，0）、B（6，﹣6）和原点，则抛物线的函数关系式是．17．如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．则①当x＞4时，M＜0；②当x＜2时，M随着x增大而增大；③使得M大于4的x值不存在；④若M=2，则x=1，其中正确的有（填写序号）18．已知二次函数y=（x﹣2）2+3，当x时，y随x的增大而减小．19．如果一条抛物线经过平移后与抛物线y=﹣x2+2重合，且顶点坐标为（4，﹣2），则它的解析式为．20．用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是cm2．三．解答题（共10小题）21．解方程（1）3x（x﹣1）=2﹣2x （2）x2+8x﹣9=0．（3）（x﹣3）2=3﹣x （4）3x2+5（2x+1）=0．22．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若△ABC中，AB=AC=2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2=0的两根，求BC的长．23．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0的两个不相等的实数根α、β满足，求m的值．24．（2014•蜀山区校级模拟）已知抛物线y=﹣﹣x+4，（1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴；（2）x取何值时，y随x增大而减小？（3）x取何值时，抛物线在x轴上方？25．某商场销售一种进价为20元/台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量w（台），销售单价x（元）满足w=﹣2x+80，设销售这种台灯每天的利润为y（元）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时．毎天的利润最大？最大利润多少？（3）在保证销售量尽可能大的前提下．该商场每天还想获得150元的利润，应将销售单价定位为多少元？28．（2015•黑龙江）如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．一元二次方程与二次函数测试题1参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016•新都区模拟）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．（x+1）2=2（x+1）B．C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣1【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【解答】解：下列方程中，关于x的一元二次方程是（x+1）2=2（x+1），故选A．2．（2016春•无锡校级期中）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0的一个根是0，则m的值为（）A．1 B．1或﹣1 C．﹣1 D．0.5【分析】根据一元二次方程的定义得到m﹣1≠0；根据方程的解的定义得到m2﹣1=0，由此可以求得m的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0的一个根是0，∴m2﹣1=0且m﹣1≠0，解得m=﹣1．故选：C．3．（2016•枣庄）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）A．B． C．D．【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可．【解答】解：∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4（kb+1）＞0，解得kb＜0，A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；D．k＞0，b=0，即kb=0，故D不正确；故选：B．4．（2016•夏津县二模）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可变形为（）A．（x+2）2=9 B．（x﹣2）2=9 C．（x+2）2=1 D．（x﹣2）2=1【分析】移项后配方，再根据完全平方公式求出即可．【解答】解：x2+4x﹣5=0，x2+4x=5，x2+4x+22=5+22，（x+2）2=9，故选：A．5．（2016•邹城市一模）一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞2 B．k＜2 C．k＜2且k≠1 D．k＞2且k≠1【分析】根据一元二次方程的根的判别式，以及二次项系数不等于0，建立关于k的不等式组，求出k的取值范围．【解答】解：∵a=1﹣k，b=﹣2，c=﹣1，方程有两个不相等的实数根．∴△=b2﹣4ac=4+4（1﹣k）=8﹣4k＞0∴k＜2又∵一元二次方程的二次项系数不为0，即k≠1．∴k＜2且k≠1．故选C．6．（2016•当涂县三模）函数y=﹣x2+1的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴，和y轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵二次项系数a＜0，∴开口方向向下，∵一次项系数b=0，∴对称轴为y轴，∵常数项c=1，∴图象与y轴交于（0，1），故选B．7．（2016•滨州一模）已知二次函数y=x2﹣4x+a，下列说法错误的是（）A．当x＜1时，y随x的增大而减小B．若图象与x轴有交点，则a≤4C．当a=3时，不等式x2﹣4x+a＞0的解集是1＜x＜3D．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，﹣2），则a=﹣3【分析】现根据函数解析式，画出草图．A、此函数在对称轴的左边是随着x的增大而减小，在右边是随x增大而增大，据此作答；B、和x轴有交点，就说明△≥0，易求a的取值；C、解一元二次不等式即可；D、根据左加右减，上加下减作答即可．【解答】解：∵y=x2﹣4x+a，∴对称轴x=2，此二次函数的草图如图：A、当x＜1时，y随x的增大而减小，此说法正确；B、当△=b2﹣4ac=16﹣4a≥0，即a≤4时，二次函数和x轴有交点，此说法正确；C、当a=3时，不等式x2﹣4x+a＞0的解集是x＜1或x＞3，此说法错误；D、y=x2﹣4x+a配方后是y=（x﹣2）2+a﹣4，向上平移1个单位，再向左平移3个单位后，函数解析式是y=（x+1）2+a﹣3，把（1，﹣2）代入函数解析式，易求a=﹣3，此说法正确．故选C．8．（2016•滨江区模拟）已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y=﹣2x2﹣8x+m上的点，则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1【分析】求出抛物线的对称轴，结合开口方向画出草图，根据对称性解答问题．