三角形中位线的综合应用
中位线及其应用
中位线及其应用知识定位中位线在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识是今后我们学习综合题目或者三角形综合的重要基础。
中位线的证明性质以及应用，必须熟练掌握。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中中位线相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、三角形中位线定义（1）三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线与三角形的中线区分：三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。
（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，则DE 为ABC ∆的中位线。
几何语言描述：因为D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，所以DE//BC,且DE=12BC提示 a ：“平行且等于第三边的一半”，具体应用时要根据题目的要求灵活进行选择，并 不一定要把两个结论都写出来。
b ：一个三角形有三条中位线。
c ：经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线，必平分第三边，这是一种重要 的作辅助线的方法。
2、三角形中位线的性质（1）三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
（2）中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。
（3）运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。
（4）中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。
它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰补充：有关线段中点的其他定理还有：①直角三角形斜边中线等于斜边的一半②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合③对角线互相平分的四边形是平行四边形④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑。
三角形中位线应用
三角形中位线应用
本文是关于三角形中位线的应用。
运用中位线原理可以解决一些绘图中的问题。
三角形中位线的定义是：在三角形中，从一点出发，经过其他两个顶点，以及三角形内部的其他任意一点，连接到某一边上的线段叫做中位线。
应用1：首先，可以使用中位线将具有特殊形状的三角形分成三个较小的等边三角形，以此来解决复杂的绘图问题，例如求解多边形面积、求解多边形各边长等。
应用2：其次，中位线也可以用于追踪三角形的边缘，理解物体的形状与大小，例如求解物体体积、求解多边形内角之和等。
应用3：另外，中位线也可以用于求解三角形的边长，以及求解它们之间关系的研究，例如求解三角形的内角之和，求解三角形中各角的大小等。
以上就是本文关于三角形中位线的应用。
在绘图中，使用中位线原理能够有效解决复杂的计算问题，有助于深入理解物体的几何特性。
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三角形中位线定理的证明及其应用
例 ｌ 如 图，在 四边形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中， Ａ Ｂ ＝ Ｃ Ｄ， Ｅ、 盼 别
是Ｂ Ｃ 、 Ａ Ｄ的 中点 ，延长Ｂ Ａ和Ｃ Ｄ分别 与Ｅ Ｆ 的延 长线 交 于Ｋ、 日， 求证 ： ／ ＿ ＿ Ｂ Ｋ Ｅ＝ Ｃ Ｈ Ｅ ． （ ２ ０ ０ ６ 年 内 蒙 古 呼 和 浩 特市初 中数学 竞赛题 ）
样 取 中点 比作平行 线好 ． 证明： 连 接Ｂ Ｄ并取Ｂ Ｄ的中 点Ｇ， 连Ｆ Ｇ、 Ｇ Ｅ， 在 △Ｄ Ａ Ｂ 和 △Ｂ Ｃ Ｄ 中，
・ ．
・
Ｆ 是ＡＤ的中 点， Ｅ 是Ｂ Ｃ 的 中点 ，
・ ． ．
Ｆ Ｇ ／ ／ Ａ Ｂ Ｊ ￣ Ｆ Ｇ ＝ Ａ ， Ｅ Ｇ ／ ／ ／ Ｄ Ｇ Ｊ ￣ Ｅ Ｇ ＝ 二Ｄ Ｃ ．
・ ．
．
Ａ ＡＥ Ｆ￣ Ａ ＡＢＣ ＥＦ ＝
＝
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Ｅ Ｆ ／ ／ Ｂ Ｃ Ｊ ｔ Ｅ Ｆ ＝Ｉ － － Ｂ Ｃ
２ ．
