三角形中位线在初中几何中的应用
中位线及其应用
中位线及其应用知识定位中位线在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识是今后我们学习综合题目或者三角形综合的重要基础。
中位线的证明性质以及应用，必须熟练掌握。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中中位线相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、三角形中位线定义（1）三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线与三角形的中线区分：三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。
（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，则DE 为ABC ∆的中位线。
几何语言描述：因为D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，所以DE//BC,且DE=12BC提示 a ：“平行且等于第三边的一半”，具体应用时要根据题目的要求灵活进行选择，并 不一定要把两个结论都写出来。
b ：一个三角形有三条中位线。
c ：经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线，必平分第三边，这是一种重要 的作辅助线的方法。
2、三角形中位线的性质（1）三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
（2）中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。
（3）运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。
（4）中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。
它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰补充：有关线段中点的其他定理还有：①直角三角形斜边中线等于斜边的一半②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合③对角线互相平分的四边形是平行四边形④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑。
初中几何中三角形中位线定理的应用
初中几何中三角形中位线定理的应用三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，学好本节内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习。
它具有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系；（2）等于第三边的一半，这是数量关系。
就第一个特性而言，中位线定理与平行线等分线段定理中的推论2（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）存在着互逆关系。
我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，以下举例说明它的具体应用。
一、证明问题1、证明角相等关系例1、已知：如图在四边形ABCD 中对角线AC=BD ，E 、F 分别为AB 、CD中点，点O 为AC ，BD 的交点，M 、N为EF 与BD ，AC 的交点。
求证：OM=ON 分析：证明OM=ON 可转化成证明∠OMN=∠ONM ，由于E 、F 为AB 、CD 的中点这时只要取AD 中点H 作出△ABD 与△ACD 的中位线，即可得到EH=21BD ,HF=21AC,因为AC=BD,从而 得到EH=HF 所以∠HEF=∠HFE,因为 EH//BD, FH//AC 所以∠HEF=∠OMN, ∠HFE=∠ANM 从而得到∠DMF=∠ANM 这样要求证问题就解决了。
证明：取AD 中点H 并分别连结EH 、HF ，即EF 与FH 分别为△ABD 与△DAC 的中位线。