【解答】解：抛物线y=﹣2x2﹣8x+m的对称轴为x=﹣2，且开口向下，x=﹣2时取得最大值．∵﹣4＜﹣1，且﹣4到﹣2的距离大于﹣1到﹣2的距离，根据二次函数的对称性，y3＜y1．∴y3＜y1＜y2．∴故选C．9．（2016•东莞市二模）如图，Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（）A． B． C．D．【分析】Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出∠OCD=∠A，即∠AOD=∠OCD=45°，进而证明OD=CD=t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．【解答】解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，∴∠AOB=∠A=45°，∵CD⊥OB，∴CD∥AB，∴∠OCD=∠A，∴∠AOD=∠OCD=45°，∴OD=CD=t，∴S△OCD=×OD×CD=t2（0≤t≤3），即S=t2（0≤t≤3）．故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]、开口向上的二次函数图象；故选D．10．（2015•佛山）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（）A．7m B．8m C．9m D．10m【分析】本题可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣2）m，宽为（x﹣3）m．根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长．【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣3）（x﹣2）=20，解得：x1=7，x2=﹣2（不合题意，舍去）即：原正方形的边长7m．故选：A．二．填空题（共10小题）11．（2016春•惠山区期末）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1=0的一个根是0，则实数a的值为﹣1．【分析】已知了一元二次方程的一个实数根，可将其代入该方程中，即可求出a 的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1=0的一个根是0，∴|a|﹣1=0，即a=±1，∵a﹣1≠0∴a=﹣1，故答案为：﹣1．12．（2015秋•凤庆县校级期末）2x2﹣x﹣1=0的二次项系数是2，一次项系数是﹣，常数项是﹣1．【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【解答】解：根据一元二次方程的定义得：2x2﹣x﹣1=0的二次项系数是2，一次项系数是﹣，常数项是﹣1．13．（2016•高安市一模）已知α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是3．【分析】先求出两根之积与两根之和的值，再将+化简成两根之积与两根之和的形式，然后代入求值．【解答】解：∵α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根；∴α+β=﹣2m﹣3，α•β=m2；∴+===﹣1；∴m2﹣2m﹣3=0；解得m=3或m=﹣1；∵一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有两个不相等的实数根；∴△=（2m+3）2﹣4×1×m2=12m+9＞0；∴m＞﹣；∴m=﹣1不合题意舍去；∴m=3．14．（2015•天水）一元二次方程x2+3﹣2x=0的解是x1=x2=．【分析】先分解因式，即可得出完全平方式，求出方程的解即可．【解答】解：x2+3﹣2x=0（x﹣）2=0∴x1=x2=．故答案为：x1=x2=．15．（2012•滕州市校级模拟）抛物线y=﹣x2﹣2x+m，若其顶点在x轴上，则m=﹣1．【分析】根据抛物线y=﹣x2﹣2x+m，若其顶点在x轴上可知其顶点纵坐标为0，故可得出关于m的方程，求出m的值即可．【解答】解：∵抛物线y=﹣x2﹣2x+m，若其顶点在x轴上，∴=0，解得m=﹣1．故答案为：﹣1．16．（2008秋•周村区期中）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（5，0）、B（6，﹣6）和原点，则抛物线的函数关系式是y=﹣x2+5x．【分析】把三点坐标代入函数解析式，即可得到关于a，b，c的方程组，即可求得a，b，c的值，求出函数解析式．【解答】解：把点A（5，0）、B（6，﹣6）、（0.0）代入抛物线y=ax2+bx+c，得：解得：则抛物线的函数关系式是y=﹣x2+5x．17．如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．则①当x＞4时，M＜0；②当x＜2时，M随着x增大而增大；③使得M大于4的x值不存在；④若M=2，则x=1，其中正确的有②③（填写序号）【分析】若y1=y2，记M=y1=y2．首先求得抛物线与直线的交点坐标，利用图象可得当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；然后根据当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；即可求得答案．【解答】解：∵当y1=y2时，即﹣x2+4x=2x时，解得：x=0或x=2，∴当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时，利用函数图象可以得出0＞y2＞y1；∴①错误；∵抛物线y1=﹣x2+4x，直线y2=2x，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；∴当x＜2时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；∴②正确；∵抛物线y1=﹣x2+4x的最大值为4，故M大于4的x值不存在，∴③正确；∵如图：当0＜x＜2时，y1＞y2；当M=2，2x=2，x=1；x＞2时，y2＞y1；当M=2，﹣x2+4x=2，x1=2+，x2=2﹣（舍去），∴使得M=2的x值是1或2，∴④错误；故答案为：②③．18．（2015•漳州）已知二次函数y=（x﹣2）2+3，当x＜2时，y随x的增大而减小．【分析】根据二次函数的性质，找到解析式中的a为1和对称轴；由a的值可判断出开口方向，在对称轴的两侧可以讨论函数的增减性．【解答】解：在y=（x﹣2）2+3中，a=1，∵a＞0，∴开口向上，由于函数的对称轴为x=2，当x＜2时，y的值随着x的值增大而减小；当x＞2时，y的值随着x的值增大而增大．故答案为：＜2．19．（2015•东光县校级二模）如果一条抛物线经过平移后与抛物线y=﹣x2+2重合，且顶点坐标为（4，﹣2），则它的解析式为y=﹣（x﹣4）2﹣2．