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证 明 二 ： ’ 诜 ４ （ ｏ ， ， 日 （ ６ ， ０ ） ， ｃ （ ｃ ， ｏ ） ． 贝 Ｊ ｌ Ｅ （ 告 ， 号 ） ， 畸， 号 ） ．
求证： Ｅ Ｆ ＜２ １（ ＡＢ ＋ Ｃ Ｄ） ． （ ２ ０ １ １ 年银 川市 中考 题）
￣
分 析 ： 利 用 中 位 线 ， 将 矾吉 Ｂ ＋ ｃ Ｄ ） 转 移 到 同 一 三 角 形 中 ．
・ 。
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直 线 Ｅ Ｆ 的 方 程 为 ） ， ＝ 号 ，
三角形中位线定理的证明与应用
三角形中位线定理的证明与应用三角形中位线定理是初中数学中的重要定理，也是几何学中的基本概念之一。
本文将通过证明与应用，来深入解析三角形中位线定理的原理和意义。
一、三角形中位线定理的证明三角形中位线定理是指在任意三角形ABC中，连接三个顶点A、B、C处的中点形成的三条线段AD、BE、CF，它们两两平行且长度相等。
为了证明这个定理，我们可以利用向量和线段相等的性质进行推导。
假设三角形ABC的顶点分别为A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3），中点分别为D（x4,y4）、E（x5,y5）、F（x6,y6）。
可以得到以下向量关系式：AB = AO + OB = (x2 - x1, y2 - y1) + (x2, y2)BC = BO + OC = (x3 - x2, y3 - y2) + (x3, y3)AC = AO + OC = (x3 - x1, y3 - y1) + (x3, y3)根据中点的定义，可以得到：D = (A + B) / 2 = (x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2E = (B + C) / 2 = (x2 + x3) / 2, (y2 + y3) / 2F = (A + C) / 2 = (x1 + x3) / 2, (y1 + y3) / 2利用向量的加减法，可以计算得到：AD = D - A = [(x1 + x2) / 2 - x1, (y1 + y2) / 2 - y1]BE = E - B = [(x2 + x3) / 2 - x2, (y2 + y3) / 2 - y2]CF = F - C = [(x1 + x3) / 2 - x3, (y1 + y3) / 2 - y3]将上述结果代入，得到：AD = [(-x1 + x2) / 2, (-y1 + y2) / 2]BE = [(-x2 + x3) / 2, (-y2 + y3) / 2]CF = [(x1 - x3) / 2, (y1 - y3) / 2]可以观察到AD、BE、CF的x方向和y方向的分量相等，即它们的长度相等。
三角形中位线定理的应用
三角形中位线定理的应用三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，学好这部分内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习．它具有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系；（2）等于第三边的一半，这是数量关系．就第一个特性而言，中位线定理与平行线等分线段定理中的推论(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）存在着互逆关系．我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，以下举例说明它的具体应用．一、证明问题1、证明角相等关系例1、如图、四边ABCD 中，AB =CD ，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，EF ⊥MN 交AB 于E ，交CD 于F ，求证：∠AEF =∠DFE分析：欲证：∠AEF =∠DFE ．由MN ⊥EF 想到延长BA ，CD 与MN 的延长线交于P 、Q 只需证明∠EPN =∠Q ，如何利用中点的条件？ 想到三角形的中位线，连线BD ，取BD 的中点G ，则有12GM AB∥，12GN CD ∥，由于AB =CD ，进而有GM =GN ，∠GMN =∠GNM 然后再转化∠EPN =∠Q ，从而证出结论．证明：延长BA ，CD 分别与NM 的延长线交于P 、Q 连结BD ，取BD 的中点G ，连结GM 、GN ．∵G 、M 分别为△ABD 的边BD 、AD 的中点∴12GM AB ∥．