∴EH=21BD ，EH//BD ，HF=21AC ，FH//AC (三角形中位线定理)而 AC=BD ，∴EH=HF ，∴∠HEF=∠HFE又∵EH//BD ，HF//AC ，∴∠HEF=∠DMF ，∠HFE=∠ANM∴∠DMF=∠ANM ，∴OM=ON例2、如图、四边ABCD 中，AB=CD ，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，EF ⊥MN交AB 于E ，交CD 于F ，求证：∠AEF=∠DFE分析：欲证：∠AEF=∠DFE 。
由MN ⊥EF 想到延长BA ，CD 与MN 的延长线交于P 、Q 只需证明∠EPN=∠Q ，如何利用中点的条件？ 想到三角形的中位线，连线BD ，取BD 的中点G ，则有12GM AB ∥，12GN CD ∥，由于AB=CD ，进而有GM=GN ，∠GMN=∠GNM 然后再转化∠EPN=∠Q ，从而证出结论。
三角形中位线应用
三角形中位线应用
本文是关于三角形中位线的应用。
运用中位线原理可以解决一些绘图中的问题。
三角形中位线的定义是：在三角形中，从一点出发，经过其他两个顶点，以及三角形内部的其他任意一点，连接到某一边上的线段叫做中位线。
应用1：首先，可以使用中位线将具有特殊形状的三角形分成三个较小的等边三角形，以此来解决复杂的绘图问题，例如求解多边形面积、求解多边形各边长等。
应用2：其次，中位线也可以用于追踪三角形的边缘，理解物体的形状与大小，例如求解物体体积、求解多边形内角之和等。
应用3：另外，中位线也可以用于求解三角形的边长，以及求解它们之间关系的研究，例如求解三角形的内角之和，求解三角形中各角的大小等。
以上就是本文关于三角形中位线的应用。
在绘图中，使用中位线原理能够有效解决复杂的计算问题，有助于深入理解物体的几何特性。
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三角形中位线定理的证明及其应用
例 ｌ 如 图，在 四边形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中， Ａ Ｂ ＝ Ｃ Ｄ， Ｅ、 盼 别
是Ｂ Ｃ 、 Ａ Ｄ的 中点 ，延长Ｂ Ａ和Ｃ Ｄ分别 与Ｅ Ｆ 的延 长线 交 于Ｋ、 日， 求证 ： ／ ＿ ＿ Ｂ Ｋ Ｅ＝ Ｃ Ｈ Ｅ ． （ ２ ０ ０ ６ 年 内 蒙 古 呼 和 浩 特市初 中数学 竞赛题 ）
样 取 中点 比作平行 线好 ． 证明： 连 接Ｂ Ｄ并取Ｂ Ｄ的中 点Ｇ， 连Ｆ Ｇ、 Ｇ Ｅ， 在 △Ｄ Ａ Ｂ 和 △Ｂ Ｃ Ｄ 中，
・ ．
・
Ｆ 是ＡＤ的中 点， Ｅ 是Ｂ Ｃ 的 中点 ，
・ ． ．
Ｆ Ｇ ／ ／ Ａ Ｂ Ｊ ￣ Ｆ Ｇ ＝ Ａ ， Ｅ Ｇ ／ ／ ／ Ｄ Ｇ Ｊ ￣ Ｅ Ｇ ＝ 二Ｄ Ｃ ．
・ ．
．
Ａ ＡＥ Ｆ￣ Ａ ＡＢＣ ＥＦ ＝
＝
＝
Ｅ Ｆ ／ ／ Ｂ Ｃ Ｊ ｔ Ｅ Ｆ ＝Ｉ － － Ｂ Ｃ
２ ．
ＢＣ Ａ Ｂ ２
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Ａ（ ０，口）
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证 明 二 ： ’ 诜 ４ （ ｏ ， ， 日 （ ６ ， ０ ） ， ｃ （ ｃ ， ｏ ） ． 贝 Ｊ ｌ Ｅ （ 告 ， 号 ） ， 畸， 号 ） ．
求证： Ｅ Ｆ ＜２ １（ ＡＢ ＋ Ｃ Ｄ） ． （ ２ ０ １ １ 年银 川市 中考 题）
￣
分 析 ： 利 用 中 位 线 ， 将 矾吉 Ｂ ＋ ｃ Ｄ ） 转 移 到 同 一 三 角 形 中 ．
・ 。
・
直 线 Ｅ Ｆ 的 方 程 为 ） ， ＝ 号 ，
三角形的中位线
三角形的中位线1. 引言在几何学中，三角形是最基本的形状之一。
它由三条边和三个顶点组成。
在研究三角形的性质时，有一条特殊的线段叫做中位线，它连接三角形的一个顶点和对边中点。
本文将介绍三角形的中位线的定义、性质和应用。
2. 定义三角形的中位线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。
对于三角形ABC，以顶点A为例，其中位线是连接顶点A和对边BC中点的线段AD。
3. 性质三角形的中位线有以下几个重要的性质：3.1. 中点中位线的一个重要特点是它的中点。
对于三角形ABC来说，中位线AD的中点是线段BC的中点。
这意味着中位线将三角形分为两个面积相等的小三角形。
3.2. 长度在一个三角形中，三个中位线的长度是相等的。
对于三角形ABC来说，中位线AD的长度等于中位线BE和CF的长度。
3.3. 平行性三角形的三条中位线互相平行。
也就是说，对于三角形ABC来说，中位线AD 和中位线BE是平行的，中位线BE和中位线CF是平行的，中位线CF和中位线AD是平行的。