【分析】一条抛物线经过平移后与抛物线y=﹣x2+2重合，所以所求抛物线的二次项系数为a=﹣，再根据顶点坐标写出表达式则可．【解答】解：根据题意，可设所求的抛物线的解析式为y=a（x﹣h）2+k；∵此抛物线经过平移后与抛物线y=﹣x2+2重合，∴a=﹣；∵此抛物线的顶点坐标为（4，﹣2），∴其解析式为：y=﹣（x﹣4）2﹣2．20．（2015•莆田）用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是64cm2．【分析】设矩形的一边长是xcm，则邻边的长是（16﹣x）cm，则矩形的面积S 即可表示成x的函数，根据函数的性质即可求解．【解答】解：设矩形的一边长是xcm，则邻边的长是（16﹣x）cm．则矩形的面积S=x（16﹣x），即S=﹣x2+16x，当x=﹣=﹣=8时，S有最大值是：64．故答案是：64．三．解答题（共10小题）21．（2014秋•成都期中）解方程（1）3x（x﹣1）=2﹣2x（2）x2+8x﹣9=0．【分析】（1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）3x（x﹣1）=2﹣2x，3x（x﹣1）+2（x﹣1）=0，（x﹣1）（3x+2）=0，x﹣1=0，3x+2=0，x1=1，x2=﹣；（2）x2+8x﹣9=0，（x+9）（x﹣1）=0，x+9=0，x﹣1=0，x1=﹣9，x2=1．22．（2013秋•武穴市校级月考）解方程：（3x﹣1）（x﹣1）=（4x+1）（x﹣1）．【分析】分析本题容易犯的错误是约去方程两边的（x﹣1），将方程变为3x﹣1=4x+1，所以x=﹣2，这样就丢掉了x=1这个根．故特别要注意：用含有未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程失根．【解答】解：（3x﹣1）（x﹣1）﹣（4x+1）（x﹣1）=0，（x﹣1）[（3x﹣1）﹣（4x+1）]=0，（x﹣1）（x+2）=0，∴x1=1，x2=﹣2．23．（2013秋•嘉峪关校级期中）解方程（1）（x﹣1）（x+3）=12（2）（x﹣3）2=3﹣x（3）3x2+5（2x+1）=0．【分析】（1）方程整理为一般形式后，左边利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；（2）方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；（3）方程整理为一般形式后，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出值．【解答】解：（1）方程整理得：x2+2x﹣15=0，分解因式得：（x﹣3）（x+5）=0，解得：x1=3，x2=﹣5；（2）方程变形得：（x﹣3）2+（x﹣3）=0，分解因式得：（x﹣3）（x﹣3+1）=0，解得：x1=3，x2=2；（3）方程整理得：3x2+10x+5=0，这里a=3，b=10，c=5，∵△=100﹣60=40，∴x==．24．（2015秋•永川区校级期中）已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若△ABC中，AB=AC=2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2=0的两根，求BC的长．【分析】（1）若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围．（2）由于AB=2是方程kx2﹣4x+2=0，所以可以确定k的值，进而再解方程求出BC的值．【解答】解：（1）∵方程有实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×k×2=16﹣8k≥0，解得：k≤2，又因为k是二次项系数，所以k≠0，所以k的取值范围是k≤2且k≠0．（2）由于AB=2是方程kx2﹣4x+2=0，所以把x=2代入方程，可得k=，所以原方程是：3x2﹣8x+4=0，解得：x1=2，x2=，所以BC的值是．25．（2004•重庆）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0的两个不相等的实数根α、β满足，求m的值．【分析】首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系可以求得方程的根的和与积，将转化为关于m的方程，求出m的值并检验．【解答】解：由判别式大于零，得（2m﹣3）2﹣4m2＞0，解得m＜．∵即．∴α+β=αβ．又α+β=﹣（2m﹣3），αβ=m2．代入上式得3﹣2m=m2．解之得m1=﹣3，m2=1．∵m2=1＞，故舍去．∴m=﹣3．26．（2014•蜀山区校级模拟）已知抛物线y=﹣﹣x+4，（1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴；（2）x取何值时，y随x增大而减小？（3）x取何值时，抛物线在x轴上方？【分析】（1）用配方法时，先提二次项系数，再配方，写成顶点式，根据顶点式的坐标特点求顶点坐标及对称轴；（2）对称轴是x=﹣1，开口向下，根据对称轴及开口方向确定函数的增减性；（3）令y=0，确定函数图象与x轴的交点，结合开口方向判断x的取值范围．【解答】解：（1）∵y=﹣﹣x+4=﹣（x2+2x﹣8）=﹣[（x+1）2﹣9]=﹣+，∴它的顶点坐标为（﹣1，），对称轴为直线x=﹣1；（2）∵抛物线对称轴是直线x=﹣1，开口向下，∴当x＞﹣1时，y随x增大而减小；（3）当y=0时，即﹣+=0解得x1=2，x2=﹣4，而抛物线开口向下，∴当﹣4＜x＜2时，抛物线在x轴上方．27．（2011•乌鲁木齐）某商场销售一种进价为20元/台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量w（台），销售单价x（元）满足w=﹣2x+80，设销售这种台灯每天的利润为y（元）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时．毎天的利润最大？最大利润多少？（3）在保证销售量尽可能大的前提下．该商场每天还想获得150元的利润，应将销售单价定位为多少元？【分析】（1）用每台的利润乘以销售量得到每天的利润．（2）由（1）得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销售单价．（3）把y=150代入函数，求出对应的x的值，然后根据w与x的关系，舍去不合题意的值．【解答】解：（1）y=（x﹣20）（﹣2x+80），=﹣2x2+120x﹣1600；（2）∵y=﹣2x2+120x﹣1600，=﹣2（x﹣30）2+200，∴当x=30元时，最大利润y=200元；（3）由题意，y=150，即：﹣2（x﹣30）2+200=150，解得：x1=25，x2=35，又销售量W=﹣2x+80随单价x的增大而减小，所以当x=25时，既能保证销售量大，又可以每天获得150元的利润．28．