同理可证：12GN AB∥，又∵AB =CD ，∴GM =GN ，∴∠GMN =∠GNM ，∵GM //AB ，GN =CD ，∴∠GMN =∠EPN ，∠GNM =∠Q ，∴∠EPN =∠Q ，又 EF ⊥MN ，∴∠AEF =∠DFE （等角的余角相等）说明：添辅助线是证明几何题的难点．若要添多条辅助线，更为困难，掌握一般添辅助线的规律是必要的，更为重要的是分析中自由添加辅助线，添辅助线是分析问题过程的一个步骤，这是几何的证明的较高层次，要在实践中仔细体会，不断摸索，不断总结．2、证明线段的倍分以及相等关系例2.如图，已知平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连线EF ，交BD 于M 点．求证：（1）BM =14BD （2）ME =MF 分析：欲证问题（1）由E 、F 分别为AB 、BC 中点想到连结AC ，由平行线等分线段定理可证得BM =MO ．又因为平行四边形的对角线互相平分，可得BO =OD ，即BM =41BD ．欲证问题(2)，由问题(1)中的辅助线，即连结AC ，由三角形中位线定理可得EM =12AO ，MF =12OC ，又由平行四边形对角线互相平分即可得到问题（2）的结论．证明：（1）连结AC ，交BD 于O 点，∵E 、F 分别为AB 、BC 中点，∴EF ∥AC ，∴BM =MO =12BO （平行线等分线段定理） 又∵四边形ABCD 是平行四边形∴BO =OD =12BD ，AO =OC =12AC ， ∴BM =1124BO BD ，即BM =14BD（2）∵M 是BO 的中点，E 、F 分别是AB 、BC 中的中点．∴12ME AD =，12MF OC =，又∵AO ＝OC ，∴ME ＝MF 小结：问题（1）看起来似乎与三角形中位线定理无关，其实这是从侧面的运用了三角形中位线的位置关系，即三角形的中位线平行于底边，而问题（2）直接运用了三角形中位线的数量关系．3、证明线段平行关系例3.如图，自△ABC 的顶点A ，向∠B 和∠C 的平分线作垂线，重足分别为D 、E ．求证：DE ∥BC 分析：欲证ED //BC 我们可想到有关平行的判定，但要找到有关角的关系很难，这时只要通过延长AD 、AE ，交BC 与CB 的延长线于G 与H ，通过证明△ABD 与△GBD 全等易证D 是AG 中点，同理E 为AH 的中点，故，ED 是△AEG 的中位线，当然有DE ∥BC ．证明：延长AD 、AE 交BC 、CB 的延长线于G 、H ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠1=∠2，又∵BD ⊥AD ，∴∠ADB =∠BDG =900． 在△ABD 与△GBD 中12BD BDBDG BDA⎧⎪⎨⎪⎩=== ∠∠∠∠，∴△ABD ≌△GBD (A S A ) ∴AD =DG ，同理可证，AE =GE ，∴D ，E 分别为AG ，AH 的中点， ∴ED ∥BC小结：由此题我们可以知道证明直线或线段平行除了平行判定等，还可以用中位线定理来证明直线或线段平行．二、比较大小1、比较线段大小 例4.如图，M 、N 是四边形ABCD 的边 BC 、AD 的中点，且AB 与CD 不平行．求证：MN ＜12(AB ＋CD ). 分析：欲证MN ＜12(AB ＋CD )，我们从表面上看这个问题比较复杂，但由M 、N 分别为BC 、AD 中点我们可以联想到如何构造三角形中位线来证明问题，通过连结BD ，并取BD 中点P ，连结NP 、MP 这时分别为△DAB 、△DCB 的中位线,这时三条线段NP 、MP 、MN 都在一个三角形里，问题就迎刃而解了．证明：连结BD 并取BD 中点P ，连结NP ，MP . ∵N 为AD 中点，P 为BD 中点.∴NP 为△DAB 的中位线，∴NP ＝12AB ，同理可得MP ＝12CD ．∵AB 与CD 不平行，∴P 点不在MN 上．在△PMN 中，由于两边之和大于第三边，∴MN ＜PM +PN ＝12(AB +CD )小结：此类题型通过转化,把有关的线段或与之有联系的线段集中在一个三角形中,再应用三角形的有关知识，如：三角形中位线及两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等知识，即可得出证明．2、比较角的大小例5、如图：AD 是△ABC 的中线，如果AB >AC ，那么∠BAD <∠CAD ． 分析：因为D 为BC 中点联想到，过点D 作中位线DE ，因为DE ∥AB 即△ABC 得到∠1=∠3，由AB >AC , 有12AB ＞12AC ，所以就有∠3＜∠2，即∠BAD <∠CAD证明：过点D 作DE ∥AB 交AC 于E ，∴DE ∥AB 且 DE =12AB ，E 为AC 中点．∴∠1=∠3，∵AB >AC ，∴12AB >12AC ，即在△AED 中，DE >AE ，∴∠3<∠2，∴∠1<∠2，即∠BAD <∠CAD小结：本题证角不相等，因为要证的两个角不在同一个三角形中，如果这两个角在同一个三角形中能应用：在同一个三角形中，大边对大角原理这时就考虑到如何将这两个角放在一个三角形中，通过观察只要过D 作DE ∥AB 就可解决求证问题．