3.4. 相交点三角形的三条中位线相交于一个点，这个点被称为三角形的重心。
重心是三角形内部的一个点，它从三个顶点到对边的距离之和最小。
3.5. 面积三角形的三条中位线将三角形分成六个小三角形。
这六个小三角形的面积之和等于三角形的面积。
4. 应用三角形的中位线在几何学和实际应用中有一些重要的应用：4.1. 三角形面积通过利用三角形的中位线，可以更方便地计算三角形的面积。
由于三条中位线将三角形分成六个小三角形，我们可以根据这些小三角形的面积相加来得到整个三角形的面积。
4.2. 构造平行线利用三角形的中位线平行性，我们可以构造出一对平行线。
例如，如果我们在三角形ABC的中位线AD上取一个点E，并将DE延长到与BC相交于点F，那么线段EF就与AB平行。
4.3. 定位三角形重心通过绘制三角形的中位线，我们可以定位三角形的重心。
重心是三角形内部的一个点，通过中位线的相交点可以轻松确定。
三角形中位线定理的证明与应用
三角形中位线定理的证明与应用三角形中位线定理是初中数学中的重要定理，也是几何学中的基本概念之一。
本文将通过证明与应用，来深入解析三角形中位线定理的原理和意义。
一、三角形中位线定理的证明三角形中位线定理是指在任意三角形ABC中，连接三个顶点A、B、C处的中点形成的三条线段AD、BE、CF，它们两两平行且长度相等。
为了证明这个定理，我们可以利用向量和线段相等的性质进行推导。
假设三角形ABC的顶点分别为A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3），中点分别为D（x4,y4）、E（x5,y5）、F（x6,y6）。
可以得到以下向量关系式：AB = AO + OB = (x2 - x1, y2 - y1) + (x2, y2)BC = BO + OC = (x3 - x2, y3 - y2) + (x3, y3)AC = AO + OC = (x3 - x1, y3 - y1) + (x3, y3)根据中点的定义，可以得到：D = (A + B) / 2 = (x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2E = (B + C) / 2 = (x2 + x3) / 2, (y2 + y3) / 2F = (A + C) / 2 = (x1 + x3) / 2, (y1 + y3) / 2利用向量的加减法，可以计算得到：AD = D - A = [(x1 + x2) / 2 - x1, (y1 + y2) / 2 - y1]BE = E - B = [(x2 + x3) / 2 - x2, (y2 + y3) / 2 - y2]CF = F - C = [(x1 + x3) / 2 - x3, (y1 + y3) / 2 - y3]将上述结果代入，得到：AD = [(-x1 + x2) / 2, (-y1 + y2) / 2]BE = [(-x2 + x3) / 2, (-y2 + y3) / 2]CF = [(x1 - x3) / 2, (y1 - y3) / 2]可以观察到AD、BE、CF的x方向和y方向的分量相等，即它们的长度相等。
三角形中位线定理在几何问题中的应用
三角形中位线定理在几何问题中的应用
胡智宁
【期刊名称】《学苑教育》
【年(卷),期】2009(000)012
【摘要】连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线平行三角形的第三边且等于第三边的一半。
它是初中几何的重点和难点,它阐述了三角形中位线与第三边的数量关系和位置关系。
利用这两个关系将分散的问题转化到同一个三角形中,再应用三角形的知识进行解决,能真正起到桥梁的作用。
【总页数】1页(P21-21)
【作者】胡智宁
【作者单位】安徽省黄山市屯溪五中
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
【相关文献】
1.三角形面积在几何题中的巧妙应用 [J], 刘敏
2.三角形面积公式S=1/2ah在几何证明题中的应用 [J], 陈邦桥
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4.椭圆定义在一些数学问题中的应用——以轨迹方程、三角形、立体几何、数列为例 [J], 周培祥
5.三角形中位线定理的教学及其在证题中的应用 [J], 光先
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中考数学复习指导：中位线定理在几何证明中的应用