（2015•黑龙江）如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线经过点A（1，0），对称轴是x=2列出方程组，解方程组求出b、c的值即可；（2）因为点A与点C关于x=2对称，根据轴对称的性质，连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，求出直线BC与x=2的交点即可．【解答】解：（1）由题意得，，解得b=4，c=3，∴抛物线的解析式为．y=x2﹣4x+3；（2）∵点A与点C关于x=2对称，∴连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），y=x2﹣4x+3与y轴的交点为（0，3），∴设直线BC的解析式为：y=kx+b，，解得，k=﹣1，b=3，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，则直线BC与x=2的交点坐标为：（2，1）∴点P的坐标为：（2，1）．29．（2015•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据题意确定出B与C的坐标，代入抛物线解析式求出b与c的值，即可确定出解析式；（2）把抛物线解析式化为顶点形式，找出顶点坐标，四边形ABDC面积=三角形ABC面积+三角形BCD面积，求出即可．【解答】解：（1）由已知得：C（0，4），B（4，4），把B与C坐标代入y=﹣x2+bx+c得：，解得：b=2，c=4，则解析式为y=﹣x2+2x+4；（2）∵y=﹣x2+2x+4=﹣（x﹣2）2+6，∴抛物线顶点坐标为（2，6），则S=S△ABC+S△BCD=×4×4+×4×2=8+4=12．四边形ABDC30．（2015•湖北）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m 的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得x（25﹣2x+1）=80，化简，得x2﹣13x+40=0，解得：x1=5，x2=8，当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时，26﹣2x=10＜12，答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．。
二次函数与一元二次方程
二次函数 检测试题一、选择题（每题3分，共30分）1，二次函数y ＝(x －1)2+2的最小值是（ ）A.－2B.2C.－1D.12，已知抛物线的解析式为y ＝(x －2)2＋1，则抛物线的顶点坐标是（ ） A.(－2,1) B.(2，1) C.(2，－1) D.(1，2)3，函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是 （ ）4，在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s ＝5t 2+2t ，则当t ＝4时，该物体所经过的路程为（ ）A.28米B.48米C.68米D.88米5，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图2所示，给出以下结论：① a +b +c ＜0；② a －b +c ＜0；③ b +2a ＜0；④ abc ＞0 .其中所有正确结论的序号是（ ）A. ③④B. ②③C. ①④D. ①②③6，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图3所示，若M ＝4a +2b +c ，N ＝a －b +c ，P ＝4a +2b ，则（ ）A.M ＞0，N ＞0，P ＞0B. M ＞0，N ＜0，P ＞0C. M ＜0，N ＞0，P ＞0D. M ＜0，N ＞0，P ＜0 7，如果反比例函数y ＝kx的图象如图4所示，那么二次函数y ＝kx 2－k 2x －1的图象大致为（ ）8，用列表法画二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象时先列一个表，当表中对自变量x 的值以相等间隔的值增加时，函数y 所对应的函数值依次为：20，56，110，182，274，380，506，650.其中有一个值不正确，这个不正确的值是( )A. 506B.380C.274D.189，二次函数y ＝x 2的图象向上平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（ ） A. y ＝x 2－2 B. y ＝(x －2)2 C. y ＝x 2+2 D. y ＝(x +2)2图3图4B ．图5图110，如图6，小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h ＝3.5t －4.9t 2（t 的单位：s ，h 的单位：m ）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ）A.0.71sB.0.70sC.0.63sD.0.36s二、填空题（每题3分，共24分）11，形如y ＝＿＿＿ (其中a ＿＿＿，b 、c 是_______ )的函数，叫做二次函数. 12，抛物线y ＝(x –1)2–7的对称轴是直线 . 13，如果将二次函数y ＝2x 2的图象沿y 轴向上平移1个单位，那么所得图象的函数解析式是 . 14，平移抛物线y ＝x 2+2x －8，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式______ . 15，若二次函数y ＝x 2－4x ＋c 的图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c ＝____(只要求写出一个).16，现有A 、B 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）.用小莉掷A 立方体朝上的数字为x 、小明掷B 立方体朝上的数字为y 来确定点P （x ，y ）， 那么它们各掷一次所确定的点P 落在已知抛物线y ＝－x 2+4x 上的概率为＿＿＿.17，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像如图7所示，则点A (a ，b )在第＿＿＿象限.18，已知抛物线y ＝x 2－6x +5的部分图象如图8，则抛物线的对称轴为直线x ＝ ，满足y ＜0的x 的取值范围是 .三、解答题（共66分）19，已知抛物线y ＝ax 2经过点(1，3)，求当y ＝4时，x 的值.20，已知一抛物线与x 轴的交点是)0,2( A 、B （1，0），且经过点C （2，8）。
一元二次方程与二次函数测试题(供参考)