三、求值问题例6. 如图，正方形ABCD 两对角线相交于点E ，∠CAB 的平分线交BE 于G ，交BC 于F ，若GE ＝24 求FC 的长．分析：求FC 的长，因为E 为对角线交点，就是AC 中点所以作辅助线PE ∥BC 就有PE ∥FC 且有PE =21FC 所以只要能求出PE 的长即可，而PE 的长可由∠3＝∠4求出，因为∠3为△APE 的外角所以有∠3=∠2+∠5同理有∠4=∠1+∠7因为AF 为∠BAC 的平分线所以∠1=∠2又因为所以∠5=∠6,而∠6=∠7所以有∠3=∠4即PE =GE =12FC ,这样问题就解决了． 解：过点E ，作EP ∥BC ，交AF 于点P ，则P 为AF 中点，∵∠3＝∠2＋∠5＝∠2＋∠6，∠4＝∠1＋∠7，又∵AF 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2，又∵∠6＝∠7，∴∠3＝∠4，∴EP ＝EG ，∵PE 是△AFC 的中位线，∴PE ＝12FC =EG ，即FC =2EG =2PE =2×24=48小结：求值问题，主要是如何添加辅助线，将比较难的问题转为容易的问题．总之，三角形中位线定理及其应用，在初中数学中占有很重要的地位，如何正确添加辅助线构造三角形中位线对每个学生来说是一个重点也是一个难点．要求学生要善于觉察图形中的有关定理的基本图形，涉及到中点问题时要及时联想到有关定理．一条或一组合理地利用了题目条件的辅助线常见有一箭双雕甚至一箭多雕的效益，准确而理想的图形能有效地帮助我们迅速地捕捉到题意预定的目标．。
专题 三角形中位线定理的运用(原卷版)
八年级下册数学《第十八章 平行四边形》专题 三角形中位线定理的运用【例题1】（2022秋•长沙期中）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，F ，G 分别是AD ，AE 的中点，且FG ＝2cm ，则BC 的长度是（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【变式1-1】（2022秋•海淀区期中）如图，BD 是△ABC 的中线，E ，F 分别是BD ，BC 的中点，连接EF ．若AD ＝4，则EF 的长为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．4【变式1-2】（2022秋•莲池区校级期末）如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，AD ⊥BC 于点D ，BD =E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则EF 的长为（ ）A B C D 【变式1-3】（2022春•巨野县校级月考）如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，AE 平分∠CAD ，AE ⊥CD 于点E ，点F 是BC 的中点，若AB ＝10，AC ＝6，则EF 的长为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【变式1-4】（2022秋•南关区校级期末）如图，四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ＝12，AD ＝5，点M 、N 分别为线段BC 、AB 上的动点，点E 、F 分别为DM 、MN 的中点，则EF 长度的可能为（ ）A ．2B ．2.3C ．4D ．7【变式1-5】如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．若AB＝8，AD＝12，则四边形ENFM的周长为 ．【变式1-6】（2022春•海淀区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D和点E分别是AB，AC的中点，点F和点G分别在BA和CA的延长线上，若BC＝10，GF＝6，EF＝4，则GD的长为 ．【变式1-7】（2022春•本溪期末）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，顺次连接EM，MF，FN，NE，若AB＝CD＝2，则四边形ENFM 的周长是 ．过点C 作CF ∥BE ，交DE 的延长线于点F ，若EF ＝3，求DE 的长．【变式1-9】如图，在△ABC 中，AB ＝12cm ，AC ＝8cm ，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于点F ，交AB 于点G ，连接EF ，求线段EF 的长．