中位线定理在几何证明中的应用中位线定理在几何证明中的应用三角形 (梯形) 中位线定理在初中平面几何中是一个很重要的定理，运用定理结论中的位置关系和数量关系，往往能证明许多有关问题．现举例谈谈它在几何证明中的应用． 一、证明线段相等或倍分关系例1 求证：直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离相等．已知：如图1，梯形．ABCD 中，AB ∥DC ，B C ⊥AB ，E 为AD 中点．求证：EC=EB ．分析 要证EC=EB ，由E 为AD 中点想到梯形的中位线，可取BC 的中点G ，连结EG ，则EG 为梯形中位线，根据中位线定理可得EG ∥AB ∥CD ，再根据BC ⊥AB ，可得E G ⊥BC ，进而证明△BEG ≌△CEG ，可得对应边EC=EB ．例2 已知：如图2，在△ABC 中，∠B =2∠C ，A D ⊥BC ，M 是BC 的中点．求证求证：DM =12AB ．分析 要证DM =12AB ，可设法证明DM 与等于12AB 的线段相等，为此取AC 的中点N ，连MN ，则MN 为△ABC 的中位线，根据中位线定理得MN ∥AB ，MN =12AB ．要证DM=MN ，可连结DN ，由已知条件可知DN 是Rt △ADC 斜边AC 上的中线， ∴ DN=NC ，∠NDM =∠C ．又 M N ∥AB ，得∠NMC =∠B =2∠C ， ∴ ∠MND =∠NMC －∠NDM =2∠C －∠C =∠C ． ∴ ∠MND =∠C =∠NDM ，得DM=MN=12AB ． 二、证明线段和或差关系例3 已知：如图3，正方形ABCD 中，E 为CD 上的一点，F 为BC 的中点，且F A 平分∠BAE ．求证：AE=AB+EC ．证明 取AE 的中点G ，连FG ，则FG 为梯形ABCE 的中位线．∴ GF =12(AB+EC )，GF ∥AB ．∴ ∠F AB =∠GF A ．又∠F AB =∠GAF ， ∴ ∠GF A =∠GAF ， 又∵ G 为AE 中点，∴ AE =2AG =2 GF =AB+EC ．例4 已知：如图4，△ABC 中，AE=BF ，AC ∥EG ∥FH ．求证：EG=AC －FH ．证明 取AB ，BC 的中点M ，N ，连MN ，则MN 为△ABC 的中位线．∴ MN =12AC ．又AE=BF ，∴ EM=FM ．∵ AE=BF ，AC ∥EG ∥FH ． ∴ GC=BH又CN=BN ，∴ GN=HN ．∴ MN 为梯形EFHG 的中位线．∴ MN =12(EG+FH )．∴12 (EG+FH )=12AC ．∴ EG =AC －FH 。
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1初中几何中三角形中位线定理的应用三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，学好本节内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习。
它具有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系；（2）等于第三边的一半，这是数量关系。
就第一个特性而言，中位线定理与平行线等分线段定理中的推论2（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）存在着互逆关系。
我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，以下举例说明它的具体应用。
一、证明问题1、证明角相等关系例1、已知：如图在四边形ABCD 中 对角线AC=BD ，E 、F 分别为AB 、CD 中点，点O 为AC ，BD 的交点，M 、N 为EF 与BD ，AC 的交点。
求证：OM=ON分析：证明OM=ON 可转化成证明∠OMN=∠ONM ，由于E 、F 为AB 、CD 的中点这时只要取AD 中点H 作出△ABD 与 △ACD 的中位线，即可得到EH=21BD ,HF=21AC,因为AC=BD,从而得到EH=HF 所以∠HEF=∠HFE,因为 EH//BD, FH//AC 所以∠HEF=∠OMN,∠HFE=∠ANM 从而得到∠DMF=∠ANM 这样要求证问题就解决了。
证明：取AD 中点H 并分别连结EH 、HF ，即EF 与FH 分别为△ABD 与△DAC 的中位线。