一元二次方程二次函数考试试卷总分（120）分，考试时刻（120）分钟】说明：1．全卷共4页，考试历时120分钟，总分值为120分．2．答卷前，考生务必用黑色笔迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、 试室号、座位号．用2B 铅笔把对应该号码的标号涂黑．一.选择题（每题4分，共40分） 1.二次函数2(1)2y x =-+的最小值是（ ）A ．2-B ．2C ．1-D ．12.如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且通过点P （3，0）， 则c b a +-的值为A. 0B. －1C. 1D. 2 3.22(1)3y x =-+的图象的极点坐标是（ ） A ．(13)，B ．(13)-，C ．(13)-，D ．(13)--，4.函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是 （ ）5.将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角别离剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体.当ｘ取下面哪个数值时,长方体的体积最大A. 7B. 6C. 5D. 4 6.以下命题：①若0a b c ++=，那么240b ac -≥； ②若b a c >+，那么一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根；③若23b a c =+，那么一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ④若240b ac ->，那么二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. 其中正确的选项是（ ）．Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ． 只有②③④．7.如下图是二次函数2122y x =-+的图象在x 轴上方的一部份，关于这段图象与x 轴所围成的阴影部份的面积，你以为与其最．接近的值是（ ） A ．4B ．163C ．2πD ．88.在平面直角坐标系中，若是抛物线y ＝2x 2不动，而把x 轴、y 轴别离向上、向 右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是A ．y ＝2(x －2)2 + 2B ．y ＝2(x + 2)2－Ｏxyy–1 33O xP1C．y＝2(x－2)2－2 D．y＝2(x + 2)2 + 210.一个函数的图象如图，给出以下结论：x 时，函数值最大；①当0（第10题）②当02x <<时，函数y 随x 的增大而减小； ③存在001x <<，当0x x =时，函数值为0．其中正确的结论是（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③二、填空题（每题5分，共15分）11.如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之 间的关系是21251233y x x =-++．那么他将铅球推出的距离是 m ． 12.初三数学讲义上，用“描点法”画二次函数2y ax bx c =++的图象时，列了如下表格：依照表格上的信息回答下列问题：该二次函数2y ax bx c =++在3x =时，y =_______13. 已知函数22y x x c =-++的部份图象如下图,那么c=______, 当x______时,y 随 x 的增大而减小.14题（8分）15题（8分）x… 2-1- 0 1 2 … y…162- 4-122- 2-122- …ox1316.(9分)已知二次函数y=x2-2x-1。
24-25九年级数学第一次月考卷(武汉用,人教版九上第21~22章：一元二次方程+二次函数)(考试版
2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷（湖北武汉专用）（考试时间：120分钟 满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版九上第21~22章（一元二次方程+二次函数）。
5．难度系数：0.58。
第一部分（选择题 共30分）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一元二次方程()250--=x x 中一次项的系数是( )A ．B ．2C ．5-D ．1-2．方程2570x x +-=的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．有一个实数根3．已知二次函数()2211y a x x a =--+-图象经过原点，则a 的取值为（ ）．A ．1a =±B ．1a =C ．1a =-D ．0a =4．抛物线22(5)3y x =++关于x 轴对称后的新抛物线表达式为（ ）A ．22(5)3y x =-+B ．22(5)3y x =+-C ．22(5)3y x =--+D ．22(5)3y x =-+-5．设1(2,)A y -，2(1,)B y -，3(1,)C y ，是抛物线2(1)y x m =+-上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 26．如图，在用一坐标中，函数y ＝ax 2+bx （a≠0）与y ＝ax+b 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知，0ab >，420a b c ++=，420a b c -+>，则下列结论成立的是（ ）A ．0a >，24b ac ³B ．0a >，24b ac <C ．0<a ，24b ac <D ．0<a ，24b ac>8．小强从如图所示的二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象中，观察得出了下面五条结论：你认为其中正确结论的个数有（ ）（1）a ＜0；（2）b ＞0；（3）a ﹣b +c ＞0；（4）2a +b ＜0．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．当﹣2≤x ≤1时，二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1有最大值4，则m 的值为（ ）A ．B ．2或C ．2或﹣74D 10．抛物线2y ax bx c =++的部分图象如图，其顶点为(1,2)P ，与x 轴的一个交点Q 在点(2,0)和(3,0)之间，则以下结论：①240b ac ->；②<0a b c -+；③2c a -=；④2y ax bx c =++与x 轴的另一个交点M 在点(2,0)-和(3,0)-之间．其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第二部分（非选择题 共90分）二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
22.2《二次函数与一元二次方程》练习题(含答案)