【例题2】（2022秋•安岳县期末）如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，若∠CFE ＝55°，则∠ADE 的度数为（ ）A ．65°B ．60°C ．55°D ．50°60°，∠B＝75°，则∠ANM＝ ．【变式2-2】（2022•永安市模拟）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的平分线交DE于点F，若∠DFB ＝32°，∠A＝75°，则∠AED＝ ．【变式2-3】（2022春•顺德区校级期中）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，求∠ADC的度数．【变式2-4】（2022•九江二模）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，AB ＝CD，∠EGF＝144°，则∠GEF的度数为 ．【变式2-5】（2022秋•新泰市期末）如图，四边形ABCD 中，AD ＝BC ，E ，F ，G 分别是AB ，DC ，AC 的中点．若∠ACB ＝64°，∠DAC ＝22°，则∠EFG 的度数为 ．【变式2-6】（2022春•鼓楼区期中）如图所示，在△ABC 中，∠A ＝40°，D ，E 分别在AB ，AC 上，BD ＝CE ，BE ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MN 分别交AB ，AC 于P ，Q ．求∠APQ 的度数．【例题3】（2021秋•杜尔伯特县期末）如图，已知△ABC 中，D 是AB 上一点，AD ＝AC ，AE ⊥CD ，垂足是E ，F 是BC 的中点．求证：BD ＝2EF．【变式3-1】（2021春•秦都区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、AC上的点，连接BE、DE，∠ADE＝∠AED，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．求证：FG＝FH．【变式3-2】（2021秋•互助县期中）如图，已知AB＝AC，BD＝CD，DB⊥AB，DC⊥AC，且E、F、G、H分别为AB、AC、CD、BD的中点，求证：EH＝FG．【变式3-3】已知：如图，E为▱ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连接AE分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF．求证：AB＝2OF．【变式3-4】（2021春•崇川区校级月考）已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．求证：（1）DE∥FG；（2）DG和EF互相平分．【变式3-5】（2022春•富平县期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝BD，E、F分别是AB、CD的中点，E、F分别交BD、AC于点G、H，取BC边的中点M，连接EM、FM．求证：（1）△MEF是等腰三角形；（2）OG＝OH．【变式3-6】（2022春•瑶海区期末）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点（1）若DE＝2，则BC＝ ；若∠ACB＝70°，则∠AED＝ °；（2）连接CD和BE交于点O，求证：CO＝2DO．【变式3-7】（2022春•虎丘区校级期中）如图，线段AM是∠CAB的角平分线，取BC中点N，连接AN，过点C作AM的垂线段CE垂足为E．（1）求证：EN∥AB．（2）若AC＝13，AB＝37，求EN的长度．【例题4】（2021春•莆田期末）如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，E 、F 分别是边DC 、AB 的中点，FE 的延长线分别AD 、BC 的延长线交于点H 、G ，求证：∠AHF ＝∠BGF ．【变式4-1】（2022春•西峰区校级月考）如图，四边形ABCD 中，AD ＝BC ，P 是对角线BD 的中点，N 、M 分别是AB 、CD 的中点，求证：∠PMN ＝∠PNM ．【变式4-2】（2021春•歙县期中）如图，CD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥CD 于E ，F 是AC 的中点，（1）求证：EF ∥BC ；（2）猜想：∠B 、∠DAE 、∠EAC三个角之间的关系，并加以证明．【变式4-3】如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD＝CE，M、N分别是BE、CD的中点．