∴EH=21BD ，EH//BD ，HF=21AC ，FH//AC (三角形中位线定理)而 AC=BD ，∴EH=HF ，∴∠HEF=∠HFE 又∵EH//BD ，HF//AC ，∴∠HEF=∠DMF ，∠HFE=∠ANM ∴∠DMF=∠ANM ，∴OM=ON例2、如图、四边ABCD 中，AB=CD ， M 、N 分别为AD 、BC 的中点，EF ⊥MN 交AB 于E ，交CD 于F ，求证： ∠AEF=∠DFE分析：欲证：∠AEF=∠DFE 。
由MN ⊥EF 想到延长BA ，CD 与MN 的延长线交于P 、Q 只需证明∠EPN=∠Q ，如何利用中点的条件？ 想到三角形的中位线，连线BD ，取BD 的中点G ，则有12GM AB ∥，12GN CD ∥，由于AB=CD ，进而有GM=GN ，∠GMN=∠GNM 然后再转化∠EPN=∠Q ，从而证出结论。
证明：延长BA ，CD 分别与NM 的延长线交于P 、Q 连结BD ，取BD 的中点G ，连结GM 、GN 。
∵G 、M 分别为△ABD 的边BD 、AD 的中点∴12GM AB ∥。
同理可证：12GN AB ∥，又∵AB=CD ，∴GM=GN ，∴∠GMN=∠GNM ，∵GM//AB ，GN=CD ，∴∠GMN=∠EPN ，∠GNM=∠Q ，∴∠EPN=∠Q ，又 EF ⊥MN ，2∴∠AEF=∠DFE （等角的余角相等）说明：添辅助线是证明几何题的难点。
尤其像例2、要添多条辅助线，更为困难，掌握一般添辅助线的规律是必要的，更为重要的是分析中自由添加辅助线，添辅助线是分析问题过程的一个步骤，这是几何的证明的较高层次，要在实践中仔细体会，不断摸索，不断总结。
2、证明线段的倍分以及相等关系FBC例1、 如图，已知平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连线EF ，交BD 于M 点。
求证：（1）BM=14BD （2）ME=MF 分析：欲证问题（1）由E 、F 分别为AB 、BC 中点想到连结AC ，由平行线等分线段定理可证得BM=MO 。
又因为平行四边形的对角线互相平分，可得BO=OD ，即BM=41BD 。
欲证问题(2)，由问题(1)中的辅助线，即连结AC ，由三角形中位线定理可得EM=12AO ，MF=12OC ，又由平行四边形对角线互相平分即可得到问题（2）的结论。
证明：（1）连结AC ，交BD 于O 点，∵E 、F 分别为AB 、BC 中点，∴EF ∥AC ， ∴BM=MO=12BO （平行线等分线段定理） 又∵四边形ABCD 是平行四边形∴BO=OD=12BD ，AO=OC=12AC ， ∴BM=1124BO BD =，即BM=14BD（2）∵M 是BO 的中点，E 、F 分别是AB 、BC 中的中点． ∴12=ME AD ，12=MF OC ，又∵AO ＝OC ，∴ME ＝MF 小结：问题（1）看起来似乎与三角形中位线定理无关，其实这是从侧面的运用了三角形中位线的位置关系，即三角形的中位线平行于底边，而问题（2）直接运用了三角形中位线的数量关系。
例2、 巳知：如图，在△ABC 中AB ＝AC ，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，E 为AB 的中点，求证：CD ＝2CE分析：这是证明线段的倍半问题，证明一条 线段等于另一条线段的二倍或一半时，常常是先找出短线段的二倍，或者取长线段的一半，设法把线段的倍半问3题转化为证明线段的相等问题，这就是通常所说的“加倍”、“折半”的方法，下面我们就把问题转化成证明线段的相等。
方法：1、找出CD 的一半，然后证明CD 的一半和CE 相等， 此重取CD 中点F ，证CF ＝CE证明：取CD 的中点F 连结BF ， ∴CD ＝2CF ，∵AB ＝BD ，∴BF 是 △ADC 的一条中位线，BF ∥AC ， 12=BF AC ，∴∠2=∠ACB ， ∵AB=AC, ∴∠1=∠ACB ，∴∠1=∠2，∴E 是AB 中 点，∴12=BE AC ，∵12=B F A C ，且AB=AC ，∴BE=BF ，在△BCE 和△BCF 中，⎧⎪⎨⎪⎩BE=BF 1=2BC=BC∠∠，∴△BCE ≌△BCF(SAS)， ∴CE=CF ，∵CD=CF ，∵CD=2CF ， ∴CD=2CE 方法：2、找出CE 的2倍，然后证明CE 的2倍和CD 相等，因此，要延长CE 到使EF=CE ，证CF=CD证明：延长CE 至F 使EF=CE ，连结FB ∴CF=2CE , ∠1=∠2，∵E 为AB 中点， ∴AE=BE ，在△AEC 和△BEF 中⎧⎪⎨⎪⎩CE=EF 1=2AE=BE∠∠，∴△AEC ≌△BEF(SAS)， ∴AC=BF ，∠3=∠F ，∴AC ∥BF ，∴∠FBC+∠ACB=1800，∵∠CBD+∠ABC=1800，又∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∴∠FBC=∠DBC ，∵AC=AB ， AB=BC ，AC=BF ，∴BF=BD 。