22.2 二次函数与一元二次方程01 基础题知识点1 二次函数与一元二次方程1．(柳州中考)小兰画了一个函数y ＝x 2＋ax ＋b 的图象如图，则关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0的解是(D )A ．无解B ．x ＝1C ．x ＝－4D ．x ＝－1或x ＝42．(青岛中考)若抛物线y ＝x 2－6x ＋m 与x 轴没有交点，则m 的取值范围是m ＞9． 3．二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象如图，若一元二次方程ax 2＋bx ＋m ＝0有实数根，则m 的取值范围为m ≤3．4．(1)已知一元二次方程x 2＋x －2＝0有两个不相等的实数根，即x 1＝1，x 2＝－2.求二次函数y ＝x 2＋x －2与x 轴的交点坐标；(2)若二次函数y ＝－x 2＋x ＋a 与x 轴有一个交点，求a 的值．解：(1)∵一元二次方程x 2＋x －2＝0有两个不相等的实数根，即x 1＝1，x 2＝－2， ∴二次函数y ＝x 2＋x －2与x 轴的交点坐标为(1，0)，(－2，0)． (2)∵二次函数y ＝－x 2＋x ＋a 与x 轴有一个交点， 令y ＝0，则－x 2＋x ＋a ＝0有两个相等的实数根， ∴1＋4a ＝0，解得a ＝－14.知识点2利用二次函数求一元二次方程的近似解5．(兰州中考)下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是(C)A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3知识点3二次函数与不等式6．二次函数y＝x2－x－2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是(C)A．x＜－1B．x＞2C．－1＜x＜2D．x＜－1或x＞27．画出二次函数y＝x2－2x的图象．利用图象回答：(1)方程x2－2x＝0的解是什么？(2)x取什么值时，函数值大于0；(3)x取什么值时，函数值小于0.解：列表：描点并连线：(1)方程x2－2x＝0的解是x1＝0，x2＝2.(2)当x<0或x>2时，函数值大于0.(3)当0<x<2时，函数值小于0.易错点1漏掉函数是一次函数的情况8．(吕梁市文水县期中)若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a 的值为－1或2或1.易错点2忽视坐标轴包含x轴和y轴9．抛物线y＝x2－2x＋1与坐标轴的交点个数是(C)A．0 B．1C．2 D．310．已知抛物线y＝x2－(a＋2)x＋9的顶点在坐标轴上，则抛物线的解析式为y＝x2－6x＋9或y＝x2＋6x＋9或y＝x2＋9．02中档题11．(牡丹江中考)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(C)A．x＜2 B．x＞－3C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞112．(大同市期中)二次函数y＝(x－2)2＋m的图象如图所示，一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B(4，3)，则满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围是(A) A．1≤x≤4 B．x≤1C．x≥4 D．x≤1或x≥413．如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为(－1，0)，(2，0)，(0，2)，则当y＞2时，自变量x 的取值范围是(B )A ．0＜x ＜12B ．0＜x ＜1 C.12＜x ＜1 D ．－1＜x ＜214．(济南中考)二次函数y ＝x 2＋bx 的图象如图，对称轴为直线x ＝1.若关于x 的一元二次方程x 2＋bx －t ＝0(t 为实数)在－1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是(C )A ．t ≥－1B ．－1≤t ＜3C ．－1≤t ＜8D ．3＜t ＜815．(阳泉市平定县月考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的y 与x 的部分对应值如下表：下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x ＝1；③当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根大于4.其中正确的结论有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．(杭州中考)把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t (秒)时该足球距离地面的高度h (米)适用公式h ＝20t －5t 2(0≤t ≤4)．(1)当t ＝3时，求足球距离地面的高度； (2)当足球距离地面的高度为10米时，求t ；(3)若存在实数t 1，t 2(t 1≠t 2)，当t ＝t 1或t 2时，足球距离地面的高度都为m (米)，求m 的取值范围．解：(1)当t ＝3时，h ＝20t －5t 2＝20×3－5×9＝15， ∴此时足球距离地面的高度为15米． (2)当h ＝10时，20t －5t 2＝10，即t 2－4t ＋2＝0，解得t ＝2＋2或t ＝2－ 2.答：经过2＋2或2－2秒时，足球距离地面的高度为10米． (3)由题意得t 1和t 2是方程20t －5t 2＝m (m ≥0)的两个不相等的实数根，则 Δ＝202－20m >0.解得m <20. ∴m 的取值范围是0≤m <20. 03 综合题17．有这样一个问题：探究函数y ＝12x 2＋1x 的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对函数y ＝12x 2＋1x 的图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)下表是y 与x 的几组对应值．函数y ＝12x 2＋1x 的自变量x 的取值范围是x ≠0，m 的值为296；(2)在如图所示的平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的大致图象；(3)进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有1个交点，所以对应方程12x 2＋1x ＝0有1个实数根；②方程12x 2＋1x＝2有3个实数根；③结合函数的图象，写出该函数的一条性质．解：(2)函数图象如图所示．(3)③答案不唯一，如：函数没有最大值或函数没有最小值，函数图象不经过第四象限．。