过MN的直线交AB于P，交AC于Q，求证：∠QPA＝∠PQA．【变式4-4】一个对角线相等的四边形ABCD，E、F分别为AB，CD的中点，EF分别交对角线BD，AC 于M，N，求证：∠OMN＝∠ONM．【变式4-5】（2022春•船营区校级月考）如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题．如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证：∠PMN＝∠PNM（1）在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F，如图②，请先完成图①的证明，再继续证明∠AEN＝∠F．（2）若（1）中的∠A+∠ABC＝122°，则∠F的大小为 ．【例题5】（2022秋•任城区期末）如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于点E ，点F 是BC 的中点，若AB ＝10，AC ＝6，则EF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【变式5-1】（2022春•綦江区校级月考）如图，在四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，BD ＝16，AC ＝30，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则EF ＝（ ）A ．15B ．.16C ．17D ．8【变式5-2】（2021春•沈北新区期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF=12 CF．【变式5-3】如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P 为AE的中点，连接PG，则PG的长为 ．【变式5-4】（2021•罗湖区校级模拟）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝24，点E是BC上一点，BE＝10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN ＝ ．【变式5-5】（2022春•香坊区校级期中）如图所示，在四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，AB＝20，CD＝12，∠B+∠C＝120°，则EF的长为 ．【变式5-6】（2022秋•张店区校级期末）已知：如图，在△ABC中，点D在AB上，BD＝AC，E、F、G 分别是BC、AD、CD的中点，EF、CA的延长线相交于点H．求证：（1）∠CGE＝∠ACD+∠CAD；（2）AH＝AF．【变式5-7】如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF=12（AC﹣AB）；（2）如图2，请直接写出线段AB、AC、EF的数量关系．【变式5-8】（1）如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接FG．求证：FG=12（AB+BC+AC）．[提示：分别延长AF、AG与直线BC相交]（2）如图2，若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，连接FG．线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．【变式5-9】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME＝∠CNE（不必证明）（温馨提示：在图（1）中，连接BD，取BD的中点H，连接HE．HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线的性质，可证明∠BME＝∠CNE）（1）如图（2），在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF，分别交CD．BA于点M．N，判断△OMN的形状，请直接写出结论．（2）如图（3）中，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E．F分别是BC．AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，连接GD，判断△AGD形状并证明．。
三角形中位线定理的运用例谈(Word版-含解析、点评和练习设计)