在△CBF △CBD 中⎧⎪⎨⎪⎩CB=CB FBC=DBC FB=DB∠∠，∴△CBF ≌△CBD(SAS)， ∴CD=CF ，∴CF=2CE ，∴CD=2CE3、证明线段平行关系 例1、 如图，自△ABC 的顶点A ，向∠B 和∠C 的平分线作垂线，重足分别为D 、E 。
求证：DE ∥BC 分析：欲证ED//BC 我们可想到有关平行的判定，但要找到有关角的关系很难，这时只要通过延长AD 、AE ，交BC 与CB 的延长线于G 与H ，通过证明△ABD 与△GBD 全等易证D 是AG 中点，同理E 为AH 的中点，故，ED 是△AEG 的中位线，当然有DE ∥BC 。
4证明：延长AD 、AE 交BC 、CB 的延长线于G 、H ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠1=∠2，又∵BD ⊥AD ，∴∠ADB=∠BDG=900． 在△ABD 与△GBD 中⎧⎪⎨⎪⎩1=2BD=BDBDG= BDA∠∠∠∠，∴△ABD ≌△GBD(ASA) ∴AD=DG ，同理可证，AE=GE ，∴D ，E 分别为AG ，AH 的中点， ∴ED ∥BC小结：由此题我们可以知道证明直线或线段平行除了平行判定等，还可以用中位线定理来证明直线或线段平行。
二、比较大小 1、比较线段大小例1、 如图，M 、N 是四边形ABCD 的边BC 、AD 的中点，且AB 与CD 不平行。
求证：MN ＜12(AB ＋CD)分析：欲证MN ＜12(AB ＋CD)，我们从表 面上看这个问题比较复杂，但由M 、N 分别为BC 、AD 中点我们可以联想到如何构造三角形中位线来证明问题，通过连结BD ，并取BD 中点P ，连结NP 、MP 这时分别为△DAB 、△DCB 的中位线,这时三条线段NP 、MP 、MN 都在一个三角形里，问题就迎刃而解了。
证明：连结BD 并取BD 中点P ，连结NP ，MP ∵N 为AD 中点，P 为BD 中点∴NP 为△DAB 的中位线，∴NP ＝12AB ，同理可得MP ＝12CD 。
∵AB 与CD 不平行，∴P 点不在MN 上。
在△PMN 中，由于两边之和大于第三边，∴MN ＜PM+PN ＝12(AB+CD)小结：此类题型通过转化,把有关的线段或与之有联系的线段集中在一个三角形中,再应用三角形的有关知识，如：三角形中位线及两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等知识，即可得出证明。
2、比较角的大小例1、如图：AD 是△ABC 的中线，如果AB>AC ，那么∠BAD<∠CAD 。
分析：因为D 为BC 中点联想到，过点D 作中位线DE ，因为DE ∥AB 即△ABC 得到∠1=∠3，由AB>AC, 有12AB ＞12AC ，所以就有∠3＜∠2，即∠BAD<∠CAD证明：过点D 作DE ∥AB 交AC 于E ，∴DE ∥AB 且 DE =12AB ，E 为AC 中点。
∴∠1=∠3，∵AB>AC ，∴12AB>12AC ，即在△AED 中，DE>AE ，∴∠3<∠2，∴∠1<∠2，即∠BAD<∠CAD小结：本题证角不相等，因为要证的两个角不在同一5个三角形中，如果这两个角在同一个三角形中能应用：在同一个三角形中，大边对大角原理这时就考虑到如何将这两个角放在一个三角形中，通过观察只要过D 作DE ∥AB 就可解决求证问题。
三、求值问题例1， 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD+DC=8，且AD ：BC=3:7,E , F 分别是BD ，AC 的中点，求EF 的长。
分析：欲求EF 的长，关键是如何建构三角形，使EF 成为这个三角形的中位线，所以，本题的突破口在于添作辅助线DH ，这也是解题中常用的方法。
解：AD+BC=8，AD ：BC=3∶7 得 AD=2.4 BC=5.6 连结DF ，并延长交BC 于H ，在△ADF 与△CHF 中AF=CF 1= 2DF=FH⎧⎪⎨⎪⎩∠∠，∴△ADF ≌△CHF(SAS) ∴CH=AD ，DF=FH ，∴EF=12BH ＝12(BC －AD)＝1.6例2、 如图，正方形ABCD 两对角线相交于点E ，∠CAB 的平分线交BE 于G ，交BC 于F ， 若GE ＝24 求FC 的长。