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二次函数图像2.21.二次函数：23(5)4y x =++图像的顶点坐标是 （ ） A ．（5，4） B ．（－5，4） C ．（5，－4） D ．无法确定． 2．已知二次函数y=2（x ﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）； ④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3. 方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ） A ．12 B ．12或15 C ．15 D ．不能确定 4、（黔西南州）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份5、已知二次函数2y ax bx c =++中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：x …… 0 1 2 3 4 …… y……4114……点A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）在函数的图象上，则当1＜x 1＜2，2＜x 2＜3时，1y 与2y 的大小关系正确的是 A ．12y y > B ． 12y y < C ． 12y y ≥ D ． 无法确定6. （2017江苏徐州）若函数22y x x b =-+的图象与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是（ ） A ．1b <且0b ≠ B ．1b > C.01b << D ．1b < 二、填空7、一元二次方程x （x ﹣2）=2﹣x 的根是8、(甘肃省兰州市2008)在同一坐标平面内，下列4个函数①22(1)1y x =+-，②223y x =+，③221y x =--，④2112y x=-的图象不可能．．．由函数221y x =+的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是 （填序号）．9. （20XX 年山东省泰安市第15题）已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为1x =；③当1x <时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程20ax bx c ++=有一个根大于3．其中正确的结论有10．（2016•兰州）点P 1（﹣1，y 1），P 2（2，y 2），P 3（5，y 3）均在二次函数y=﹣x 2+2x+c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是11. 若抛物线m x x y +-=62与x 轴没有交点，则m 的取值范围是_____________°12、若关于x 的函数221y kx x =+-与x 轴仅有一个公共点，则实数k 的值为 .13.（2017山东烟台）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的如图所示， 对称轴是直线1=x ，下列结论：①0<ab ；②ac b 42>； ③0<++c b a ；④03<+c a . 其中正确的是14．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①4ac ＜b 2；②a+c ＞b ；③2a+b ＞0． 其中正确的有15、（2017贵州）二次函数y=ax 2+bx+c （≠0）的图象如图，给出下列四个结论： ①4ac ﹣b 2＜0；②3b+2c ＜0；③4a+c ＜2b ； ④m （am+b ）+b ＜a-b （m ≠-1）， 其中结论正确的个数是16、.如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac ＜b2；②方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1=﹣1，x 2=3； ③3a+c ＞0④当y ＞0时，x 的取值范围是﹣1≤x ＜3 ⑤当x ＜0时，y 随x 增大而增大 其中结论正确的个数是17.解方程 （1）4x 2-3x-1=0（用配方法）； （2）5x 2（公式法）18. （2015•江苏泰州，第18题8分）已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m的值．19、一次函数y=2x+3与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于A（m，5）和B（3，n）两点，且点B是抛物线的顶点．（1）求一次函数和二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；（3）观察，x为何值时，两个函数的值都随x的增大而增大，当x为何值时，二次函数的值大于一次函数的值？20. (2016·云南)草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象．（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．21. （2016·四川广安·10分）如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=12x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．16. （2017湖北咸宁第24题）如图，抛物线c bx x y ++=221与x 轴交于B A 、两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知6==OC OB.⑴求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；17. (20XX 年浙江省丽水市)如图1，地面BD 上两根等长立柱AB ，CD 之间悬挂一根近似成抛物线y=x 2﹣x+3的绳子．（1）求绳子最低点离地面的距离；（2）因实际需要，在离AB 为3米的位置处用一根立柱MN 撑起绳子（如图2），使左边抛物线F 1的最低点距MN 为1米，离地面1.8米，求MN 的长；20．（20XX 年山东省日照市第12题）已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x=2，与x 轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论： ①抛物线过原点； ②4a+b+c=0；③a ﹣b+c ＜0；④抛物线的顶点坐标为（2，b ）； ⑤当x ＜2时，y 随x 增大而增大． 其中结论正确的是（ ）A ．①②③B ．③④⑤C ．①②④D ．①④⑤5．（2010浙江宁波）如图，已知二次函数c bx x y ++-=221的图象经过A (2，0)、B (0，-6)两点. (1)求这个二次函数的解析式和顶点坐标；9.（2017贵州安顺）二次函数y=ax 2+bx+c （≠0）的图象如图，给出下列四个结论： ①4ac ﹣b 2＜0；②3b+2c ＜0；③4a+c ＜2b ；④m （am+b ）+b ＜a-b （m ≠-1）， 其中结论正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44.