2017-2018下学期八数专题复习 二：三角形中位线定理的运用例谈 第 1页（共 8页） 第 2页 （共 8页）2017—2018下学期八年级数学专题复习 二:三角形中位线定理的运用例谈赵化中学 郑宗平三角形的中位线定理在平面几何中比较特殊，它既反映三角形的中位线与三角形边的位置关系，又有与三角形边的数量关系的规律性结论；在一些所谓的几何难题中常见它的身影，而三角形的中位线往往能起牵线搭桥甚至是关键性的作用;下面我精选一部分“含"三角形的中位线的几何解答题，让我们共同来探究、解析、训练.知识要点:三角形的中位线平行于三角形第三边,并且等于第三边的一半.1。
三角形三条中位线围成的三角形与原三角形在某些数量上的关系⑴.周长关系如图点D E F 、、分别是⊿ABC 的三边BC CA AB 、、的中点，请探究⊿DEF 的周长 ⊿ABC 的周长的关系？分析: 点D E F 、、分别是⊿ABC 的三边BC CA AB 、、,,,111EF BC DE AB DF AC 222=== ∴()12EF DE DF BC AC AB ++=++所以三角形的三条中位线围成的三角形的周长是原三角形的周长的一半。
追踪练习：以上面的图为例，若⊿DEF 的周长为23cm ，则⊿ABC 的周长为 . ⑵。
面积关系如图点D E F 、、分别是⊿ABC 的三边BC CA AB 、、的中点，请探究⊿DEF 的面积与⊿ABC 的面积关系？ 略析：根据三角形中位线定理可以得出,,,,111EF BC DF AC DE AB EF BC DF AC DE AB 222===；,再利用线段中点的定义、平行线性质、平行四边形的性质等可以进一步推出DEF 、AFE 、FBD 、DEC是全等的，故它们的面积是相等的,则S ⊿ABC =4S ⊿DEF .所以三角形的三条中位线围成的三角形的面积是原三角形的面积的14. 说明：今后我们学习了相似三角形的性质后，这个结论的推导就简单多了。
三角形中位线定理的妙用
三角形中位线定理的妙用三角形中位线定理是三角形相关章节中一个十分重要的定理,其特点是在同一个题设下,有两个结论:一个是表明位置的平行关系,另一个是表明数量的倍分关系。
《数学课程标准》明确要求“探索并掌握三角形的中位线定理。
”下面本文就三角形中位线定理的运用我谈一点自己的体会。
一、当题目中只有两边中点时,连接这两点或作第三边,构造三角形的中位线例1:(如图1)在四边形ABCD中,点E为AB边上的一点,⊿ADE和⊿BCE都是等边三角形,点M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、AD的中点.求证:四边形MNPQ是菱形.证明:连接AC、BD.易证: ⊿AEC≌⊿DEB.∴AC=BD.可证MN=PQ= AC,MQ=NP= BD.∴MN=NP=PQ=QM.故四边形MNPQ是菱形.点评:直接利用三角形的中位线定理证明.练习1:如图2,⊿ABC的中线BE和CF相交于点O,点M、N分别是OB、OC 的中点.试判断四边形MNEF的形状.二、当已知条件中只有一边中点时,可取另一边的中点,构造三角形的中位线例2:(如图3)在⊿ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,BD=CE,点G、H分别是BE、CD的中点,直线GH交AB于M,交AC于N.求证:AM=AN.证明:取BC的中点P,连接PG、PH,则PG、PH分别是⊿BCE和⊿BCD的中位线.∴PGCE, PHBD.∴∠PGN=∠ANM, ∠PHM=∠AMN.又∵BD=CE.∴PH=PG.∴∠PGN =∠PHM.∴∠ANM =∠AMN.故AM=AN.点评:BC在这里起了桥梁的作用,构造了两条中位线.练习2:如图4,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,AC=BD,点E、F、G 分别是AB、CD、BC的中点,EF交BD于M,交AC于N.求证:OM=ON.三、当已知条件中只有一边中点时,可作另一边并取其中点,构造三角形的中位线例3:(如图5)在四边形ABCD中,AB=CD,点M、N分别是BC、AD的中点,延长BA、CD分别交MN的延长线于G、H.若∠BGM=30°.试求∠H的度数.解:连接AC,并取AC的中点O,再连接OM、ON.则OMAB , ONCD.∴∠BGM= ∠OMH,∠H= ∠ONM.∵AB=CD.∴OM=ON.∴∠ONM=∠OMN.∴∠BGM =∠H.又∵∠BGM=30°.∴∠H=30°.点评:其突破口就在构造三角形的中位线时先要连接AC,构造出两个三角形.在连接AC之后,其难易程度就和例2一样了。
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E A F C
中位线的性质定理：三角形的中位线平行第三边，且等于 第三边的一半。 几何语言表述为： 位置关系：EF∥BC 数量关系：EF= 1 2 BC