（2011乐平市，6，3分）已知二次函数y=x 2+bx －2的图象与x 轴的一个交点为（1,0），则它与x 轴的另一个交点坐标是（ ）.A .（1，0） B.（2，0） C.（－2，0） D.（－1，0）43、（2013•黔西南州）如图所示，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1）b 2﹣4ac ＞0；（2）c ＞1；（3）2a ﹣b ＜0；（4）a+b+c ＜0，其中错误的有（ ）1．抛物线y ＝x 2－4x －5的顶点在第_____象限（ ）． A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 2．（2012•烟台）已知二次函数y=2（x ﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知抛物线y ＝kx 2＋2x －1与坐标轴有三个交点，则k 的取值范围___________．46、（2013•南宁）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）4、（2013•株洲）二次函数y=2x 2+mx+8的图象如图所示，则m 的值是（）2、（2013济宁）二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．a ＞0B ．当﹣1＜x ＜3时，y ＞0C ．c ＜0D ．当x≥1时，y 随x 的增大而增大二次函数图像2.11．抛物线y ＝x 2－4x －5的顶点在第_____象限（ ）． A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 2．（2012•烟台）已知二次函数y=2（x ﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3、已知二次函数2y ax bx c =++中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：x …… 0 1 2 3 4 …… y……4114……点A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）在函数的图象上，则当0＜x 1＜1，2＜x 2＜3时，1y 与2y 的大小关系正确的是 A ．12y y > B ． 12y y < C ． 12y y ≥ D ． 12y y ≤4、已知一元二次方程x 2＋bx －3＝0的一根为－3，在二次函数y ＝x 2＋bx －3的图象上有三点 （－16，y 1）、（－45，y 2）、（－54，y 3），y 1、y 2、y 3的大小关系是 5、（2011山东枣庄）抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：从上表可知，下列说法中错误的是 ．（填写序号）①在对称轴左侧，y 随x 增大而增大； ②抛物线与x 轴的一个交点为（3,0）； ③ 函数2y ax bx c =++的最大值为6；④抛物线的对称轴是12x =； 6. （20XX 年山东省泰安市第15题）已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为1x =；③当1x <时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程20ax bx c ++=有一个根大于3．其中正确的结论有7.（2016·湖北荆州）若函数y=（a ﹣1）x 2﹣4x+2a 的图象与x 轴有且只有一个交点，则a 的值为 ．8.如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论： ①4ac ＜b 2；②方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1=﹣1，x 2=3； ③3a+c ＞0④当y ＞0时，x 的取值范围是﹣1≤x ＜3 ⑤当x ＜0时，y 随x 增大而增大 其中结论正确的个数是9.（2017山东烟台第11题）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，对称轴是直线1=x ，下列结论：①0<ab ；②ac b 42>；③0<++c b a ；④03<+c a . 其中正确的是10．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①4ac ＜b 2；②a+c ＞b ；③2a+b ＞0． 其中正确的有11、如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（﹣1，0），对称轴如图所示，则下列结论： ①abc ＞0；②a ﹣b+c=0；③2a+c ＜0；④a+b ＜0，其中所有正确的结论是12、（德阳市20XX 年）已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，有下列5个结论： ①abc ＜0; ②b ＜a ＋c; ③4a ＋2b+c>0④2c ＜3b ；⑤a ＋b ＜m (am ＋b)（m ≠1的实数） 其中正确结论的序号有＿＿＿＿＿＿13．（2016贵州毕节3分）一次函数y=ax+b （a ≠0）与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A． B． C． D．14. （2017江苏徐州第8题）若函数22y x x b =-+的图象与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是（ ）A ．1b <且0b ≠B ．1b > C.01b << D ．1b < 15．二次函数的图象如图11所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程的两个根． （2）写出不等式的解集．（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围．（4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．16. （2017湖北咸宁第24题）如图，抛物线c bx x y ++=221与x 轴交于B A 、两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知6==OC OB.⑴求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；17. (20XX 年浙江省丽水市)如图1，地面BD 上两根等长立柱AB ，CD 之间悬挂一根近似成抛物线y=x 2﹣x+3的绳子．（1）求绳子最低点离地面的距离；（2）因实际需要，在离AB 为3米的位置处用一根立柱MN 撑起绳子（如图2），使左边抛物线F 1的最低点距MN 为1米，离地面1.8米，求MN 的长；。