轻松过关 在△ABC中，点E、F是AB、AC的中点。 若∠B=55 ，则∠AEF=（ 55 ），为什么？ 若EF=10cm，则BC=（ 20 ）cm，为什么？
D
E
F
C
B
A
一个三角形有几条中位线？
E
F
B
C
在△ABC中，点A1、B1、C1是三边的中点，连结 A1B1、B1C1、A1C1。 图中有几个平行四边形？
AC1A1B1 BA1B1C1 A1CB1C1 C1 A B1 若以 为例，你能说明 AC1A1B1 理由吗？ 解：∵点A1B1、B1C1、A1C1是△ABC 的中位线。 ∴A1B1∥AB AC1=BC1（中点定义） ∴A1B1∥AC1 A1B1=AC1 B
A
D B M N C
解：延长BD交AC于点N ∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠NAD（角平分线性质） 又∵BD⊥AD（已知） ∴∠ADB=∠ADN（垂直定义） 又∵AD=AD（公共边） ∴△ADB≌△ADN（ASA） ∴AB=AN=12 BD=ND（全等三角形的对应边相等） ∴点D是BN中点 又∵点M是BC的中点 ∴DM= 1 CN= 1 ×（22-12）=5 2 2
C△A2B2C2= S△A2B2C2=
1 1 × 2 2 1 4
a=（ 1 2
1 4
）a= 1 a 4
2
2
×
b=（ 1 4） b = 1 b
16
C1
B2
A2
C2
B1
B
A1
C
依照此规律，第n个这样的三角形呢？
C △AnBnCn=（ 2 1 S △AnBnCn=（ 4
1
）a
n
）b
n
在△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC、 BD⊥AD，AB=12，AC=22。求MD的长。
A C1 B1
即： △A1B1C1的周长=△ABC的周长的一半 B
A1
C
结论：由三角形中位线构成的新三角形周长等于原三角形周长的一半
学以致用
若△ABC的周长等于a，求△A1B1C1的周长
△A1B1C1的周长=
1 a 2
△A1B1C1的面积与△ABC的面积有何关系？
解：在 AC1A1B1、 BA1B1C1、 A1CB1C1中， △A1B1C1≌△AC1B1≌△C1BA1≌△B1A1C（SSS） 1 A ∴ △A1B1C1= 4 △ABC 结论：由三角形中位线构成的新三角形面积等于 C1 原三角形面积的 1 4
三角形中位线的综合应用
主讲人：严塘中学 杨志香
想一想
小明为了测量池塘BC的宽度，他在池塘外找一点A，用绳子连结 AB、AC，再在AB、AC上取其中点E、F，量得EF=18m，于是他知 道了池塘BC的宽度。同学们，你们知道BC有多宽吗？为什么？
B
1、什么是三角形中位线？ 连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。 2、中位线与第三边有着什么位置关系、数量关系？
∴四边形EFHM是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
连结矩形ABCD四边中点E、F、H、M，得到的 四边形EFHM是什么样的四边形？
D H
C
M
O E
F
A
B
菱形
课后思考
若连结平行四边形、菱形、正方形、等腰梯形 四边的中点，那么这样的新四边形又是什么样的四 边形呢？
作业
在△ABC中，∠ACB=90 ，点D、E分别是AC、AB的中点， 点F在BC延长线上，且∠CDF=∠A。求证：四边形DECF是平 行四边形。 A
S
S
B1
学以致用
若△ABC的面积为b，求 △A1B1C1的面积。
B
A1
C
S△A1B1C1=
1b 4
若点A1、B1、C1是△ABC三边的中点，点A2、B2、C2是 △A1B1C1三边的中点，连结A2B2、B2C2、A2C2，△ABC的周 长为a，面积为b，则△A2B2C2的周长、面积分别是多少？ A
李奶奶家有一块四边形空地ABCD，在四边形ABCD的各边分别 取其中点E、F、H、M，把得到的四边形EFHM作为一个草坪， 同学们，你知道这块草坪是什么样的四边形吗？为什么？
解：连结AC ∵M、H是AD、CD的中点 ∴MH//AC且MH= H D M E F B
C
1 AC A 2 1 同理：EF//AC且EF= 2 AC（三角形的中位线定理） ∴MH//EF且MH=EF
1 A1B1= 2 AB（中位线定理）
A1
C
∴四边形AC1A1B1是平行四边形。（一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形。）
△A1B1C1的周长与△ABC的周长有何关系？
解：∵A1B1、B1C1、A1C1是△ABC的中位线
1 1 ∴A1B1= 1 AB ， B 1C1= BC，A1C1= AC 2 2 2 1 1 ∴A1B1+B1C1+A1C1= 1 AB+ BC+ AC 2 2 2 1 = 2 （AB+BC+AC）